Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am 5..3 A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P (8) erreichte P. Bemerkungen: Bitte für jede Aufgabe eine neue Seite anfangen und jeweils angeben zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Die Bedeutung von Symbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Jeder Lösungsweg muß nachvollziehbar sein. Fragen sind jeweils mit einem Antwortsatz zu beantworten. Aufgabe : Gegeben sind die Aussagen: A: Ulla ist gesund. B: Max besteht die Matheprüfung. C: Zum Abendessen gibt es Pizza. D (A B) C. Geben Sie einen Satz an, der der Aussage D entspricht. Welchen Wahrheitswert hat die Aussage D, sofern Ulla krank ist? Begründen Sie Ihre Antwort (eventuell mit einer Wahrheitswerttabelle). Aufgabe : In einer Pizzeria kann man sich seine Pizza selbst zusammenstellen. Unter anderem kann man die Beläge Champignons, Salami und Zwiebeln wählen. An einem bestimmten Abend wurden 5 Pizzen verkauft. 4 Pizzen enthielten alle drei Beläge. 7 Pizzen waren mit Champignons und Salami, aber ohne Zwiebeln belegt, 3 Pizzen waren mit Champignons und Zwiebeln, aber ohne Salami belegt und 5 Pizzen enthielten Salami und Zwiebeln, aber keine Champignons. Insgesamt waren 6 Pizzen mit Champignons belegt. 5 Pizzen enthielten keine Salami, wobei 5 Pizzen überhaupt keine der drei Zutaten enthielten. Wieviele Pizzen enthielten nur Zwiebeln und wieviele Pizzen enthielten nur Salami? Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe eines Venn-Diagramms. Aufgabe 3 : Ein Unternehmen kann einen kurzfristigen Kredit von e aufnehmen und soll inklusive Zinsen und Gebühren nach zwei Monaten e zurückzahlen. Welchem effektiven Jahreszinssatz entspricht dieses Angebot? Geben Sie den Rechenweg an. Es ist von exponentieller Verzinsung auszugehen.

2 Aufgabe 4 : Herr Alt will 5 Jahre lang jährlich nachschüssig 6 e auf ein mit 4% p.a. verzinstes Konto einzahlen. Die erste Einzahlung erfolgte am Die folgenden Fragen sind unabhängig voneinander zu beantworten. Die Rechenwege sind anzugeben. (a) Wieviel Geld hat er planmäßig am 3.. (nach der Einzahlung) auf dem Konto? (b) Am 3..9 hatte Herr Alt einen finanziellen Engpass und deshalb kein Geld eingezahlt. Die übrigen geplanten Einzahlungen waren und sind davon nicht betroffen. Nach,5 Jahren, im Sommer war er in der Lage, die Differenz auszugleichen. Wieviel mußte er zu diesem Zeitpunkt einzahlen, damit das Kapital am 3.. dem unter (a) berechneten entspricht? (c) Herr Alt möchte beginnend im Januar 4 monatlich nachschüssig einen konstanten Betrag von seinem Konto abheben. Wie hoch kann dieser Betrag sein, wenn sein Kapital dann Jahre lang reichen soll? Zusatzaufgabe: (d) Leider sind die Zinsen ab..3 auf 3% p.a. gesenkt worden. Herr Alt möchte dafür ab 3 seine Einzahlungen erhöhen, so dass er am 3.. das unter (a) berechnete Kapital auf dem Konto hat. Wie hoch müssen die Einzahlungen ab 3 sein? Aufgabe 5 : Bruno Brunetti möchte seine Pizzeria erweitern und nimmt dazu einen Kredit von e zu einem Zinssatz von 5% p.a. auf. Er möchte den Kredit bei einer Laufzeit von 5 Jahren jährlich nachschüssig mit gleichhohen Raten tilgen. Durch die Erweiterung erwartet er für jeden Monat einen um 8e höheren Gewinn als bisher, den er auf einem mit 3% p.a. verzinsten Konto anlegen kann. Geben Sie für die Beantwortung der folgenden Fragen jeweils die Rechenwege an. (a) Wie hoch sind die jährlichen Annuitäten für die Kreditrückzahlung? Reicht der Zusatzgewinn für die Tilgung des Kredites aus? (b) Wie hoch ist der Tilgungsanteil der 4. Annuität? (c) Es gelingt Bruno am Ende des 5. Jahres eine Sondertilgung von e zu realisieren. Wieviele Jahre muss er unter dieser Bedingung insgesamt tilgen, sofern die Raten denen unter (a) berechneten entsprechen und eine verminderte Abschlußannuität vereinbart wurde?

3 Aufgabe 6 : Eine Firma stellt aus drei Rohstoffen R, R und R 3 vier verschiedene Endprodukte E, E, E 3 und E 4 her. Die nebenstehende Tabelle gibt an, wieviele Mengeneinheiten (ME) des entsprechenden Rohstoffes für ein Kilogramm (kg) des jeweiligen Endproduktes benötigt werden. E E E 3 E 4 R R 3 R 3 4 (a) Wieviele Mengeneinheiten der Rohstoffe R, R und R 3 werden benötigt, um kg E, 5 kg E, 8 kg E 3 und 6 kg E 4 zu produzieren? Geben Sie den Rechenweg an. (b) Es sind noch 45 ME R, 4 ME R, sowie 4 ME R 3 auf Lager. Daraus sollen zunächst kg E 4 produziert werden. Wieviel ME der einzelnen Rohmaterialien sind danach noch auf Lager? Betrachten Sie im Folgenden diese Restlagerbestände. Wieviele kg E, E und E 3 können dann noch produziert werden? Es sollen möglichst alle Rohmaterialien verbraucht werden. Geben Sie den Rechenweg an. Wenn es mehrere Lösungen gibt, geben Sie mindestens zwei davon an. Tipp: Stellen Sie ein LGS auf und lösen Sie dieses. Aufgabe 7 : Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem: Z = x + x min x + x 4 x x 5 x + 3x 3 x Lösen Sie das Problem graphisch und bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Skizze die Menge L aller optimalen Lösungen x = (x, x ) T des Problems und daraus den optimalen Zielfunktionswert.

4 Aufgabe 8 : In einer Konditorei werden drei Sorten Kuchen mit Quark hergestellt: Bienenstich ( ME = Blech), Mini-Käsekuchen ( ME = Stück) und Cheesecake ( ME = Torte). In der folgenden Tabelle sind die Zutatenmengen in Gramm (Mehl, Zucker, Quark) bzw. Stück (Eier), sowie der Gewinn in Euro für jeweils eine ME Kuchen gegeben. Am Morgen stellt der Chef fest, dass noch 9 kg Mehl, 5,5 kg Zucker, 7 Eier und 7 kg Quark vorrätig sind. Mehl Zucker Eier Quark Gewinn Bienenstich ,5 Mini-Käsekuchen 8 34,3 Cheesecake ,5 Die weiteren nötigen Zutaten sind ausreichend vorhanden. Das LOP für die Maximierung des Gewinns unter diesen Voraussetzungen, sowie das Tableau des Simplexalgorithmus nach mehreren Schritten, sehen folgendermaßen aus. Z =, 5x +, 3x + 4, 5x 3 max 5x +8x 9 (y ) 8x +x +x (y ) 3x + x 7 (y 3 ) 5x +34x +85x 3 7 (y 4 ) x, x, x 3 T x y 3 y 4 y y x 3 x 3 5 Z Betrachten Sie die folgenden Teilaufgaben unabhängig voneinander und geben Sie bei (b) - (e) den jeweiligen Rechenweg an. (a) Geben Sie die genaue Bedeutung der Strukturvariablen x, x und x 3 an. (b) Wieviele Mengeneinheiten Kuchen von jeder Sorte sollen hergestellt werden, um maximalen Gewinn zu erzielen und wie hoch ist dieser? Wieviele Zutaten von jeder Sorte sind nach der Produktion noch vorhanden? (c) Dem Chef ist es gelungen zusätzlich 3 Eier zu besorgen. Wir wirkt sich dies auf den maximalen Gewinn und das optimale Produktionsprogramm aus? Wieviele Zutaten von jeder Sorte bleiben bei diesem Produktionsprogramm übrig? (d) Wie wirkt sich eine Erhöhung des Gewinnes für Bienenstich um 5 Cent pro ME auf das optimale Produktionsprogramm, sowie den maximalen Gewinn aus? (e) Der Chef befürchtet, dass der Preis für die Mini-käsekuchen zu hoch ist und senkt ihn um 6 Cent pro ME, womit auch der entsprechende Gewinn um 6 Cent pro ME sinkt. Wie wirkt sich dies auf den maximalen Gewinn aus? Zusatzaufgabe: Gibt es im Fall (e) eine optimale Lösung bei der keine Mini-Käsekuchen produziert werden? Falls ja, berechnen Sie die Produktionsmengen für eine solche Lösung.

5 Aufgabe : Wenn Ulla gesund ist und Max die Matheprüfung besteht, dann gibt es zum Abendessen Pizza. W ert(d) =, d.h. D ist wahr. Aufgabe : A B C A B (A B) C 5 C - Menge der Pizzen mit Champignon S - Menge der Pizzen mit Salami Z - Menge der Pizzen mit Zwiebeln 5 Pizzen enthielten nur Zwiebeln. Pizzen enthielten nur Salami. C Aufgabe 3: Geg.: K =, K Monate =, Ges.: q (p.a.) 6 q = q = ( 6 ) =, 74 Das Angebot entspricht einem Zinssatz von 7, 4% p.a. Aufgabe 4: (a) Geg.: n = 5, q =.4, R = 6, K 5 = 6 q5 = 4, 53e. Am q 3.. hat er planmäßig 4, 53e auf seinem Konto. (b) Er muß zusätzlich die Zinsen für,5 Jahre zahlen, also insgesamt 6 q,5 = 6 68, e (c) K = K 5 q = 9 945, 8e, q m =.4, n = = 4. R neu = K qm 4 qm = 78, 55e, Er kann monatlich 78,55 e abheben. qm 4 (d) K 3.. = 6.46 = , 85, K R d.39 = 4, 53.3 R d = ( 4, , ) = 6 74, 6 e.3 9 Er muß ab 3 jeweils 6 74,6 e einzahlen. Aufgabe 5: K =, q =.5, n = 5 (a) A = K q 5 q = 9 634, 3e, Die jährliche Rate beträgt 9 634, 3e. q 5.3 jährlicher Gewinn: 8 = 9 73, 9e, der Zusatzgewinn reicht somit für die Tilgung.3 des Kredites aus. (b) K 3 = K q 3 R q3 = 7 93, 96, T q 4 = A (q ) K 3 = 8 738, 53e, Der Tilgungsanteil der 4. Rate beträgt 8 738, 53e. (c) K5 = K q 5 A q5 = 54 39, 95, q n = (ln A ln(a ln q K 5(q ))) = 6, 8 Bruno muß insgesamt 5+7= Jahre lang den Kredit zurückzahlen. Aufgabe 6: r (a) r = = 4 r Es werden 48 ME R, 4 ME R und 49 ME R 3 benötigt. (b) Nach der Produktion der kg E 4 sind noch 5 ME R, 3 ME R und ME R 3 auf Lager. e e e 3 y 5 y 3 3 y 3 4 y e e 3 e 5 y 4 y Z S 5 y y 3 e 3 e 6 5 y e 4

6 (e, e, e 3 ) T = ( 5,, ) T +t(6, 4, ) T, t [5, 5], z.b. (e, e, e 3 ) T = (,, 5) T, (e, e, e 3 ) T = (5,, 5) T Aufgabe 7: 4 Z = 3 S B S S = (3, ) T, S = (7, ) T L = { x R x = λs + ( λ)s, λ } Z min = 5 Aufgabe 8: (a) x - Menge der produzierten Mini-Käsekuchen in ME, x - Menge des produzierten Bienenstich in ME, x 3 - Menge des produzierten Cheesecake in ME (b) Es sollten 35 ME Mini-Käsekuchen, 6 ME Cheesecake und kein Bienenstich produziert werden, um maximalen Gewinn von 6 e zu erzielen. Es sind dann,5 kgzucker,,7 kg Mehl und keine Eier übrig. (c) y 3 BV, t = = 5 Es sollten 5 ME Mini-Käsekuchen, kein Bienenstich und kein Cheesecake hergestellt werden, um einen maximalen Gewinn von = 5e zu erzielen. Es bleiben keine Zutaten mehr übrig. (d) x NBV, t =.5 (, 9 ] die Gewinnerhöhung wirkt sich gar nicht aus. (e) x BV, t =.6 ( 9, 3, ).6( 3,, ) = (,, ) (,, ) Der maximale Gewinn beträgt dann = 85e. Zusatzaufgabe: Ín diesem Fall gibt es eine zweite optimale Lösung: der Tausch von x und y 3 ergibt x neu 3 =. Es werden also nur noch ME Cheesecake produziert, kein Bienenstich und keine Minikäsekuchen.