Faustformeln / Zusammenhänge a) Binomialverteilung als Poissonverteilung:

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1 Faustformeln / Zusammenhänge a) Binomialverteilung als Poissonverteilung: k ( np) np B( n, p; k) Poi( np, k) e k! falls gilt: p<1/(10 np) bzw p<1/ (10 n). b) Zusammenhang der Normal- mit der Binomialverteilung: Einerseits ist die Normalverteilung ein gutes Modell für viele reale Zufallsprozesse. Andererseits ist sie eine gute Annäherung für die Binomialverteilung, wenn n p und n q genügend groß sind (Faustregel: beide Werte > 5 ). Was ist μ, σ für gegebenes n,p? c) Beispiel für Anwendung: z-tabelle kann genutzt werden, um z.b. Poissonverteilung näherungsweise zu integrieren. Beispiel: wie wahrscheinlich ist es beim radioaktiven Zerfall, zwischen 100 und 110 Zerfälle pro ZE zu registrieren, wenn der Mittelwert 100 Zerfälle pro ZE ist? 84

2 Gliederung der Vorlesung A. Einführung: 1. Versuchsplanung 2. Merkmalsauswahl 3. Skalenniveaus 4. Durchführung B. Beschreibende (deskriptive) Statistik C. Schließende Statistik Fehler 1. und 2. Art Testverfahren Regressionsanalyse Varianzanalyse (Bayes-Statistik) W.1. Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundlagen der Zufallsereignisse W.2. Kombinatorik Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Binomial, Poisson, Normal) W.3. Prüfverteilungen (Normal, t, F, χ 2 ) Verwenden von Tabellen 85

3 B. Deskriptive (beschreibende) Statistik Das ist der Zweig der Statistik, in dem alle Techniken zusammengefasst werden, die eine Menge von beobachteten Daten summarisch darstellen. Von der schließenden oder induktiven Statistik unterscheidet sich die deskriptive Statistik dadurch, dass sie keine Aussagen zu einer über die untersuchten Fälle hinausgehenden Grundgesamtheit macht. 86

4 Möglichkeiten der Darstellung Tabellarische Auflistung Grafische Darstellung Berechnung von statistischen Kennwerten zwei Arten von Kenngrößen 1. zentrale Tendenz (Lageparameter) einer beobachteten Verteilung Mittelwert(e), Median, Modus / Modalwert, Quantile (Quartile, Dezile) 2. Variabilität der Verteilung Varianz und Standardabweichung Variationsbreite Interquantilbereiche Vielfalt 87

5 Genauigkeit B. Rupp, Biomolecular Crystallography Accuracy Precision how different from the true value? how different are measurements? 88

6 Die Wahl einer Kenngröße hängt zum einen von dem Skalen- oder Messniveau der Daten sowie von den gewünschten Eigenschaften (z.b Robustheit) der Kenngröße ab. Skalenniveau zugehörige Daten Maßzahlen und Tests Nominal-Skala Häufigkeiten? Ordinal-Skala Rangplätze? Intervall-Skala Messwerte Mittelwert Verhältnis-Skala Messwerte? 89

7 B.1: Nominal- und Ordinaldaten Urliste Strichliste Striche pro Ausprägung: Häufigkeitstabelle 90

8 B.1 Intervalldaten, Ratiodaten Urliste: Messwerte Beispiel: Flügellängen einer bestimmten Insektensorte (n=25): 3,8 3,6 4,3 3,5 4,1 4,4 4,5 3,6 3,8 3,3 4,3 3,9 4,3 4,4 4,1 3,6 4,2 3,9 3,8 4,4 3,8 4,7 3,8 3,6 4,3 Die Messwerte der Urliste werden sortiert; dies ergibt die primäre Liste: 3,3 3,5 3,6 3,6 3,6 3,6 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,9 3,9 4,1 4,1 4,2 4,3 4,3 4,3 4,3 4,4 4,4 4,4 4,5 4,7 Aus der primären Liste wird sodann der kleinste Messwert (x min ) und der größte Messwert (x max ) bestimmt, und daraus die Variationsbreite V durch V= x max - x min 91

9 Klassifizierung wieviele Klassen soll man nehmen? zuviele Klassen: wenige Messwerte pro Klasse zuwenige Klassen: man verliert Information Als Repräsentant der Messwerte einer Klasse dient normalerweise die Klassenmitte. Meßwert Häufigke x i iten f i 3,3 1 3,4 0 3,5 1 3,6 4 3,7 0 3,8 5 3,9 2 4,0 0 4,1 2 4,2 1 4,3 4 4,4 3 4,5 1 4,6 0 4,7 1 92

10 Eine sinnvolle Klassenzahl k ist abhängig von der Anzahl n der Messwerte. Die (Faust-)Formel ist k = *log 10 (n) Liegen keine Vorinformationen vor, so ist zur Bestimmung der Klassenbreite b folgende Formel hilfreich: b V log10( n ) wobei n der Stichprobenumfang (Anzahl der Messwerte), und V die Variationsbreite der Messwerte ist. 93

11 Klasse Bereich von Messwerten Mitte Häufigkei t kumuliert e Häufigkei t kumuliert e Prozente x < 3.6 3, x < 3.9 3, x < 4.2 4, x < 4.5 4, x < 4.8 4,

12 B.2 Grafische Darstellung Im Allgemeinen: Abszissenachse (x-achse) für die Merkmalsausprägung Ordinate (y-achse) für die Häufigkeit. Linienzeichnung: 6 5 Häufigkeiten ,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 Flügellängen [mm] 95

13 Feststellungen a) Normalerweise sollte eine Linie dem Auge helfen, die Daten miteinander zu verbinden. Eine durchgezogene Linie suggeriert (im Beispiel fälschlicherweise!), daß Zwischengrößen die Werte verbinden könnten. b) Marker deuten die Rohdaten bei der Erstellung der Grafik an. Falls die Rohdaten mit Messfehlern behaftet sind, wäre es sinnvoll, Fehlerbalken anstelle der Marker einzuzeichnen. c) dieselbe Grafik in KSV hat noch Werte von Null bei 3,2 und 5,8 d) zuviele Klassen resultieren in unklarer Aussage Häufigkeit ,45 3,75 4,05 4,35 4,65 Flügellänge [mm] 96

14 Google Bad practice line plot oder Do's and Don'ts of data visualization Sehr gut: 97

15 Histogramm / Säulendiagramm Häufigkeiten ,45 3,75 4,05 4,35 4,65 Flüge llänge n [mm] Bei Histogrammen ist sofort deutlich, daß es sich um Häufigkeitsauszählungen handelt. Die Positionen der Klassen sowie ihre Breiten sind sofort ersichtlich. Histogramme können auch für nominal- und ordinalskalierte Daten verwendet werden, aber: bei nominalskalierten Daten sollten die Säulen etwas schmaler als der Balkenabstand sein, um kenntlich zu machen, dass die Kategorien nicht ineinander übergehen. Dadurch wird das Histogramm zum Säulendiagramm (KSV: Stabdiagramm )). 98

16 Scatterplot Diese Darstellung dient dazu, a) einen ersten Eindruck von den Daten zu erhalten oder b) einen funktionalen Zusammenhang zwischen x- und y-werten zu erkennen. Balkendiagramm 99

17 nominal- oder ordinalskalierte Daten Schulabs chlüs se in der ös terr. Be völke rung Säulendiagramm n = 2011 in P ro zent Quelle: F essel GfK P flichts. ohne Lehre P flichts. mit Lehre B M S A HS B HS Hochschule Schulabschlüsse in der österr. Bevölke rung Balkendiagramm Pflichts. ohne Lehre Pflichts. mit Lehre BMS AHS BHS Hochschule n = 2011 in P rozent Quelle: Fessel GfK 100

18 Komponenten-Säulen/Balkendiagramm 101

19 Kreis- oder Tortendiagramm (pie chart) Schulabschlüsse in der österr. Bevölkerung AHS 9% BHS 7% Hochschule 5% Pflichts. ohne Lehre 33% BMS 15% Pflichts. mit Lehre 31% n = 2011, in P rozent, Quelle: Fessel GfK Die Winkel am Fuß der Segmente sind proportional zu den Prozentwerten. Der Proportionalitätsfaktor ist 3.6, d.h. wenn ein Segment 10% beanspruchen soll, so ist der Winkel dieses Segments (oder Kuchenstückes) 36. Die Prozentsätze aller Segmente müssen sich zu 100% addieren. 102

20 Vergleich von Kreisdiagrammen Die Flächen müssen so zueinander skaliert werden, daß das Verhältnis der Flächen dasselbe ist wie das Verhältnis der Grundgesamtheiten / Stichprobenumfänge zueinander 103

21 Was könnte man in dieser Abbildung besser machen? 104

22 Farben in Abbildungen Farbenkombinationen sollten für Farben-Blinde unterscheidbar sein

23 B.3 Kennzahlen zentrale Tendenz, Lageparameter 1. arithmetisches Mittel Berechnung des arithmetischen Mittels: x x x... x 1 2 n i 1 n n x n n i1 x i wobei x i = der i-te der verschiedenen Messwerte n = die Anzahl aller Messwerte (Stichprobenumfang) i = Laufindex von 1 bis n Anwendung: intervall- und ratioskalierte Daten 106

24 klassifizierte Daten: Berechnung des arithmetischen Mittels bei klassifizierten Daten: wobei m = Anzahl verschiedener Klassen x i = die i-te der Klassenmitten f i = die Anzahl der Messwerte in Klasse i n = x m i1 f i f x die Anzahl aller Messwerte (Stichprobenumfang) i = Laufindex von 1 bis m m m i i 1 f 1 f f x 2 f f m x f f x i n m i1 f i x i 107

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