Hausaufgabe 2 (Induktionsbeweis):

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1 Prof. Dr. J. Giesl Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Üung 3 (Age is ) M. Brokshmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem gleihen Tutorium ereitet werden. Die Lösungen der Husufgen müssen is Mi., im Tutorium gegeen werden. Alterntiv ist es is 17 Uhr möglih, diese in den Ksten im Flur des LuFG I2 einzuwerfen (Ahornstr. 55, E1, 2. Etge). Nmen und Mtrikelnummern der Studierenden sowie die Nummer der Üungsgruppe sind uf jedes Bltt der Age zu shreien. Heften zw. tkern Sie die Blätter! Die Tutorufgen werden in den jeweiligen Tutorien gemeinsm esprohen und ereitet. Tutorufge 1 (Induktionseweis): Sei Σ ein Alphet. Wir wollen die Verdoppelungsfunktion dup : Σ Σ etrhten, die lle Buhsten in Wörtern verdoppelt, lso z.b. ds Wort uf und 123 uf ildet. ) Denieren sie die Funktion dup forml uf induktive (rekursive) Weise. ) Sei M ein DFA. Wie knn mn nun utomtish (d.h. mit einem llgemeinen Verfhren, ds unhängig vom Automten M ist) einen DFA M 2 konstruieren, der die Sprhe dup(l(m)) := {dup(w) w L(M)} erkennt? ) Beweisen Sie, dss L(M 2 ) = dup(l(m)) gilt. Husufge 2 (Induktionseweis): ( = 8 Punkte) Sei Σ ein Alphet. Wir wollen die Spiegelfunktion rev : Σ Σ etrhten, die Wörter uf ihr Spiegelild ildet, lso z.b. ds Wort uf und 123 uf 321. ) Denieren sie die Funktion rev forml uf induktive (rekursive) Weise. ) Sei M ein DFA. Wie knn mn nun utomtish (d.h. mit einem llgemeinen Verfhren, ds unhängig vom Automten M ist) einen -NFA M rev konstruieren, der die Sprhe rev(l(m)) := {rev(w) w L(M)} erkennt? ) Beweisen Sie, dss L(M rev ) = rev(l(m)) gilt. Hinweis: Beweisen sie eine llgemeine Aussge üer den Zusmmenhng zwishen der Zustnds-Üergngs funktion ˆδ des Automten M und der Zustnds-Üergngsfunktion ˆδ rev des Automten M rev. Verwenden Sie dzu wie in der Vorlesung eine Induktion üer die Länge der etrhteten Wörter. Tutorufge 3 (Potenzmengenkonstruktion): Sei Σ := {,,..., z} ein Alphet. Der folgende NFA kzeptiert lle Wörter, die mindestens einml ds Wort innig enthlten, lso die Sprhe Σ innigσ. Um die Drstellung des Automten zu vereinfhen, nutzen wir die verkürzende Shreiweise, die in Tutorufge 4 uf dem zweiten Üungsltt eingeführt wurde, und erluen es, Trnsitionen mit Mengen von Symolen zu eshriften. 1

2 Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Üung 3 (Age is ) Σ Σ q i 1 q n 2 q n 3 q i g 4 q 5 q 6 Geen Sie den Potenzutomten für diesen NFA n, um einen DFA zu erhlten, der diesele Sprhe kzeptiert. Wie in der Vorlesung dürfen Sie niht erreihre Zustände weglssen. Husufge 4 (Potenzmengenkonstruktion): Sei Σ := {,, } ein Alphet. Betrhten Sie den folgenden NFA. (3 Punkte), Geen Sie den Potenzutomten für diesen NFA n, um einen DFA zu erhlten, der diesele Sprhe kzeptiert. Wie in der Vorlesung dürfen Sie niht erreihre Zustände weglssen. Tutorufge 5 (Simultion): Gegeen sei folgender NFA üer dem Alphet Σ = {,, }.,, Geen Sie n, wie sih der Algorithmus zur Simultion dieses NFAs ei Einge der folgenden Wörter verhält. Es genügt dei, die Menge S nh jeder Itertion des Simultionsverfhrens us der Vorlesung und den Rükgewert nzugeen. 2

3 Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Üung 3 (Age is ) ) ) Husufge 6 (Simultion): Gegeen sei folgender NFA üer dem Alphet Σ = {,, }., (1 + 1 = 2 Punkte), Geen Sie n, wie sih der Algorithmus zur Simultion dieses NFAs ei Einge der folgenden Wörter verhält. Es genügt dei, die Menge S nh jeder Itertion des Simultionsverfhrens us der Vorlesung und den Rükgewert nzugeen. ) ) Tutorufge 7 (Thompson-Konstruktion): Erzeugen Sie mit der Thompson-Konstruktion einen NFA (mit -Trnsitionen) zum regulären Ausdruk (+). Husufge 8 (Thompson-Konstruktion): (3 Punkte) Erzeugen Sie mit der Thompson-Konstruktion einen NFA (mit -Trnsitionen) zum regulären Ausdruk ( ) + (( ) ). Tutorufge 9 (Thompson-Konstruktion): Sei α ein elieiger regulärer Ausdruk. In der Vorlesung wurde die Thompson-Konstruktion für α, llerdings niht für α + vorgestellt. D α + := α α deniert wurde, ist ds llerdings kein groÿes Prolem. Trotzdem ist es mnhml hilfreih, die Thompson-Konstruktion uh direkt für α + nwenden zu können. Erweitern Sie die Thompson-Konstruktion so, dss für jeden Ausdruk α + direkt ein Automt konstruiert wird, der uf dem Automten für α siert. Hierei sollte der für α + erzeugte Automt weniger Trnsitionen hen ls der Automt, der von der Thompson-Konstruktion für α erzeugt wird. Der entstehende Automt sollte nur einen Endzustnd hen, der Endzustnd sollte keine usgehenden Knten und der Strtzustnd sollte keine eingehenden Knten hen. 3

4 Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Üung 3 (Age is ) Husufge 10 (Thompson-Konstruktion): (3 Punkte) Sei α ein elieiger regulärer Ausdruk. Um Wiederholungen der von diesem Ausdruk erknnten Wörter uszudrüken, git es die regulären Ausdrüke (α 0-ml), α (α 1-ml), α + (α min. 1-ml) und α (α elieig oft). Unter Umständen ist es er uh interessnt, ein eigenes Konstrukt für die 0-mlige is 2-mlige Anwendung von α zu hen. Sei α := + α + α α eine entsprehende Erweiterung der regulären Ausdrüke. Erweitern Sie die Thompson-Konstruktion so, dss für jeden Ausdruk α direkt ein Automt konstruiert wird, der uf dem Automten für α siert. Hierei sollte der für α erzeugte Automt mximl so viele Zustände hen wie der Automt, der von der Thompson-Konstruktion für α α erzeugt wird. Der entstehende Automt sollte nur einen Endzustnd hen, der Endzustnd sollte keine usgehenden Knten und der Strtzustnd sollte keine eingehenden Knten hen. Hinweis: Bis uf den Endzustnd drf jeder Zustnd elieig viele usgehende Trnsitionen hen. Auÿerdem drf is uf den Strtzustnd jeder Zustnd elieig viele eingehende Trnsitionen hen. Tutorufge 11 (-Knten entfernen): Sei Σ := {,,, d} ein Alphet. Geen sie zu den folgenden -NFAs jeweils einen NFA ohne -Trnsitionen n, der diesele Sprhe erkennt. ) ) ) d) 4

5 Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Üung 3 (Age is ) d q 5 e) q 0 q 6 q 7 q 5 Husufge 12 (-Knten entfernen): (2 + 2 = 4 Punkte) Sei Σ := {,,, d} ein Alphet. Geen sie zu den folgenden -NFAs jeweils einen NFA ohne -Trnsitionen n, der diesele Sprhe erkennt. ) ) 5

6 Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Üung 3 (Age is ) Tutorufge 13 (Ashlusseigenshften): Die Sprhe L = { n n n 0} üer dem Alphet Σ = {, } ist niht regulär. Benutzen Sie die Ashlusseigenshften regulärer Sprhen, um zu zeigen, dss folgende Sprhen eenflls niht regulär sind. Hinweis: Sie dürfen für jede Teilufge enutzen, dss die Sprhen vorheriger Teilufgen niht regulär sind. ) L 1 = { m n m, n 0, m + n > 0, m n} Σ Σ ) L 2 = { m n m, n 0, m n} Σ Σ ) L 3 = { n n n 0} 6

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