Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

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1 7. Hypothesentests Ausgangssituation: Man muss sich zwischen 2 Möglichkeiten (=Hypothesen) entscheiden. Diese Entscheidung soll mit Hilfe von Beobachtungen ( Stichprobe ) getroffen werden. Die Hypothesen betreffen entweder - den Wert eines Parameters der Grundgesamtheit oder z.b. - im Durchschnitt ist ein Maßkrug auf dem Oktoberfest immer mit 1 Liter gefüllt - die durchschnittliche Auslastung einer Maschine liegt über 90% - die Streuung eines neu entwickelten Maschine ist geringer als die einer herkömmlichen Maschine - die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße z.b. - die Ankunft von Kunden an einer Autowaschanlage ist gleichverteilt - am Montagen passieren doppelt so viele Unfälle wie an den anderen Wochentagen - der Spielwürfel ist fair, d.h. jede Zahl kommt gleichhäufig vor. Den Schluss von n Beobachtungen (also der Stichprobe) auf die Gestalt der Verteilungsfunktion bzw. den Wert des Parameters (also auf die Grundgesamtheit) nennt man statistische Inferenz. Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

2 Beispiel (s.skript): Für n=52 Kunden wird der Zeitabstand des Eintreffens an einer Autowaschanlage beobachtet: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 2

3 Weitere mögliche (stetige) Verteilungen Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 3

4 Hypothesen Beispiel 1 "Autowaschanlage" Der Zeitabstand zwischen dem Eintreffen zweier Kunden ist gleichverteilt Der Zeitabstand zwischen dem Eintreffen zweier Kunden ist nicht gleichverteilt. H0 : H 1 : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 4

5 Beispiel 2 "Auslastung einer Maschine" H 0 : H 1 : Beispiel 3 "Füllung Maßkrug auf dem Oktoberfest" H0 : H 1 : Beispiel 4 "Streuung neue <-> herkömmliche Maschine" H0 : H 1 : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 5

6 Beispiel 5 "Unfälle am Montag" H 0 : H 1 : Beispiel 6 "Fairer Spielwürfel" H 0 : H1 : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 6

7 Hypothesen allgemein H 0 : H 1 : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 7

8 7.2 Grundprinzip von Hypothesentests am Beispiel des zweiseitigen Test auf einen Parameter 1. Schätzung des unbekannten Parameters auf Basis der Beobachtungen -> 2. Wahl einer geeigneten Teststatistik T, die den Abstand von zu misst: 3. Vergleich der Teststatistik T mit einem kritischen Wert : Entscheidung für H0 Entscheidung gegen H0 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 8

9 Fehler ersten und zweiter Art Da die Beobachtungen vom Zufall abhängen, kann eine Entscheidung zwischen den beiden Hypothesen nie mit 100% Sicherheit getroffen werden. Dabei können 2 unterschiedliche Fehler gemacht werden: Fehler 1. Art: Es wird gegen H 0 entschieden, obwohl H 0 gilt Fehler 2. Art: Es wird für H 0 entschieden, obwohl H 1 gilt Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 9

10 Ziel: Problem: Vorgehen: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 10

11 Bedeutung des Signifikanzniveaus: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 11

12 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 12

13 Fehler 2. Art Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 13

14 Zusammenhang Hypothesentests <-> Toleranzintervall 1. Berechnung des Toleranzintervall zur Sicherheit für den unbekannten Parameter : 2. Entscheidung: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 14

15 7.3 Chi-Quadrat-Test zur Verteilungsprüfung Diskrete Verteilungen Beispiel: Ist ein Würfel gleichmäßig? H0 : H1 : Stichprobe: 60x Werfen des Würfels: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 15

16 Allgemein gilt: Wir lehnen H 0 nicht ab, falls Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 16

17 Verallgemeinerung: X: diskrete Zufallsgröße a 1, a 2... a k : P 0 : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 17

18 Falls P 0 von Parametern abhängt: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 18

19 2. Berechnung der Teststatistik (=Testgröße) Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 19

20 3. Bestimmung des kritischen Wertes Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 20

21 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 21

22 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 22

23 Beispiel "Würfel": H 0: Augenzahlen sind gleichverteilt, d.h P(X=i) =1/6 für i=1,...6 H 1: Augenzahlen sind nicht gleichverteilt Teststatistik: Kritischer Wert: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 23

24 7.3.2 Modellierung stetiger Verteilungen durch Histogramme X: stetige Zufallsgröße Vorgehen: Einteilung der Daten in Klassen Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 24

25 Klasseneinteilung Anzahl der Klassen: Klassenbreite: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 25

26 Klasseneinteilung Histogramm Annahme: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 26

27 Schätzung der Parameter der Normalverteilung aus der Stichprobe: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 27

28 7.3.3 Chi-Quadrat-Test zur Verteilungsprüfung stetiger Zufallgrößen Hypothesen: Erwartete Häufigkeiten (bei angenommener Verteilung F 0 ) ai o : obere Grenze der i-ten Klasse ai u : untere Grenze der i-ten Klasse Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 28

29 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 29

30 Beispiel "Zufällige Dauer von Telefongesprächen": H 0 : H 1 : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 30

31 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 31

32 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 32

33 Teststatistik: Kritischer Wert: Entscheidung: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 33

34 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 34

35 Allg. für beidseitige Tests 1. Schätzen des unbekannten Parameters aus den Beobachtungen (hier: schätzen des Erwartungswertes durch das arithmetische Mittel) 2. Berechnen der Teststatistik bei beiseitigem Test Betrag 3. Kritischer Wert (daher auch t-test auf Mittelwert genannt) Entscheidung: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 35

36 Einseitige Tests: Teststatistik: Achtung: bei einseitigem Test kein Betrag Kritischer Wert und Entscheidung: b) c) Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 36

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