Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2."

Transkript

1 Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) = (0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34,...) gilt Rekursion erzeugende Funktion f n2 = f n f n (n 0), f 0 = 0, f = f(z) = f n z n = z z z 2 Partialbruchzerlegung mit φ = 5 2, φ = 5 2 z f(z) = ( φ z)( φ z) = ( 5 φ z φ z Explizite Form f n = φn φ n 5 ) Definition Definition Eine Folge a = (a n ) = (a 0, a, a 2,...) genügt einer (homogenen) linearen Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten, alias: genügt einer linearen Rekursion mit konstanten Koeffizienten, alias: heisst C-rekursiv, wenn es d Konstanten q, q 2,..., q d C (wobei o.b.d.a. q d 0) gibt mit: a nd = q a nd q 2 a nd 2 q d a n (n 0) Eine Lösung a = (a n ) ist durch ihre (frei wählbaren) d Anfangswerte a 0, a,..., a d eindeutig bestimmt. Der Lösungsraum ist ein linearer Raum der Dimension d Definition Definition Matrix-Formulierung c d c d c d 2 c 2 c a n a n2 a n3. a nd a nd = q d q d q d 2... q 2 q a n a n a n2. a nd 2 a nd a n a n a n2 a nd 2 a nd = q d q d q d 2... q 2 q n a 0 a a 2. a d 2 a d

2 Motivation Warum? Wozu? begegnen einem in vielen Situationen Lineare Systemtheorie Sehr enger Zusammenhang mit der Theorie der regulären Sprachen (Theorem von Schützenberger) Viele divide-and-conquer-rekursionen lassen sich in C-rekursive Folgen transformieren und lösen. Summationsprobleme führen auf spezielle lineare Differenzengleichungen. Probleme des asymptotischen Verhaltens von Lösungen a = (a n ) lassen sich im Prinzip exakt behandeln Die Theorie und die Verfahren sind ganz analog zur Theorie der linearen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. An die Stelle der Laplace-Transformation tritt die sog. z-transformation. Für eine Folge a = (a n ) C N sind folgende Aussagen äquivalent: a ist C-rekursiv, d.h. a genügt einer linearen Rekursion mit konstanten Koeffizienten, d.h. es gibt ein d Konstanten q, q 2,..., q d C mit a nd = q a nd q 2 a nd 2 q d a n (n 0) Die Reihe a(z) = a nz n ist Potenzreihenentwicklung (Taylorreihe) einer echten rationalen Funktion, d.h. es gibt Polynome P(X ), Q(X ) C[X ] mit Q(0) 0 und deg P(X ) < deg Q(X ), so dass a n z n = P(z). Die Folgenglieder a n lassen sich in Form einer Exponentialsumme schreiben, d.h. es gibt γ,..., γ s C und Polynome R (X ),..., R s (X ), so dass a n = R (n) γ n R s (n) γ n s (n 0). Es gibt ein d, so dass alle Determinanten der (d ) (d )-Matrizen a n a n a n2... a nd a n a n2 a n3... a nd a n2 a n3 a n4... a nd2 (n 0) a nd a nd a nd2... a n2d verschwinden Genauere Formulierung Es seien und q, q 2,..., q d C mit q d 0, γ, γ 2,..., γ s C (verschieden) d, d 2,..., d s N mit i d i = d Q(X ) = q X q 2 X 2 q d X d = i s ( γ i X ) d i d.h. jedes γ i ist Nullstelle mit Vielfachheit d i des sog. reziproken Polynoms ( charakteristisches Polynom ) Q R (X ) = X d Q(/X ) = X d q X d q 2 X d 2 q d

3 Für eine Folge a = (a n ) sind folgende Aussagen äquivalent (C-rekursiv) a nd = q a nd q 2 a nd 2 q d a n (n 0) Darstellung als Exponentialsumme a n = i s R i (n) γ n i (n 0) mit deg R i (X ) < d i ( i s) (rationale Funktion) a(z) = a n z n = P(z) = P(z) i s ( γ i z) d mit deg P(X ) < d i Algebraisch formuliert: a ist C-Linearkombination der d Basisfolgen ( ) n l γi n ( i s, 0 l < d i ) (Partialbruchzerlegung) a(z) = i s P i (z) ( γ i z) d i mit deg P i (X ) < d i ( i s) oder ( ( ) n γi n l ) ( i s, 0 l < d i ) Zum Beweis Zum Beweis (C-rekursiv) (rationale Funktion) folgt aus Koeffizientenvergleich in a(z). = (a 0 a z a 2 z 2 )( q z q 2 z 2 q d z d ) Das besagt = p 0 p z p d z d = P(z) a k (q a k q 2 a k 2 q k ) = p k (0 k < d) () und a nd (q a nd q 2 a nd 2 q d a n ) = 0 (n 0) (rationale Funktion) (Partialbruchzerlegung) ist eine fundamentale Eigenschaft von Polynomen und rationalen Funktionen über einem Körper (hier C) (NB: bei praktischen Berechnungen spielt Euklids Algorithmus eine Rolle!) (Partialbruchzerlegung) (Exponentialsumme) ist eine Anwendung von Newtons Binomialformel. (Exponentialsumme) (algebraische Formulierung) Vektorraum-Basis-Eigenschaft! Die (a k ) 0 k<d und die (p k ) 0 k<d bestimmen einander eindeutig durch die d Gleichungen ().

4 Erweiterung des es Die fundamentale Aussage lässt sich erweitern auf den Fall allgemeiner rationaler Funktionen a n z n = P(z) mit P(0) 0, also ohne die Beschränkung deg P(X ) < deg Q(X ). In dieser Situation macht man Polynomdivision P(X ) = L(X ) Q(X ) R(X ) mit deg R(X ) < deg Q(X ) und wendet die Aussage des es auf R(X )/Q(X ) an. Das bedeutet i.w. Die Rekursion a nd = q a nd q 2 a nd 2 q d a n gilt für n > deg L(X ) = deg P(X ) deg Q(X ) Die Darstellung als Exponentialsumme a n = R (n) γ n R s (n) γ n s gilt für n > deg L(X ) = deg P(X ) deg Q(X ). Für das asymptotische Verhalten von (a n ) ist das also ohne Belang! Wichtige Beispielklasse Theorem von Schützenberger: L Σ reguläre Sprache, L n = L Σ n Menge der Wörter der Länge n aus L, l n = L n Anzahl der Wörter der Länge n (l n ) ist eine C-rekursive Folge. Man benötigt die erweiterte Form des es l n z n = P(z) mit Q(0) 0, ohne Bedingung an die Grade der Polynome P(X ) und Q(X ). Alternativer Zugang zum Theorem Alternativer Beweis L Σ sei reguläre Sprache, l n = L Σ n A = Q, Σ, δ, q 0, F sei DFA, der L akzeptiert, L(A) = L Konvention: Q = {, 2,..., m}, q 0 = A = [ a i,j ] i,j m Transfer-Matrix von A: Potenzen der Transfer-Matrix a i,j = {x Σ ; δ(i, x) = j} A n = [ a (n) i,j ] i,j m mit a (n) i,j = {w Σ n ; δ (i, w) = j} Startvektor s und Zielvektor t s = (, 0, 0,..., 0) t = (t,..., t m ) mit t j = { falls j F 0 sonst

5 Alternativer Zugang zum Theorem In dieser Formulierung gilt l n z n = l n = L Σ n = s A n t T (n 0), also (s A n t T )z n = s A n z n t T = s (E m z A) t T Der letzte Ausdruck stellt tatsächlich eine rationale Funktion dar (Cramersche Regel!!) Alternativ: verwende das Theorem von Cayley-Hamilton Für das charakteristische Polynom χ(λ) = det(λ E m A) = λ m c λ m c m λ 0 einer Matrix A gilt: χ(a) = 0 (Nullmatrix) Minimalpolynom von A: normiertes Polynom P(X ) von minimalem Grad mit P(A) = 0 (eindeutig bestimmt!) Jedes Polynom P(X ) mit P(A) = 0 ist Vielfaches des Minimalpolynoms Alternativer Zugang zum Theorem Sei nun P(X ) = X d p X d p 2 X d 2 p d ein Polynom mit P(A) = A d p A d p 2 A d 2 p d E m = 0 Für alle n 0 gilt dann auch A n P(A) = 0 und damit 0 = s 0 t T = s A n P(A) t T ( = s A nd p A nd p d A n) t T = s A nd t T p s A nd t T p d s A n t T = l nd p l nd p 2 l nd 2 p d l n (n 0) Beispiel: L {a, b, c} Wörter, die keinen Faktor aa enthalten erzeugende Funktion Rekursion L(z) = l n z n = z 2z 2z 2 (Fortsetzung des Beispiels) Partialbruchzerlegung z 2z 2z 2 = α α Anzahlen exakt ( α α z α ) α z l n = ( 2 3 )( 3) n ( 2 3 )( 3) n l n2 = 2l n 2l n (n 0), l 0 =, l = 3 Anzahl asymptotisch Faktorisierung des Nennerpolynoms l n ( ) n = 2z 2z 2 = ( α z)( α z) mit α = 3 = , α = 3 = Coderate log lim 3 l n n = log =

6 Beispiel: L {a, b, c} Wörter, die den Faktor aa enthalten erzeugende Funktion L(z) = Rekursion l n z n = 3z L(z) = z 2 5z 4z 2 6z 3 l n3 = 5l n2 4l n 6l n (n 0), l 0 = l = 0, l 2 = (Fortsetzung des Beispiels) Partialbruchzerlegung z 2 5z 4z 2 6z 3 = 3z α α Anzahl exakt ( α α z α ) α z l n = 3 n l n = 3 n ( 2 3 )( 3) n ( 2 3 )( 3) n Nennerpolynom 5z 4z 2 6z 3 = ( 3 z)( α z)( α z) Anzahl asymptotisch l n 3 n log lim 3 l n n n Coderate = Beispiel zum Transfermatrix-Ansatz σ = {a, b, c}, L Σ : alle Wörter, die weder aa noch bc als Faktoren enthalten l n = L Σ n, (l n ) = (, 3, 7, 6, 36, 8,...) Transfermatrix für L A = a b c a 0 b 0 c Potenzen der Transfer-Matrix A 2 = 2 A 3 = Fortsetzung des Beispiels charakteristisches Polynom (auch Minimalpolynom) Rekursion erzeugende Funktion Exponentialsumme χ(λ) = λ 3 2 λ 2 λ l n3 = 2 l n2 l n l n (n 0) L(z) = l n z n = z 2 z z 2 z 3 l n = (.80..) n ( ) n.44..( ) n.44..( ) n Siehe Maple-worksheet für Details.

7 Beispiel aus der Linguistik ( Autosegmentale Phonologie ) Vn = Verbindungsstrukturen auf n Knotenpaaren (siehe Vorlesung) vn = V n, (v n ) = (,, 3,, 4, 53, 57, 223,...) Rekursion v n2 = 4v n v n (n 0), v 0 =, v = (Fortsetzung des Beispiels) Partialbruchzerlegung 3z 4z z 2 = β 3 β β β z β 3 β β β z mit β = 2 3 = , β = 2 3 = Anzahl exakt v n = (β 3) βn ( β 3) β n β β erzeugende Funktion v n z n = 3z 4z z 2 Anzahl asymptotisch v n β 3 β β n βn = ( ) n Siehe Maple-worksheet für Details. Gambler s ruin Glücksspieler startet zum Zeitpunkt 0 mit n e Kapital, 0 n N Bei jeder Spielrunde e Einsatz. Der Spieler gewinnt mit Wahrscheinlichkeit p und erhält 2 e zurück; verliert mit Wahrscheinlichkeit q = p und Einsatz verfällt (0 < p < ) Ziel: Kapital N e erreichen, ohne sich vorher zu ruinieren, d.h., ohne jemals Kapitalstand 0 e zu erreichen. Spielergebnisse in verschiedenen Runden sind unabhängig r n :Wahrscheinlichkeit, sich bei Start mit Kapital n e zu ruinieren erfüllt Rekursionsgleichung r n = p r n q r n (0 < n < N), r 0 =, r N = 0 anders geschrieben Fortsetzung von gambler s ruin Rekursionspolynom Q(X ) = p X q p X 2 = ( q p X )( X ) d.h. Nullstellen sind λ = q p und. Falls p 2, so ist λ, Lösung hat also die Form r n = a λ n b Einsetzen der Randwerte r 0 = und r N = 0 und Auflösung für a, b liefert r n = λn λ N λ N r n = p r n q p r n

8 Fortsetzung von gambler s ruin Falls p = 2, so ist λ = doppelte Nullstelle, Lösung hat also die Form r n = (a b n) λ n = a b n Einsetzen der Randwerte r 0 = und r N = 0 und Auflösung für a, b liefert r n = n N Verhalten der Ruin-Wahrscheinlichkeiten r n für grosses N und n =, 2, 3, 5 in Abhängigkeit von p 0,8 Zahlenwerte p = 0.3 N = 0 n = 4 r 4 = p = 0.5 N = 00 n = 20 r 20 = 0.8 0,6 0,4 beachte 0,2 lim r n = N { falls 0 p /2 ( q p ) n falls /2 p 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 p Inhomogene Rekursionen Inhomogene (forcierte) lineare Rekursion Inhomogene Rekursionen Situation: Rekursion wird durch eine forcierende Folge f = (f n ) beeinflusst: a nd = q a nd q 2 a nd 2 q d a n f n (n 0) Lösung wiederum durch Anfangswerte a 0, a,..., a d bestimmt. Formulierung mit Potenzreihen: a n z n = P(z) z d f n z n c d c d c d 2 c 2 c a n a n a n2 a nd 2 a nd f n f n mit Q(X ) = q X q 2 X 2 q d X d und P(X ) Polynom mit deg P < d.

9 Inhomogene Rekursionen Inhomogene Rekursionen Äquivalente Form: a n z n = P(z) zd f nz n Lösungsmenge für inhomogene Gleichungen regelt sich nach den Prinzipien der linearen Algebra: allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung = allgemeine Lösung der homogenen Gleichung P(z) spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung zd P f nz n Falls die forcierende Folge f = (f n ) selbst eine C-rekursive Folge ist, kann man die Lösungen im inhomogenen Fall prinzipiell genauso bestimmen, wie im homogenen (nicht-forcierten) Fall: f n z n = G(z) H(z) a n z n = P(z) G(z) zd H(z) = P(z) H(z) zd G(z) H(z) Beispiel Beispiel: allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung a n2 = 4 a n 4 a n f n (n 0) in Anhängigkeit von Anfangswerten a 0, a und f: Q(X ) = 4X 4X 2 = ( 2X ) 2, also d = 2, s =, λ = 2 Lösung a = (a n ) der homogenen Gleichung: (f = 0) Wegen a n = (r 0 r n) 2 n a 0 = (r 0 r 0) 2 0 = r 0 a = (r 0 r ) 2 = 2(r 0 r ) schreibt sich die allgemeine homogene Lösung: ( a n = a 0 ( a ) ( 2 a 0)n 2 n = ( n)a 0 a ) 2 n 2 n Beispiel Lösungen der inhomogenen (forcierten) Rekursion (): f = (,,,,...) = ( n ), also f nz n = z z d f nz n = z 2 ( 2z) 2 ( z) Lösungsansatz a n = (r 0 r n) 2 n s 0 n a 0 = a = 0, a 2 = r 0 =, r = 2, s 0 =, inhomogene Lösung mit a 0 = a = 0: a n = ( 2 n) 2 n (n 0) allgemeine inhomogene Lösung ( a n = ( n)a 0 a ) 2 n 2 n ( 2 n) 2 n man erkennt: an Θ(n 2 n ), ausser wenn a = 2a 0.

10 Beispiel Beispiel f = (, 2, 4, 8,...) = (2 n ), also f nz n = 2z z d f nz n = z 2 ( 2z) 3 Lösungsansatz a n = (r 0 r n r 2 n 2 ) 2 n a0 = a = 0, a 2 = r 0 = 0, r = 8, r 2 = 8 inhomogene Lösung mit a0 = a = 0: a n = ( n n 2 ) 2 n 3 allgemeine inhomogene Lösung ( a n = ( n)a 0 a ) 2 n 2 n ( n n 2 ) 2 n 3 man erkennt: a n Θ(n 2 2 n ) f = (, 3, 9, 27,...) = (3 n ), also f nz n = 3z z d f nz n = z 2 ( 2z) 2 ( 3z) Lösungsansatz a n = (r 0 r n) 2 n s 0 3 n a0 = a = 0, a 2 = r 0 =, r = 2, s 0 = inhomogene Lösung mit a0 = a = 0: a n = ( 2 n) 2 n 3 n allgemeine inhomogene Lösung ( a n = ( n)a 0 a ) 2 n 2 n ( 2 n) 2 n 3 n man erkennt: a n Θ(3 n ) Asymptotik Wichtige Anwendung der Exponentialsummen: Asymptotik Für a = (a n ) kann man das asymptotische Verhalten aus der Exponentialsumme präzise bestimmen. Wichtiger und häufiger Spezialfall: Sei a = (a n ) C-rekursiv mit wobei a n z n = P(z) deg P < deg Q, teilerfremd Q(X ) = q X q d X d = i s ( γ i X ) d i Asymptotik In diesem Fall gilt: a n c n δ γ n wobei sich c und δ aus der Exponentialsumme ergeben: a n = R (n) γ n R 2 (n) γ n 2 R s (n) γ n s mit deg R = δ, R (X ) = c X δ. Daher a n n δ γ n = R (n) n δ } {{ } n c 2 i s R i (n) n δ ( ) n γi γ } {{ } n 0 γ heisst dominierend, falls γ i < γ (2 i s)

11 Asymptotik Spezialfall Q(X ) = q X q d X d mit q,..., q d 0, q d > 0 Es gibt genau ein ξ R mit Q(ξ) = 0 Mit γ = ξ gilt Q(X ) = ( γ X ) 2 i s ( γ i X ) d i und γ ist dominierend: γ i < γ (2 i s) Für eine C-rekursive Folge a = (a n ) mit erzeugender Funktion a nz n = P(z)/ gilt also: a n c γ n = c ξ n Beispiel: Komplexität eines k-sat-algorithmus Komplexitätsabschätzung für einen k-sat-algorithmus (Monien-Speckenmeyer) tk (n) : obere Schranke für Anzahl der Knoten im Rekursionsbaum für k-sat-algorithmus für Formeln mit n Variablen (siehe Einleitung zur Vorlesung) Rekursion t k (n) = t k (n ) t k (n 2) t k (n k) (n k) Rekursionspolynom Q k (X ) = X X 2 X k = ( α k X ) Q k (X ) wobei α k > 0 mit Q k (α k ) = 0 (dominierend) asymptotisches Verhalten t k (n) α n k Anwendung: divide-and-conquer Rekursionen Analyse von divide-and-conquer Rekursionen Ausgangspunkt (vgl. Schöning, Algorithmik, Kap..9) T (N) = d q i T (N/β i ) Θ(N k log δ β N) i= mit q, q 2,..., q d 0, q d > 0 und k, δ, β N, β >. Betrachte Rekursion entlang Potenzen von β, d.h. N = β n und T (N) = t n : t n = d q i t n i Θ((β k ) n n δ ) i= Betrachte dies als eine forcierte lineare Rekursion! d t nd = q i t nd i c ((β k ) n n δ ) i= Anwendung: divide-and-conquer Rekursionen Die forcierende Folge ( overhead ) ist C-rekursiv: Damit gilt (β k ) n n δ z n = R(z) ( β k z) δ t n z n = P(z) R(z) zd ( β k z) δ Für Q(X ) = q X q d X d sei ξ > 0 mit Q(ξ) = 0. γ = ξ ist dominierend! Es kommt nun auf das Verhältnis von γ und β k an!

12 Anwendung: divide-and-conquer Rekursionen Anwendung: divide-and-conquer Rekursionen γ dominiert: γ > β k Q(β k ) < 0 t n z n = c ( γ z) S(z) ( β k z) δ wobei Q(X ) = Q(X )/( γ z) und deg S < d δ, also t n Θ(γ n ), d.h. T (N) Θ(N log β γ ) β k dominiert: γ < β k Q(β k ) > 0 t n z n = wobei deg U δ, also U(z) V (z) ( β k z) δ t n Θ(n δ (β k ) n ) d.h. T (N) Θ(N k log δ β N) falls deg U = δ. Anwendung: divide-and-conquer Rekursionen Anwendung: divide-and-conquer Rekursionen β k = γ dominiert: γ = β k Q(β k ) = 0 t n z n = wobei deg K δ, also K(z) L(z) ( β k z) δ2 t n Θ(n δ (β k ) n ) d.h. T (N) Θ(N k log δ β N) falls deg R = δ. Zusammenfassung: für die Lösung einer divide-and-conquer Rekursion T (N) = d q i T (N/β i ) Θ(N k log δ β N) i= mit q,..., q d 0, q d > 0 und β > gilt: Q(β k ) < 0 T (N) Θ(N log β γ ) Q(β k ) > 0 T (N) Θ(N k log δ β N) Q(β k ) = 0 T (N) Θ(N k log δ β N) Dabei ist Q(X ) = q X q 2 X 2 q d X d γ R : positive reelle Nullstelle von Q(X ) (eindeutig!)

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01 Kapitel Komplexe Zahlen Motivation: die Gleichung x = hat offensichtlich keine reellen Lösungen, da x 0 für jedes reelle x gilt Um auch diese Gleichung lösen zu können, muß man neue Zahlen einführen: die

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

4.1. Grundlegende Definitionen. Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen. 4.2 Graphen von Funktionen

4.1. Grundlegende Definitionen. Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen. 4.2 Graphen von Funktionen 4.1. Grundlegende Definitionen Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 22./29. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: Rekursionsgleichungen (K4) Übersicht. Binäre Suche. Joost-Pieter Katoen. 20.

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: Rekursionsgleichungen (K4) Übersicht. Binäre Suche. Joost-Pieter Katoen. 20. Übersicht Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: (K4) Joost-Pieter Katoen Lehrstuhl für Informatik 2 Software Modeling and Verification Group http://www-i2.informatik.rwth-aachen.de/i2/dsal12/ 20.

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen

4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen 7 4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen Die Laplace-Transformation wird gerne benutzt, um lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten y n + a n y n +... + a y + a 0 y ft zu lösen,

Mehr

Methoden zum Lösen von Rekursionsgleichungen

Methoden zum Lösen von Rekursionsgleichungen Rekursionsgleichungen... Slide 1 Methoden zum Lösen von Rekursionsgleichungen Bisher wurde Expandieren der Rekursion + Raten der Gesetzmäßigkeit benutzt, um einfache Rekursionsgleichungen zu lösen. Zum

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

Differenzengleichungen. und Polynome

Differenzengleichungen. und Polynome Lineare Differenzengleichungen und Polynome Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck Technikerstr. 13/7, A-600 Innsbruck, Österreich franz.pauer@uibk.ac.at 1 Einleitung Mit linearen Differenzengleichungen

Mehr

Stackelberg Scheduling Strategien

Stackelberg Scheduling Strategien Stackelberg Scheduling Strategien Von Tim Roughgarden Präsentiert von Matthias Ernst Inhaltsübersicht Einleitung Vorbetrachtungen Stackelberg Strategien Ergebnisse Seminar Algorithmische Spieltheorie:

Mehr

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

7 Der so genannte chinesische Restsatz

7 Der so genannte chinesische Restsatz 7 Der so genannte chinesische Restsatz Der Chinese Sun Tsu stellte, so wird berichtet, in seinem Buch Suan-Ching ua die folgende Aufgabe: Wir haben eine gewisse Anzahl von Dingen, wissen aber nicht genau

Mehr

Schulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra

Schulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra Schulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra Prof. Dr. Wolfram Koepf Universität Kassel http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf Tag der Mathematik 13. Dezember 2008 Universität Passau Überblick

Mehr

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung Universität Duisburg-Essen Essen, den.6. Fakultät für Mathematik S. Bauer C. Hubacsek C. Thiel 8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung In dieser Übung sollen in Aufgabe und die qualitativ

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Kapitel 4. Grundlagen der Analyse von Algorithmen. Xiaoyi Jiang Informatik II Datenstrukturen und Algorithmen

Kapitel 4. Grundlagen der Analyse von Algorithmen. Xiaoyi Jiang Informatik II Datenstrukturen und Algorithmen Kapitel 4 Grundlagen der Analyse von Algorithmen 1 4.1 Kostenfunktion zu Beurteilung von Algorithmen Die Angabe der Laufzeit (und etwas weniger wichtig des Speicherplatzes) liefert das wichtigste Maß für

Mehr

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Die mit dem Stern * gekennzeichneten Übungen sind nicht verpflichtend, aber sie liefern zusätzliche Punkte. Unten wird immer mit I das reelle Intervall [0, 1]

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel Vorlesung 2 22 bzw 23 Januar 204 Lineares Gleichungssystem a a 2 b b 2 = F a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = V V =< a, b c > c b a b a F V Seite 70 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = 0 < a x + a 2 x 2 + a 3 x 3

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 16 4. Groß-O R. Steuding (HS-RM)

Mehr

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27 DLP Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de Fachbereich Mathematik und Informatik ALZAGK SEMINAR Bremen, den 18. Januar 2011 1 / 27 Inhaltsverzeichnis 1 Der diskrete Logarithmus Definition

Mehr

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens Mathematische Grundlagen der Kryptographie 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe Stefan Brandstädter Jennifer Karstens 18. Januar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Ganze Zahlen 1 1.1 Grundlagen............................

Mehr

Anhang I zur Vorlesung Kryptologie: Elementare Zahlentheorie

Anhang I zur Vorlesung Kryptologie: Elementare Zahlentheorie Anhang I zur Vorlesung Kryptologie: Elementare Zahlentheorie von Peter Hellekalek Fakultät für Mathematik, Universität Wien, und Fachbereich Mathematik, Universität Salzburg Tel: +43-(0)662-8044-5310 Fax:

Mehr

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen 2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen (1) Affin-lineare Funktionen Eine Funktion f : R R heißt konstant, wenn ein c R mit f (x) = c für alle x R existiert linear, wenn es ein a R mit f (x) = ax für

Mehr

FUNKTIONENTHEORIE - ZUSÄTZLICHE LERNMATERIALIEN

FUNKTIONENTHEORIE - ZUSÄTZLICHE LERNMATERIALIEN FUNKTIONENTHEORIE - ZUSÄTZLICHE LERNMATERIALIEN JOSEF TEICHMANN 1. Ein motivierendes Beispiel aus der Anwendung Das SABR-Modell spielt in der Modellierung von stochastischer Volatilität eine herausragende

Mehr

Identitätssatz für Potenzreihen

Identitätssatz für Potenzreihen Identitätssatz für Potenzreihen Satz 3.56 Seien f (z) = a n z n und g(z) = b n z n zwei Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien R f > 0 und R g > 0. Gilt f (z) = g(z) für alle z mit 0 z < min{r f,

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 11

Ü b u n g s b l a t t 11 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel 8. 1. 004 Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am 15.1.004 in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte

Mehr

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross / Mai Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Algebraisch abgeschlossener Körper) Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen,

Mehr

Algebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen

Algebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen Algebra und Diskrete Mathematik, PS3 Sommersemester 2016 Prüfungsfragen Erläutern Sie die Sätze über die Division mit Rest für ganze Zahlen und für Polynome (mit Koeffizienten in einem Körper). Wodurch

Mehr

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht

Mehr

Fraktale Geometrie: Julia Mengen

Fraktale Geometrie: Julia Mengen Fraktale Geometrie: Julia Mengen Gunnar Völkel 1. Februar 007 Zusammenfassung Diese Ausarbeitung ist als Stoffsammlung für das Seminar Fraktale Geometrie im Wintersemester 006/007 an der Universität Ulm

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Die Komplexitätsklassen P und NP

Die Komplexitätsklassen P und NP Die Komplexitätsklassen P und NP Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 3. Dezember 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und

Mehr

MatheBasics Teil 1 Grundlagen der Mathematik

MatheBasics Teil 1 Grundlagen der Mathematik Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft MatheBasics Teil 1 Grundlagen der Mathematik Version 2016 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der Entnahme,

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt

Mehr

1 Lineare Gleichungssysteme

1 Lineare Gleichungssysteme MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1 Literatur: K Nipp/D Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4 Auflage, 1998, oder neuer 1 Lineare Gleichungssysteme Zu den grundlegenden

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Kapitel III. Lineare Abbildungen

Kapitel III. Lineare Abbildungen Kapitel III. Lineare Abbildungen Beispiele: 1 Lineare Abbildungen a) Seien c 1,..., c n K vorgegeben. Betrachte die Funktion F (x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n in den Variablen x 1,...,

Mehr

Grundlagen der Monte Carlo Simulation

Grundlagen der Monte Carlo Simulation Grundlagen der Monte Carlo Simulation 10. Dezember 2003 Peter Hofmann Inhaltsverzeichnis 1 Monte Carlo Simulation.................... 2 1.1 Problemstellung.................... 2 1.2 Lösung durch Monte

Mehr

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle.

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle. Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien Tobias Hebel Koblenz, am 18.02.2005 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 3 2 Grundlagen...

Mehr

In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1)

In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1) 34 Determinanten In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N Wenn (mit einem n > 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, (1)

Mehr

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14.

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14. Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/0 4. Januar 200 Instabilitäten

Mehr

Vorkurs Mathematik 2016

Vorkurs Mathematik 2016 Vorkurs Mathematik 2016 Natürliche Zahlen Der grundlegende Zahlenbereich ist die Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3,...}. In vielen Fällen ist es sinnvoll die Zahl 0 mit einzubeziehen: N 0 = N [

Mehr

Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner. 17. Oktober Technische Universität München. Die abc-formel. W. Kinzner. Problemstellung.

Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner. 17. Oktober Technische Universität München. Die abc-formel. W. Kinzner. Problemstellung. Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner Technische Universität München 17. Oktober 2013 1 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2 2 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2 3 2 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2

Mehr

WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Grundlagen

WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Grundlagen Die WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Grundlagen Wer lange genug über hunderten von Problemen gebrütet hat, kann bei vielen bereits erraten, aus welchem Land sie kommen. So lieben die Briten etwa die

Mehr

45 Eigenwerte und Eigenvektoren

45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.

Mehr

β Ζ φ ε = δ δ = + = = = = = ρ ρ γ γ γ γ γ γ γ = = = = = = + + = = = + + = = = = $ σ r ( ) K r = = = O M L r M r r = = O M L r M r r = = = = = = = = ( ) ( ) = ( ) = ± ( ) ( ) = ± ( ) = ± (

Mehr

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Dierentialgleichungen 2. Ordnung

Dierentialgleichungen 2. Ordnung Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:

Mehr

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 10: Lineare Algebra

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 10: Lineare Algebra Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 10: Lineare Algebra Christian Scheideler WS 2008 19.02.2009 Kapitel 10 1 Überblick Notation Arithmetik auf großen Zahlen (Addition und Multiplikation)

Mehr

Maple-Skripte. A.1 Einleitung. A.2 Explizite Zweischritt-Runge-Kutta-Verfahren. Bei der Ausführung

Maple-Skripte. A.1 Einleitung. A.2 Explizite Zweischritt-Runge-Kutta-Verfahren. Bei der Ausführung A Maple-Skripte A.1 Einleitung Bei der Ausführung mechanischer Rechnungen können Computeralgebra-Programme sehr nützlich werden. Wenn man genau weiß, was eingesetzt, umgeformt, zusammengefaßt oder entwickelt

Mehr

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper In den bisherigen Kapiteln haben wir nur Gruppen, also insbesondere nur Mengen mit lediglich einer Verknüpfung, untersucht. In der Praxis gibt es aber natürlich

Mehr

Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen

Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen Wintersemester 2012/2013 Universität Bayreuth Michael Stoll Inhaltsverzeichnis 1. Wiederholung: Gruppen, Ringe, Körper 2 2. Teilbarkeitslehre

Mehr

Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt

Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS Prof. Dr. M. Voigt 2. März 2015 II Inhaltsverzeichnis 5 Grundlagen 1 5.1 Funktionen einer Variablen...................... 1 5.2 spezielle Funktionen.........................

Mehr

Lineare Algebra II, Lösungshinweise Blatt 9

Lineare Algebra II, Lösungshinweise Blatt 9 Prof Dr Katrin Wendland Priv Doz Dr Katrin Leschke Christoph Tinkl SS 27 Lineare Algebra II, Lösungshinweise Blatt 9 Aufgabe (4 Punkte) Sei 2 3 4 A = 5 6 Berechnen Sie A k für alle k N und verifizieren

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

13 Stetige Funktionen

13 Stetige Funktionen $Id: stetig.tex,v.4 2009/02/06 3:47:42 hk Exp $ 3 Stetige Funktionen 3.2 Stetige Funktionen In anderen Worten bedeutet die Stetigkeit einer Funktion f : I R also f(x n) = f( x n ) n n für jede in I konvergente

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN FRANK LANGBEIN Literatur: D. Berseas, J. Tsitsilis: Parallel and distributed computatoin, pp. 48 489 URI: http://www.langbein.org/research/parallel/ Modell teilweiser asynchroner

Mehr

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne

Mehr

Vorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter

Vorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter Vorwort Günter M. Gramlich Lineare Algebra Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-43035-8 sowie im Buchhandel. Carl Hanser

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren Ergänzung Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Definitionen Beispiele im IR 2 Beispiele im IR 3 Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor Lineare Abbildungen

Mehr

Weiterbildung für Ingenieure Numerische Methoden für Differentialgleichungen Prinzipien und Praxis Taubert, Heitmann Universität Hamburg WS03/04

Weiterbildung für Ingenieure Numerische Methoden für Differentialgleichungen Prinzipien und Praxis Taubert, Heitmann Universität Hamburg WS03/04 Weiterbildung für Ingenieure Numerische Methoden für Differentialgleichungen Prinzipien und Praxis Taubert, Heitmann Universität Hamburg WS03/04 Linearisierung 1 K. Taubert LINEARISIERUNG und das VERHALTEN

Mehr

2 Rationale und reelle Zahlen

2 Rationale und reelle Zahlen 2 reelle Es gibt Mathematik mit Grenzwert (Analysis) und Mathematik ohne Grenzwert (z.b Algebra). Grenzwerte existieren sicher nur dann, wenn der Zahlbereich vollständig ist, also keine Lücken aufweist

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

11 Normalformen von Matrizen

11 Normalformen von Matrizen 11 Normalformen von Matrizen Wir wenden uns in diesem Kapitel noch einmal der Untersuchung linearer Abbildungen auf endlichdimensionalen Vektorräumen und deren Darstellung mittels Matrizen zu Speziell

Mehr

Numerische Behandlung des Eigenwertproblems

Numerische Behandlung des Eigenwertproblems Numerische Behandlung des Eigenwertproblems Zusammenfassung Das Ziel dieses Vortrages ist, zwei gute Methoden für die numerische Bestimmung der Eigenwerte zu zeigen und wie man diese mit Matlab anwenden

Mehr

f f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0.

f f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0. Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung 9 Optimierung Definition Seien U R n oen, f : U R, x U x heiÿt lokales Maximum, falls eine Umgebung V U von x existiert mit y V : fx fy x heiÿt lokales

Mehr

Wissensbasierte Systeme

Wissensbasierte Systeme WBS4 Slide 1 Wissensbasierte Systeme Vorlesung 4 vom 03.11.2004 Sebastian Iwanowski FH Wedel WBS4 Slide 2 Wissensbasierte Systeme 1. Motivation 2. Prinzipien und Anwendungen 3. Logische Grundlagen 4. Suchstrategien

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach)

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Rost SS 0 Blatt.06.0 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Abgabe: Dienstag, 0. Juli 0, bis 4:00

Mehr

Mathematik II. D K, z P(z) Q(z), wobei D das Komplement der Nullstellen von Q ist, eine rationale Funktion.

Mathematik II. D K, z P(z) Q(z), wobei D das Komplement der Nullstellen von Q ist, eine rationale Funktion. rof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 200 Mathematik II Vorlesung 34 Wir erinnern an den Begriff einer rationalen Funktion. Definition 34.. Zu zwei olynomen,q K[X], Q 0, heißt die Funktion D K, z (z) Q(z),

Mehr

Explizite Formeln für rekursiv definierte Folgen

Explizite Formeln für rekursiv definierte Folgen Schweizer Mathematik-Olympiade Explizite Formeln für rekursiv definierte Folgen Aktualisiert: 6 Juni 014 In diesem Skript wird erklärt, wie man explizite Formeln für rekursiv definierte Folgen findet Als

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

2. Der Grad von Körpererweiterungen

2. Der Grad von Körpererweiterungen 2. Der Grad von Körpererweiterungen 15 2. Der Grad von Körpererweiterungen Wenn wir untersuchen wollen, ob eine gegebene Konstruktion in der Ebene mit Zirkel und Lineal durchführbar ist, haben wir im vorigen

Mehr