Der Satz von Cavalieri: Zwei Körper gleicher Höhe sind volumengleich, wenn sie in jeweils gleicher Höhe flächengleiche Querschnitte haben.

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1 Pof. D. Jüge Rot Didati de eometie alte Pizip d Satz vo Cavaliei dlage des olmebegiffs (eiscließlic Satz vo De) olme de d des stmpfs Kgelvolme d Kgelobefläce Pizip vo Cavaliei Boaveta Cavaliei (598 47; stoom d Matematie) wa ei Scüle vo alileo alilei (54 4). Pizip vo Cavaliei Zwei Köpe sid volmegleic, we sie folgede Bedigge efülle:. Die dfläce sid ialtsgleic d liege i deselbe Ebee.. Die Decfläce sid ialtsgleic d liege i eie Ebee.. Jede Paallelebee z debee sceidet as beide Köpe ialtsgleice Fläce as. De Satz vo Cavaliei: Zwei Köpe gleice Höe sid volmegleic, we sie i jeweils gleice Höe fläcegleice Qescitte abe. Zm Beweis dieses Satzes ist die tegalecg otwedig, e a also ict dcgefüt wede. z (z) (z) 0; 0 (z)dz 0 (z)dz De Satz a abe mit Hilfe eies Stapels as Biedecel plasibel gemact wede. Ma scictet die Biedecel z eiem Qade af, de ma ascließed vefome a. De Stapel as Biedecel veascalict die Zelegg eies Köpes i (edlic) düe Sceibe. lle so ezegte Köpe sid volmegleic, da die eizele Biedecel (Sceibe) jeweils oget sid. dlage des olmebegiffs Die teoetisce dlage des olmebegiffs sid weitgeed aalog zm Fläceialtsbegiff. Dem ielec i de Ebee etspict als Köpe de ielflac (Polyede), z.b. Qade, Pisma d. o elemetageometisce Zelegge spict ma wie bei eie Fläce ac im Ram, wobei sic die Begiffe Zeleggs- d Egäzgsgleiceit aalog z ebee eometie defiiee lasse. So wie sic jedes ielec i ei zeleggsgleices Qadat mfome lässt, so a jede Qade i eie zeleggsgleice Wüfel mgefomt wede. Zm Beispiel a ei geades Pisma i eie zeleggsgleice Qade d damit, dc die Tasitivität de Zeleggsgleiceit, i eie zeleggsgleice Wüfel mgewadelt wede. Seite vo 7

2 Pof. D. Jüge Rot Didati de eometie Satz: Zeleggsgleice d egäzgsgleice Polyede abe de gleice Ramialt. be die Umeg gilt im Ram ict! Dies besagt de Satz vo De (90): Zwei amialtsgleice Polyede sid im llgemeie wede zeleggs- oc egäzgsgleic. Beispiel: Z eiem Tetaede gibt es eie Wüfel, z dem es zeleggsgleic ode egäzgsgleic ist. Es ist also ict jede Polyede i eie zeleggsgleice Wüfel vewadelba. Jede Polyede ist zwa i Deiecspyamide zelegba, was de Zelegbaeit vo ielece i Deiece etspict, z eie Deiecspyamide gibt es abe ict imme eie zeleggsgleice Wüfel! olme de Eie Koseqez as obige sfüge ist, dass die so eifac asseede olmefomel fü,, ict elemeta egeleitet wede a, sode wie bei Köpe mit gewölbte Begezgsfläce (Zylide, Kegel d Kgel) ifiitesimale Metode z ie ewig agewadt wede müsse. Es: Hiweise af die olmefomel, die eie allgemeie Begüdg etalte!. Betactg am Spezialfall: Fü eiface Beecge a eict die Betactg de egelmäßige geade. Dee olme a als Spezialfall so bestimmt wede: Ei Wüfel mit Kateläge a a i secs solce teteilt wede, wobei die Wüfelseite die dfläce bilde d de Mittelpt des Wüfels die Spitze eie jede dastellt. Somit sid dfläceialt a, Höe a d das olme de beat. Es folgt: Wüfel Wüfel a a a a a.. Epeimetelle eascalicg: Diese Metode ist epeimetelle Nat d a a die este ascließe. Sie bietet aßedem die Mögliceit fü die Eibidg de Scüle z escsdcfüg. Ma beötigt ei Modell as Pleiglas, bei dem i eie Qade eie vieseitige eigelasse ist, d das mit Wasse gefüllt wede a d eie geeiget goße Messbece. Die dfläce d die Höe vo beide sid idetisc. Die Spitze de ist de Mittelpt de Decfläce des Qades. Das olme des Qades ist. Qade Das olme de ist. Zäcst soll aad des Modells de Fato gescätzt wede, wobei Wete zwisce 4 d z ewate sid. scließed wid die mit Wasse gefüllt d i de Qade mgegosse. Wie viele Wassefüllge de passe i de Qade? Egebis: Qade Qade Seite vo 7

3 Pof. D. Jüge Rot Didati de eometie Nacweis de ültigeit de olmefomel mit dem Satz vo Cavaliei: Die Tatsace, dass fü alle die gleice olmefomel lässt sic mit dem Satz vo Cavaliei i folgede Scitte acweise: gilt,. Nacweis: lle deiseitige mit gleice dfläce d gleice Höe besitze dasselbe olme.. Nacweis de fomel fü besodee deiseitige.. Nacweis de ültigeit de Fomel bei beliebige Ecezal de dfläce.. Nacweis: lle deiseitige mit gleice dfläce d gleice Höe besitze dasselbe olme: Es: Zetisce Stecg im Ram Eie deiseitige BCS de Höe wid vo eie Ebee gescitte, die paallel z dfläce de ist. Die Scittfläce bildet das Deiec B C. Die Scittebee at de bstad vo de Spitze. Betactet ma die eizele Seitefläce, so a ma eie zetisce Stecg awede, da d- d Scittebee paallel sid, d dae ac die jeweilige Seite vo d- d Scittdeiec. Stecgszetm ist die Spitze S. So lässt sic zeige: B B C C : B BC C (Stecgsfato) alog folgt ac fü die Höe d de Deiece BC d B C : Damit folgt fü die Fläceialte de Deiece g B BC d B C : B B B C BC g B B B meg: Es ist ac möglic das Scittdeiec i die dfläce z pojiziee. Stecgszetm ist da de Höefßpt H. ( Nomale zetisce Stecg i de Ebee!) Es wede zwei mit ialtsgleice dfläce d gleice Höe betactet. Nac Cavaliei sid sie volmegleic, we jede Paallelebee z dfläce as beide Köpe ialtsgleice Fläce assceidet. Wi betacte zwei Deiece BC d DEF die als Scittfige eie z gemeisame debee paallele Ebee mit de etstee. De bstad de spitze S d S z diese Ebee ist jeweils. Seite vo 7

4 Pof. D. Jüge Rot Didati de eometie S d S öe als Zete ämlice zetisce Stecge afgefasst wede, die BC af BC bzw. DEF af DEF abbilde. Bildfläce Fü beide Stecge gilt: Ufläce Daas folgt fü die alte de Fläce,, d : aco. Damit ist die. Bedigg des Pizips vo Cavaliei efüllt. Es folgt: lle (deiseitige) mit ialtsgleice dfläce d gleice Höe sid volmegleic. (*). Nacweis de fomel fü besodee deiseitige : Ma zelegt ei deiseitiges Pisma mit dem dfläceialt d de Höe wie im Bild dagestellt i dei P, P d P. egleic de P, P d P : PQR PP (*) RQR SP d- ddecfläcedespismas Pisma Hälfteeies Rectecs RR PQR RQQ (leice dfläceebee d gleice Spitze!) (*) Pisma : Pisma. Nacweis de ültigeit de Fomel bei beliebige Ecezal de dfläce: Jede -seitige lässt sic i - deiseitige gleice Höe zelege. Dae folgt: Seite 4 vo 7 Nacweis de ültigeit de olmefomel mit Stfeöpe: Ma vewedet daz mbesciebee d eibesciebee Teppe- öpe as Pisme. = 5 Die dfläce de Teppeöpe sid älic z dfläce de. Fü ie Fläceialt egibt sic mit dem Stalesatz fü =,,..., : = -

5 Pof. D. Jüge Rot Didati de eometie Seite 5 vo 7 Umbesciebee Teppeöpe: Pisma Eibesciebee Teppeöpe (Eie, die teste Stfe felt geade!): Pisma e Es ist e d 0 e. Daas folgt, dass sic das olme de beece lässt dc: olme des stmpfs Es wid die Heleitg de Fomel gebact, abe eie Uteictseieit. (*) tmpf s lei goß fgd de ämlice, zetisce Stecg (siee obe) gilt aßedem: Eisetze i (*) liefet: stmpf

6 Pof. D. Jüge Rot Didati de eometie Das Kgelvolme Pizip vo Cavaliei: Stee zwei Köpe af deselbe Ebee E d ezegt jede z E paallele Ebee bei beide Köpe gleic goße Scittfläce, da abe beide Köpe dasselbe olme. Köpevegleic: 45 Es mss oc gezeigt wede, dass die Scittfläce i de Höe i beide Köpe gleic goß sid. Scittfläce Scittfläce Nac dem Pizip vo Cavaliei gilt also: Halbgel Zylide Kegel 4 Kgel Seite vo 7

7 Pof. D. Jüge Rot Didati de eometie Die Kgelobefläce Die Kgelobefläce wid i leie Fläcestüce i zelegt. ebidet ma alle Ecpte mit de Kgelmitte, so etstee mit de Höe. Die Smme de dfläce i de bildet geade die Kgelobefläce, d die Smme ie Ramialte das Kgelvolme. Es gilt also: O Kgel O 4 Kgel Seite 7 vo 7