L Hospital - Lösungen der Aufgaben B1

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1 L Hospital - Lösug dr Aufgab B Gsucht: = Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf Für ght dr Zählr gg L'Hospital darf agwdt wrd, Für ght dr Nr gg = da Zählr ud Nr gg gh Zählr ud Nr diffrzir: ' = ' Hiwis zum Diffrzir ds Zählrs: Di Ablitug vo ist (Potzrgl) Hiwis zum Diffrzir ds Nrs: Di Ablitug vo ist Nu ka dr Grzwrt brcht wrd: = = 0 Ergbis: = 0 Copyright by

2 L Hospital - Lösug dr Aufgab B Gsucht: = 5 Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf : Für ght dr Zählr gg L'Hospital darf agwdt wrd, da Zählr ud Nr gg gh 5 Für ght dr Nr gg = Zählr ud Nr diffrzir ud kürz: = 5 ( ) 5 Hiwis zum Diffrzir ds Nrs:.Kttrgl butz. Di Ablitug vo ist 5 Nu ka dr Grzwrt brcht wrd: = = Ergbis: = 0 5 Copyright by

3 L Hospital - Lösug dr Aufgab B l Gsucht: = Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf Für ght dr Zählr gg l( ) = L'Hospital darf agwdt wrd, da Zählr ud Nr gg gh Für ght dr Nr gg = Zählr ud Nr diffrzir ud Bruch vrifach: l = = = ( ) Hiwis zum Diffrzir ds Zählrs: Di Ablitug vo l ist (sih Formlsammlug) Hiwis zum Diffrzir ds Nrs: Di Ablitug vo ist (rgibt sich aus dr Potzrgl) Nu ka dr Grzwrt brcht wrd: = = = 0 l Ergbis: = 0 Copyright by

4 L Hospital - Lösug dr Aufgab B4 Gsucht: = Hiwis: Ma köt hir zwar mit dr Rgl vo L'Hospital arbit, jdoch ist s ifachr, d Bruch zurst zu kürz, wil dadurch dr ubstimmt Ausdruck i i bstimmt Ausdruck übrght. Kürz: = = = Nu ka dr Grzwrt brcht wrd: = = 0 Ergbis: = 0 Copyright by

5 L Hospital - Lösug dr Aufgab B5 l Gsucht: = mit: >0 Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf : Für ght dr Zählr gg l ( ) = L'Hospital darf agwdt wrd, Für ght dr Nr gg = da Zählr ud Nr gg gh Zählr ud Nr diffrzir ud Bruch vrifach: l = = ( ) Hiwis: Di Ablitug vo l u d muß ma dr Formlsammlug thm Nu ka dr Grzwrt brcht wrd: = = 0 l Ergbis: = 0 Copyright by

6 L Hospital - Lösug dr Aufgab B6 Gsucht: 0 l cot Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf : Für 0 ght dr Zählr gg L'Hospital darf agwdt wrd, Für 0 ght dr Nr gg da Zählr ud Nr gg gh Zählr ud Nr diffrzir: l = = 0 0 cot si Di Ablitug vo l ud cot dr Formlsammlug thm Dopplbruch vrifach: si si = 0 0 Nu vrsuch wir d Grzwrt zu brch: si si 0 0 = = Es tstht widr i ubstimmtr Ausdruck. Dahr müss wir di Rgl vo L'Hospital ochmal awd Rgl vo L'Hospital ochmals awd ( si ) si cos = = si cos Nu kö wir d Grzwrt brch: si cos = si0cos0 = 0 = 0 0 l Ergbis: = 0 0 cot Copyright by

7 L Hospital - Lösug dr Aufgab B7 l Gsucht: =? > 0 Hiwis: ka auch i Wurzl si, w i rll Zahl Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf : Für ght dr Zählr gg L'Hospital darf agwdt wrd, Für ght dr Nr gg da Zählr ud Nr gg gh ist. Zählr ud Nr diffrzir: l = ( = ) = Hiwis zum Diffrzir ds Zählrs: Di Ablitug vo l ist Hiwis zum Diffrzir ds Nrs: Di Ablitug vo ist Nu ka dr Grzwrt brcht wrd: = = = 0 l Ergbis: =0 > 0 Dutug: Dm Ergbis ka ma thm, daß di Fuktioswrt tio (0>>) jdr Potzfuktio (>) bzw. jdr Wurzlfuk di Wrt dr atürlich Logarithmusfuktio irgdwa übrhol. Copyright by

8 L Hospital - Lösug dr Aufgab B8 Gsucht: = Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf : Für ght dr Zählr gg } L'Hospital darf agwdt wrd, Für ght dr Nr gg Zählr ud Nr diffrzir: ( ) = ( ) Vrsuch d Grzwrt zu brch = da Zählr ud Nr gg gh Di Awdug dr Rgl vo L'Hospital führt widr auf i ubstimmt Ausdruck. Wir müss dahr di Rgl vo L'Hospital ochmals awd Zählr ud Nr ochmals diffrzir: = ( ) Nu ka dr Grzwrt brcht wrd: = = 0 Ergbis: = 0 Hiwis: Di ächst Aufgab ist i Vrallgmirug disr Aufgab. Ei bbi gwo Erktis: Wil dr Quotit für groß zu 0 wird, wiss wir, daß di Wrt dr Fuktio (für groß ) wstlich größr wrd, als di Wrt dr Potzfuktio. I dr ächst Aufgab zig wir, daß dis für all Potzfuktio gilt. Copyright by

9 L Hospital - Lösug dr Aufgab B9 Notwdig Vorktiss: Für dis Aufgab sollt ma wiss, was ma utr dr -t Fakultät (gschrib:!) vrstht:! =... (Bispil: 4!= 4=4) * Gsucht: = N Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf : Für ght dr Zählr gg L'Hospital darf agwdt wrd, Für ght dr Nr gg da Zählr ud Nr gg gh Zählr ud Nr diffrzir: Im Ggsatz zu sost diffrzir wir -mal (bild di -t Ablitug) ud brch da d Grzwrt. Di Erklärug folgt glich: ( ) = ( ) ( ) (-) = = ( ) }! 0 (-) (-) (-)...!!! = = = = = 0 ( ) Wir rk: Wir müss -mal diffrzir, d da wird dr Epot vo zu 0, ud dadurch vrschwidt aus dm Zählr, wodurch dr Zählr zur Kostat! wird. Nu ist dr Grzwrt brchbar (i ubstimmtr Ausdruck ka ja icht mhr tsth, d s gibt ki ubstimmt Ausdruck, dr i Kostat im Zählr odr Nr hat). Zur ochmalig Vrdutlichug zig wir was passir würd, w wir imal zu wig (also ur mal) diffrzir würd:! ( ) (-) (-) (-)...!! = = = = ( ) Wir sh: Diffrzir wir ur (-) mal ud icht -mal, so ligt och i ubstimmtr Ausdruck vor. Ergbis: = 0 Itrprtatio ds Ergbisss Di Fuktioswrt dr Epotialfuktio übrhol (für groß ) di jdr Potzfuktio (z.b. übrholt y= auch irgdwa di Fuktioswrt vo y=, obwohl y= am Afag atürlich vil schllr wächst als di Fuktio ). Copyright by

10 L Hospital - Lösug dr Aufgab B0 - Lösugsvariat ta( ) Gsucht: = ta Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf : Für ght dr Zählr gg ta() = L'Hospital darf agwdt wrd, Für ght dr Nr gg ta() = da Zählr ud Nr gg gh Zählr ud Nr diffrzir ud d Dopplbruch vrifach: [ ta( ) ] cos cos = = [ ta ] cos cos Wir vrsuch u d Grzwrt zu brch: cos cos ( ) 0 = = cos ( ) cos 0 Wil widr i ubstimmtr Ausdruck tstht, müßt ma ochmal di Rgl vo L'Hospital awd. Di Ablitug wär abr shr komplizirt, ud dahr vrifch wir d Grzwrt mit d Grzwrtsätz: cos cos cos cos = = = cos ( ) cos ( ) cos( ) cos( ) Nbrchug: Nu bstimm wir i ir Nbrchug d Grzwrt i dr Klammr: cos 0 = (ubstimmtr Ausdruck, dshalb L'Hospital awd) cos( ) 0 Zwischrgbis [ cos] si = = = [ ] si( ) ( ) cos Ergbis dr Nbrchug Eistz ds Ergbisss dr Nbrchug i das Zwischrgbis: cos Eistz: = cos ( ) = ta( ) Ergbis: = ta Copyright by

11 L Hospital - Lösug dr Aufgab B0 (Lösugsvariat ) ta( ) Gsucht: = ta Vrifach Wir vrifach d Trm zuächst, idm wir di trigoomtrisch si Bzihug ta = ud di Grzwrtsätz awd: cos si( ) ta( ) cos ( si( ) cos = = = si ta si cos ( ) cos Erklärug Dopplbruch Grzwrtsatz sih ob vrifach übr Produkt si( ) si( ) si i cos cos = = cos ( ) i si cos ( ) cos i = cos ( ) cos cos ( ) Bruch vrifach Wir vrsuch u d Trm bzw. Grzwrt zu brch: cos cos 0 cos ( ) = = cos ( ) 0 Grzwrt ds Grzwrtsatz.Faktors übr Quotit brch Wil i ubstimmtr Ausdruck tstht, müss wir u di Rgl vo L'Hospital awd: Zählr ud Nr diffrzir (d.h. Rgl vo L'Hospital awd): [ ] cos si = [ cos ( ) ] si( ) Wir vrsuch ochmals d Trm bzw. Grzwrt zu brch: si si = = = si( ) si ( ) Gschafft! Dr Grzwrt liß sich brch. Ergbis: ta( ) = ta Copyright by

12 L Hospital - Lösug dr Aufgab B -Lösugsvariat cot Gsucht: = 0 cot( 5) Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf : Für 0 ght dr Zählr gg cot( 0 ) = L'Hospital darf agwdt wrd, Für 0 ght dr Nr gg cot( 5 0 ) = da Zählr ud Nr gg gh L'Hospital awd (Zählr ud Nr diffrzir): Zählr ud Nr Dopplbruch [ ] diffrzir cot bsitig = si = 0 0 [ 5 cot 5 ] 0 si ( 5) Grzwrtsatz übr Produkt awd si ( 5) = 5 si Erstr Grzwrt ka scho Potzgstz D Grzwrtsatz für vrkttt Fuktio awd brcht wrd awd si 5 si 5 si( 5) = = si 5 0 si ( ) = 5 0 si si( 5) 5 0 si Zwischrgbis I ir Nbrchug brch wir u d Grzwrt i dr Klammr! Nbrchug (Grzwrt i dr Klammr brch): si( 5) si( 50 ) si( 0) 0 = = = 0 si ( ) si ( 0 ) si ( 0) 0 Da i ubstimmtr Ausdruck tstht, mu ßauch irhalb dr Nbrchug di Rgl vo L'Hospital imal agwdt wrd: [ si( 5) ] 5cos(5 ) 5cos(5 0) 5 = = = Ergbis dr Nbrchug 0 [ si ] 0 cos( ) cos( 0) Ergbis aus dr Nbrchug i das Zwischrgbis istz: si( 5) si = = = = cot Ergbis: =.5 0 cot( 5) Copyright by

13 L Hospital - Lösug dr Aufgab B -Lösugsvariat cot Gsucht: = 0 cot( 5) Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf : Für 0 ght dr Zählr gg cot( 0) = cot( 0 ) =± L'H Für 0 ght dr Nr gg cot( 5 0) cot( 0 ) = =± Vrifach Wir vrifach d Trm zuächst, idm wir di trigoomtrisch cos Bzihug cot = ud di Grzwrtsätz awd: si ospital darf agwdt wrd, da Zählr ud Nr gg gh Grzwrtsatz Erklärug Dopplbruch für Produkt awd cos sih ob vrifach cot si () cos si ( 5) 0 0 cos( 5) cot (5) 0 cos ( 5) si si (5) = = = Grzwrt Grzwrtsatz im.faktor für Quotit brch cos cos si 5 0 si ( 5) 0 cos ( 5) 0 si cos( 5) 0 si = = 0 si ( 5) 0 si.faktor fällt wg = si ( 5) 0 si ( ) Vrsuch d Grzwrt zu brch: si ( 5) si ( 5 0) 0 = = 0 si 0 si( 5 0) 0 Di Grzwrtbrchug ist icht möglich, wil i ubstimmtr Ausdruck auftritt. Dahr müss wir L'Hospital awd Rgl vo L'Hospital awd (Zählr ud Nr diffrzir): [ si ( 5 )] 5cos( 5) = 0 [ si( )] 0 cos( ) Grzwrt brch: 5cos( 5) 5cos( 5 0) 5cos( 0) 5 = = = =.5 0 cos cos( 0) cos(0) cot Ergbis: =.5 0 cot( 5) Copyright by

14 L Hospital - Lösug dr Aufgab B Gsucht: Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf : Für 0 ght dr Zählr gg L'Hospital darf agwdt wrd, Für 0 ght dr Nr gg da Zählr ud Nr gg gh Zählr ud Nr diffrzir: 0 = Hiwis zum Diffrzir ds Zählrs: Hiwis zum Diffrzir ds Nrs: Nu ka dr Grzwrt brcht wrd: Ergbis: Copyright by

15 L Hospital - Lösug dr Aufgab B Gsucht: Übrprüf ob di Rgl vo L'Hospital agwdt wrd darf : Für 0 ght dr Zählr gg L'Hospital darf agwdt wrd, Für 0 ght dr Nr gg da Zählr ud Nr gg gh Zählr ud Nr diffrzir: 0 = Hiwis zum Diffrzir ds Zählrs: Hiwis zum Diffrzir ds Nrs: Nu ka dr Grzwrt brcht wrd: Ergbis: Copyright by

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