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1 3 Schnellkurs in MATLAB 3.1 Einführung MATLAB (= Matrix laboratory) Softwarepaket für numerische Berechnungen und Visualisierungen 1980 ( Cleve Moler; ) Ursprung in LINPACK und EISPACK ohne symbolische Berechnungen Bezeichnungen im Folgen Ausgabe <... > ist durch... zu ersetzen < enter > Eingabetaste drücken (wird im Allgemeinen weggelassen) 3.2 Allgemeines MATLAB ist case sensitive. Prompt Zeichen : >> Kommentar : % < Text > Zeichenkette : zwischen Hochkommata... Zuweisung : Variablenname = < Ausdruck > Zuweisung ohne Ausgabe : Variablenname = < Ausdruck >; % Semikolon! Befehlsauswertung : < Befehl > < enter > % (Befehl Anweisung) Ergebnis steht in der Variablen ans (= answer) Zeilenverkettung:... % Zeilentrenner für lange Befehle Standardausgabe : Festpunktformat mit 5 Stellen Hilfe : help < Anweisung > 1

2 3.3 Zahlen IEEE double Darstellung : 8 Byte = 64 Bit : Mantissenvorzeichen : 1 Bit Exponent : 11 Bit, Mantisse : 52 Bit + 1 hidden Bit Maschinengenauigkeit : eps = kleinste pos. normal. Maschinenzahl : realmin = größte positive Maschinenzahl : realmax = ( ) komplexe Zahlen : a + b i 3.4 Vektoren, Matrizen Zeilenvektoren : x = [ ] % oder x = [10,20,30] % Indizierung beginnt bei 1! % d.h. hier: x(1) = Matrizen : A = [1 2; 3 4; 5 6] % Ergebnis: A = % Das Semikolon ist hier Zeilentrenner! Indexoperator : A(:,1) % erzeugt die 1. Spalte von A A(1,:) % erzeugt die 1. Zeile von A Teilmatrix : B = A(1:2,1:2) % bedeutet B = Transponierte A T : A m n Nullmatrix : zeros(m,n) Nullvektor (m Komp.) : zeros(m,1) m n Einsmatrix : ones(m,n) n n Einheitsmatrix : eye(n) n n Diagonalmatrix : diag(x) % x ist Vektor Determinante : det(a) ( Größenbestimmung : length(x) % 3 size(a) % 3, 2 (3 Zeilen, 2 Spalten) ) 2

3 3.5 Arithmetische Operationen, Standardfunktionen Operationen : +, -, *, /, ^ Bei Matrizen gilt : A\b löst Ax = b B/A löst XA = B 5 + A berechnet die Matrix (5 + a ij ) Elementweise Operationen :.+,.-,.*,./,.^ mit zusätzlichem Punkt! Beispiel : A.*B berechnet die Matrix (a ij b ij ) (Hadamard Produkt!) Relationen : <, <=, >, >=, ==, ~= % existiert neben ~= auch als ~(... ==...) Logische Operatoren : & und oder ~ Negation xor entweder oder ( Syntax: xor(a,b) ) wahr / falsch : 1 = true, 0 = false Konstante : pi bezeichnet die Kreiszahl π Über und unterbestimmte lineare Gleichungssysteme werden nach der Methode der kleinsten Quadrate gelöst. Standardfunktionen (Argumente in runden Klammern!) sin, cos, tan, atan, exp, log, log2, log10, sqrt, nthroot nthroot(z,n) = n z max, sum, mean, abs sum(x) abs(x) Vektoren als Argument! = n i=1 x i = ( x i ) R n Eigene Funktionen kann man in sogenannten M Files definieren (s.u.). 3.6 M Files Zum Schreiben eigener Funktionen; einzige Möglichkeit, Funktionen oder Prozeduren mit Variablen einzuführen. M Files erzeugt man mit File New M-File function y = name(x) y = exp(-x); Abspeichern in name.m (Dateiname wie in function!) 3

4 Aufrufen durch name(5.3) (z.b.) Ist x ein Vektor, gibt name(x) den Vektor (name(x i )) zurück. 3.7 Kontrollstrukturen Verzweigungen a) Einfachverzweigung if < Bedingung > elseif < Bedingung > else < letzter Anweisungsblock > b) Mehrfachverweigung switch < Zähler > case < Zählerwert > case < Zählerwert >. case < Zählerwert > otherwise Schleifen a) for Schleife (= Zählschleife) for i = < Anfangswert > : < Endwert > % Zählererhöhung um 1 4

5 for i = < Anfangswert > : < Zählererhöhung > : < Endwert > % Zählererhöhung gemäß Angabe b) while Schleife while < Bedingung > Abbruch continue break return % aktiviert in einer Schleife den nächsten Schleifurchgang % Abbruch einer Schleife % Abbruch mit Rückkehr zur aufrufen Funktion 3.8 Graphik Zweidimensional: u, v, x, y bezeichnen Vektoren. x = 0:0.1:8 erzeugt den Vektor x = (0, 0.1, 0.2,..., 7.9, 8). plot(x) zeichnet x i über dem Index i und verbindet die Punkte geradlinig plot(x,y) zeichnet y i über x i und verbindet die Punkte geradlinig plot(u,v, o,x,y, --g ) zeichnet Punktepaare (u i, v i ) mit sowie (x i, y i ), verbunden durch grüne ( g = green) gestrichelte Geradenstücke. hold leitet die nachfolgen Zeichnungen in dasselbe Bildfenster oder hebt dies auf (Schalterwirkung!) title( <Text> ) Graphiküberschrift text(x,y, <Text> ) schreibt einen Text an den Punkt (x, y) des Koordinatensystems 5

6 Dreidimensional: Gittererzeugung z.b. durch [X,Y] = meshgrid(-2:0.1:2, -3:0.1:4) % Gitter der Maschenweite 0.1 im Bereich [ 2, 2] [ 3, 4] Z = X.*sin(X.^2 + Y.^2) % wertet f(x, y) = x sin(x 2 + y 2 ) auf dem Gitter aus mesh(x,y,z) zeichnet die Punkte (x i, y j, f(x i, y j )) und interpoliert zu einem Drahtgitter. surf(x,y,z) zeichnet die Punkte (x i, y j, f(x i, y j )) und interpoliert zu einer Fläche. Abspeicherung mit print name.ps in die Postscript Datei name.ps. 3.9 Daten einlesen/ausgeben save datei.dat x,y save datei.dat x,y -ascii load datei.dat x = datei(1,:); % speichert x, y binär in datei.dat % speichert x, y in lesbarer Form in datei.dat % öffnet die Datei datei.dat zum Lesen % liest die erste Zeile von datei.dat % in den Zeilenvektor x. disp(<text>,<variable>) % display(...); % Bildschirmausgabe von <Text> und <Variable>. 6

7 3.10 Formatierung fprintf( x = %f, y = %22.15e\n, x,y) %f : Platzhalter für eine Zahl in Festpunktdarstellung %6.2f : Platzhalter für eine Zahl in Festpunktdarstellung mit 2 Nachkommastellen bei einer Gesamtschreibbreite von 6 Zeichen %e : Platzhalter für eine Dezimalzahl in Gleitpunktdarstellung %22.15e : Platzhalter für eine Zahl in Gleitpunktdarstellung mit 15 Nachkommastellen bei einer Gesamtschreibbreite von 22 Zeichen %d : Platzhalter für eine ganze Zahl / Dezimalzahl %10.3d : Platzhalter für eine Zahl in Gleitpunktdarstellung mit 3 Nachkommastellen bei einer Gesamtschreibbreite von 10 Zeichen; ganze Zahlen werden ohne Nachkommastellen ausgegegeben \n : Zeilenumbruch Bilschirmausgabe format short : format long : format long e : format hex : format Standardausgabe mit 5 Stellen im Festpunktformat Langzahlausgabe mit 15 Stellen im Festpunktformat Langzahlausgabe mit 15 Stellen im Gleitpunktformat Hexadezimalausgabe Umschaltung auf Standardausgabe 3.11 Weitere Befehle clear clf tic; toc löscht alle Variablen löscht Graphikfenster Stoppuhr 7

8 3.12 Standardalgorithmen der Linearen Algebra a) LU Zerlegung einer regulären Matrix A [L,U,P] = lu(a) Berechnet mit dem Gaußschen Algorithmus mit Zeilenvertauschungen gemäß Spaltenpivotsuche eine Permutationsmatrix P, eine untere Dreiecksmatrix L (= lower) mit Einsen in der Diagonalen und eine obere Dreiecksmatrix U (= upper) so, dass P A = LU gilt. ( LU Zerlegung von A mit Spaltenpivotsuche ) Hieraus folgt Ax = b P Ax = P b L(Ux) = P b Ly = P b, Ux = y Auflösung der beiden gestaffelten Systeme (= lineare Gleichungssysteme mit Dreiecksmatrizen als Koeffizientenmatrizen) durch y = L\(P*b); x = U\y; Beachte: Mit P wie oben existieren L und U und sind eindeutig. b) Cholesky Zerlegung einer symmetrischen, positiv definiten Matrix Sei A R n n symmetrisch (d.h. A = A T ) und positiv definit (d.h. x T Ax > 0 für alle x R n, x 0). C = chol(a) Berechnet mit dem Cholesky Verfahren eine obere Dreiecksmatrix C mit positiven Diagonalelementen, so dass A = C T C gilt. ( Cholesky Zerlegung von A ) Hieraus folgt Ax = b C T (Cx) = b C T y = b, Cx = y Auflösung der beiden gestaffelten Systeme durch y = C \b; x = C\y; Beachte: Unter den genannten Voraussetzungen existiert C und ist eindeutig. c) QR Zerlegung einer reellen quadratischen Matrix A [Q,R] = qr(a) Berechnet eine orthogonale Matrix Q (d.h. Q T = Q 1 ) und eine obere Dreiecksmatrix R so, dass A = QR gilt. ( QR Zerlegung von A ) Hieraus folgt Ax = b Q(Rx) = b Rx = Q T b Auflösung des gestaffelten Systems durch x = R\(Q * b);. Ist A singulär, so auch R. In diesem Fall wird x durch x = R\(Q * b); nach der Methode der kleinsten Quadrate berechnet. 8

9 Beachte: Q und R existieren immer, sind jedoch nicht eindeutig bestimmt. Für reguläre Matrizen A R n n sind Q R n n und R R n n eindeutig bis auf eine Rechts- bzw. Linksmultiplikation mit einer Signaturmatrix (= Diagonalmatrix mit Diagonalelementen ±1), d.h. gilt A = QR = Q R mit orthogonalen Matrizen Q, Q und oberen Dreiecksmatrizen R, R, so gibt es eine Signaturmatrix Σ mit Q = QΣ und R = ΣR. In diesem Fall wird die QR Zerlegung eindeutig, wenn man z.b. positive Diagonalelemente für R fordert. d) Eigenwert und Eigenvektorberechnung einer Matrix A d = eig(a) % Vektor d enthält die Eigenwerte von A als Komponenten [V,D] = eig(a) % Spalten von V sind Eigenvektoren, D = diag(eigenwerte) e) Singulärwertzerlegung einer m n Matrix A s = svd(a) % Vektor s enthält die singulären Werte von A als Komponenten [U,S,V] = svd(a) % berechnet die Singulärwertzerlegung A = USV H 9

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