Zentralabitur 2006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Gymnasium Gesamtschule

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1 Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Gymnasium Hinweise zur Auswahl der Aufgaben für Lehrkräfte am Gymnasium und an der Die Prüflinge erhalten zwei Aufgaben zur Analysis (1A und 1B) und zwei Aufgabenblöcke (A und B) zur Auswahl. Der Block besteht jeweils aus Aufgaben (eine Aufgabe zur Stochastik, eine Aufgabe zur Analytischen Geometrie). Die Gewichtung beträgt für die Analysisaufgabe 0%. Stochastik und Analytische Geometrie stehen im Block A im Verhältnis :1 und im Block B im Verhältnis 1:. Die Prüflinge erhalten die folgende Information: Hinweise für den Prüfling Auswahl der Aufgaben 1. Wählen Sie eine der Analysis-Aufgaben 1A oder 1B aus.. Wählen Sie einen der Aufgabenblöcke A oder B aus. Beide Blöcke bestehen aus je einer Aufgabe zur Analytischen Geometrie und einer zur Stochastik. a. Block A hat den Schwerpunkt Stochastik b. Block B hat den Schwerpunkt Geometrie. Sie müssen insgesamt eine Analysis-Aufgabe und einen Aufgabenblock bearbeiten. Andere Kombinationen sind nicht zulässig. Hilfsmittel 1. Von der Schule eingeführte gedruckte Formelsammlung. Zeichenmittel 3. Duden und Fremdwörterlexikon 4. Eingeführter Rechnertyp wie im Kopf der Aufgabe beschrieben. Niedersächsisches Kultusministerium 1 von 8

2 Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A a) Skizze zweier Graphen Erläuterung des Verlaufs in Abhängigkeit von d (Wirkung zu Anfang 0, dann schneller Anstieg und langsames Abklingen der Wirkung; die Dosis steuert die maximale Wirkung) Extremstellen in x = 10 d : maximale Wirkung Wendestellen in x = 30 d (und x = 0) : Stellen, an denen sich die Wirkung extremal ändert. Verhalten für x : Da der e-term gegen Null strebt, geht die Wirkung gegen Null b) Ermittlung der Funktionswerte in x = 10d für d=100 und d=300: c) f ( 1000) 19,18; f ( 3000) 99, , 10 e fd ( 10 d ) = d 100 d (maximale Wirkung) f ( 10 d d ) =7 ergibt d 48,0 [mg] als maximale Dosismenge. 4 Ableiten (ohne Rechnereinsatz) von F d ergibt f d, hierbei müssen die Ketten- und die Produktregel beachtet werden. Uneigentliche Integrale müssen erkannt werden, danach sind die Werte entweder mit der Stammfunktion oder direkt mit dem Rechner zu ermitteln: 1000, 9000 bzw ergeben sich als Werte des uneigentlichen Integrals. 4 Erläuterung mit Begründung des quadratischen Zusammenhangs (entweder mit Hilfe einer Wertetabelle oder mit Hilfe des Wertes des uneigentlichen 3 Integrals) d = 3000 d = ,1 3 Summe: Niedersächsisches Kultusministerium von 8

3 Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Aufgabe 1B Gymnasium Aufgabe 1B a) Skizze Anfangswert: f(0)=0 [Fische] Der Grenzwert ergibt y=400. Wendepunktermittlung mit CAS: xw = xv max = 10 ln(19) 9,44 [ Jahre]; f '(10 ln(19)) = 10 [ Fische / Jahr ] b) Die Übersetzung über das Maximum von f k führt mit x=10 zu dem Ansatz: f k (10) = 0; Lösung: k = e. Der Rechner gibt ggf. auch den nicht zulässigen Wert k = 0 aus. c) Zeichnungen von Scharkurven mit Werten von k um 0 (auf dem Rechner), ggf. Skizze zur Visualisierung der Eigenschaften übertragen; Nennung und Nachweis [mit Hilfe von f k (x), f k (x), f k (x)] folgender Eigenschaften: Je größer k, desto kleiner ist der y-achsenabschnitt und damit der Anfangsbestand. Je größer k, desto später wird die maximale Wachstumsgeschwindigkeit erreicht. Die maximale Wachstumsgeschwindigkeit ist mit10 Fischen pro Jahr immer gleich: f k (x Vmax )=0 x Vmax = 10 ln(k), f k (10 ln(k))=10 Die Tangenten in den Wendepunkten (maximale Wachstumsgeschwindigkeit) haben alle die Steigung 10 und verlaufen jeweils parallel. Die maximale Fischzahl beträgt stets 400; der Nachweis erfolgt durch Grenzwertbildung wie in a). Maximale Wachstumsgeschwindigkeit liegt bei x Vmax = 10 ln(k) vor. 1 f (10 ln( k )) = 00 = 400 d) Ansatz: Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen b b ( e + 19) A = = b ( f19 ( x) f100 ( x)) dx 4000 ln b ( e 100) Näherungswert für b=100: A [FE] 101 Der Grenzwert existiert. Es ergibt sich lim A b = 4000 ln( ) 6477, [FE]. b Summe: Niedersächsisches Kultusministerium 3 von 8

4 Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Block A Gymnasium Block A Aufgabe 1 a) b) Begründung für die Anzahl der möglichen Wege 9 9 P(F) = 0, 0,461 Bestimmung der Endfelder: Diagonale von A10 nach J1 8 Übersetzung mit p=1/3 und q=/ P(F) = 0, Maximum der B(9,1/3,k)-Verteilung (Begründung mit Erwartungswert, Tabelle,...): D7 P(D7)=0,731 8 c) Überprüfung der Herstellerangaben: Entwerfen eines Testverfahrens mit H 0 : p=0, und H 1 : p=0,03, n=100 und z.b. α=0,0 Anwendung der Binomialverteilung mit n=100, p=0, bzw. n=100, p=0,03 Bestimmung des Ablehnungsbereichs mit Rechner oder Tabelle: K={0; 1; :...;13} Erläuterung und Bestimmung des Fehlers zweiter Art, β = Summe: 10 1 Niedersächsisches Kultusministerium 4 von 8

5 Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Block A Gymnasium Block A Aufgabe a) Die Normalenvektoren von E 1 und E sind nicht kollinear. Deshalb schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. Überlegungen zur Schnittgeraden können zu folgender Matrix führen: g: x = + r oder angepasst: g: x = r b) Die gegebenen drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt S( - 1). 4 Zum Beispiel ein Hinweis auf drei zueinander parallele Ebenen oder drei Ebenen, die eine Gerade gemeinsam haben, belegt, dass dies nicht immer zutrifft. 4 Summe: 6 9 Niedersächsisches Kultusministerium von 8

6 Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Block B Gymnasium Block B Aufgabe 1 a) Überlegungen zum Schnittpunkt können zu folgender Matrix führen: Schnittpunkt S(- -6 4) Schnittwinkel : cos ( α ) = ; α = 4 b) Erstellung der Normalenform einer Hilfsebene E, die senkrecht zu g verläuft und P enthält. Als Normalenvektor bietet sich der Richtungsvektor der Geraden g an. E : ( x 7-3 ) = 0 E: x = 19 Schnitt von E mit g : r = ; F( 4-1) ist der Fußpunkt des Lotes von P auf g. d = PF = 3 LE c) Definieren einer Abstandsfunktion d mit dem Term d(s) für den Abstand von P zu X. 4 3 d(s) = s = ( 1) + ( 4 + s) + ( s) vereinfacht zu d(s) = s 4s Lösen der Gleichung d(s) = 18 Es gibt zwei Lösungen: s = - 8 oder s = 10 Die beiden gesuchten Punkte haben damit die Koordinaten X 1 (- -9 7) X (- 9-11) 7 Summe: 10 1 Niedersächsisches Kultusministerium 6 von 8

7 Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Block B Gymnasium Block B Aufgabe a) Ergebnismenge S={0, 1,, 60, 61, 6, 80, 81, 8} Die Ziffernfolge 0 bedeutet, dass die Kugel aus A und 0 aus B gezogen wurde. Wahrscheinlichkeiten über ein Baumdiagramm durch Multiplikation (unabhängige Ziehungen aus A und B) z.b.: P(0) =,..., P(8) = X kann die Werte - 4, -, +1, +, +4 annehmen. Hierbei ist der Einsatz gemäß Aufgabenstellung zu beachten. X definiert den Netto-Gewinn. Angabe der Wahrscheinlichkeiten z.b. in Tabellenform oder aufzählend. P(X = 4) = 4 64, P(X = ) =, P(X = + 1) =, P(X = + ) = P(X = + 4) = 0, E(X) = 1,11 64 Interpretation 6 4 b) Ansatz über das Gegenereignis: Mindestens ein Höchstgewinn bei n Spielen kein Höchstgewinn bei n Spielen P(mindestens 1 Höchstgewinn bei n Spielen) = 1 p(kein Höchstgewinn bei n Spielen) = 1-0,86 n 0,9 Mittels eines beliebigen Verfahrens kann diese Ungleichung gelöst werden: n log(0,1)/log(0,86) 1,6 Ab n=16 ist die Bedingung erfüllt. Summe: 6 9 Niedersächsisches Kultusministerium 7 von 8

8 Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Gymnasium Zum : Der skizziert nur mögliche Lösungswege, ersetzt aber keine ausführliche Musterlösung. Allerdings sind häufig auch andere, z.b. grafische oder tabellarische Lösungswege zulässig (vgl. hierzu die Operatorenliste z.b. bzgl. der Begriffe Berechnen oder Ermitteln ). Die rechts stehende in Punkten ist jedoch verbindlich. Bei der Korrektur, und Beurteilung sind die Bemerkungen gemäß der EPA-Bund Mathematik vom (Abschnitt 3. von Prüfungsleistungen) zu beachten. Folgender smaßstab ist anzuwenden: Ab Prozent Punkte Niedersächsisches Kultusministerium 8 von 8

9 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Gymnasium Hinweise zur Auswahl der Aufgaben für Lehrkräfte am Gymnasium und an der Die Prüflinge erhalten zwei Aufgaben zur Analysis (1A und 1B) und zwei Aufgabenblöcke (A und B) zur Auswahl. Der Block besteht jeweils aus Aufgaben (eine Aufgabe zur Stochastik, eine Aufgabe zur Analytischen Geometrie). Die Gewichtung beträgt für die Analysisaufgabe 0%. Stochastik und Analytische Geometrie stehen im Block A im Verhältnis :1 und im Block B im Verhältnis 1:. Die Prüflinge erhalten die folgende Information: Hinweise für den Prüfling Auswahl der Aufgaben 1. Wählen Sie eine der Analysis-Aufgaben 1A oder 1B aus.. Wählen Sie einen der Aufgabenblöcke A oder B aus. Beide Blöcke bestehen aus je einer Aufgabe zur Analytischen Geometrie und einer zur Stochastik. a. Block A hat den Schwerpunkt Stochastik b. Block B hat den Schwerpunkt Geometrie. Sie müssen insgesamt eine Analysis-Aufgabe und einen Aufgabenblock bearbeiten. Andere Kombinationen sind nicht zulässig. Hilfsmittel 1. Von der Schule eingeführte gedruckte Formelsammlung. Zeichenmittel 3. Duden und Fremdwörterlexikon 4. Eingeführter Rechnertyp wie im Kopf der Aufgabe beschrieben. Niedersächsisches Kultusministerium 1 von 8

10 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A a) b) Möglicher Ansatz: b x ln(19) 10 f ( x) = a e ; P1 (30 10) und P (70 190) : b = 0,0736; a = 1,0988 0, e Die Werte können direkt oder mit CAS - Unterstützung, zum Beispiel auch mit dem Regressionsmodul ermittelt werden. Skizze Wendepunkt W(7 0) y=00 ist waagerechte Asymptote des Graphen. Der Graph von f steigt weiter exponentiell an, der Graph von g hat dagegen einen Wendepunkt, d.h. der Stromverbrauch nimmt ab diesem Zeitpunkt weniger stark zu und nähert sich dem Grenzwert 00. Dies ist wegen der Knappheit der Energieressourcen und damit verbunden der Verteuerung der Energie sowie dem Wandel im umweltpolitischen Denken eher zu erwarten. Der Gesamtverbrauch ist als bestimmtes Integral zu bestimmen [ ] 80 g( x) dx = G( x ) 4867,6 Nachweis für G (x)=g(x) Das uneigentliches Integral aufstellen und abschätzen: b 0 b b + [ ] 0 ( ( )) 0,1 7, 7, g( x) dx = G( x) = 00 b + 10 ln 1+ e 000 ln(1 + e ) 00 b 370,76 Da der Summand mit dem ln-term für große b gegen Null strebt, kann das Integral wie angegeben abgeschätzt werden. Der Gesamtverbrauch nimmt also, wie behauptet, näherungsweise linear zu. Bemerkung: Es kann auch mit der waagerechten Asymptote y=00 entsprechend argumentiert werden. Das Grenzwertverhalten lässt den Schluss zu, dass ab einem Zeitpunkt x G der Wert des Integrals näherungsweise nur 1 4 noch linear wächst. c) g gehört mit a=-0,1 zur Kurvenschar. Damit liegt es nahe, Kurven mit Parameterwerten im Bereich von -0,1 zu zeichnen: Beschreibung: (i) Alle Graphen sind streng monoton steigend. (ii) W(7 0) ist Punktsymmetriezentrum und Wendepunkt, wie in a) für a=-0,1 gezeigt wurde. (iii) g a (7)=0. (iv) W muss Zentrum der Punktsymmetrie sein, weil z.b. die Ableitungskurve für a=-0,1 achsensymmetrisch zu x=7 verläuft. Ein formaler Beweis wird hier nicht erwartet. (v) y=0 und y=00 sind waagerechte Asymptoten. (vi) Die Kurven unterscheiden sich in der Steilheit zwischen den Asymptoten. Skizze von vier Kurven. 1 9 Summe: Niedersächsisches Kultusministerium von 8

11 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Aufgabe 1B Gymnasium Aufgabe 1B a) Der Nachweis des exponentiellen Wachstums kann mittels Quotientenbildung oder auch mittels Regression mit anschließender der Güte der Regression erfolgen. Mit der Quotientenbildung kann der Wachstumsfaktor b ermittelt werden: b 0,86 x ln( b) x x 0,1 x y = ab = ae : y = 0,86 beziehungsweise y = e 0,1 H Der Halbwertszeitansatz, = e ergibt x H 4,6 [min]. 10 b) Mehrere Graphen im Bereich x<1; y<1 zeichnen lassen. Skizze zweier Graphen Beschreibung gemeinsamer Eigenschaften: alle streng monoton steigend bis zum lokalen Hochpunkt, dann streng monoton fallend mit Wendepunkt (Rechts-Links-Krümmungsübergang) und y=0 als waagerechte Asymptote für x +. Alle Graphen verlaufen durch (0 0) und ( )) Algebraische Nachweise: Angabe der Ableitungen, Extremstellen x E = k; Wendestellen x w = k; gemeinsame Punkte mit f(0)=0 und f()=, Verhalten im Unendlichen begründen mit e-term oder mit Rechner 1 c) Die Übersetzung der Aufgabenstellung führt zu den Ansätzen über die maximale Steigungsänderung von f k mittels zweiter Ableitung bzw. Maximum von f k mittels erster Ableitung: k f ( x ) = f ( k) = ke = k 1,3 k =, k w k 1 k x 1 f ( x ) = f ( k) = ke = k = ; f ( x) = xe E d) Das bestimmte Integral berechnen: 0 0 0,x 0,x 0 4 ( x + ) e dx = ( x 0) e = 0 10 e ( 47, 7) Höhe des flächengleichen Rechtecks mit der Breite x Rechteck =0: y e e 4 4 Re chteck = (0 10 ) : 0 =, 7, (, 366) Skizze der beiden Flächen Interpretation: Die Höhe des Rechtecks ist der durchschnittliche Funktionswert (Mittelwert) von g in dem Intervall [0;0] Summe: Niedersächsisches Kultusministerium 3 von 8

12 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Block A Gymnasium Block A Aufgabe 1 Erwartete Schülerleistung a) Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten z. B. mit einem Baumdiagramm: P ( E 1 ) = 0,07 0,04 = 0,8% P ( E ) = 0,93 0,96 = 89,8% P ( E3 ) = 0,93 0,04 = 3,7% 8 b) Berechnung des Erwartungswertes des Gewinns G: E ( G) = 0,898 1, + 0,037 k 0,07 1 = 0 k 7,77 Der Verlust pro Schale zweiter Wahl darf also höchstens 7,77 betragen. 6 c) Lohnkosten pro Schale für die Kontrollen: bei einer Kontrolle: 0, bei zwei Kontrollen: 100% 0,0 + 93% 0, 4 0,7 Produktionskosten pro Schale: bei einer Kontrolle: 14, bei zwei Kontrollen: 100 % % = 13,86 Gesamtkosten pro Schale: Bei einer Kontrolle: 14, Bei zwei Kontrollen: 14,43 Es lohnt also nicht, auf die erste Kontrolle zu verzichten. 9 3 Summe 10 1 Niedersächsisches Kultusministerium 4 von 8

13 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Block A Gymnasium Block A Aufgabe a) Angabe der Punkte: F( ), G( 4 4 ) und K( ) Ebenengleichungen: Der Ansatz E: x = g + r GF + sgk liefert z. B E: x = 4 + s 3 + t 0, den Normalenvektor Koordinatenform von E: x + y +3z =. n = und eine Alternative: Der Ansatz ax + by +cz = d führt zu folgender Matrix: / / / Für d = folgt a = b = und c = 3 b) Abstand d 1 des Punktes H z. B. mit der HNF von E: d = ( 4 ) 1, = Allgemeiner Punkt der Raumdiagonalen: P( t t t ). Koordinatenursprung und P liegen auf der gleichen Seite von E. Für den Abstand d des Punktes P von E gilt also: t 1 1 d = ( t ) ( 7t) 1 17 = = 17 3 t t, P(,,, ). Summe: 6 9 Niedersächsisches Kultusministerium von 8

14 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Block B Gymnasium Block B Aufgabe 1 a) Überlegungen zum Normalenvektor von E 1 können zu folgender Koeffizientenmatrix führen: / Ein möglicher Normalenvektor von E 1 lautet: n = Normalenform der parallelen Ebene E : ( x 1 ) = x 3 = Abstand d zwischen E 1 und E : z. B. über d = = = b) Gleichsetzen der rechten Seiten von Geraden- und Ebenengleichung führt auf folgende Koeffizientenmatrix: / / 3 Lösung: t =, r = 1/6, s = -7/3; Schnittpunkt: S(4 ) Alternative: Einsetzen des Geradenterms in die Normalenform von E 1 (s. Teil a) liefert ebenfalls t =. 7 c) Allgemeiner Punkt C auf g: C(t + t+1 ) t t + 3 Der Ansatz AC BC = 0 mit AC = t und BC = t 4 führt auf 8 0 t = 3 t = -1. Die Punkte C 1( 7 ) und C (1-1 ) erfüllen also die Bedingung. Summe: 10 1 Niedersächsisches Kultusministerium 6 von 8

15 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Block B Gymnasium Block B Aufgabe Erwartete Schülerleistung a) Urnenmodell: Ziehen ohne Zurücklegen Die Begründung des Ansatzes zur Berechnung der beiden Wahrscheinlichkeiten kann mit Baumdiagramm und Pfadregeln oder direkt erfolgen. 4 p ( " echte" Tabletten) = = p( eine der beiden ist Placebo) = + 1 = = 1 p ( " echte" Tabletten) 4 b) Dateninterpretation führt zu einem Alternativtest mit α=0,0, n=0, H 0 : p=0,6, H 1 : p=0,8 Beschreibung des Testverfahrens Da die Personen unabhängig voneinander untersucht werden, kann die Untersuchung als Bernoulli-Kette interpretiert werden. Anwendung der Binomialverteilung führt zu dem Ablehnungsbereich K={17,..., 0} 1 16 B (0;0,6; k) 0,949, B (0;06; k) 0,984 k= 0 k= 0 Man kann mit der klinischen Untersuchung die Hypothese, dass die Wirksamkeit weiterhin trotz bitterer Zusatzstoffe 60% beträgt, auf 9 dem %-Niveau ablehnen. Summe 6 9 Niedersächsisches Kultusministerium 7 von 8

16 Zentralabitur 006 Mathematik Nachschreibtermin Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Gymnasium Zum : Der skizziert nur mögliche Lösungswege, ersetzt aber keine ausführliche Musterlösung. Allerdings sind häufig auch andere, z.b. grafische oder tabellarische Lösungswege zulässig (vgl. hierzu die Operatorenliste z.b. bzgl. der Begriffe Berechnen oder Ermitteln ). Die rechts stehende in Punkten ist jedoch verbindlich. Bei der Korrektur, und Beurteilung sind die Bemerkungen gemäß der EPA-Bund Mathematik vom (Abschnitt 3. von Prüfungsleistungen) zu beachten. Folgender smaßstab ist anzuwenden: Ab Prozent Punkte Niedersächsisches Kultusministerium 8 von 8