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1 Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer, de zweite für die Spalteummer. Die dargestellte Matrix hat m Zeile (erster Idex) ud Spalte (zweiter Idex). I der Matrix sid also m Zahle gespeichert, etwa reelle oder komplexe. Dazu ute mehr. Summe vo Matrize gleiche Formats (mx ): Elemetweise Additio, Produkt mit Skalar auch elemetweise. Mit diese Operatioe bilde Matrize gleiche Formats eie Vektorraum der Dimesio *m, ud zwar IR mx für reelle ud C mx für Matrize mit komplexe Zahle als Elemete. Produkt vo Matrize mx Matrix, xl Matrix, die Produktmatrix ist da eie Matrix mit Zeile ud Spalte. a i bezeiche Zeile Nr. i vo A, b k die Spalte Nr. k vo B. Das Elemet der Produktmatrix C i der Zeile i ud der Spalte k c ik ist also das Skalarprodukt der Zeile Nr i vo A (kurz a i ) ud der Spalte Nr k vo B ( b k.) Beispiel Zeile i=, Spalte k= (relevate Zahle fettgedruckt). a a... a a a... a A = = (... Iterpretatioe: Die Spalte vo B bilde Liearkombiatioe vo Spalte vo A. Hier ur mit der erste Spalte vorgeführt. Dies erklärt auch, warum wir ei Gleichugssystem als Matrixgleichug a m a m a m a ik) i=...m, k=... A + B = ( a ik + b ik ) i=...m, k=... ra = (ra ik ) i=...m, k=... A B C = A B m l C = A B = = c ik a ip b pk a i b,k p= 4 8 Beispiel i=, k= fett = x y w 4 = 4 + ( ) + + = A x = b umschreibe köe = x + y + z + w = = z y + z + w x x + y + z + w x + y + z + w 6 b b b Koordiate eies Vektors bestimme. Wir sehe u auch, wie wir das häufig auftretede Problem, die Koordiate eies Vektors bezüglich eier gegebee Basis eies Vektorraums zu bestimme, oder festzustelle, ob er i eiem Uterraum des VR (etwa eier Ebee im R ) liegt, effiziet mit dem Gauß Algorithmus löse köe. Gegebe v ud Basis,... v v, Gesucht: Koordiate, mit x x x = (,... ) v = = ( x v x v v, v,... v ) x = A x (,..., v, v ) Vorgehe: Bilde die x(+) Matrix mit de Spalte v Nach Rückwärtsauflöse erhält ma die gesuchte Koordiate. ud wede de Gauss Algorithmus darauf a. Prüfe ob lösbar? We ja:

2 Weitere Iterpretatio des Produkts Wir köe us das Produkt AB also auch spalteweise so geschriebe deke: AB = (A b, A b,... A b,l ) Die Zeile vo A bilde Liearkombiatioe der Zeile vo B. Wieder ur am Beispiel eier Zeile, der erste vo A, gezeigt. ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = ( ) b a b a b a b a b a b... a b a b... b Besodere Produkte: Zeile mal Spalte = x Matrix ( etspricht eiem Skalarprodukt), Spalte mal Zeile = x_matrix. ( a... a ) b = ( ) a a m b (... ) = a m b a m b... a b a b a m b Die Traspoierte Matrix für Matrize mit reelle Zahle: A R mx : A T = ( a ik ) T i=...m, k=... = ( a ki ) i=...m, k=... Aus Zeile werde also eifach Spalte oder umgekehrt. Beispiel 4 =( ) Bei komplexe Matrize muss ma och zusätzlich die Matrixelemete kojugiere T 7 5 A C mx : A H = ( a ik ) H i=...m, k=... = ( a ) ki i=...m, k=... 8 Das Matrixprodukt ist icht kommutativ! Im allgemeie ist AB BA Lediglich bei spezielle Matrize wie Diagoalmatrize ist die Reihefolge im Produkt egal. Assoziativ ud Distributivgesetz gelte: Spur, Adjukte, Iverse, Die Spur eier Matrix ist die Summe der Diagoalelemete Uter eier Diagoalmatrix t Eie spezielle Diagialmatrix ist die Eiheitsmatrix verstehe wir eie Matrix, die außerhalb der Diagoale ur Nulle als Elemete besitzt. Multipliziert ma eie Diagoalmatrix mit eiem Vektor, so wird ur jede Kompoete um eie Faktor gestreckt, aber keie Kompoete addiert. Die Rechtsiverse eier Matrix A ist die Lösug X der folgede Matrixgleichug ( simultae Gleichuge!) Etspreched ist die Liksiverse die Lösug der Gleichug (AB) T = B T A T (AB)C = A(BC), Spur(A) = a + a a D = Diag(,..., t ) E = Diag(,...,). AX = E = Diag(,...,) XA = E = Diag(,...,). A(B + C) = AB + AC. Eie Matrix die zugleich Rechtsiverse ud

3 Liksiverse ist, ee wir die Iverse vo A ud bezeiche sie mit A. A A = A A = E, (AB) = B A Berechug (zum Beispiel) mit dem Gauß Jorda Algorithmus. Bei kleie ud spezielle Matrize auch über die Cramersche Regel. AX = E, Gauss-Jorda: (A E) (E A ) Beispiel: Bestimme die Iverse vo Löse die Gleichugsysteme AX = E simulta durch Awedug vo Gauß Jorda auf Pivotfolge (;), (;) (ichts zu reche!), (;). Determiate A sei eie reelle x Matrix. Die Determiate, Notatioe det(a), oder auch ist eie ichtlieare Fuktio, die quadratische Matrize auf eie Zahl abbildet. Wie der Name scho sagt (determiare lat, determie egl) ka ma damit etwas etscheide, zum Beispiel ob die Matrix volle Rag hat. Es gelte ämlich folgede Äquivaleze (Satz). A = Vorbemerkug: Die Determiate erfreut sich merkwürdigerweise großer Beliebtheit, obwohl sie für größere Matrize sehr aufwedig zu bereche ist. Geauer gesagt wächst der Recheaufwad (Zahl der Multiplikatioe zur Auswertug), wie ma am Laplace'sche Etwicklugssatz (ute) ablese ka, mit. Das ist so ziemlich das Uageehmste a Komplexität, was ma sich bei eiem Algorithmus vorstelle ka. Zum Vergleich: Der Gauß Algorithmus verlagt "ur" ca (4/) Recheoperatioe. Ud liefert auch gleich och de geaue Rag, währed die Determiate ur eie Aussage über Rag(A) = oder Rag(A) < $ macht. Deswege etscheidet ma die Frage ach dem Rag oder Ivertierbarkeit i der Regel lieber mit eiige Gaußschritte. Lediglich bei kleie Matrize, i dee z.b Fuktioe oder Parameter stehe, etwa beider exakte Berechug vo Eigewerte, oder bei sehr spezielle Matrize ist die Berechug eier Determiate sivoll. I der Regel diet sie eher theoretische Zwecke ud Begrüduge. 4 (A E). (A E) = = (E ) A A det(a) Rag(A) = A ist regulär A ist ivertierbar Ax = ur für x =! Berechug der Determiate bei eier x Matrix = Für größere Matrize arbeitet ma mit dem Laplacesche Etwicklugssatz. Prizip: Dies ist ei rekursives Verfahre, bei dem die Berechug eier x Determiate auf die Berechug vo ( )x( ) Determiate zurückgeführt wird. Ma immt sich dazu eie Zeile (oder Spalte) der Ausgagsmatrix, geht diese Elemet für Elemet durch ud streicht jeweils Zeile ud Spalte, i der dieses Elemet steht. Vo diese ( )x( ) Restmatrize berechet ma da die Determiate ud setzt diese additiv (ud mit dem Elemet ud Vorzeiche gewichtet) zusamme. Geaue Fomulierug: A i,k sei die ( )x( ) Matrix, die aus A etsteht, we ma Zeile Nr. i ud Spalte Nr. k aus A streicht. Etwicklug ach eier Zeile Nr i: We die Idexsumme ugerade ist, kommt also ei Mius davor. (Amerkug: I viele Formelsammluge wird mit A i,k der Term ) i+k A i,k i obiger Summe bezeichet, die sog. Adjukte. ) Aalog Etwicklug ach Spalte Nr. k ( Beispiel x Matrix mit allgemeie Elemete, Etwicklug ach der. Zeile (i=) a a a a a a a a a a a a a a a a a A = ( a ik k= ) i+k A i,k A = ( a ik i= ) i+k A i,k = a a a a + a a a a a a a a a a a

4 Die x Matrize da weiter ach obiger Formel berechet ergibt. Dieses Ergebis hätte ma auch mit der Regel vo Sarrus erhalte (diese fuktioiert ur bis x Matrize!). Sivollerweise such ma sich Zeile oder Spalte aus, i dee bereits möglichst viele Nulle stehe. Da spart ma sich sich die Berechug etlicher Uterdetermiate. Bei dieser Matrix wäre bei Etwicklug ach der vierte Spalte ur zwei x Determiate zu bereche, asoste immer midestes. Tricks ud Vereifachuge! Ma ka auch eiige Gauß Schritte ausführe, um die Zahl der Nulle i eier Spalte zu erhöhe. Dabei muss ma aber beachte, wie sich die Determiate dabei evetuell ädert. Dies geht aus de ute folgede Sätze zu ihre Eigeschafte (Regel) hervor. Mit dem Etwicklugssatz sieht ma durch passede Etwicklug sofort: Hat ma scho eie obere oder utere Dreiecksmatrix (Nulle uterhalb bzw. oberhalb der Diagoale) vorliege, so ist die Determiate gerade das Produkt der Diagoalelemete. Die Berechug wird also sehr eifach. A = ( ) ( ) + ( ) a a a a a a a a a a a a a a a A = Sieht ma scho gleich eie lieare Abhägigkeit vo Zeile oder Spalte, oder stellt eie solche durch eiige Gauß Schritte fest, da ka A = ( ) + + = A 4 A 4 A 4 A 44 A 4 A 4 ma auf weitere Berechug verzichte, de die Determiate ist da Null. Ebeso, we die Matrix bereits Nullzeile oder Spalte ethält. Regel für die Determiaterechug Die folgede Regel ka ma sofort a eier x Matrix verfiziere, ud sieht da über Laplace'sche Etwicklugssatz, wie sich die Aussage sofort auf höhere Dimesioe übertrage.. Multipliziert ma eie Zeile oder Spalte mit eiem Skalar, da multipliziert sich auch die Matrix mit diesem... Multipliziert ma die gaze Matrix elemetweise mit eiem Skalar t, da multipliziert sich die Matrix mit t.. Vertausche vo je zwei Zeile (oder Spalte) dreht das Vorzeiche um. 4. Addiert ma zu eier Zeile (oder Spalte) ei Vielfaches eier adere, so ädert sich die Determiate icht. 5. Eie Matrix ud ihre Traspoierte besitze dieselbe Determiate. 6. Determiate ist multiplikativ (beide Matrize atürlich quadratisch): 7. Daraus folged die Determiate für die Iverse: 8. Rag(A) < det(a) =. Cramersche Regel det(a) = det( A T ) det(ab) = det(a)det(b) E = AA = det(a)det( A ) det( A ) = det(a) Für reguläre Matrize (voller Rag, Determiate icht Null) ka ma auch direkt eie Darstellug der Lösug vo ma Matrize D k aus A idem ma die Spalte Nr k durch die rechte Seite b ersetzt. Da gilt die Darstellug det( D k ) x k det(a) =, k =,.., Auch hier gilt wege des allgemei hohe Recheaufwads für Determiate: Nur für Spezialfälle sivoll. Ax = b gebe. Dazu bildet Sivolles (ud typisches) Beispiel zur Awedug: kleie Matrix mit Parameter/Fuktioe Löse folgedes Gleichugssystem; exp(t) si(t) ( )( ) =( ) cos(t) + t x x det(a) = exp(t)( + t ) si(t)cos(t), det( D ) = si(t) = + si(t), det( ) = = exp(t) cos(t) + t t D exp(t) cos(t) D + si(t) det( D ) exp(t) cos(t) = =, = = det(a) exp(t)( + t x ) si(t)cos(t) det(a) exp(t)( + t ) si(t)cos(t) x det( ) t

5 Ma köte die Matrix mit der Cramersche Regel auch eimal ivertiere, we ma die beide Gleichugssysteme ud Ax = e x = b. löst. Damit ka da für verschiedee rechte Seite die Lösug immer durch eie kleie Matrixmultiplikatio berechet werde A Dieser Aufwad loht sich also, we ma das Gleichugssystem mit derselbe Matrix oft löse muss. (Vergl.. Semester/Thema Differetialgleichuge). Äquivaleze A Ax = e Eigeschafte vo Matrize sid mit Lösbarkeit liearer Gleichugssysteme ud adere Begriffe verküpft. Wir stelle hier tabellarisch alles bisher dargestellte zusamme. A sei hier immer eie quadratische x Matrix. Folgede Aussage sid äquivalet: det(a).. A ist ivertierbar. Alle Spalte (ud alle Zeile) vo A sid liear uabhägig (bilde Basis des R ) 4. Das Gleichugssystem Ax = b hat für jedes b geau eie Lösug x. Ax = x = 5. besitzt ur die Lösug 6. A ist regulär 7. Rag(A) = Folgede Aussage sid äquivalet: det(a) =.. A ist icht ivertierbar. Spalte ud Zeile vo A sid jeweils liear abhägig (bilde keie Basis des R ) 4. Das Gleichugssystem Ax = b hat icht für jedes b eie Lösug x. Ax = x. 5. besitzt midestes eie Lösug 6. A ist sigulär 7. Rag(A) < Spezielle Matrize (Diagoalmatrize, Drehuge, Spiegeluge)

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