Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

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1 Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D Dresden WS 2013/14

2 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V 2, E 2 ) heißen isomorph, wenn es eine bijektive, Kanten erhaltende und Kanten reflektierende Abbildung von V 1 nach V 2 gibt. Jede solche Abbildung ist ein Isomorphismus. Dabei heißt eine Abbildung ϕ : V 1 V 2 Kanten erhaltend, wenn aus {u, v} E 1 stets {ϕ(u), ϕ(v)} E 2 folgt, und Kanten reflektierend, wenn aus {u, v} / E 1 stets {ϕ(u), ϕ(v)} / E 2 folgt.

3 Bäume Wenn im Folgenden von Bäumen geredet wird, sind Bäume im Sinne der Graphentheorie gemeint: Ein Baum ist hier also ein zusammenhängender kreisloser Graph. Bäume sind damit auch genau diejenigen Graphen, in denen je zwei Knoten durch genau einen Weg verbunden sind. Ein Knoten vom Grad 1 in einem Baum nennt man ein Blatt. Einen Baum mit genau zwei Blättern nennt man auch einen Weg. Ein Baum, in dem alle Knoten bis auf (höchstens) eine Blätter sind, ist ein Stern.

4 Wieviele Bäume mit 4 Knoten gibt es? Wenn eine solche Frage wie Wieviele Bäume mit 4 Knoten gibt es? beantwortet werden soll, muss man zunächst klären, was gemeint ist. Insbesondere muss präzisiert werden, ob die Anzahl bis auf Isomorphie bestimmt werden soll oder nicht (engl.: unlabeled vs. labeled ). Es gibt, wie man durch Probieren findet, genau 16 verschiedene Bäume mit den vier Knoten V := {0, 1, 2, 3}. Davon sind zwölf isomorph zum Weg mit vier Knoten und vier isomorph zum Stern. Bis auf Isomorphie gibt es also genau zwei Bäume mit vier Knoten.

5 Wieviele Bäume mit n Knoten gibt es? Es ist mathematisch anspruchsvoll, die Anzahl der Isomorphietypen von Bäumen mit genau n Knoten allgemein zu bestimmen. Die dafür entwickelte Zähltheorie nach G. Polya wird in dieser Vorlesung nicht behandelt. Stattdessen beweisen wir den folgenden Satz. Satz Die Anzahl der Bäume (V, E) mit V := {0, 1,..., n 1} ist n n 2. n t(n)

6 Graphische Darstellung

7 Graphische Darstellung, logarithmisch

8 Beweisstrategie Der Satz besagt, dass es genau so viele Bäume auf {0, 1,..., n 1} gibt wie (n 2)-Tupel mit Komponenten aus {0, 1,..., n 1}. Ein Beweis kann also geführt werden, indem eine bijektive Abbildung zwischen der Menge aller Bäume auf Z n und der Menge angegeben wird. Z n 2 n Dazu müssen wir eine Vorschrift angeben, die jedem Baum auf Z n auf eindeutige und umkehrbare Weise ein (n 2)-Tupel zuordnet. Eine bekannte Weise, dies zu tun, liefert der sogenannte Prüfer-Code.

9 Der Prüfer-Code eines Baumes Der Prüfer-Code ordnet (für n 2) jedem Baum (V, E) mit linear geordneter n-elementiger Knotenmenge V ein (n 2)-Tupel mit Komponenten aus V zu, und zwar wie folgt: Falls n = 2 ist, wird dem Baum das Nulltupel zugeordnet. Falls n > 2 ist, sei b das kleinste Blatt des Baums und a 0 der zu b adjazente Knoten. Dem Baum wird das Tupel (a 0, a 1,..., a n 3 ) zugeordnet, wobei (a 1,..., a n 3 ) der Prüfercode des Baumes ist, der entsteht, wenn man das Blatt b entfernt, also der des Baums (V \ {b}, E \ {{b, a 0 }}).

10 Beispiel Das kleinste Blatt ist das mit der Nummer 0. Der dazu adjazenten Knoten ist 8. Der Prüfer-Code beginnt also mit (8,...). Für den nächsten Schritt wird das Blatt 0 entfernt Nun ist 2 das kleinste Blatt. Der dazu adjazente Knoten ist 1. Der Prüfer-Code beginnt also mit (8, 1,...). Für den nächsten Schritt wird das Blatt 2 entfernt, usw. Als Prüfer-Code des oben abgebildeten Baumes erhält man so (8, 1, 8, 3, 1, 4, 4).

11 Die Blätter Eine Beobachtung, die uns noch nützlich sein wird, notieren wir als Hilfssatz: Die Blätter des Baumes kommen im Prüfer-Code nicht vor. Das ist aufgrund der Konstruktion recht offensichtlich: Im Tupel werden ja nur Knoten notiert, die zu einem Blatt adjazent sind. Solche Knoten können aber für n > 2 keine Blätter sein, und für n = 2 werden sie nicht notiert. Weil aber jeder Knoten, der im Prüfer-Code nicht vorkommt, zu nur einem anderen adjazent sein kann, gilt sogar noch mehr: Hilfssatz Die Blätter des Baums sind genau diejenigen Knoten, die im Prüfer-Code nicht vorkommen.

12 Vom Prüfer-Code zum Baum Gegeben sei ein (n 2)-Tupel (a 0, a 1,..., a n 3 ) mit Komponenten aus der linear geordneten Menge V. Wir bestimmen ein (n 2)-Tupel (b 0,..., b n 3 ) wie folgt: b 0 sei das kleinste Element von V \ {a 0,..., a n 3 }. b i+1 sei das kleinste Element von V \ {b 0,... b i, a i+1,..., a n 3 }, für i := 0,..., n 4. Außerdem sei e := V \ {b 0,..., b n 3 }. Der gesuchte Baum hat dann die Kantenmenge E := {{a 0, b 0 },..., {a n 3, b n 3 }, e}.

13 Beispiel Gegeben sei V := {0, 1,..., 8} (also n = 9) und (a 0, a 1,..., a n 3 ) := (8, 1, 8, 3, 1, 4, 4). Wir berechnen (b 0,..., b n 3 ) nach der angegebenen Regel: (8, 1, 8, 3, 1, 4, 4) (0, (8, 1, 8, 3, 1, 4, 4) (0, 2, (8, 1, 8, 3, 1, 4, 4) (0, 2, 5, 6, 3, 1, 7) Ergebnis: Die kleinste Zahl, die in {a 0,..., a n 3 } nicht vorkommt, ist 0. Also b 0 := 0. Die kleinste Zahl, die in {b 0, a 1,..., a n 3 } nicht vorkommt, ist 2. Also b 1 := 2, usw. Die im vollständigen Tupel (b 0,..., b n 3 ) fehlenden Elemente ergeben e := {4, 8}. E = {{0, 8}, {1, 2}, {5, 8}, {3, 6}, {1, 3}, {1, 4}, {4, 7}, {4, 8}}.

14 Satz und Beweis Satz Es sei V eine linear geordnete n-elementige Menge, n 2. Der oben definierte Prüfer-Code ordnet jedem Baum mit Knotenmenge V ein (n 2)-Tupel mit Komponenten aus V zu, und jedes solche (n 2)-Tupel ist Prüfer-Code genau eines Baumes. Den Beweis führen wir durch Induktion über n. Für den kleinstmöglichen Fall, n = 2, ist die Behauptung offenbar richtig. Nun sei n > 2. Der erste Teil der Behauptung ist offensichtlich. Zu beweisen ist deshalb nur noch, dass jedes (n 2)-Tupel der Prüfer-Code genau eines Baumes ist. Sei also (a 0, a 1,..., a n 3 ) ein solches Tupel und b 0 das kleinste Element der Menge V \ {a 0,..., a n 3 }.

15 Beweis (Fortsetzung) Nach der Induktionsannahme ist (a 1,..., a n 3 ) Prüfer-Code genau eines Baumes mit der Knotenmenge V \ {b 0 }. Die Blätter dieses Baumes sind genau die Elemente von V \ {b 0 }, die nicht im Tupel (a 1,..., a n 3 ) vorkommen, und b 0 ist kleiner als all diese Blätter. Deshalb ist b 0 das kleinste Blatt des Baumes, der entsteht, wenn man die Kante {a 0, b 0 } hinzufügt. Dieser Baum, und kein anderer, hat also den Prüfer-Code (a 0, a 1,..., a n 3 ).

16 Noch ein Beispiel als Korollar Die Bäume mit n Knoten und n 1 Blättern sind genau die Sterne. Wieviele Bäume gibt es mit n Knoten und genau n 2 Blättern? Nach dem Hilfssatz sind dies genau so viele, wie es Tupel in Z n 2 n gibt mit genau zwei verschiedenen Komponenten. Diese Anzahl ist leicht zu bestimmen, sie lautet (für n > 2) ( ) n (2 n 2 2). 2 Man hat ja ( n 2) Möglichkeiten, die beiden Komponenten zu wählen, und kann aus den beiden genau 2 n 2 Tupel der Länge n 2 bilden, von denen aber genau zwei konstant sind, also aus nur einer Komponente bestehen. Die Anzahl der Bäume auf {0, 1,..., 5} mit genau vier Blättern ist also gleich 210.

17 Gerüste Ein Gerüst (engl.: Spanning Tree, deshalb gelegentlich auch deutsch Spannbaum oder ähnlich) eines Graphen (V, E) ist ein Baum (V, F ) mit F E. Beispiel: Graph ein Gerüst Ein Gerüst ist also ein Baum, der die gleiche Knotenmenge und eine Teilmenge der Kantenmenge des gegebenen Graphen hat.

18 Gerüste Ein Gerüst (engl.: Spanning Tree, deshalb gelegentlich auch deutsch Spannbaum oder ähnlich) eines Graphen (V, E) ist ein Baum (V, F ) mit F E. Beispiel: Graph ein Gerüst Ein Gerüst ist also ein Baum, der die gleiche Knotenmenge und eine Teilmenge der Kantenmenge des gegebenen Graphen hat. Der folgende Hilfssatz ist für endliche Graphen offensichtlich: Hilfssatz Ein Graph hat genau dann ein Gerüst, wenn er zusammenhängend ist.

19 Die Adjazenzmatrix Als Adjazenzmatrix eines endlichen Graphen (V, E) mit V := {v 1,..., v n } bezeichnet man die n n-matrix { 1 falls {v i, v j } E A := (a i,j ) i,j {1,...,n} mit a i,j := 0 sonst.

20 Die Adjazenzmatrix Als Adjazenzmatrix eines endlichen Graphen (V, E) mit V := {v 1,..., v n } bezeichnet man die n n-matrix { 1 falls {v i, v j } E A := (a i,j ) i,j {1,...,n} mit a i,j := 0 sonst. Die Adjazenzmatrix ist symmetrisch, hat Nullen in der Hauptdiagonale und die Spalten- und Zeilensummen sind gleich dem jeweiligen Knotengrad. v 2 v 1 v 3 v

21 Gradmatrix Als Gradmatrix von (V, E) mit V := {v 1,..., v n } bezeichnen wir die Diagonalmatrix { 0 falls i j D := (d i,j ) i,j {1,...,n} mit d i,j := deg(v i ) falls i = j.

22 Gradmatrix Als Gradmatrix von (V, E) mit V := {v 1,..., v n } bezeichnen wir die Diagonalmatrix { 0 falls i j D := (d i,j ) i,j {1,...,n} mit d i,j := deg(v i ) falls i = j. Die Diagonaleinträge der Gradmatrix sind die Knotengrade des Graphen, alle anderen Komponenten sind Null. v 2 v 1 v 3 v

23 Der Matrix-Gerüst Satz Satz Sei G := (V, E) ein Graph mit n > 1 Knoten, der Adjazenzmatrix A und der Gradmatrix D. Weiter sei i {1,..., n} beliebig. Die Matrix (D A) i entstehe aus D A durch Streichen der i-ten Zeile und der i-ten Spalte. Dann ist die Anzahl τ(g) der Gerüste im Graphen G gleich det((d A) i ).

24 Der Matrix-Gerüst Satz Satz Sei G := (V, E) ein Graph mit n > 1 Knoten, der Adjazenzmatrix A und der Gradmatrix D. Weiter sei i {1,..., n} beliebig. Die Matrix (D A) i entstehe aus D A durch Streichen der i-ten Zeile und der i-ten Spalte. Dann ist die Anzahl τ(g) der Gerüste im Graphen G gleich det((d A) i ) det = 8.

25 Beweisstrategie Weil es leichter ist, beweisen wir einen etwas allgemeineren Satz. Wir beweisen den Matrix-Gerüst Satz nicht nur für Graphen, sondern allgemeiner für Multigraphen, die gleich noch definiert werden. Der Beweis argumentiert per Induktion über die Anzahl der Kanten des Multigraphen. Wir benutzen dazu zwei Konstruktionen, die aus einem Multigraphen einen mit weniger Kanten machen (Löschen bzw. Kontrahieren einer Kante). Auch diese Konstruktionen werden vorab eingeführt.

26 Multigraphen Wir führen den Beweis für verallgemeinerte Graphen, in denen es zwischen zwei Knoten mehrere Kanten geben darf. Man spricht dann von Graphen mit Mehrfachkanten oder, synonym, von Multigraphen.

27 Multigraphen Wir führen den Beweis für verallgemeinerte Graphen, in denen es zwischen zwei Knoten mehrere Kanten geben darf. Man spricht dann von Graphen mit Mehrfachkanten oder, synonym, von Multigraphen. v 4 v 1 v 2 v Die Graphik zeigt ein Diagramm eines Multigraphen und seine Adjazenzmatrix. Auf eine mengensprachliche Definition von Multigraphen verzichten wir hier. Es genügt zu sagen, dass ihre Adjazenzmatrizen symmetrisch sind, auf der Hauptdiagonalen Nullen und sonst natürliche Zahlen als Komponenten haben.

28 Löschen einer Kante: Der Graph G \ e Ist G := (V, E) ein Graph und e E eine Kante, dann bezeichne G \ e den Graphen (V, E \ {e}), der aus G durch Wegnahme der Kante e entsteht. Für Multigraphen ist die Definition analog. v 1 v 6 v 5 v 1 v 6 v 5 v 2 v 3 v 4 v 2 v 3 v 4 Das rechte Diagramm entsteht aus dem linken durch Löschen der Kante {v 1, v 2 }. Beachte: Die Gerüste des Graphen G \ e sind genau diejenigen Gerüste des Graphen G, welche die Kante e nicht enthalten.

29 Kontraktion einer Kante: Der Multigraph G/e Ist G ein Multigraph und e eine Kante zwischen den Knoten u und v, dann bezeichne G/e den Graphen, der aus G folgendermaßen entsteht: Die Knoten u und v werden entfernt und durch einen neuen Knoten ersetzt. Kanten, die weder u noch v enthalten, bleiben unverändert. Für jede Kante, die in G den Knoten u oder den Knoten v mit einem Knoten w / {u, v} verbindet, enthält der neue Multigraph eine Kante, die w mit dem neuen Knoten verbindet. Weitere Kanten gibt es nicht. v 1 v 6 v 5 v 6 v 5 v 2 v 3 v 4 v 3 v 4

30 Beachte: Aus jeder Kante von G, die nicht die Knoten u und v verbindet, entsteht genau eine Kante von G/e, und das sind alle Kanten von G/e. Ist T ein Gerüst von G, welches die Kante e enthält, dann ist die Menge der zugehörigen Kanten in G/e ein Gerüst. Umgekehrt erhält man zu jedem Gerüst von G/e ein Gerüst von G, indem man zu der Menge T der zugehörigen Kanten von G noch die Kante e hinzunimmt. Die Anzahl der Gerüste von G, die die Kante e enthalten, ist also gleich der Anzahl τ(g/e) der Gerüste von G/e.

31 Der entscheidende Hilfssatz Die oben notierten Beobachtungen beweisen den folgenden Hilfssatz: Hilfssatz Ist G ein Multigraph und e eine Kante in G von u nach v, so gilt für die Anzahl τ(g) der Gerüste τ(g) = τ(g \ e) + τ(g/e). Weil sowohl G \ e als auch G/e weniger Kanten haben als G, ermöglicht der Hilfssatz die rekursive Bestimmung der Anzahl der Gerüste.

32 Beispiel Bestimmt wird die Anzahl der Gerüste des Graphen durch wiederholtes Anwenden des Hilfssatzes. Die jeweils bearbeitete Kante ist rot eingefärbt. τ( ) = τ( ) + τ( ) τ( ) = τ( ) + τ( ) = 1 + τ( ) τ( ) = τ( ) + τ( ) = = 3, also τ( ) = 4 und damit τ( ) = 4 + τ( ). Weiter gilt τ( ) = τ( ) + τ( ) und

33 Beispiel, fortgesetzt τ( ) = τ( ) + τ( ) = = 3 τ( ) = τ( ) + τ( ) = τ( ) + 4 τ( ) = τ( ) + τ( ) = 1 + τ( ) τ( ) = τ( ) + τ( ) = = 3, also τ( ) = = 4 und τ( ) = = 8, damit τ( ) = = 11, und schließlich als Endergebnis τ( ) = = 15. Der Graph hat 15 Gerüste!

34 Beweis Wir führen den Beweis durch Induktion über die Zahl m der Kanten. Beweis Hat der Multigraph keine Kanten, so ist D A die Nullmatrix und damit det((d A) i ) = 0. Ein kantenloser Multigraph hat keine Gerüste, die Behauptung ist damit erfüllt. Hat der Multigraph G := (V, E) mindestens eine Kante e, so haben wir nach dem Hilfssatz τ(g) = τ(g \ e) + τ(g/e), und die Multigraphen G \ e und G/e haben beide weniger Kanten als G. Wir dürfen also die Induktionsannahme machen, dass der Matrix-Gerüst Satz für sie zutrifft.

35 Beweis, Fortsetzung Beweis Um die Adjazenzmatrix aufschreiben zu können, hatten wir die Knoten von G nummeriert. Wir dürfen o.b.d.a. annehmen, dass die Kante e = {v 1, v 2 } aus den ersten beiden Knoten besteht. Weiter seien d 1 := deg(v 1 ), d 2 := deg(v 2 ) die Knotengrade von v 1 und v 2 und d der Grad der Knoten, der bei der Kontraktion von e entsteht. Mit diesen Notationen erhält man einen Wert von τ(g) mit Hilfe der Matrix (D A) 1 für die beiden Multigraphen G \ e und G/e, nämlich

36 Beweis, Fortsetzung Beweis τ(g) = τ(g \ e) + τ(g/e) = d 1 1 d 2 1 N det N T M +det d N T N M Entwickelt man die erste Determinante nach der ersten Zeile, so erhält man das gleiche Ergebnis wie...

37 Beweis (Schluss) Beweis. beim Entwickeln der Matrix (D A) 1 für den Ausgangsgraphen G, denn diese hat folgende Gestalt: d 1 1 det 1 d 2 N T N M

38 Abschließendes Beispiel Zum Schluss soll noch geprüft werden, ob der Matrix-Gerüst Satz unser Ergebnis für die Anzahl der Gerüste des abgebildeten Graphen bestätigt. v 2 v 3 v 4 Streichen wir in der Matrix D A = beispielsweise die erste Zeile und Spalte, dann erhalten wir eine 5 5-Matrix, deren Determinante gleich der Anzahl der Gerüste ist. v 1 v 6 v 5

39 Abschließendes Beispiel, fortgesetzt Man findet det(d A) 1 = det = 15. Der Graph hat nach dem Matrix-Gerüst Satz damit 15 Gerüste. Das oben gefundene Ergebnis wird also wie erwartet bestätigt.

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