Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald Institut für Physik. 1. Aufgabenstellung. Versuch E7a - Wechselstromwiderstände

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1 Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald Institut für Physik Name: Versuch E7a - Wechselstromwiderstände Mitarbeiter: Gruppennummer: lfd. Nummer: Datum: 1. Aufgabenstellung Bestimmen Sie die Impedanz Z und die Phasenverschiebung φ zwischen Strom und Spannung für die gegebenen 5 Schaltungen und ermitteln Sie die Bandbreite des Reihenschwingkreises Versuchsziel Beschäftigen Sie sich mit folgenden Schwerpunkten des Versuches: Grundbegriffe des Wechselstroms (Amplitude, Effektivwert, Kreisfrequenz) Darstellung von Wechselstrom (Zeiger- und Zeitdiagramm, komplexe Darstellung in Komponenten-, Polar- und Exponentialform) Zusammenhang zwischen Strom und Spannung bei den Grundzweipolen mit R, C und L Reihen- und Parallelschaltungen von R und C bzw. R und L Zusammenhang zwischen Strom und Spannung beim Reihenschwingkreis 1.. Messungen Bauen Sie nacheinander die Schaltungen nach den Abbildungen 6-8 auf und nehmen Sie sowohl den Spannungsabfall am Messwiderstand R M = 1 Ω als auch die zeitliche Verschiebung zwischen diesem und dem Eingangssignal U = 8 V SS auf. Messen Sie im Intervall von 1 Hz bis khz in Schritten von 5, 1,, 5 usw.! Es handelt sich um fünf Messreihen, je zwei zur Reihen- und Parallelschaltung von R-C mit R = 1 Ω, C 1 und C und eine zur Reihenschaltung von R - L mit R = 1 Ω und L 1 (N = 5). Erfassen Sie die Werte tabellarisch in der folgenden Form: f in Hz in ms U RM in V Δt in ms 1... Bauen Sie den Reihenschwingkreis nach Abb. 1 auf und nehmen Sie sowohl den Spannungsabfall am Messwiderstand R M = 1 Ω als auch die zeitliche Verschiebung zwischen diesem und dem Eingangssignal U = 8 V SS auf. Messen Sie im Intervall von 1 Hz bis khz in Schritten von 1,, 5, 1 usw.! Ermitteln Sie die Grenzfrequenzen und die Resonanzfrequenz. Verwenden Sie die Bauteile mit R = 1 Ω, C und L (N = 1). Erfassen Sie die Werte wieder in einer abelle nach obigem Beispiel Auswertungen Berechnen Sie die Impedanz Z aus der gemessenen Stromstärke I (U=konst.). Ermitteln Sie die Phasenverschiebung φ aus der zeitlichen Verschiebung Δt zwischen Strom und Spannung Bestimmen Sie aus den R-C- und R-L-Reihenschaltungen die Kapazitäten der Kondensatoren und die Induktivität der Spule Die errechneten Werte aus den Messungen nach Aufgabe sind in Diagrammen in geeigneter Weise über dem Wechselstromwiderstand X C bzw. X L aufzutragen und mit den theoretischen Erwartungen zu vergleichen Die errechneten Werte aus der Messung nach Aufgabe 1... sollen über der Frequenz f aufgetragen und mit den theoretischen Erwartungen verglichen werden Bestimmen Sie aus der oberen und unteren Grenzfrequenz die Bandbreite B des Reihenschwingkreises und vergleichen Sie diese mit Ihren theoretischen Annahmen. Physikalisches Grundpraktikum Versuch E7a 1

2 . Grundlagen.1. Wechselstromgrößen Als Wechselstrom bezeichnet man einen Strom, der sich in Betrag und Richtung ändert. Bei einer Wechselspannung ändern sich Betrag und Polarität. Diese Änderungen verlaufen periodisch, aber nicht zwingend harmonisch. Da man jeden periodischen Vorgang nach dem Satz von FOURIER in eine Summe sinusförmiger Funktionen auflösen kann, betrachten wir nur sinusförmige Verläufe. Der sinusförmige Wechselstrom, im folgenden Wechselstrom genannt, kann durch folgende Gleichung beschrieben werden I(t) = I sin ω t (1) I(t): Momentanwert des Stromes, Î: Maximalwert (Amplitude), ω: Kreisfrequenz. Entsprechend lässt sich der Momentanwert U(t) einer sinusförmigen Wechselspannung darstellen. U(t) = U sin ω t () I(t): Momentanwert der Spannung, U : Maximalwert (Amplitude), ω: Kreisfrequenz. Die Zeit, welche für eine vollständige Periode benötigt wird, nennt man Periodendauer. Das Reziproke der Periodendauer wird als die Frequenz f bezeichnet und in s -1 oder Hz (HERZ) angegeben. Sie gibt an, wie viele Schwingungen in einer Sekunde gezählt werden können. Häufig wird für theoretische Betrachtungen auch die Kreisfrequenz ω benutzt, welche ebenfalls in s -1 angeben wird und sich wie Gl. (3) berechnen lässt. ω = π f = π 1 (3) Als Bezugsgröße zur Angabe des Wechselstromes I(t) dient die Schwingungsamplitude Î oder der Spitze-Spitze-Wertes I SS, gemessen vom Maximum der positiven Halbwelle zum Minimum der negativen Halbwelle, auch Scheitelwert genannt. Für die Wirkung des elektrischen Wechselstroms ist nicht sein Maximalwert entscheidend, sondern der sogenannte Effektivwert, der ein zeitlicher Mittelwert darstellt. Als Effektivwert des Stromes bezeichnet man den Wert eines Gleichstroms, der an einem Widerstand dieselbe Wärme entwickelt, wie sie der Wechselstrom im Zeitmittel abgibt ([3]; Abschn. 5..). Um den Effektivwert I eff eines sinusförmigen Wechselstroms zu berechnen, gehen wir von der Stromwärme W aus, die an einem Widerstand R entsteht. dw = U(t) I(t)dt = I (t) Rdt (4) Die umgesetzte Wärme während einer Periode beträgt demnach W = I (t)rdt = R I dt (5) Ein adäquater Gleichstrom I eff erzeugt eine Wärme in der Zeit W = = I eff R (6) Gleichungen (5) und (6) ergeben zusammen I eff = 1 I (t)dt (7) Physikalisches Grundpraktikum Versuch E7a

3 Mit Gleichung (1) erhalten wir I eff = I sin ωtdt Da die trigonometrische Beziehung cosα = 1 - sin²α besteht, kann man schreiben: I eff = I 1 (1 cosωt)dt (8) (9) Die Berechnung des Integrals ergibt: I eff = I 1 t 1 4ω sinωt Setzt man die Grenzen ein, so erhält man I eff = I und demnach I eff = I In ähnlicher Weise kann man die Gleichung für den Effektivwert der Spannung herleiten. Wechselstrommessgeräte werden so kalibriert, dass sie bei sinusförmigen Größen den Effektivwert anzeigen. Mit den Effektivwerten von Spannung und Stromstärke kann man die Leistung, die an einem ohmschen Widerstand umgesetzt wird, einfach berechnen: (1) P = U eff I eff (11).. Wechselstromwiderstände Neben dem ohmschen Widerstand bilden im Wechselstromkreis auch Spule und Kondensator einen (endlichen) Widerstand...1. Ohmscher Widerstand Ohmsche Widerstände verhalten sich in einer Wechselstromschaltung ebenso wie in einer Gleichstromschaltung. Liegt eine Spannung der Form U = U sinωt (1) Abb. 1 Verlauf von Spannung und Stromstärke am Ohmschen Widerstand Physikalisches Grundpraktikum Versuch E7a 3

4 an einem ohmschen Widerstand an, so lässt sich der Strom nach Gl. 1 beschreiben.: Der Widerstand berechnet sich nun nach dem OHMschen Gesetz R = U I = Z R (13) und ist unabhängig von der Frequenz der Schaltung. Seine Impedanz Z R (auch Scheinwiderstand genannt) ist gleich seinem Gleichstromwiderstand R (Wirkwiderstand). Der Strom ist proportional zur Spannung und verläuft phasengleich (vgl. Abb. 1).... Kondensator Ein Kondensator ist eine Anordnung zweier Leiterflächen mit einem isolierenden Dielektrikum dazwischen. Er ist in der Lage, elektrische Ladungen Q zu speichern. Beim Anlegen einer Gleichspannung U laden sich seine beiden Leiterflächen entgegengesetzt auf. Der Proportionalitätsfaktor C zwischen U und Q heißt Kapazität und beschreibt die Fähigkeit des Kondensators, Ladungen zu speichern. C = Q U, dq dt = C du dt (14) Abb. Verlauf von Spannung und Stromstärke am Kondensator Liegt am Kondensator eine Wechselspannung nach Abb. an, so fließen durch die Wechselspannung bedingt stets Lade- und Entladeströme. Die Stromstärke errechnet sich nach I C = dq dt = C d dt U sin(ωt) = U ωc cos(ωt) = ωu C sin ωt + π. (15) Man kann erkennen, dass der Verlauf des Stromes I dem Verlauf der Spannung U um π vorauseilt. Man sagt, dass zwischen Stromstärke und Spannung eine Phasenverschiebung von ϕ = 9 besteht. Der Wechselstromwiderstand eines Kondensators ist nach Gleichung (16) X C = 1 ωc (16) und wird als kapazitiver Blindwiderstand X C bezeichnet. Er hängt antiproportional von der Kapazität C des Kondensators und der Kreisfrequenz ω der angelegten Wechselspannung ab. Physikalisches Grundpraktikum Versuch E7a 4

5 ..3. Spule Eine Spule ist ein aufgewickelter Leiter. Fließt durch diesen ein Strom I, so baut sich in der Spule ein Magnetfeld auf. Es gilt das LENZsche Gesetz. Bei einer Änderung des fließenden Stroms ändert sich auch das erzeugte Magnetfeld. Durch diese Magnetfeldänderung wird in der Spule eine Spannung U I induziert U I = L di dt, (17) welche der Änderung entgegenwirkt. Der Proportionalitätsfaktor L heißt Induktivität und hängt sowohl von der Geometrie der Spule als auch dem Material des Spulenkerns ab. Fließt durch die Spule ein Wechselstrom nach Abb., so errechnet sich die anliegende Spannung nach U L = L d I sin(ωt) = I ωl cos(ωt) = I ωl sin ωt + π. (18) dt Man kann erkennen, dass der Strom I der Spannung U um π hinterherläuft. Der Wechselstromwiderstand einer Spule ist nach Gleichung (19) X L = ωl (19) Abb. 3 Verlauf von Spannung und Stromstärke an der Spule. und wird als induktiver Blindwiderstand X L bezeichnet. Er hängt proportional von der Induktivität L der Spule und der Kreisfrequenz ω der angelegten Wechselspannung ab. Für einige Anwendungen und Berechnungen ist die Annahme einer wie zuvor beschrieben idealen Spule hinreichend. Allerdings wird es oft erforderlich sein, die Berechnungen mit einer realen Spule durchzuführen. Bei einer realen Spule wird der ohmsche Widerstand des Spulendrahtes nicht vernachlässigt, sondern als in Reihe zur idealen Spule, also der reinen Induktivität, geschaltet betrachtet. Man kann ebenso wie im Gleichstromkreis die Arbeit berechnen, die an Spule, Kondensator oder ohmschen Widerstand umgesetzt wird. dw = U Idt Die mittlere Arbeit, die umgesetzt wir, ergibt sich dann zu W = U sinωt I (sinωt + φ)dt = U eff I eff cosφ () und demnach P = U eff I eff cosφ. Die Wirkleistung, die im Bauelement umgesetzt wird, ist von dem Faktor cosϕ abhängig, auch Leistungsfaktor genannt. Da bei idealer Spule oder Kondensator der Winkel zwischen Stromstärke und Spannung ϕ = 9 beträgt, wird Physikalisches Grundpraktikum Versuch E7a 5

6 an diesen Bauelementen keine Wirkleistung umgesetzt. In den Abbildungen 1 bis 3 sind neben der Darstellung der Strom- und Spannungsverläufe mittels trigonometrischer Funktionen auch die Zeigerdarstellungen enthalten. Eine weitere Darstellung von Wechselstromverläufen kann in komplexer Form U = U e iωt und I = I e i(ωt φ) erfolgen. Werden ohmscher Widerstand, Spule und Kondensator im Wechselstromkreis zusammen geschaltet, so gelten auch im Wechselstromkreis die KIRCHHOFFschen Regeln..3. Elektrischer Schwingkreis Wird in einem Stromkreis ein Kondensator und eine Spule zusammengeschaltet, so stellt diese Kombination einen Speicher elektrischer bzw. magnetischer Feldenergie dar. Eine solche Schaltung wird als elektrischer Schwingkreis bezeichnet. Eine einmal in einen verlustfreien idealen elektrischen Schwingkreis eingebrachte Feldenergie pendelt periodisch zwischen Kondensator und Spule hin und her, d.h. man beobachtet elektrische Schwingungen. Es wird zwischen Reihen- und Parallelschwingkreis unterschieden Reihenschwingkreis Der Reihenschwingkreis besteht aus der Reihenschaltung von Kondensator, Spule und ohmschen Widerstand. Abb. 4 Reihenschwingkreis. Nach den Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz) gilt: U + U L + U C + U R = (1) Mit U L = L di dt und U C = Q ergibt sich, wenn man die Gleichung noch nach der Zeit C differenziert: du dt = L d I dt + 1 di I + R C dt () Für eine Wechselspannung der Form U = U sin ωt wird die Gleichung gelöst durch I = I sin (ωt φ), mit I = 1 Z U. (3) Die Phasenverschiebung des Stroms φ I gegenüber der Spannung beträgt φ I = arctan ωl 1 ωc. (4) R Definiert man analog zum Gleichstromkreis einen Wechselstromwiderstand Z, der dann einen komplexen Wert hat, so erhält man Z = U I = R + i(ωl 1 ωc ). (5) Physikalisches Grundpraktikum Versuch E7a 6

7 Er wird als Scheinwiderstand oder Impedanz bezeichnet. Sein Betrag berechnet sich zu Z = R + ωl 1 ωc (6) Für den Fall das X C = X L reduziert sich die Gleichung (14) zu Z = R, (7) d.h. der Imaginärteil von Z wird Null. Diesen Fall nennt man Resonanz. Der Scheinwiderstand Z wird rein reell und ist gleich dem ohmschen Widerstand R. Dieser Umstand legt die Betrachtung des Reihenschwingkreises als Frequenzdurchlassfilter nahe, da der fließende Strom bei der Resonanzfrequenz ω lediglich durch den Widerstand R begrenzt wird, wo hingegen unterhalb und oberhalb dieser ein starker Abfall der Stromstärke I zu beobachten ist (Abb. 5). Abb. 5: Amplitudengang am Reihenschwingkreis. Gleichzeitig ist die Phasenverschiebung φ I bei der Resonanzfrequenz gleich Null, was sich aus der Gleichung (6) entnehmen lässt. Unterhalb und oberhalb der Resonanzfrequenz treten Phasenverschiebungen auf, welche auf das unterschiedliche Verhalten der Schaltung bei niedrigen bzw. hohen Frequenzen zurückzuführen sind. Für niedrige Frequenzen ist X C >> X L, und der kapazitive Einfluss bestimmt das Verhalten der Schaltung. Der fließende Strom wird mit einer negativen Phasenverschiebung φ I der Spannung vorauseilen. Bei hohen Frequenzen dominiert dann der induktive Einfluss das Verhalten der Schaltung, da X L >> X C ist. Der Strom wird dann mit einer positiven Phasenverschiebung φ I der Spannung nachlaufen. Die Phasenverschiebung φ I bewegt sich im Frequenzverlauf also zwischen - π und + π und erreicht im Resonanzfall (X C = X L ) Null. Aus Gleichung (6) ergeben sich für die Phasenverschiebung φ I zwei weitere interessante Punkte, wenn nämlich X C + X L = R bzw. X C + X L = -R ist. Dann wird φ I = + π bzw. π erreichen. 4 4 Die Stromstärke fällt an diesen Punkten auf I G = I,5 (8) ab, wobei I die maximale Stromstärke im Resonanzfall ist. Die zugehörigen Frequenzen f Gu und f Go nennt man untere und obere Grenzfrequenz. Die Differenz aus beiden B = f Gu f Go (9) wird als Bandbreite B bezeichnet. Sie kann rechnerisch mit folgender Gleichung bestimmt werden B = 1 R π L (3) Physikalisches Grundpraktikum Versuch E7a 7

8 3. Experiment 3.1. Geräte und Materialien - Oszilloskop Hameg HM 33 - Digital-Multimeter ELV 781 (Frequenzmesser) - Widerstände: R M = 1 Ω, R = 1 Ω - Spulen: L 1 (N = 5), L (N = 1) - Kondensatoren: C 1 = 1 µf, C =,1 µf 3.. Versuchsanordnung Für den Versuch sollen sowohl Reihen- und Parallelschaltungen von R-C- und R-L- Gliedern als auch ein Reihenschwingkreis realisiert werden. Die folgenden Abbildungen liefern dafür die Schaltbilder. Abb. 6 R-C- Reihenschaltung. Abb. 7 R-C-Parallelschaltung. Abb. 8 R-L-Reihenschaltung. Abb. 9 R-L-Parallelschaltung. Abb. 1 R-C-L-Reihenschwingkreis. Physikalisches Grundpraktikum Versuch E7a 8

9 3.3. Hinweise zur Versuchsdurchführung Die Schaltungen werden auf einer Rastersteckplatte aufgebaut. Über dem Widerstand R M wird eine Spannung gemessen, mit der die Stromstärke der Schaltung berechnet werden kann. Dieser Widerstand darf einerseits nicht zu groß sein, dass er die Phasenverschiebung im Stromkreis beeinflusst, anderseits muss an ihm eine messbare Spannung abfallen. Falls das Oszilloskop über den Kanal 1 getriggert wird, sollte diese Spannung am Kanal gemessen werden. Vor dem Einschalten der Spannungsversorgung sollte die Schaltung vom Generator getrennt werden, da dieser über keinen separaten Schalter verfügt. Als nächstes werden Oszilloskop und Digitalmultimeter eingeschaltet. Das Multimeter sollte dafür zuvor auf Frequenzmessung eingestellt sein. Nachdem die Versuchsanordnung auf Korrektheit durch einen Betreuer geprüft wurde, kann der Stromkreis geschlossen werden. Machen Sie sich bei den Parallelschaltungen unbedingt vor dem Schließen des Stromkreises klar, in welcher Größenordnung der zu erwartende Strom liegt und beachten Sie dementsprechend den maximalen Generatorausgangsstrom von I max = 1 A! Ist die Einstellung der Frequenz f, bei welcher die Messreihe beginnen soll, am Funktionsgenerator erfolgt und mittels des Multimeters bestätigt worden, werden die Messbereiche am Oszilloskop eingestellt. Die Zeitablenkung sollte so gewählt werden, dass in etwa eine ganze Schwingungsperiode dargestellt wird. Für die vertikale Ablenkung empfiehlt sich stets der Messbereich, welcher die Signale der Schwingung in maximaler Vergrößerung, aber noch ohne sie abzuschneiden, darstellt. Ganz wichtig für eine exakte Messung ist die Nullkalibrierung beider Kanäle. Sie sollte nach dem Umschalten des Messbereichs überprüft und gegebenenfalls erneut durchgeführt werden. Ist der Nullabgleich erfolgt, kann die Versorgungsspannung U = 8 V SS am Funktionsgenerator eingestellt und mit dem Oszilloskop gemessen werden. Diese Einstellung ist für jede Messreihe nur einmal nötig, da der Funktionsgenerator S 1 eine äußerst stabile Ausgangsspannung liefert. Nun kann mit der eigentlichen Messung begonnen werden. Dafür wird mittels des zweiten Kanals der Spannungsabfall über dem Messwiderstand R M gemessen, welcher bei einem Widerstandswert von 1 Ω dem fließenden Strom entspricht. Es ist im Übrigen empfehlenswert, die Spannungen als Spitze-Spitze-Werte zu ermitteln und anschließend in Amplituden- oder Effektivwerte umzurechnen. Die zeitliche Distanz Δt zwischen Spannung und Strom lässt sich am besten am Nulldurchgang der Signale messen, da dort die Skala am genauesten abzulesen ist. Hierbei kann die riggersteuerung benutzt werden, um die Signale in horizontaler Richtung günstig zu verschieben. Aus dieser Zeitdifferenz wird später die Phasenverschiebung φ bestimmt. Im weiteren Verlauf wird die Frequenz im zu messenden Bereich variiert, und sowohl der Spannungsabfall über dem Messwiderstand als auch der Zeitabstand der Signale notiert. Die Messbereiche werden dabei je nach Bedarf umgeschaltet. Unter Umständen muss das Signal bei sehr kleinen Amplituden mit dem astschalter am Oszilloskop noch um den Faktor 5 gedehnt werden. Ist eine Messreihe vollständig, wird die Stromversorgung zur Schaltung unterbrochen und diese umgebaut. Im Anschluss startet eine weitere Messung. 4. Literatur [1] MÜLLER, R.; PIOROWSKI, A.: Einführung in die Elektrotechnik und Elektronik eil 1, 4. verbesserte Auflage, München: R. Oldenburg Verlag, [] MARINESCU, MARLENE;WINER, JÜRGEN: Basiswissen Gleich- und Wechselstromtechnik,. Auflage, Wiesbaden: Vieweg+eubner Verlag, 7. [3] GRIMSEHL: Lehrbuch der Physik, eil ; 1., Leipzig: eubner Verlag, 1988 [4] DEMRÖDER: Experimentalphysik 4. Auflage,, Springer Verlag 6; Physikalisches Grundpraktikum Versuch E7a 9

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