Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

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1 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl k ( n ) zwischen 0 und n genau k - mal eintritt, beträgt p ( k ) p k n - k ( - p ) k Beispiel Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 0 - maligem Würfeln genau 0 - mal die Zahl gewürfelt wird, beträgt ( 0 ) p( 0 ) ,37 3,7 % ( ) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei - maligem Würfeln genau - mal die Zahl ge- würfelt wird, beträgt p( ) - - 0,40 40, % Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis Übung 9 Folie Übung 9b Die Wahrscheinlichkeit, bei - maligem Würfeln je genau eine,, 3, 4, und zu entspricht der Wahrscheinlichkeit, bei keinem dieser Würfe eine Zahl zu würfeln, die bereits zuvor gewürfelt worden ist Diese Wahrscheinlichkeit kann man analog zur Geburtstagaufgabe (, Beispiel 3) folgendermaßen berechnen: p( A ) ,0, % Übung 9c Bei dieser Aufgabe ist nur von Bedeutung, wie oft die Zahlen,, 3, 4, und gewürfelt werden, und nicht, in welcher Reihenfolge dies geschieht Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, ist es aber hilfreich, auch die Reihenfolge zu berücksichtigen, da man dadurch ein Laplace- Experiment erhält und somit in der Lage ist, Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis Übung 9 Folie

2 Übung 9c Anzahl Möglichkeiten, k Dinge aus n Dingen auszuwählen Analysis, Abschnitt, Folie 9 Variationen ( mit Berücksichtigung der Reihenfolge) Kombinationen ( ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) alle k Dinge müssen verschieden sein ( n - k )! ( n k ) die k Dinge müssen nicht verschieden sein n k ( n+ k - k ) Bei Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es 0 verschiedene Möglichkeiten, 0- mal zu würfeln Diese 0 Möglichkeiten sind alle gleich wahrscheinlich Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis Übung 9 Folie 3 Übung 9c Bei Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es 0 verschiedene Möglichkeiten, 0- mal zu würfeln Diese 0 Würfelt man dabei je genau 0 - mal eine,, 3, 4, und, so beträgt die Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 0! 0! 0! 0! 0! 0! 0! Möglichkeiten sind alle gleich wahrscheinlich Analysis, Abschnitt, Folie 9 Permutationen ( Reihenfolgen von n Dingen) alle verschieden nicht alle verschieden n! n! nk! Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis Übung 9 Folie 4

3 Übung 9c Bei Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es 0 verschiedene Möglichkeiten, 0- mal zu würfeln Diese 0 Möglichkeiten sind alle gleich wahrscheinlich Würfelt man dabei je genau 0 - mal eine,, 3, 4, und, so beträgt die Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 0! 0! 0! 0! 0! 0! 0! Die Wahrscheinlichkeit, bei 0 - maligem Würfeln jede der Zahlen,, 3, 4, und genau 0 - mal zu würfeln, beträgt daher 0! p( A ) 0! 0! 0! 0! 0! 0! 0 Analysis, Abschnitt, Folie 8 p( A ) n 0! 0, ,007 % 0 0! 0! 0! 0! 0! 0! Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis Übung 9 Folie Übung 9d Analysis, Abschnitt 4, Folie 3 Beispiel : Würfeln, bis eine gewürfelt wird Dies ist eine diskrete Zufallsvariable mit der Ergebnismenge M N + Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet p ( m ) m - m Die Wahrscheinlichkeit, höchstens 3 - mal zu würfeln, wenn man so lange würfelt, bis eine erscheint, entspricht der Wahrscheinlichkeit, genau - mal, - mal oder 3- mal zu würfeln Sie beträgt daher p( A ) p ( ) + p ( ) + p ( 3 ) ,4 4, % Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis Übung 9 Folie 3

4 Übung 9e Analysis, Abschnitt 4, Folie 3 Beispiel : Würfeln, bis eine gewürfelt wird Dies ist eine diskrete Zufallsvariable mit der Ergebnismenge M N + Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet p ( m ) m - m Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 - mal zu würfeln, wenn man so lange würfelt, bis eine erscheint, entspricht nach analogen Überlegungen wie in Aufgabe d) p( A ) 8 m 8 m m 3 m ,94 3 9,4 % Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis Übung 9 Folie 7 Übung 9e Bemerkung: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann auch bestimmt werden, ohne den Grenzwert einer unendlichen Reihe zu berechnen Man würfelt nämlich genau dann mindestens 3 - mal, wenn man bei den beiden ersten Würfen keine würfelt Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt p( A ) 0,94 3 9,4 % Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis Übung 9 Folie 8 4

5 Übung 9f Analysis, Abschnitt, Folie 9 Betrachtet man die beiden Würfel als unterscheidbar ( zb ein roter und ein blauer Würfel), so erhält man als mögliche Grundmenge M ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( 3/ ) ; ( 3/ ) ; ( 3/ 3 ) ; ( 3/ 4 ) ; ( 3/ ) ; ( 3/ ) ; ( 4/ ) ; ( 4/ ) ; ( 4/ 3 ) ; ( 4/ 4 ) ; ( 4/ ) ; ( 4/ ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) Das Ereignis A Augenquotient hat die Wahrscheinlichkeit p ( A ) 3 ( / ) ; ( / 4 ) ; ( 3/ ) ; ( / ) ; ( 4/ ) ; ( / 3 ) Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis Übung 9 Folie 9 Diese 3 Ergebnisse sind alle gleich wahrscheinlich; es liegt daher ein Laplace - Experiment vor, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmt werden kann Das Ereignis A Augensumme 0 ( 4/ ) ; ( / ) ; ( / 4 ) hat also die Wahrp( A ) für jedes Ereignis A M scheinlichkeit p( A ) 3 3 n 0,7,7 % Übung 9g Analysis, Abschnitt, Folie 9 Betrachtet man die beiden Würfel als unterscheidbar ( zb ein roter und ein blauer Würfel), so erhält man als mögliche Grundmenge M ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( 3/ ) ; ( 3/ ) ; ( 3/ 3 ) ; ( 3/ 4 ) ; ( 3/ ) ; ( 3/ ) ; ( 4/ ) ; ( 4/ ) ; ( 4/ 3 ) ; ( 4/ 4 ) ; ( 4/ ) ; ( 4/ ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / ) ; ( / 3 ) ; ( / 4 ) ; ( / ) ; ( / ) Diese 3 Ergebnisse sind alle gleich wahrscheinlich; es liegt daher ein Laplace - Experiment vor, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmt werden kann Das Ereignis A Augensumme 0 ( 4/ ) ; ( / ) ; ( / 4 ) hat also die Wahrp( A ) für jedes Ereignis A M scheinlichkeit p( A ) 3 3 n Das Ereignis A Augenprodukt hat die Wahrscheinlichkeit p ( A ) 4 3 ( / ) ; ( / 3) ; ( 3/ ) ; ( / ) 9 0,, % Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis Übung 9 Folie 0

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