Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2.

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1 Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) = (0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34,...) gilt Rekursion erzeugende Funktion f n2 = f n f n (n 0), f 0 = 0, f = f(z) = f n z n = z z z 2 Partialbruchzerlegung mit φ = 5 2, φ = 5 2 z f(z) = ( φ z)( φ z) = ( 5 φ z φ z Explizite Form f n = φn φ n 5 ) Definition Definition Eine Folge a = (a n ) = (a 0, a, a 2,...) genügt einer (homogenen) linearen Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten, alias: genügt einer linearen Rekursion mit konstanten Koeffizienten, alias: heisst C-rekursiv, wenn es d Konstanten q, q 2,..., q d C (wobei o.b.d.a. q d 0) gibt mit: a nd = q a nd q 2 a nd 2 q d a n (n 0) Eine Lösung a = (a n ) ist durch ihre (frei wählbaren) d Anfangswerte a 0, a,..., a d eindeutig bestimmt. Der Lösungsraum ist ein linearer Raum der Dimension d Definition Definition Matrix-Formulierung c d c d c d 2 c 2 c a n a n2 a n3. a nd a nd = q d q d q d 2... q 2 q a n a n a n2. a nd 2 a nd a n a n a n2 a nd 2 a nd = q d q d q d 2... q 2 q n a 0 a a 2. a d 2 a d

2 Motivation Warum? Wozu? begegnen einem in vielen Situationen Lineare Systemtheorie Sehr enger Zusammenhang mit der Theorie der regulären Sprachen (Theorem von Schützenberger) Viele divide-and-conquer-rekursionen lassen sich in C-rekursive Folgen transformieren und lösen. Summationsprobleme führen auf spezielle lineare Differenzengleichungen. Probleme des asymptotischen Verhaltens von Lösungen a = (a n ) lassen sich im Prinzip exakt behandeln Die Theorie und die Verfahren sind ganz analog zur Theorie der linearen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. An die Stelle der Laplace-Transformation tritt die sog. z-transformation. Für eine Folge a = (a n ) C N sind folgende Aussagen äquivalent: a ist C-rekursiv, d.h. a genügt einer linearen Rekursion mit konstanten Koeffizienten, d.h. es gibt ein d Konstanten q, q 2,..., q d C mit a nd = q a nd q 2 a nd 2 q d a n (n 0) Die Reihe a(z) = a nz n ist Potenzreihenentwicklung (Taylorreihe) einer echten rationalen Funktion, d.h. es gibt Polynome P(X ), Q(X ) C[X ] mit Q(0) 0 und deg P(X ) < deg Q(X ), so dass a n z n = P(z). Die Folgenglieder a n lassen sich in Form einer Exponentialsumme schreiben, d.h. es gibt γ,..., γ s C und Polynome R (X ),..., R s (X ), so dass a n = R (n) γ n R s (n) γ n s (n 0). Es gibt ein d, so dass alle Determinanten der (d ) (d )-Matrizen a n a n a n2... a nd a n a n2 a n3... a nd a n2 a n3 a n4... a nd2 (n 0) a nd a nd a nd2... a n2d verschwinden Genauere Formulierung Es seien und q, q 2,..., q d C mit q d 0, γ, γ 2,..., γ s C (verschieden) d, d 2,..., d s N mit i d i = d Q(X ) = q X q 2 X 2 q d X d = i s ( γ i X ) d i d.h. jedes γ i ist Nullstelle mit Vielfachheit d i des sog. reziproken Polynoms ( charakteristisches Polynom ) Q R (X ) = X d Q(/X ) = X d q X d q 2 X d 2 q d

3 Für eine Folge a = (a n ) sind folgende Aussagen äquivalent (C-rekursiv) a nd = q a nd q 2 a nd 2 q d a n (n 0) Darstellung als Exponentialsumme a n = i s R i (n) γ n i (n 0) mit deg R i (X ) < d i ( i s) (rationale Funktion) a(z) = a n z n = P(z) = P(z) i s ( γ i z) d mit deg P(X ) < d i Algebraisch formuliert: a ist C-Linearkombination der d Basisfolgen ( ) n l γi n ( i s, 0 l < d i ) (Partialbruchzerlegung) a(z) = i s P i (z) ( γ i z) d i mit deg P i (X ) < d i ( i s) oder ( ( ) n γi n l ) ( i s, 0 l < d i ) Zum Beweis Zum Beweis (C-rekursiv) (rationale Funktion) folgt aus Koeffizientenvergleich in a(z). = (a 0 a z a 2 z 2 )( q z q 2 z 2 q d z d ) Das besagt = p 0 p z p d z d = P(z) a k (q a k q 2 a k 2 q k ) = p k (0 k < d) () und a nd (q a nd q 2 a nd 2 q d a n ) = 0 (n 0) (rationale Funktion) (Partialbruchzerlegung) ist eine fundamentale Eigenschaft von Polynomen und rationalen Funktionen über einem Körper (hier C) (NB: bei praktischen Berechnungen spielt Euklids Algorithmus eine Rolle!) (Partialbruchzerlegung) (Exponentialsumme) ist eine Anwendung von Newtons Binomialformel. (Exponentialsumme) (algebraische Formulierung) Vektorraum-Basis-Eigenschaft! Die (a k ) 0 k<d und die (p k ) 0 k<d bestimmen einander eindeutig durch die d Gleichungen ().

4 Erweiterung des es Die fundamentale Aussage lässt sich erweitern auf den Fall allgemeiner rationaler Funktionen a n z n = P(z) mit P(0) 0, also ohne die Beschränkung deg P(X ) < deg Q(X ). In dieser Situation macht man Polynomdivision P(X ) = L(X ) Q(X ) R(X ) mit deg R(X ) < deg Q(X ) und wendet die Aussage des es auf R(X )/Q(X ) an. Das bedeutet i.w. Die Rekursion a nd = q a nd q 2 a nd 2 q d a n gilt für n > deg L(X ) = deg P(X ) deg Q(X ) Die Darstellung als Exponentialsumme a n = R (n) γ n R s (n) γ n s gilt für n > deg L(X ) = deg P(X ) deg Q(X ). Für das asymptotische Verhalten von (a n ) ist das also ohne Belang! Wichtige Beispielklasse Theorem von Schützenberger: L Σ reguläre Sprache, L n = L Σ n Menge der Wörter der Länge n aus L, l n = L n Anzahl der Wörter der Länge n (l n ) ist eine C-rekursive Folge. Man benötigt die erweiterte Form des es l n z n = P(z) mit Q(0) 0, ohne Bedingung an die Grade der Polynome P(X ) und Q(X ). Alternativer Zugang zum Theorem Alternativer Beweis L Σ sei reguläre Sprache, l n = L Σ n A = Q, Σ, δ, q 0, F sei DFA, der L akzeptiert, L(A) = L Konvention: Q = {, 2,..., m}, q 0 = A = [ a i,j ] i,j m Transfer-Matrix von A: Potenzen der Transfer-Matrix a i,j = {x Σ ; δ(i, x) = j} A n = [ a (n) i,j ] i,j m mit a (n) i,j = {w Σ n ; δ (i, w) = j} Startvektor s und Zielvektor t s = (, 0, 0,..., 0) t = (t,..., t m ) mit t j = { falls j F 0 sonst

5 Alternativer Zugang zum Theorem In dieser Formulierung gilt l n z n = l n = L Σ n = s A n t T (n 0), also (s A n t T )z n = s A n z n t T = s (E m z A) t T Der letzte Ausdruck stellt tatsächlich eine rationale Funktion dar (Cramersche Regel!!) Alternativ: verwende das Theorem von Cayley-Hamilton Für das charakteristische Polynom χ(λ) = det(λ E m A) = λ m c λ m c m λ 0 einer Matrix A gilt: χ(a) = 0 (Nullmatrix) Minimalpolynom von A: normiertes Polynom P(X ) von minimalem Grad mit P(A) = 0 (eindeutig bestimmt!) Jedes Polynom P(X ) mit P(A) = 0 ist Vielfaches des Minimalpolynoms Alternativer Zugang zum Theorem Sei nun P(X ) = X d p X d p 2 X d 2 p d ein Polynom mit P(A) = A d p A d p 2 A d 2 p d E m = 0 Für alle n 0 gilt dann auch A n P(A) = 0 und damit 0 = s 0 t T = s A n P(A) t T ( = s A nd p A nd p d A n) t T = s A nd t T p s A nd t T p d s A n t T = l nd p l nd p 2 l nd 2 p d l n (n 0) Beispiel: L {a, b, c} Wörter, die keinen Faktor aa enthalten erzeugende Funktion Rekursion L(z) = l n z n = z 2z 2z 2 (Fortsetzung des Beispiels) Partialbruchzerlegung z 2z 2z 2 = α α Anzahlen exakt ( α α z α ) α z l n = ( 2 3 )( 3) n ( 2 3 )( 3) n l n2 = 2l n 2l n (n 0), l 0 =, l = 3 Anzahl asymptotisch Faktorisierung des Nennerpolynoms l n ( ) n = 2z 2z 2 = ( α z)( α z) mit α = 3 = , α = 3 = Coderate log lim 3 l n n = log =

6 Beispiel: L {a, b, c} Wörter, die den Faktor aa enthalten erzeugende Funktion L(z) = Rekursion l n z n = 3z L(z) = z 2 5z 4z 2 6z 3 l n3 = 5l n2 4l n 6l n (n 0), l 0 = l = 0, l 2 = (Fortsetzung des Beispiels) Partialbruchzerlegung z 2 5z 4z 2 6z 3 = 3z α α Anzahl exakt ( α α z α ) α z l n = 3 n l n = 3 n ( 2 3 )( 3) n ( 2 3 )( 3) n Nennerpolynom 5z 4z 2 6z 3 = ( 3 z)( α z)( α z) Anzahl asymptotisch l n 3 n log lim 3 l n n n Coderate = Beispiel zum Transfermatrix-Ansatz σ = {a, b, c}, L Σ : alle Wörter, die weder aa noch bc als Faktoren enthalten l n = L Σ n, (l n ) = (, 3, 7, 6, 36, 8,...) Transfermatrix für L A = a b c a 0 b 0 c Potenzen der Transfer-Matrix A 2 = 2 A 3 = Fortsetzung des Beispiels charakteristisches Polynom (auch Minimalpolynom) Rekursion erzeugende Funktion Exponentialsumme χ(λ) = λ 3 2 λ 2 λ l n3 = 2 l n2 l n l n (n 0) L(z) = l n z n = z 2 z z 2 z 3 l n = (.80..) n ( ) n.44..( ) n.44..( ) n Siehe Maple-worksheet für Details.

7 Beispiel aus der Linguistik ( Autosegmentale Phonologie ) Vn = Verbindungsstrukturen auf n Knotenpaaren (siehe Vorlesung) vn = V n, (v n ) = (,, 3,, 4, 53, 57, 223,...) Rekursion v n2 = 4v n v n (n 0), v 0 =, v = (Fortsetzung des Beispiels) Partialbruchzerlegung 3z 4z z 2 = β 3 β β β z β 3 β β β z mit β = 2 3 = , β = 2 3 = Anzahl exakt v n = (β 3) βn ( β 3) β n β β erzeugende Funktion v n z n = 3z 4z z 2 Anzahl asymptotisch v n β 3 β β n βn = ( ) n Siehe Maple-worksheet für Details. Gambler s ruin Glücksspieler startet zum Zeitpunkt 0 mit n e Kapital, 0 n N Bei jeder Spielrunde e Einsatz. Der Spieler gewinnt mit Wahrscheinlichkeit p und erhält 2 e zurück; verliert mit Wahrscheinlichkeit q = p und Einsatz verfällt (0 < p < ) Ziel: Kapital N e erreichen, ohne sich vorher zu ruinieren, d.h., ohne jemals Kapitalstand 0 e zu erreichen. Spielergebnisse in verschiedenen Runden sind unabhängig r n :Wahrscheinlichkeit, sich bei Start mit Kapital n e zu ruinieren erfüllt Rekursionsgleichung r n = p r n q r n (0 < n < N), r 0 =, r N = 0 anders geschrieben Fortsetzung von gambler s ruin Rekursionspolynom Q(X ) = p X q p X 2 = ( q p X )( X ) d.h. Nullstellen sind λ = q p und. Falls p 2, so ist λ, Lösung hat also die Form r n = a λ n b Einsetzen der Randwerte r 0 = und r N = 0 und Auflösung für a, b liefert r n = λn λ N λ N r n = p r n q p r n

8 Fortsetzung von gambler s ruin Falls p = 2, so ist λ = doppelte Nullstelle, Lösung hat also die Form r n = (a b n) λ n = a b n Einsetzen der Randwerte r 0 = und r N = 0 und Auflösung für a, b liefert r n = n N Verhalten der Ruin-Wahrscheinlichkeiten r n für grosses N und n =, 2, 3, 5 in Abhängigkeit von p 0,8 Zahlenwerte p = 0.3 N = 0 n = 4 r 4 = p = 0.5 N = 00 n = 20 r 20 = 0.8 0,6 0,4 beachte 0,2 lim r n = N { falls 0 p /2 ( q p ) n falls /2 p 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 p Inhomogene Rekursionen Inhomogene (forcierte) lineare Rekursion Inhomogene Rekursionen Situation: Rekursion wird durch eine forcierende Folge f = (f n ) beeinflusst: a nd = q a nd q 2 a nd 2 q d a n f n (n 0) Lösung wiederum durch Anfangswerte a 0, a,..., a d bestimmt. Formulierung mit Potenzreihen: a n z n = P(z) z d f n z n c d c d c d 2 c 2 c a n a n a n2 a nd 2 a nd f n f n mit Q(X ) = q X q 2 X 2 q d X d und P(X ) Polynom mit deg P < d.

9 Inhomogene Rekursionen Inhomogene Rekursionen Äquivalente Form: a n z n = P(z) zd f nz n Lösungsmenge für inhomogene Gleichungen regelt sich nach den Prinzipien der linearen Algebra: allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung = allgemeine Lösung der homogenen Gleichung P(z) spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung zd P f nz n Falls die forcierende Folge f = (f n ) selbst eine C-rekursive Folge ist, kann man die Lösungen im inhomogenen Fall prinzipiell genauso bestimmen, wie im homogenen (nicht-forcierten) Fall: f n z n = G(z) H(z) a n z n = P(z) G(z) zd H(z) = P(z) H(z) zd G(z) H(z) Beispiel Beispiel: allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung a n2 = 4 a n 4 a n f n (n 0) in Anhängigkeit von Anfangswerten a 0, a und f: Q(X ) = 4X 4X 2 = ( 2X ) 2, also d = 2, s =, λ = 2 Lösung a = (a n ) der homogenen Gleichung: (f = 0) Wegen a n = (r 0 r n) 2 n a 0 = (r 0 r 0) 2 0 = r 0 a = (r 0 r ) 2 = 2(r 0 r ) schreibt sich die allgemeine homogene Lösung: ( a n = a 0 ( a ) ( 2 a 0)n 2 n = ( n)a 0 a ) 2 n 2 n Beispiel Lösungen der inhomogenen (forcierten) Rekursion (): f = (,,,,...) = ( n ), also f nz n = z z d f nz n = z 2 ( 2z) 2 ( z) Lösungsansatz a n = (r 0 r n) 2 n s 0 n a 0 = a = 0, a 2 = r 0 =, r = 2, s 0 =, inhomogene Lösung mit a 0 = a = 0: a n = ( 2 n) 2 n (n 0) allgemeine inhomogene Lösung ( a n = ( n)a 0 a ) 2 n 2 n ( 2 n) 2 n man erkennt: an Θ(n 2 n ), ausser wenn a = 2a 0.

10 Beispiel Beispiel f = (, 2, 4, 8,...) = (2 n ), also f nz n = 2z z d f nz n = z 2 ( 2z) 3 Lösungsansatz a n = (r 0 r n r 2 n 2 ) 2 n a0 = a = 0, a 2 = r 0 = 0, r = 8, r 2 = 8 inhomogene Lösung mit a0 = a = 0: a n = ( n n 2 ) 2 n 3 allgemeine inhomogene Lösung ( a n = ( n)a 0 a ) 2 n 2 n ( n n 2 ) 2 n 3 man erkennt: a n Θ(n 2 2 n ) f = (, 3, 9, 27,...) = (3 n ), also f nz n = 3z z d f nz n = z 2 ( 2z) 2 ( 3z) Lösungsansatz a n = (r 0 r n) 2 n s 0 3 n a0 = a = 0, a 2 = r 0 =, r = 2, s 0 = inhomogene Lösung mit a0 = a = 0: a n = ( 2 n) 2 n 3 n allgemeine inhomogene Lösung ( a n = ( n)a 0 a ) 2 n 2 n ( 2 n) 2 n 3 n man erkennt: a n Θ(3 n ) Asymptotik Wichtige Anwendung der Exponentialsummen: Asymptotik Für a = (a n ) kann man das asymptotische Verhalten aus der Exponentialsumme präzise bestimmen. Wichtiger und häufiger Spezialfall: Sei a = (a n ) C-rekursiv mit wobei a n z n = P(z) deg P < deg Q, teilerfremd Q(X ) = q X q d X d = i s ( γ i X ) d i Asymptotik In diesem Fall gilt: a n c n δ γ n wobei sich c und δ aus der Exponentialsumme ergeben: a n = R (n) γ n R 2 (n) γ n 2 R s (n) γ n s mit deg R = δ, R (X ) = c X δ. Daher a n n δ γ n = R (n) n δ } {{ } n c 2 i s R i (n) n δ ( ) n γi γ } {{ } n 0 γ heisst dominierend, falls γ i < γ (2 i s)

11 Asymptotik Spezialfall Q(X ) = q X q d X d mit q,..., q d 0, q d > 0 Es gibt genau ein ξ R mit Q(ξ) = 0 Mit γ = ξ gilt Q(X ) = ( γ X ) 2 i s ( γ i X ) d i und γ ist dominierend: γ i < γ (2 i s) Für eine C-rekursive Folge a = (a n ) mit erzeugender Funktion a nz n = P(z)/ gilt also: a n c γ n = c ξ n Beispiel: Komplexität eines k-sat-algorithmus Komplexitätsabschätzung für einen k-sat-algorithmus (Monien-Speckenmeyer) tk (n) : obere Schranke für Anzahl der Knoten im Rekursionsbaum für k-sat-algorithmus für Formeln mit n Variablen (siehe Einleitung zur Vorlesung) Rekursion t k (n) = t k (n ) t k (n 2) t k (n k) (n k) Rekursionspolynom Q k (X ) = X X 2 X k = ( α k X ) Q k (X ) wobei α k > 0 mit Q k (α k ) = 0 (dominierend) asymptotisches Verhalten t k (n) α n k Anwendung: divide-and-conquer Rekursionen Analyse von divide-and-conquer Rekursionen Ausgangspunkt (vgl. Schöning, Algorithmik, Kap..9) T (N) = d q i T (N/β i ) Θ(N k log δ β N) i= mit q, q 2,..., q d 0, q d > 0 und k, δ, β N, β >. Betrachte Rekursion entlang Potenzen von β, d.h. N = β n und T (N) = t n : t n = d q i t n i Θ((β k ) n n δ ) i= Betrachte dies als eine forcierte lineare Rekursion! d t nd = q i t nd i c ((β k ) n n δ ) i= Anwendung: divide-and-conquer Rekursionen Die forcierende Folge ( overhead ) ist C-rekursiv: Damit gilt (β k ) n n δ z n = R(z) ( β k z) δ t n z n = P(z) R(z) zd ( β k z) δ Für Q(X ) = q X q d X d sei ξ > 0 mit Q(ξ) = 0. γ = ξ ist dominierend! Es kommt nun auf das Verhältnis von γ und β k an!

12 Anwendung: divide-and-conquer Rekursionen Anwendung: divide-and-conquer Rekursionen γ dominiert: γ > β k Q(β k ) < 0 t n z n = c ( γ z) S(z) ( β k z) δ wobei Q(X ) = Q(X )/( γ z) und deg S < d δ, also t n Θ(γ n ), d.h. T (N) Θ(N log β γ ) β k dominiert: γ < β k Q(β k ) > 0 t n z n = wobei deg U δ, also U(z) V (z) ( β k z) δ t n Θ(n δ (β k ) n ) d.h. T (N) Θ(N k log δ β N) falls deg U = δ. Anwendung: divide-and-conquer Rekursionen Anwendung: divide-and-conquer Rekursionen β k = γ dominiert: γ = β k Q(β k ) = 0 t n z n = wobei deg K δ, also K(z) L(z) ( β k z) δ2 t n Θ(n δ (β k ) n ) d.h. T (N) Θ(N k log δ β N) falls deg R = δ. Zusammenfassung: für die Lösung einer divide-and-conquer Rekursion T (N) = d q i T (N/β i ) Θ(N k log δ β N) i= mit q,..., q d 0, q d > 0 und β > gilt: Q(β k ) < 0 T (N) Θ(N log β γ ) Q(β k ) > 0 T (N) Θ(N k log δ β N) Q(β k ) = 0 T (N) Θ(N k log δ β N) Dabei ist Q(X ) = q X q 2 X 2 q d X d γ R : positive reelle Nullstelle von Q(X ) (eindeutig!)

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