Statistik. 1. Vorbereitung / Planung - präzise Formulierung der Ziele - detaillierte Definition des Untersuchungsgegenstandes

Transkript

1 Statstk Defnton: Entwcklung und Anwendung von Methoden zur Erhebung, Aufberetung, Analyse und Interpretaton von Daten. Telgebete der Statstk: - Beschrebende (deskrptve) Statstk - Wahrschenlchketsrechnung - Schleßende (nduktve) Statstk Phasen für statstsche Untersuchungen:. Vorberetung / Planung - präzse Formulerung der Zele - detallerte Defnton des Untersuchungsgegenstandes. Datenerhebung - Prmärerhebung: Befragung, Beobachtung und Experment - Sekundärerhebung: Verwendung von berets vorhandenen Daten 3. Datenaufberetung und Darstellung Bespel: 5 Schüler werden nach hrer Mathematknote befragt Urdaten (Urlste):,, 5, 4,, 3,, 3, 5, 4, 4, 4,,, 5 geordnete Daten (Rehe):,,,,,, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 Häufgketstabelle: Dagramm: Note Häufgket Häufgket Note 4. Datenauswertung (Analyse) und Interpretaton - Häufgketsvertelung: de Berechnung von Mttelwerten, Streuungsmaßen und Konzentratonsmessung - Zusammenhang zwschen Merkmalen: Methoden der Korrelatonsanalyse - Zetrehenanalyse: Ermttlung von Schwankungen und Trendermttlung - Relatonen von Zahlen: Verhältns- und Indexzahlen 5. Ergebnspräsentaton - adressatengerechte Präsentaton der Ergebnsse - grafsch, tabellarsch oder über Enzelwerte - ergänzt durch erläuternde Kommentare

2 Manpulatonen n der Statstk - Manpulaton durch grafsche Verzerrungen Umsatzentwcklung 70 Umsatzentwcklung 60 Tsd. Euro Zet Tsd. Euro Zet - Täuschung durch falsche Angaben z.b. bewusst falsche Angaben ( be Kregsstatstken über Fendverluste) oder das bewusste Nchtbeachten von relevanten Daten. - Ncht-Angabe unüblcher Defntonen oder erklärender Informatonen z.b. werden de Lohnnebenkosten üblcher Wese ns Verhältns zum Bruttolohn gesetzt und ncht ns Verhältns zum Nettolohn. Letzteres müsste sehr deutlch gekennzechnet werden. - Ncht repräsentatve Stchprobe z.b. werden zur Belegung ener These nur Personen befragt, de de glechen Interessen verfolgen. - Irreführende Auswahl der Untersuchungsmerkmale z.b. werden Personen nur zu bestmmten ausgewählten Merkmalen befragt, de das wahre Ergebns verfälschen. - De Antwort beenflussende Fragestellungen z.b. wenn dem Befragten de gewünschte Antwort suggerert wrd. - Manpulerende Auswahl der Bezugsgröße z.b. kann de Presstegerung ns Verhältns zum Vormonat oder zum Vorahresmonat gesetzt werden, oder an ener Fakultät mt.500 Studenten nehmen 50 Studenten an ener Klausur n Statstk tel. Von den 50 Studenten besteht kener de Klausur. Der Dozent behauptet, de Durchfallquote be sener Klausur se % gewesen. - Vortäuschen von Zusammenhängen (fehlende Kausaltät) z.b. der Zusammenhang von Geburten und Storchenpopulaton

3 3 Statstsche Grundbegrffe Merkmalsträger: Der Merkmalsträger (statstsche Enhet) st das Subekt oder Obekt der statstschen Untersuchung und der Träger der nteresserenden statstschen Informaton (Träger der Informaton). Grundgesamthet: De Grundgesamthet (statstsche Masse) st de Menge aller Merkmalsträger, de überenstmmende Abgrenzungsmerkmale bestzen. - sachlche Abgrenzung: Es muss festgelegt werden, wer oder was zu enem Merkmalsträger gehört. - räumlche Abgrenzung: In welchen Grenzen (n welchem Gebet) legen de Merkmalsträger. - zetlche Abgrenzung: Es st der Zetpunkt (Bestandsmasse) oder der Zetraum der enzubezehenden Merkmalsträger zu bestmmen. De Eregnsse während enes bestmmten Zetraumes (Zugänge oder Abgänge) blden de Bewegungsmasse (Eregnsmasse). Se führen zu Bewegungen n der korresponderenden Bestandsmasse. Merkmal: De Egenschaft des Merkmalsträgers, de be der statstschen Untersuchung von Interesse st, wrd als Merkmal (Untersuchungsvarable) bezechnet. Merkmalsausprägung: Alle möglchen Werte, de das Merkmal bem Merkmalsträger annehmen kann, werden als Merkmalsausprägung bezechnet. Merkmalswert: Der Wert, der bem Merkmalsträger festgestellt wurde heßt Merkmalswert (Beobachtungswert). Für de Aufberetung der Merkmalswerte st de Art des Merkmals von Bedeutung. De folgenden Merkmalsarten werden unterscheden: - qualtatves Merkmal: En qualtatves Merkmal legt vor, wenn den möglchen Merkmalswerten ledglch Namen (artmäßge Merkmale, z.b. Farben) oder Klassenbezechnungen (ntenstätsmäßge Merkmale, z.b. Noten) zugeordnet werden können. - quanttatves Merkmal: En Merkmal, das ene messbare Dmenson bestzt (z.b. Anzahl der Mtarbeter m Betreb) oder n Mengenenheten ausgedrückt werden kann (z.b. Verbrauch n Ltern), wrd als quanttatv bezechnet. - dskretes Merkmal: en quanttatves Merkmal, das abzählbar vele Werte annehmen kann, wrd als dskret bezechnet (z.b. Enwohnerzahl ener Stadt).

4 4 - stetges Merkmal: en quanttatves Merkmal, das überabzählbar vele Werte annehmen kann, wrd als stetg bezechnet (z.b. Füllmengen). Um en stetges Merkmal we en dskretes behandeln zu können, muss ene Enhet hnzugefügt werden (z.b. Füllmengen n Ltern). - häufbares Merkmal: En Merkmal, von dem en Merkmalsträger mehr als enen Merkmalswert annehmen kann, heßt häufbares Merkmal (z.b. Hobbys). - ncht häufbares Merkmal: En Merkmal, von dem en Merkmalsträger nur genau enen Merkmalswert bestzen kann, heßt ncht häufbares Merkmal (z.b. Alter). Vollerhebung: Be ener Vollerhebung (Totalerhebung) werden de Merkmale be allen statstschen Enheten erhoben. Stchprobe: Wrd nur en Tel der Grundgesamthet untersucht, so handelt es sch um ene Stchprobe. Dese kommt zu Anwendung, wenn ene Vollerhebung zu kostenaufwendg st, mt enem erheblchen Zetaufwand verbunden st, oder überhaupt ncht durchgeführt werden kann, da de statstschen Enheten be der Untersuchung zerstört werden (z.b. Crash-Tests), ncht alle bekannt snd (z.b. de Kunden enes Supermarktes), zu ener Erhebung ncht beret snd (z.b. Befragung nach dem Enkommen), oder m vorgegebenen Zetraum ncht untersucht werden können. repräsentatve Stchprobe: Ene Stchprobe glt als repräsentatv, wenn de aus der Grundgesamthet ausgewählten, statstschen Enheten hnschtlch aller Krteren, antelg alle statstschen Enheten der Grundgesamthet wederspegeln (repräsenteren). Auswahlverfahren: Erstreckt sch de statstsche Untersuchung nur auf enen Tel der Grundgesamthet, so kommt en Auswahlverfahren zur Stchprobenuntersuchung zur Anwendung: - wllkürlche Auswahl: Be deser ncht repräsentatven Auswahl gbt es kene konkreten Vorgaben (z.b. werden Kunden m Supermarkt nach enem bestmmten Produkt befragt). - Zufallsauswahl: Da ede statstsche Enhet der Grundgesamthet mt ener berechneten Wahrschenlchket n de Stchprobe gelangt, st ene repräsentatve Erhebung schergestellt (z.b. Telefonbefragung, wenn de Telefonnummern zufällg ausgewählt werden). - Bewusste Auswahl: Be der bewussten Auswahl (Beurtelungsstchprobe) erfolgt de Auswahl der statstschen Enheten gezelt nach bestmmten Merkmalen und st annähernd repräsentatv (z.b. das Quotenverfahren, wenn de ewelgen Antele an der Grundgesamthet bekannt snd, das Konzentratonsverfahren, wenn de wchtgsten der statstschen Enheten der Grundgesamthet befragt werden oder de typsche Auswahl, be der nur de statstschen Enheten befragt werden, de hnschtlch enes Merkmals als besonders typsch gelten).

5 5 Zetrehe: Ene statstsche Rehe von Beobachtungswerten, de für aufenander folgende Zetpunkte oder Zetntervalle erhoben werden, heßt Zetrehe. Statstsche Skalen: Auf ener Skala (Messskala) werden de möglchen Merkmalswerte nach enem bestmmten Ordnungsprnzp als Skalenwerte abgetragen. De Skala (bzw. das Ordnungsprnzp) st entschedend zum enen für das Informatonsnveau und den Aussagegehalt des Merkmalswertes und zum anderen für de statstschen Verfahren, de angewendet werden dürfen. Nomnalskala: Ene Skala, deren Skalenwerte nur nach dem Krterum glech oder verscheden geordnet werden können heßt Nomnalskala (z.b. Farben oder Bundesländer). Rangskala: Ene Skala, deren Skalenwerte ncht nur nach dem Krterum glech oder verscheden, sondern außerdem n ener natürlchen Rehenfolge geordnet werden können, heßt Rangskala oder Ordnalskala (z.b. Noten oder Güteklassen). metrsche Skala: Ene Skala, deren Skalenwerte reelle Zahlen snd und de alle Ordnungsegenschaften der reellen Zahlen bestzt, d.h. de Werte lassen sch n ene Rangfolge brngen und es snd zudem auch Abstände messbar, heßt metrsche Skala oder Kardnalskala (z.b. Enkommen oder Stückzahlen). De dre Skalen snd durch en stegendes Informatonsnveau gekennzechnet. Je höher das Informatonsnveau, desto höher und obektver st auch de Aussagekraft und das Analysepotental. Daher sollte be ener statstschen Untersuchung möglchst nach Merkmalen mt enem hohen Skalennveau gesucht werden (z.b. kann de Sorgfalt enes Akkordarbeters unter Verwendung ener Ordnalskala von sorgfältg stufenwese bs unachtsam gemessen werden, oder aber auf ener metrschen Skala mt der Anzahl an Fehlern pro 00 Mengenenheten). Hat der Skalenwert be ener metrschen Skala kenen natürlchen Nullpunkt (Intervallskala), z.b. Temperatur n Celsus, so darf nur der absolute aber ncht der relatve Abstand gemessen werden (z.b. beträgt der absolute Abstand von Grad und 36 Grad Celsus glech 4 Grad Celsus. Der relatve Wert 36 / = 3 st ohne Aussagekraft, da es be 36 Grad ncht 3 mal so warm st we be Grad Celsus). Bestzt der Skalenwert be ener metrschen Skala enen natürlchen Nullpunkt (Verhältnsskala), z.b. Lebensalter n Jahren, oder zusätzlch auch noch ene natürlche Enhet (Absolutskala), z.b. Stückzahlen, so darf der absolute und der relatve Abstand gemessen werden (z.b. beträgt der absolute Abstand zwschen.000,00 und 6.000,00 glech 4.000,00 und /.000 = 3 bedeutet, dass es dremal sovel st). Unter ener Skalentransformaton versteht man de Übertragung von Skalenwerten n Werte ener anderen Skala, wobe de Ordnungsegenschaften der Skala erhalten bleben müssen. Nach der Transformaton st auf de korrekte Interpretaton der Daten zu achten (z.b. nach der Transformaton der qualtatven Merkmalsausprägungen männlch und weblch n 0 und (Pseudokardnalskalen) darf mt desen Werten ncht gerechnet werden).

6 6 Bespel: Es soll de durchschnttlche Statstknote ermttelt werden. Zur Grundgesamthet gehören alle Studerenden (Merkmalsträger), de m drtten Semester snd (sachlch), an der WIHOGA n Dortmund engeschreben waren (räumlch), m Zetraum vom... bs... (zetlch). Zu enem bestmmten Zetpunkt (Bestandsmasse). Be Abmeldungen während des Semesters (Eregnsmasse / Bewegungsmasse). Es st festzulegen, welche Subekte mt enbezogen werden sollen und des st endeutg kenntlch zu machen. Be den Studenten (statstsche Enheten) soll de Note (Merkmal) festgestellt werden. Möglch wären de Noten,, 3, 4, 5 oder 6 (Merkmalsausprägungen). De tatsächlche Note der ewelgen statstschen Enhet st der Merkmalswert (Beobachtungswert). Be den Noten handelt es sch um en qualtatves, ntenstätsmäßges Merkmal, das auf ener Rangskala gemessen wrd, da es wohl ene Rangfolge der Noten gbt, edoch kene Abstände gemessen werden können. So st de Note zwar besser als de Note 4, edoch ncht doppelt so gut und es gbt auch kene Zwschenwerte (z.b. Note,5). Da das Merkmal ncht quanttatv st lässt es sch auch ncht als dskret oder stetg klassfzeren. Da eder Student (m abgegrenzten Zetraum) nur ene Note bekommt, handelt es sch um en ncht häufbares Merkmal. Da de Noten aller Studenten mt n de statstsche Untersuchung enbezogen werden, legt ene Vollerhebung vor. Abkürzungen: = Laufndex n = Gesamtzahl der Merkmalsträger x = Merkmal v = Anzahl der verschedenen Merkmalswerte x = Merkmalsausprägung der -ten Stelle h = absolute Häufgket f = relatve Häufgket H = absolute Summenhäufgket F = relatve Summenhäufgket HR = absolute Resthäufgket FR = relatve Resthäufgket Tabellarsche Darstellung von Daten Formeln: h + h h v = n v = h = n v h f = f = n =

7 7 Häufgketsvertelung des Merkmals: De tabellarsche oder grafsche Darstellung der geordneten Merkmalsausprägungen mt den hnen zugeordneten absoluten oder relatven Häufgketen heßt Häufgketsvertelung des Merkmals. Häufgketstabelle: Laufndex () Merkmalsausprägung (x ) (h ) (f ) absolute Häufgket relatve Häufgket x h f x h f 3 x 3 h 3 f n- x n- h n- f n- n x n h n f n Laufndex ()... n- n Merkmalsausprägung (x ) x x x n- x n absolute Häufgket (h ) h h... h n- h n relatve Häufgket (f ) f f f n- f n Aufgabe : Es st de Anzahl der Knder von den Beschäftgten ener Frma gegeben. x h a) Bestmmen Se: Merkmalsträger, Merkmal, Merkmalsausprägungen und Merkmalswerte b) Erstellen Se ene Häufgketstabelle mt den absoluten und relatven Häufgketen, sowe den absoluten und relatven Summen- und Resthäufgketen c) Erläutern Se aus der Tabelle: x ; h ; h 4 ; f 3 ; H ; F 4 ; HR 3 und FR Aufgabe : In ener Gaststätte wrd be 50 Gästen de Wartezet (n Mnuten) festgehalten, von dem Moment an, wo dese am Tsch Platz nehmen bs zu dem Zetpunkt, wo en Kellner an den Tsch kommt. Wartezet Anzahl der Gäste a) Bestmmen Se Merkmalsträger, Merkmal, Merkmalsausprägungen und Merkmalswerte, b) erstellen Se ene Häufgketstabelle mt den absoluten und relatven Häufgketen, sowe den absoluten und relatven Summen- und Resthäufgketen und c) nterpreteren Se de Häufgketstabelle.

8 8 Klasserte Häufgketsvertelung Be velen Untersuchungen st de Erfassung und Auszählung aller enzelnen Merkmalsausprägungen ncht snnvoll oder ncht möglch, wel: de Anzahl der Merkmalsausprägungen zu groß st, das Merkmal stetg st, oder de Überschtlchket be Darstellung und Aufberetung verloren geht. (z.b.: Untersuchung der Enkommensvertelung. Her werden de Enkommen ncht auf den Cent genau erfasst, sondern n Klassen zusammengefasst.) Klasserung: De Merkmalsausprägungen werden n Klassen (Bereche) zusammengefasst. Ene Klasserung (Klassenbldung) dent der anschaulchen Darstellung, wenn en Merkmal sehr vele Merkmalsausprägungen bestzt. Da durch de Verdchtung der Merkmalsausprägungen zu Klassen Informatonen verloren gehen, st her en Kompromss zu fnden, zwschen dem Gewnn an Überschtlchket und dem Verlust an Informatonen. De Entschedung über Anzahl und Brete der Klassen st am Untersuchungszel auszurchten. Abkürzungen: = Laufndex für de Klasse (Klassenndex), =,..., v x u = Untergrenze der Klasse x o = Obergrenze der Klasse x * = Klassenmtte der klasserten Merkmalsausprägungen h = absolute (enfache) Klassenhäufgket. Anzahl der Merkmalsträger mt enem Merkmalswert x, der n de -te Klasse fällt, also x u x < x o H = absolute kumulerte Klassenhäufgket Klassenmtte: De Klassenmtte (x * ) repräsentert m Allgemenen de ewelge Klasse be der Auswertung des statstschen Datenmaterals. Klassenbrete: De Dfferenz zweer aufenander folgender Klassengrenzen (x o x u ) heßt Klassenbrete. Für de endeutge Zuordnung st nur ene der Klassengrenzen mt zuzurechnen: also ncht: sondern: oder: 0 bs über 0 bs 0 bs unter bs über bs bs unter bs 3 über bs 3 bs unter 3 Festlegung der Klassenbrete: Alle Klassenbreten sollten glech groß sen, sofern das zu behandelnde Problem des zulässt. Fallen we z.b. be den Enkommen nur sehr wenge Beobachtungswerte n de oberen Klassen, können dese auch größer ausfallen. De Festlegung der Klassenbrete (x o x u ) sollte möglchst so erfolgen, dass der Wert n der Klassenmtte en typscher Stellvertreter für de ganze Klasse st, denn es wrd m Allgemenen davon ausgegangen, dass sch alle Beobachtungswerte ener Klasse glechmäßg über dese vertelen (Glechvertelungsannahme).

9 9 offene Randklassen: Be offenen Randklassen gbt es dre Möglchketen, de Klassenmtte zu bestmmen: der Wert, der sch be glechen Abständen aller Klassenmtten ergbt, enen geschätzten, bzw. vermuteten Wert, oder den sch aus den Beobachtungswerten berechneten tatsächlchen Mttelwert der Klasse. Bespel: Klassen: u x x < x o Klassenmtten: x * 00 bs unter bs unter bs unter bs unter und mehr Für de letzte Klassenmtte kann der Wert 650 verwendet werden (glecher Abstand entsprechend den anderen Klassenmtten), en Wert geschätzt oder (wenn möglch) der tatsächlche berechnet werden. Näherungswese Häufgketsberechnungen: Legen be ener klasserten Häufgketsvertelung de Urwerte ncht mehr vor, dann können den Merkmalswerten, unter der Annahme ener Glechvertelung nnerhalb der ewelgen Klassen, de Häufgketen näherungswese mttels lnearer Interpolaton zugeordnet werden. Aufgabe 3: 40 Kunden haben Rechnungsbeträge von unter 0,00 Euro. Ergänzen Se de Häufgketstabelle und erläutern Se de folgenden Werte: x * ; h ; f 3 ; H ; F 4 ; HR 3 ; FR und F(75). Rechnungsbetrag ( ) von bs unter * x h f H F HR FR (relatve Werte n Prozent)

10 0 Mehrdmensonale Häufgketsvertelung Tabelle: Ene Tabelle dent der systematschen und überschtlchen Zusammenstellung von Daten. x y k Tabellenkopf w h k k = Tabellenfeld Tabellenfeld Tabellenfeld Vorspalte Tabellenfeld Tabellenfeld Tabellenfeld Tabellenfeld Summenspalte Zelen v h k = Summenzele Spalten n bs unter 5 Jahre 5 Jahre und älter Insgesamt m w m w ()+() (4)+(5) ()+(4) ()+(5) (7)+(8) Sem. () () = (3) (4) (5) = (6) = (7) = (8) = (9) 3 4

11 Grafsche Darstellung von Daten Kresdagramm Umsatz % 5 % 9% % 5% 5 Säulendagramm % 90% Balkendagramm 80% 70% 60% 50% Rehe3 Rehe % 30% Rehe 3 0% 0% 0% % 0% 40% 60% 80% 00%

12 Hstogramm mt glecher Klassenbrete Rehe Rehe Rehe3 Rehe4 Rehe5 Hstogramm mt unterschedlcher Klassenbrete und Polygonzug Polygonzug Treppenfunkton Lnendagramm (Summenpolygon) Anzahl Note 0,8 0,6 0,4 0, Lnen- / Kurvendagramm Gebrge Rehe Rehe Rehe Jahr 3 Jahr Jahr Jahr Jahr

13 3 Aufgabe 4: En Unternehmer hat noch 45 offene Forderungen n unterschedlcher Höhe, we n der folgenden Tabelle dargestellt: a) Erstellen Se dazu en Hstogramm, b) zechnen Se de relatve Summenhäufgket n en Dagramm, c) bestmmen Se de relatve Summenhäufgket für Forderungen bs unter 550,00 und d) bestmmen Se den Forderungswert n Euro, auf den bs zu 87,76 % der Forderungen entfallen Forderungen (n Euro) von... bs unter (relatve Werte n Prozent) h d H F

14 4 Aufgaben zur Wederholung: ) Beschreben Se n groben Zügen de enzelnen Phasen der statstschen Untersuchung und hre ewelgen Aufgaben. ) Erläutern Se de Bedeutung der Konkretserung des Untersuchungszeles. 3) Erklären Se den Untersched zwschen Prmär- und Sekundärforschung. Worn legen ewels de Vor- und Nachtele? 4) Erklären Se den Untersched zwschen Befragung und Beobachtung. Worn legen ewels de Vor- und Nachtele? 5) Erläutern Se das Problem der grafschen Verzerrungen und gehen Se auch auf andere Manpulatonen en. 6) Erläutern Se de folgenden Begrffe: Merkmalsträger, statstsche Enhet, Grundgesamthet, statstsche Masse, Merkmal, Merkmalsausprägung, Merkmalswert, Beobachtungswert, Merkmalsarten, qualtatves und quanttatves Merkmal, dskretes und stetges Merkmal, häufbares und ncht häufbares Merkmal. 7) Erläutern Se de Begrffe Vollerhebung, Totalerhebung, Stchprobe und repräsentatve Stchprobe. Erklären Se den Untersched zwschen Voll- und Telerhebung und beschreben Se ewels deren Vor- und Nachtele. 8) Beschreben Se de folgenden Auswahlverfahren: wllkürlche Auswahl, Zufallsauswahl und bewusste Auswahl. 9) Erläutern Se de verschedenen Skalen (allgemen und anhand enes selbst gewählten Bespels) und erläutern Se de Skalentransformaton. 0) Beschreben Se den Aufbau ener Häufgketstabelle und erklären Se den Untersched zwschen der enfachen und der kumulerten Häufgketsvertelung. ) Wann st es erforderlch, ene klasserte Häufgketsvertelung zu erstellen. Welcher Zelkonflkt st be der Klassenbldung zu lösen? ) Erläutern Se de verschedenen Dagrammarten und deren Anwendbarket.

15 5 Aufgaben:. Geben Se für de folgenden Fragestellungen Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägungen an: a) Be ener Befragung von Studenten wrd u.a. das Fachsemester erfragt. b) Es soll de Qualtät ener Leferung Tomaten untersucht werden. c) Es soll der Kakaogehalt ener Schokoladensorte untersucht werden.. Welche der folgenden Merkmale snd dskret und welche snd stetg? a) Füllmenge von Cola-Flaschen. b) Anzahl der Orangen n ener Kste. c) Enkommen von Managern. d) Temperatur n enem Gefrerschrank. e) monatlcher Stromverbrauch f) Stzplatzkapaztät n enem Restaurant g) Anzahl der Mtarbeter n enem Betreb 3. Geben Se zu den folgenden Merkmalen ewels ene geegnete Messskala an und begründen Se Ihre Entschedung: a) Hobby von Studenten b) Denstgrad von Beamten c) Benznverbrauch ener Pkws d) Noten ener Prüfung e) Uhrzet f) Hotelklassfzerung, gemessen n Sternen g) Bundesländer h) Anzahl der Gäste n enem Restaurant 4. Geben Se zu den folgenden Merkmalen an, auf welcher Skala de Ausprägungen geordnet werden können und ob se häufbar snd oder ncht: a) Relgonszugehörgket b) Ursache von Verkehrsunfällen c) Güteklasse von Hotels d) Körpergewcht von Studenten e) Knderzahl von Personen f) Geburtsdatum g) Hobby von Studenten h) Berufsausbldungen

16 6 5. In ener Prüfung haben 6 Studenten de folgenden Noten erzelt: 3,,,,, 4, 5, 4, 3, 5,, 5, 6,, 3, a) Bestmmen Se de Häufgketsvertelung. b) Stellen Se de Häufgketsvertelung grafsch dar. c) Bestmmen Se de Summenhäufgketsvertelung. d) Stellen Se de Summenhäufgketsvertelung grafsch dar. 6. Fünfzg Studenten wurden danach befragt, we oft Se n der vergangenen Woche m Bstro waren. De folgenden Urdaten wurden erhoben: 0,, 0, 5, 4, 3,, 7, 9, 3,,, 0, 4,, 6, 7, 5, 0,, 4,,, 3, 4, 8, 6,, 6,, 0, 0,, 4, 3,,, 6, 3, 5, 4, 7, 4,, 3,,, 5, 6, 3 a) Bestmmen Se de absoluten und relatven Häufgketen. b) Bestmmen Se de absoluten und relatven Summenhäufgketen. c) Bestmmen Se de absoluten und relatven Resthäufgketen. d) Zechnen Se de Häufgketsvertelung als Säulendagramm. e) Zechnen Se de Summenhäufgketsvertelung. f) Zechnen Se de Vertelung der Resthäufgketen. 7. Zwanzg Telnehmer ener Klausur haben folgende Punktzahlen erzelt: 5, 74, 87, 43, 60, 7, 56, 36, 75, 49, 83, 5, 7, 67, 78, 50, 76, 64, 77, 69 a) Bestmmen Se für de erzelten Punktzahlen de Häufgketsvertelung und de Summenhäufgketsvertelung mt den Klassen: von... bs unter ; 0 40, 40 60, 60 80, b) Stellen Se de Häufgketsvertelung als Hstogramm dar und zechnen Se den Polygonzug. c) Stellen Se de Summenhäufgketsvertelung grafsch dar.

17 7 8. Es legt Ihnen de folgende relatve Summenhäufgketsvertelung ener Unternehmung mt 000 Mtarbetern vor: Bruttomonatsenkommen F x a) We vele Mtarbeter (absolut und prozentual) verdenen: unter.000,00, über 3.50,00, wenger als.750,00, ncht mehr als 4.500,00, mndestens.50,00, höchstens 3.000,00, zwschen.50,00 und 4.50,00? b) We vel Euro verdenen: bs zu 5 % der Mtarbeter de am wengsten verdenen, de 0 % der am mesten Verdenenden, en Vertel der unteren Enkommensbezeher, de besserverdenende Hälfte mndestens, 4/5 der Gerngverdener höchstens? c) We vel Prozent der Mtarbeter verdenen höchstens.400,00? d) We vel Euro verdenen höchsten 70 % der Mtarbeter? e) We vel Prozent der Mtarbeter verdenen mndestens 3.00,00? f) We vel Euro verdent das obere Vertel der Mtarbeter mndestens? g) Erstellen Se ene Häufgketstabelle mt den absoluten und relatven Häufgketen, Summen- und Resthäufgketen.

18 8 9. En Student arbetet n sener Frezet auf ener Hühnerfarm. Um de Legefreundlchket der Hennen zu ermtteln, zechnet er de relatve Summenhäufgketsvertelung für de n ener Woche von den enzelnen Hühnern gelegten Eer. Welche Fehler hat er gemacht? 0 prozentualer Antel Anzahl Eer 0. Gegeben st de folgende Häufgketsvertelung: x u o x < x h a) Bestmmen Se de Summenhäufgketsvertelung. b) Stellen Se de absolute Häufgkets- und Summenhäufgketsvertelung grafsch dar. c) Zechnen Se den Polygonzug über de ewelgen Klassenmtten.. De folgende Grafk gbt de relatve Summenhäufgket enes Merkmals an. a) Zechnen Se den Polygonzug der relatven Häufgketen über de ewelgen Klassenmtten, ohne desen mt der x-achse zu verbnden und b) ergänzen Se den Polygonzug mt der Darstellung enes Hstogramms. F 0,8 0,6 0,4 0, x. Gegeben snd de folgenden Beobachtungswerte enes dskreten Merkmals: 5, 3,, 3, 3,,, 5, 4,, 5, 4,, 4,,, 4, 5,, a) Geben Se de Häufgketsvertelung für de absoluten und für de relatven Häufgketen an. Bestmmen Se de Summenhäufgketsvertelung für de relatven Häufgketen. b) Stellen Se de Vertelung der relatven Häufgketen und der relatven Summenhäufgketen grafsch dar. c) Rekonstrueren Se aus Ihrer relatven Summenhäufgketsvertelung de Häufgketstabelle.

19 9 Parameter und Maßzahlen De typschen Egenschaften ener Häufgketsvertelung können mt Hlfe von Kenngrößen (Parametern) oder Maßzahlen beschreben werden, um so vele Enzelnformatonen zu wengen, aussagekräftgen Größen zu verdchten und damt enen raschen Enblck n de typschen Egenschaften der Häufgketsvertelung zu erhalten und den Verglech mt anderen Gesamtheten zu ermöglchen. Lageparameter: Modus (x D ) Medan (x Z ) und Quantle (Q) arthmetsches Mttel ( x ) harmonsches Mttel (x H ) geometrsches Mttel (x G ) Streuungsmaße: Spannwete (R) und Quartlsabstand mttlere absolute Abwechung (d) Varanz (s²) Standardabwechung (s) Varatonskoeffzent (V) Konzentratonsmaße: absolute und relatve Konzentratonsmessung Lorenzkurve und Gn-Koeffzent (GK) Lageparameter Modus: Der Modus (Modalwert, häufgster Wert, dchtester Wert) st derenge Merkmalswert, der am häufgsten beobachtet wurde. Aufgabe: De folgenden Häufgketsvertelungen zegen de gelesteten Überstunden (x ) von zwe Unternehmen. Bestmmen Se den Modus. Unternehmen A: x h Unternehmen B: x h

20 0 Medan: Der Medan (Zentralwert) st derenge Merkmalswert, dessen Merkmalsträger n der Rangordnung aller Merkmalsträger genau de mttlere Poston ennmmt. Aufgabe : Für 3 Beschäftgte ener Frma wurden de Fehlzeten (n Tagen) für das letzte Jahr berechnet. Ermtteln Se den Medan. x h H Aufgabe : Für 0 Beschäftgte ener Frma wurden de Fehlzeten (n Tagen) für das letzte Jahr berechnet. Ermtteln Se den Medan. x h H

21 Aufgabe 3: Berechnen Se den Medan aus der folgenden, klasserten Vertelung. Forderungen (n Euro) h H f F von... bs unter ,06 0, ,04 0, ,365 0, ,633 0, ,633 0, ,086 Quantle: Quantle snd ene Sonderform des Medan, de ene Gesamthet n zwe Tele zerlegen, edoch ncht zwangsläufg n der Mtte (dem 50 % Wert), da be Untersuchungen häufg auch Randwerte von Interesse snd, z.b. 5 % oder 95 %. Spezelle Quantle: Art des Quantls Symbolk Anzahl der Intervalle Perzentle x 0,0 ; x 0,0 ; ; x 0,99 Dezle x 0, ; x 0, ; ; x 0,9 Quntle x 0, ; x 0,4 ; x 0,6 ; x 0,8 Quartle x 0,5 ; x 0,5 ; x 0,75 Terzle x 0,33 ; x 0,67 Aufgabe : Für 00 Beschäftgte ener Frma wurden de Fehlzeten (n Tagen) für das letzte Jahr berechnet. Bestmmen Se de dre Quartle. x h ; f H ; F HR ; FR

22 Aufgabe : Bestmmen Se a) das. Dezl und b) das 4. Quntl. x h ; f H ; F HR ; FR Aufgabe 3: Berechnen Se das 3. Quartl aus der klasserten Vertelung: Forderungen (n Euro) von... bs unter... h H f F ,06 0, ,04 0, ,365 0, ,633 0, ,633 0, ,086 Aufgabe 4: Bestmmen Se a) das. Quartl und b) das 3. Quntl der Forderungen.

23 3 arthmetsches Mttel: Das arthmetsche Mttel ( x ) st en Durchschnttswert, be dem de Summe aller beobachteten Merkmalswerte auf de Anzahl der Merkmalsträger bezogen wrd. Das arthmetsche Mttel setzt en metrsches Skalennveau voraus. Aufgabe : Es soll der Durchschnttspres für ene Tasse Kaffee ermttelt werden. De fünf Cafes n der Regon nehmen pro Tasse Kaffee de folgenden Prese: Cafe Pres (n Euro),50,0,80,30,00 Be dem gewogenen arthmetschen Mttel werden de Merkmalsausprägungen mt Häufgketen gewchtet. Aufgabe : En Urlauber kauft m Laufe sener Rese 0 Tassen Kaffee n fünf verschedenen Cafes der Regon. Es soll der Durchschnttspres ermttelt werden, den der Urlauber pro Tasse Kaffee bezahlt hat: Cafe Pres (n Euro),50,0,80,30,00 - Anzahl (n Tassen) Aufgabe 3: In enem Dorf mt 50 Erwerbstätgen snd 49 Arbeter mt enem monatlchen Nettoenkommen von e.000,00 und en Mllonär mt enem monatlchen Nettoenkommen von 0.000,00. Ermtteln Se das durchschnttlche Enkommen der Erwerbstätgen und beurtelen Se das Ergebns. Für klasserte Häufgketsvertelungen kann das arthmetsche Mttel nur näherungswese bestmmt werden. Anstelle der Merkmalswerte x werden dann de Klassenmtten x * verwendet. Dabe wrd unterstellt, dass nnerhalb eder Klasse ene Glech- oder symmetrsche Vertelung vorlegt.

24 4 harmonsches Mttel: Be dem harmonschen Mttel (x H ) werden de relatven Entfernungen berechnet. Dazu müssen aus den Merkmalswerten Quotenten gebldet werden. Be konstanter Zählergröße und varabler Nennergröße muss das harmonsche Mttel angewendet werden. Allgemen: Aufgabe : En Spedteur fährt 50 km um ene Ware auszulefern. Auf dem Hnweg fährt er 50 km/h. Auf dem Rückweg kann er aufgrund enes Staus nur 50 km/h fahren. We hoch war de durchschnttlche Geschwndgket? Aufgabe : Der Spedteur tankt auf sener Fahrt zwemal. Bem ersten Mal 0 Lter zum Pres von,40 /l und bem zweten Mal 30 Lter zum Pres von,50 /l. We groß st der mttlere Benznpres? Aufgabe 3: Der Spedteur tankt auf sener Fahrt dremal de gleche Menge Benzn. Bem ersten Mal zum Pres von,40 /l und bem zweten und drtten Mal zum Pres von,70 /l. a) We vel Euro beträgt der mttlere Benznpres pro Lter und b) we groß st der mttlere Benznpres, wenn er zu den angegebenen Presen ewels für den glechen Geldbetrag tankt? Aufgabe 4: a) En Gastwrt kauft m Großmarkt ewels 0 kg Schwene- und Rndflesch. Das Schweneflesch kostet 0,00 /kg und das Rndflesch,00 /kg. Berechnen Se den Durchschnttspres für en Klogramm Flesch. b) En Gastwrt kauft m Großmarkt Flesch für 40,00, davon snd 00,00 für Schweneflesch und 0,00 für Rndflesch. Das Schweneflesch kostet 0,00 /kg und das Rndflesch,00 /kg. Berechnen Se den Durchschnttspres für en Klogramm Flesch. Aufgabe 5: Der Spedteur fährt pro Tag 8 Stunden. Am ersten Tag schafft er durchschnttlch 50 km/h und am. Tag 50 km/h. Welche Strecke hat er an den beden Tagen durchschnttlch pro Stunde zurückgelegt? Aufgabe 6: Zum rengen ener Etage benötgt ene Putzfrau 3 Stunden, während ene andere, routnertere Putzfrau de gleche Etage auch n Stunden putzen kann. We lange dauert de Rengung der Etage, wenn bede Putzfrauen zusammen arbeten?

25 5 geometrsches Mttel: Das geometrsche Mttel ( x G ) st der Wert, der mehrere aufenanderfolgende Vervelfachungen ener Größe als durchschnttlche Vervelfachung wedergbt. Aufgabe : De Gewnnentwcklung der vergangenen 5 Jahren stellt sch für ene Unternehmung we folgt dar. Berechnen Se de durchschnttlche Gewnnstegerung pro Jahr. Jahr Gewnn (n ) Be dem gewogenen geometrschen Mttel werden de Wachstumsfaktoren hoch deren Häufgketen gewchtet. Aufgabe : En Kaptal von.00,00 wrd für seben Jahre auf en Sparbuch engezahlt. In den ersten beden Jahren verznst sch das Kaptal mt 3 % p.a., danach stegt der Znssatz für 4 Jahre auf 3,5 % p.a. und m letzten Jahr auf 4 % p.a. We hoch st de durchschnttlche Verznsung?

26 6 Aufgaben. Geben Se zu den folgenden Fragestellungen enen geegneten Mttelwert an: a) Aus Schulnoten verschedener Fächer soll ene Durchschnttsnote ermttelt werden. b) Es st das Durchschnttsgewcht von Personen zu ermtteln. c) En Pkw fährt auf Telstrecken ener Route verschedene Geschwndgketen. Es soll de Durchschnttsgeschwndgket ermttelt werden. d) An verschedenen Fleschstücken soll der Gewchtsverlust durch das Braten ermttelt werden.. Elf Studenten nehmen an enem Elfmeterscheßen tel. Se erzelen de folgenden Trefferzahlen be 0 Schuss: 4, 6, 3,,, 8, 4, 5,, 0,. Bestmmen Se a) den Zentralwert, b) de Quartle und c) das arthmetsche Mttel. 3. Be ener Untersuchung über den täglchen Wasserverbrauch (n l pro Tag) von prvaten Haushalten n ener Großstadt ergab sch de folgende Häufgketsvertelung: x 0 bs 00 über 00 bs 400 über 400 bs 600 über 600 bs 000 f 0, 0,5 0, 0, Bestmmen Se a) den Zentralwert und b) das arthmetsche Mttel. 4. De Produkton an Kartoffeln hat sch n ener Regon n den Jahren 007 bs 00 we folgt gegenüber dem Vorahr verändert: Jahr Änderung + 0 % + 40 % + 0 % 30 % We groß st de durchschnttlche Änderungsrate? 5. Für de Kaufkraft ener Währung wurden für 6 aufenander folgende Jahre nachstehende Werte ermttelt: 00; 95; 85; 80; 78; 70. Bestmmen Se den durchschnttlchen prozentualen, ährlchen Kaufkraftschwund. 6. En Pkw legt ver glechlange Telstrecken ener Gesamtstrecke mt den Geschwndgketen 40 km/h, 50 km/h, 80 km/h und 00 km/h zurück. Durch welche konstante Geschwndgket hätte er de Gesamtstrecke n der glechen Zet bewältgt? 7. En Prvatanleger kauft 0 Akten zu e 00,00. Enen Monat später kauft er noch enmal 5 Akten zum Pres von 50 pro Akte. Ermtteln Se den Durchschnttspres pro Akte. 8. En Prvatanleger kauft für.000,00 Akten der Frma X AG zum Stückpres von 00,00. Enen Monat später kauft es noch enmal für.50,00 Akten der glechen Frma zum Stückpres von 50,00 pro Akte. Ermtteln Se den Durchschnttspres pro Akte.

27 7 9. Be zwe Umfragen unter Studenten haben sch enmal 60 % von 00 Hörern ener Vorlesung und zum anderen 38 % von 000 vor der Mensa befragten Studenten für de Abschaffung der Statstk ausgesprochen. We vel Prozent der Befragten haben sch m Durchschntt für de Abschaffung der Statstk ausgesprochen? 0. En Resender braucht für das erste Vertel ener Strecke von.000 km Stunden. Für de folgende Telstrecke, de genau halb so lang we de Gesamtstrecke st, braucht er 5 Stunde und für den Rest 3 Stunden. Welche Durchschnttsgeschwndgket ergbt sch für de Gesamtstrecke?. En Pkw-Fahrer legt von ener Gesamtstrecke /6 mt ener Geschwndgket von 00 km/h, /3 mt ener Geschwndgket von 80 km/h und / mt ener Geschwndgket von 50 km/h zurück. Mt welcher (konstanten) Geschwndgket würde er de gesamte Strecke n der glechen Zet bewältgen?. Von getesteten Hundepensonen erhelten 5 Pensonen dre Sterne, Pensonen zwe Sterne und 3 Pensonen enen Stern. Ene Penson erhelt kenen Stern. We vele Sterne haben de getesteten Pensonen m Durchschntt erhalten? 3. Der Erdölverbrauch enes Landes hat n zwe aufenander folgenden Jahren um 0 % und um 38,75 % zugenommen. Um we vel Prozent hat der Erdölverbrauch durchschnttlch pro Jahr zugenommen? 4. En Amateurradrennfahrer fährt n der ersten Stunde 50 km/h. Danach ene Stunde und 5 Mnuten mt 40 km/h. Welche Durchschnttsgeschwndgket hat der Radrennfahrer erzelt? 5. Jemand fährt 00 km, davon de. Hälfte mt 50 km/h und de. Hälfte mt 40 km/h. Berechnen Se de Durchschnttsgeschwndgket. 6. En Flesenleger verlegt 0 m² Flesen mt 5 m²/stunde und 0 m² Flesen mt 4 m²/stunde. We hoch st de Durchschnttslestung? 7. De Lohnstegerungen n enem Betreb betrugen n den letzten Jahren 7 %, 6,5 % und 4,9 %. Gesucht st de durchschnttlche Stegerungsrate. 8. Ene Hausfrau kauft n dre aufenander folgenden Monaten en Waschmttel. Im ersten Monat für nsgesamt 6,00 be enem Pres von,00 /kg, m zweten Monat für 9,00 be 3,00 /kg und m drtten Monat für 6,00 be 4,00 /kg. Welchen durchschnttlchen Pres hat se bezahlt?

28 8 9. Auf ener Baustelle arbeten 3 Maurer. Der erste benötgt für enen m² Mauerwerk 60 Mnuten, der zwete 0 Mnuten und der drtte 30 Mnuten. We lange benötgt en Maurer durchschnttlch für enen m² Mauerwerk? 0. En Restaurant mportert Froschschenkel aus dre verschedenen Ländern für e 6.000,00 /Monat zu folgenden Enkaufspresen: aus Land A für 00,00 /kg, aus Land B für 50,00 /kg und aus Land C für 0,00 /kg. Welchen durchschnttlchen Pres hat das Restaurant bezahlt?. Zwe Produktonsbereche enes Unternehmens haben m vergangenen Jahr de folgenden Umsätze erzelt: A: ,00 und B: ,00. In desem Jahr snd de Umsätze gestegen; m Produktonsberech A um 9 % und m Berech B um 4 %. We hoch st der durchschnttlche Zuwachs?. En Autofahrer tankt auf ener Rese dremal. Bem ersten Mal 0 l zum Pres von,0 /l, bem zweten Tankstop 30 l zum Pres von,60 /l und bem drtten Mal 50 l zum Pres von,50 /l. a) We vel Euro beträgt der mttlere Benznpres pro Lter und b) we groß st der mttlere Benznpres, wenn er zu den angegebenen Presen ewels für den glechen Geldbetrag tankt? 3. In ener Frma beträgt das arthmetsche Mttel aller dort gezahlten Gehälter.500,00. Aufgrund ener Verenbarung wrd das Gehalt aller letenden Angestellten um 0 % erhöht. Auf dese Gruppe entfelen vor der Gehaltserhöhung 30 % der gesamten Gehaltssumme. We hoch st das arthmetsche Mttel aller Gehälter nach der Gehaltserhöhung? 4. Be enem Unternehmen st der Umsatz be Produkt A um 0 % auf ,00 und be Produkt B um 5 % auf ,00 gewachsen. We hoch st de mttlere Zuwachsrate. 5. Zwe Frmen planen den Zusammenschluss. De erste Frma verfügt über ,00 Egenkaptal, de zwete Frma über ,00 EK. De Egenkaptalquoten (EK/GK) betragen 3,8 % und 43,8 %. We groß wäre de Egenkaptalquote be enem Zusammenschluss? Lösungen:. a) x Z ; b) x ; c) x H ; d) x. a) x Z = 3 b ) x 0,5 = b ) x 0,75 = 5 c) x =3,36 Treffer 3. a) x Z = 30 l / Tag b) x = 350 l / Tag 4. x G = 6,65 % 5. x G = 6,89 % 6. x H = 59,59 km / h 7. x = 30,00 / Akte 8. x H = 30,00 / Akte 9. x = 40 % 0. x = 00 km / h. x H = 63,58 km / h. x Z = Sterne 3. x G = 9,03 % 4. x = 44,44 km / h 5. x H = 44,44 km / h 6. x H = 4,6 m² / h 7. x G = 6,3 % 8. x H = 3,0 / kg 9. x H = 0 Mn. / m² 0. x H = 0 / kg. x = 6 %. a) x =,47 / l b) x H =,4 / l 3. x =.575,00 4. x H =,67 % 5. x H = 3,78 %

29 9 Streuungsmaße Streuungsmaße (Streuungsparameter) haben de Aufgabe, de Streuung der Häufgketsvertelung n Form enes enzgen Wertes zu beschreben. Das Merkmal muss dabe metrsch messbar sen. Spannwete: De Spannwete (R) st de Dfferenz aus dem größten und dem klensten beobachteten Merkmalswert. Es glt: R = x n x Aufgabe: Ermtteln Se de Spanne von Überstunden der Beschäftgten n enem Unternehmen Überstunde Beschäftgte De Spannwete st en enfaches Streuungsmaß, das ledglch de Länge des Streuungsbereches angbt. - We m Bespel erschtlch, st es ausreßerempfndlch. - De Spannwete fndet praktsche Anwendung, wenn nur de Länge des Streuungsberechs nteressert. bzw. - der höchste und tefste Wert (z.b. be Börsenkursen) von Bedeutung st. - Werden nur de beden Grenzwerte angegeben, st auch de Anwendung be ordnalem Datenmateral zulässg (z.b. Noten, de Berech von bs 4 lagen). o u - Be ener klasserten Häufgketsvertelung glt: R = x v x

30 30 Quartlsabstand: Der Quartlsabstand gbt an, n welchem Berech sch de mttleren 50 % der geordneten Merkmalswerte befnden. Q = x 0,75 x 0,5 Bespel: Fehlzeten der Beschäftgten n enem Unternehmen x h H x 0,5 = ; x 0,75 = ; x 0,75 x 0,5 = = 9 Tage, d.h. de mttleren 50 % der Beschäftgten haben zwschen und Tagen gefehlt und streuen n enem Intervall mt der Länge 9 Tage. - Der Quartlsabstand st geegnet, wenn der Kernberech ener Häufgketsvertelung von Interesse st (z.b. Enkommensvertelung). - Der Quartlsabstand st ncht ausreßerempfndlch. - Analog zum Quartlsabstand lassen sch auch andere Quantle berechnen. Aufgabe : Berechnen Se den Quartlsabstand von den Überstunden (x ) der Beschäftgten (h ) x h H Aufgabe : Berechnen Se den Quartlsabstand der klasserten Häufgketsvertelung Forderungen (n Euro) h H f F von... bs unter ,06 0, ,04 0, ,365 0, ,633 0, ,633 0, ,086

31 3 Mttlere absolute Abwechung: De mttlere absolute Abwechung (d) st de durchschnttlche Entfernung aller Merkmalswerte vom arthmetschen Mttel oder vom Medan. Aufgabe : Berechnen und nterpreteren Se de mttlere absolute Abwechung von den Überstunden der Beschäftgten n enem Unternehmen x h x * h x x x x * h Aufgabe : Berechnen Se de mttlere absolute Abwechung be der folgenden klasserten Häufgketsvertelung: Forderungen (n Euro) von... bs unter... x * h x * * h x x * * x x * h

32 3 Varanz und Standardabwechung: De Varanz (s²) st de Summe der quadrerten Abwechungen der Merkmalswerte vom arthmetschen Mttel, dvdert durch de Anzahl der Merkmalsträger. De Standardabwechung (s) st de Quadratwurzel aus der Varanz. Aufgabe : Berechnen Se de Varanz und de Standardabwechung von den Überstunden der Beschäftgten n enem Unternehmen x h x * h x x ( x x )² ( x x )² * h Aufgabe : Berechnen Se de Varanz und de Standardabwechung der klasserten Forderungen ener Unternehmung. Forderungen (n Euro) von... bs unter... x * h x * * h (x * x )² (x * x )² * h

33 33 Varatonskoeffzent: Der Varatonskoeffzent (V) st en Quotent aus enem Streuungsparameter (Standardabwechung oder mttlere absolute Abwechung) und enem Lageparameter (arthmetschem Mttel oder Medan). Er msst de relatve Streuung der Merkmalswerte. Bespel: Forderungen x = 30,9 s = 88,9 88,9 V = * 00 = 58,64 % 30,9 oder: x = 30,9 d = 46,9 46,9 V = * 00 = 45,55 %, d.h. de Forderungsbeträge 30,9 snd 45,55 % vom durchschnttlchen Forderungsbetrag 30,9 entfernt. (Je nach verwendetem Lage- bzw. Streuungsmaß st das Ergebns entsprechend zu nterpreteren.) Der Varatonskoeffzent st auch als relatve Größe zum Verglech der Streuung von Häufgketsvertelungen mt unterschedlchen Mttelwerten geegnet, sowet dese de glechen Maßenheten bestzen: Bespel: Für zwe Güter (A und B) werden Presuntersuchungen mt den folgenden Ergebnssen durchgeführt: x A = 7,00 d A =,80,80 V = * 00 = 40 % 7,00 x B = 750,00 d B = 0,40 0,40 V = * 00 =,7 % 750,00 Neben den relatven Streuungen der Güter A und B kann her auch festgestellt werden, dass be Gut A de durchschnttlche Abwechung 4,7-mal so groß st, we be Gut B.

34 34 Aufgaben:. In 0 Gaststätten wurden de folgenden Prese für en Glas Wasser (0, l) ermttelt:,40 ;,60 ;,70 ;,50 ;,40 ;,80 ;,70 ;,60 ;,50 ;,80. Berechnen Se de a) Spannwete, b) mttlere absolute Abwechung, c) Varanz, d) Standardabwechung und e) den Varatonskoeffzenten auf Bass der mttleren absoluten Abwechung zum arthmetschen Mttel.. Ene Befragung von Studenten nach den monatlchen Ausgaben für Bücher hat folgendes Ergebns gelefert: Ausgaben 30 bs u bs u bs u bs u bs u. 80 f 0, 0, 0, 0,4 0, Berechnen Se das arthmetsche Mttel und de Varanz. 3. Berechnen Se für de folgende Vertelung de Standardabwechung: Klasse 0 bs unter 0 0 bs unter bs unter bs unter 50 h De folgende Tabelle gbt de Körpergröße von 5 Kndern n cm und Zoll an, wobe der Enfachhet halber Zoll =,5 cm gesetzt wurde. cm Zoll Berechnen Se für bede Messrehen a) das arthmetsche Mttel, b) de mttlere absolute Abwechung und c) den Varatonskoeffzent. 5. Ene Untersuchung des verfügbaren Enkommens von Studenten n den USA und n Deutschland ergab folgende Werte: USA: x = 470,00 $ s = 60,00 $ Deutschland: x = 50,00 s = 30,00 Verglechen Se de relatven Streuungen mtenander. 6. Be ener Prüfung wurden von Telnehmern de folgenden Punktzahlen erzelt: 7, 3, 4,, 8, 6, 5, 3, 7, 3, 7. Bestmmen Se a) den Modus, b) den Zentralwert, c) das arthmetsche Mttel, d) de Spannwete, e) de mttlere absolute Abwechung, f) de Varanz und g) de Standardabwechung. 7. Ordnen Se de Beobachtungswerte 0,3;,4;,3; 0,8;,;,9; 3,5; 3,; 0,4 und,0 den folgenden Klassen zu: 0 bs unter ; bs unter ; bs unter 3; 3 bs unter 4 und berechnen Se a) das arthmetsche Mttel und b) de Varanz für de klasserten Werte.

35 35 8. De folgende Häufgketsvertelung gbt das Trnkgeld von 0 Gästen weder: x (n ),5 < x,5,5 < x 3,5 3,5 < x 4,5 4,5 < x 5,5 h Bestmmen Se a) das arthmetsche Mttel, b) de Spannwete und c) den Zentralwert. 9. Bestmmen Se für de Werte: 8, 6, 7, 6, 9,, 0, 7, 6, 0 de folgenden Parameter: a) Medan, b) arthmetsches Mttel, c) mttlere absolute Abwechung, d) Varanz e) Standardabwechung und f) Varatonskoeffzent. 0. In zwe Betrebsrestaurants enes Caterers wrd für den vergangenen Monat de Zahl der täglch verkauften Essen ermttelt: Betreb A Betreb B Anzahl Tage Anzahl Essen Essen Tage Berechnen Se für bede Betrebsrestaurants de durchschnttlch pro Tag verkauften Essen und ermtteln Se den Betreb mt der glechmäßgeren Auslastung. Lösungen:. a) R = 0,40 ; b) x =,60 ; d = 0, ; c) s = 0,0 ; d) s = 0,44 ; e) V = 7,5 %. x = 57 ; s² =36 ² 3. s = 8,8 4. a) x = 8 cm ; x = 5, Zoll ; b) d = 4,4 cm ; d =,76 Zoll ; c) V = 3,44 % 5. V USA = 34 % ; V Dt. = 5 % 6. a) x D = 3 u. 7 Punkte ; b) x Z = 5 ; c) x = 5 ; d) R = 6 ; e) d =,8 ; f) s² = 4 ; g) s = 7. a) x = b) s² =,5 8. a) x = 3,0 ; b) R = 4,00 ; c) x Z = 3,7 9. a) x Z = 7,5 ; b) x = 8 ; c) d =,6 ; d) s² = 3, ; e) s =,79 ; f) V =,38 % 0. x = 930 ; x A B = 880 ; d A = 30 ; d B = 68 ; V A = 3,98 % ; V B = 9,09 % Betreb A

36 36 Konzentratonsmessung De Konzentratonsmessung ermttelt, welcher Antel der Merkmalswertsumme (z.b. Enkommen) auf welchen Antel (= relatve Messung), bzw. auf welche Anzahl (= absolute Messung) der Merkmalsträger (z.b. Haushalte) entfällt. Aufgabea: Wert von Lagerpostonen Welcher Antel des gesamten Lagerwertes entfällt auf welchen Antel der Lagerpostonen? Lagerwert (n ) von... bs unter 5 h (Zahl der Postonen).000 f F * x h (= x * *h ) f F

37 37 Lorenzkurve De Lorenzkurve zegt das Ausmaß der Konzentraton n ener grafschen Darstellung. Bestzen alle Merkmalsträger denselben Merkmalswert, legt kene Konzentraton vor und de Lorenzkurve st dentsch mt der Glechvertelungsgeraden. Je größer de Konzentraton st, desto größer st de Fläche zwschen der Glechvertelungsgeraden und der Lorenzkurve. Aufgabe b: Zechnen Se de Lorenzkurve F 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 F F = Lagerposton, F = Lagerwert Gn-Koeffzent Der Gn-Koeffzent (GK) st en Maß für de Stärke der Konzentraton. Je näher GK gegen Null geht, desto gernger st de relatve Konzentraton, e näher GK gegen Ens geht, desto größer st de relatve Konzentraton. Es glt: 0 GK (n ) / n < und F 0 Aufgabe c: Berechnen und nterpreteren Se den Gn-Koeffzenten 0 =

38 38 Aufgaben:. Berechnen und nterpreteren Se de absolute Konzentraton für das obge Bespel. 3. Berechnen, zechnen und nterpreteren Se de relatve Konzentraton Zmmerprese ( ) von...bs unter h Es legt Ihnen de folgende relatve Summenhäufgketsvertelung ener Unternehmung mt 000 Mtarbetern vor. Berechnen, zechnen und nterpreteren Se de relatve Konzentraton. Bruttomonatsenkommen F x

39 39 Abhänggket von Merkmalen Zwe Merkmale snd vonenander statstsch abhängg, wenn der Wert des enen Merkmals davon abhängt, welchen Wert das andere Merkmal bestzt. Im Falle der Unabhänggket müssen alle Beobachtungswerte den erwateten Werten aus der Randvertelung entsprechen. Bespel: absolute Vertelung Farbe blau grün rot Geschlecht (k=) (k=) (k=3) weblch (=) männlch (=) Summe (h k ) Summe (h ) Zusammenhang zwschen zwe Merkmalen Kontngenzkoeffzent: Der Kontngenzkoeffzent (K) beschrebt de Stärke des Zusammenhangs zwschen zwe Merkmalen. Aufgabe: De 400 Beschäftgten enes Betrebes wurden nach hrer Enstellung zu ener unbezahlten Verlängerung der Mttagspause von bsher 30 Mnuten auf 45 Mnuten befragt. Von den 00 Beschäftgten n der Verwaltung waren 40 dafür und 3 dagegen. De Restlchen waren unentscheden. In der Produkton stmmten 40 dafür und 88 dagegen. Überprüfen Se, ob en Zusammenhang zwschen dem Tätgketsberech (Merkmal X) und der Enstellung zur Pausenregelung (Merkmal Y) besteht. Berechnung des Zusammenhangs: X Verwaltung Y postv negatv unentscheden Produkton

40 40 Rangkorrelatonskoeffzent Zur Messung der Stärke des Zusammenhangs von zwe Merkmalen, de mndestens ordnal skalert snd, wrd der Rangkorrelatonskoeffzent (ρ) verwendet. Aufgabe: Es soll untersucht werden, ob en Zusammenhang zwschen der Qualtät von 6 Champagnermarken (Merkmal x) und deren Verkaufspresen (Merkmal y) besteht. These: Je besser de Qualtät, desto teurer der Champagner Qualtätsurtel (x ) Pres (y ) Rang (x ) Rang (y ) D D gut 0,0 sehr gut 9,35 3 befredgend,0 4 gut 0,99 5 mangelhaft 9,80 6 ausrechend 8,40 de Rehenfolge der Ränge rchtet sch nach der These be glechen Rängen wrd das arthmetsche Mttel verwendet ρ = der Werteberech st - ρ und gbt de Rchtung und de Stärke des Zusammenhangs an. der Rangkorrelatonskoeffzent prüft allen de Stärke der Glech- oder Gegenläufgket der Rangordnungen

41 4 Regressonsanalyse De Regressonsanalyse beschrebt enen Zusammenhang durch ene mathematsche Funkton, de sogenannte Regressonsfunkton. Um de Abstände zwschen den Merkmalswerten messen zu können, müssen de Merkmale metrsch skalert sen. Das Streuungsdagramm (Punktwolke) ergbt sch aus den beobachteten Wertkombnatonen (x,y ). De Regressonsgerade beschrebt den durchschnttlchen Verlauf der Abhänggket der Merkmale x und y. Aufgabe: Es soll untersucht werden, ob en Zusammenhang zwschen den Werbeausgaben (Merkmal x) und dem Umsatz (Merkmal y) besteht. x (n 00 ) y (n.000 ) ( x x) ( y y) x x)(y y) ( ( x x) ( y y)

42 4 Aufgaben:. En Hoteler möchte mttels Unabhänggketstest überprüfen, ob der Zusammenhang zwschen den Umsätzen n senem Bergarten und der Zmmerauslastung n senem Hotel als statstsch sgnfkant angesehen werden kann. Aus den vergangenen 00 Tagen legen de folgenden Daten vor: Umsätze bs 500,- / Tag über 500,- / Tag Zmmerauslastung n % bs 50 % 40 5 über 50 % 0 5. De Fluktuaton der Mtarbeter war n den vergangenen Jahren recht hoch. Da de Enarbetung neuer Mtarbeter mt erheblchen Kosten verbunden st, soll anhand der Herkunft und der Dauer der Betrebszugehörgket überprüft werden, ob her en statstscher Zusammenhang besteht um so de Fluktuaton n Zukunft gernger zu halten. Es legen de folgenden Daten vor: Betrebszugehörgket n Jahren Entfernung des bshergen Wohnstzes Mtarbeter aus ener Entfernung von bs zu 00 km Mtarbeter aus ener Entfernung von über 00 km bs Jahre bs 4 Jahre 3 5 bs 6 Jahre Jahre und länger 4 5 Berechnen Se das Ch-Quadrat mttels Testverfahren n ener geegneten, überschtlch strukturerten Tabelle, ermtteln Se den korrgerten Kontngenzkoeffzenten und nterpreteren Se Ihr Ergebns. 3: De folgende Tabelle enthält de Noten von 0 Studerenden n BWL und Statstk: BWL,6 3,4 3,8,7,4 4, 5,0 3,7 3, 3,5 Statstk,7 3, 3,6,,5 4,3 5,0 4,4 3,7,6 Berechnen Se den Rangkorrelatonskoeffzenten und überprüfen Se n wewet her en Zusammenhang besteht. 4. Zechen Se aus den folgenden Daten das Streuungsdagramm und bestmmen Se de Regressonsfunkton y-x, x-y, das Bestmmthetsmaß und den Korrelatonskoeffzenten: ( ; ), ( ; 3 ), ( 3 ; 5 ), ( 4 ; 4 ), ( 4 ; 6 ), ( 5 ; 4 ), ( 6 ; 8 ), ( 7 ; 7 ), ( 9 ; 8 )