Vorlesungsskript zur Strömungstechnik, Prof. Dr.-Ing. Janusz A. Szymczyk. Vorlesungsskript. Begleitend zur Vorlesung.

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1 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Vorlesungsskrt Begletend zur Vorlesung trömungstechnk Prof. Dr.-Ing. J.. zymczyk Dl.-Ing. (FH) Paul. Chr. Zelke Fachgebet für trömungslehre und trömungsmaschnen FH tralsund, FB Maschnenbau tand:.3.8

2 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Inhaltsverzechns. Gasdynamk trömung komressbler Meden Grundbedngungen Thermodynamsche Bezehungen Erhaltungssätze für sentroe trömungen De challgeschwndgket usströmen aus enem Kessel Begrenzung der ustrttsgeschwndgket Druck, Temeratur und Dchte Druck, Temeratur und Dchte als Funkton der Mach-Zahl Krtsche Verhältnsse usströmgeschwndgket Ruhegrößen, Gesamtgrößen Überschallströmungen de Laval-Düse uslegung von Laval-Düsen Betrebszustände der Laval-Düse uslegungszustand, rene Unterschallströmung und gerade challgeschwndgket m engsten Querschntt Ncht-angeasste Überschalldüsen Konstruktve Gestaltung von Lavaldüsen enkrechter Verdchtungsstoß Änderung der trömungsgrößen über den toß Änderung der Ruhegrößen über den toß Krtsche Mach-Zahl Ma* Enfluss von Wärmezu- und abfuhr auf de trömung Weterführendes zur Mach-Zahl...9

3 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Lteraturhnwese Zum weterführenden elbststudum se auf folgende Lteratur hngewesen. E. Becker; Technsche Thermodynamk H. egloch; Technsche Fludmechank U. Ganzer; Gasdynamk H. Herwg; trömungsmechank Verwendete Formelzechen und ymbole a...challgeschwndgket [m/s]...querschnttsfläche [m ] c... sezfsche sobare Wärmekaaztät [J/(kg K)] c V... sezfsche sochore Wärmekaaztät [J/(kg K)] h...sezfsche Enthale [J/kg] H...Enthale [J] I...Imulsstrom [N] Ma...Mach-Zahl [-] m...massenstrom [kg/s]...druck [Pa]... dmensonsloser Druck [-] v... Druckverluste [Pa] R... sezelle Gaskonstante [J/(kg K)] s...sezfsche Entroe [J] T...Temeratur [K] u... sezfsche Innere Energe [J/kg] U... Innere Energe [J] V... Volumen [m 3 ] 3

4 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk V...Volumenstrom [m 3 /s] w...geschwndgket [m/s] w t... sezfsche technsche rbet [m /s ]...Isentroenexonent [-] Θ... (Massen-)tromdchte [kg/(m s)] Θ'...dmensonslose (Massen-)tromdchte [-] Ψ... Durchflussfunkton [-] ρ... Dchte [kg/m 3 ] Indzes und ostroherungen ^... nach dem toß *... krtsche Größe... entdmensonert...ruhegröße E...m ustrtt f... fktve Größe,j...belebge Poston... an der Poston des Verdchtungsstoßes u... Umgebung Formelsammlung Ene Zusammenfassung aller wchtgen Formeln und Dagramme steht n Form ener searaten Formelsammlung zur Verfügung. Dese kann unter htt:// heruntergeladen werden. 4

5 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk. Gasdynamk trömung komressbler Meden.. Grundbedngungen De betrachtete trömung soll folgende Bedngungen erfüllen:. horzontale trömung, also z const.. kene Energezufuhr, also w t, 3. adabate trömung, also q 4. rebungslose trömung, also q v ρ bhängge Varablen: a) nkomressble trömung - w, f(x) b) komressble trömung - w,, ρ f(x).. Thermodynamsche Bezehungen Thermsche Zustandsglechung des dealen Gases (deales Gasgesetz) (.-) Isentroenbezehung: (.-) 5

6 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Kalorsche Zustandsglechungen Innere Energe: u u(t,) u cv T konst. (.-3) Enthale h h( T, ) h c T konst. (.-4) Entroe s s( T, ) (.-5) Zwschen sez. Enthale und sez. nnerer Energe gelten folgende Bezehungen. (.-6) (.-7) us der Thermodynamk snd folgende Zusammenhänge bekannt: (.-8) Daraus kann en für de weteren Berechnungen nützlcher usdruck für c abgeletet werden. Es st (.-9) und damt 6

7 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk 7 (.-) Grundsätzlch lässt sch jede Zustandsgröße durch zwe andere ZG darstellen. Unter der Voraussetzung, dass de Zustandsänderungen sentro verlaufen, erhält man enen atz nützlcher Verhältnsglechungen, de man auch Istentroebezehungen nennt. usgangsunkt st de Isentroenbezehung ρ ρ j j. (.-) daraus ergbt sch sofort das Dchte-Druck-Verhältns und mt Hlfe des dealen Gasgesetzes T R ρ (.-) wetere Bezehungen. Danach st - j j T T ρ ρ, - j j T T, ρ ρ j j, (.-)

8 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk.3. Erhaltungssätze für sentroe trömungen In der Gasdynamk wrd von folgenden Erhaltungssätzen Gebrauch gemacht:. Massenerhaltungssatz (Kont-Glechung). Imulserhaltungssatz 3. Energeerhaltungssatz. Massenerhaltungssatz ṁ ρ w konst. ρ w ρ w j j j (.3-) Be nkomressblen Meden kann der Massenerhaltungssatz wegen ρ ρ auch als V. w konst. w w j j geschreben werden. Imulserhaltungssatz: I & aus I& en I& ρ w F ext (.3-) Energeerhaltungssatz De Bernoull - Glechung (Energeblanz) für nkomressble Flude lautet: w g z konst. ρ 8

9 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Da de Gasmasse auf hrem Wege komrmert wrd oder exanderen kann, ändert sch de Temeratur des Gases. Dadurch kommt es zur Änderung der nneren Energe, was n der Bernoull - Glechung ncht berückschtgt wurde. ufgrund der gerngen Dchte der Gase kann m llgemenen de otentelle Energe vernachlässgt werden, d.h. z. De Energeglechung für komressble trömungen lautet damt: w u konst. ρ Mt der Defnton der Enthale, Gl. (.-6) wrd daraus w h konst. Ersetzt man de Enthale noch durch (.-4), erhält man de üblche darstellung des Energeerhaltungssatzes: w c T konst. (.3-3) Nmmt de Geschwndgket n trömungsrchtung zu (ab), so nmmt de Temeratur ab (zu). 9

10 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk.4. De challgeschwndgket In enem komressblen Medum breten sch Druckstörungen mt endlcher Geschwndgket aus. De Fortflanzungsgeschwndgket klener Druckstörungen nennt man challgeschwndgket. De mt der challausbretung verbundenen Zustandsänderungen erfolgen sentro. De Verdchtung enes Gases be ener Exloson st dagegen ncht verlustlos, und hre usbretungsgeschwndgket st größer als de des challs. Zur Bestmmung der challgeschwndgket wollen wr uns vorstellen, dass de törung der Zustandsgrößen durch de lötzlch ensetzende Bewegung enes Kolbens n enem Rohr hervorgerufen wrd (bbldung.4-). bbldung.4-: Klene törung der Zustandsgrößen (nstatonäre Betrachtung) Der Kolben wrd von rechts nach lnks n das Rohr mt der Geschwndgket -dw hnengeschoben. In unmttelbarer Nähe der trnfläche des Kolbens wrd das Medum um dρ verdchtet und der Druck um d erhöht; das Medum bewegt sch mt der glechen Geschwndgket -dw we der Kolben. De Verdchtung wrd sch über ene törungsfront n das ruhende Medum hnen fortflanzen. Es kann gezegt werden, dass be konstanter Bewegung des Kolbens das Medum m Berech zwschen Kolben und törungsfront überall glechmäßg verdchtet wrd und sch mt der Geschwndgket -dw bewegt. Wr wollen nun de Laufgeschwndgket a deser törwelle ermtteln. Das vorgeschlagene trömungsmodell lefert jedoch enen nstatonären trömungsvorgang, den wr mt den bekannten Erhaltungssätzen für statonäre endmensonale trömungen ncht ohne weteres beschreben können. Durch enen

11 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Wechsel des Bezugssystems gelangt man jedoch lecht zu enem statonären trömungsvorgang. nstatt dass der Beobachter sch außerhalb des Rohres befndet, bewegt er sch jetzt mt der Wellenfront. Für desen Beobachter strömt das ungestörte Medum mt der Geschwndgket a von lnks auf hn zu mt der Geschwndgket a-dw nach rechts von hm fort. Das trömungsmodell nmmt damt folgendes ussehen an: bbldung.4-: Klene törung der Zustandsgrößen (statonäre Betrachtung) uf dese Wese entsteht en statonärer trömungsvorgang, den wr mt den bekannten Erhaltungssätzen für Masse und Imuls beschreben können. bbldung.4-3: Betrachtung der Imuls- und Massenblanz über den Wellenfrontberech Nun seht der Beobachter von lnks Flud mt der Dchte ρ und der Geschwndgket a enströmen und auf der rechten ete mt der Dchte ρdρ und der Geschwndgket a-dw ausströmen. Zuerst wrd de Imulsblanz Kraft zetlche Änderung des Imulses für vernachlässgbare Wandrebungseffekte (aufgrund der nfntesmal klenen Länge der Wellenfront) hergeletet. I & aus I& en F ext (.3-)

12 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Der Röhrenquerschntt m En- und ustrtt kann aufgrund der nfntesmal klenen Länge der Wellenfront als konstant angesehen und säter gekürzt werden. Ensetzen der Werte ergbt: Damt und mt dem usdruck für de externen Kräfte

13 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk engesetzt n den Imulserhaltungssatz erhalten wr enen dfferentellen usdruck für de Imulsblanz: ( dρ) ( a dw ) ρ a d ρ. (.4-4) De Kontnutätsglechung (für konstanten Röhrenquerschntt, d.h. en aus ) lautet: Es wrd nach (a-dw) umgeformt ρ a a dw, (.4-5) ρ dρ und deser usdruck für de dfferentelle Massenblanz n de Imulsblanz (.4-4) engesetzt. 3

14 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Nun wrd ρ a ausgeklammert und elementar umgeformt: Für sehr klene Druckstörungen (schwache Druckwelle) glt (ρ dρ)/ρ ~ bzw. dρ/ρ und es folgt somt aus der Imulsblanz und der Kontnutätsglechung: d a dρ (.4-6) Klene Druckstörungen verlaufen sentro, so dass de Isentroenbezehung const. ρ (.-) herangezogen werden kann. Bede eten werden dfferenzert 4

15 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Man erhält nach Umformung De lnke ete wrd durch (.4-6) ersetzt und man erhält damt: a ρ (.4-7) Mt der thermschen Zustandsglechung für deale Gase ρ R T (.-) wrd daraus: a R T bzw. a R T (.4-8) Ebene, schwache Druckwellen breten sch n enem ruhenden Flud mt challgeschwndgket aus. us (.4-8) lässt sch zudem noch ene Verhältnsglechung zwschen Temeratur und challgeschwndgket angeben. Es st a T. (.4-9) a j T j Mt j T Tj (.-) st außerdem a a j j. (.4-) 5

16 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk.5. usströmen aus enem Kessel.5. Begrenzung der ustrttsgeschwndgket bbldung.5-: usströmen aus enem Kessel Zum Verständns der trömungsvorgänge soll en enfaches Besel betrachtet werden: Ideales Gas strömt aus enem Kessel n de Umgebung. uch wenn m vorlegenden Besel exlzt de Größen m ustrtt untersucht werden, so gelten de hergeleteten Formeln ganz allgemen für jeden belebgen Querschntt () zwschen Kessel () und ustrtt (E). Für den ustrtt glt somt () ˆ (E). De Mündung, durch de das Gas n der folgenden Betrachtung n de Umgebung strömt, kann dabe entweder en enfaches Loch sen, oder aber en sch stetg verjüngender Querschntt (konvergente Düse). Der Endquerschntt der Mündung st der ustrttsquerschntt E. Der Gaszustand m Kessel st durch de Werte, ρ, und T gegeben. Da m Kessel Ruhe herrscht (w ), srcht man statt von Kesselzustand auch von Ruhezustand und somt von Ruhedruck, Ruhedchte und Ruhetemeratur. Gesucht snd de usströmgeschwndgket w E und de Werte ρ E und T E des Gases m ustrttsquerschntt be vorgegebenem Umgebungsdruck u ( Gegendruck). Dabe wrd davon ausgegangen, dass m vorlegenden Fall das Gas auf Umgebungsdruck entsannt wrd, d.h. E u. 6

17 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Es st zunächst zweckmäßg, den sch be enem gegebenen Druckverhältns E / enstellenden austretenden Massenstrom zu berechnen. Der Massenstrom st (.3-) De Energeglechung zwschen dem Kesselnneren mt der Geschwndgket w und der ustrttsöffnung (E) lautet Nach w E Umgestellt erhält man: (.5-) Es wrd T ausgeklammert und c nach (.-) engesetzt. Der usdruck R T wrd mt Hlfe des dealen Gasgesetzes ersetzt und T E /T durch (.-) Damt kann man de ustrttsgeschwndgket als Funkton von Kesselgrößen und Gegendruck u E darstellen. (.5-) De Dchte ρ E n obger Gl. (.3-) ersetzen wr durch 7

18 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk (.-) Der Massenstrom ergbt sch somt nach enem bsschen Kosmetk zu (.5-3) Mthlfe der Durchflussfunkton Ψ E (.5-4) kann der Massenstrom überschtlcher dargestellt werden. m& ρ Ψ E E ΨE konst. (.5-5) Da bem ustrtt aus dem Kessel, ρ und E konstant snd, st der Massenstrom drekt roortonal zu Ψ E. Der Zusammenhang zwschen Massenstrom m und Druckverhältns E / kann damt anhand der Durchflussfunkton, dargestellt n bbldung.5-, dskutert werden. Dabe soll der Ruhedruck konstant gehalten und durch en bsenken des Gegendrucks u E der Massenstrom engestellt werden. 8

19 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk bbldung.5-: Durchflussfunkton Ψ E n bhänggket vom Druckverhältns E / nach (.5-4) Be enem Druckverhältns von E / st der Massenstrom glech null, da Kesselnnendruck und Gegendruck u E glech snd und somt ken ntreb für de trömung besteht. Mt stegendem Druckuntersched nmmt das Druckverhältns ab und der Massenstrom erwartungsgemäß zu. Be enem bestmmten Druckverhältns st m * / bezechnet werden. maxmal. Deses Druckverhältns soll mt Unklar st jedoch, dass be weter abnehmendem Druckverhältns nun der Massenstrom abnehmen soll, bs er be maxmaler Druckdfferenz (ustrtt ns Vakuum, E / ) ganz verschwndet. Das würde bedeuten, dass en usströmen ns Vakuum ncht möglch sen sollte, was aller exermentellen Erfahrung wdersrcht. Folglch kann Gl. (.5-3) ncht unengeschränkt gelten. Tatsächlch kann man exermentell zegen, dass der Massenstrom nur bs zum sogenannten krtschen 9

20 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Druckverhältns * / der theoretschen Kurve entsrechend der Durchflussfunkton n bbldung.5- folgt. Ene wetere bsenkung des Druckverhältnsses hat kene wetere Zunahme des Massenstroms zur Folge. Es st aufschlussrech, neben dem Verlauf der Durchflussfunkton auch de Geschwndgket zu betrachten. Da es ncht snnvoll st, de Geschwndgket als solche n m/s zu betrachten, bezehen wr se auf de challgeschwndgket. Deses Verhältns von Geschwndgket zu challgeschwndgket wrd als Mach-Zahl Ma nach dem Physker Ernst Mach bezechnet und stellt ene wchtge dmensonslose Kennzahl der Gasdynamk dar. Es st defntonsgemäß (.5-6) Mt der challgeschwndgket nach (.4-8) und der Geschwndgket nach E w E (.5-) ρ erhält man

21 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Ersetzt man nun T /T E durch den folgenden usdruck (.-) erhält man und schleßlch (.5-7) Der korrgerte Verlauf der Durchflussfunkton Ψ E st zusammen mt dem der Mach- Zahl n bbldung.5-3 dargestellt. De Machzahl m ustrttsquerschntt stegt dabe mt abnehmendem Druckverhältns bs auf Ma E an. Da ab desem Punkt be weterer bsenkung des Druckverhältnsses der Massenstrom konstant blebt, folgt aus (.5-3) dass der Druck E n der ustrttsöffnung E ebenfalls konstant be E * blebt. omt bleben gemäß den sentroen Verhältnsglechungen (.-) auch Dchte und Temeratur konstant und mt (.4-8) ebenfalls de challgeschwndgket a E. uch de Geschwndgket w E blebt konstant. Wenn sch Geschwndgket und challgeschwndgket ncht ändern, kann sch auch de Mach-Zahl ncht ändern und verblebt somt be Ma E.

22 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk bbldung.5-3: korrgerte Durchflussfunkton und Mach-Zahl n bhänggket vom Druckverhältns Um den usströmvorgang vollständg zu erörtern, gehen wr zurück zur Defnton des Massenstromes; deser war defnert als m& ρ w E E E (.3-) Dabe kann man das Produkt aus Dchte und Geschwndgket zur sogenannten Massenstromdchte, oder kurz tromdchte Θ, zusammenfassen. Es st somt m & Θ (.5-8) E E De tromdchte hat de Enhet [kg m - s - ] und entsrcht der ro Zetenhet durch de Flächenenhet fleßende Masse. omt st se en Maß für den Raumbedarf der trömung. In der trömungsmechank dskutert man gewöhnlch dmensonslose Größen. o wurde de Geschwndgket beselswese durch Dvson mt der

23 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk challgeschwndgket entdmensonert. Das Ergebns war de dmensonslose Geschwndgket, de Mach-Zahl Ma. In desem nne wrd auch de tromdchte entdmensonert, ndem man se durch Ruhedchte ρ und de theoretsch maxmal möglche Geschwndgket w max als Referenzgeschwndgket dvdert. Dazu muss w max zuerst defnert werden. etzt man n (.5-) de Temeratur T zu null, erhält man de theoretsch maxmal möglche Geschwndgket (.5-9) Dese Geschwndgket w max stellt de Geschwndgket bem ustrtt n en Vakuum be vollständger Umwandlung der Enthale des Gases n knetsche Energe dar und kann über der challgeschwndgket legen. (Das Errechen von w max st mt der bsher untersuchten ren konvergenten Düsengeometre ncht möglch; de des theoretsch möglch machende Düsenform st Gegenstand von Katel.6). De (dmensonslose) Massenstromdchte Θ E st somt Mt Hlfe von (.-) wrd das Dchteverhältns durch das Temeraturverhältns ausgedrückt. (.5-) 3

24 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Durch umstellen von (.5-) und (.5-9) nach T E bzw. T erhält man für T E /T (.5-) Das engesetzt n (.5-) lefert den gesuchten usdruck für Θ' E (.5-) Glechung (.5-) lefert mt (.-) enen usdruck für das Druckverhältns E / (.5-3) Der Verlauf von lokaler tromdchte Θ und lokalem Druckverhältns / st n bbldung.5-4 dargestellt. De Postonsbezechnungen () und (E) entsrechen denen n bbldung

25 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk bbldung.5-4: tromdchte Θ' und Druckverhältns / nach Gln. (.5-) und (.5-3) Der usströmvorgang durch ene konvergente Düse kann mthlfe von bbldung.5-4 we folgt beschreben werden. usgehend vom Ruhezustand / nmmt das Druckverhältns / n Rchtung zum ustrttsquerschntt E stetg ab. Be dem krtschen Druckverhältns * / west de tromdchte en Maxmum mt Θ * auf. Be unkrtscher Betrachtung würde entsrechend dem Dagramm de tromdchte nun mt weter snkendem Druckverhältns bs auf Θ E m ustrttsquerschntt absnken. us dem Dagramm geht hervor, dass de tromdchte zwschen Kessel () und ustrtt (E) an ener telle en Maxmum Q * hätte aufwesen müssen, wobe entsrechend der Kontnutätsglechung dort der Düsenquerschntt mnmal wäre. Deser achverhalt st n der folgenden bbldung.5-5 dargestellt. 5

26 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk bbldung.5-5: chema der Düsengeometre. De Mündung müsste zwschen Kessel und ustrtt enen mnmalen Querschntt aufwesen, was gegen de gemachte nnahme ener stetgen Querschnttsverjüngung verstößt Da be den gegenwärtgen Betrachtungen jedoch ene konvergente Düsengeometre vorausgesetzt wrd, st deser Fall unmöglch. Was tatsächlch assert, wurde schon be der Betrachtung der Durchflussfunkton Ψ E erläutert. Zusammenfassend kann man sagen, dass das usströmen enes Gases aus enem Kessel durch ene stetg konvergente Mündung maxmal mt challgeschwndgket m ustrttsquerschntt erfolgen kann. Deser Zustand wrd auch krtscher Zustand genannt und durch en ternchen (*) oben an den entsrechenden Größen gekennzechnet. Der ustrtt aus enem Kessel kann nun abschleßend anhand von bbldung.5-6 folgendermaßen charaktersert werden. Es lassen sch dabe dre Fälle unterscheden:. Das Druckverhältns u / >,58 st unterkrtsch, d.h. u > *. De trömung m ustrtt verläuft mt Unterschall, d.h. überall Ma <, und das Gas wrd auf Umgebungsdruck E u entsannt. Veränderung von u E beenflusst de ustrttsgeschwndgket w E. (sehe bbldung.5-6a). Das Druckverhältns u /,58 st gerade krtsch, d.h. u * und de trömung m ustrtt verläuft mt Ma E. Das Gas wrd auf u E * entsannt und de ustrttsgeschwndgket w E w * st glech der challgeschwndgket a E a *. (sehe bbldung.5-6a) 6

27 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk 3. Das Druckverhältns u / <,58 st überkrtsch, d.h. u < *, De trömung m ustrtt verläuft weterhn mt Ma E und der Druck m ustrtt E entsrcht dem krtschen Druck *. Das Gas erfährt nach dem ustrtt n de Umgebung ene Nachexanson auf u. Der trahl wetet sch dabe nach der Düse schlagartg auf. ufgrund der Träghet des Gases kommt es zu enem Unterdruck m trahlnneren und er wrd weter stromab weder zusammengedrückt. Deser Vorgang hält solange an, bs de Überdruckenerge durch Rebung aufgezehrt st. Varaton von u hat kenen Enfluss auf de ustrttsgeschwndgket w E w *, welche der challgeschwndgket a E a * entsrcht, da dese nur von den Kesselgrößen abhängt. (sehe bbldung.5-6b) bbldung.5-6: chematsche Darstellung der usströmung aus enem Kessel 7

28 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk 8.5. Druck, Temeratur und Dchte De gebräuchlchsten Zusammenhänge zwschen Druck, Temeratur und Dchte n Verbndung mt dem Kesselzustand snd her gemäß (.-) und (.4-) noch enmal zusammengefasst. ρ ρ T T T T ρ ρ a a (.5-4) Der grafsche Verlauf der Größenverhältnsse (.5-4) st n bbldung.5-7 dargestellt.

29 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk bbldung.5-7: trömungsgrößen nach (.5-4) als Funkton des Druckverhältnsses für den Unterschallberech bem usfluss aus dem Kessel für,4.5.3 Druck, Temeratur und Dchte als Funkton der Mach-Zahl Durch Umstellen von Ma (.5-7) st es sofort möglch, das Druckverhältns / als Funkton der Mach-Zahl darzustellen. Ma (.5-5) 9

30 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk us den sentroen Verhältnsglechungen (.-) folgen de entsrechenden usdrücke für Temeratur, Dchte und challgeschwndgket bezogen auf de Kesselgrößen. T T Ma ρ ρ Ma (.5-5) a a Ma Der Verlauf deser Verhältnsse st n bbldung.5-8 dargestellt. bbldung.5-8: trömungsgrößen nach (.5-5) als Funkton der Mach-Zahl für den Unterschallberech bem usfluss aus dem Kessel für,4 3

31 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk.5.4 Krtsche Verhältnsse etzt man n de obgen Glechungen (.5-5) Ma und,4 en, erhält man de krtschen Verhältnsse. T *,833 T *,58 (.5-6) * ρ ρ,634 a *,93 a.5.5 usströmgeschwndgket Zwe Formeln zur Berechnung der usströmgeschwndgket wurden m Zusammenhang mt der Herletung der usströmgeschwndgket w E schon hergeletet: w E c ( T T ) (.5-) E und E w E. (.5-) ρ Ebenfalls ausgehend von der Energeglechung zwschen () und (E) (sehe bbldung.5-) kann ene wetere Form deser Formel hergeletet werden. 3

32 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk usgangsunkt st weder der Energeerhaltungssatz (.3-3) der mt w sofort nach enfachem Umstellen enen Zusammenhang zwschen Temeratur T E, Kessel(Ruhe-)temeratur T und Geschwndgket w E lefert. (.5-7) De Temeratur, ausgedrückt durch das deale Gasgesetz und c P nach (.-) (.-) engesetzt n (.5-7) lefert: Mt der umgeformten sentroen Verhältnsglechung (.5-5) wrd de Ruhedchte ρ ersetzt, R wrd gekürzt und de lnke ete mt E / E erwetert: 3

33 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Nun wrd nach w E umgeformt: (.5-8) Dese Glechung st auch unter dem Namen ant-venant-wanzel-glechung bekannt. e wurde 839 von De ant Vernant und Wenzel gefunden und stellt de lokale trömungsgeschwndgket als Funkton von lokaler Dchte ρ und lokalem Druck sowe dem Ruhedruck dar. Daraus lässt sch noch ene wetere Form gewnnen. etzt man (.4-7) n (.5-8) en, erhält man w a (.5-9) 33

34 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Ersetzen von a durch (.5-4) lefert (.5-) und schleßlch w a (.5-) Enen onderfall stellt der ustrtt ns Vakuum, d.h. und T, dar. De ustrttsgeschwndgket wrd, we schon angesrochen, als Maxmalgeschwndgket w max bezechnet. We auf ete 3 hergeletet wurde, st (.5-9) De auf w max bezogene Geschwndgket w ergbt sch dann mt (.5-) zu (.5-) 34

35 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk.5.6 Ruhegrößen, Gesamtgrößen De Ruhegrößen und hre Bezehung zu den statschen Zustandsgrößen ener trömung snd folgendermaßen zu erklären: Man stellt sch vor, dass ene trömung n jedem Punkt des trömungsfeldes sentro aufgestaut (sehe bbldung.5-9) werden könnte und bezechnet de Zustandsgrößen, de man dann nach vollzogenem ufstau erhalten würde (also be der Geschwndgket w ) als Ruhe- oder Gesamt-Zustandsgrößen. uf deser Grundlage ermttelt man enen Ruhe- oder Gesamtdruck, ene Ruhe- oder Gesamtdchte ρ, ene Ruhe- oder Gesamttemeratur T usw. bbldung.5-9: kzze des sentroen ufstauens der trömung m tauunkt Der statsche Druck lässt sch enfach über ene Wandbohrung, der Gesamt- oder Ruhedruck mt Hlfe enes Ptot-Rohres bestmmen. De statsche Temeratur T st ener enfachen Messung ncht zugänglch und wrd n der Regel über de m tauunkt gemessene Ruhetemeratur T und de trömungsgeschwndgket w berechnet. De Energeglechung für enen sentroen ufstau lautet (.5-3) wobe de naloge zur Berechnung des Gesamtdruckes be ener nkomressblen trömung sofort ns uge fällt: 35

36 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk De Bezechnung des Terms w /c n Gl. (.5-3) mt dynamscher Temeratur st n desem Fall jedoch ncht üblch. Wll man de statsche Temeratur drekt messen, so muss sch das Thermometer mt der trömung mtbewegen. Deser achverhalt st n bbldung.5- dargestellt. bbldung.5-: Mt der trömung bewegtes Messgerät zur Messung statscher Zustandsgrößen Im Folgenden sollen enge wchtge Zusammenhänge zwschen den statschen und Gesamt-Zustandsgrößen und der Mach-Zahl Ma, ausgehend von der Energeglechung (.5-3), hergeletet werden. us c c v R und c /c v folgt: Weterhn glt: 36

37 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk (.5-4) Damt n Gl. (.5-3): Mt (.5-7) folgt a a Ma bzw. a Ma a Der Zusammenhang zwschen den statschen Zustandsgrößen ener trömung und den entsrechenden Ruhegrößen kann somt allen durch de Mach-Zahl beschreben werden. ls nächstes betrachten wr den Zusammenhang zwschen der challgeschwndgket und der Temeratur des Gases. De usdrücke a (-) c T und a (-) c T n (.5-5) engesetzt ergeben Damt folgt sofort das Verhältns der Ruhetemeratur zur statschen Temeratur: 37

38 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Mt den Isentroe-Bezehungen (.-) lassen sch wetere enfache Verhältnsse aufstellen: und Das snd de glechen Zusammenhänge, we se schon n Ka..5.3 hergeletet wurden für den ustrtt aus dem Kessel. Demnach snd Kesselzustand und Ruhezustand glechwertg. In der Praxs st vor allem de Bezehung für das Druckverhältns von Bedeutung. Damt lässt sch über Druckmessungen de Mach-Zahl ener trömung ermtteln. Der Gesamtdruck wrd über en taurohr gemessen, der statsche Druck über Wandbohrungen, wobe de Wand arallel zur nströmung legt. De Bestmmung der Mach-Zahl erfolgt über de schon bekannte Bezehung Ma. (.5-7) 38

39 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk.6. Überschallströmungen de Laval-Düse Bs herher wurde der ustrtt aus enem Kessel durch ene konvergente, d.h. sch stetg verengende oder durch ene enfache Öffnung konstanten Querschntts betrachtet. We gezegt wurde, kann be ener derart geformten Mündung m ustrttsquerschntt maxmal challgeschwndgket herrschen. Es soll nun untersucht werden, unter welchen Voraussetzungen be sentroer trömung Geschwndgketen größer als de challgeschwndgket errcht werden können. En Hnwes lefert schon de Dskusson der (dmensonslosen) tromdchte Θ'. Der Verlauf st her noch enmal dargestellt. bbldung.6-: dmensonslose tromdchte Θ und Druckverhältns / be sentroer trömung Es se an deser telle noch enmal angemerkt, dass de tromdchte en Maß für den Raumbedarf der trömung darstellt. We man n bbldung.6- erkennt, st der Raumbedarf m krtschen Zustand der trömung mnmal, d.h. der Querschntt an deser telle ebenfalls mnmal. Wll man de trömung über desen Punkt hnaus 39

40 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk weter beschleungen, so muss man dem nun zunehmenden Raumbedarf der trömung Rechnung tragen und den trömungsquerschntt erwetern. Nur so st es möglch, trömungsgeschwndgketen mt Ma > zu errechen. chematsch st de Düsenform n bbldung.6- dargestellt. bbldung.6-: Konvergent-dvergente Düse zum Errechen von Überschallgeschwndgketen Ene solche Düse nennt man LVL-Düse. e geht auf den schwedschen Damfturbnenoner de Laval (845-93) zurück. Er erkannte, dass man Düsen, n denen Damf durch Exanson möglchst stark beschleungt werden soll, zuerst verengen und anschleßend erwetern muss. Nur so st es möglch, de Exanson n der Düse unter den krtschen Druck weterzuführen und de Geschwndgket auf Überschall zu beschleungen. ber auch dese neue Düsengeometre ändert nchts an der Beschränkung des maxmalen Massenstroms durch de Düse. Ist der krtsche Zustand erst enmal m engsten Querschntt errecht, hat weteres bsenken des Gegendrucks kenen Enfluss auf den Massenstrom, da de krtsche Dchte ρ * und de Geschwndgket w * a * nur von den Ruhegrößen abhängen. 4

41 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk bbldung.6-3 zegt de Entwcklung der trömungsgrößen und des Querschnttes ener tromröhre m Unter- und Überschall für de sentroe trömung. bbldung.6-3: Änderung der trömungsgrößen und des Querschnttes be sentroer trömung 4

42 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk.6. uslegung von Laval-Düsen Zunächst muss geklärt werden, was mt dem uslegen ener Laval-Düse gement st. ufgabe ener Laval-Düse st es, ene Gasströmung möglchst effzent, d.h. mt mnmalen Verlusten und mnmalem Energeaufwand, auf Überschallgeschwndgket (Ma E > ) zu beschleungen. Vernachlässgt man Wandrebungsverluste, so bedeutet dass. zum enen ene stetge, sentroe Zustandsänderung des Gases nnerhalb der Lavaldüse und. zum anderen, dass sch das Gas vom Ruhedruck auf den Umgebungsdruck u m ustrttsquerschntt E der Laval-Düse entsannen kann, so dass glt: E u. In desem Fall st das Gegendruckverhältns u / an das Flächenverhältns * / E angeasst. tmmen bede Drücke ncht überen, kommt es außerhalb der Düse entweder zur Nachkomresson ( E < u ) oder Nachexanson ( E > u ) des Gases (bedes ansentro), was mt zusätzlcher Dssaton verbunden st. In der Regel st de Geometre ener auszulegenden Laval-Düse, mt dem ustrttsquerschnttsverhältns * / E als wchtgstem Parameter, vorgegeben. omt bleben als veränderlche uslegungsarameter der Druck m Kessel (Ruhedruck) und der Gegendruck u bzw. das daraus resulterende Gegendruckverhältns u /. bbldung.6-4 zegt das lokale Ruhedruckverhältns / zusammen mt dem lokalen Querschnttsverhältns * /. Der Verlauf von * / kann drekt aus bbldung.6- abgeletet werden, ndem de tromdchte Θ auf de krtsche tromdchte Θ * bezogen wrd: m& m& ρ w ρ * * w * * * ρ w ρ * * w ρ w ρ * w Θ'. ρ w Θ' ρ wmax max * * * De Verhältnsse / und * / snd als Funkton von w/w max dargestellt, was zegt, dass Ruhedruck- und Querschnttsverhältns unter der Voraussetzung sentroer trömung anenander gekoelt ( angeasst) snd. 4

43 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk bbldung.6-4: Flächenverhältns * / und Druckverhältns / be sentroer trömung Im vorlegenden Besel west de Lavaldüse en ustrttsquerschnttsverhältns * / E von,3 auf, was m Überschallberech ene Mach-Zahl von Ma,7 und w/w max,77 ergbt. Man srcht nur dann vom uslegungszustand, wenn das vorlegende Gegendruckverhältns u / deselbe Mach-Zahl we das ustrttsquerschnttsverhältns * / E ergbt. Des st für das engezechnete Druckverhältns u,usl /,4 der Fall. Wrd der Umgebungsdruck u auf u > u angehoben, so ändert sch das Gegendruckverhältns u / auf u /,3 und de Laval-Düse arbetet be dem gegebenen * / E,3 ncht mehr m ausgelegten Betrebszustand, da das Druckverhältns ener Machzahl Ma entsräche. ls Folge kommt es a) entweder zu enem bsnken des Druckes m ustrttsquerschntt auf E u,usl < u 43

44 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk und ener anschleßenden Nachkomresson des austretenden Gasstrahles (Nachkomresson) oder b) be weterer bsenkung von u zum uftreten enes Verdchtungsstoßes m dvergenten Düsentel, durch den sch de trömung so enstellt, dass m ustrttsquerschntt E der Gegendruck E u herrscht. Be enem bsenken des Gegendruckes u auf Werte unterhalb von u,usl blebt der Druck m ustrttsquerschntt be E u,usl, de Gasströmung exandert jedoch außerhalb der Düse (Nachexanson). Das Zel der folgenden Herletung st es, das lokale Flächenverhältns * / sowohl als Funkton des lokalen Druckverhältnsses / als auch der lokalen Mach-Zahl Ma darzustellen, also Der lokale Index () wrd m Folgenden der Enfachhet halber weggelassen. usgangsunkt st de Kontnutätsglechung, wonach der Massenstrom überall glech sen muss. ls Referenzunkt wrd der krtsche Querschntt gewählt. Es st Das Verhältns des krtschen Querschntts zum nteresserenden Querschntt st damt umgekehrt roortonal zum Verhältns der entsrechenden tromdchten. De rechte ete wrd mt ρ /ρ und a / a erwetert und de krtschen Verhältnsse gruert 44

45 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk nschleßend wrd w durch w Ma a ersetzt: (.6-6) usgehend von desem usdruck telt sch das wetere Vorgehen. Tabelle.6- zegt de m Folgenden verwendeten Terme jewels als Funkton von / und Ma. * a ρ ρ a Ma * a ρ ρ a ρ ρ a a Ma * f ρ ρ (.5-4) (.5-4) a a Ma (.5-7) * f ( Ma) ρ Ma ρ (.5-5) a a Ma (.5-5) Ma Ma Tabelle.6-: Zusammenstellung der Terme n Gl. (.6-6) Zunächst soll das Flächenverhältns als Funkton von / berechnet werden. Dazu werden de enzelnen usdrücke aus obenstehender Zusammenstellung n Gl. (.6-6) engesetzt: Es wrd umgeformt der konstante Vorfaktor zu K zusammengefasst 45

46 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk (.6-7) und der usdruck unter der Wurzel verenfacht. Man erhält als Ergebns (.6-8) etzt man,4 und de entsrechenden krtschen Verhältnsse nach (.5-6) n Gl. (.6-7) en, erhält man (.6-9) und somt * 3, 864. (.6-3) Glechung (.6-3) stellt ene Verbndung her zwschen lokalem Druck und dazugehörger Querschnttsfläche be bekanntem Ruhedruck und engstem (krtschem) Querschntt * der Lavaldüse. Der Verlauf st n bbldung.6-6 dargestellt. De Vorgehenswese zur Darstellung von * / f(ma) erfolgt analog. Ensetzen der entsrechenden usdrücke n Gl. (.6-6) lefert zunächst De konstanten Zahlenwerte werden n der Konstanten K 46

47 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk zusammengezogen und de Klammerausdrücke zusammengefasst: (.6-3) Für K kann auf K aus (.6-9) zurückgegrffen werden: Da de Exonenten n K und Gl. (.6-3) glech snd, kann ()/ mt n den Klammerausdruck gezogen werden, womt de endgültge Bezehung * * Ma Ma Ma ( Ma ) ( ) ( ) bzw. (.6-3) lautet. Der Verlauf st n bbldung.6-7 dargestellt. 47

48 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk.6. Betrebszustände der Laval-Düse Zur Beschrebung der möglchen Betrebszustände der Laval-Düse werden folgende dmensonslose Drücke durch Bezug auf den Ruhedruck engeführt. Gegendruck u u /. lokaler Druck / 3. krtscher Druck * * / 4. Druck m ustrtt (E) E E / 5. Kesseldruck / bbldung.6-5: Druck und Machzahl n ener Lavaldüse be verschedenen Gegendrücken 48

49 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk De lnke chse n bbldung.6-5 stellt den dmensonslosen lokalen Druck dar (m ustrtt E ). uf der rechten chse snd dre Gegendrücke u,i, u,ii und u,usl für u aufgetragen (De ostrohe bezechnen her dmensonslose Größen). Be u st der Umgebungsdruck u glech dem Kesseldruck und es kommt folglch zu kener trömung; u bedeutet den ustrtt ns Vakuum. Im Folgenden werden wr be konstantem Ruhedruck n Gedanken den Gegendruck u (Umgebungsdruck) ausgehend von (kene trömung) auf Werte u < senken und de dabe möglchen seben tuaton dskuteren. Berech : > u > u,i : Kurve, rene Unterschallströmung Es legt ene rene Unterschallströmung vor; de Geschwndgket w st m engsten Querschntt am größten, errecht aber ncht challgeschwndgket. Der Druck m Düsenaustrtt E st glech dem Gegendruck u. 49

50 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Punkt : u u,i : Kurve B, gerade Ma m engsten Querschntt ls Grenzfall st anzusehen, wenn m engsten Querschntt der Düse zwar gerade challgeschwndgket (Ma ) errecht wrd, de trömung aber sofort weder n den Unterschall übergeht und der gesamte dvergente Düsentel als Unterschalldffusor wrkt. Berech 3: u,i > u > u,ii : Kurve C, Verdchtungsstöße m dvergenten Düsenberech Im engsten Querschntt wrd challgeschwndgket errecht, dahnter herrscht Überschallströmung. De Überschallströmung kann jedoch ncht bs zum ustrtt n de Umgebung aufrechterhalten werden, wel der Umgebungsdruck u dafür zu groß st. Deshalb erfolgt zwschen dem engsten Querschntt und dem ustrttsquerschntt der schlagartge" Übergang auf ene Unterschallströmung n enem sogenannten senkrechten Verdchtungsstoß. De Lage des Verdchtungsstoßes stellt sch dabe so en, dass der Druck E m ustrtt der 5

51 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk tromröhre mt dem Umgebungsdruck u überenstmmt. De trömungsverhältnsse über den Verdchtungsstoß hnweg snd ncht mehr sentro, können also ncht auf der Bass der bshergen Glechungen berechnet werden. tegender Gegendruck bewrkt ene Verlagerung des toßes stromaufwärts, maxmal bs hn zum engsten Querschntt. De strchunkterte Lne bezechnet de Druckverhältnsse unmttelbar hnter dem Verdchtungsstoß. Punkt 4: u u,ii : Kurve D, Verdchtungsstoß m ustrttsquerschntt Der Verdchtungsstoß legt genau m Düsenaustrtt; bs dahn herrscht m gesamten dvergenten Tel der Lavaldüse ene ausgebldete Überschallströmung. 5

52 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Berech 5: u,ii > u > u,usl : Kurve D, Nachkomresson (überexanderter trahl) Bem überexanderten trahl (Düsenaustrttsdruck E < u ) herrscht we n Berech 4 m gesamten dvergenten Tel der Lavaldüse ene ausgebldete Überschallströmung; der Druck m Düsenaustrtt E entsrcht dem uslegungsdruck u,usl. Nach dem ustrtt erfolgt ene Nachkomresson, da der Druck m ustrtt E unter den Gegendruck u gesunken st ( E < u ). (De trömung st also über de Maßen exandert; sehe folgenden bschntt.6.4). 5

53 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Punkt 6: u u,usl : Kurve D, angeasstes Druckverhältns Es legt en angeasstes Druckverhältns vor, be dem der trahl nach dem ustrtt m Rahmen der getroffenen nnahmen unverändert erhalten blebt. De Laval-Düse arbetet n hrem uslegungszustand; man srcht auch von ener angeassten Düse. 53

54 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Berech 7: u < u,usl : Kurve D, Nachexanson (unterexanderter trahl) Im gesamten dvergenten Tel der Lavaldüse herrscht ene ausgebldete Überschallströmung, der Druck m Düsenaustrtt E entsrcht dem uslegungsdruck u,usl Nach dem ustrtt erfolgt ene Nachexanson, da der Düsenaustrttsdruck E über dem Gegendruck u legt. Der Verlauf von * / n bhänggket vom Druckverhältns / nach Gl. (.6-3) st n bbldung.6-6 dargestellt. Mt Hlfe deses Dagramms kann man be Kenntns des ustrttsquerschnttsverhältnsses * / E auf enen Blck alle möglchen Betrebszustände ener Laval-Düse n bhänggket vom Gegendruckverhältns E / unterscheden. Dese snd für en Flächenverhältns * / E von,7 engetragen. 54

55 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk (7) (6) (5) (4) (3) () () * 3, 864 ) rene Unterschallströmung ) Unterschallströmung, gerade Ma n * 3) Verdchtungsstöße stromabwärts * 4) Verdchtungsstoß gerade m ustrtt E 5) Nachkomresson des Frestrahls 6) uslegungszustand 7) Nachexanson des Frestrahls bbldung.6-6: Flächenverhältns als Funkton des Druckverhältnsses nach (.6-3) Kennt man beselswese das Gegendruckverhältns E / und das Flächenverhältns * / E (welches, wenn man so wll, ene aratekonstante st), so kann man sofort sagen, n welchem Betrebszustand de Düse arbetet. Für das Flächenverhältns * / E,7 und,4 gbt Tabelle.6- de Bereche des Gegendruckverhältnsses E / und den dazugehörgen Betrebszustand an. Betrebszustand Druckverhältns E / Gegendruck u Berech,866 < E / < u E Punkt E /,866 u E Berech 3,63 < E / <,866 u E Punkt 4 E /,63 u E Berech 5,63 < E / <,76 u > E Punkt 6 E /,76 u E Berech 7 < E / <,76 u < E Tabelle.6-: Betrebszustände und Gegendruckverhältnsse für * / E,7 und,4 55

56 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk.6.3 uslegungszustand, rene Unterschallströmung und gerade challgeschwndgket m engsten Querschntt Mt den bshergen Formeln snd wr n der Lage, folgende dre Betrebszustände Fälle ener Laval-Düse zu berechnen: uslegungszustand (Punkt 6) Rene Unterschallströmung (Berech ) Unterschallströmung mt gerade Ma m engsten Querschntt (Punkt ) Dabe unterschedet sch de Berechnung der trömung be dem ustrtt aus dem Kessel durch ene ren konvergente Düse (bzw. enen Kanal konstanten Querschntts) ncht vom Fall der renen Unterschallströmung be der Laval-Düse. De folgenden Dagramme geben den Verlauf ausgewählter trömungsgrößen für de obengenannten Fälle weder. bbldung.6-7: Verhältnsse verschedener Größen über dem Druckverhältns / für.4 be sentroer trömung 56

57 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk 57 bbldung.6-7 stellt de Erweterung von bbldung.5-7 dar. Der Verlauf folgender Formeln st dort grafsch dargestellt: T T a a ρ ρ 3 864, *. Für de ren konvergente Düse st nur der Unterschallberech / >,58 gültg. uch der Fall der Unterschallströmung mt gerade challgeschwndgket be der Lavaldüse blebt auf desen Berech beschränkt. Es st an deser telle folgender Hnwes notwendg: be Vorhandensen ener konvergent-dvergenten Düsenform recht ene Überrüfung des Gegendruckverhältnsses u / auf Krtztät (d.h. u / * / ) ncht aus, um zu entscheden, ob rgendwo n der Düse challgeschwndgket oder Überschallgeschwndgket herrscht. Dazu muss n jedem Fall das entsrechende Flächenverhältns * / E hnzugezogen werden. Den Verlauf wchtger Größenverhältnsse n bhänggket von der Machzahl für Mach-Zahlen auch Ma > stellt bbldung.6-8 n Erweterung zu bbldung.5-8 dar.

58 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk 58 bbldung.6-8: Verhältnsse verschedener Größen über der Mach-Zahl Ma für.4 Der Verlauf folgender Formeln st her grafsch dargestellt: Ma Ma T T ρ ρ Ma Ma a a ( ) ( ) * Ma Ma

59 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk.6.4 Ncht-angeasste Überschalldüsen bbldung.6-9: Überschallgasstrahlen enes Phantom-Kamfflugzeuges be ncht-angeassten Düsen Ene Düse wrd als ncht-angeasst bezechnet, wenn der Druck n hrem ustrttsquerschntt E unglech dem Umgebungsdruck u st. Im Gegensatz zu enem Unterschallgasstrahl, der stets be Glechdruck an der Düsenmündung austrtt, wel der Mündungsdruck enen regulerenden Enfluss auf de trömung ausübt, kann en Überschallgasstrahl ncht nur gegen Glechdruck sowe gegen belebg starken Unterdruck, sondern bs zu enem gewssen Grad auch gegen Überdruck ausströmen. In den mesten Betrebsfällen st be enem Überschallstrahl der Düsenaustrttsdruck E ncht glech dem Umgebungs- bzw. Gegendruck u. Ist der Umgebungsdruck klener als der statsche Druck des Gasstrahls m ustrttsquerschntt der Düse, so srcht man von enem unterexanderten trahl. Des erfordert ene Nachexanson des Gases hnter dem Düsenendquerschntt: n den ustrttskanten setzten Exansonsfächer an und der trahl erwetert sch außerhalb der Düse (bbldung.6-). 59

60 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk bbldung.6-: Unterexanderter Überschallstrahl De sch kreuzenden Wellen des Exansonsfächers werden an der Frestrahlgrenze als Komressonswellen reflektert. Im trahlkern st der Druck stromab von den Exansonswellen klener als der Umgebungsdruck, stromab von den Komressonswellen dagegen größer. Das erodsche Wechselsel von Exanson und Komresson setzt sch solange fort, bs de wachsenden Mschungszonen am trahlrand das trömungsfeld beherrschen und der Überschallstrahl dann - mest über ene geradstoßähnlche Front - n enen Unterschallstrahl übergeführt wrd. Ist der Umgebungsdruck größer als der statsche Druck des Gasstrahls am Düsenaustrtt, so srcht man von enem überexanderten trahl. Von den ustrttskanten der Düse geht en Verdchtungsstoßsystem aus. Der Frestrahl wrd engeschnürt, und der Druck m trahlzentrum stegt stromabwärts auf Werte über den Gegendruck an. De Verdchtungswellen werden am trahlrand als Exansonswellen reflektert; der trahldruck fällt. Deser Vorgang wederholt sch und entsrcht weterhn dem trömungsfeld der oben erwähnten trahlunterexanson (bbldung.6-). bbldung.6-: Überexanderter Überschallstrahl 6

61 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk.6.5 Konstruktve Gestaltung von Lavaldüsen Laval-Düsen n trahlaaraten, trahltrebwerken und klenen Damfturbnen werden mest kegelförmg mt Kresquerschntten ausgeführt, wobe der Erweterungswnkel α mt Rückscht auf ene ablösungsfree trömung normalerwese unter legen sollte. bbldung.6-: Laval-Düse m trahltrebwerk Laval-Düsen n Raketenmotoren und sehr schnell flegenden Überschallstrahltrebwerken haben mt Rückscht auf enen guten Wrkungsgrad oft etwas glockenförmge Gestalt. Mt derartgen Düsen werden besonders hohe Überschallgeschwndgketen erzelt. bbldung.6-3: Laval-Düse m Überschalltrebwerk 6

62 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk In den Leträdern der Regelstufen von Damfturbnen werden de Konturen der Laval-Düsenkanäle durch de Druck- und augsete von geegnet ausgebldeten Proflen gebldet. Der Erweterungswnkel α sollte auch her den Wert nach Möglchket ncht überschreten. bbldung.6-4: Laval-Düse m Letrad 6

63 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk.7. enkrechter Verdchtungsstoß Im Katel.6 st n bbldung.6-5 als Kurve C ene Überschallströmung n ener Laval-Düse dargestellt, de als solche aufgrund des vorlegenden, ncht-angeassten Druckverhältnsses u u / ncht bs zum ustrttsquerschntt erhalten blebt, sondern vorher über enen sogenannten Verdchtungsstoß schlagartg n ene Unterschallströmung übergeht. Deser achverhalt st schematsch n bbldung.7- dargestellt. bbldung.7-: Druck- und Machzahlvertelung n der Laval-Düse be enem Verdchtungsstoß 63

64 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Im Folgenden soll das Phänomen des Verdchtungsstoßes genauer untersucht werden. Deser wrd dabe modellhaft als Ebene betrachtet, über de hnweg es zu enem srunghaften nsteg von Druck, Dchte und Temeratur be der Verzögerung der trömung kommt. ruhendes Medum bbldung.7-: Entstehung enes Verdchtungsstoßes durch schnelle Kolbenbewegung Es wrd we be der challausbretung ene Dchte- bzw. Druckstörung, de n en ruhendes Medum hnenläuft, betrachtet. Dese törung soll allerdngs jetzt groß sen, hervorgerufen durch ene schnelle Kolbenbewegung (sehe bbldung.7-). Des führt dazu, dass de Zustandsänderung der Größen ncht mehr sentro verläuft. De Zustandsänderungen über den Verdchtungsstoß erfolgen ncht sentro, es treten trömungsverluste auf. De bsher verwendeten sentroen Verhältnsglechungen können über den toß hnweg ncht verwendet werden. uch wenn der Kolben dazu aus sener Ruhelage sehr lötzlch bewegt wurde, so wrd doch de Kolbenbeschleungung endlch sen und somt über de Welle, de vor 64

65 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk dem Kolben ns ruhende Medum läuft, nur en endlcher Dchtegradent vorlegen, etwa we für den Zetunkt τ τ. Im ruhenden Medum st de Dchte ρ, unmttelbar vor dem Kolben ρ^ und zwschen den beden Berechen st en kontnuerlcher Übergang. Entsrechend st vor dem Kolben der Druck ^ und m ruhenden Medum. De kontnuerlche Verdchtung des Medums zwschen den Punkten a und c ergbt sch aus ener unendlchen Velzahl dfferentell klener Komressonen. De usbretungsgeschwndgket der Komressonswellen entsrcht dabe der jewelgen lokalen challgeschwndgket. De lokale challgeschwndgket aber varert mt der lokalen Temeratur. Je stärker de Verdchtung st, desto höher st de Temeratur und desto größer de Laufgeschwndgket der Welle. Des führt dazu, dass de schnelleren Wellen de langsameren enholen. Im Zet-Weg-Dagramm wrd des durch de Konvergenz der Wellenbahnen deutlch. En chnttunkt der Wellenbahnen bedeutet, dass ene srunghafte Änderung der Zustandsgrößen erfolgt, de Komressonswellen snd zu enem Verdchtungsstoß verent. Der Verdchtungsstoß läuft mt ener Geschwndgket U n das ruhende Medum hnen, wobe her zunächst nur abgeschätzt werden kann, dass de Laufgeschwndgket des toßes etwa zwschen der challgeschwndgket des ruhenden Medums und der des kolbennahen, komrmerten Medums legen wrd. Damt st auch zu erwarten, dass sene Laufgeschwndgket größer wrd, je stärker de Komresson st. Durch enen Wechsel des Bezugssystems kommt man auch her, ähnlch we be der challausbretung, sofort zu enem statonären trömungsmodell (bbldung.7-3). bbldung.7-3: enkrechter Verdchtungsstoß n enem Rohr 65

66 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Im Rahmen der endmensonalen Modellvorstellung können Verhältnsse über den Verdchtungsstoß hnweg aus der Blanz über enen Kontrollraum ermttelt werden, der ene nfntesmal klene Erstreckung dx n trömungsrchtung aufwest und den Verdchtungsstoß enschleßt..7. Änderung der trömungsgrößen über den toß De nnahme ener tromröhre mt konstantem Querschntt s st ncht unbedngt erforderlch wenn das Kontrollvolumen ganz dcht an de toßfront herangezogen wrd und de toßfront selbst sehr dünn st, was man raktsch stets voraussetzen kann. De Erhaltungssätze für Masse, Imuls und Energe lauten ausgeschreben we folgt; de Größen mt dem Dach ^ kennzechnen de Poston drekt nach dem toß: I Masse (.7-) II Imuls (.7-) Energe (.7-3) De Energeglechung Gl. (.7-3) zusammen mt dem dealen Gasgesetz R T ρ (.-) ergbt III Energe (.7-4) Es legen somt nsgesamt ver Glechungen vor, mt denen sch de Größen ^, T^, ρ^ und w^ nach dem toß berechnen lassen. Zel der nachfolgenden Herletungen st de Bestmmung der Verhältnsse ^ /, T^ /T, ρ^ /ρ, w^ /w, a^ /a und Ma ^ /Ma als Funkton der nström-machzahl Ma s. 66

67 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Der Enfachhet und Überschtlchket halber wrd n den folgenden Herletungen mtunter auf den Index (s) zur Kennzechnung des toßes verzchtet. Zuerst wrd der Massenerhaltungssatz (.7-) nach w^ ε ρ/ρ^ engeführt ( s wrd gekürzt): aufgelöst und de bkürzung (.7-5) Des wrd n den Imulssatz (.7-) engesetzt und deser nach ^/ aufgelöst: Neuordnung der rechten ete und Erwetern mt führt zu: Mt der challgeschwndgket (.4-7) und ρ^/ρ /ε erhält man: 67

68 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Mthlfe der Mach-Zahl (.5-6) verenfacht sch der aus der Massen- und Imulsblanz entstandene usdruck zu: (.7-6) De Energeglechung (.7-4) wrd durch (.4-7) dvdert. Das zusammen mt der umgeformten Kontglechung w^ ubsttuton ε ρ/ρ^ ergbt w ε (.7-5) sowe der Mt der Mach-Zahl Ma w/a wrd daraus 68

69 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk Heren wrd der usdruck für ^ / aus (.7-6) engesetzt: usmultlzeren und Neuordnen nach ε und ε lefert: (.7-7) Der Term nach ε wrd durch elementare Umformung verenfacht: Gl. (.7-7) wrd durch desen usdruck dvdert und ergbt nach ener Neuordnung (.7-8) was ene quadratsche Bestmmungsglechung für ε ρ/ρ^ mt den konstanten Faktoren 69

70 Vorlesungsskrt zur trömungstechnk, Prof. Dr.-Ing. Janusz. zymczyk darstellt. De allgemene Lösung deser Glechung lautet: (.7-9) Der folgende Verglech von und B zegt, dass B -: omt glt: B -- -B -4B 44 und de Lösung von (.7-9) kann weter verenfacht werden zu: De erste Lösung st trval und entfällt für de Untersuchung: ε ρ/ρ^, d.h. de Dchte ändert sch ncht. De zwete Lösung, de, de uns nteressert, beschrebt de srunghafte Änderung der Zustandsgrößen: Deser usdruck lässt sch noch weter verenfachen, ndem wr de Terme auf den glechen Nenner brngen: Es st somt 7