Methoden der computergestützten Produktion und Logistik

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1 Methode der comutergestützte Produkto ud Logstk 9. Bedesysteme ud Warteschlage Prof. Dr.-Ig. habl. Wlhelm Dagelmaer Modul W 336 SS 06 Bedesysteme ud Warteschlage Besel: Fahrradfabrk Presse Puffer Lackerere Wareegag Hochregallager Motage Wrtschaftsformatk, sb. CIM

2 Produkto als Bedesystem Produktossysteme Se ethalte der Regel Elemete, de mt Uscherhete behaftet sd. Ausfallverhalte Bedeugszete usw. Das Zetverhalte st daher cht vollstädg vorhersagbar ud daher werde Produktossysteme als stochastsche Bedesysteme modellert. Relatve Häufgket Azahl Eregsse glecher Gesamtazahl betrachteter Egeschaft Eregsse Wahrschelchket: ( ) lm mt 0 3 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Produkto als Bedesystem Zufallsvarable Fukto, de jedem Eregs, das m Utersuchugsraum auftrete ka, ee reelle Zahl zuordet. 0 Dskrete Zufallsvarable Edlche oder abzählbare uedlche Mege vo Werte (z.b. Würfel, Azahl der Auge) x [ 0 ; ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ] Stetge Zufallsvarable Kotuum vo Werte (überabzählbar) (z.b. Körergröße Meter) x [;,5 ] 4 Wrtschaftsformatk, sb. CIM

3 Produkto als Bedesystem Zustad ees Stochastsche Systems Besel: Zustad=Realsato eer Zufallsvarable der Fahrradfabrk Zufallsvarable X Realsato Zustad des Bedesystems 0 Ke Auftrag m System Bedesystem leer 3 4 =,,3,4 Aufträge m System Bedesystem arbetet 5 5 Aufträge m System Bedesystem arbetet, wetere Aufträge werde wege Überfüllug abgeleht 5 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Produkto als Bedesystem Zustadswahrschelchket Wahrschelchket, dass sch e stochastsches System zum Zetukt t m Zustad X(t) befdet. Prob {X(t) } Übergagswahrschelchket: Wahrschelchket, dass e stochastsches System vom Zustad X(t) = eer Zetehet de Zustad X(t+) = j übergeht. Es hadelt sch be der Übergagswahrschelchket um ee bedgte Wahrschelchket. w j P rob { X ( t ) j X ( t ) } 6 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 3

4 Produkto als Bedesystem Vertelugsfukto Ee Vertelugsfukto gbt a, mt welcher Wahrschelchket ee Zufallsvarable höchstes ee bestmmte Wert ammt.. Dskreter Fall: Häufgketsfukto (x) : (x) Prob {X x} mt : 0 (x) (x) Vertelugsfukto F(x ) Prob {X x} mt : 0 F(x ) F( ) 0 F( ) F(x ) (x j) x j x F(x) : 7 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Produkto als Bedesystem. Stetger Fall: Wahrschelchket für ee dskrete Wert st Null. Wahrschelchket für ee Wert erhalb ees Itervall a,b 0 Dchtefukto f(x) b f(x ) dx (a x b) a Mt f(x) 0 f(x ) dx 8 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 4

5 Produkto als Bedesystem Besel: Vertelugsfukto - Werfe eer fare Müze (dskret) Zufallsvarable: Azahl vo Zahl, de be dre Würfe erzelt wrd Dabe gbt es acht Kombatoe vo Ergebsse: Kee Zahl : Ee Kombatos-Möglchket Emal Zahl : Dre Kombatos-Möglchkete Zwemal Zahl : Dre Kombatos-Möglchkete Dremal Zahl : Ee Kombatos-Möglchket F(x ) (x ) Häufgketsfukto x 0 3 Vertelugsfukto x 9 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Produkto als Bedesystem Besel : Vertelugsfukto - Zufallsvarable x mt Werte zwsche 0 ud. Jeder Wert aus der cht abzählbare, uedlche Mege vo Werte soll glech wahrschelch se. f(x ) F(x ) x x Dchtefukto Kummulerte Wahrschelchketsvertelug 0 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 5

6 Produkto als Bedesystem Erwartugswert Mt der Wahrschelchket gewchteter Mttelwert aller Werte vo X E(x) x (x Dskret: Besel: Stetg: ) (x ) 0,05 0,05 0, 0, 0, 0, 0, 0,05 0,05 x EX ( ) E(x) x f(x) dx Wrtschaftsformatk, sb. CIM Produkto als Bedesystem Varaz ud Stadardabwechug De Varaz ud Stadardabwechug sd Maße für Streuug eer Wahrschelchketsfukto. Varaz Dskret: Besel: D (x) E([x E(x)] ) (x E(x)) D (x) 0.05 (0 0.05) 0.05 (5 0.05) Stetg: Stadardabwechug: D (x) (x E(x)) f(x) dx D (x) Wrtschaftsformatk, sb. CIM 6

7 Produkto als Bedesystem Verschedee Verteluge Dskret: Nur bestmmte (abzählbare) Werte z.b. Azahl Forderuge eem Bedeugssystem: Dskrete Glechvertelug Geometrsche Vertelug Pascal-Vertelug Bomal-Vertelug Posso-Vertelug 3 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Produkto als Bedesystem Stetg: Stetge Verteluge über X, wobe X als stetger Parameter sämtlche Werte eem Itervall aehme ka. Möglche Verteluge: Glechvertelug Dreecksvertelug Exoetalvertelug Normalvertelug Log-Normalvertelug Gamma-Vertelug Erlag-Vertelug Webull-Vertelug 4 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 7

8 Produkto als Bedesystem Stochastscher Prozess Famle vo Zufallsvarable (x(t)), de vo Parameter t abhäge. Für t glt : t θ. Parameterraum (Mege θ) θ abzählbar Stochastscher Prozess mt dskretem Parameterraum (Stochastsche Kette) θ e Itervall aus Prozess mt stetgem Parameter Realsato: (θ) Ώ Zustadsraum (Mege Ώ) De Mege der möglche Zustäde. 5 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Produkto als Bedesystem Besel: Parameter- ud Zustadsraum Stetg Stetg Wasserstad ees Stausees m Zetablauf. Parameterraum θ Dskret Wasserstad ees Stausees zu dskrete Zetukte Zustadsraum Ω Dskret Parameter t: Zet Zustadsraum Ώ: Tefster bs höchster Wasserstad Zahl der Autos eer Garage m Zetverlauf Parameter t: Zetukte Zustadsraum Ώ: Tefster bs höchster Wasserstad Zahl der Autos eer Garage zu dskrete Zetukte Parameter t: Zet Zustadsraum Ώ: 0,,.. = Fassugsvermöge der Garage Parameter t: Zetukte Zustadsraum Ώ: 0,,.. = Fassugsvermöge der Garage 6 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 8

9 Produkto als Bedesystem Strom E Strom st e mooto wachseder stochastscher Prozess { X t; 0 t } der ur ostve reelle Zahle aehme ka. Es glt: x tt x t 0; t 0; x t 0 Stetger Strom: Fluss Dskreter Strom: Stückgut- Fluss 7 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Produkto als Bedesystem Besel: Strom mt dskretem Parameterraum ud dskretem Zustadsraum (Ohe dass etwas aus der Warteschlage etomme wrd; Fortschrttszahl!) X(t) = Läge der Warteschlage vor eer Masche zum Zetukt t X(t) wächst durch das Etreffe vo Forderuge zu de Zetukte t,t,... Umfag der Forderuge Zufallsgröße mt stetger Vertelug Abstad der Forderug Zufallsgröße mt stetger Vertelug Läge der Warteschlage Bearbetugsstude X(t) t 0 t t t t 3 t 4 8 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 9

10 Produkto als Bedesystem Ehetestrom Dskreter Strom mt ur gazzahlgem Wert. z.b.: X(t) = Azahl der Forderuge: Srughöhe kostat Eregsstrom Ehetestrom aus eer Folge glechartger Eregsse Besel: Akuftsrozess eem Bedeugssystem (Fortschrttszahl) Eregs: Akuft eer Forderug Eregsstrom lässt sch durch Eregshäufgket ud Akuftsabstad beschrebe: Eregshäufgket h(t,t ) Akuftsabstad t 9 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Prozesse Markow-Prozess Vo eem stochastsche Prozess se de Realsato aller Zetukte t t bekat. Hägt der wetere Verlauf ur vo X(t) ud cht vo de Werte davor ab, hadelt es sch um ee Markow-Prozess. Be eem Markow-Prozess gelte folgede Bezehuge: Prob (x(t) x X(t) y, X(t ) y,..., X(t ) y) Prob (x(t) x X(t ) y) t t;,,..., für alle y ; =,,. Ererug: Prob (x(t) x X(t ) y) st de Übergagswahrschelchket. Markow-Kette Ee stochastsche Kette mt abzählbarem Zustadsraum ud Markow-Egeschaft. 0 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 0

11 Prozesse Posso-Prozess Es st e Eregsstrom mt de folgede Egeschafte:. Der Eregsstrom st statoär: De Wahrschelchket, dass eem Itervall (t 0,t 0 +t) Eregsse etreffe, soll mt (t 0,t 0 +t) bezechet werde. Be eem statoäre Strom st (t 0,t 0 +t) uabhägg vo t 0 (t 0,t 0 +t) = (t) Besel: Fester Zetukt t a, vo dem ab äqudstate Zetukt t a +b, t a +b, t a +3b jewels ee Forderug etrfft: (, 3 ta b t ) 0 4 a b 4 ( 3, 5 t b b a t ) 4 a 4 Deser Prozess st cht statoär! Wrtschaftsformatk, sb. CIM Prozesse. Der Eregsstrom st ohe Nachwrkuge De Wahrschelchkete (t 0,t 0 +t) solle m markow sche Se uabhägg vo dem Geschehe vor dem Zetukt t o se. 3. Der Eregsstrom st regulär Für de Wahrschelchket: q(t) Prob(N(t) ) mt N als Zählgröße für de etreffede Eregsse soll gelte: lm t0 q(t) 0 0(t) t Eregsse habe mmer ee zetlche Abstad! Wrtschaftsformatk, sb. CIM

12 Prozesse Posso-Wert Eregshäufgket eem Posso-Prozess. Für das Vertelugsgesetz der Azahl X der Eregsse, de eer Zetehet etreffe, glt: e Prob{x } ( 0,,...)! α : Eregsrate (Mttlere Azahl der Eregsse, de ro Zetehet etreffe) Vertelugsgesetz für de Azahl X(t) der Eregsse Zettervall t: t ( t) e Prob (X(t) ) ( 0,,,...)! Der Zwscheeregsabstad geügt der Vertelugsfukto: 3 Prob (t a t) = Wrtschaftsformatk, sb. CIM 0 (t<0) -e -αt (t0) Bedeugssysteme mt eem Bedeugskaal Aalytsche Modellerug vo Bedesysteme Voraussetzuge: Der Akuftsrozess der Forderuge st e Posso-Prozess Akuftshäufgket: Possovertelt Akuftsabstad: Exoetalvertelt Eregsrate Akuftsrate λ De Zet t für de Bedeug eer Forderug eem Bedeugskaal (Bedeugszet) st exoetalvertelt mt dem Parameter μ. μ st de Bedeugsrate ees Bedeugskaals (Azahl der Forderuge, de ro Zetehet bedet werde köe). Strom der bedete Forderuge: Im statoäre Fall be de getroffee Aahme weder e Posso-Prozess 4 Wrtschaftsformatk, sb. CIM

13 Bedeugssysteme mt eem Bedeugskaal Bedesysteme mt eem Bedekaal I ekaalge Bedeugssysteme köe folgede Zustäde auftrete: Z 0 = Das Bedeugssystem st leer Z = Im Bedeugssystem st ee Forderug Z = Im Bedeugssystem sd zwe Forderuge. Z = Im Bedeugssystem sd Forderuge De Zustadswahrschelchkete 0 (t), (t), (t),, (t) gebe de Wahrschelchket dafür a, dass zum Zetukt t m Bedesystem der Zustad Z 0, Z,,Z herrscht. 5 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Bedeugssysteme mt eem Bedeugskaal Zustad Z 0 zum Zetukt t + t ka sch ur auf folgede Wese ergebe: Zum Zetukt t besteht der Zustad Z o ud währed des Zetraums (t, t+ t) kommt kee Forderug a. Zum Zetukt t herrscht der Zustad Z ud währed des Zetraums (t, t+ t) verlässt ee Forderug das Bedesystem ud es kommt kee Forderug a. Ist t hreched kle, st de Akuft ud Bedeug eer Forderug t ausgeschlosse. I Folge der Regulartät st de Akuft mehr als eer Forderug ausgeschlosse. Ebeso de Bedeug vo mehr als eer Forderug. 6 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 3

14 Bedeugssysteme mt eem Bedeugskaal E Posso-Prozess st ach Voraussetzug statoär. Zustadswahrschelchkete uabhägg vo t De Wahrschelchket w 00 für de Übergag Z 0 Z 0 st glech der Wahrschelchket dafür, dass währed des Zetraums (t,t+ t) kee Forderug etrfft. Be gegebeer Akuftsrate λ lautet se: w oo ( t) e t (t t;, 0) De Wahrschelchket w 0 für de Übergag Z Z 0 st glech der Wahrschelchket dafür, dass währed des Zetraums (t,t+ t) de Bedeug eer Forderug abgeschlosse wrd ud dese das System verlässt. Be gegebeer Bedeugsrate μ lautet se: t w0( t) t e (t t;, ) 7 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Bedeugssysteme mt eem Bedeugskaal De Wahrschelchket 0 (t+ t) ergbt sch aus de Zustadswahrschelchkete 0 ( t ) ud (t) sowe de Übergags-Wahrschelchkete w 00 ud w 0 zu: t ( tt) () t w () t () t w ( t) () t e () t te t Etwckelt ma dese Exoetalrehe als Taylorrehe (bzgl. t = 0) ud führt de Grezübergag t 0 durch, da glt: Grezübergag t 0: d0 () t 0() t () t dt Im Statoäre Fall glt wege (t) ; d(t) 0 : Wrtschaftsformatk, sb. CIM 4

15 Bedeugssysteme mt eem Bedeugskaal Aalog lässt sch der Zustad Z betrachte: Als Vorgägerzustäde des Zustads Z sd ur de Zustäde Z -, Z + ud Z selbst möglch. Zustad - : w -, ( t) Im Itervall t trfft ee Forderug e: λ t Im Itervall t wrd kee Forderug abgeschlosse: -μ t Zustad + : w +, ( t) Im Itervall t trfft kee Forderug e: -λ t Im Itervall t wrd ee Forderug abgeschlosse: μ t Zustad : w, ( t) Im Itervall t trfft kee Forderug e ud kee wrd abgeschlosse: (-λ t)(-μ t) Im Itervall t trfft ee Forderug e ud wrd ee Forderug abgeschlosse: (λ t) (μ t) (We ma seht: quadratsch ud daher ausgeschlosse!!!) 9 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Bedeugssysteme mt eem Bedeugskaal Daraus folgt de totale Wahrschelchket des Zustads Z : ( w, ( t) t w (( t)( t)) Verachlässgug chtlearer Gleder d (t) d (t) (t) w, mt (t) ; d (t) 0 folgt :, ) t ( t) t (t) ( ) (t) dt ( ) 0 (,,3...) 30 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 5

16 Bedeugssysteme mt eem Bedeugskaal Damt glt für de Zustadsglechuge folgedes Glechugssystem: 0 ( ) 0 Setzt ma 0,da glt für : 0 ( ) o o Auf duktvem Weg folgt: mt o Verkehrsdchte 0 3 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Warteschlage Besel: Ubegrezte Warteschlage - Aufträge vor eer Werkzeugmasche. Es muss her gelte: Zustäde m Bedeugssystem: w,+ w, w -, w +, w,- w 3,3 w, w, w 0,0 w 3,4 w,3 w, w 0, 3 0 w 4,3 w 3, w, w,0 3 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 6

17 Warteschlage Berechug der Wahrschelchket des Zustades w 3,4 w 3,3 w,3 w, w, w, w 0,0 w 0, w 4,3 3 w 3, w, w,0 0 Summe aller Wahrschelchkete = Bestmmug vo 0 : o 0 0 Ersetze vo durch für 0 Daraus folgt: o 33 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Warteschlage Berechug der Wahrschelchket des Zustad Z De Wahrschelchket, dass zu eem belebge Zetukt Forderuge der Warteschlage sd beträgt: ( ) Kumulerte Wahrschelchket für das Auftrete eer Schlage mt bs zu Forderuge: j j0 34 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 7

18 Warteschlage Erwartugswert Durchschttlche Azahl vo Forderuge m Bedeugssystem bzw. der Warteschlage: L g 0 0 Ersetzt ma durch so st 0 L g 35 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Warteschlage Auftrete eer Wartezet t w Vertelugsfukto Auftrete eer bestmmte Wartezet t w: (t w ) e ( )t Durchschttlche Verwelzet m Bedeugssystem: lg tg Durchschttlche Wartezet der Warteschlage: lg tw Wahrschelchket für Wartezete bs zu eer Läge t Zetehete: t t ( )t (tw ) t e t0 36 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 8

19 Warteschlage Besel: uedlche Warteschlage Beselsystem Kra: Im Schtt durch ee Auftrag 4 Mute belastet Durchschttlch Aufträge je Stude Es gelte de gemachte Voraussetzuge: Mttlere Akuftsrate: Stude Ausgag Egag Warteschlage Mttlere Bedeugsrate: 5 Stude Auslastugsgrad: 0, 8 Zur Bedeug Bedeugssystem 37 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Warteschlage Besel: uedlche Warteschlage () Durchschttlche Verwelzet m Bedeugssystem: t g 0,333h 5 Durchschttlche Wartezet der Warteschlage: t w 0,67h ( ) 5(5 ) Durchschttlche Warteschlageläge: lw 3, ( ) 5(5 ) Durchschttlche Azahl vo Aufträge m Bedeugssystem: l g Wrtschaftsformatk, sb. CIM 9

20 Edlche Warteschlageläge, uedlche Azahl vo Aufträge Besel: Gabelstaler werde auf eer begrezte Parkfläche abgestellt. Se werde der Rehefolge des zetlche Etreffe auf der Fläche zur Erfüllug vo Trasortaufträge abgerufe. Abruf Bedeugssystem Egag Bedezet: De Zet, de e Staler auf dem. Platz steht Ist zum Zetukt des Etreffe ees Auftrages ke Staler verfügbar, st der Auftrag verlore. 39 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Edlche Warteschlageläge, uedlche Azahl vo Aufträge Mttlere Bedeugsrate ' ( 0), wobe ' mttlere Akuftsrate der Aufträge Azahl verloreer Aufträge ' 0 w, w -,- w, w 0,0 Zustadsgrah w -,k - w 0, 0 Für mt >0 glt: ( ) 0 w,- Uter de gegebee Voraussetzug glt für =: 0; 0; 0 w,0 40 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 0

21 Edlche Warteschlageläge, uedlche Azahl vo Aufträge Ermttlug vo 0 :,damt glt: 0(... ) Ud es folgt: Aus o folgt: 0 Der Auslastugsgrad ergbt sch zu: '( o ) ' ( ' ) 4 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Edlche Warteschlageläge, uedlche Azahl vo Aufträge De mttlere Azahl vo Forderuge m Bedeugssystem berechet sch we folgt: De mttlere Azahl vo Forderuge der Warteschlage berechet sch we folgt: L g 0 0 ( ) ( )( ) L w ( ) L 0 L g 0 g ( 0 ) 4 Wrtschaftsformatk, sb. CIM

22 Edlche Warteschlageläge, uedlche Azahl vo Aufträge Besel: Edlche Warteschlageläge, uedlche Azahl vo Aufträge Auf der Parkfläche werde =6 Gabelstaler abgestellt. De Mttlere Akuftsrate der Aufträge st λ = 0/h, de mttlere Bedeugsrate λ=6/h Abruf λ = 0/h Egag Damt ergbt sch für de Auslastugsgrad: Leerwahrschelchket: Für de ezele Zustadswahrschelchkete glt: ( '( 0 0 ) 0,955 ) 0,63 0,955 0,63 43 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Edlche Warteschlageläge, uedlche Azahl vo Aufträge Besel: Edlche Warteschlageläge, uedlche Azahl vo Aufträge () Für de ezele Zustadswahrschelchkete glt: 0 = 0,63 X 0,955 0 = 0,63 = 0,63 X 0,955 = 0,55 = 0,63 X 0,955 = 0,48 3 = 0,63 X 0,955 3 = 0,4 4 = 0,63 X 0,955 4 = 0,35 5 = 0,63 X 0,955 5 = 0,9 6 = 0,63 X 0,955 6 = 0,4 Durchschttlche Azahl Gabelstaler auf der Parkfläche: Lg ,67 44 Wrtschaftsformatk, sb. CIM

23 Ugeduldge Forderuge Ugeduldge Forderuge Forderuge de sch cht de Schlage erehe, we Wartezet t w > t. De bsher verwedete Akuftswahrschelchket st durch ee Etrttswahrschelchket zu ersetze. Es bestehe verschedee Möglchkete dese Etrttswahrschelchket festzulege: Feste Wartezet Abhägg vo der Warteschlage etc. Her: Abhägg vo der Wartezet. De erwartete Wartezet beträgt: Der Atel ugeduldger Forderuge se: e t qt w w ;q mttlere Ugeduld der Forderuge 45 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Ugeduldge Forderuge Wahrschelchket, dass ee Forderug sch de Schlage ereht: e e qt w q e q w +, w, w -,- w 0,0 w,+ w., w +, w,- 46 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 3

24 Ugeduldge Forderuge w +, w, w -,- w 0,0 w,+ w., + w +, - 0 w,- w, Es glt für w,+ : w, Ud für w -, : w, Es glt für de Zustadsglechuge: o 0 ( ) 0 λ wrd also durch de Etrttsrate λ = λ x γ ersetzt. Für de Zustadswahrschelchkete glt: q () () 0 o e 47 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Ugeduldge Forderuge Es lässt sch zege: 0 für, uabhägg vo ( cht otwedg) () 0 () () () 48 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 4

25 Ugeduldge Forderuge Besel: A eer Geträkeausgabe komme durchschttlch λ=5 Mtarbeter/m a. Bedeugsrate μ=3/m. Nur 0% der Mtarbeter sd beret zu warte, we de Warteschlage aus mehr als 4 Persoe besteht. Bestmmug des Wertes vo q: e qt w e q Bestmmug des Wertes vo t w : t w 4,666 m 3 Be deser Wartezet warte 0%: 0, e q q,666 l 0,,666,30,38, Wrtschaftsformatk, sb. CIM Ugeduldge Forderuge Atel der Mtarbeter, der sch zum Warte etschleßt: Zahl der Mtarbeter vor Atel der Mtarbeter, der sch der Geträkeausgabe: zum Warte q qt etschleßt e w e 0,00 0,63 0,40 3 0,5 4 0,6 5 0,0 6 0,06 7 0,04 8 0,04 50 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 5

26 Ugeduldge Forderuge Zustadswahrschelchkete: Mt ρ =,666 (= 5/ = 3) erhält ma de Wahrschelchket des Zustads q () Abhäggket vo 0 als: 0 e =,666 x 0 =,748 x 0 3 =,56 x 0 4 = 0,46 x 0 5 = 0,8 x 0 6 = 0,0 x = o ( +,666 +,748 +,56 + 0,46 + 0,8 + 0,0) = 5 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Ugeduldge Forderuge Zustadswahrschelchkete: = o ( +,666 +,748 +,56 + 0,46 + 0,8 + 0,0) = 0 = 0,6 =,666 x 0,6 = 0,68 =,748 x 0,6 = 0,8 3 =,56 x 0,6 = 0,86 4 = 0,46 x 0,6 = 0,074 5 = 0,8 x 0,6 = 0,00 6 = 0,0 x 0,6 = 0,003 5 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 6

27 Ugeduldge Forderuge De mttlere Azahl Mtarbeter vor dem Bedeugsschalter st: L g 0 0 x 0 = 0 x 0,6 = 0,000 x = x 0,68 = 0,68 x = x 0,8 = 0,56 3 x 3 = 3 x 0,86 = 0,558 4 x 4 = 4 x 0,074 = 0,96 5 x 5 = 5 x 0,00 = 0,00 6 x 6 = 6 x 0,003 = 0,08 L g =,80 Damt st de mttlere Verwelzet: L g t g,80 0,36 m 5 53 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Ugeduldge Forderuge De mttlere Azahl warteder Mtarbeter st: L ( ) w 0 x = 0 x 0,68 = 0,000 x = x 0,8 = 0,8 x 3 = x 0,86 = 0,37 3 x 4 = 3 x 0,074 = 0, 4 x 5 = 4 x 0,00 = 0,080 5 x 6 = 5 x 0,003 = 0,05 L w = 0,970 Damt st de mttlere Wartezet: L w t w 0,970 0,94 m 5 54 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 7

28 Parallele Bedeugskaäle ud ubegrezte Warteschlage Für de Zustadsglechuge glt: 0 ( ) ( ) (s ) s Für ergbt sch Abhäggket vo o : ( 0) (0 s) (s )! s! s o s o ( s) (s ) Der Wert vo 0 berechet sch we folgt: 0 s s! s!(s ) 55 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Parallele Bedeugskaäle ud ubegrezte Warteschlage De Warte- oder Besetztwahrschelchket w gbt de Wahrschelchket a, dass mdestes s Forderuge m Bedeugssystem sd also alle Kaäle besetzt sd ud ee eue Forderug warte muss Aus folgt mt ergbt sch w k ks ud s! s k 0 s w s s! ks s m k x x ; x km x w s s 0 0 s!( ) (s )!(s ) s s 0 56 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 8

29 Parallele Bedeugskaäle ud ubegrezte Warteschlage Mttlere Azahl vo Forderuge der Warteschlage: Lw k sk k s k s k 0 k 0 k s! k s s! s k s mt k k s k ( ) s folgt L w s 0 w (s ) (s )! s 57 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Parallele Bedeugskaäle ud ubegrezte Warteschlage Auf ählchem Wege ergbt sch: Mttlere Azahl Forderuge m Bedeugssystem L g s (s )! (s ) 0 w s Mttlere Azahl besetzter Kaäle Mttlere Verwelzet Mttlere Wartezet L b L t g g L tw w 58 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 9

30 Parallele Bedeugskaäle ud ubegrezte Warteschlage Besel: Gegebe st ee Werkzeugausgabe, be der sch Werker hr beötgtes Werkzeug a eer Ausgabestelle abhole: Akuftsrate der Mtarbeter λ = /m. Bedeugsrate μ = 0,5/m Lohkoste: Werker: 5 Lagerst: 6 Gesucht: Kostegüstgste Azahl vo Ausgabestelle, we jede Ausgabestelle mt eem Lagerste besetzt st. 59 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Parallele Bedeugskaäle ud ubegrezte Warteschlage Für de Verwelzet ergbt sch: s Lg 0 (s )! (s ) mt für s = 3 glt s s 0! s! (s ) 3 4 0!! 3! 3! (s ) , 9 6 Lg 0,,888 m! 60 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 30

31 Parallele Bedeugskaäle ud ubegrezte Warteschlage Ergebs be 3 Ausgabestelle: Be 8 h Arbetszet/Tag glt für de Gesamtverwelzet be λ = /m je Tag: t g3, ,4m De Koste für dese Wartezet sd: k 3 386,4 m 5 60 m 346,56 Zuzüglch der Koste für de dre Lagerste ergbt sch: k 3 ' 346,46 6 8h 3 490,56 h 6 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Parallele Bedeugskaäle ud ubegrezte Warteschlage Für s = 4 glt !! 3! 4! 4! (s ) , L g 0,304,7386 m 6 4 t g4, ,45m (Wartezet) 5 k 3 043,45 m 60 m 60,86 (Koste Wartezet) k 3 ' 60,84 6 8h 3 45,86 h (Koste sgesamt) 6 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 3

32 Parallele Bedeugskaäle ud ubegrezte Warteschlage De Koste für 5 Lagerste sd: k 5 '' 6 8h 5 40 h De mmale Verwelzet für s st : lm tg tg 8h 60 m m 960 m (t 0) h w s De Koste dafür sd: k m 960 m 5 60 m 40 Damt sd de Koste für s 5 Lagerste: k s (s 5) 48 De mmale Koste etstehe daach be s = 4 Lagerste 63 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Prortäte be der Abfertgug Be der aalytsche Behadlug vo Bedeugssystem gbt es zwe Arte vo Prortäte:. Absolute Prortät Be Akuft eer Forderug aus eer Forderugsklasse mt höherer Prortät wrd de Verarbetug vo Forderuge aus eer Forderugsklasse mt edrger Prortät abgebroche. Relatve Prortät Be Akuft eer Forderug aus eer Forderugsklasse mt höherer Prortät wrd de Verarbetug vo Forderuge edrger Prortät beedet. Im wetere Bedeugsrozess wrd de Forderug höchster Prortät bedet. 64 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 3

33 Prortäte be der Abfertgug Relatve Prortät mt Forderugsklasse (Klasse Prortät, Klasse kee Prortät) : a ( a) Prortät be absoluter Wartedszl erhalb eer Forderugsklasse ledglch sezelle Sorterug der Warteschlage (uter de getroffee Aahme). Kewerte we be Bedeugssysteme ohe Prortät. 65 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Prortäte be der Abfertgug Es glt: 0 ; Mttlere Azahl vo Forderuge mt Prortät m Bedeugssystem: a L g a a Für de Forderuge ohe Prortät glt Addto vo L g ud L g a a Lg ( a) ( ) ( a ) L g we m Bedeugssystem ohe Prortäte! 66 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 33

34 Prortäte be der Abfertgug Mttlere Läge der Warteschlage eer Prortätsklasse k: k( ) Lw,k Lw; ( yk )( yk) dabe st k yk Für L w, glt: ( ) a L w, ( ) a Es glt: L w, L w, Verwelzet m Bedesystem: a t g m a Wartezet der Warteschlage: t w ( a ) Für L w, glt: ( ) L w, ( )( ) tg t w a a m ( a ) ( ) ( ) ( a ) 67 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Prortäte be der Abfertgug Besel: Werkzeugmasche, auf der Auftragsklasse zu bearbete sd: Bedeugsrate μ = /h Akuftsrate λ = /h Prortätsatel a = 0, = 0,5 Azahl vo Aufträge m Bedeugssystem: a Lg a 0,0763 a a a 0,05 0,05 Lg ( a) 0,9 0,5 0,936 ( )( a ) 0,5 0,05 Lg 0,5,0 0,5 68 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 34

35 Prortäte be der Abfertgug Verwelzet m Bedeugssystem: tg tg a 0,763h a a,06h ( a )( ) Wartezet Warteschlage: tw 0,63h ( a ) tw 0,56h / )( a ) 69 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Störugsbedgte Stauuge Rearatur, Wartug usw. Uterbrechug des Bedeugsrozess Aufbau ees störugsbedgte Puffers (we Egag Forderuge cht uterbroche wrd) Abbau des Puffers ach Wederbeg des Bedeugsrozess Besel: Ee Masche bearbetet Werkstücke Alle /λ Zetehete kommt e Werkstück here Bearbetug ees Werkstück dauert /μ Zetehete Im Mttel alle /α Zetehete Uterbrechug der Produkto Rearatur dauert /β Zetehete De Werkstücke sammel sch währed der Rearatur eem Puffer vor der Masche Der Puffer st ach der Rearatur abzubaue 70 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 35

36 Störugsbedgte Stauuge Pufferbestad /α λ = Akuftsrate μ = Bedeugsrate α = Störrate β = Rearaturrate t t t r t /β t : t -t r : t r : t r -t : t : Beg der Rearatur Puffer leer Währed der Rearatur Pufferstad mt der Rate λ zu Ede der Rearatur Maxmalbestad r zum Zetukt t r Nach der Rearatur Abahme des Pufferbestad mt der Rate (μ-λ) Puffer vollstädg abgebaut 7 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Störugsbedgte Stauuge Berechug vo r ud t : r ud t r t t t ( ) ( ) Pufferbestad /α λ = Akuftsrate μ = Bedeugsrate α = Störrate β = Rearaturrate t t t r t /β Der Pufferbestad wrd abgebaut, we glt: ( ) 7 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 36

37 Störugsbedgte Stauuge Be desem Bedeugssystem treffe 4 stochastsche Prozesse zusamme (de de aalytsche Voraussetzuge etsreche solle): Akuftsrozess Bedeugsrozess Störrozess Rearaturrozess Voraussetzug: Ee Störug ka ur auftrete, we der betreffede Kaal arbetet De möglche Zustäde solle mt Z j bezechet werde: : Azahl der Forderuge j: Störug 73 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Störugsbedgte Stauuge Zwsche de Zustäde z j köe folgede Übergäge stattfde: Akuft eer Forderug mt der Akuftsrate λ: Z j Z +j Bedeug eer Forderug mt der Bedeugsrate μ, falls j=0 ud >0: Z o Z -0 Etreffe eer Störug mt der Störugsrate α, falls j=0 ud >0: Z o Z Abschluss eer Rearatur mt der Rate β, falls j= Z Z 0 λ λ λ λ +,j, -,j, α β +,0 μ λ α,0 β μ λ α -,0 β μ λ α,0 β μ λ 0,0 74 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 37

38 Störugsbedgte Stauuge Für de Zustadswahrschelchkete glt: ( ) 0, 0 0,0, ( ),0,0,,0,0,0, ( 0; j ) ( 0; j ) ( 0; j 0) ( 0; j 0) Im Folgede wrd defert: Verkehrsdchte: Störugsdchte: 75 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Störugsbedgte Stauuge Wahrschelchket, dass das Bedeugssystem gestört st:., 0 0 Wahrschelchket, dass das Bedeugssystem cht gestört st:,0 Es glt: 0.,.,.,, 0 Für., glt:., Daraus folgt:., 0 76 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 38

39 Störugsbedgte Stauuge., 0 lässt de Berechug des mttlere Astoßes zu. Als Summato vo ( ),0,0,0, über alle ergbt sch: : : 3 : Mt 0,0,0 folgt:,,,3 ( ),0 ( ) ( ),0 3,0., (,.0 0, 0) 0,0,0,0,0 3, Wrtschaftsformatk, sb. CIM Störugsbedgte Stauuge Daraus folgt de Leerwahrschelchket 0,0 : 0,0 ( ) Mttlere Azahl Rearature/Zetehet: R., Mttlere Azahl Forderuge m Bedeugssystem: L g ( ) ud t g 78 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 39

40 Geschlossee Bedeugssysteme Geschlossee Bedesysteme Bedeugssysteme mt edlcher Warteschlageläge ud edlcher Forderugsquelle. Besel: Mehrere Masche sd durch ee Bedeugserso zu rüste. De Zet für ee Bedeug etsrcht der Rüstzet. Der Akuftsabstad st de Bearbetugszet. Wahrschelchket ees Eregsses st vo de zu desem Zetukt der Warteschlage wartede Forderuge abhägg. Gegebe see Betrebsmttel Mttlere Bedeugszet: t s Mttlere Bedeugsrate: μ = /t s Akuftsrate: λ/ (Stllstadsrate ees Betrebsmttels) Bedeugszet ud Bearbetugszet sd exoetalvertelt mt de Parameter μ ud λ/. 79 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Geschlossee Bedeugssysteme Uter de gemachte Aahme st de Wahrschelchket, dass e Betrebsmttel m Zetraum t arbetet: a ( t) t q( t) Ud das es m Zetraum t ee Auftrag abschleßt: s ( t) t q( t) 80 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 40

41 Geschlossee Bedeugssysteme Ageomme Betrebsmttel sd außer Betreb, es arbete also - Wahrschelchket, dass alle - Betrebsmttel Betreb blebe: Wahrschelchket, dass ees der - stehe blebt ud Elemet der Warteschlage wrd: a,( t) t, ( t) t Für t glt äherugswese t 8 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Geschlossee Bedeugssysteme w +, w, w -,- w 0,0 + w,+ w., w,- w +, - 0 Für w -, glt: Ud für w,+ : w, w, Damt glt: (0 ) ( 0) 8 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 4

42 Geschlossee Bedeugssysteme Als Lösug ergbt sch: 0 ( k ) k! 0 ( )! Es glt: 0 Damt lasse sch ud 0 erreche 0 )! ( 83 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Geschlossee Bedeugssysteme Besel: Es sd = 7 Masche vo der Bedeugserso zu rüste. De Akuftsrate, we alle Masche arbete, st λ = 0,05. Damt st de Akuftsrate eer Masche λ/ = 0,0007. De Bedeugsrate st μ = 0, Für de Zustadswahrschelchket glt:! ( )! 0 0,05 7! 0, 7 (7 )! 0 Für =,,,7 ergbt sch Folgedes: = 0,500 x 0 = 0,0536 x 0 3 = 0,0096 x 0 4 = 0,004 x Wrtschaftsformatk, sb. CIM 4

43 Geschlossee Bedeugssysteme Es glt: ,5 0 0, , , ,76 De Mttlere Azahl stllsteheder Masche st: Lg ,97 De mttlere Azahl arbeteder Masche st: Lg 7 0,97 6, Wrtschaftsformatk, sb. CIM Aufgabe Aufgabe Zum Schalter eer Sarkasse komme durchschttlch 4 Kude ro Stude. Im Durchschtt köe 8 Kude ro Stude bedet werde. Bereche Se de Wahrschelchket, dass der Schalter leer st de Wahrschelchket, dass am Schalter geau Kude warte de Wahrschelchket, dass am Schalter höchstes 3 Kude warte de durchschttlche Verwelzet am Schalter de durchschttlche Wartezet der Warteschlage de durchschttlche Warteschlageläge ud de durchschttlche Azahl vo Kude am Schalter. 86 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 43

44 Aufgabe Aufgabe Der Auslastugsgrad eer Warteschlage mt edlcher Warteschlageläge ud uedlcher Azahl vo Aufträge beträgt 0,85 be eer maxmale Warteschlageläge vo = 3. Bereche Se de Leerwahrschelchket de durchschttlche Warteschlageläge Aufgabe 3 Be eem Fastfood-Restaurat beträgt de Bedeugsrate µ=/m. De mttlere Ugeduld der Forderuge se q =,5. Bereche Se de Atel a Persoe, de sch zum Warte etschleßt we kee Perso vorher der Schlage steht we zwe Persoe vorher der Schlage stehe we ver Persoe vorher der Schlage stehe 87 Wrtschaftsformatk, sb. CIM Aufgabe Aufgabe 4 De Akuftsrate eer Warteschlage mt ugeduldge Forderuge beträgt λ = 4/m. Folgede Zusammehäge see bekat:,5,6 0,9 0,5 Bereche Se 0, de Zustadswahrschelchkete 0 bs 5 de durchschttlche Wartezet de durchschttlche Verwelzet. 88 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 44

45 Aufgabe Aufgabe 5 Gegebe st ee Werkzeugausgabe, be der sch Werker hr beötgtes Werkzeug a eer Ausgabestelle abhole: Akuftsrate der Mtarbeter λ = /m. Bedeugsrate μ = 0,5/m Lohkoste: Werker: Lagerst: 8 Arbetszet/Tag: h Bereche Se de Koste, de etstehe, we dre Lagerste egesetzt werde ( 0 =0,) de Koste, de etstehe, we ver Lagerste egesetzt werde ( 0 =0,304) 89 Wrtschaftsformatk, sb. CIM 45

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