Rechenstörungen: Ein Versuch der Begriffsklärung Mögliche Ursachen und tatsächliche Risikofaktoren... 6

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1 Inhalt Rechenstörungen: Ein Versuch der Begriffsklärung... 5 Mögliche Ursachen und tatsächliche Risikofaktoren... 6 Verfestigtes zählendes Rechnen als Symptom von Rechenstörungen... 8 Kennzeichen verfestigten zählenden Rechnens... 8 Begleiterscheinungen des verfestigten zählenden Rechnens... 9 Weitere Symptome von Rechenstörungen Probleme bei der Links-rechts-Unterscheidung Intermodalitätsprobleme Einseitige Zahl- und Operationsvorstellungen Diagnostische Möglichkeiten Fehleranalyse Das diagnostische Gespräch Das ElementarMathematische BasisInterview (EMBI) Bielefelder Rechentest für das zweite Schuljahr (BIRTE 2) Förderkonzepte und -schwerpunkte Förderkonzepte Förderschwerpunkte Elternarbeit Anhang Anhang 1: Mathematische Tests im schulischen Kontext Anhang 2: Aspekte des Zahlbegriffs Anhang 3: Weitere Ideen und Anregungen zur Förderung Literatur

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3 Rechenstörungen: Ein Versuch der Begriffsklärung Bezug: SINUS-Transfer Grundschule Modul G 4, S. 23 Arithmasthenie, Dyskalkulie, Rechenstörung, Rechenschwäche, alle diese Begriffe beschreiben im Grunde dasselbe Phänomen, nämlich besondere Schwierigkeiten beim Erlernen von Mathematik. Eine einheitliche wissenschaftliche Definition hierfür existiert nicht und die Aufzählung ließe sich auch noch beliebig weiterführen, wobei jeder Begriff immer auch einen Hinweis auf die Wissenschaftsdisziplin, der er entstammt, sowie die Ausprägung der mathematischen Schwierigkeiten oder einen Hinweis auf deren Ursachen enthalten kann. Die drei am häufigsten verwendeten Begriffe sind Rechenschwäche, Rechenstörung und Dyskalkulie, die zur Klärung hier kurz erläutert werden: Der Terminus Rechenschwäche wird bei Kindern angewendet, die einer Förderung jenseits des Standardunterrichts bedürfen (vgl. Lorenz/ Radatz 1993). Ungefähr 20% aller Schülerinnen und Schüler eines Jahrgangs gelten als rechenschwach, wobei mit dem Begriff jedoch keine Festlegung auf die Dauer, die Art oder die Ausprägung der Schwierigkeiten einhergeht. Etwa 4 6% aller Schülerinnen und Schüler eines Jahrgangs haben dauerhafte und schwerwiegende Probleme beim Erlernen des Rechnens, bei ihnen liegt eine Rechenstörung vor. Dieser Begriff wird verwendet, wenn Kinder aufgrund (noch) fehlender Voraussetzungen kein Verständnis für Zahlen, Rechenoperationen und Rechenstrategien aufbauen konnten. Die Verordnung über die Förderung von Schülerinnen und Schülern mit besonderen Schwierigkeiten beim Lesen, Rechtschreiben oder Rechnen (VOLRR) vom definiert in 1 folgendermaßen: Schülerinnen und Schüler mit besonderen Schwierigkeiten sind diejenigen, die trotz Förderung anhaltende Schwierigkeiten [ ] im Bereich des Rechnens haben (Hessisches Kultusministerium 2006). Der Begriff Dyskalkulie sollte nur dann verwendet werden, wenn eine Rechenstörung vorliegt und zugleich festgestellt worden ist, dass das betroffene Kind im Sinne des 35a SGB VIII (Sozialgesetzbuch VIII) seelisch behindert bzw. von einer solchen Behinderung bedroht ist. Denn Kinder kommen nur in den Genuss öffentlich finanzierter außerschuli- 5

4 scher Therapie, wenn im Sinne dieses Paragraphen eine seelische Behinderung bzw. Bedrohung belegt wird. Eine Rechenstörung allein rechtfertigt dagegen keine Maßnahme im Sinne des 35a. 1 Mögliche Ursachen und tatsächliche Risikofaktoren Bezug: SINUS-Transfer Grundschule Modul G 4, S Die Ursachen für Rechenstörungen sind unbekannt, wenn man den Begriff Ursache im Sinne von Kausalität verwendet. Dies bedeutet jedoch nicht, dass Beeinträchtigungen, z.b. in der visuellen Wahrnehmung, sich nicht negativ auf das Mathematiklernen auswirken können. Sie stellen einen großen Risikofaktor dar, weil Mathematiklernen oft über den visuellen Lernkanal stattfindet. Aus dem Risikofaktor Visuelle Teilleistungsstörung wird für das individuelle Kind aber erst dann eine Ursache für Rechenstörungen, wenn die schulische Kompensation dieser Beeinträchtigung (z.b. durch Lernen auch über andere Kanäle) nicht gelingt. Risikofaktoren dürfen aber nicht nur beim Kind selbst gesucht werden. Systematische Erziehung zur Unselbstständigkeit durch überbehütende Eltern oder soziale Vernachlässigung der Kinder können dazu führen, dass Kinder erhebliche Schwierigkeiten beim Mathematiklernen bekommen (Schipper 2005). Aber auch ein starres Curriculum, ein nicht auf alle Lernkanäle ausgerichtetes Lehrbuch oder ein schlechter Mathematikunterricht sind als Risikofaktoren zu benennen. Es sind wohl eher Ursachenfelder, die das Aufkommen von besonderen Schwierigkeiten beim Erlernen des Rechnens begünstigen können, sie aber nicht zwangsläufig zur Folge haben. Es kann davon ausgegangen werden, dass bei der Ausbildung einer Rechenstörung in nahezu jedem Fall die folgenden drei Ursachenfelder mitwirken: 1 Entscheidend ist hier der erste Satz des 35a, nach dem Kinder und Jugendliche, die seelisch behindert oder von einer solchen Behinderung bedroht sind, Anspruch auf Eingliederungshilfe haben. 6

5 Individuum Fähigkeiten, Interessen (Vor-)Wissen Anstrengungsbereitschaft Sensorische Beeinträchtigungen (visuell, auditiv, ) Aufmerksamkeit, Konzentration, Gedächtnis Angst, Schulisches Umfeld Lehrkraft Unterrichtsmethode Umgang mit Material Lehrbuch Mitschüler Sprache und Gespräche auf der Meta-Ebene Förderunterricht Familiäres und soziales Umfeld Familiäre Situation (Überbehütung, Vernachlässigung, Scheidung, Konkurrenz zwischen Geschwistern, Beherrschung der deutschen Sprache, Freizeitangebote, ) Art der Hausaufgabenbetreuung, Möglichkeiten der Nachhilfe (z.b. auch die finanzielle Situation der Familie), der psychologischen Beratung, der Fähigkeit der Eltern, die Probleme wahrzunehmen (Schipper 2005) Die Aufmerksamkeit der Lehrkraft muss sich in erster Linie auf das schulische Umfeld als möglichen Risikofaktor konzentrieren, da Veränderungen im eigenen Unterricht vergleichsweise schnell und einfacher vorgenommen werden können als im individuellen und familiären Bereich: Auf nichts haben Lehrer so viel Einfluss wie auf ihren Unterricht. Sie sollten ihn nutzen (Zitat Prof. Andreas Helmke, in: Spiewak 2005). 7

6 Verfestigtes zählendes Rechnen als Symptom von Rechenstörungen Bezug: SINUS-Transfer Grundschule Modul G 4, S , S Kennzeichen verfestigten zählenden Rechnens Verfestigtes zählendes Rechnen ist das zentrale Merkmal für Leistungsschwäche im mathematischen Bereich. Zwar verfügen auch zählende Rechner über Rechenstrategien, die sie aber zumeist nicht nutzen. Diese Kinder können bei Zahlen und Zahlrepräsentanten weder Strukturen erkennen noch diese anwenden, was auch zu einer mangelhaften Stellenwertvorstellung führen kann. Meistens werden zählende Rechner erst in der ersten Hälfte des zweiten Schuljahres auffällig, wenn im erweiterten Zahlenraum bis 100 addiert und subtrahiert wird. Diese Kinder, die im ersten Schuljahr einfach als etwas langsam galten, fallen plötzlich in ihrem Rechentempo deutlich hinter ihren Mitschülern zurück und versuchen, das zählende Rechnen zu verbergen, oder möchten das angebotene Material nicht nutzen. Bei Kindern, die zählend rechnen, ist häufig Folgendes zu beobachten bzw. zu beachten: Die Kinder verstecken ihre Hände unter den Oberschenkeln, hinter dem Rücken, unter dem Tisch, Alle möglichen Materialien die Fenster im Klassenraum, die Blumentöpfe auf den Fensterbänken, die Stifte im Mäppchen, werden als Zählmaterialien benutzt. Häufig wird das zählende Rechnen an solchen Gegenständen mit rhythmischen Kopfbewegungen begleitet. Zählendes Rechnen an den Fingern gelingt manchen Kindern mit nur minimalen Fingerbewegungen. Man sollte ihnen daher sehr genau auf die Finger schauen, auch wenn die Hände scheinbar unbeweglich auf dem Tisch liegen oder den Kopf stützen und das zählende Rechnen verdeckt im dichten Haar stattfindet. Aufgaben mit Zehnerüberschreitung [ ] sind [ ] gerade für zählende Rechner kritische Prüfaufgaben [ ]. Wer solche Aufgaben schnell und sicher mit einer guten Strategie [ ] rechnet, ist wahrscheinlich kein zählender Rechner. Bei schriftlich vorliegenden Aufgabenlösungen deuten gehäufte +/ 1-Fehler beim Rechnen im Zahlenraum bis 20 und +/ 10-Fehler beim Rechnen bis 100 auf zählendes Rechnen hin (Schipper 2005). Zu beachten ist, dass nicht schon ein einziger Hinweis genügt, um ein Vorliegen von verfestigtem zählenden Rechnen anzunehmen. Erst, wenn die Symptome über einen längeren Zeitraum und bei verschiedenen Aufgaben beobachtet werden, kann mit zunehmender Sicherheit davon ausgegangen werden, dass verfestigtes zählendes Rechnen vorliegt. 8

7 Begleiterscheinungen des verfestigten zählenden Rechnens Bezug: SINUS-Transfer Grundschule Modul G 4, S Kennzeichnend für verfestigte zählende Rechner sind Auffälligkeiten in sechs Bereichen, die eng mit dem zählenden Rechnen zusammenhängen: 1. Die Zerlegungen der Zahlen bis 10 sind nicht memorisiert. Da die Zerlegungen der Zahlen bis einschließlich 10 eine wichtige Voraussetzung für die Entwicklung der operativen Strategie des schrittweisen Rechnens (Zehnerübergang: bis 10, dann weiter) ist, sollten die Kinder diese Zerlegungen am Ende der ersten Klasse memorisiert haben. Die meisten zählenden Rechner haben aber nur ein geringes Repertoire an auswendig abrufbaren Zerlegungen und müssen sich diese daher meist durch Zählen erschließen. 2. Verfestigte zählende Rechner zeigen insgesamt nur ein geringes Repertoire an auswendig gewussten Aufgaben. Die Kinder sollten am Ende des ersten Schuljahres auch alle Additions- und Subtraktionsaufgaben im Zahlenraum bis 10 sowie die Verdoppelungs- und Halbierungsaufgaben im Zahlenraum bis 20 automatisiert haben, da dieses Wissen die Basis zur Entwicklung von Rechenstrategien bildet. Das geringe Repertoire an auswendig gewussten Aufgaben führt direkt in einen Teufelskreis: Weil die Kinder so wenige Aufgaben auswendig wissen, müssen sie immer wieder auf zählendes Rechnen zurückgreifen. Und weil diese Kinder immer wieder zählend rechnen, lernen sie nur so wenige Aufgaben auswendig (Schipper 2005). Das zählende Rechnen stellt eine hohe mentale Belastung dar, sodass die Kinder nach der Ermittlung der Lösung häufig die Aufgabe selbst vergessen haben; das Einprägen der Verbindung von Aufgabe und Lösung findet demnach nicht statt. Darüber hinaus ist zählendes Rechnen besonders fehleranfällig, sodass die Kinder bisweilen zur gleichen Aufgabe unterschiedliche Lösungen erhalten, was wiederum das Einprägen einer stabilen Aufgabe-Lösung-Verbindung verhindert. 3. Operative bzw. heuristische Strategien des Rechnens sind auch bei zählenden Rechnern manchmal (latent) vorhanden, werden aber nur selten genutzt. Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über Strategien, die im ersten und zweiten Schuljahr entwickelt werden: 9

8 a) das Verdoppeln bzw. Halbieren nutzen = 14 aus doppel-sechs plus zwei 14 6 = 8 aus 14 7 = = = 53 aus doppelfünfundzwanzig plus drei = 24 aus b) gegen- bzw. gleichsinniges Verändern = 14 aus (6 + 1) + (8 1) = doppel-sieben 12 7 = 5 aus (12 2) (7 2) = = 92 aus (34 2) + (58 + 2) = = 48 aus (76 + 2) (28 + 2) = c) Analogien nutzen = 17 weil = = 13 weil 9 6 = = 70 weil = = 30 weil 8 5 = 3 d) Hilfsaufgaben nutzen = 14 aus = 7 aus = 92 aus = 48 aus e) schrittweises Rechnen (Zerlegen des zweiten Summanden bzw. des Subtrahenden) = 14 aus = 8 aus = 92 aus = 48 aus f) Stellenwerte extra = 92 aus = = = = 48 aus = = ( 2) = 48 (Schipper 2005) 10

9 Ziel des Mathematikunterrichts in der Grundschule ist es, die Kinder zu befähigen, aus dem dargestellten Repertoire an Verfahren flexibel das jeweils optimale abhängig von den zu verrechnenden Zahlen auszuwählen (Schipper 2005). Von diesem Ziel des flexiblen Wählens der richtigen Strategie sind zählende Rechner jedoch weit entfernt. Sie verfügen zwar manchmal über diese Strategien, nutzen sie jedoch nur selten oder ungeschickt, weil sie mehr Vertrauen in ihre zählende Vorgehensweise haben. 4. Das Zahlenrechnen wird durch ein Ziffernrechnen ersetzt. Im Zahlenraum bis 20 stellt das zählende Rechnen, mit Ausnahme der typischen +/ 1-Fehler, noch eine erfolgreiche Strategie dar. Bereits beim Verarbeiten von zwei- und mehrstelligen Zahlen greift sie jedoch nicht mehr, da das Zählen nun zu lange dauert, gehäuft Fehler auftreten und die Kinder wissen, dass sie aufgrund der langen Bearbeitungszeiten zu den leistungsschwächeren Schülern zählen. Aus diesem Grund entwickeln zählende Rechner oft die Technik, das Rechnen mit mehrstelligen Zahlen auf ein Rechnen mit Ziffern zu reduzieren. Aus dem Verfahren Stellenwerte extra wird dabei oft unterstützt durch die Eltern die Technik Ziffernwerte extra. Eine Aufgabe zur Addition kann dann z.b. so ausfallen: = 712 Die Ziffern werden (wie bei der schriftlichen Addition und Subtraktion) an den einzelnen Stellen verarbeitet. Bei wird zunächst = 7 gerechnet und das Ergebnis notiert. Danach wird gerechnet und das Ergebnis 12 hinter die 7 geschrieben. Eine überschlagsmäßige Prüfung des Gesamtergebnisses wird nicht vorgenommen. Es wurde also nicht mit den Zahlen 34 und 48 gerechnet, sondern nur mit einzelnen Ziffern, und die Bedeutung (Größenvorstellung) der Zahlen wurde außer Acht gelassen. Ein Beispiel zur Subtraktion lautet wie folgt: = 52 Bei diesem Beispiel wird die absolute Differenz der beiden Ziffern gebildet, ohne Rücksicht darauf, ob die Einerstelle des Minuenden oder des Subtrahenden größer ist. Das Kind berechnet die Zehnerstelle mit 8 3 = 5. Da bei den Einern 6 8 nicht möglich ist, wird 8 6 = 2 gerechnet (bei der Addition dürfen ja schließlich auch die beiden Summanden in der Reihenfolge vertauscht werden) und die 2 notiert. 11

10 Ein weiteres zu beobachtendes Phänomen stellt sich wie folgt dar: = 38 Wenn eine Subtraktion der Einerstellen nicht möglich ist, werden sie kurzerhand einfach addiert. 5. Fehlendes Verständnis wird durch regelhaftes Vorgehen ersetzt. Probleme bei der Addition und Subtraktion ergeben sich häufig daraus, dass Kinder eine eingeübte Regel übergeneralisieren. Dies wird an folgendem Schülerbeispiel näher erläutert: = 82 Dieser Schüler hat sich für die Addition folgende Regel eingeprägt: Verrechne erst die Zahlen vorne, notiere dann am Schluss eine der hinteren Ziffern. Beim obigen Beispiel funktioniert diese Regel, da die Einerstelle des ersten Summanden null beträgt. Im folgenden Zahlenbeispiel stößt die Regel jedoch bereits an ihre Grenzen: = 71 Beim Addieren von gemischten Zehnern ( ) rechnet der Schüler = 7, notiert dieses Ergebnis und schreibt dahinter die Ziffer 1 von 51. Meistens verrechnet er dabei die zueinander passenden Ziffern. Bei der Subtraktionsaufgabe = 16 zeigt sich, dass dieser Schüler manchmal auch die Stellenwerte vermischt: 7 6 = 1; die 6 von 36 wird als Einerstelle des Ergebnisses notiert. Bereits an dieser Stelle zeigt sich deutlich: Je mehr Fehlerstrategien miteinander kombiniert werden, desto schwieriger wird es, sie bei einer Fehleranalyse zu identifizieren. Oft hilft dann nur noch eine Denkanalyse 2 im Rahmen einer gezielten Diagnostik mithilfe von informellen oder halbstandardisierten Verfahren (vgl. übernächstes Kapitel dieses Bausteins). 2 Dieser von Gaidoschik (2004) geprägte Begriff charakterisiert recht deutlich das wohl ergiebigste Verfahren, den Denk- und Lösungswegen von Kindern auf die Schliche zu kommen. Dem Kind werden gezielt Fragen zur Vorgehensweise bei der Lösung der Aufgabe gestellt. Wichtig ist dabei, dem Kind mit der Frage nicht schon eine Antwortmöglichkeit anzubieten. (Schipper 2005) 12

11 Die Probleme des Schülers aus den Beispielen resultieren möglicherweise aus einer Übergeneralisierung einer eingeübten Regel, die im Beispiel = 82 bestens funktioniert. Es ist nicht auszuschließen, dass seine Eltern den Aufgabentyp ZE +/ Z besonders intensiv mit ihm geübt haben. 6. Bei zählenden Rechnern ist die Einsicht in Strukturen bzw. die Fähigkeit, diese zu nutzen, häufig nur gering ausgeprägt. Mithilfe von strukturierten Arbeitsmittel (z.b. Rechenrahmen, Hunderterfeld) entwickeln die Kinder ein Verständnis für den Zahlenraum und die Rechenoperationen. Dazu ist es erforderlich, dass die Kinder die Struktur des Arbeitsmittels verstanden haben. Hieraus ergibt sich gleichzeitig die Notwendigkeit einer sinnvollen Begrenzung der Arbeitsmittel, da jedes erlernt werden muss. Bei vielen zählenden Rechnern ist zu beobachten, dass sie das Material nahezu ausschließlich als Zählhilfe benutzen. Beispielsweise lösen sie die Aufgabe 85 30, indem sie auf dem Hunderterfeld in Einerschritten rückwärts abzählen. Weitere Symptome von Rechenstörungen Bezug: SINUS-Transfer Grundschule Modul G 4, S Probleme bei der Links-rechts-Unterscheidung Die Fähigkeit zur sicheren Unterscheidung von links und rechts ist eine wichtige Voraussetzung für erfolgreiches Mathematiklernen. Da alle Arbeitsmittel und Veranschaulichungen in der Arithmetik mit dem Faktor Richtung operieren, ist es verständlich, dass Kinder mit Schwächen in diesem Bereich auch Schwierigkeiten dabei haben werden, Grundvorstellungen für Operationen wie Addition bzw. Subtraktion oder ein sicheres Verständnis für Stellenwerte zu entwickeln. Häufige Begleitphänomene sind Zahlendreher und Rechenrichtungsfehler (Vertauschen von Addition und Subtraktion). Intermodalitätsprobleme Mathematik lässt sich in drei verschiedenen Formen (Modi) darstellen, nämlich durch Handlungen (enaktiv), durch Bilder (ikonisch) und durch Sprache und Symbole (symbolisch). Der Begriff Intermodalitätsprobleme beschreibt dabei die Schwierigkeiten von Kindern, zwischen diesen drei Darstellungsformen zu übersetzen und z.b. eine Rechengeschichte in eine Gleichung umzusetzen. Aufgrund dieser Übertragungsschwierigkeiten helfen die konkreten Handlungen am Material solchen Kindern nicht automatisch bei der Lösungsfindung und ebenso wenig bei der Entwicklung von Rechenstrategien. 13

12 Einseitige Zahl- und Operationsvorstellung Mit dem Intermodalitätsproblem eng verbunden sind einseitige Zahl- und Operationsvorstellungen. Gerade für leistungsschwache Kinder ist die Mathematik eine Welt voller geheimnisvoller Ziffern und Zeichen, die auf noch geheimnisvollere Art und Weise regelhaft miteinander verknüpft werden müssen: Mathematik als Regelspiel (Schipper 2005). Durch die mangelnde bzw. einseitige Zahl- und Operationsvorstellung entwickeln die Kinder individuelle Lösungsstrategien, ohne jedoch ein Verständnis dafür zu besitzen. Eine falsche Lösung ist in diesem Verständnis von Mathematik ein Zeichen dafür, dass nicht die richtige Regel benutzt wurde. Damit wird Mathematik für diese Kinder bedeutungslos. Diagnostische Möglichkeiten Die folgenden Ausführungen basieren auf Kaufmann/ Wessolowski (2006). Die für die Grundschule relevanten standardisierten Tests sind häufig Gruppentests. Sie geben keine Einblicke in die Denkwege der Kinder, sind produkt- und nicht prozessorientiert (vgl. Anhang). Informelle Verfahren (z.b. Fehleranalysen und diagnostische Gespräche) sowie halbstandardisierte Tests (z.b. EMBI) können dagegen Einsichten darüber liefern, wie ein Kind an Aufgaben herangeht, welcher Vorstellungen es sich bedient und welche Verbindungen und Schlussfolgerungen es herstellt. Dies gibt der Lehrkraft die Möglichkeit, die kognitiven Schwierigkeiten und Besonderheiten eines Kindes möglichst genau zu beschreiben und aus diesem Wissen heraus gezielt Fördermaßnahmen abzuleiten und in den Förderplan aufzunehmen. Fehleranalyse Nicht das richtige oder falsche Ergebnis einer Aufgabe gibt demnach Aufschluss über die Denk- oder Lösungswege der Kinder; vielmehr gilt es, die Vorgehensweisen und Denkprozesse der Kinder selbst zu verstehen. Der erste Schritt im diagnostischen Prozess ist nach Kaufmann/ Wessolowski (2006) die Fehleranalyse, die anhand von schriftlich vorliegenden Aufgabenlösungen aus Übungen, Hausaufgaben und Tests erfolgen kann. Fehler entstehen meist nicht zufällig oder durch flüchtiges Verrechnen, wie die folgenden Beispiele zeigen, sondern sind Ergebnisse subjektiver Strategien. 14

13 Fehlerart Beispiel Strategie Zählfehler: Mitzählen der Anfangszahl Verwechslung von Rechen-/ Relationszeichen = = = = 5 7 = , 4, 5, 6, 7 (um 5 vorwärtsgezählt) 8, 7, 6, 5, 4 8, 7, 6, 5, 4 (Z) / 6, 5, 4, 3 (E) statt + + statt = Stellenwertfehler = = 28 Inversionsfehler 17 4 = = = = 6; 4 bleibt (evtl. gedacht: 1. Ziffer + 1. Ziffer) = 8; 2 bleibt gelesen und gerechnet: 17 4 = 13 / notierte Lösung: 31 gelesen und gerechnet: = 32 / notierte Lösung: 23 gelesen und gerechnet: = 41 / notierte Lösung: 41 Klappfehler / Richtungsfehler 23 9 = = statt statt Falsche Strategie 9 4 = = = = 31 statt 40 4 = = = 51 statt 60 6 = 54 Übertragen der Zerlegungsstrategie der Addition = = = = = = = = 206 (Kaufmann/ Wessolowski 2006) Nach der Fehleranalyse folgt im zweiten Schritt das diagnostische Gespräch mit dem Kind. Nun geht es darum, mögliche Fehlerursachen aufzudecken: einseitiges Zahlbegriffsverständnis und/ oder mangelndes Operationsverständnis und/ oder fehlende Rechenstrategien (vgl. Kaufmann 2009). Zum besseren Verständnis werden im Folgenden die oben genannten Fehlerursachen anhand von Fehlern und diagnostischen Aufgaben erläutert: 15

14 Zahlbegriffsverständnis a) Zählen 73 4 = 79 (72, 71, 70, 79) Zählfehler: Nach 70 wird nicht der nächste Zehner genommen. b) Zahlen lesen und schreiben Inversionsfehler (Zahlendreher) (Kaufmann 2009) c) Zahldarstellung und Zahlauffassung Falsche Zahldarstellung der Zahl 21 d) Zahlbedeutung und Zahlbeziehungen Hier siehst du 15 Leute, die in einer Schlange vor der Kasse stehen. Wenn jetzt die 3. und die 6. Person keine Lust mehr haben zu warten und nach Hause gehen, wie viele Leute stehen dann noch in der Schlange? (Kaufmann/ Wessolowski 2006) 15 3 = 12; 12 6 = 6 In diesem Beispiel werden die Zahlaspekte falsch verwendet, die Ordinalzahlen (3. und 6. Person) werden als Kardinalzahlen (3 Personen und 6 Personen) benutzt. 16

15 e) Größer/ kleiner weniger/ mehr Ich nenne dir jetzt ein Zahlenpärchen und du wiederholst bitte die größere Zahl. Wenn ich dir das Zahlenpärchen 9 und 4 nenne, welche Zahl wiederholst du? Die meisten Kinder treffen die Entscheidungen größer oder kleiner als auf der Grundlage der Zahlwortreihe und nicht unter Bezugnahme einer quantitativen Zahlbedeutung. Da die Zahlen im Zahlenraum bis 100 bei den meisten Kindern sicherlich nicht als fortlaufende Zahlwortreihe gespeichert sind, müssen die Lerner eine Einsicht in die Struktur des Aufbaus haben, nämlich dass Zehner- und Einerstellen einen Bedeutungsunterschied in sich tragen (vgl. Kaufmann/ Wessolowski 2006). f) Halb/ doppelt Vor der Bearbeitung von Aufgaben aus dem Bereich Verdoppeln und Halbieren sollte sich die Lehrkraft davon überzeugen, dass bei dem Kind die genannten Begriffe gesichert sind und die entsprechenden Handlungen für das Verdoppeln und Halbieren (Operationsverständnis) ausgeführt bzw. erklärt werden können. Erst danach sollte überprüft werden, ob die Verdopplungen und Halbierungen im Zahlenraum bis 20 automatisiert sind (vgl. Kaufmann/ Wessolowski 2006). (Kaufmann/ Wessolowski 2006) 17

16 g) Zahlverortung am Zahlenstrahl (Kaufmann/ Wessolowski 2006) Sollen die Kinder Zahlen an einem Zahlenstrahl verorten, so müssen sie die Zahlen als Längen und die Zahlbeziehungen als Abstände (nah fern) darstellen. Durch diese Aufgabe wird der Lehrkraft deutlich, ob die Kinder bereits über diese Vorstellungen verfügen. Hilfreich für die Entwicklung dieser Vorstellung kann der Hinweis auf eine Erleichterung durch die Nutzung von Halbierungen bzw. Verdopplungen der Zahlen am Zahlenstrahl sein (Kaufmann/ Wessolowski 2006). h) Teil-(Teil)-Ganzes-Verständnis (Kaufmann/ Wessolowski 2006) Wenn Kinder Zahlen ausschließlich als Ordinalzahlen auffassen, begreifen sie diese nicht als Teil einer anderen Zahl bzw. als Teil einer Gesamtmenge, die in unserem Beispiel durch die Mengen 6, 5 und 3 zusammengesetzt ist. Diese Kinder neigen beim Lösen der oben abgebildeten Aufgabe 14 5 dazu, zunächst den letzten Würfel wegzunehmen bzw. durchzustreichen und dann die noch fehlenden zwei Augen vom Würfelbild der Fünf durchzustreichen. Die Möglichkeit, einfach das Fünfer-Würfelbild wegzunehmen, lehnen sie ab, weil man Zahlen nicht einfach zwischendrin wegnehmen dürfe. Es handele sich hierbei ja um die 7, die 8, die 9, die 10 und die 11 (vgl. Kaufmann/ Wessolowski 2006). 18

17 i) Mengenbeurteilung Bereich: Schätzen Perzeptive Mengenbeurteilung (Kaufmann 2009) Bei einer unstrukturierten Anordnung der Gegenstände und einer kurzen Präsentationszeit (so kurz, dass die Gegenstände nicht abgezählt oder in Untergruppen eingeteilt werden können) zeigt sich, ob die Kinder eine ungefähre Vorstellung von Mengen aufgebaut haben (vgl. Kaufmann/ Wessolowski 2006). Bereich: Mengenbeurteilung im Kontext Kognitive Mengenbeurteilung (Kaufmann 2009) Bei der kognitiven Mengenbeurteilung wird überprüft, ob die Kinder den abstrakten Zahlenwert in einem Kontext richtig also im Sinne von viel/ mittel/ wenig einschätzen können. Das Beispiel zeigt, dass diesem Kind die Einschätzung noch nicht gelingt. 19

18 Operationsverständnis Nachdem die Fehlerursachen im Bereich des Zahlbegriffsverständnisses aufgeführt wurden, wenden wir uns nun den Fehlerursachen im Bereich des Operationsverständnisses zu. Zum Operationsverständnis gehört nicht nur der Transfer zwischen Sprache und Symbol, sondern alle Übersetzungen zwischen den verschiedenen Repräsentationsebenen. So werden Defizite im mathematischen Denken oft erst beim Lösen von Textaufgaben deutlich. Denn bei diesen Aufgaben reicht es nicht aus, Lösungsstrategien mechanisch anzuwenden; vielmehr muss die in der Aufgabe beschriebene Situation verstanden und mit sinnvollen mathematischen Operationen modelliert bzw. in eine Rechenaufgabe überführt werden. Addieren darf dabei nicht nur als eine Anweisung zum Weiterzählen und Subtrahieren nicht ausschließlich als eine Anweisung zum Rückwärtszählen verstanden werden. (Kaufmann 2009) Übungen zum Aufbau eines Operationsverständnisses müssen unterschiedliche Anregungen für die verschiedenen Übersetzungen zwischen Handlung (enaktiv), Bild (ikonisch) und Sprache und Symbol (symbolisch) geben. Aufgaben im Zahlenraum bis 20 bieten den Vorteil, dass die Kinder die Handlungen und Zeichnungen überschaubar gestalten können und dadurch aufwendiges Zählen unterbunden werden kann. Kleine Mengen können simultan bzw. quasi-simultan erfasst werden und das mathematisch Wesentliche der Handlung rückt in den Mittelpunkt der Aufmerksamkeit (vgl. Kaufmann/ Wessolowski 2006). 20

19 (Kaufmann 2009) Rechnen und Rechenstrategien Im Zahlenraum bis 20 lassen sich alle Aufgaben durch Zählen lösen. Im ersten Schuljahr sind zählende Rechner sogar oftmals schneller als ihre Mitschüler, die bereits Rechenstrategien nutzen. Wird der Zahlenraum größer, lassen sich die Aufgaben ebenfalls zählend lösen. Allerdings ist dieses Verfahren für die Kinder sehr zeitaufwendig. Beispiel: = 57 Vermeintliche Strategien, wie das Addieren der beiden Zehnerzahlen ( ) durch Weiterzählen (4, 5) und das anschließende Addieren der Einerstellen (4 + 3) durch Weiterzählen (5, 6, 7), sind ebenfalls zeitaufwendig und bei einem Zehnerübergang darüber hinaus sehr fehleranfällig. Um den Übergang von den Zählstrategien zu den Rechenstrategien vollziehen zu können, muss ein Kind die folgenden Rechenfertigkeiten erworben haben: Automatisierung der Grundaufgaben im Zahlenraum bis 10 (Addition, Subtraktion und Zahlzerlegungen), Automatisierung der Verdopplungs- und Halbierungsaufgaben, Kennen und Anwenden der Strategien Tauschaufgaben, Nachbaraufgaben und Umkehraufgaben (vgl. Kaufmann/ Wessolowski 2006). 21

20 Das diagnostische Gespräch Das diagnostische Gespräch (vgl. Klewitz/ Köhnke/ Schipper 2008) zählt zur prozessbezogenen Diagnostik. Ziel des diagnostischen Gesprächs ist es, Informationen darüber zu erlangen, wie einzelne Kinder ihre Aufgaben bearbeiten, welche Rechenstrategien sie verwenden und welche Denkprozesse sie verfolgen. Außerdem wird beobachtet, welches Material das Kind benutzt und wie es damit umgeht. Hinsichtlich der Protokollierung sind zwei Formen möglich, zum einen das Ankreuzen in einem Beobachtungsbogen und zum anderen das ausführliche individuelle Protokoll. Die Lehrkraft stellt innerhalb des diagnostischen Gesprächs folgende wichtige Fragen bzw. Aufforderungen: Wie hast du das gerechnet? Könntest du das auch anders rechnen? Rechne die nächste Aufgabe sofort laut, damit ich mithören kann. Du darfst auch Material benutzen, wenn du das möchtest. Erkläre dabei, was du machst und warum du es tust. Folgende Regeln haben sich bei der Durchführung des diagnostischen Gesprächs bewährt: Diagnostik idealerweise von zwei Lehrkräften durchführen lassen (Interviewer/in und Protokollant/in), außer, die Lehrkraft verfügt schon über ausreichend Erfahrung im diagnostischen Bereich. Das Kind über das Ziel der Überprüfung informieren (nämlich, ihm in Mathematik zu helfen). Eine angenehme Gesprächsatmosphäre ohne Zeitdruck schaffen. Verschiedene Hilfsmittel und Materialien zur Verfügung stellen (Zwanziger- und Hunderter-Rechenrahmen, Hunderterfeld, Steckwürfel, Wendeplättchen). Aufgabenkarten o.ä. dem Kind einzeln vorlegen. Dem Kind genügend Zeit zur Lösung der Aufgabe zur Verfügung stellen; geduldig sein. Wenn das Kind nicht reagiert, nachfragen, ob es die Aufgabe verstanden hat. Den Kindern im Rahmen der Diagnostik keine Rückmeldung zur Korrektheit ihrer Lösung geben. Rückmeldungen finden ausschließlich in Form von Ermunterungen statt. Nachfragen durch die diagnostizierende Lehrkraft erfolgen nur dann, wenn nicht nachvollziehbar ist, wie das Kind die Aufgabe gelöst hat. 22

21 Das ElementarMathematische BasisInterview (EMBI) Mit dem 2007 von Peter-Koop u.a. entwickelten ElementarMathematischen BasisInterview liegt ein halbstandardisiertes Verfahren zur mathematikdidaktischen Diagnostik von Kindern im Vorschulbereich sowie in den ersten beiden Jahrgangsstufen der Grundschule vor. Kernidee ist eine (materialgestützte) Interviewsituation zwischen der Lehrkraft und dem einzelnen Kind, die diesem die Möglichkeit bietet, sein Wissen und Können zu demonstrieren. So werden sowohl besondere Stärken als auch ein spezieller Unterstützungsbedarf in einer Form offengelegt, die direkte Anknüpfungspunkte für Unterricht und Einzelförderung bietet. Das EMBI ist somit ein Instrument zur unterrichtsbezogenen, d.h. handlungsleitenden Diagnostik (Peter-Koop u.a. 2007). Im ersten, speziell für Kindergarten- und Vorschulkinder entwickelten Teil des Interviews werden die mathematischen Vorläuferfähigkeiten ermittelt. Diese umfassen einfache Zählaufgaben, Mengenkonstanz und Kleiner-/ Größerrelationen. Darüber hinaus wird auf Lagebezeichnungen, Muster und Ordinalzahlen eingegangen sowie das simultane Erfassen von Mengen, das Zuordnen von Zahlen zu Mengen, das Anordnen und die Eins-zu-eins- Zuordnung thematisiert. 3 Der zweite, für Grundschulkinder vorgesehene Teil des EMBI, umfasst die differenzierte Erhebung arithmetischer Kompetenzen in den Teilbereichen Zählen, Stellenwerte, Strategien bei der Addition und Subtraktion sowie bei der Multiplikation und Division. Weitere Interviewteile zu den inhaltlichen Kompetenzbereichen Raum und Form sowie Größen und Messen sind ebenfalls erhältlich. Das Interviewverfahren sollte in regelmäßigen Abständen wiederholt und weitergeführt werden, um die Lernentwicklung gezielt erfassen und dokumentieren zu können. Zugleich wird durch klar definierte Abbruchkriterien eine Überforderung des einzelnen Kindes vermieden; Situationen, in denen das Kind wiederholt keine oder falsche Antworten gibt, werden umgangen. Diese klar definierten Abbruchkriterien liefern der Lehrkraft genaue Informationen über den Leistungsstand des Kindes und den daraus resultierenden Förderbedarf. 3 vgl. auch Baustein 3: Übergänge gestalten Übergang Elementarbereich/ Grundschule, Kapitel Diagnostische Möglichkeiten 23

22 Bielefelder Rechentest für das zweite Schuljahr (BIRTE 2) Eine Förderung kann nur dann erfolgreich sein, wenn sie an dem vorhandenen Wissen des Kindes anknüpft und systematisch seine Fähigkeiten und Fertigkeiten weiterentwickelt. BIRTE 2 (Schipper, Wartha, von Schroeders 2011) ist ein computergestütztes Diagnoseverfahren, das die arithmetischen Kompetenzen in der Mitte des zweiten Schuljahres objektiv erfasst (Normierungsstichprobe N = 2087). Auf der Grundlage umfangreicher Zeit- und Fehleranalysen werden darüber hinaus für Kinder ab Mitte des zweiten Schuljahres Hypothesen über das Vorliegen von Symptomen für Rechenstörungen generiert. Im zugehörigen Handbuch bekommen Lehrerinnen und Lehrer Hinweise, mit welchen Aufgaben sie diese Hypothesen in kurzen prozessorientierten Diagnosegesprächen mit dem Kind überprüfen können und worauf sie dabei besonders achten sollten. Die Aufgaben sind so ausgewählt, dass sie die Kompetenzen in denjenigen Inhaltsbereichen prüfen, die in der Regel Gegenstand des Mathematikunterrichts bis zur Mitte des zweiten Schuljahres und für rechenschwache Kinder besonders kritisch sind, z.b. die Zahlzerlegungen im Zahlenraum bis 10 als Voraussetzung für das schrittweise Rechnen. Insgesamt werden 145 Aufgaben in 13 Modulen gestellt, die zu vier Modulgruppen zusammengefasst sind: Orientierung im Zahlenraum (Rückwärtszählen, Zahlen einordnen, Zahlenstrich) Basiskompetenzen (quasi-simultane Zahlauffassung, Zahldarstellung, Zahlzerlegung, Verdoppeln und Halbieren) Rechnen (Addition, Subtraktion, Aufgabenbeziehungen) Grundvorstellungen (Größen, Operationen wählen, Rechengeschichten) Wenn das Kind alle Aufgaben bearbeitet hat, kann die Lehrerin bzw. der Lehrer auf Knopfdruck insgesamt sechs Auswertungen für jedes einzelne Kind aufrufen, je eine für jede Modulgruppe, eine für die Leistungen des Kindes im Gesamttest und eine Liste mit den Lösungen, die das Kind bei den einzelnen Aufgaben eingegeben hat. Eine weitere auf die Lerngruppe bezogene Auswertung gibt einen tabellarischen Überblick über die Leistungen aller Kinder. 24

23 Förderkonzepte und -schwerpunkte Bezug: SINUS-Transfer Grundschule Modul G 4, S Förderkonzepte Nach Schipper (2005) existieren in der Förderarbeit zwei Grundsätze: 1. Grundsatz: An die Vorkenntnisse anknüpfen Der Förderunterricht muss immer an die Vorkenntnisse der Kinder anknüpfen ( Kinder dort abholen, wo sie stehen. ). Dieser Grundsatz gilt für alle Kinder, in besonderem Maße aber für diejenigen, denen das Mathematiklernen schwerfällt. Zählenden Rechnern darf daher das Zählen nicht schlichtweg verboten werden; vielmehr muss bewusst an ihre zählende Vorgehensweise angeknüpft werden. Auf diese Weise können geeignete Angebote eine Ablösung von der zählenden Strategie herbeiführen. 2. Grundsatz: Den Aufbau mentaler Vorstellungen unterstützen Kindern, die keine Schwierigkeiten beim Rechnen haben, reicht oftmals die einmalige Demonstration eines Rechenverfahrens am Material verbunden mit einer kurzen Erläuterung aus, damit sie Aufgaben dieses Typs ohne weitere Hilfsmittel richtig lösen können. Bei Kindern mit Rechenstörungen dagegen hat man häufig den Eindruck, dass alle Erklärungen und Materialhandlungen ergebnislos bleiben bzw. nicht zu den notwendigen Einsichten führen. Kindern mit Rechenstörungen gelingt der Prozess der Verinnerlichung von Handlungen zu (mentalen) Vorstellungen nicht ohne zusätzliche Hilfen. Ihre Handlungen mit Material sind oftmals unstrukturiert und falsch. Für sie stehen zwei Welten nebeneinander: Zum einen die materialgebundene Lösung von Aufgaben, zum anderen die materialunabhängige. Eine Übersetzung von einer Ebene in eine andere (Handlung Sprache Bild) gelingt ihnen noch nicht. Hier muss eine Unterstützung im Aufbau der mentalen Vorstellungen erfolgen. Die Kinder sollen auch bei der materialunabhängigen Lösung von Aufgaben noch eine Vorstellung von der Materialhandlung haben. Dafür müssen deren Strukturen mit den Rechenstrategien übereinstimmen dies gilt es bei der Materialauswahl zu bedenken. Nach und nach muss den Kindern die Sicht auf das Material genommen werden (Vorhang, Augenbinde, Abdecktuch,...). Die Erklärung der Materialhandlung führt häufig dazu, dass später die Erinnerung an das Material ausreicht ( Denk an das Material. ), um Aufgaben korrekt lösen zu können. 25

24 Förderschwerpunkte Zentrales Ziel der Förderarbeit ist es, die Kinder zu guten und erfolgreichen Strategien des Kopfrechnens bei Additions- und Subtraktionsaufgaben zu führen (Schipper 2005). Nach Schipper (2005) sollte sich die Förderung zu diesem Zweck auf drei Schwerpunkte konzentrieren, wobei die ersten beiden Maßnahmen unterstützende, aber unverzichtbare Maßnahmen für den dritten Förderschwerpunkt sind. 1. Schnelles Sehen Schon bei der Zahlauffassung sollen Kinder von zählenden Verfahren weggeführt werden. Bei diesem Förderschwerpunkt werden ihnen daher Zahldarstellungen für nur so kurze Zeit präsentiert, dass ein Abzählen einzelner Elemente unmöglich ist. Hierbei gilt es zu beachten, dass kleine Mengen bis 5 simultan, also mit einem Blick, erfasst werden können. Größere Mengen dagegen können quasi-simultan aufgefasst werden, wenn das Material strukturiert ist. So können durch optische Gliederung auch größere Mengen ohne Abzählen erfasst werden, z.b. 8 als 5 rote und 3 blaue Perlen am Rechenrahmen. Beispiel: Schnelles Sehen am Rechenrahmen Am strukturierten Rechenrahmen werden Zahlen hinter einem Sichtschutz für das Kind verdeckt eingestellt. Diese Zahldarstellung wird dem Kind dann für ca. eine Sekunde gezeigt. Nun muss das Kind aus dem wahrgenommenen Bild die Anzahl mental rekonstruieren. Besonders wichtig ist es, bei der Arbeit mit dem Rechenrahmen grundlegende Konventionen im Vorfeld zu klären. So bedeutet das Verschieben aller Kugeln nach rechts null. Hierbei kann eine Markierung am Rechenrahmen hilfreich sein. 2. Verinnerlichung der Zahlzerlegungen Dieser Förderschwerpunkt hat die Automatisierung aller Zerlegungen der Zahlen bis 10 zum Ziel. Mithilfe dieser Fördermaßnahme soll das Hilfsmittel Finger nach und nach durch die Ausbildung mentaler Vorstellungen ersetzt werden. 26

25 a) Zerlegung der Zahl 10 an den Händen mithilfe eines Stiftes Das Kind legt seine Hände auf den Tisch (Daumen an Daumen, Finger ausgestreckt). Die übliche Leserichtung von links nach rechts wird vereinbart. Mit einem Stift zeigt man nun die Zerlegung der Zahl 10 in eine Summe mit zwei Summanden an. Das Kind nennt möglichst schnell die beiden Summanden in Leserichtung. In der Beispielabbildung lautet die richtige Antwort sechs, vier. b) Zerlegung der Zahl 10 an den Händen ohne Hilfe eines Stiftes Mithilfe dieser Übung wird mit einer allmählichen Ablösung von konkreten Handlungen an den Händen begonnen. Das Kind legt wieder beide Hände auf den Tisch, die Zerlegung wird jedoch nicht mehr mit dem Stift angezeigt. Die Förderin bzw. das Partnerkind nennt eine Zahl und das Kind sagt die Ergänzung bis zur 10. c) Zerlegung der Zahl 10 an verdeckten Händen Erheblich erschwert wird die Aufgabe, wenn die Hände in einem nächsten Schritt mit einem Tuch bedeckt werden. Bei einigen Kindern kann man nun beobachten, dass durch Fingertippen die fehlende visuelle Orientierung durch eine taktile ersetzt wird. Bei diesen Kindern gilt es, immer wieder zwischen den Aufgabenformaten Zerlegung der Zahl 10 an den Händen ohne Hilfe eines Stiftes und Zerlegung der Zahl 10 an verdeckten Händen zu wechseln. d) Zerlegungen weiterer Zahlen Wenn die Kinder die Zerlegungen der Zahl 10 beherrschen, können weitere Zahlzerlegungen geübt werden: Comic-Figuren, z.b. Mickey Mouse, haben oft nur vier Finger Üben der Zerlegungen der Zahl 8; zwei Kinder sitzen nebeneinander Üben der Zerlegungen der Zahl 20; zehn Kinder sitzen nebeneinander Üben der Zerlegungen der Zahl 100. Dabei gehört die Aufforderung Stell dir vor zu den wichtigsten Anforderungen in einem handlungsorientierten Mathematikunterricht, da sie die Ausbildung von mentalen Bildern und somit deren Verinnerlichung fördert. 27

26 3. Entwicklung von Rechenstrategien Ziel des Mathematikunterrichts in der Grundschule ist es, dass die Kinder alle Strategien des ersten und weiterführenden Rechnens beherrschen und optimal nutzen können (Verdoppeln und Halbieren, gegen- bzw. gleichsinniges Verändern, Analogien, Hilfsaufgaben, schrittweises Rechnen, Zerlegen des zweiten Summanden bzw. des Subtrahenden, Stellenwerte extra). Für verfestigte zählende Rechner ist das eine völlig unrealistische Vorstellung. Hier ist es wichtig, ein Verfahren auszuwählen, das sowohl universell (d.h. nicht von spezifischen Zahlenkonstellationen abhängig) als auch fortsetzbar ist. Unter diesen Gesichtspunkten sind lediglich die Verfahren Schrittweises Rechnen und Stellenwerte extra (ab Klasse 2) einsetzbar. Da das schrittweise Rechnen auch gut für das Kopfrechnen mit dreistelligen Zahlen genutzt werden kann, sollte diese Art des Rechnens als Mindestverfahren für die verfestigten zählenden Rechner definiert werden. Grundgedanke ist immer, dass Kopfrechenstrategien als mentale Verinnerlichung aus Handlungen an Materialien entstehen. Daher müssen die Handlungen auch strukturell mit der angestrebten Form des Kopfrechnens übereinstimmen. Materialien, bei denen die Kinder die Mengen immer wieder neu abzählen müssen, sind für die Entwicklung des schrittweisen Rechnens daher ungeeignet (z.b. Wendeplättchen oder Steckwürfel). Es wird vielmehr ein Arbeitsmittel benötigt, das es gestattet, die erste Zahl simultan darzustellen, das Auffüllen bis 10 vom Material her fordert, es ermöglicht, den insgesamt dargestellten Wert der Summe quasi-simultan aufzufassen. Dies bietet u.a. der strukturierte (Zwanziger- bzw. Hunderter-) Rechenrahmen. Bei der Arbeit damit ist es wichtig, die Handlungen verbal zu unterstützen. a) Handlungen am Rechenrahmen Zunächst müssen die Kinder lernen, die zum schrittweisen Rechnen passenden Handlungen am Rechenrahmen durchzuführen. Auf einige Punkte sollte hierbei besonders geachtet werden: Die Darstellung der Ausgangszahl erfolgt mit einem Fingerstreich bzw. mit so wenigen wie möglich. 28

27 Jede Handlung ist sprachlich zu begleiten, besonders die Nennung des Zwischenstandes 10 ist zu fordern, um anschließendes Zählen zu vermeiden. Die Operation plus / minus ist nicht zu versprachlichen. Beispiel: sprich 6, 10, 13 b) Erste Ablösung von den Handlungen Wenn die grundlegenden Handlungen (wie bereits oben beschrieben) zur Benutzung des Rechenrahmens beherrscht werden, beginnt eine behutsame Ablösung vom Material: Der Rechenrahmen wird zwar für das Kind sichtbar aufgestellt, aber so weit entfernt, dass Handlungen am Material nicht mehr möglich sind. Zur Lösung einer Aufgabe werden die Handlungen vom Kind jetzt nur noch beschrieben. c) Rechnen mit verbundenen Augen In diesem Schritt soll das Kind ausschließlich durch vorgestellte Handlungen am Rechenrahmen zur Lösung gelangen. Damit das Material weder greifbar noch sichtbar ist, werden dem Kind die Augen verbunden oder es wird ein Sichtschirm dazwischen aufgestellt. Die Förderin bzw. das Partnerkind stellt Aufgaben vom Typ ZE +/ E mit Zehnerüberschreitung und das Kind diktiert die einzelnen Handlungen, die es zur Lösung der Aufgabe am Material vollziehen würde. d) Perspektiven für die weitere Förderung Das oben beschriebene Rechnen mit verbundenen Augen ist die entscheidende Hürde bei der Ablösung vom zählenden Rechnen. Können die Kinder Aufgaben auf diese Weise sicher lösen, dann gelingt es oft auch in sehr kurzer Zeit, Aufgaben vom Typ HZE +/ HZE mit Zehner- und Hunderterüberschreitung erfolgreich zu bewältigen. Die Voraussetzung hierfür ist allerdings, dass das Rechnen mit vollen Zehnern (ZE +/ Z) gelingt. Ein Kind, das bei diesen Aufgabentypen Probleme hat, arbeitet besser nicht mit dem Rechenrahmen, sondern mit der Hundertertafel oder mit Zehnersystemblöcken (Einerwürfel, Zehnerstangen, Hunderterplatten). Nach erfolgreicher Förderung sollte das Kind den komplexesten Aufgabentyp beim Rechnen im Zahlenraum bis 100 (ZE +/ ZE mit Zehnerüberschreitung) mithilfe der Zerlegung der Rechenoperation in die Teilschritte ZE +/ Z und ZE +/ E durch Rückgriff auf die bekannten Teilaufgaben und ohne konkretes Material lösen können. 29

28 Elternarbeit Die folgenden Ausführungen basieren auf Kaufmann/ Wessolowski (2006). Für eine positive und nachhaltige Lernentwicklung kann es hilfreich sein, die Eltern in die Förderung ihrer Kinder einzubeziehen. Dabei können sich jedoch auch Schwierigkeiten ergeben, die sich auf den Lernprozess des betroffenen Kindes nicht fördernd, sondern erschwerend auswirken können. Kaufmann/ Wessolowski führen folgende Aspekte an: Die Erklärungen von Eltern und der Lehrkraft weisen unter Umständen starke Abweichungen auf, was bei den Kindern zu weiterer Verwirrung führen kann. Die Arbeitsmittel, die den Kindern in der Schule als Veranschaulichung zur Verfügung stehen, können von den gewählten Materialien im Elternhaus abweichen; somit wird der Übungsprozess für das Kind unstrukturiert. Die elterliche Unterstützung als solche ist mit Vorsicht zu genießen, da das Eltern- Kind-Verhältnis dadurch auch belastet werden kann. Sollen sich Elternarbeit und häusliche Hilfe positiv auf den Lernprozess auswirken, muss gewährleistet sein, dass die Zusammenarbeit zwischen Eltern und Lehrkraft funktioniert. Hierzu müssen die Eltern über die genauen Schwierigkeiten des Kindes informiert sein, und es muss ihnen verdeutlicht werden, dass sie nicht allein die Verantwortung tragen. In einer funktionierenden Kooperation zwischen Elternhaus und Schule kann den Eltern Anleitung dafür gegeben werden, auf welche Weise mit dem Kind sinnvoll gearbeitet werden kann. Dazu ist es notwendig, den Eltern Materialien an die Hand zu geben, die sie dabei unterstützen. Kaufmann/ Wessolowski nennen drei Grundsätze, die in der häuslichen Übungsarbeit beachtet werden sollten: Nicht einfach noch mehr üben : Dieser Grundsatz soll verdeutlichen, dass es keinen Lernzuwachs bringt, wenn unverstandene Inhalte einfach nur ständig in neuen Aufgaben bzw. Aufgabenformaten geübt werden. Regelmäßige kurze Übungseinheiten fest in den Tagesablauf einbauen. Nur minimale Hilfestellungen geben: Die Kinder sollen nicht mit Tricks den Rechenweg verfälschen. Auch bei Fehlern sollte zunächst nicht eingegriffen werden, vielmehr muss das Kind die Möglichkeit haben, seinen Denkvorgang zu Ende zu 30

29 bringen. Anschließend kann beispielsweise durch einen Vergleich mit der Materiallösung der Erkenntnisprozess in Gang gesetzt werden. Ist die Unterstützung durch das Elternhaus durchdacht und besteht eine Kooperation mit der Schule, kann sich häusliche Förderung demnach durchaus positiv auf den Lernprozess auswirken. 31

30 Anhang Anhang 1: Mathematische Tests im schulischen Kontext Wie im Theorieteil erwähnt, sind standardisierte Tests (zumeist Gruppentests) produktorientiert und liefern Vergleichswerte. Um Kinder bei der Bewältigung von eventuellen Rechenschwierigkeiten angemessen unterstützen zu können, ist es jedoch unabdingbar, die Rechenwege und Denkprozesse des einzelnen Kindes zu verstehen. Hierfür eignen sich in besonderem Maße gezielte Beobachtungen, informelle Tests, diagnostische Gespräche (vgl. Kaufmann/ Wessolowski 2006) bzw. eine Denkanalyse (vgl. Gaidoschik 2004). Vorläuferfertigkeiten und Beginn des ersten Schuljahres Folgende Teilkompetenzen sollten zu diesem Zeitpunkt überprüft werden: a) Pränumerischer Bereich Vergleichen (z.b. Welcher Stapel ist höher? ) Eins-zu-eins-Zuordnung (z.b. Zeichne für jedes Kind ein Bonbon. ) Seriation (z.b. Sortiere die Gegenstände nach der Größe. ) Sprachverständnis (Begriffe kennen, z.b. mehr, weniger, gleich viel, ) usw. b) Numerischer Bereich Zahlwortreihe Zahlvergleich Ziffern lesen/ Ziffern schreiben Simultanes Mengenerfassen/ Mengen (Würfelbilder) benennen Mengen herstellen/ Mengenvergleich usw. c) Kognitiver Bereich Visuelle Wahrnehmung o Visuomotorische Koordination (z.b. Wege nachzeichnen) o Figur-Grund-Unterscheidung o Formkonstanz o Räumliche Beziehungen Visuelles Gedächtnis Vorstellung Auditives Gedächtnis 32

31 Allgemeine Testverfahren Einbeziehung unterschiedlicher Teilbereiche RTS (Reutlinger Test für Schulanfänger, 2. Auflage 1993) WTA (Weilburger Testaufgaben für Schulanfänger, 2. Auflage 1994) GSS (Göppinger sprachfreier Schuleignungstest, 2. Auflage 1998) KEV (Kieler Einschulungsverfahren, 2. Auflage 1988) MSD (Mannheimer Schuleingangsdiagnostikum, 4. Auflage 1994) DVET (Duisburger Vorschul- und Einschulungstest, 3. Auflage 1997) ZAREKI-K (für Kinder von 4 5 Jahren, 2006; nur von Psychologen durchzuführen) Erstes Schuljahr und Beginn des zweiten Schuljahres Einzelüberprüfung a) Standardisiert OTZ (Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung, 2001) HaReT 1 und HaReT 2 (Hamburger Rechentest, 2005) DEMAT 1+ und DEMAT 2+ (Deutscher Mathematiktest 2002 bzw. 2004) ZAREKI-R (2. 4. Klasse; nur von Psychologen durchzuführen, 2. Auflage 2006) BIRTE 2 (Bielfelder Rechentest, Mitte Klasse 2; per PC durchzuführen, 2011) b) Halbstandardisiert EMBI (Elementarmathematisches Basisinterview, 2007) c) Informell Komm mit! Rechne mit! (Förderprogramm für rechenschwache Kinder, 2010) Rechenstörungen: Diagnose und Förderbausteine (2006) Förder-/Diagnosebox Mathematik Klasse 1 4 (2005) Gruppenüberprüfung Standardisiert HRT 1 und HRT 2 (Heidelberger Rechentest, 2005) ERT 1+ (Eggenberger Rechentest, 2007) DIRG (Diagnostisches Inventar zu Rechenfertigkeiten im Grundschulalter, 2010) 33

32 Drittes und viertes Schuljahr Einzelüberprüfung Standardisiert HaReT 3 und HaReT 4 (Hamburger Rechentest, 2005) DEMAT 3+ und DEMAT 4 (Deutscher Mathematiktest, 2004 bzw. 2006) DIRG (Diagnostisches Inventar zu Rechenfertigkeiten im Grundschulalter, 2010) ZAREKI-R (2. 4. Klasse; nur von Psychologen durchzuführen, 2. Auflage 2006) Gruppenüberprüfung Standardisiert HRT 3 und HRT 4 (Heidelberger Rechentest, 2005) ERT 3+ und ERT 4+ (Eggenberger Rechentest, 2010) DIRG (Diagnostisches Inventar zu Rechenfertigkeiten im Grundschulalter, 2010) 34

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