Bedingungen für die Irrelevanz persönlicher Steuern im Capital Asset Pricing Model mit deutschem Steuersystem

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1 Jög Wiese Bedingungen fü die Ielevanz pesönliche Steuen im Capital Asset Picing Model mit deutschem Steuesystem Mai 003 übeabeitete Vesion vom Univesität München, Fakultät fü Betiebswitschaft, Semina fü Rechnungswesen und Püfung.

2 Abstact Investos maximize income afte taxes. No matte if they acquie single secuities o entie copoations they have to conside pesonal taxes. In the pape conditions fo the ielevance of diffeential pesonal taxes in the Capital Asset Picing Model ae deived. We show that a vey specific linea elationship between the dividend yield and the expected ate of etun on each potfolio has to hold. Only in this special case investos choose the same potfolios on a befoe-tax and afte-tax basis. he analysis is based on pio woks by Long and König, but accounts fo ecent changes in the Geman tax code: It includes the Geman Halbeinkünftevefahen (a pocedue wheeby taxable income is halved fo puposes of dividend taxation as well as ecently discussed poposals to intoduce popotional taxes on income fom a iskless secuity and capital gains. Finally, esults ae intepeted and eviewed with espect to empiical findings. Keywods: valuation; Capital Asset Picing Model (CAPM; diffeential pesonal taxes; Untenehmensbewetung; Capital Asset Picing Model (CAPM; diffeenziete pesönliche Steuen JEL-Classification: G11, H4

3 Inhalt 1. Poblemstellung...1. Äquivalenzbedingungen fü die Effizienz von Potfolios vo und nach Steuen: Die Analyse von Long....1 Steuesystem und effiziente Potfolios.... Keine isikolose Anlagemöglichkeit Existenz eine isikolosen Anlagemöglichkeit Äquivalenzbedingungen unte deutschen steuelichen Vehältnissen Anpassungen an das deutsche Steuesystem Äquivalenzbedingungen Eigenschaften effiziente Potfolios Keine isikolose Anlagemöglichkeit Existenz eine isikolosen Anlagemöglichkeit Diskussion Implikationen de Äquivalenzbedingungen Empiische Resultate Konsequenzen fü die Untenehmensbewetung hesenfömige Zusammenfassung...18 Anhang 1 zu Abschnitt Anhang zu Abschnitt Anhang 3 zu Abschnitt Liteatuvezeichnis...3

4 1 1. Poblemstellung Die Emittlung von Untenehmensweten efodet zum einen, dass ede de Komponenten des Zinsfußes fü sich theoetisch fundiet abgeleitet wid. Zum andeen müssen diese Elemente und die mit ihnen vebundenen expliziten und impliziten Annahmen im System miteinande kompatibel sein. Letzteem Aspekt widmet sich de voliegende Beitag. Pesönliche Steuen düfen im Rahmen von Investitionsentscheidungen gundsätzlich nicht venachlässigt weden. 1 Von Inteesse sind dahe Ausnahmen von diesem Gundsatz. Eabeitet weden Ielevanzbedingungen fü die Existenz von diffeenzieten pesönlichen Steuen auf Dividenden, Kusgewinne sowie Zinseinkünfte im Standad-CAPM. Deatige Bedingungen wuden von Long fü das Mitte de 1970e Jahe geltende ameikanische und daauf aufbauend von König fü das deutsche Steuesystem eabeitet. Fü das Halbeinkünftevefahen und die seit üngste Zeit vogesehenen Veändeungen im deutschen Steueecht die Besteueung von Kusgewinnen und die Abgeltungsteue auf Zinseinkünfte fehlt eine deatige Ausabeitung. Sie soll hie geleistet weden. Die Analyse escheint elevant, da sie Antwoten auf die Fage gibt, unte welchen Umständen man im Umfeld eines elativ ealitätsnahen Steuesystems auf die explizite Efassung von Steuen 3 im Zinsfuß vezichten, also mit dem Standad-CAPM echnen daf. Gezeigt wid, dass dafü eine spezifische lineae Beziehung zwischen de Aktien- und de Dividendenendite heschen muss. 4 Im Anschluss daan gilt es, die Implikationen de eabeiteten Ielevanzbedingungen übe einen intuitiven Zugang zu nähe untesuchen und ihe Konsequenzen fü die Untenehmensbewetung aufzuzeigen. Daneben sind sie anhand voliegende empiische Untesuchungen auf ihe Realitätsnähe zu püfen. Im Folgenden wid von de Integation de Kichensteue in den Kalkül abgesehen. 5 Voausgesetzt wid, dass die Akteue sie vemeiden Vgl. Ballwiese [Steuen, 1995], S. 36. Vgl. Long [axation, 1977], S. 5-53; König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S Betachtet weden allein Steueaten, die im CAPM, also bei eine Altenativanlage in Wetpapiee mit unsicheen Renditen elevant sind. Vgl. Moxte [Gundsätze, 1983], S. 178; Ballwiese [Fagen, 00], S Andee Wege zu Ielevanz eöffnen sich, wenn man von gleichen Steuesätzen auf Dividenden und Kusgewinne ode bestimmten Annahmen übe die Renditen des Investitionsobekts und de Altenative ausgeht. Vgl. Richte [axes, 00]. Daneben lässt sich Steuenneutalität eeichen, indem man das Steuesystem duch Wahl geeignete Bemessungsgundlagen ode Abscheibungsmuste gestaltet. Vgl. dazu König [Wuzel, 1997] fü konstante und Löffle [Steuesysteme, 1999] fü intetempoal veändeliche Steuesätze. Vgl. dazu Kuschwitz [Investitionsechnung, 003], S Venachlässigt man Details, so wikt die Kichensteue wie de Solidaitätszuschlag, de im Folgenden im Modell beücksichtigt wid.

5 . Äquivalenzbedingungen fü die Effizienz von Potfolios vo und nach Steuen: Die Analyse von Long.1 Steuesystem und effiziente Potfolios Unte de Annahme, dass Investoen ih Einkommen nach Steuen maximieen 7, ist Long 8 de Fage nachgegangen, unte welchen Bedingungen Akteue, die entspechend des (Standad- CAPM entscheiden, nach Steuen optimale Potfolios auswählen. E analysiet, inwieweit Potfolios, die µ σ-effizient vo Steuen sind, diese Eigenschaft behalten, wenn die Investoen übe diffeenziete Steuesätze auf Kusgewinne γ und Dividendeneinkünfte τ vefügen. 9 Neben den Pämissen, die zum CAPM vo Steuen fühen, geht Long von eine deteministischen 10 Dividendenendite δ und eine stochastischen Kusendite Wetpapie ( = 1,...,N aus. Bezeichnet ewatete gesamte Rendite nach Steuen ( ( p ρ den Ewatungswet von als 11 Equation Section p vo Steuen auf das, so egibt sich die = 1 γ ρ τ γ δ (.1 mit de Vaianz ( 1 γ σ. Die Steuesätze γ und τ sind annahmegemäß unabhängig von de Höhe de Kusgewinne und de Dividenden. 1 Existiet zusätzlich eine Anlagemöglichkeit zum isikolosen Zinssatz, so wid diese mit dem Steuesatz τ auf Dividenden belastet. Die Menge alle vo (nach Abzug von Steuen effizienten Potfolios wid als E ( F ( γτ, bezeichnet. Existiet, so halten die Investoen eine Kombination aus dem isikolosen Papie und dem Nachsteue-angentialpotfolio ( γτ,. 13 Ein Potfolio ist nachsteue-effizient bei gegebenen Steuesätzen γτ,, wenn es (a die maximale ewatete Rendite unte den Potfolios mit gleiche ode niedigee Vaianz hat und es (b die kleinste Vaianz unte allen Potfolios mit gleiche ode höhee ewatete Rendite hat. Als effizient vo Steuen lässt sich ein Potfolio kennzeichnen, das nachsteue-effizient bei den Steuesätzen γ= τ=0 ist Vgl. u.a. Litzenbege / Ramaswamy [Effect, 1979], S. 164; Bennan [Valuation, 1970], S , de diese Annahme nu fü den Fall als geechtfetigt ansieht, dass die Investoen ihe Wetpapiee bis zum Peiodenende halten. Dies edoch ist beeits eine Pämisse des CAPM. Vgl. Long [axation, 1977], S Im Allgemeinen gilt dies nicht, da investoenspezifische Steuesätze totz homogenen Ewatungen übe die Buttoenditen zu veschiedenen Nettopositionen de Akteue fühen. Vgl. Weigel [Steuen, 1989], S Vgl. analog Bennan [Valuation, 1970], S. 40; König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 68. Vgl. Long [axation, 1977], S. 8. Wie aus (.1 esichtlich, geht Long abweichend vom deutschen Steuegesetz von de Anechenbakeit de auf Dividenden zu zahlenden Kusgewinnsteuen aus. Zu Eweiteung um pogessive Steuen vgl. Long [axation, 1977], S Vgl. Long [axation, 1977], S. 9. Vgl. Long [axation, 1977], S. 8; König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S

6 . Keine isikolose Anlagemöglichkeit 3 Wähend die Odnung von Potfolios nach de Vaianz de Renditen unabhängig davon ist, ob Steuen ehoben weden ode nicht, kann die Besteueung die Reihung de Potfolios nach de ewateten Rendite veänden. Folglich weden Investoen mit unteschiedlichen Steuesätzen die Potfolios in ihem Nettokalkül gundsätzlich andes odnen als vo Steuen. Dies gilt solange, bis folgende Beziehung zwischen de Dividenden- und de Wetpapieendite besteht: 15 F ( γτ, = E γτ (,, 0 γ k;0 τ k;0 k 1, (. wenn Konstanten c und d existieen, welche die Bedingungen δ = c ρ + d, = 1,..., N, (.3 k 1 1 < c < (.4 k k efüllen. Ist diese Spezialfall eine lineaen Beziehung zwischen de Dividendenendite δ und de Kusendite ρ gegeben, so ist die Odnung de Potfolios nach de ewateten Rendite bei allen Steuesätzen gleich. De Paamete k kennzeichnet die eilmenge ene Investoen, deen maximale Steuesatz ( γ ode τ τ ein gegebenes k nicht übescheitet: 1 k x A x C x B x D k 1 γ Abbildung 1: 16 Unteguppe von Investoen mit Steuesätzen γ, τ k Investoen mit niedigeen (höheen Steuesätzen auf Kusgewinne als auf Dividenden liegen etwa auf Punkt A (B. Akteue, deen Dividenden und Kusgewinne steuelich gleich behandelt weden, befinden sich auf de 45 Gad-Linie, also etwa in Punkt C. Witschaftssubekte, die von beiden Steueaten befeit sind, halten sich im Uspung D auf Vgl. Long [axation, 1977], S. 31. In Anlehnung an Long [axation, 1977], S. 31.

7 4 Gelten die Bedingungen (.3 und (.4 fü edes einzelne Wetpapie, so egibt sich fü das Kapitalmaktgleichgewicht: 17 σ ρ =ρ +β ρ ρ, = 1,..., N; ρ >ρ ; β =. (.5 σ ( M Z M Z M Z M Dabei gibt ρ M den Renditeewatungswet des Maktpotfolios vo Steuen an, ρ Z entspicht de ewateten Buttoendite edes Potfolios Z, dessen Rückflüsse unkoeliet mit dem Maktpotfolio sind. Es esultiet mithin obgleich diffeenziete Steuen voliegen das Standad-CAPM ohne isikolose Anlagefom Existenz eine isikolosen Anlagemöglichkeit Existiet eine isikolose Anlagemöglichkeit, so sind die Äquivalenzbedingungen (. und (.3 duch die Fodeungen 19 ( γτ, = ( 0,0 γτ (,, 0 γ k;0 τ k;0 k 1, (.6 ( δ = c ρ +, = 1,..., N (.7 zu esetzen. (.4 bleibt von de Einfühung von unbeüht. Sofen ede Investo eine Kombination des isikolosen Wetpapies mit ( γτ, hält und sofen (.7 efüllt ist, gilt im Kapitalmaktgleichgewicht analog zu (.5: 0 M ( ρ = +β ρ, = 1,..., N. (.8 Man ehält die Gundfom des CAPM mit isikolose Anlage. 1 De folgende Abschnitt übefüht die Beziehungen (. bis (.8 in das deutsche Steueegime. 3. Äquivalenzbedingungen unte deutschen steuelichen Vehältnissen 3.1 Anpassungen an das deutsche Steuesystem Möchte man die Übelegungen Longs auf die deutschen steuelichen Vehältnisse übetagen, so bedaf es einige Konketisieungen. Mit Blick auf den Steuesatz τ auf Dividenden D ist zu beachten, dass entspechend des Halbeinkünftevefahens die halbe Badividende mit dem Vgl. Long [axation, 1977], S Vgl. gundlegend Black [Equilibium, 197], S Vgl. Long [axation, 1977], S. 34. Vgl. Long [axation, 1977], S. 35. Vgl. Black [Equilibium, 197], S. 444 und S Um (.8 zu gewinnen, ist ρ in (.5 duch zu esetzen. Z

8 5 pesönlichen Einkommensteuesatz s e belastet wid, wobei D t dem ausgeschütteten köpeschaftsteuelichen Gewinn G k, t nach Abzug de Köpeschaftsteue (Köpeschaftsteuesatz s KSt = 0,5 entspicht. Als Steuelast esultiet dann:equation Section 3 ( τ Dt = se 0,5 G k,t 1 skst = 0,5 se 0, 75 G k,t. (3.1 Damit gilt fü die Dividendenendite nach Steuen: 3 ( 1 ( 1 0,5 s τ δ = δ. (3. e Kusgewinne weden pauschal mit einem Steuesatz von 7,5 % belastet 4, weshalb die ewatete Nachsteue-Kusendite ( ( 1 γ ρ = 1 0,075 ρ = 0,95 ρ (3.3 ist. Beücksichtigt man den Solidaitätszuschlag, so ehält man beim gegenwätig geltenden Zuschlagssatz in Höhe von 5,5 % fü die gesamte Rendite nach Steuen: ( ( ( 1 0,575 se ( 1 0, ( 1 ˆ ( 1 ˆ = 1 0,5 s 1,055 δ + 1 0,075 1,055 ρ e = δ + ρ = τ δ + γ ρ. (3.4 Bei ˆτ sowie ˆγ handelt es sich um die effektiven Steuesätze nach geltendem sowie geplantem deutschen Steuegesetz. Die Pauschalbesteueung ist mittleweile im Vemittlungsausschuss beaten woden, de dem Bundestag ihe Ablehnung empfiehlt. 5 Im Weiteen wid sie dennoch im Kalkül fü den Fall efasst, dass sie zu geltendem Recht wid. Paallel dazu ist eine Falluntescheidung zu Beücksichtigung de gültigen Rechtslage vozunehmen. Die Investoen bleiben steuefei, indem sie ihe Papiee länge als ein Jah halten ode mit ihen Zinseinkünften unte dem Feibetag von 51 bleiben Voausgesetzt wid Vollausschüttung. Andees ist im einpeiodigen CAPM nicht sinnvoll. Eine Anechenbakeit von Kusgewinnsteuen auf Dividenden sieht das deutsche Steueegime im Gegensatz zu Long in (.1 nicht vo. Die bishe geltende Spekulationsfist fü Kusgewinne soll im Rahmen des Steuevegünstigungsabbaugesetzes abgeschafft weden. Abgesehen wid hie vom Feibetag auf Spekulationsgewinne, de auf 1000 ehöht weden soll, sowie von de Pauschalisieungsegelung fü Altfälle. De Steuesatz in Höhe von 7,5 % esultiet aus dem vogesehenen Pauschalsatz in Höhe von 15 %, wobei das Halbeinkünftevefahen Anwendung findet. Vgl. Bundesministeium de Finanzen (Hsg. [Steuevegünstigungsabbaugesetz, 003], S Vgl. Deutsche Bundestag [Beschlussempfehlung, 003], S..

9 6 Existiet weitehin eine isikofeie Anlagemöglichkeit, so sollen Einkünfte aus ih künftig eine pauschalen Abgeltungsteue mit einem Steuesatz s a in Höhe von 5 % unteliegen. Hinzuzuechnen ist de Solidaitätszuschlag. 6 Fü diesen Fall ist (3.4 um den Summanden [ ] [ ] ( ˆ 1 s 1,055 = 1 0,6375 = 1 s (3.5 a a zu eweiten. 7 Die Abgeltungssteue stellt einen weiteen Unteschied zu Analyse von Long da, de eine Besteueung von mit dem Dividendensteuesatz τ vosieht. Abbildung bündelt das hie zugundegelegte deutsche Steuesystem: τ 1 ŝ a k g 6,375% x D 7,915% = k 1 γ Abbildung : 8 Deutsches Steuesystem Esichtlich ist, dass bei pogessive Besteueung allein die Dividenden investoenspezifisch belastet weden. Veglichen mit Übesicht 1 gibt Abbildung folglich mit Blick auf die Steuesätze ˆγ und ˆτ einen Spezialfall wiede: Aufgund de pauschalen Besteueung de Zinsetäge und Kusgewinne können sich die Akteue in Abhängigkeit ihe individuellen Steuesätze auf Dividenden allein auf de Linie g bewegen. Im Modell Longs konnten sie dies in de duch γ und τ aufgespannten Ebene. Demgegenübe befindet man sich im deutschen Steuesystem bei Existenz de isikolosen Anlagemöglichkeit im deidimensionalen Raum, da andes als bei Long mit einem andeen Steuesatz als τ belastet wid Vgl. Bundesegieung [Zinsbesteueung, 003], S. 11. Dass de Solidaitätszuschlag aufzuschlagen ist, egibt sich nu aus de Begündung des Refeentenentwufs. De Gesetzentwuf enthält keinen Hinweis daauf. Feibetäge weden venachlässigt. Quelle: eigene Dastellung.

10 3. Äquivalenzbedingungen Eigenschaften effiziente Potfolios Um die Bedingungen zu gewinnen, unte denen die diffeenziete Besteueung von Kusgewinnen und Dividenden keinen Einfluss auf die Effizienzeigenschaft von Potfolios hat, bedaf es eine Definition effiziente Potfolios vo und nach Steuen. 9 Existieen N Anlagemöglichkeiten, so lässt sich ein Potfolio duch einen Vekto N x aus de Menge alle Potfolios POR N kennzeichnen, de die Eigenschaft N 1+ + N = = Ι= (3.6 = 1 x... x x x 1 aufweist. Ein solches Potfolio ist wenn keine isikolose Anlagefom existiet genau dann effizient vo Steuen, wenn 30 x Min x Σ x (3.7 unte Beachtung von ( 0 x ρ+ x δ= m > m, x Ι=1 (3.8 gelöst ist. Σ steht fü die (nicht-singuläe Kovaianzmatix de Aktienenditen, m 0 fü die ewatete Rendite des Minimum-Vaianz-Potfolios, m fü die gegebene Rendite eines Potfolios m x und Ι fü den Einsevekto. Ist vohanden, dann ist das Potfolio ( effizient, wenn neben (3.7 gilt: ( x,x PORN + 1 x ρ+ x δ+ x = m >, x Ι+ x =1. (3.9 Um den Einfluss de Besteueung auf die Renditen de Potfolios zu bestimmen 31, wid ein Potfolio ( x,x POR + N 1 betachtet, das bei Fehlen von übe x = 0 zu x PORN wid. Ein Investo vefügt zum Peiodenbeginn übe ein Vemögen W, das e in Aktien investieen x W P 0 kann. Bezeichnet P 0 den Kus de Aktie am Peiodenanfang, so hält de Akteu ( iskante Wetpapiee des yps. Aus dem Potfolio fließt ein Einkommen H mit Vgl. hiezu und im Folgenden König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 58 und S ; Long [axation, 1977], S ; Chen [Rules, 1986], S. 7. Vgl. z.b. Black [Equilibium, 197], S. 447, fü den Fall ohne Steuen. Vgl. hiezu und im Folgenden König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S

11 x W ( ( 1 0 N H= W x + P P + D = 1 P0 8 N = W x ( ρ +δ + x. (3.10 = 1 = W x ρ+ x δ+ x Addiet man zu H das (unabhängig von Kapitalmakttansaktionen anfallende deteministische Basiseinkommen EK, gelangt man zum gesamten zu vesteuenden Einkommen ZVE: 3 ZVE = W ( x ρ+ x δ+ x + EK. (3.11 Fü das ZVE nach Steuen, ZVE, esultiet aus (3.11, (3.4 und (3.5 ( ( ˆ ( ˆ ( ˆa ( ZVE = W x ρ 1 γ + x δ 1 τ + x 1 s + EK 1 se (3.1 und mit den konket voausgesetzten Steuesätzen ( ( e ( ZVE = W 0,90875 x ρ+ x δ 1 0,575 s + 0, 7365 x + EK 1 se. (3.13 Aus (3.1 lässt sich die Potfolioendite nach Steuen auf das eingesetzte Kapital W mit ZVE x 1 x 1 x 1 W = = ρ ( γ ˆ + δ ( τ ˆ + ( gewinnen. Ih Ewatungswet betägt ( ˆ ( ˆ ( ˆ ŝ (3.14 = ρ γ + δ τ + a (3.15 x 1 x 1 x 1 s a und ihe Vaianz σ 33 σ = x Σ ( x 1 γ ˆ. (3.16 Um die effizienten Potfolios nach Steuen zu emitteln, baucht man die patiellen Ableitungen von und σ nach x und x. 34 Fü (3.15 esultieen Zu ZVE gehöen mithin andes als bei König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 70 auch Kusgewinne, ausgedückt duch x ρ. De em ( 1 γ ˆ = ( 0, titt bei König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 71, nicht auf, da dot Kusgewinne als steuefei angenommen weden. Fü einen Ansatz mit Kusgewinnsteuen vgl. Chen [Rules, 1986], S Zu Emittlung de Vaianz in (3.16 vgl. den Anhang. Vgl. König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 71.

12 9 =ρ ( 1 γ ˆ +δ ( 1 τ ˆ (3.17 x und x ( ˆa = 1 s. (3.18 Diffeentiation von (3.16 liefet 35 σ = Σ x ( 1 γ ˆ. (3.19 x Das betachtete Potfolio ist demzufolge ohne Existenz de isikolosen Anlage nach Steuen effizient, wenn Konstanten und z vohanden sind, welche den Anfodeungen z1 Σ ( ˆ ( ˆ ( ˆ x 1 γ z1 ρ 1 γ +δ 1 τ z Ι = 0 x = m ( > m 0, (3.0 genügen. 36 Die analoge Fomulieung zu (3.0 bei Existenz de isikolosen Anlage lautet: 37 Σ ( ˆ ( ˆ ( ˆ z1 ( 1 sˆ a + z = 0, x = m ( > m = ( 1 sˆ a x 1 γ z1 ρ 1 γ +δ 1 τ z Ι = 0, (3.1 Fü den Fall, dass Kusgewinne nach geltendem Recht unte den genannten Bedingungen steuefei bleiben, ist in den Gleichungen (3.11 bis (3.13 de em x ρ sowie in den Bedingungen (3.14 bis (3.17, (3.19 bis (3.1 de Paamete ˆγ gleich 0 zu setzen Keine isikolose Anlagemöglichkeit Mit Egebnis (3.0 kann festgestellt weden, unte welchen Bedingungen Potfolios, die effizient vo Steuen sind, diese Eigenschaft auch nach Steuen behalten. Deatige Anfodeungen sind eabeitet woden 39 und sollen im Folgenden auf das hie voliegende Steuesystem Vgl. analog König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 73, de ohne den Fakto ( 1 γˆ echnet. Vgl. hiezu den Anhang. Vgl. hiezu den Anhang. Entspechendes gilt fü die Nachweise zu Abschnitt 3..1 im Anhang. Vgl. Long [axation, 1977], S ; König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S ; Chen [Rules, 1986], S. 1.

13 10 übetagen weden. Fü die Vosteue-Nachsteueeffizienz ist zu foden, dass folgende lineae Beziehung zwischen den Dividenden- und Kusenditen edes Potfolios hescht: 40 ( ˆ ˆ x Eund x F γ, τ δ= a ρ+ b I. (3. Die Konstanten a und b bestimmen sich als: 41 ( ˆ, b ( ˆ ( ˆ z1 w1 1 γ z w a = = w 1 τ w 1 τ. ( Sie düfen indes nicht beliebige Wete annehmen, sonden müssen sich innehalb gewisse Schanken 4 bewegen. Fü die untee Schanke von a ehalten wi unte de Pämisse popotionale Besteueung 43 γ ˆ 1 a >. (3.4 1 τ ˆ Die Egebnisse (3.3 und (3.4 weichen von denenigen Königs 44 ab, was nicht vewundet, da diese das Anechnungsvefahen und keine Besteueung von Kusgewinnen voaussetzt. Dass das Ungleichheitszeichen in (3.4 angebacht ist, sieht man, wenn man es duch ein Gleichheitszeichen esetzt. Fü diesen Fall entspicht die Nachsteueendite auf ein beliebiges (auch effizientes Potfolio im µ σ-diagamm eine Paallelen de Fom 45 = b ( 1 τ ˆ (3.5 zu σ -Achse. Dies schließt die ökonomisch unsinnige Möglichkeit ein, dass dieselbe Potfolioendite mit keinem und zugleich mit unendlichem Risiko vebunden sein kann. Es bleibt zu kläen, welche Obegenze von a einzuhalten ist: Keht man in (3.4 das Ungleichheitszeichen um, so bleibt die Vosteue-Nachsteueeffizienz ehalten. 46 Zu beachten ist allein, dass bei Umkeh des Ungleichheitszeichens andee optimale Potfolios als x ausgewählt weden. Eine Obegenze fü a bedaf es insoweit nicht Vgl. zum Nachweis den Anhang. Vgl. zum Nachweis den Anhang. Vgl. zu den von Long [axation, 1977], S. 31, angegebenen Begenzungen Gleichung (.4. Vgl. hiezu den Anhang. Folglich entspicht a eine mit steigendem s e abfallenden lineaen Funktion. Vgl. König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 75 und S. 77. Voauszusetzen ist popotionale Besteueung. Vgl. zum Nachweis den Anhang. Qualitativ das gleiche Egebnis ezielt König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 78, alledings mit eine Geaden andee Gestalt. Vgl. hiezu die Ausfühungen im Anhang. Vgl. zu einem ähnlichen Egebnis alledings fü die Untegenze von a und im Widespuch zu Long [axation, 1977], S.46-47, König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 78. De Widespuch zu Long bleibt eneut fü die Obegenze an Stelle de Untegenze mit dem hie gefundenen Egebnis ehalten.

14 11 Fü b egeben sich keinelei Genzen. 48 Alledings gilt δ 0 fü sämtliche Wetpapiee. 49 Damit folgt unmittelba aus (3. als Untegenze fü b: 50 b a ρ. (3.6 Geht man ealistischeweise von pogessiven Dividendensteuesätzen ˆτ und ˆτ auf die x y Potfolios x und y aus, so gehen die einfachen Anfodeungen (3.4 an a und (3.6 an b veloen. Stattdessen müssen a und b gemeinsam folgende Bedingung genügen: 51 ( kx ky ( 1 ˆ ( ky a b( 1 ˆy ( kx a b ( 1 x γ > + τ + τˆ. (3.7 Im Gegensatz zum Fall fehlende Pogession sind die Paamete a und b folglich von den eweils betachteten Potfolios x und y abhängig. Zusammenfassend gilt bei fehlende isikofeie Anlagefom, dass vo Steuen effiziente Potfolios auch nach Steuen effizient sind und umgekeht, sofen die Dividendenendite gemäß (3. eine lineae Funktion de Aktienendite ist, deen Achsenabschnitt b und Steigungspaamete a bei fehlende (vohandene Pogession den Anfodeungen (3.4 und (3.6 ((3.7 genügen. 5 Ist dies efüllt und halten alle Investoen nachsteue-effiziente Potfolios, so esultiet im Gleichgewicht mit Beziehung (.5 die Gundfom des CAPM Existenz eine isikolosen Anlagemöglichkeit Zu eabeiten bleiben die Äquivalenzbedingungen fü den Fall, dass eine isikolose Anlage vohanden ist. Die folgende Analyse weicht deutlich von den Abeiten Longs und Königs ab, da estee eine Zinsbesteueung zum Dividendensteuesatz τ annimmt, wähend letztee den pesönlichen Einkommensteuesatz zugundelegt und steuefeie Kusgewinne voaussetzt. Ähnlich wie in (3. lässt sich als Bedingung fü die Vosteue-Nachsteueeffizienz beweisen, dass die Dividendenendite eine lineae Funktion de Kusendite sein muss: Vgl. dazu Gleichung (5.36 im Anhang: De Paamete b lässt sich stets eliminieen, gleichviel, welche Wete e annimmt. Vgl. König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 78. Eventuelle Nachschusspflichten von Gesellschaften, die man im Modell fomal als negative Dividenden beücksichtigen könnte, weden damit venachlässigt. Vgl. König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S.78. Vgl. hiezu und zu Definition de Paamete k x und k y den Anhang. Vgl. dazu auch König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 79. In eine Situation steuefeie Kusgewinne ist aus den Gleichungen (3.3, (3.4 sowie (3.7 de Steuesatz ˆγ zu steichen, ebenso wie in den Ableitungen im Anhang zu Kapitel 3... Vgl. Long [axation, 1977], S Vgl. Long [axation, 1977], S. 34; König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S Ein Nachweis findet sich im Anhang. Die Anfodeung (3.8 weicht deutlich von denenigen Longs und Königs ab.

15 1 γ ˆ ŝ γ τ δ= ρ + ( ( ( ˆ ˆ ˆ a ( x,x E und x,x F,,s a I a De Paamete a egibt sich mit 55 ( γˆ ( τˆ 1 ( 1 τˆ I. (3.8 z1 1 w a = 1, (3.9 w 1 wobei e bei popotionale Besteueung die gleiche Restiktion (3.4 ˆ 1 a > γ 1 τ ˆ (3.30 wie im Fall ohne isikolose Anlage zu efüllen hat. 56 Esetzte man in (3.30 das Ungleichheits- duch ein Gleichheitszeichen, so ehielte man fü die ewatete Nachsteueendite eines Potfolios 57 ( ˆa = 1 s, (3.31 was mit Implikationen vebunden ist, die ebenso widesinnig sind wie die in Abschnitt 3.. hinsichtlich de Gleichung (3.5 aufgezeigten. Zu übelegen ist weitehin, ob a neben de Unte- auch eine Obegenze einzuhalten hat. Dem ist nicht so. 58 Es bleibt de im deutschen Steuesystem voliegende Fall pogessive Dividendensteuesätze zu untesuchen. Ähnlich wie in (3.7 kann dann aus (5.56 nicht meh gefodet weden als: 59 ( ( ( ( ˆ ( ˆ ( k + g 1 γ+ a 1 τ > k + g 1 γ+ ˆ a 1 τˆ. (3.3 x x x y y y Wie in de Situation, in de man nicht isikolos investieen kann, bedaf es zu Hestellung de Vosteue-Nachsteue-Effizienz eine lineaen Beziehung zwischen de Dividenden- und Kusendite. Diese ist von de Gestalt (3.8, wobei de Steigungspaamete a bei popotionale (pogessive Besteueung de Fodeung (3.30 ((3.3 entspechen muss. 60 Unte de Annahme, dass alle Investoen effiziente Potfolios nach Steuen halten, esultiet das Gleichgewicht des CAPM gemäß ( Vgl. hiezu den Anhang. Vgl. zum Nachweis den Anhang. Auch König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 8, und Long [axation, 1977], S. 34, gelangen eweils zu gleichen Begenzungen fü a wie bei de Nichtexistenz von. Die von ihnen abgeleiteten Schanken weichen alledings von de hie emittelten ab. Vgl. hiezu den Anhang. Das in Abschnitt 3.. Gesagte gilt analog. De Beweis veläuft gleichgeichtet und ist dahe entbehlich. Die Vaiablen g x und g y weden im Anhang beim Beweis von Beziehung (3.30 definiet. Bei steuefeien Kusgewinnen ist ˆγ aus (3.8 bis (3.30 und (3.3 zu steichen. Analoges gilt fü den Anhang zu Kapitel 3..3.

16 13 Es inteessiet nun de geometische Ot de effizienten Potfolios. Vo Steuen entspicht e im µ σ-diagamm de Geaden, die duch die Renditen de Potfolios de isikolosen Anlage x := (0,1 und des angentialpotfolios x : ( x,0 = veläuft. 61 Entspicht α ( α 1 dem isikolos investieten Budgetanteil, lässt sich ein Potfolio x α kennzeichnen mit: 6 x x 1 ( α =α + α M x, (3.33 ρ xα =α + ( 1 α x M ρ, (3.34 δ xα = ( 1 α x M δ. ( Die ewatete Nachsteue-Rendite m α auf das Potfolio lässt sich scheiben als: ( ˆ ( ( ˆ ( ( ˆ m =α 1 s + 1 α x ρ 1 γ + 1 α x δ 1 τ. (3.36 α a M Sollen die effizienten Nachsteue-Potfolios auf eine Geaden angeodnet sein, müssen sie m m 1 ( =α + α α M m (3.37 efüllen, wobei m = x ρ ( 1 γ + x δ ( 1 τ und m ( 1 sˆ ˆ M M ˆ = a gilt. Zu püfen ist, ob die Pogession de Dividendenbesteueung Abweichungen gegenübe de lineaen Beziehung (3.37 ezeugt, die in eine unteschiedlichen (fiktiv isolieten Besteueung von Dividenden eineseits und de Dividendenbesteueung im Kontext des gesamten Potfolios x α andeeseits begündet sind. 63 Hiezu benötigt man Klaheit übe die Höhe de Dividendensteuesätze τˆ α sowie ˆτ, die mit dem gesamten, duch α gekennzeichneten, Potfolio sowie mit de Dividende allein vebunden sind. Betachtet man zunächst die Funktion des kommenste = l( ZVE duchschnittlichen Ein uesatzess e 64, de die Besteueung de Dividenden pägt, und einnet sich an Gleichung (3.1, aus de man ene eme eliminiet, die s e nicht enthalten 65, so folgt fü den duchschnittlichen Einkommensteuesatz s: e Vgl. gundlegend obin [Pefeence, 1958], S ; König [Besteueung, 1990], S. 83. x kennzeichnet M das Maktpotfolio. Vgl. hiezu und im Folgenden König [Besteueung, 1990], S. 83. Mithin ist zu untesuchen, ob das gesamte Potfolio eine andee duchschnittliche Einkommensteuelast geneiet als die Summe seine Komponenten im Falle ihe fiktiv getennten Besteueung. Dies muss nicht nu fü das Maktpotfolio, sonden fü edes andee Potfolio gelten. Vgl. König [Besteueung, 1990], S Die Funktion l sei zweimal diffeenzieba, monoton steigend und konkav. Zinseinkünfte und Kusgewinne sind aufgund ihe pauschalen Besteueung ielevant fü die Beechnung des Einkommensteuetaifs fü Dividenden.

17 s e ( ZVE e ( ZVE W x δ+ EK 14 l ZVE s 0,5 W x δ + se EK = =. (3.38 Da EK unabhängig von Kapitalmakttansaktionen ist, kann es aus (3.38 eliminiet weden: s e ( 0,5 W x se δ = = 0,5 s e = τ. (3.39 W x δ α 1 Esetzt man in (3.39 x duch beliebige Potfolios, etwa duch x α, so bleibt das Egebnis ehalten: Duchschnittlich wid δ folglich isoliet gleich besteuet wie im Potfoliozusammenhang. Das Potfolio x gehocht also de Fodeung (3.37 fü alle α. Die Effizienzlinie nach Steuen entspicht eine Geaden duch die Nachsteueenditen de isikolosen Anlage und des angentialpotfolios, die paallel untehalb zu ene vo Steuen veläuft. Betachtet man pogessive Besteueung, so weden die Dividenden ebenso wie im Falle popotionale Besteueung innehalb und außehalb des Potfoliokontextes gleich belastet. Alledings ist de Genzsteuesatz s e dann abhängig vom betachteten Potfolio: 66 s = s + l ZVE ZV E (3.40 e e ( Da die Funktion von s in Abhängigkeit des ZVE nichtlinea ist, veläuft die Effizienzlinie in e Fom eine konkaven Kuve untehalb de Geaden vo Steuen. 67 Zusammenfassend gilt, dass die effizienten Potfolios nach Steuen ebenso wie in eine Welt ohne Steuen zumindest bei popotionale Besteueung auf eine Geaden angesiedelt sind. Voauszusetzen ist dabei die Gültigkeit von ( Diskussion Implikationen de Äquivalenzbedingungen Die in den Abschnitten 3.. und 3..3 entwickelten Bedingungen sind äußest estiktiv. Sie implizieen insbesondee, dass die Investoen bei eine gegebenen ewateten Kusendite ρ eines Potfolios keine Wahl zwischen altenativen Dividendenenditen haben. 68 Hätten sie diese, so bestünde zwischen ρ und δ eine nicht-lineae Beziehung. Dass die Lineaität e EK wude in Beziehung (3.40 eneut aus de Betachtung ausgeschlossen. Vgl. mit analogem Egebnis König [Besteueung, 1990], S Vgl. Long [axation, 1977], S. 3.

18 15 doch zwingend fü die Vosteue-Nachsteueeffizienz ist, wid deutlich, wenn man sich die Mengen de effizienten Potfolios vo und nach Steuen gaphisch vo Augen füht:, x 1 x E ( γτ ˆ ˆ P, x ( γτ ˆ ˆ F, x 1 σ Abbildung 3: Effiziente Potfolios ohne isikolose Anlage vo und nach Steuen 69 De effiziente Rand E aus dem Vosteue-CAPM wid nach Steuen zu F (ˆ γτ, ˆ, die Risiko- Rendite-Kombinationen und weden mithin in x1 x 1 x und x tansfomiet. Besteht die lineae Beziehung (3., wählen Investoen nach Steuen Potfolios aus de Menge F ( ˆ, ˆ γτ. Es ist dann egal, ob sie nach einem Vo- ode Nachsteue-Kalkül entscheiden. Hescht indes eine nicht-lineae Beziehung zwischen ρ und δ, so könnten die Akteue nach Steuen Effizienzgewinne ealisieen, wenn sie etwa Potfolios aus eine Menge ( γτ ˆ ˆ wählen. 70 De Rückgiff auf das Vosteue-CAPM füht nach Steuen edoch wie gehabt zu Auswahl von Potfolios aus F (ˆ γτ, ˆ und damit zu suboptimalen Entscheidungen, da F (ˆ γτ, ˆ duch P (ˆ γτ, ˆ dominiet wid. 71 Entspechendes gilt mit Blick auf Bedingung (3.8. Diese gundsätzliche Zusammenhang zeigt, weshalb sich die Fodeung nach eine lineaen Veknüpfung von Dividenden- und Kusendite duch die veschiedenen, von Long, König sowie hie zu- P, Quelle: Eigene Dastellung. Zu eine ähnlichen Abbildung vgl. auch König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 75. Die zum Uspung konvex velaufenden Kuven epäsentieen Indiffeenzkuven des betachteten Investos. Dies titt beeits ein, wenn die lineae Beziehung allein duch ein einziges Potfolios ode duch die Steuesätze eines einzelnen Investos duchstoßen wid. Vgl. im gleichen Sinne Long [axation, 1977], S. 46. Bezogen auf die Potfolios P (ˆ γτ, ˆ wüden die Akteue vo wie nach Steuen effizient entscheiden, gäbe es vo Steuen eine Menge von Risiko-Rendite- Kombinationen, die paallel im Sinne eine konvexen Hülle obehalb von P γτ ˆ, ˆ veliefe. (

19 16 gundegelegten, Steuesysteme wie ein ote Faden zieht: Unteschiede egeben sich allenfalls aus abweichenden Steigungspaameten ode Achsenabschnitten, nicht abe in de Lineaität. Hinsichtlich de Kusgewinnsteue zeigt sich, dass ihe Integation in den Kalkül keine bedeutenden Abweichungen gegenübe Fällen ezeugt, in denen man daauf vezichtet. Wie gesehen, gelangt man vom umfassendeen zum speziellen Fall, indem de Steuesatz ˆγ gestichen wid. Hintegund dessen ist die einfache weil pauschale Konstuktion diese Steue Empiische Resultate Mit de Enge de Äquivalenz-Bedingungen könnte man leben, wenn sie zumindest appoximativ eine gute Bescheibung de Realität abgäben. Empiische Studien zeigen indes, dass dies im Allgemeinen nicht de Fall ist. Deatige Studien müssen die Lineaität des Zusammenhangs zwischen Kus- und Dividendenendite testen. 7 Wähend Fiend / Puckett und Black / Scholes fü den ameikanischen Kapitalmakt keine deatige Beziehung feststellen können 73, findet Blume eine solche, die edoch allein im kleinen Zeitfenste zwischen 1947 und 1956 signifikant ist. 74 Litzenbege / Ramaswamy emitteln einen hochgadig signifikanten lineaen Zusammenhang auf Basis kuzfistige (monatliche Dividendenenditen. 75 Mille / Scholes halten dem entgegen, dass deatige ests sensibel auf die zugundeliegende Definition de Dividendenendite eagieen. 76 Eliminiee man vezeende Ankündigungseffekte hinsichtlich de Dividendenpolitik, die bei Vewendung kuzfistige Dividendenenditen aufteten, so gelange man zu keine signifikanten Beziehung zwischen Dividenden- und Kusendite. 77 Kitisch zu Rolle deatige Infomationseffekte äußet sich Hess, de feststellt, dass sie keinen signifikanten Einfluss auf die Beziehung zwischen Dividenden- und Kusendite zeitigten. 78 Auch e findet keinen signifikanten Zusammenhang gemäß (3. ode (3.8. Diesen auf Gundlage langfistige Dividendenenditen empiisch zu stützen, gelingt indes Rosenbeg / Maathe sowie Ang / Peteson, die im Gegensatz zu den vogenannten Die Untesuchungen in ihe Gesamtheit dazustellen, wäe ein fuchtlose Vesuch. Im folgenden wid dahe nu eine Auswahl an Abeiten gegeben, welche die Diskussion wesentlich gepägt haben. Vgl. Fiend / Puckett [Dividends, 1964]; Black / Scholes [Effects, 1974], S , sowie zu Intepetation ihe Egebnisse Long [axation, 1977], S Vgl. Blume [Evidence, 1980], S E ehebt die Dividendenenditen vietelählich. Vgl. Litzenbege / Ramaswamy [Effect, 1979], S , fü den Zeitaum zwischen 1936 und 1977; Litzenbege / Ramaswamy [Dividends, 1980], S , fü die Jahe 1936 bis 1978; Litzenbege / Ramaswamy [ax, 198], S , in de Zeit zwischen 1940 und Die Autoen testen indes das Nachsteue-CAPM, so dass die Regessionsgleichung im Gegensatz zu (3. und (3.8 zusätzlich den β -Wet als unabhängige Vaiable enthält. Vgl. Mille / Scholes [axes, 198], S ; Mille [Case, 1986], S Vgl. Mille / Scholes [axes, 198], S Die vewandte Regessionsgleichung enthält edoch zusätzlich den β -Wet, so dass im Gegensatz zu Studie von Blume kein diekte est de Beziehung zwischen δ und ρ gemäß (3. gegeben wid. Vgl. Hess [Behavio, 198], S

20 17 Autoen auf ex ante-schätzungen zuückgeifen. 79 Zu uneinheitlichen Egebnissen gelangt Mogan, de die Existenz eines lineaen Zusammenhangs negiet. 80 Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass von de Efüllung de eabeiteten Ielevanzbedingungen im Allgemeinen nicht auszugehen ist, so dass pesönliche Steuen gundsätzlich Abweichungen von de Gleichgewichtslösung des Standad-CAPM ezeugen. Selbst wenn gundsätzlich eine lineae Beziehung gefunden wid, ist damit noch nicht Gewäh leistet, dass diese exakt den Anfodeungen (3. bis (3.4 und (3.6 bis (3.7 ode (3.8 bis (3.30 sowie (3.3 genügt Konsequenzen fü die Untenehmensbewetung Übetägt man die eabeiteten Egebnisse auf den hie im Vodegund stehenden Kontext de Untenehmensbewetung, so zeigt sich, dass oftmals Renditefodeungen aus dem Vosteue-CAPM mit pesönlichen (Misch-Steuesätzen kombiniet weden 81 ode auf die Einbeziehung pesönliche Steuen gänzlich vezichtet wid. 8 Jene Renditefodeungen sind Ausfluss eine µ σ-effizienten Potfolio-Auswahl vo Steuen. Um sichezustellen, dass diese Eigenkapitalenditen auch in eine Welt mit Steuen effizient sind, bedüfte es de lineaen Bedingungen (3. ode (3.8. Sind diese edoch efüllt, könnte (und müsste von eine Integation de Besteueung in den Kalkül abgesehen weden. Sieht man dagegen die Integation von pesönlichen Steuen in den Kalkül als zwingend an, da man die Enge de Ielevanzbedingungen scheut, so bleibt als Altenative nu die konsistente Beücksichtigung de Besteueung im Wege eine diekten Ableitung eines CAPM unte Steuen. 83 Ein Blick in gundlegende Abeiten 84 zu diesem Aspekt zeigt, dass sich die dot abgeleiteten Renditefodeungen aus dem Nachsteue-CAPM von den Fomulieungen de Untenehmensbewetungsliteatu egelmäßig untescheiden Vgl. Rosenbeg / Maathe [ests, 1979], S. 0-04, fü den Zeitaum von ; Ang / Peteson [Yield, 1985], S Sie vewenden ein Signifikanz-Niveau von 10 %. Die von beiden Autoenguppen vewandten Regessionsgleichungen weichen von (3. und (3.8 ab. Vgl. Mogan [Dividends, 198], S Welche einzelnen Steuesätze den Mischsteuesatz bestimmen, wid oft nicht detailliet offengelegt. Vgl. etwa Kohl / Schulte [IDW S. 1], S. 1157, die von einem nach IDW S 1 typisieten Steuesatz in Höhe von 35 % ode 17,5 % ausgehen. Zum typisieten Satz vgl. Institut de Witschaftspüfe in Deutschland e.v. [Witschaftspüfehandbuch, 00], S. 98, z. 8, und zu Beücksichtigung individuelle steueliche Vehältnisse de Untenehmenseigne nebulös S. 49, z. 147, sowie Institut de Witschaftspüfe in Deutschland e.v. [IDW S. 1, 000], S. 838; vgl. fene Baetge / Niemeye / Kümmel [DCF-Vefahen, 001], S. 478; Schultze [Methoden, 001], S ; König / Zeidle [Behandlung, 1996], S Vgl. etwa Copeland / Kolle / Muin [Valuation, 000]. Vgl. a. Dukaczyk [Untenehmensbewetung, 001], S Vgl. insbesondee Bennan [Valuation, 1970]; Litzenbege / Ramaswamy [Effect, 1979]; Litzenbege / Ramaswamy [Dividends, 1980]; fü den deutschen Raum vgl. Dukaczyk / Richte [Finanzentscheidungen, 1995], S. 56, die alledings noch vom Anechnungsvefahen ausgehen.

21 18 4. hesenfömige Zusammenfassung (1 Das CAPM ist ohne die Annahme de Besteueung abgeleitet woden. Inteessant ist dahe die Fage, unte welchen Bedingungen es in eine Welt mit Steuen gültig bleibt, da die Antwot hieauf zeigt, waum Steuen elevant sind. ( Gezeigt wude, dass auch bei gegenwätigen deutschen steuelichen Vehältnissen eine lineae Beziehung zwischen de Dividenden- und de Kusendite edes einzelnen Potfolios heschen muss, damit pesönliche Steuen im CAPM ielevant sind. Die Achsenabschnitte und Steigungspaamete diese lineaen Funktionen müssen daübe hinaus estiktiven Nebenbedingungen gehochen. Ein Vegleich mit den Abeiten von Long und König offenbat, dass diese Lineaität im Modellkontext des CAPM stets voauszusetzen ist, wähend sich mit Blick auf die Steigung und den Achsenabschnitt Unteschiede in den Anfodeungen egeben, die dem hie zugundegelegten Steuesystem geschuldet sind. Bei popotionale Besteueung sind diese Anfodeungen unabhängig vom betachteten Potfolio. Demgegenübe ist de Fall pogessive Besteueung komplexe, da die Paamete funktional abhängig vom betachteten Potfolio sind. (3 Bei Existenz de isikolosen Anlage liegen die effizienten Potfolios nach Steuen bei popotionale Besteueung auf eine Geaden, die duch die Nettoenditen de isikofeien Anlage und des angentialpotfolios zu legen ist. Im Falle pogessive Belastungen weist die Effizienzlinie indes die Fom eine konkaven Kuve auf. Gund hiefü ist, dass de Genzsteuesatz abhängig vom eweils betachteten Potfolio ist und die Funktion des Genzsteuesatzes in Abhängigkeit des zu vesteuenden Einkommens nichtlinea veläuft. (4 Sowohl theoetisch als auch empiisch zeigt sich, dass diese Bedingungen igoos sind. Von de Ielevanz de Besteueung im Kontext des CAPM geneell auszugehen, ist somit nicht geechtfetigt. Hinsichtlich de empiischen Untesuchungen de Ielevanzbedingungen ekennt man, dass die Egebnisse abhängig von de Definition de Dividendenendite sind. Die Fage, ob eine lang- ode kuzfistige Dividendenendite angebacht ist, scheint bis heute offen zu sein. (5 Mit Blick auf die Untenehmensbewetung ekennt man, dass im Kontext von Risikozuschlägen, die dem CAPM entstammen, zwei Wege zu konsistenten Beücksichtigung von pesönlichen Steuen denkba sind. Zum einen kann man sie totz ihe Existenz venachlässigen, indem man von eine lineaen Beziehung zwischen de Dividendenund de Kusendite ausgeht. Ist diese nicht efüllt, so bleibt allein de Weg eine diekten Integation de Besteueung in das Kapitalmaktmodell.

22 19 Anhang 1 zu Abschnitt 3..1 Fü den in de Vaianz in Gleichung (3.16 enthaltenen em ( egibt sichequation Section 5 ( { = ( ˆ ( ˆ ( ˆ a ( ˆ ( ˆ ( ˆa } x ρ 1 γ + x δ 1 τ + x 1 s x ρ 1 γ + x δ 1 τ + x 1 s (5.1 und da δ sowie deteministisch sind: ( ˆ ( ˆ x 1 x 1 ρ γ ρ γ =. (5. x ( 1 γˆ ( ρ ρ Fü die Vaianz folgt damit (3.16: σ = x Σ ( x 1 γ ˆ. (5.3 Beweis von Bedingung (3.0: 85 Wenn x ein effizientes Potfolio vo Steuen ist und keine isikolose Anlage existiet, muss es die (3.7 und (3.8 gehochen. Übetagen auf den Nachsteuefall folgt aus ( Min x Σ ( x x 1 γ ˆ (5.4 und unte Beücksichtigung von (3.8 in Vebindung mit (3.15 ( ˆ ( ˆ ( x ρ 1 γ + x δ 1 τ = m > m x Ι= 1, 0, (5.5 wobei m ( m 0 eine gegebene Nachsteueendite eines Potfolios (des mit den Rückflüssen des Maktpotfolios unkoelieten Potfolios ist. Zugleich muss x vo Steuen Gewäh leisten, dass es positive Konstanten und z gibt, die den Bedingungen z1 Σ ( x ρ+δ= ( m x z ρ+δ z I= 0, 1 ( Die folgenden Ausfühungen sind angelehnt an König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S , de alledings nu den Fall vo Steuen beweist. Vgl. zu einem ähnlichen Vogehen Chen [Rules, 1986], S. 7-8.

23 0 folgen. 87 Anwendung des Lagangeansatzes 88 auf (5.4 und (5.5 liefet: Min x Σ ( ( γˆ 1 ρ γ ˆ + δ ( τˆ ( Ι x m > m 0 x 1 z x 1 x 1 m z x 1,. (5.7 Minimieung de Lagangefunktion nach Σ ( ˆ ( ˆ ( ˆ x füht zu x 1 γ z1 ρ 1 γ +δ 1 τ z Ι= 0. (5.8 Zu zeigen ist noch, dass wenn x effizient ist, auch das Potfolio x m mit de vogegebenen ewaten Rendite m unte de Bedingung (5.8 effizient ist. 89 Hiezu müssen neben den Ewatungsweten die Vaianzen von x und x m übeeinstimmen. 90 Ist x m effizient, so muss es in Analogie zu (5.8 die Anfodeungen Σ ( ˆ ( ˆ ( ˆ xm 1 γ zm1 ρ 1 γ +δ 1 τ zm Ι = 0, x = m m (5.9 efüllen. Duch Multiplikation von (5.9 mit x und x m findet man x Σ x ( m 1 ˆ zm1 m zm γ = + (5.10 und x Σ ( ˆ m x 1 γ = z m + z, (5.11 m m1 m woaus γ ˆ = Σ x ( 1 γ ˆ (5.1 x Σ x ( m 1 xm m folgt. Multipliziet man (5.8 mit x und x m, so esultiet m x 1 γ ˆ = x Σ x ( 1 γ ˆ. (5.13 x Σ ( Vgl. Black [Equilibium, 197], S. 448; Meton [Deivation, 197], S. 185; König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 66; ähnlich Long [axation, 1977], S. 45. Vgl. Meton [Deivation, 197], S. 185; Black [Equilibium, 197], S Vgl. dazu und im Folgenden fü den Fall vo Steuen König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S Andes fomuliet ist zu zeigen, dass wenn Anfodeung (5.8 zu effizienten Potfolios x füht, dies auch fü x zu gelten hat. m

24 1 Da die linken Seiten de Gleichungen (5.1 und (5.13 gleichgesetzt weden können ( γ ˆ = Σ x ( 1 γ ˆ, muss dies auch fü die echten Seiten gelten: x Σ x ( m 1 xm m x 1 γ ˆ = x Σ x ( 1 γ ˆ. (5.14 x Σ ( m Fomuliet in (5.14 ist die zu zeigende Identität de Vaianzen de Potfolios x und x m. Beweis von Bedingung (3.1: 91 Wenn ( x,x POR N + 1 ein effizientes Potfolio vo Steuen ist und eine isikolose Anlagemöglichkeit existiet, dann muss es die Bedingungen (3.7 und (3.9 efüllen. Übetagen auf den Nachsteuefall folgt aus (3.16 Min x Σ ( x x 1 γ ˆ (5.15 und unte Beücksichtigung von (3.9 in Vebindung mit (3.15 ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( x ρ 1 γ + x δ 1 τ + x 1 sa = m > m,. (5.16 x Ι+ x = 1 Zugleich muss ( vo Steuen Gewäh leisten, dass es positive Konstanten x,x POR + N 1 z1 und z gibt, die den Bedingungen Σ ( 1 x z ρ+δ z I= 0, z + z = 0, 1 ( x ρ+δ+ x = m (5.17 genügen. 9 De Lagangemultiplikato fü (5.15 und (5.16 ezeugt Min x Σ x ( 1 γˆ z ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( 1 x ρ 1 γ + x δ 1 τ + x 1 sa m z x Ι+ x 1 x m > m, (5.18 und liefet fü die Bedingungen este Odnung nach x Σ ( ˆ ( ˆ ( ˆ x 1 γ z1 ρ 1 γ +δ 1 τ z Ι= 0, ( De Beweis veläuft analog zu demenigen von (3.0. Vgl. König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 66, de den Nachweis nicht ausfüht. Vgl. Black [Equilibium, 197], S. 453; König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 66.

25 also (5.8, und nach x ( ˆ z 1 s z = 0. (5.0 1 a Analog zum Nachweis von (3.0 ist zu zeigen, dass ein gegebenes Potfolio ( x,x POR + mit de ewateten Rendite m effizient ist. Hiezu muss es (5.19 m m N 1 Σ ( ˆ ( ˆ ( ˆ xm 1 γ zm1 ρ 1 γ +δ 1 τ zm Ι = 0 x = m ( > m m (5.1 und (5.0 ( z 1 sˆ + z = 0 (5. m1 a m efüllen. 93 Multiplikation von (5.1 mit x und x m füht auf x Σ xm ( 1 ˆ zm1 ( m x zm ( 1 x γ = + (5.3 und x Σ ( ˆ ( ( m x 1 γ = z m x + z 1 x. (5.4 m m1 m Wendet man dieselbe Opeation auf (5.19 an, so esultiet m x 1 γ ˆ = x Σ x ( 1 γ ˆ. (5.5 x Σ ( Analog zu (5.14 ehält man die Identität de Potfoliovaianzen von x und x m. 93 Wie mit (3.5 voausgesetzt, enthält fü die Nachsteueendite auf die isikolose Anlage.

26 Anhang zu Abschnitt 3.. Beweis de Bedingungen (3. und (3.3: 94 3 Zu zeigen ist zunächst, dass wenn die echte Seite von (3. efüllt ist, x Eund x F ( γ, τ gilt. Wenn ein Potfolio x E ist und δ = a ρ+ b I gilt, dann muss es de Anfodeung (5.6 genügen. Nach Steuen folgt mit (5.19: Σ ( ˆ ( ˆ ( ˆ x 1 γ w1 ρ 1 γ +δ 1 τ w Ι= Σ ( ˆ ( ˆ ( ( ˆ x 1 γ w1 1 a b I 1 ρ γ + ρ+ τ w Ι= ( ( ( ( ( ( ( Σ x 1 γˆ w ˆ ˆ ˆ 1 ρ 1 γ+ a 1 τ + b I 1 τ w Ι= Σ ( ( x 1 γˆ w 1 γ+ ˆ a 1 τˆ ρ w + w b 1 τˆ Ι= Fü die Lagangemultiplikatoen w 1 und w ehalten wi: w w z 1 a = γ+ ˆ τ ( ˆ ( τˆ ( ˆ. (5.6. (5.7 z1 b 1 = z γ+ τ 1 ˆ a 1 Damit ist x F ( γ, τ, wenn duch geeignete a und b analog zu Nebenbedingung in (5.6 die Restiktion 95 ( ˆ ( ˆ x 1 x 1 0 ρ γ + δ τ >m (5.8 eingehalten wid. Inhaltlich fodet (5.8, dass die ewatete Nettoendite auf x, (3.15, göße sein muss als die Nettoendite auf das Minimum-Vaianz-Potfolio weitehin, dass wenn (5.6 und (5.7 efüllt sind, also x F (, γ τ und a ρ+ b m 0. Nachzuweisen ist x F ( γτ, ist, auch x E gilt. Wenn δ= I voausgesetzt wid, dann hat entspechend (5.6 zu gelten: Σ ( ˆ ˆ ( ˆ ( ( ( x 1 γ w 1 γ+ a 1 τ ρ w + w b 1 τˆ Ι= 0. ( Setzt man (5.7 in (5.9 ein, so esultiet nach einigen Umfomungen (5.6: Vgl. hiezu König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S Aufgund des hie zugundegelegten Steuesystems weicht diese von de Bedingung bei König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 74, deutlich ab.

27 1 Σ ( 1 γ+ ˆ a ( 1 τˆ ( τˆ ( ˆ ˆ ( ˆ 4 z x 1 γ 1 γ+ a 1 τ ρ ( ˆ ( ˆ z b 1 z + ( τˆ Ι= 1 γ+ ˆ a 1 τ 1 γ+ a 1 τ 1 1 z b 1. (5.30 z ( 1 γ+ ˆ a ( 1 τˆ z1 b ( 1 τ ˆ + z1 b ( 1 τˆ Σ x ( 1 γˆ z1 ρ Ι= 1 γ+ ˆ a ( 1 τˆ x 1 γˆ z ρ z Ι= 0 Σ ( 1 Gleichung (5.6 untescheidet sich von (5.30 duch den em ( 1 γ ˆ. Diese ist edoch insofen ielevant, als die Rangfolge de Potfolios nach de Nachsteue-Vaianz x Σ x ( 1 γ ˆ bei edem beliebigen Steuesatz ˆγ dieselbe ist. 96 Hiemit ist gezeigt, dass wenn (5.7 ehalten bleibt, x E efüllt ist, wobei a sowie b de Bedingung x Bewiesen weden muss umgekeht, dass wenn x Eund x F(, gültig bleibt. Dann müssen sich (5.30 und (5.6 gleichsetzen lassen Σ x ( 1 γˆ z1 ρ z Ι= Σ ( ˆ ( ˆ 1 ( ˆ woaus ( ˆ ( ˆ w1 ρ 1 γ +δ 1 τ + w Ι= z1 ρ+ z Ι ( ˆ ( ˆ ( w1 δ 1 τ =ρ z1 w1 1 γ + I z w ρ+ x δ> m 0 zu genügen haben. γ τ gilt, auch δ= a ρ+ b I x 1 γ w ρ 1 γ +δ 1 τ w Ι, (5.31 ( ˆ I ( ˆ ( ˆ z w 1 γ z w 1 1 δ=ρ + w1 1 τ w1 1 τ. (5.3 δ= a ρ+ b I ( ˆ, b ( ˆ ( ˆ z1 w1 1 γ z w mit a = = w 1 τ w 1 τ 1 1 folgt. Die Bestimmungsgleichung in (5.3 fü die Konstanten a und b lässt sich in (5.7 ü- beleiten, womit (3. und (3.3 nachgewiesen sind. 96 Vgl. Long [axation, 1977], S. 31 und S. 46. Mit andeen Woten könnte man den em in (5.6 ebenso gut einfügen wie man ihn in (5.30 venachlässigen kann.

28 5 Beweis von Bedingung (3.4: 97 Ausgegangen wid von einem Potfolio x E und einem beliebigen (nicht effizienten Potfolio y, so dass vo Steuen x Σ x = y Σy, x ρ+ x δ> y ρ+ y δ (5.33 gilt, woaus nach Steuen ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( x ρ 1 γ + x δ 1 τ > y ρ 1 γ + y δ 1 τˆ. (5.34 wid. Unte Rückgiff auf die Beziehung δ = a ρ+ b I egibt sich aus (5.34 unte de Annahme, dass die Einkommensteue keine Pogession unteliegt, mithin ˆτ geküzt weden kann, und fü kx = x ρ und ky = y ρ, dass x x ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ k 1 γ + x δ 1 τ > k 1 γ + y δ 1 τ y ( ˆ ( ( ˆ ( ˆ ( ( ˆ k 1 γ + x a ρ+ b I 1 τ > k 1 γ + y a ρ+ b I 1 τ y (5.35 ist. Da gemäß (3.8 x I=1 ist, folgt: ( ˆ ( ( ˆ ( ˆ ( ( ˆ k 1 γ + k a+ b 1 τ > k 1 γ + k a+ b 1 τ x x y y ( ˆ ( ( ( ˆ ( ( k 1 γ + k a 1 τ ˆ + b 1 τ ˆ > k 1 γ + k a 1 τ ˆ + b 1 τˆ x x y y x ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ k 1 γ + a 1 τ > k 1 γ + a 1 τ y ( x y ( ˆ ( ˆ k k 1 γ + a 1 τ > 0 Wenn voausgesetzt weden daf, dass kx ky > 0 ist, folgt fü a: ( ˆ 1 γ+ ˆ a 1 τ > 0 a > ( 1 ˆ. (5.36 γ ˆ 1 τ. (5.37 Mit (5.37 ist die untee Schanke fü a angegeben. Dass k x k y > 0 voausgesetzt weden kann, lässt sich aus de Fodeung y x ρ+ x δ> y ρ+ δ aus (5.33 zeigen. Aus ih esultiet: 97 Vgl. zum analogen Vogehen König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S

29 6 x x k + x δ> k + y δ y y kx I+ x I δ> ky I+ y I δ. (5.38 k I+ 1 δ> k I+ 1 δ ( k I> k I I k k > 0 x y x y Beweis von Bedingung (3.5: Die Nachsteueendite eines beliebigen Potfolios y ( ˆ ( ˆ y ρ 1 γ + y δ 1 τ (5.39 wid fü den Fall γ ˆ 1 a = zu ( 1 τˆ ( τˆ ( ˆ ( ( ˆ = ρ γ + ρ+ τ = y 1 y a b I 1 γ ˆ 1 y ρ ( 1 γ ˆ + y b I ( 1 ˆ ρ+ τ = ( 1 τˆ. (5.40 ( ˆ y = I 1 y b I 1 τ = b 1 Beweis de Behauptung Keht man in (3.4 das Ungleichheitszeichen um, so bleibt die Vosteue-Nachsteueeffizienz ehalten. auf S. 10: 98 Deht man in (5.37 das Ungleichheitszeichen um und geht die Schitte von (5.36 ückwäts duch, so keht sich auch fü die Nachsteueenditen de Potfolios x und y in (5.35 das Ungleichheitszeichen um. Folglich ist y effizient nach Steuen, wähend es x nicht meh ist. Aus (5.35 wid also: x ( ˆ ( ( ˆ ( ˆ ( ( k 1 γ + x a ρ+ b I 1 τ < k 1 γ + y a ρ+ b I 1 τˆ. (5.41 y Da Potfolios vosteue-effizient sind, wenn sie nach Steuen effizient bei Steuesätzen in Höhe von 0 sind, liefet (5.41 fü die Beziehung de Vosteue-Renditen 98 Ähnlich agumentiet König [Kapitalmaktgleichgewicht, 1990], S. 78, alledings fü die Untegenze des Paametes a und ohne Beweis.

30 x ( y ( 7 k + x a ρ+ b I < k + y a ρ+ b I, (5.4 so dass y die Effizienzeigenschaft nach Steuen auch vo Steuen nicht veliet. Ableitung von Bedingung (3.7: Fü die de Pogession unteliegenden Steuesätze ˆτ x und ˆτ y egibt sich aus (5.36 ( ˆ ( ( ˆ ( ˆ ( ( ˆy k 1 γ + k a+ b 1 τ > k 1 γ + k a+ b 1 τ x x x y y ( kx ky ( 1 γ ˆ > ( ky a+ b ( 1 τˆy ( kx a+ b ( 1 τˆx (5.43 Anhang 3 zu Abschnitt 3..3 Beweis de Bedingungen (3.8 und (3.9: Zu zeigen ist zunächst, dass wenn die echte Seite von (3.8 efüllt ist, ( ( ( γ ˆ ŝ δ= a ρ I + a I gilt, dann muss es de Anfodeung (5.17 genügen. Nach x,x ˆ ˆ ˆ E und x,x F γ, τ,sa gilt. Wenn ein Potfolio x E ist und fü die Dividendenendite ( Steuen folgt mit (5.19: ( 1 τˆ Σ ( ˆ ( ˆ ( ˆ x 1 γ w1 ρ 1 γ +δ 1 τ w Ι= γ ˆ ŝ a x 1 γˆ w ˆ 1 ρ 1 γ + a I I ( 1 ˆ ρ + τ w Ι= ( 1 τˆ Σ ( ( ( Σ ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( ( ˆ ˆ 1 1 a 1 ( ˆ x 1 γ w 1 γ+ a 1 τ ρ w γ s + w w a 1 τ I= 0 Die Paamete z 1 und z aus (5.19 sind also: 1 1 ( ˆ ( ˆ z = w 1 γ+ a 1 τ ( ( 1 a 1. (5.44 z = w γ ˆ sˆ + w w a 1 τ. (5.45 ˆ Sie müssen Gewäh leisten, dass aus de Bedingung z1 + z = 0 aus (5.17 die analoge Fodeung nach Steuen (5.0 wid. Einsetzen von (5.45 in (5.0 liefet: z + z = 1 (( ˆ ( ˆ ( ˆ ˆ ( w 1 γ + a 1 τ + w γ s + w w a 1 τ ˆ =. ( a 1 ( ˆ w 1 s + w = 0 1 a

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