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1 M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wied Blatt 4 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 46. Konvergenz von Reihen Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz. a) ) n n) + n ) n+ 3n! b) c) nn+) 3n)! n Lösungshinweise hierzu: a) Wurzelkriterium lim n n n )n + n) n lim n also ist die Reihe absolut konvergent. b) Leibnizkriterium Offensichtlich ist ) nn+) n ) n) + lim n + n <, eine monotone Nullfolge, und somit ist die Reihe nach Leibniz konvergent. Die Reihe ist nicht absolut konvergent, denn nn+) n+) n+. Da die harmonische Reihe i divergent ist, divergiert nach dem Minorantenkriterium auch die Reihe c) Quotientenkriterium lim n 3n+)! 3n+))! 3n! 3n)! n+ n i3 n. nn+) lim n n+)!3n)! n!3n+3)! Also ist die Reihe absolut konvergent. Aufgabe H 47. Grenzwerte von Reihen Bestimmen Sie die Grenzwerte folgender Reihen. 3 n+ n a) b) 4 n n+) für n N k n k Hinweis: Zeigen Sie für c) zunächst, dass Lösungshinweise hierzu: n+) lim n 3n+3)3n+)3n+) < c) n n+)n+3) n+)n+3) n+ n+3 gilt.

2 4. Gruppenübung Höhere Mathematik a) Die geometrische Reihe konvergiert für q 3/4, somit ist 3 n n n 4 3 ) ) n n 4 +4) 9. n k n b) Die Variable n ist unabhängig vom Summationsindex, somit gilt mit n+ geometrischen Reihe ) ) k n+ n n n+) n ) k n + k n+ k n + c) Mit Hilfe des Hauptnenners gilt n+ n n+ n+3 n+3) n+) n+)n+3) es ergibt sich also die Teleskopsumme n k + n+ ). n n+)n+3), < und der n+)n+3) n+ n ) n Aufgabe H 48. Stetigkeit Umgebungen) Skizzieren Sie die Funktion für x f: R R: x x n für < x n x + für < x. Bestimmen Sie mit Hilfe von Umgebungen, ob die Funktion f an den Stellen x, x und x 3 stetig ist. Lösungshinweise hierzu: Die Funktion ist nach Auswertung der geometrischen Reihe für x f: R R: x für < x x x + für < x. Skizze:

3 4. Gruppenübung Höhere Mathematik x Betrachtet wird eine hinreichend kleine Umgebung um x, beispielsweise M :,). Wenn mit einem x M für den Funktionswert fx) U : U ε f)) gilt, so ergibt eine Abschätzung fx) f) x + +) x x+ x < 3 x. Mit der Wahl δ : ε/3 erhält man zu jeder Umgebung U eine Umgebung V : U δ ) derart, dass f V M ) U. x Wegen der unterschiedlichen Funktionsdefinitionen ist eine getrennte Betrachtung der positiven und negativen Bereiche notwendig. Für x > mit M :,)) ist für jedes δ ε gilt somit fx) f) x + +) x x, x < δ fx) f) < ε. Für x < mit M :,)) ist fx) f) x +x x x x < x für jedes δ ε gilt somit x < δ fx) f) < ε. Insgesamt führt die Wahl δ : minε, ε) auf die Aussage: Zu jeder Umgebung U : U ε f)) und dem Definitionsbereich M :,) gibt es eine Umgebung V : U δ ) derart, dass f V M ) U.

4 4. Gruppenübung Höhere Mathematik x 3 Wegen < x < y < > x > y > < x < y < ist f in, ] eine streng monoton steigende Funktion, dort gilt also fx) lim x + x. Jede Umgebung U δ ) enthält also Stellen beispielsweise x δ/), deren Funktionswerte nicht nicht in U /4 f )) liegen. Es ist also nicht möglich, zu jeder Umgebung U : U ε f )) und dem Definitionsbereich M :,) eine Umgebung V : U δ ) zu finden, dass f V M ) U gilt. Zusammenfassend ist f an x und x stetig und an x 3 unstetig. Aufgabe H 49. Iteration Zu Beginn Schritt ) wird ein Kreis vom Radius r betrachtet. Diesem werden sieben gleiche Kreise maximaler Größe einbeschrieben, so dass es nur Berührungen, aber keine Überschneidungen gibt. Dieser Prozess wird wiederholt iteriert). a) Bestimmen Sie die Anzahl a n und die Radien r n der im Schritt n N neu entstehenden Kreise. b) Geben Sie die Gesamtlänge s n der Ränder aller Kreise an, die in jedem Schritt neu entstehen. Bestimmen Sie lim n s n. c) Geben Sie die Gesamtlänge aller Ränder an, die bis zum Schritt n entstanden sind. d) Geben Sie die Gesamtfläche der im Schritt n N neu entstehenden Kreise an. Bestimmen Sie den Grenzwert dieser Gesamtfläche für n. Lösungshinweise hierzu:

5 4. Gruppenübung Höhere Mathematik a) In jdem Schritt wird aus einem bestehenden Kreis sieben neue: a n+ a n a n 7 n. Je drei neue Kreise füllen den Durchmesser eines bestehenden Kreises: r n+ ) n 3 r n r n r. 3 b) Der Umfang eines Kreises mit der Anzahl der neu entstehenden Kreis multipliziert ergibt die Gesamtlänge ) n ) n 7 s n πr n a n π r 7 n πr, 3 3 die bestimmt divergent ist: lim s n +. n c) Die Gesamtlänge aller bisherigen Ränder ist die Aufsummierung der neu entstehenden Ränder. n n ) k 7 ) 7 n+ 7 3 g n s k πr πr 3 7 3π ) n+ r ). 3 3 k k d) Die Fläche eines Kreises mit der Anzahl der neu entstehenden Kreise multipliziert ergibt die Gesamtfläche ) n 7 A n πrna n πr 9 mit dem Grenzwert lim A n. n

6 M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wied Blatt 5 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Hausübungen Teil, empfohlener Bearbeitungszeitraum: April Aufgabe H 5. Stetige Fortsetzung Geben Sie für jede der folgenden Funktionen den maximalen Definitionsbereich D R an und untersuchen Sie ihr Verhalten an den Rändern von D inklusive und + ). a) fx) x4 +x 3 x 3 x x+ b) gx) sin ) x c) hx) cos x)+ cosx) An welchen Punkten in R und mit welchen Funktionswerten lassen sich die Funktionen einseitig) stetig fortsetzen? Lösungshinweise hierzu: a) Der Bruch lässt sich zu x 4 +x 3 x 3 x x+ x+)x )x +3) x+)x )x ) umformen, ist also für D R\{,, } definiert. Innerhalb des Definitionsbereiches gilt dabei fx) x +3 x. Dies kann für die Grenzwerte an den Rändern verwendet werden. x +3 lim fx) lim x x x lim x+3/x x /x x +3 lim fx) lim x x x limfx) lim x x lim fx) lim x x lim fx) lim x + x + lim fx) lim x + x + x +3 x 4 4 x +3 x x +3 x + x+3/x /x + Somit lässt sich f an folgenden Stellen stetig fortsetzen: f ) 4, f) 4 3

7 5. Gruppenübung Höhere Mathematik An x weist f eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel auf, ist dort also nicht stetig ergänzbar. b) Der Nenner im Argument des Sinus ist x x )x + ), deshalb ist der maximale Definitionsbereich D R {,}. Mit lim x ± x ) ergibt sich lim gx) sin) lim gx). x x + Die Folge x n ) n N mit x n + konvergiert von rechts gegen x nπ. Die Funktionswerte konvergieren dagegen nicht: gx n ) sin sin n π ) nπ + sin nπ ) für n gerade für n 4k 3 für n 4k k N) Ein entsprechendes Verhalten findet sich durch linksseitige Annäherung an x mittels x n und an x nπ durch die Folgen mit x n ± nπ. Somit ist g in {,} weder stetig noch stetig ergänzbar. c) x ist definiert und stetig für x, cosx) ist definiert und stetig, falls cosx). [ ] 4k )π 4k +)π x,, k Z Insgesamt ist [ ] ) 4k )π D R + 4k +)π, k Z [, π ] [ 3π, 5π ] [ 7π, 9π ] Die Funktion ist in den Rändern des Definitionsbereichs und kπ,k N [, π ] [ 4k )π, k N ] ) 4k +)π

8 5. Gruppenübung Höhere Mathematik somit definiert und einseitig) stetig. Auf den negativen reellen Zahlen ist h nicht definiert, deshalb erübrigt sich eine Grenzwertbetrachtung für x. Die beiden Teilfunktionen h x) cos x), h x) cosx)) sind in folgender Skizze abgetragen h blau, h orange). Es lassen sich damit zwei Folgen y n ),z n ) konstruieren: Jeweils am linken Ende eines orangenen Bogens h y n ) ), der in einem Bereich liegt, in dem die blaue Funktion negativ ist h y n ) < ) schwarze Punkte hy n ) h y n )+h y n ) < In der Mitte eines orangenen Bogens h z n ) ), der in einem Bereich liegt, in dem die blaue Funktion positiv ist h z n ) > ) Kreise hz n ) h z n )+h z n ) > Die Funktionswerte beider Folgen sind beschränkt zumindest durch und ), besitzen somit je einen Häufungspunkt. hy n ) hat aber einen nicht-positiven Häufungspunkt, hz n ) hat einen. Somit besitzt h mehrere unterschiedliche Häufungspunkte, ist also nicht konvergent für x. Aufgabe H 5. Stetigkeit Bestimmen Sie die reellen Parameter a, b und c so, dass die folgenden Funktionen auf ganz R stetig sind. a)fx) ax +x, für x x 3 6 x), für x >, b)gx) bsinx), für x < π/, für x π/ c x, für x > π/ π Lösungshinweise hierzu:

9 5. Gruppenübung Höhere Mathematik a) Außerhalb von x ist f durch Quotienten stetiger Funktionen definiert und somit selbst stetig. Eine Polynomdivision ergibt x 3 x) x x ) und somit lim fx) lim x + x + lim fx) lim x x f ist also stetig für a. x 3 6 x) lim x + ax +x a. x x 6 b) Außerhalb von x π/ ist g aus stetigen Funktionen aufgebaut, somit stetig. Desweiteren gilt lim lim x π gx) x π bsinx) b π f ) c lim lim x π +gx) x π + π x c. Stetigkeit auch in x π/ liegt also vor, falls b und c 4. Aufgabe H 5. Funktionsgrenzwerte a) Bestimmen Sie folgende Funktionsgrenzwerte. sinx)) 5sinx)cosx/) lim x + x 3x 5x x3 +4 x 3x lim x sinx)/x b) Bestimmen Sie, für welche a R +,b R der Grenzwert lim x x sin ) x tanx) in R existiert. lim x x 5 ax+b Lösungshinweise hierzu: a) Der Zähler lässt sich abschätzen sinx)) 5sinx)cosx/) < sinx) +5 sinx) cosx/) < +5 6, und eine Erweiterung der Summanden im Nenner liefert lim sinx)) 5sinx)cosx/) 6 x + x 3x 5x x3 +4 < lim x + x 3x x 3x + 5x+4x 5+4x 3 3x Da sinx)/x für alle x R beschränkt ist, folgt sinx) lim x x sinx) lim x x x.

10 5. Gruppenübung Höhere Mathematik lim x x sin ) x tanx) b) Eine Erweiterung führt auf lim x lim x 5 ax+b lim x x lim x lim x xsin ) sinx) x x cosx) lim xsin ) x x sinx) lim x x x 5 ax+b ) x 5+ ax+b ) x 5 ax b x 5+ ax+b x 5+ ax+b a x+ 5x + a+ b x 5 b x 5+ ax+b. Der erste Summant konvergiert nur, falls a, der zweite konvergiert immer: b R. Aufgabe H 53. Gleichheitsproblem Gegeben sind die Funktionen f: π, π) R: x 4 x ) x tan ) und g: R R: x x. Zeigen Sie, dass die Gleichung fx) gx) mindestens drei Lösungen im Intervall π, π) hat. Hinweis: Untersuchen Sie das Verhalten von f für x π und x π+ und werten Sie f an x ± aus. Lösungshinweise hierzu: Die Funktion x h: x fx) gx) 4 x ) tan +x ) ist für x π+ bestimmt divergent nach + und für x +π bestimmt divergent nach. An x ± ist fx) und somit ist h ) und h). Da h als Summe aus einer steigen Funktion und einem Produkt stetiger Funktionen selbst auch stetig ist, muss nach dem Nullstellensatz in den Intervallen π, ),,) und,π) je eine Nullstelle liegen.

11 M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wied Blatt 6 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Hausübungen Teil, empfohlener Bearbeitungszeitraum: Mai Aufgabe H 54. Konvergenzkreise Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius ρ der folgenden Reihen und untersuchen Sie das Konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervals für z R. Skizzieren Sie die Konvergenzkreise. ) j j + j a) z j b) k!z + i) k j 3j + j + 7 k ) 3l + ) l l l c) z l d) z m! l + l3 m Lösungshinweise hierzu: a) Entwicklungspunkt z Konvergenzradius ) j lim j j + j j 3j + j + 7 lim + /j /j j 3 + /j + 7/j 3 ϱ 3 In den reellen Randpunkten z ±3/ wird die Potenzreihe zu ) j j + j ± 3 j ) j ± 3j + j + 7 ) 6j + 3j 3. 6j + 4j + 34 j j } {{ } :a j Eine Polynomdivision ergibt mit einer Abschätzung für j 37) ) j j + 37 a j j ) j 6j + 4j j 3j und die Substitution n 3j führt auf a j ) n/3 3 ) n n 3 n n e. Die Reihenglieder bilden somit keine Nullfolge, weshalb die Reihe nicht konvergieren kann. b) Entwicklungspunkt z + i Konvergenzradius k + )! lim k k! lim k k + ϱ Der Konvegenzkreis enthält keine reellen Punkte, eine Randuntersuchung erübrigt sich. ) j

12 6. Gruppenübung Höhere Mathematik c) Entwicklungspunkt z Konvergenzradius l lim 3l + ) l l l 3l + ) l l lim lim l l + l l + l 3 + ) l) } {{ } 4, l gerade, l ungerade + l In den reellen Randpunkten z ± l3 ) 3l + ) l l l ± l l + ) wird die Potenzreihe zu ± 3l + )l l 4l + Für die geraden Reihenglieder gilt dabei a l ± l ) l ) l 8l 8l )l ) 8l + ) l ) l 8l l l + 8l + 8 l + l + l + ) ) l e l l3 ϱ ) l ) l Somit liegen unendlich viele Folgenglieder außerhalb der e -Umgebung von Null, deshalb kann dies keine Nullfolge sein. Die zugehörige Reihe konvergiert somit nicht. d) Entwicklungspunkt z Die Potenzreihe hat die Koeffizienten m z m! + z + z + z 6 + z a n ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,... ) und damit gilt für den Konvergenzradius lim n n an ϱ. Der reelle Rand des Konvergenzkreises sind somit die Punkte z ±. In z ist die Potenzreihe m! +. m m

13 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Die Fakultät ist für alle m gerade enthält mindestens den Faktor ), somit gilt in z Aufgabe H 55. ) m! + m a) Berechnen Sie e iπ. ) m! + m Auswertung Exponentialfunktion +. b) Bestimmen Sie mit Hilfe eines geeigneten elektronischen Hilfmittels für n {,,..., } die Summe n iπ) k s n :. k! k m c) Bestimmen Sie das minimale n, für welches s n s < ist. Lösungshinweise hierzu: a) Die Formel von Euler-Moivre liefert b) Es ergibt sich e iπ cosπ) + i sinπ). s + s i s i s i s i s i s i s i s i s i s i c) Mit s n s s n ist der Fehler der n-ten Annäherung an s : s 9 s s s und somit für n zum ersten Mal kleiner als.

14 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 56. Summe und Produkt von Potenzreihen Gegeben sind jeweils auf den Konvergenzkreisen M f, M g C die Funktionen f : M f C: x n ) n n + x n, g : M g C: z k k + ) / z k k. Bestimmen Sie die Konvergenzradien von f und g sowie M f und M g. Geben Sie die Potenzeihen von u f + g, v f g und deren Konvergenzradien an. Lösungshinweise hierzu: Konvergenzradius von f : lim a n+ n a n lim ) n+ n + n n + ) n lim n n + n + ϱ f Konvergenzradius von g: lim b n+ n b n lim k + ) / k k k+ k + ) / lim k k + k + ϱ g Somit sind die Konvergenzkreise der beiden Funktionen M f U ), M g U ). Zur Ermittlung der Potenzreihe der Summe muss auf die korrekte Wahl der Bezeichner geachtet werden. uz) fz) + gz) n ) n n + + Potenzreihe des Produktes: n ) vz) fz) gz) a n k b k z n n n k n ) n ) k k k + n k + ) ) n + )/ z n n z n n k n + + ) n n n n + z n n ) ) n k k + ) / n k + Nach den Rechenregeln für Potenzreihen konvergieren sowohl u als auch v für z < min{ϱ f, ϱ g }. Dass dies auch der Konvergenzradius von u bzw. v ist d.h. dass die Reihen für z > divergieren), kann direkt nachgerechnet oder aus den Grenzwertsätzen und den unterschiedlichen Konvergenzradien gefolgert werden: Für u liefert das Wurzelkriterium lim n n n + + ) n n n +, k z n

15 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Bruch mit mit n erweitern, lim n n + ) also den Konverrgenzradius. Andererseits kann aus den Konvergenzsätzen gefolgert werden, dass die Summe einer konvergenten Reihe und einer divergenten Reihe nicht konvergent sein kann. Daher kann uz) für z die im Kreisring mit ϱ f < z < ϱ g liegen nicht konvergent sein. Der Konvergenzradius der Potenzreihe u muss also ϱ f sein. Entsprechend kann für das Produkt argumentiert werden. Allerdings muss hier darauf geachtet werden, dass der Grenzwertsatz für Quotienten aus Folgen zur Anwendung kommt, und daher die Nennerfolge in diesem Fall die Partialsummenfolge für g), nicht den Grenzwert Null haben darf. Dies ist z.b. für reelle z, ) der Fall. Hier treten in gz) nur positive reelle Summanden auf, von denen der erste ist. Damit ist gz) eine reelle Zahl und die Produktreihe vz) kann für diese z nicht konvergent sein. Somit ist der Konvergenzradius nicht größer als. Auch für die Produktreihe v kann der Konvergenzradius direkt bestimmt werden. Die inneren Summen, also die Koeffizienten a n der Potenzreihe, können für n > 3 mit a n /4n) nach unten abgeschätzt werden allerdings ist der Nachweis dieser Abschätzung etwas aufwändiger). Daher ist lim n a n und somit der Konvergenzradius auf jeden Fall. Zusätzliche Bemerkung: Aufgrund der Tatsache, dass Potenzreihen immer Kreise als Konvergenzgebiet besitzen, liefert ein einziger divergenter Punkt bereits eine obere Schranke für den Konvergenzradius. Bei u und v kann jeweils der Punkt z verwendet werden, um den Konvergenzradius mit nach oben zu beschränken. Aufgabe H 57. Trigonometrische Funktionen a) Geben Sie die Exponentialschreibweise re iϕ, r, ϕ [, π) der Zahlen w : 3+i und z : 6 w 7 an. b) Zeigen Sie mit Hilfe der Formel von Euler und de Moivre, dass für alle z C die folgenden Gleichungen gelten. cosz) e iz + e iz i sinz) e iz e iz c) Verifizieren Sie die Additionstheoreme mit Hilfe von b) für alle z, w C. sinz) ) + cosz) ) sinz + w) cosz) sinw) + sinz) cosw). Lösungshinweise hierzu: a) w 3 + i ) 3 + π ) π )) i cos + i sin e i π z 6 w e i7 π 6 e i 7π 6 Dabei liegt 7π/6 im Intervall [, π), das Argument muss also nicht verschoben werden.

16 6. Gruppenübung Höhere Mathematik b) Mit der Formel von Euler und de Moivre folgt e iz + e iz cosz) + i sinz) + cos z) + i sin z) cosz) + i sinz) + cosz) i sinz) cosz) und e iz e iz cosz) + i sinz) cosz) + i sinz) i sinz) c) sinz) ) + cosz) ) i e iz e iz)) + e iz + e iz)) 4 eiz + e 4 e iz + 4 eiz + e + 4 e iz cosz) sinw) + sinz) cosw) i e iz + e iz) e iw e iw) i e iz e iz) e iw + e iw) 4 4 i 4 eiz+w) + e i z+w) e iz w) e iz+w) + e iz+w) e i z+w) + e iz w) e iz+w) ) i eiz+w) e iz+w) ) sinz + w)

17 M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wied Blatt 7 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 58. Differenzierbarkeit Untersuchen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten, ob die Funktion f an der Stelle x und die Funktion g an den Stellen x und x differenzierbar sind. f :R R : x x x+ für x x+) für x < g :R R : x x 3 +x x+ Lösungshinweise hierzu: Betrachtet wird der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten von f an der Stelle x. fx) f) lim x x lim x x+) x lim x+) x x Dieser existiert nicht, die Funktion kann also an x nicht differenzierbar sein. Dies gilt, obwohl der links- und rechtsseitge Grenzwert der Ableitung für x > f x+) x) x+ für x < in x übereinstimmen. Die Funktion g lässt sich abschnittsweise ohne Beträge schreiben: x ) 3 +xx+) für x gx) x ) 3 +xx+) für x < x ) 3 xx+) für x < x 3 x +4x für x x 3 +4x x+ für x < x 3 +x 4x+ für x < Für den Differenzenquotienten an x ergibt sich somit mit Hilfe von Polynomdivisionen) gx) g ) lim x x+ lim x + gx) g ) x+ x 3 +x 4x 7 lim x x+ lim x + x 3 +4x x 7 x+ lim x x +3x 7 lim x + x +5x 7 3,

18 7. Gruppenübung Höhere Mathematik die Grenzwerte stimmen also nicht überein, die Funktion ist in x nicht differenzierbar. In x erhält man analog gx) g) lim x x lim x + gx) g) x x 3 +4x x lim x x lim x + x 3 x +4x 3 x die Funktion ist somit in x differenzierbar. Aufgabe H 59. Ableitungen lim x x +3x+ 3 lim x + x x+3 3, Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich sowie die erste und zweite Ableitung der Funktionen a) fx) ln tanx) ), b) gx) x + x 4, c) hx) lnx) ) x. Lösungshinweise hierzu: a) Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Punkte x R, an denen der Tangens positiv ist. D kπ,kπ + π ) k Z Die Ableitungen lauten f x) tanx) cosx) ) f x) cosx)cosx)+sinx)sinx) sinx)cosx) ) cosx) sinx) cosx) ) sinx)cosx), cosx) ) sinx) ). b) Der Nenner ist nicht definiert für x < 4 x,) und verschwindet in den Randpunkten x ±. D R [,] Die Ableitungen berechnen sich mit der Quotientenregel f x) x x 4 x x +) x 4 x 4 xx 4) x +)x x 4) 3/ x3 9x x 4) 3/ f x) 3x 9)x 4) 3/ x 3 9x) 3 x 4) / x x 4) 3 3x 9)x 4) 3xx 3 9x) x 4) 5/ 6x +36 x 4) 5/

19 7. Gruppenübung Höhere Mathematik c) Die Potenz ist definiert, falls die Basis positiv ist, d.h. der Definitionsbereich ist D, ). Mit der Umformung ) ) x lnx) e xln lnx) können die Ableitungen durch die Kettenregel berechnet werden. ) f x) e xln lnx) ln lnx) ) +x ) lnx) ) x ln lnx) ) + lnx) x lnx) [ f x) lnx) x ln lnx) ) + ) ] + lnx) xlnx) xlnx)) ) Aufgabe H 6. Differentiation der Umkehrfunktion a) Bestimmen Sie Definitions- und Wertebereich der Funktion f: D W: x ln+e x ) und ihrer Umkehrfunktion f. Bestimmen Sie die Ableitung von f. b) Zeigen Sie, dass jede der folgenden Funktionen f auf dem Intervall,) eine Umkehrfunktion f besitzt, und berechnen Sie deren Ableitung jeweils an der angegebenen Stelle y y. i) fx) x 3 +x+, y ii) fx) x +x, y 3 Lösungshinweise hierzu: a) Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend und stets positiv, die Logarithmusfunktion ist streng monoton wachsend. Daraus folgt Die Umkehrfunktion lautet somit expx): R R + ln+expx)): R ln+), ) R +. f : R + R: y lne y ), und die Ableitung der Umkehrfunktion ergibt sich zu d dy f y) f x ) +ex e x yfx ) ey e y oder direkt zu d dy f y) d dy lney ) ey e y.

20 7. Gruppenübung Höhere Mathematik bi) Die Ableitung der Funktion ist f x) 3x +. Da diese stets positiv ist, ist die Funktion streng monoton wachsend und somit umkehrbar. Der Funktionswert y ergibt sich für x, damit ist die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle f) d dy f y) /f ). yf) bii) Die Ableitung der Funktion ist nach der Quotientenregel f x) +x) x) +x) +x). Diese rationale Funktion hat keine Nullstelle und einen Pol bei x. Somit ist f in,) streng monoton und damit umkehrbar. Der Funktionswert y ergibt sich 3 für x, somit ist die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle y f/) d dy f y) /f /) 9/4 yf/) 9 8. Aufgabe H 6. Lineare Funktionen Die Funktion f sei an einer Stelle x R differenzierbar und genüge für alle x,y R der Gleichung fx+y) fx)+fy). a) Zeigen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten, dass f auf ganz R differenzierbar und die Ableitung konstant ist. Hinweis: Verwenden Sie x x x ) + x, um den Differenzenquotienten geeignet umzuformen. b) Beweisen Sie, dass eine Konstante a R existiert mit fx) ax für alle x R. Hinweis: Verwenden Sie folgende Umformung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung: fx) fx )+f ξ)x x ), ξ x,x ) Lösungshinweise hierzu: a) Durch Verwendung des Hinweises folgt f x) lim h fx+h) fx) h lim h fx+h+x x ) fx+x x ) h lim h fx +h)+fx x ) fx ) fx x ) h lim h fx +h) fx ) h f x ). Somit ist f auf ganz R differenzierbar und die Ableitung konstant.

21 7. Gruppenübung Höhere Mathematik b) Sei a : f x ), dann gilt nach dem Mittelwertsatz für alle x R fx) fx )+f ξ)x x ) fx )+ax x ) ax+c mit der Konstanten c : fx ) ax. Allerdings muss gelten: Folglich muss c sein, weshalb bewiesen ist. fx+y) fx)+fy) ax+y)+c ax+c+ay +c ax+y)+c fx) ax

22 M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wied Blatt 8 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 6. Regel von l Hospital Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. lnx) a) lim x x ) x 6 x 3 x b) lim x x coshx) ) tanx) c) lim ) x d) lim sinx) x π sinx) cosx) Lösungshinweise hierzu: a) lnx) lim x x ) lnx) lim x x x lim x Dabei ist der erste Summand vom Typ, hierauf kann also die Regel von l Hospital angewandt werden. lnx) lim x x ) /x lim x x b) Es liegt der Fall vor, die Regel von l Hospital ergibt x 6 x 3 x lim x x lim x 6 x ln6) 3 x ln3) ln6) ln3) ln) ln ). c) Zunächst liegt der Fall vor, deshalb folgt mit der Regel von l Hospital coshx) sinhx) lim ) x lim sinx) x sinx)cosx) lim sinhx) x sinx). Auch hier findet sich die Situation, eine nochmalige Anwendung der Regel von l Hospital ergibt coshx) coshx) lim ) x lim sinx) x cosx). d) Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion lässt sich der gegebene Grenzwert zu lim x π sinx) cosx)) tanx) lim e tanx) lnsinx) cosx)) x π exp lim tanx) lnsinx) cosx)) x π )

23 8. Gruppenübung Höhere Mathematik umformen. Für den Exponenten ergibt sich lim x π tanx) lnsinx) cosx)) lim x π lnsinx) cosx)) tanx) es findet sich also die Situation. Die Regel von l Hospital ergibt lim x π tanx) lnsinx) cosx)) lim x π cosx) + sinx) sinx) cosx), ) sinx), der gesuchte Grenzwert ist also e /e. Aufgabe H 63. Taylor-Entwicklung Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Taylorpolynome der Stufe 3 zum angegebenen Entwicklungspunkt x. a) fx) +x+3x, x b) gx) e x sinx), x c) hx) x 3, x 4 Verwenden Sie in Teil c) die binomische Reihe. Lösungshinweise hierzu: a) Auswertung der Ableitungen am Entwicklungspunkt ergibt b) Die bekannten Potenzreihen fx) +x+3x, f x) +6x, f x) 6, f 3) x) f 4) x) fx) f)+f )x )+ f ) x ) +x 3 +x 4 7+4x )+3x ). e x x+ x) + 6 x)3 + x+ x 6 x sinx) x+ 3! x3 + 5! x3 +...

24 8. Gruppenübung Höhere Mathematik ergeben durch Multiplikation die Potenzreihe von g. x+ x ) 6 x x+ 3! x3 + ) 5! x x x + ) x Das Taylorpolynom der Stufe 3 entspricht der Potenzreihe von g, bei der Terme zu hoher Ordnung vernachlässigt werden. T 3 g,x,) x x + 3 x3 Dies entspricht dem Ergebnis, das man durch die Ableitungen elementar erhält: gx) e x sinx) g) gx) e x sinx)+cosx) ) g ) gx) e x cosx) g ) gx) e x cosx)+sinx) ) g ) T 3 g,x,) x x + 3 x3 c) Die Funktion h lässt sich schreiben als hx) x 3 +x 4)) /, was sich mit Hilfe der binomischen Reihe darstellen lässt als ) / hx) x 4) n + n x 4) 4 x 4) + 6 x 4)3.... n Das gesuchte Taylor-Polynom ist somit T 3 h,x,4) + x 4) 8 x 4) + 6 x 4)3. Auch hier erhielte man durch Auswertung der Ableitungen und Verwenden der Definition dasselbe Polynom. Aufgabe H 64. Approximationsfehler Gegeben ist die Funktion f: R + R: x lnx). a) Geben Sie eine Formel für die n-te Ableitung von f für n an und beweisen Sie diese mit Hilfe einer vollständigen Induktion. b) Bestimmen Sie eine obere Schranke für den Fehler des Taylor-Polynoms der Stufe n von f mit Entwicklungspunkt x auf dem Intervall [,].

25 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Lösungshinweise hierzu: Die Funktion fx) lnx) hat die Ableitungen f n) x) ) n+ n )!x n. IA : n f x) x )!x IS : n n+: f n+) x) f n) x) ) ) n+ n )!x n) ) n+ n )! n)x n ) n+)+ n+) )!x n Somit ist das Restglied der Taylorentwicklung R n f,x,) )n+ n!ξx,x n x n+ n+)! n+ ) n+ x ξ x,x für x [,], ξ x,x,x). Eine obere Schranke wird für ξ und x erreicht, dort ist der Fehler kleiner als n+) n+. Aufgabe H 65. Taylorentwicklung mittels Potenzreihen Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Taylor-Polynome der Stufe 3 zum Entwicklungspunkt x, indem Sie bekannte Potenzreihen verwenden. f x) e x f x) x ) f 3 x) x ) e x ) Lösungshinweise hierzu: Aus der bekannten Potenzreihe der Exponentialfunktion folgt e x +x+ x! + x3 3! + x4 4! +... f x) e x x+ x! + x3 3! + x4 4! +... T 3 f,x,) x+ x + x3 6. Die Funktion f ist als Polynom bereits eine Potenzreihe, es gilt also f x) x ) x+x T 3 f,x,).

26 8. Gruppenübung Höhere Mathematik DasTaylorpolynomvon f 3 ergibtsichschließlichdurchmultiplikationderbereitsberechneten Reihen unter Vernachlässigung der Terme höherer Ordnung). f 3 x) f x) f 3 x) x+x ) ) x+ x + x x x +x 3 )+ x+x ) x + x+x ) x x x +x 3 + x x x x 3 x + 6 x T 3 f 3,x,) x 3 x + 6 x3

27 M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wied Blatt 9 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 66. Kurvendiskussion x + falls x Gegeben sei f : D R: x x + falls < x <. x ) 3x ) falls x Führen Sie eine Kurvendiskussion von f durch, wobei Sie mindestens die folgenden Punkte bearbeiten sollen: maximaler Definitionsbereich, maximaler Wertebereich, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Nullstellen, lokale Extrema, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs, Skizze. Lösungshinweise hierzu: Der maximale Definitionsbereich ist D R. f hat keine Unstetigkeitsstelle. Denn in den einzelnen zu betrachtenden Intervallen handelt es sich um steige Funktionen und an den Übergängen konvergieren die Grenzwerte gegen die Funktionswerte. Es ist lim x + x + f ) und lim f). x f auf, ] ist in x nicht differenzierbar, da x+) x+ x+ + lim lim x x+ x und. Jeweils im Inneren der anderen x+ + x+, lim lim x + x+ x + x+ Intervalle handelt es sich um Polynome und somit ist f dort differenzierbar. Nun betrachten wir die einzelnen Übergänge sprich x und x ). x+ + x+ lim x+ x+ lim x lim x + lim x lim x + lim x + x x + ) +) x+ lim x + ) +) x lim x x + x + x+ lim x + x lim x ) 3 x ) ) 3 x lim x )3x 4x+6) x 5. x + x x + x )x+) x x )x+) x+, x ) 3x ) 3x lim 3 7x +6x 6 x x + x Es ist f an den Übergängen nicht differenzierbar. Für die Nullstellen von f setzt man fx)!. Wir betrachten f wieder der Reihenfolge nach in den einzelnen Intervallen. In, ] ist f wegen des Betrages stets größer oder gleich Null, die Nullstelle ist an x. In, ) gibt es keine Nullstelle, da x + x x ± und ± /, ) gilt. In [, ) kann man die Nullstelle x ablesen. Die andere Nullstelle von x ) 3x ) liegt nicht im betrachteten Intervall und ist somit nicht relevant.) f hat demnach die Nullstellen x und x. Nun suchen wir die lokalen Extrema. Aus vorigen Überlegungen für das Intervall, ) ist klar, dass an x ein lokales Minimum ist denn fx) > für x und f ) ). An allen anderen Stellen verschwindet die Ableitung nie, es existieren somit keine kritischen Punkte. In, ) ist f differenzierbar und es gilt f x) x, fx) x. Weiter gilt f x) und f ), es handelt sich also um ein lokales Maximum. In [, ) gilt f x) x ) 3x ) + 3x ) x )3x ) + 3 x )) und

28 9. Gruppenübung Höhere Mathematik f x) x x 4 8 / [, ), weiter gilt lim x 4,5 9 x ) 3x ) und lim x x + ) 3x ), da x ) und 3x für x ±. Es handelt sich also um ein lokales Minimum. Wir haben somit die lokalen Minima, ) und, ) und das lokale Maximum, ). Es gilt an den Rändern lim x + und lim x x x ) 3x ). Zuletzt noch den Wertebereich. Dieser ist nach obigem R +. Skizze: Aufgabe H 67. Integration Berechnen Sie a) sinx)) d x c) cosx) sinx) d x b) d) x sinx) d x sinhx + ) ) x + ) coshx + ) ) Lösungshinweise hierzu: [ ] a) sin x) d x sin x cos x cos x d x [ ] sin x cos x + x sin x d x [ ] sin x) d x x sin x cos x) [ ] b) x sinx) d x x cosx) + x cosx) d x d x [ ] sin x cos x + sin x d x

29 9. Gruppenübung Höhere Mathematik c) d) [ ] x cosx) + x sinx) cosx) sinx) d x cosx)) x) fx) [ ] sinx) d x x cosx) + x sinx) + cosx) d x cosx)) tanx) d x cosx) sinx) cosx) cosx) ] [ ln tanx) ) f tanx) d x sinhx + ) ) x + ) d x coshx + ) ) Form f x)/fx) ist. [ ] ln coshx + ) ) ), da der Integrand von der Aufgabe H 68. Sei K ein geometrischer) Körper. Wenn es eine Höhen-)Richtung gibt, zu der jeder senkrechte Schnitt Kreisgestalt hat und sich der Radius r rh) stetig in Abhängigkeit von der Höhe h ausdrücken lässt, so gilt für das Volumen V K) π b a rh)) d h, wobei a die minimale und b die maximale Höhenausdehnung des Körpers seien. Betrachten Sie einen Körper mit rh) cosh) und einer minimalen Höhe a und einer maximalen Höhe b π. Skizzieren Sie den Körper und berechnen Sie das Volumen. Stellen Sie eine Gleichung für die Höhe b auf, bei der 75 % des Volumens erreicht werden. Können Sie diese Gleichung ohne elektronische Hilfsmittel) lösen? Gibt es eine Lösung? Lösungshinweise hierzu: π π π π cosh)) d h π π 4 d h 4π cosh) d h + π cosh)) d h [ [ π [ [ π 4π h 4π sinh) + [ π [h π + sinh) cosh) 8π + π 9π, [ ] wobei cosx)) d x + sinx) cosx) + sinx)) d x [ ] [ ] + sinx) cosx) + cosx)) d x + sinx) cosx) + x cosx)) d x [ ] also cosx)) d x x + sinx) cosx)). Das Volumen des Körpers ist 9π. 75 % von 9π sind 3 4 9π 7π. Zu lösen ist folgende Gleichung: 4 7π b π cosh)) d h, 4 [ ] also 7π b [ ] b 4π h 4π sinh) + ] b [h 4 π + sinh) cosh)

30 9. Gruppenübung Höhere Mathematik somit 7π 4 Skizze 4b 4 sinb) + el. Hilfsmittel b + sinb) cosb)) b 3, 996, 74π. Aufgabe H 69. Taylor a) Die Funktion f : R R: x cosx) hat die folgenden Eigenschaften: f f f) f ) Weisen Sie nach, dass die Funktion f durch diese Eigenschaften eindeutig bestimmt ist. Stellen Sie dazu die Taylorreihe T f, x, ) auf und zeigen Sie, dass diese gegen f konvergiert. Hinweis: Verwenden Sie A x : sup{fξ) ξ x } und B x : sup{f ξ) ξ x }. b) Gegeben sei die Funktion F : R R: x x cost ) d t. Entwickeln Sie die Funktion F unter Verwendung der Potenzreihe aus a) in eine Potenzreihe um x. Dazu brauchen Sie die Funktion F selbst nicht zu berechnen.) Lösungshinweise hierzu:

31 9. Gruppenübung Höhere Mathematik a) Wir stellen das n-te Taylorpolynom auf und betrachten das zugehörige Restglied. Dies ist gegeben durch R n fx), x, ) f n+) ξ) x n+, wobei ξ zwischen x und liegt. n+)! Wir benötigen eine Abschätzung für die n + )-te Ableitung. Hierzu betrachten wir, die im Hinweis gegebenen Zahlen, A x und B x. Wir definieren m x : max{ A x, B x } und sehen ein, dass f n+) ξ) m x gilt dies folgt mit der ersten Eigenschaft, bzw. durch Ableiten dieser). Der Betrag des Restgliedes lässt sich also durch mx n+)! x n+ nach oben abschätzen. Gleichzeitig wissen wir, dass diese Abschätzung für n gegen Null strebt. Somit verschwindet das Restglied für größe n, d.h. die Taylorreihe konvergiert gegen die Funktion. Nachsatz: Die Zahlen A x und B x sind stets endlich, da die Funktion durch ihre erste Eigenschaft auch stetig ist und ihr Definitionsbereich ganz R ist. b) Wir leiten F einmal nach x ab und erhalten F x) cosx ). Es ist xk k )k k)! die Potenzreihe für cosx), somit ist x4k k )k die Potenzreihe für cosx ). k)! F x) k x ) k t4k k)! d t k ) k k)!4k + ) x4k+. Proben: x ergibt den Wert, d k k d x k ) k k)! x t 4k d t k ) k k)!4k+) x4k+ k ) k k)! [ t 4k+ 4k + ] x ) k d k)!4k+) d x x4k+ ) k 4k k)!4k+) +)x4k x4k k )k, was genau die Potenzreihe für k)! cosx ) ist. Von den Studenten nicht erwartet. Aber zur Vollständigkeit werden nun noch die Konvergenzradien betrachtet um zu belegen, dass das, was gemacht wurde, auch legal ist. Es bleibt also noch zu betrachten, dass die Radien alle sind. 4k Es gilt für k, da cos ) den Konvergenzradius hat. Es bleibt k)! noch zu zeigen, dass 4k+ ebenfalls gegen Null strebt für k. k)!4k+) 4k+ 4k+ 4k+ für k.) k)!4k+) k)! 4k + } {{ } } {{ }, da 4k k)!

32 M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wied Blatt Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 7. Integration gebrochen rationaler Funktionen Man berechne die Integrale 4x a) x ) x+) dx x b) +x dx 3 x c) x +x+3) dx 3 d) +x dx 4 Hinweis: Es mag helfen, den Nenner zuerst komplex zu faktorisieren. Lösungshinweise hierzu: a) Ansatz: fx) 4x x ) x+) x x ). Substitution v x, dv x ergibt dx dv fx)dx v ) v [ ] x b) Es gilt x 3 + x+)x x+). Partialbruchzerlegung ergibt: x x+)x x+) a x+ + bx+c x x+ Einsetzen der Werte a, b, c 3 3 ergibt 3 [ 3 x+ + 3 x+ 3 x x+ dx 3 ln x+ + ] 3 ln x x+ [ ] 3 ln x+ +ln x x+ ) [ ] 3 ln x+)x x+) ) 3 [ln x3 + ] Andere Alternative ist die Substitution mit x 3 u: 3 +u du 3 [ln x3 + ]

33 . Gruppenübung Höhere Mathematik c) x x +x+3) 3 dx x+ x +x+3) dx } {{ 3 } I x +x+3) 3 } {{ } II dx [ ] Lemma I x +x+3) II x +x+3) dx 3 u x+ 8 u +) du 3 [ ]) Lemma u +) du+ u 4u +) [ arctanu)+ u ] [ ]) u + u + 4u +) [ ] [ ] 3 x+ x+) arctan )+ ) x x +x+3 x +x+3) Insgesamt ist das Ergebnis: x x +x+3) 3 dx [ 4x +x+3) 3 arctan 64 ] x+ 8x +x+3) [ x+3 8x +x+3) 3 64 arctan x+ )+ ) x+ 3 3 ) x+) x +x+3 ] x+. x +x+3 d) +x dx 4 x+x )+ +x ) dx Die speziellen Werte werden durch das folgende LGS bestimmt: ax+b x+x + cx+d + x+x dx b+d xa+ b+c d) x a+b c+d) x 3 a+c)

34 . Gruppenübung Höhere Mathematik und es ergibt sich a,b,c,d Einsetzen der Werte: x+ 4 x+x dx } {{ } I 4 + x+ + x+x dx } {{ } II x I 8 x+x dx+ 4 x+x dx [ ] 4 ln x+x )+ 4 arctan x+) x+ II x+x dx+ 4 + x+x dx [ ] 4 ln+ x+x )+ 4 arctan x ) Insgesamt ist das Ergebnis: +x 4 dx [ 4 ln x+x ln + x+x + 4 arctan x+) 4 arctan x ) ] Aufgabe H 7. krummlinig berandete Flächen GegebensinddieFunktionen f: [,] R: x x +x und g α : [,] R: x x+α für α R. a) Bestimmen Sie die Teilmenge I R der Elemente α, für welche {x [,] fx) g α x)}. Geben Sie für jedes α I die Menge {x [,] fx) g α x)} explizit an. b) Die Graphen von f und g α schließen zusammen in dem Bereich [,] eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche F α. Lösungshinweise hierzu: a) Zu untersuchen ist, für welche α R mindestens eine Lösung x der Gleichung fx) g α x) im Intervall [,] liegt. Es gilt: fx) g α x) x +x x+α x α. Dies wird für alle α durch x α oder x αgelöst. Letzteres braucht nicht weiter verfolgt zu werden, da nur Lösungen x [, ] interessant sind. Für α [ 4,] I folgt dann x [,].

35 . Gruppenübung Höhere Mathematik b) Um F α berechnen zu können, ist es nötig zu untersuchen, für welche x [,] die Ungleichung fx) g α x) erfüllt ist und für welche x [,] die Ungleichung fx) g α x) gilt. Die Funktion f g α ist als Differenz stetiger Funktionen stetig, also befinden sich diese Vorzeichenwechsel nur an Nullstellen f g α. In Teil a) wurde gezeigt, dass für α [ 4,] gilt: {x [,] fx) g α x) } {x [,] fx) g α x)} { α}. Für x [, α] ist fx) g α und für x [ α,] ist fx) g α x). Damit ergibt sich: F α α α α fx) g α x) dx [ 3 x3 αx fx) g α x) dx+ fx) g α x) dx+ x αdx+ ] α + α fx) g α x) dx α fx) g α x) dx α x +αdx [ ] 3 x3 +αx α 8 3 +α 4 3 α α. Für α > oder α < 4 muss das Integral nicht aufgeteilt werden. Es ist somit für α > F α und für α < 4 F α g α x) fx)dx fx) g α x)dx Aufgabe H 7. Integration durch Substitution Berechnen Sie a) sinlnx)dx α+x dx 8 3 +α x αdx 8 3 α. b) c) arctanx) dx +x lnx) dx

36 . Gruppenübung Höhere Mathematik Lösungshinweise hierzu: a) Substitution: lnx) u, du, x x dx eu sinu)e u du [sinu)e u ] cosu)e u du [sinu)e u ] [cosu)e u ] sinu)e u du Rücksubstitution ergibt: sinlnx))dx [sinlnx))x coslnx))x] b) Substitution: arctanx) u, du +x dx [ ] u du 3 u3 Rücksubstitution ergibt: arctanx)) +x dx [ ] arctanx)) 3 3 c) Substitution: lnx) u, du, x x dx eu u e u du [ u e u] ue u du [ u e u] [ue u ]+[e u ] Rücksubstitution ergibt: lnx) dx [ xlnx) xlnx)+x ]

37 M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wied Blatt Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 73. uneigentliche Integrale Konvergieren folgende Integrale? Berechnen Sie sie falls möglich). + 3 a) 3 x d x b) lnx) d x c) x 4 d x und d) arccosx) d x, für die Umkehrfunktion des Cosinus arccos: [, ] [, π] Lösungshinweise hierzu: a) b) lim b lim b 3 x d x lim exp ln3)x) d x lim b exp ln3)b) ln3) lnx) d x lim a [ x lnx) x a ] a a + exp ln3)) ln3) [ lnx) d x lim x lnx) a l Hopital ] b [ exp ln3)x) b ln3) exp ln3)) 3 ln3) ln3) 9 ln3) ] a Zum Gleichheitszeichen gekennzeichnet durch l Hopital: lnx) lim x lnx) lim lim lim x x x x x x x x a x x d x c) Die Funktion fx) hat Polstellen an x und x. Die Stelle ist in x 4 dem Intervall über das integriert wird. Wir zerlegen das Integral in x 4 d x + 3 d x. Wir betrachten diese Teilintervalle und zeigen, dass zumindest ein Integral x 4 divergiert und somit das ganze Integral nicht konvergiert. b x 4 d x lim b b x )x + ) d x PBZ lim b 4 x x d x [ lim b 4 ln x + + ] b 4 ln x ln b + ln b lim + + ln) ln) b lim ln4) ln b + b 4 4 Zum Gleicheitsheitszeichen gekennzeichnet durch PBZ:! A + B Ax )+Bx+) A+B)x A+B x 4 x+)x ) x+ x A+B A+B, also B)+B 4B und somit B, A. 4 4 d) Wir berechnen zuerst die Stammfunktion ohne Grenzen. d d x arccosx) [ ] x arccosx) d x x x arccosx) d x x [ ] Substitution: u x, d u x d x x d u [ ] [ u ] x arccosx) + u x x arccosx) [x arccosx) ] x Resub

38 . Gruppenübung Höhere Mathematik Zwischendurch am Term x x hat man sehen können, dass es sich um ein uneigentliches Intergral handelt da der Nenner gegen Null strebt für x ). Wir [ betrachten nun das bestimmte Integral x arccosx) ] x arccos) ) ) arccos). Aufgabe H 74. uneigentliche Integrale a) Hat die Fläche, die von den Graphen der Funktionen fx) arctanx) und gx) π und der Geraden x eingeschlossen wird, rechts der Geraden, x endlichen Inhalt? Berechnen Sie ihn gegebenenfalls. b) Konvergiert das Integral c) Konvergiert π Lösungshinweise hierzu: + exp x ) d x? cosx) sinx)) x d x? a) Es konvergieren f und g beide gegen π. Nun klären wir, ob f oder g größer ist auf [, ). Wir betrachten hierzu: arctanx) > π x tan ) tanarctanx)) > tan π x ) sin π ) x cos π ) cos ) x sin ) tan ) x x x x < tan ), diese Aussage ist wahr vgl...5). x Somit ist der f für alle x [, ) größer als g. Wir berechnen die Stammfunktion von arctanx). [ ] arctanx) d x x arctanx) x d d x arctanx)) d x d d x arctanx) [ ] +x x x arctanx) + x d x [ ] Substitution: u+x, d ux d x x arctanx) [ ] Resub. x arctanx) [ ] ln + x ) Jetzt betrachten wir + fx) gx) d x lim b b x u arctanx) π + x d x lim b [x arctanx) ln + x ) π x + ln x ] b lim b arctanb) b } {{ } ln + b ) π b + lnb) arctan) } {{ } π π 4 π 4 + ln) + lim b lnb) ln + b ) d u [ ] x x arctanx) [ ] ln u ) + ln) + π ln) } {{ }

39 . Gruppenübung Höhere Mathematik π 4 + ln) + lim lnb) ln + b ) π b } {{ } 4 + ln) Die Fläche hat den endlichen Inhalt π + ln). 4 b) Wir werden die Frage mit dem Majorantenkriterium beantworten. Hierzu zerlegen wir das Integral in drei Teile: + exp x ) d x exp x ) d x + + exp x ) d x exp x ) d x Auf dem Intervall, ] können wir exp x ) durch expx) nach oben abschätzen. [ ] Des Weiteren wissen wir expx) d x expx) lim a lim exp ) expa) a e < Auf dem Intervall, ) schätzen wir exp x ) durch nach oben ab und erhalten d x <. Zuletzt schätzen wir auf [, ) die Funktion durch exp x) ab und erhalten [ ] exp x) d x lim exp x) b lim b exp b) exp )) e < Wir haben eine konvergente Majorante gefunden, somit konvergiert das Integral. c) Wir finden eine divergente Minorante. cosx) sinx)) cosx)) sinx) cosx) + sinx)) d x d x x x π π sinx) cosx) d x x π sinx) cosx) für x [ π,] Dies ist bekannt als divergent aus der Vorlesung. π a x d x Aufgabe H 75. Ober- und Untersumme a) Zeigen Sie mit Hilfe von vollständiger Induktion, dass n k k 3 n 4 n + ) gilt. b) Es sei y > und f : [, y] R: x x 3. Berechnen Sie mittels Ober- und Untersummen y fx) d x. Wählen Sie dabei die Partitionen so, dass der Abstand zwischen zwei benachbarten Teilungspunkten immer gleich ist. Lösungshinweise hierzu: a) Beweis via vollständiger Induktion: IA k k3 + ) IH n k k3 n 4 4 n + )

40 . Gruppenübung Höhere Mathematik IS Betrachte n+) n+) n4 +4n 3 +4n +n 3 +8n +8n+n +4n+4 n4 +6n 3 +3n +n+4, dies soll das Ergebnis sein für n+ k k3. Berechne nun n+ k k3 wie folgt: n+ k k3 n k k3 + n + ) 3 n n + 4 ) + n 3 + 3n + 3n + n4 +n 3 +n + 4n3 +n +n+4 n4 +6n 3 +3n +n Wir haben somit Gleichheit, die Behauptung stimmt also. b) Wähle als Partition { n y, n y,, k n y,, n n y}. I k : inf{fx) x [ k y, k k )3 y]} y 3, S n n n 3 k : sup{fx) x [ k n n n k ) 3 Somit S I k x k x k ) y 3 y n n 3 n y4 n 4 k k k k k k y, k n k ) 3 y4 n 4 a) y4 n ) n y4 n n + n ) y4 4 für n n n k 3 und S S k x k x k ) y n n 3 y3 n y4 k 3 a) y4 n n + n 4 n 4 ) 4 y4 4 + n + n ) y4 4 für n. Aufgabe H 76. Funktionsanpassung Es sei f ein Polynom vom Grad 5 mit folgenden Eigenschaften: für alle c R gilt c c fx) d x fx) d x 6 fx) d x 9 f ) Bestimmen Sie f und fertigen Sie eine Skizze an. Lösungshinweise hierzu: f hat die Gestalt fx) c 5 a i x i. i k3 y]} y 3. n 3 n [ Nun berechnen wir! fx) d x a x + a c x + a 3 x3 + a 3 4 x4 + a 4 5 x5 + a ] c 5 6 x6 c a c + a c + a 3 c3 + a 3 4 c4 + a 4 5 c5 + a 5 6 c6 a c) + a c) + a 3 c)3 + a 3 4 c)4 + a 4 5 c)5 + a 5 6 c)6 ) a c + a 3 c3 + a 4 5 c5 ) a a a 4 Wir schreiben nun die anderen Eigenschaften auf und werden hieraus ein lineares Gleichungssystem erhalten. 6 fx) d x [ a x + a 3 4 x4 + a ] 5 6 x6 a + a a 5 6 ) j j 3

41 . Gruppenübung Höhere Mathematik Durchmultiplizieren mit liefert 6a + 3a 3 + a 5. 9 [ a fx) d x x + a 3 4 x4 + a ] 5 6 x6 a 4 + a a a + a a 5 6 ) a 4 + a a Durchmultiplizieren mit 6 liefert a + 4a + 64a 3 8. f x) a + 3a 3 x + 5a 5 x 4 f ) a + 3a 3 + 5a Insgesamt ergibt sich das LGS Dies hat die Lösung a, a 3, a 5. Das Polynom f hat somit folgende Gestalt fx) x x 3 + x 5. Skizze:

42 M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wied Blatt Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 77. Potenzreihen a) Berechnen Sie den Konvergenzradius ρ und die ersten zwei Ableitungen der Funktion f: ρ,ρ) R: x k3 ) k k +)k +) xk+ b) Finden Sie eine geschlossene Darstellung für f. c) Finden Sie eine geschlossene Darstellung für f. d) Zeigen Sie unter Verwendung der Potenzreihe für f, dass Lösungshinweise hierzu: a) Es gilt π 4 ) k k + k k3 ) k k +)k +) xk+ j4 j4 ) j j)j ) xj ) j j)j ) uj mitu x. Wir berechnenden Konvergenzradius in der Variablen u: j ) j lim j j)j ) lim j j lim j k j, j also konvergiert die Reihe für u. Rücksubstitution ergibt, dass die Reihe für x konvergiert. Summandenweises Ableiten ergibt f x) f x) ) k k + xk+ ) k x k k3 k3

43 . Gruppenübung Höhere Mathematik b) Innerhalb des Konvergenzbereichs gilt x <, daher handelt es sich um eine konvergente geometrische Reihe und es gilt f x) k3 x ) k x ) x +x 4) +x +x x 4 c) Integrieren ergibt [f x)] +x +x x 4 dx [arctanx) x+ 3 x3 5 ] x5. Einsetzen des Arguments liefert f x) arctanx) x+ 3 x3 5 x5. Nochmaliges Integrieren ergibt [ [fx)] xarctanx) ln +x x + x4 ] 3 x6. Einsetzen des Arguments liefert d) In Teil c) wurde fx) xarctanx) ln +x x + x4 3 x6. k gezeigt. Einsetzen von ergibt k ) k k + xk+ arctanx) ) k k + arctan) π 4. Aufgabe H 78. Stetigkeit Lassen sich die folgenden Funktionen im Ursprung stetig fortsetzen? a) f : R {,) } R: x,y) x+y x +y b) f : R {,) } R: x,y) x 4 y 4 Lösungshinweise hierzu: x +y

44 . Gruppenübung Höhere Mathematik a) Die Folge n,) n N konvergiert gegen,). Die Funktionswerte fx n,y n ) + n + n n konvergieren nicht. Also ist die Funktion im Ursprung nicht stetig ergänzbar. b) Im ganzen Definitionsbereich gilt x 4 y 4 x +y x 4 y 4 x +y x y x +y. Sei ε > gegeben. Für x,y),) < ε ist fx,y) x +y ε. Also lässt sich die Funktion durch den Funktionswert stetig fortsetzen. Aufgabe H 79. Γ-Funktion und Stirling-Formel Die Γ-Funktion siehe 3.7.) ist definiert durch Γ:,+ ) : R: x + e t t x dt. a) Zeigen Sie, dass Γ für alle x,+ ) die Gleichung Γx+) xγx) erfüllt. b) Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n die Gleichung Γn+) n! gilt. c) Zeigen Sie durch Betrachtung geeigneter Ober- beziehungsweise Untersummen, dass für jede natürliche Zahl n gilt: + n+ lnx )dx n lnk) k n+ lnx)dx d) Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt: n e e ) ) n n+ n+ n! e e Hinweis: Dies ist eine leicht vereinfachte) Version der sogenannten Stirling-Formel, die oft in der Form n! πn n e) n auftaucht. Lösungshinweise hierzu:

45 . Gruppenübung Höhere Mathematik a) Γx+) + +x t x e t dt [ e t t x] e t xt x dt t + t x e t dt xγx). b) Wir beweisen die Formel mit vollständiger Induktion: IA Der Werte von Γ) beträgt Γ) IH Sei Γn+) n! IS + e t dt [ e t] + )!. Γn+) n+)γn+) nach a) n+)n! nach IH n+)! c) Wir berechnen Untersumme der Funktion f: [,n+] R: x lnx). Bezüglich der Partition P : { k N k n+ } des Intervalls [,n+]: Sf,P) n lnk) k n inf { lnx) x [k,k +] } k +) k) k da der Logarithmus monoton strigend ist) Wir berechnen Obersumme der Funktion g: [,n+] R: x lnx ) bezüglich der Partition Q : { k N k n+ } des Intervalls [,n+]:: Sg,Q) n sup { lnx ) x [k,k +] } k +) k) k n lnk) k wieder aufgrund der Monotonie)

46 . Gruppenübung Höhere Mathematik d) n+ lnx )dx [x )lnx ) x )] n+ nlnn) n+ n lnk) k n k n+ lnx)dx lnk) [xlnx) x] n+ n lnk) n+)lnn+) n+)+ k e nlnn) n+ e n k lnk) e n+)lnn+) n+)+ n n e n e e lnn!) n+) n+) e n+) e n ) ) n n+ n+ e n! e e e

47 M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wied Blatt 3 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 8. kritische Stellen Berechnen Sie die kritischen Stellen folgender Funktionen. a) f: R R: x,y) 3 x3 +x y 3xy 4 b) f: R R: x,y) expx)y +x y) c) f: R 3 R: x,y,z) x 3 +x y xyz +yz +z 3 d) f: π, π )3 R: x,y,z) sinx)cosy)tanz) Lösungshinweise hierzu: Um die kritischen Stellen zu berechnen, setzen wir den Gradietenvektor gleich dem Nullvektor. a) gradfx,y) x + xy 3y 4,x y xy 3 )!,). Die partielle Ableitung nach x ist Null genau dann, wenn x, y ± 4y 4 4 3y 4 ) y ±4y y ±y, die partielle Ableitung nach y x y xy 3 xyx 6y )) ist Null genau dann, wenn x y oder x 6y. Beide Ableitungen verschwinden gleichzeitig nur für x y, d.h. f hat eine kritische Stelle in, ). b) gradfx,y) expx)y + x y) + expx)xy,y + x )expx))!,). Die partielle Ableitung nach x lässt sich auch so schreiben yy +x +x)expx), sie ist Null genau dann, wenn y oder y x x. Die partielle Ableitung nach y ist Null genau dann, wenn y x. Beide Ableitungen verschwinden gleichzeitig nur für x y, d.h. f hat eine kritische Stelle in, ). c) gradfx,y,z) 3x +xy yz,x xz +z, xy +yz +3z )!,,). Die partielle Ableitung nach y lässt sich schreiben als x z) und ist genau dann Null, wenn x z gilt. Setzen wir diese Bedingung in die anderen Ableitungen ein, so erhalten wir! 3x +xy xy 3x x in beiden Fällen. An y wird keine Bedingung gestellt. D.h. die partiellen Ableitungen verschwinden gleichzeitig für x, z und y beliebig. Die kritischen Stellen befinden sich bei,y,) mit y R. d) gradfx,y,z) cosx)cosy)tanz), sinx)siny)tanz), sinx)cosy) cosz)) )!,,). Die partielle Ableitung nach x verschwindet für z und beliebige x und y. Die partielle Ableitung nach y verschwindet genau dann, wenn x oder y oder z gilt. Zuletzt ist die Ableitung nach z Null, wenn x ist mit beliebigen y oder z. D.h. der Gradient ist der Nullvektor, falls x z und y beliebig. Aufgabe H 8. Richtungsableitung, Taylor Gegeben sei die Funktion f: R 3 R: x,y,z) expyz)coshx)+y +z) ).

48 3. Gruppenübung Höhere Mathematik a) Bestimmen Sie an der Stelle,,) die Ableitungen der Funktion f in die Richtungen 5,,) und 5,,). b) Berechnen Sie T f,x,y,z),,,) und T f,x,y,z),,,)). Welchen Fehler weist die Näherung von f durch T f,x,y,z),,,)) bzw. durch T f,x,y,z),,,)) an der Stelle,, ) auf? c) Bestimmen Sie unabhängig von a) und b)) mit Hilfe einer linearen Approximation einen Näherungswert für, +, +,9. Benutzen Sie dazu ein Taylor-Polynom der Stufe eins einer passenden Funktion g mit dem nächsten ganzzahligen Entwicklungspunkt. Lösungshinweise hierzu: a) Wir berechnen die partiellen Ableitungen: fx,y,z) sinhx)expyz) x fx,y,z) zcoshx)expyz)+zexpyz)y y +z) +y +z)expyz) fx,y,z) ycoshx)expyz)+yexpyz)y z +z) +y +z)expyz) Der Gradient ausgewertet an,,) ist also e,cosh)+8)e,cosh)+8)e). Die Richtungsableitung ergibt sich als Skalarprodukt aus der Richtung und des Gradienten. Es ergibt sich hier: 5,,) e,cosh)+8)e,cosh)+8)e) 5 +cosh)+8)e+cosh)+8)e) 3cosh)+8)e 5 3cosh)+4)e 5 und 5,,) e,cosh)+8)e,cosh)+8)e) 3cosh)+4)e 5 b) Wir berechnen nun die weiteren Ableitungen: x x fx,y,z) coshx)expyz) x y fx,y,z) y x fx,y,z) zexpyz)sinhx) x z fx,y,z) z x fx,y,z) yexpyz)sinhx) y y fx,y,z) expyz)z coshx)++4y +z)z +z y +z) ) y z fx,y,z) z y fx,y,z) expyz)yzcoshx)+yzy+z) +zy+z)+coshx)+y+z) +yy+z)+) z z fx,y,z) expyz)y coshx)++4y +z)y +y y +z) ) Es ist f,,) cosh)++) )exp) + und gradf,,),,4), sowie Hf,,)

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