Intelligentes Üben selbst gestalten! Erfahrungen aus dem Mathematikunterricht Timo Leuders

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1 Vorabdruck eines Beitrags zum Heft Üben PÄDAGOGIK 4/05 Intelligentes Üben selbst gestalten! Erfahrungen aus dem Mathematikunterricht Timo Leuders Viel lieber als noch eine Einführungsstunde möchte ich einmal eine gute Übungsstunde sehen., höre ich als Referendar von meinem Fachseminarleiter in einer der ersten Sitzungen. Was sollen wir denn für die Klassenarbeit üben?, drängen mich die Schüler meiner ersten eigenen Klasse 9. Ja wie soll ich denn sonst mit Kathrin üben?, fragt die Mutter pikiert beim Elternsprechtag, als ich mich beschwere, dass sie zu Hause mit ihrer Tochter problematische Rezepte für die Lösung von Prozentaufgaben einübt. Ganz unbestritten muss man für das Fach Mathematik üben. Wo aber lernt ein angehender Lehrer, wie gutes und wirksames Üben aussieht? Leider ist das Üben immer noch ein Stiefkind in der Lehrerausbildung und bei Eintritt in den Lehreralltag fällt man mangels Erfahrung und theoretischer Durchdringung oft genug in Alltagstheorien des Übens zurück. Eine solche Alltagstheorie kann beispielsweise so aussehen: Sänger üben eine Partie, Sportler üben Bewegungsabläufe, Schulkinder üben das Einmaleins. Die Ziele dieses Übens liegen auf der Hand: Wer auf der Opernbühne auftreten will, muss den Notentext auswendig beherrschen, um seine Partie spontan gestalten zu können, wer die komplexen Bewegungsabläufe beim Stabhochsprung optimieren möchte, muss sie zunächst automatisiert haben und wer mathematische Probleme lösen will, darf nicht erst nachzählen müssen, wie viel sieben mal drei ist. Dies ist aber nur die halbe Wahrheit. Gewiss, die Automatisierung gewisser Fertigkeiten ist nötig, um den Geist für höhere kognitive Prozesse zu entlasten. Was aber soll in der folgenden Aufgabe für eine Klasse 5 automatisiert werden? Ermittle alle Teiler der Zahl und gib die Anzahl der Teiler an: a) 4 b) 8 c) 12 d) 17 e) 32 f) 36 g) 48 h) 100 Offensichtlich soll hier ein Verfahren, nämlich das der Teilersuche, eingeübt werden. Später einmal brauchen die Schülerinnen und Schüler dies wieder, um rechnerisch mit Brüchen umzugehen. An dieser Stelle aber gleichen die aneinander gereihten Aufgaben eher einem grauen Grützeberg, durch den sich ein jeder hindurch fressen muss, der sich einen ungewissen Aufenthalt in einem künftigen Schlaraffenland sichern möchte. Was geschieht ist jedoch: Die mit der Teilersuche verbundenen reinen Fertigkeiten werden für die Klassenarbeit noch einmal zu Hause geübt, liegen dann als Vorrats-Bildung brach und werden schnell wieder vergessen. Was aber soll man als Lehrerin oder Lehrer tun, wenn einem das verwendete Schulbuch nur solche Kost anbietet? Immerhin tut sich etwas auf dem Schulbuchmarkt, so dass man gute Übungsaufgaben aus verschiedenen Lehrwerken sammeln und im Unterricht ausprobieren kann. Wie solche Übungsaufgaben, die man of als produktiv oder auch als intelligent bezeichnet findet, aussehen können und wie sie funktionieren, habe ich vor allem durch Beiträge von Winter (1984) und Wittmann (1990/92) erfahren und Manches von der Primarstufe auf die Sekundarstufe übertragen gelernt dort sieht es nämlich hinsichtlich

2 verfügbarer Materialien immer noch düster aus. Da werden Potenzgesetze durchdekliniert, Integrale automatisiert und Ebenenschnitte eingeschliffen all dies zementiert ein Bild von Mathematik, das das Wesen mathematischen Denkens in keiner Weise trifft. Soll man also bessere Zeiten abwarten oder das Heft selbst in die Hand nehmen? Im Laufe der Zeit habe ich festgestellt, dass es nicht allzu schwer ist, sich selbst zu helfen. Mit einigen wenigen Grundideen und etwas Handwerkszeug kann man aus Aufgaben wie den oben beschriebenen neue, intelligente Übungsaufgaben machen. Denken erlaubt! Aufgaben wie die obige haben unschöne Nebenwirkungen. Unterschwellig lernen Schülerinnen und Schüler beim Üben: Jede Mathematikaufgabe hat eine Lösung und ein richtiges Verfahren, das darauf anzuwenden ist. Mathematik ist die Gesamtheit aller Aufgaben und Verfahren. Ziel des Mathematikunterrichts ist, diese zu lernen. Die andere Nebenwirkung: Beim Automatisieren werden Sinnzusammenhänge schnell verschüttet: Warum kann man es so machen? Wozu ist das gut? Solche Zusammenhänge und sinnstiftenden Momente aber braucht man, wenn eine Aufgabe einmal nicht genauso aussieht, wie man sie geübt hat, wenn man die Tätigkeit auf eine etwas andere Situation übertragen muss ( Welche Teiler hat x 10? ) oder wenn man schlicht vergessen hat, wie es geht. Ziel muss also sein: Üben, ohne das Nachdenken auszuschalten! Das kann bei der obigen Aufgabe z.b. so aussehen: Suche die folgenden Zahlen. Kannst du Vermutungen über die Zahlen aufstellen? vier Zahlen unter 100, die genau zwei verschiedene Teiler haben. vier Zahlen unter 100, die genau drei verschiedene Teiler haben. eine Zahl unter 100 mit möglichst vielen Teilern Ist diese Aufgabe zu schwierig im Vergleich mit der vorigen? Ich denke nicht, denn die Schülerinnen und Schüler tun im Prinzip dasselbe: Sie wählen Zahlen unter 100 und zerlegen diese in ihre Teiler. Was aber ändert sich bei dieser Aufgabenstellung? Schülerinnen und Schüler können nun das kognitive Niveau ihrer Arbeit selbst wählen: Ein schwacher Schüler wird viele Zahlen nacheinander durchprobieren und dabei wie vordem die Teilersuche üben. Eine stärkere Schülerin wird vom Ehrgeiz gepackt versuchen, die wirklich größte Teilerzahl zu finden. Einige Schülerinnen und Schüler werden Vermutungen aufstellen, andere vielleicht sogar stichhaltige Begründungen für ihre Vermutungen finden. Intelligent ist dieses Aufgabenformat also auf doppelte Weise: Es fördert und belohnt intelligentes Arbeiten, aber es erlaubt eben auch schwachen Schülern einen direkten Zugang und bietet somit einen intelligenten Weg der adaptiven, man sagt auch natürlichen Differenzierung (vgl. Wittmann 1990/92, Hengartner 2004). Noch ein anderer Vorzug der veränderten Übungsaufgabe wird deutlich: Jetzt sind es die Schülerinnen und Schüler selbst, die Aufgaben auswählen, und sie tun dies, um ein mathematisches Problem zu lösen nicht anders gehen Mathematiker vor, wenn sie forschen! Ganz nebenbei entdecken die Schülerinnen und Schüler andere Begriffe (Primzahl, Quadratzahl) oder vernetzen diese miteinander. Die Sinnfrage wozu? beantwortet sich in dieser Form von selbst. Die Teilersuche dient ja dazu, bestimmte Zahlen ausfindig zu machen, das vollständige Auffinden und Zählen der Teiler ist notwendige Handlung, um das gestellte Problem zu lösen. Die letzten Überlegungen lassen sich kondensieren in die inspirierende und

3 befreiende Feststellung: Üben und Entdecken ist kein Widerspruch. (vgl. z.b. Selter 1995, Blum/Wiegand 2000) Hilf dir selbst! Wie viel Inspiration braucht es nun eigentlich, um solche intelligenten Aufgaben zu erstellen? Die Antwort hierauf hat Edison gegeben: Erfindungsgeist ist 1% Inspiration und 99% Transpiration. Etwas hygienischer formuliert: Gute Übungsaufgaben zu erstellen ist ein erlernbares Handwerk und Teil der Lehrerprofession. Und wie in jedem Handwerk gibt es einige grundlegende Techniken, die einem das Leben leichter machen können. Für das Erstellen von intelligenten Übungsaufgaben könnte man solche Techniken z.b. wie folgt beschreiben. Technik 1: Umkehren Nehmen Sie eine Aufgabe, die durch das Anwenden eines Verfahrens zu lösen ist, und kehren 1 1 sie sie um, z.b. indem sie das Ergebnis vorgeben. Aus + =? wird dann Gib zwei 3 4 Brüche an, deren Summe ½ ist. Gibt es mehrere Lösungen? und aus Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck? wird Zeichne zwei verschiedene Dreiecke mit dem Flächeninhalt 20cm 2. Eines sollte rechtwinklig sein, eines nicht. Nun heißt es Denken statt Abarbeiten. Als Lehrer können Sie den Bearbeitungen solcher Aufgaben schnell ansehen, ob Schülerinnen und Schüler nur ein oberflächlich eingeübtes Verfahren anwenden, oder ob sie den mathematischen Kern verstanden haben. Solche Aufgaben eignen sich daher auch für eine Diagnose oder eine kompetenzorientierte Überprüfung z.b. in Klassenarbeiten. Geübt wird insofern als jeder zunächst einmal probeweise einige Brüche addieren und Dreiecke konstruieren kann. Technik 2: Öffnen und Einschränken 2ax a 2x y Der Term in einem Mauerstein ist immer das Produkt der beiden darunter liegenden Mauersteine. b Setze verschiedene Terme, die aus a, b und c bestehen, in die unteren Felder ein und multipliziere nach oben. Abb.1: Zahlenmauern aus der Grundschule hier einmal als Termmauern Durch Umkehren werden viele Aufgaben offen, d.h. sie haben nicht nur eine, sondern viele mögliche Lösungen. Das kann auch durch Weglassen von Informationen erreicht werden. So ist die linke Zahlenmauer in Abb.1 völlig geschlossen und eigentlich nur eine nette Bebilderung eines ansonsten eintönigen Päckchens von Termmultiplikationen. Nun könnte man sie radikal öffnen, in dem man Schülern aufträgt: Wähle eigene Zahlen und Variablen. Das endet gar nicht unbedingt im Chaos, sondern führt dazu, dass Schülerinnen und Schüler beginnen, die Aufgaben nach ihrem Niveau zu wählen: Manche variieren die vorgegebenen Einträge in die Mauer nur zaghaft, andere erproben sich im Finden

4 außergewöhnlicher Konstellationen. Die Überprüfung der nun individuell verschiedenen Ergebnisse kann man am besten durch einen Austausch zwischen den Schülern oder durch parallele Bearbeitung und Vergleich organisieren. Nicht selten verliert eine Aufgabe bei einer solchen Öffnungs-Rosskur allerdings ihren Charme oder gar ihre Funktion. Immerhin waren die Vorgaben bei der Aufgabenstellung ja nicht beliebig, sondern sollten bestimmte mathematische Lernprozesse anregen. Diese Fokussierung kann man retten, indem man dem Öffnungsschritt wieder eine Teilschließung folgen lässt: Man schränkt einfach die mögliche Vielfalt künstlich ein, wie das in der rechten Zahlenmauer angedeutet ist. (Weitere Anregungen zu Zahlenmauern in der Sek.I vgl. Müller 2005). Technik 3: Struktur schaffen - Ziele geben Während die Teilaufgaben der linken Maueraufgabe noch (fast) zusammenhanglos nebeneinander stehen, hat die rechte eine Struktur, es ergeben sich spezifische mathematische (Zahlen)Muster, die man nicht unbeachtet lassen kann. Neben dem reinen Abarbeiten der Multiplikationen machen Schülerinnen und Schüler mathematische Entdeckungen und suchen vielleicht auch nach Begründungen. Man kann z.b. fragen: Man kann die Terme ab, bc, ac und abc unten in verschiedener Reihenfolge einsetzen. Was kann alles oben herauskommen? Was nicht? Warum nicht? Welche Terme muss man unten einsetzen, um oben eine möglichst hohe Potenz von a zu erhalten? Damit bekommt die Aufgabenbearbeitung ein konkretes Erkundungsziel, einen mathematischen Sinn. Denken geboten! Hier noch eine Aufgabe, die den Prozess der Öffnung, Einschränkung und Zielgebung hinter sich hat. Vorher sah die Aufgabe so aus: a) 4,32 0,25 b) 34,11 0,32 c) 2,3 0,44 d) 0,3 5,23 Nachher kann sie so aussehen wie in Abb.2: 4,32 34,11 2,3 0,3 0,25 5,23 0,32 0,44 Zahlenschießen Jeder hat drei Schuss frei. Bei jedem Schuss darf man immer eine Zahl aus dem ersten Sack mit einer aus dem zweiten Sack multiplizieren. Wer trifft am nächsten an die 1? Abb.2 Eine umgearbeitete Aufgabe zur Multiplikation von Dezimalbrüchen

5 Während den Schülern bei der ersten Variante noch gleichgültig ist, was sie rechnen Hauptsache richtig wird es in der zweiten Variante vorteilhaft, vorweg über die Ergebnisse nachzudenken: Welche Kombination aus Zahlen größer und kleiner 1 ist günstig? Was passiert beim Multiplizieren? Wie kann man das Ergebnis grob abschätzen? Wie findet man heraus, was am nächsten an 1 ist? Soll man nun etwa jede Aufgabe im Schulbuch so umarbeiten? Wozu hat man dann eigentlich ein Schulbuch? Auch die trockensten Plantagenaufgaben wie die anfangs abgebildete (dieser Terminus drückt schön die Monokultur und die damit einhergehende Ausbeutung des geistigen Humus aus) müssen nicht entsorgt werden, sondern können subversiv umgenutzt werden. Lassen Sie die Schüler doch einfach nicht alle Teilaufgaben a)-h) der Reihe nach durchrechnen, sondern stellen stattdessen eine oder mehrere Fragen zur Gesamtheit der Aufgaben in einem Päckchen. Das kann z.b. so aussehen: Berechne die Nullstellen a) x 2 +8x = 0 b) (2x+2)x = 2 c) x 2 +x = 2x 2 d) x 2 13x = 0 e) x 2 +3x = x 2 f) 2+x+x 2 = 2 g) x 2 +6x+5 = 0 h) x(x+2) = 0 Welche Aufgaben kann man ohne weitere Rechnung lösen? Stelle die Aufgaben zunächst in Gruppen zusammen. Begründe dein Vorgehen. Ordne die Aufgabengruppen nach ihrer Schwierigkeit und begründe deine Entscheidung. Solche reflexionsanregenden Fragen verhindern, dass das Arbeiten spätestens bei der dritten Aufgabe zur oberflächlichen Routine wird. Die Aufgabenstellung besteht eigentlich gar nicht mehr in der reinen Anwendung von Routinen, sondern im Nachdenken über diese. Solche Fragezusätze bringen also wieder mathematische Vitamine in Recheneinerlei. Nachdenkfragen wie diese lassen sich durch alle Jahrgänge hinweg und bei den meisten Aufgaben stellen. Man kann sie sogar katalogisieren und immer wieder verwenden. Die Hausaufgabe lautet dann: Bis morgen, S.159, Aufgabe 4 a-f) mit der Nachdenkfrage 10. Weitere solche universell einsetzbaren reflexionsanregenden Fragestellungen finden Sie bei Büchter/Leuders (2005). Die Spitze des Eisbergs Es steht zu hoffen, dass sich die Übetheorie in der Lehrerbildung und die Übepraxis in den Schulbüchern in naher Zukunft erkennbar weiter entwickeln und dass künftig immer mehr produktive Übeformate Einzug in das Klassenzimmer halten. Die Philosophie dahinter könnte man etwa auf die folgende Formel bringen: Intelligentes Üben ist charakterisiert durch: (1) Struktur: Mathematische Entdeckungen durch Strukturen ermöglichen (2) Differenzierungsvermögen: Starken Schülern etwas bieten, ohne schwache abzuhängen (3) Reflexion: Zum Nachdenken über Aufgaben und den eigenen Umgang mit ihnen auffordern Selbstverständlich sind Aufgaben wie die vorgestellten keine Garantie für einen reflektierten Umgang der Schülerinnen und Schüler mit ihren mathematischen Fertigkeiten, aber ihre Verfügbarkeit ist zumindest eine notwendige Bedingung, wenn nicht gar eine Steilvorlage für

6 ein intelligentes und freudvolleres Üben, das dem näher kommt, was wir unter mathematischem Denken verstehen. Literatur Blum, W./ Wiegand, B. (2000) Vertiefen und Vernetzen Intelligentes Üben im Mathematikunterricht, in: Üben & Wiederholen, Friedrich Jahresheft XVII 2000, S Büchter, A./ Leuders, T. (2005) Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Cornelsen Scriptor. S Hengartner, E. (2004): Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte: Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht. In: Zs. Grundschulunterricht 2/ 2004, S.11-14, s.a. Müller, J. (2005) Entdeckend Lernen mit Zahlenmauern in der Sekundarstufe. Praxis Mathematikunterricht 2/05 S Selter, Chr. (1995) Entdeckend üben - übend entdecken Grundschule 27, 5/1995, S Winter, H. (1984) Begriff und Bedeutung des Übens im Mathematikunterricht. Mathematik Lehren 2/84 S Wittmann, E. Chr./ Müller, G.N. (1990/1992). Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1 & 2, Klett Dr. Timo Leuders, Jg. 1968, ist Professor für Mathematik und ihre Didaktik an der Pädagogischen Hochschule Freiburg im Breisgau Adresse: Griesdobelstr.6, Buchenbach, timo@leuders.net