Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester Übungsblatt 1

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1 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011 Übungsblatt 1 1. Modellierung eines Linearen Programms Eine Nahrungsmittelfirma stellt aus Nüssen, Haferflocken und Rosinen die zwei verschiedenen Sorten Müsli A und B her. Eine Einheit von Müsli A enthält 2E(inheiten) Nüsse, 4E Haferflocken und 1E Rosinen. Eine Einheit von Müsli B enthält 3E Nüsse, 1E Haferflocken und 1E Rosinen. Beim Verkauf einer Einheit Müsli A erzielt die Firma einen Gewinn von 5 Euro, der Verkauf von B bringt 4 Euro. Die Firma kann maximal 12000E Nüsse, 16000E Haferflocken und 4300E Rosinen beschaffen. Formulieren Sie das Problem, einen Produktionsplan mit maximalem Gewinn zu bestimmen, als Lineares Programm. Lösen Sie das Lineare Programm graphisch. Wie ändert sich der optimale Produktionsplan, wenn aufgrund von Lieferschwierigkeiten nur noch 10000E Nüsse bzw. 4000E Rosinen beschafft werden können? 2. Problemtransformationen (a) Beschreiben Sie die folgenden Mengen mit Hilfe linearer Ungleichungen. {x R n : x i 1, i = 1,..., n} { } n x R n : x i 1 (b) Schreiben Sie das folgende Problem als Lineares Programm in Ungleichungsform max c T x s.t. Ax b. x 3. Lösbarbeit von Linearen Programmen i=1 min x max{d T i x + δ i, i = 1,..., n} Cx d Für welche Werte von t R besitzt das folgende lineare Optimierungsproblem max x,y x + y x y 3 x + y 3 x 2y 2 tx + 3y 4 x, y 0

2 (a) genau eine Lösung und welche, (b) mehrere Lösungen und welche, (c) keine Lösung? Begründen Sie Ihre Antworten graphisch. 4. Lineare Optimierung mit OpenOffice Calc/Excel Betrachten Sie das Optimierungsproblem aus Aufgabe 1. (a) Zeichnen Sie mit OpenOffice Calc/Excel den zulässigen Bereich des LP und Höhenlinien der Zielfunktion und lösen Sie das Problem graphisch. (b) Lösen Sie das LP mit dem OpenOffice Calc/Excel-Solver. Wenden Sie Ihr Spreadsheet auch auf das LP aus Aufgabe 3 mit geeigneten verschiedenen Werten von t an. Abgabe bis Mittwoch, Webseite: hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/teaching/ss11/linopt/

3 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011 Übungsblatt 2 1. Lineare, affine, konische und konvexe Hülle Beweisen oder widerlegen Sie: (a) lin(s T ) = lin(s) + lin(t ) (b) lin(s T ) = lin(s) lin(t ) (c) cone(s T ) = cone(s) + cone(t ) (d) aff(s T ) = aff(s) + aff(t ) (e) aff(s + T ) = aff(s) + aff(t ) (f) conv(s T ) = conv(s) + conv(t ) (g) conv(s + T ) = conv(s) + conv(t ) 2. Projektion eines Polyeders Das Polyeder P (a, b) R 3 sei durch die folgenden Ungleichungen gegeben: x 1 + x 2 + x 3 2 x 1 + x 2 + x 3 1 x 1, x 2, x 3 1 x 1, x 2, x 3 0 Bestimmen Sie die Projektion des Polyeders entlang c = (0, 2, 1) T auf die Menge { x R 3 : x = (2, 2, 3) T + α ( 2, 1, 3) T, α R } mit dem Projektionsalgorithmus. 3. Kollisionsvermeidung von Robotern Zwei Roboter sollen gemeinsam ein Werkstück bearbeiten. Dabei sollen sie sich so bewegen, dass sie nicht kollidieren. Die Roboter bestehen aus einer Kette von Gliedern, die durch Gelenke verbunden sind. Wir nehmen an, dass sie sich zum Zeitpunkt t als Vereinigung von Polyedern beschreiben lassen: R i (t) = n i j=1 { x R 3 : A (ij) (t)x b (ij) (t) }, i = 1, 2 Die Systeme A (ij) (t), b (ij) (t) seien durch die Kinematik der Roboter gegeben. Formulieren Sie mit Hilfe des Farkas-Lemmas Bedingungen, so dass die Roboter nicht miteinander kollidieren.

4 4. Praktische Aufgabe: Gurobi Besorgen Sie sich den Gurobi Optimizer in der Free Academic License und installieren Sie ihn auf einem Ihnen zugänglichen Computer. Wie lauten die Ausgaben des Kommandos gurobi_cl -v? Abgabe bis Mittwoch, Webseite: hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/teaching/ss11/linopt/

5 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011 Übungsblatt 3 1. Beweis der ausführlichen Variante des Farkas-Lemmas Beweisen Sie die ausführliche Variante des Farkas-Lemmas (Satz 3.1): Für dimensionsverträgliche Matrizen A, B, C, D und Vektoren a, b gilt: Entweder es existieren x, y mit Ax + By a Cx + Dy = b x 0 oder es existieren u, v mit u T A + v T C 0 u T B + v T D = 0 u 0 u T a + v T b < 0. mit Hilfe der kurzen Variante (Korollar 2.11): Seien A K m n und b K m. Dann gilt: Das Ungleichungssystem Ax b hat genau dann keine Lösung, wenn es einen Vektor u K m, u 0 gibt mit u T A = 0, u T b < Alternativsätze Beweisen Sie die folgenden Alternativsätze: (a) Entweder ( x : Ax = c) oder ( y : A T y = 0, c T y = 1). (b) Entweder ( x : Ax c, Ax c) oder ( y : (A T y = 0, c T y = 1, y 0) (A T y = 0, c T y 0, y > 0)). (c) Entweder ( x : Ax > 0, Cx 0, Dx = 0) oder ( u, v, w : u, v 0, u 0, A T u + C T v + D T w = 0). 3. Duales Programm vom dualen Programm Zeigen Sie mit den Schreibweisen von Definition 3.14: Das duale Programm zum dualen Programm ist das primale Programm. 4. MPS-Files Das MPS-Format ist ein Standard-Fileformat zur Spezifikation von linearen Optimierungsproblemen zur Behandlung mit LP-Software.

6 (a) Machen Sie sich mit dem MPS-Format vertraut. (b) Lösen Sie mit Gurobi (Aufruf: gurobi_cl) das Problem P0033 (ist als p0033.mps bei Gurobi dabei) als lineares und als linear-ganzzahliges-problem, d. h. ohne und mit Ganzzahligkeitsbedingungen an die Variablen. (c) Formulieren Sie das LP aus Aufgabe 1, Blatt 1, als MPS-File, und lösen Sie es mit Gurobi. Abgabe bis Mittwoch, Webseite: hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/teaching/ss11/linopt/

7 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011 Übungsblatt 4 1. Zulässigkeit und Unbeschränktheit Betrachten Sie das LP und zeigen Sie: min c T x Ax = b (a) Gibt es zwei zulässige Punkte mit unterschiedlichen Zielfunktionswerten, dann ist das Problem unbeschränkt. (b) Gibt es einen zulässigen Punkt und hat das Problem eine endliche Lösung, dann ist c T x konstant für alle zulässigen Punkte x. 2. Anwendung des Satzes vom komplementären Schlupf Benutzen Sie den Satz vom komplementären Schlupf, um zu überprüfen, ob der Vektor x = ( 0, 0, 5 2, 7 2, 0, 1 2) T Optimallösung des folgenden Problems ist: 3. Polarer Kegel max 4x 1 + 5x 2 + x 3 + 3x 4 5x 5 + 8x 6 1 x 1 4x 3 + 3x 4 + x 5 + x 6 4 5x 1 + 3x 2 + x 3 5x 5 + 3x 6 4 4x 1 + 5x 2 3x 3 + 3x 4 4x 5 + x 6 5 x 2 2x 4 + x 5 5x 6 7 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + 2x 5 + 2x 6 5 2x 1 3x 2 + 2x 3 x 4 + 4x 5 + 5x 6 0 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 Für eine beliebige Menge S K n sei S := {y K n : y T x 0 x S} der polare Kegel von S. (a) Beweisen Sie, dass für S, S i K n, i = 1,..., k gilt: i. S i S j Sj Si ii. S ( S k ) iii. = k i=1 S i i=1 S i iv. S = cone(s ) = (cone(s))

8 (b) Für welche Mengen S K n gilt S = S bzw. S = S? 4. Polarensatz Beweisen Sie den Polarensatz: Für jede Matrix A K m n gilt: P (A, 0) = P (A, 0) und cone(a) = cone(a). Abgabe bis Mittwoch, Webseite: hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/teaching/ss11/linopt/

9 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011 Übungsblatt 5 1. Verschiedene Darstellungen von Polyedern (a) Gegeben sei das Polyeder P = {x R 2 : x 1 2x 2 1, 2x 1 + x 2 1, x 1 0, x 2 0}. Schreiben Sie P als P = conv({v 1,..., v n }) + cone({d 1,..., d m }) mit geeigneten Vektoren v 1,..., v n und d 1,..., d m. (b) Gegeben sei das Polyeder ({( ) 0 P = conv, 1 ( )}) 1 + cone 0 ({( ) 1, 1 ( )}) 0. 1 Schreiben Sie P als P = P (A, b) mit geeigneter Matrix A und geeignetem Vektor b. Sie dürfen die Lösung graphisch herleiten. 2. Disjunktive Programmierung Wir betrachten die disjunktive Menge { F = x R n : ( A i x = b i, x 0 )}. Wir nehmen an, dass I endlich und F endlich-dimensional ist. i I Wie lautet die γ-polare F γ von F, d. h. die Menge aller bzgl. F gültigen Ungleichungen, F γ = { a R n, α R : a T x α x F }, beschrieben als Zulässigkeitsbedingung an ein System linearer Gleichungen bzw. Ungleichungen? 3. Disjunktive Schnittebenen Wenden Sie Aufgabe 2 an, um ein LP aufzustellen, mit dem man die gültigen Ungleichungen für das 0-1-Problem (für x R n ) min c T x Ax = b x 0 x j {0, 1}, j {1,..., n}, berechnen kann, die durch einen gegebenen Punkt ˆx R n mit Aˆx = b, ˆx 0, ˆx j {0, 1} möglichst stark verletzt werden. Wenn Sie Aufgabe 2 nicht gelöst haben, können Sie auch allgemeine Nebenbedingungen zur Beschreibung von F γ einsetzen.

10 4. Gurobi Library Wir wollen Funktionsaufrufe von Gurobi-Routinen, die sogenannte Gurobi Library, in einem selbstgeschriebenen Programm verwenden. Als Programmiersprachen werden C, C++, Java, MS.NET und Python unterstützt. Schreiben Sie als ersten Prototyp in einer Programmiersprache Ihrer Wahl ein Programm, das ein LP aus einem MPS-File einliest, das LP löst und die Lösung ausgibt. Wenden Sie das Programm auf Beispiele an, z. B. auf die MPS-Files von Blatt 3. Abgabe bis Mittwoch, Webseite: hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/teaching/ss11/linopt/

11 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011 Übungsblatt 6 1. Seitenflächen der Cheopspyramide Beschreiben Sie die Cheopspyramide als Polyeder P (A, b). Wir nehmen an, dass es sich um eine perfekte Pyramide handelt. Nehmen Sie die Koordinaten der Ecken z. B. aus Google Earth. Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem mit Meter als Einheit. Beschreiben Sie alle Seitenflächen der Pyramide. Welche Seitenflächen sind Facetten? Stellen Sie die Pyramide als conv(v ) + cone(e) dar. 2. Dimension von Seitenflächen Sei P ein Polyeder mit dim(p ) = d und F eine Seitenfläche von P der Dimension k mit 0 k < d. Zeigen Sie: Dann gibt es Seitenflächen F k+1, F k+2,..., F d 1 von P mit (a) F F k+1 F k+2... F d 1 P, (b) dim(f k+i ) = k + i für i = 0,..., d k Minimale Seitenflächen (a) Sei P ein Polyeder und F eine nichtleere Seitenfläche von P. Zeigen Sie, daß F genau dann eine minimale Seitenfläche bzgl. Mengeninklusion ( ) ist, wenn F ein affiner Raum ist. (b) Sei Q eine Teilmenge eines Polyeders P = P (A, b). Zeigen Sie, daß fa(eq(q)) die bzgl. Mengeninklusion ( ) kleinste Seitenfläche ist, die Q enthält. 4. Schwerpunkt Sei V R n eine endliche Menge und P = conv(v ) die konvexe Hülle von V. Zeigen Sie, daß der Schwerpunkt 1 v V ein innerer Punkt von P ist. v V Abgabe bis Mittwoch, Webseite: hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/teaching/ss11/linopt/

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13 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011 Übungsblatt 7 1. Affine Hülle von Seitenflächen Zeigen Sie: Ist F eine nichtleere Seitenfläche von P (A, b), dann ist 2. Unbeschränktheit und Extremalen aff(f ) = {x : A eq(f ) x = b eq(f ) }. Zeigen Sie: Sei P = P (A, b) ein nichtleeres, spitzes Polyeder. Dann ist max{c T x, x P } genau dann unbeschränkt, wenn es eine Extremale e von P gibt mit c T e > Praktische Aufgabe: Optimale Ecke eines Polyeders Gegeben sei ein Polyeder P = P (A, b) und ein Vektor c. Schreiben Sie ein Programm, das alle zulässigen Ecken des Polyeders bestimmt und daraus die mit dem größten Zielfunktionswert c T x heraussucht. Benutzen Sie eine Programmiersprache Ihrer Wahl bzw. Matlab/Octave. Rufen Sie zur Lösung von linearen Gleichungssystemen bzw. zur Rangbestimmung eine Bibliotheksfunktion auf, z. B. dgesv von Lapack. Wenden Sie Ihr Programm auf Beispiele an, z. B. die LPs von Blatt 1. Abgabe bis Mittwoch, Webseite: hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/teaching/ss11/linopt/

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15 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011 Übungsblatt 8 1. Homogenisierung Sei S K n eine beliebige Menge. Die Menge hog(s) := {( ) } x K n+1 : x S 1 heißt Homogenisierung von S. (S ist der polare Kegel von S, siehe Aufgabe 4.3.) Zeigen Sie: Sei P = P (A, b) = conv(v ) + cone(e) ein nichtleeres Polyeder und dann gilt: hog(p ) = P (B, 0) = cone B := ( ) A b, 0 1 ({( ) }) ({( ) }) v e : v V + cone : e E Restriktionsorientierter Simplex-Algorithmus: Beispiel Lösen Sie das folgende LP mit der restriktionsorientierten Variante des Simplex-Algorithmus mit der Startecke (0, 0). max x 1 + x 2 x 1 4 x 1 + 2x x 1 + 2x 2 14 x 1 0 x 2 0 Veranschaulichen Sie die Rechnungen anhand einer Zeichnung. 3. Phase-I-Problem Formulieren und lösen Sie das Phase-I-Problem zur Bestimmung einer zulässigen Startecke für das LP in Aufgabe 2. Wenn Sie wollen, können Sie die Lösung mit dem Computer berechnen.

16 4. Praktische Aufgabe: Restriktionsorientierter Simplex-Algorithmus Implementieren Sie den restriktionsorientierten Simplex-Algorithmus (Algorithmus 5.1) zur Lösung von Linearen Programmen max c T x s.t. Ax b (A R m n, b R m, c R n ) für eine gegebene Startecke x 0 R n, zugehörigem Teilsystem A 0 x 0 = b 0 und regulärer Matrix A 0. Testen Sie Ihr Programm. Abgabe bis Mittwoch, Webseite: hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/teaching/ss11/linopt/

17 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011 Übungsblatt 9 1. Simplex-Algorithmus von Nelder und Mead Neben dem in der Vorlesung behandelten Simplex-Algorithmus der Linearen Optimierung von Dantzig (1947) gibt es auch ein Simplex-Verfahren von Nelder und Mead (1965). Die beiden Verfahren sollten nicht verwechselt werden. Für welche Optimierungsprobleme ist der Nelder-Mead-Simplex geeignet? Skizzieren Sie kurz seine Funktionsweise. Kann man mit dem Nelder-Mead-Simplex LPs lösen? 2. Anwendung des Simplex-Algorithmus auf ein Beispiel Lösen Sie das folgende LP mit der Standard-Variante des Simplex-Algorithmus, Algorithmus 6.8 aus der Vorlesung. Starten Sie mit der zulässigen Basis (3, 4, 5). 3. Aussagen zu Linearen Programmen max x 1 + x 2 x 1 + 3x 2 + x 3 = 13 3x 1 + x 2 + x 4 = 15 x 1 + x 2 + x 5 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Wenn nicht anders gesagt, betrachten wir im folgenden ein Lineares Programm in Standardform max c T x : Ax = b, x 0, das die allgemeinen Voraussetzungen von Kapitel 6 der Vorlesung erfüllt. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen. (a) Eine Basislösung x B eines LP in Standardform ist optimal genau dann, wenn die zugehörigen reduzierten Kosten c 0 sind. (b) Sei B eine optimale Basis eines LP in Standardform. Wenn man den Wert einer Nichtbasisvariablen erhöht und die Werte der Basisvariablen durch die Gleichung x B = b Āx N festhält, erniedrigt sich der Zielfunktionswert. (c) Wenn x eine unzulässige Basislösung mit zugehörigen reduzierten Kosten c 0 ist, dann ist c T x c T y für alle zulässigen Lösungen y. (d) Wenn der optimale Zielfunktionswert des LP max c T x : Ax = b, x 0 endlich ist, dann ist das LP max c T x : Ax = b, x 0 für alle b beschränkt. (e) Die Anzahl der positiven x j in einer zulässigen Basislösung überschreitet nicht den Rang der Matrix A. (f) Sowohl die Anzahl der Optimallösungen als auch die Anzahl der zulässigen Basislösungen ist endlich.

18 (g) Zu jedem LP mit n nicht vorzeichenbeschränkten Variablen gibt es ein äquivalentes LP mit n + 1 nichtnegativen Variablen. (h) Die beiden LPs max c T x : Ax b und max c T x : Ax b können zulässige Lösungen mit beliebig großen Zielfunktionswerten haben. 4. Programm Simplex-Algorithmus Stellen Sie Ihre Implementierung des Simplex-Algorithmus aus Aufgabe 8.4 fertig. Wenn Sie wollen, können Sie noch eine Phase I hinzufügen. Abgabe bis Mittwoch, Webseite: hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/teaching/ss11/linopt/

19 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011 Übungsblatt Updateformeln für das Simplex-Tableau Sei max c T x, Ax = b, x 0 ein LP in Standardform und B = (p 1,..., p m ) eine zulässige Basis. Sei ( c T T B := B A 1 B b ct c T B A 1 B A ) A 1 B b A 1 B A das Simplextableau zur Basis B. Sei q s N, so daß B = (p 1,..., p r 1, q s, p r+1,..., p m ) wieder eine zulässige Basis ist. Zeigen Sie: T B = ET B mit 1 η η r 1 E = η r, η r η m 1 η i = T B is ā rs, i j, η r = 1 ā rs. 2. Kreiseln Gegeben sei das LP max 4 5 x 1 18x 2 x 3 x x 1 84x 2 12x 3 + 8x 4 + x 5 = x 1 5x x x 4 + x 6 = 0 x 1 + x 7 = 1 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 Führen Sie den Simplex-Algorithmus mit der Anfangsbasis B = (5, 6, 7) mit zugehöriger zulässiger Basislösung x B = (0, 0, 1), Steilster-Anstieg-Spaltenauswahlregel und der Pivotzeilenwahl q s = 5, 6, 1, 2, 3, 4 durch. Was beobachten sie?

20 3. Klee-Minty Wir betrachten das Klee-Minty-Beispiel max n 2 n i x i i=1 i 1 2 i j+1 x j + x i 5 i, i = 1,..., n j=1 x 0 Zeigen Sie: das Polytop der zulässigen Punkte hat 2 n Ecken. Formulieren Sie das Problem als LP in Standardform. Lösen Sie es für n = 3 mit dem Simplex-Algorithmus jeweils mit Steilster-Anstieg-Spaltenauswahlregel und mit Größter-Fortschritt-Spaltenauswahlregel, jeweils mit dem Nullpunkt als zulässigem Startpunkt und den Schlupfvariablen als Basisvariablen. Schreiben Sie die Rechnungen jeweils in verkürzter Tableau-Form. 4. KKT-Bedingungen für Lineare Optimierung In der nichtlinearen Optimierung kann man die Karush-Kuhn-Tucker (KKT)-Bedingungen als notwendige Bedingungen für Optimalität formulieren: Sei max f(x), g(x) = 0, h(x) 0 ein nichtlineares Optimierungsproblem, f, g, h stetig differenzierbar und L(x, λ, µ) := f(x) + λ T g(x) + µ T h(x) die Lagrangefunktion des Problems. Sei x ein lokales Minimum und h i (x ) = 0 für i I. ( g(x ), h I (x )) habe Vollrang. Dann gilt: es gibt λ und µ 0, so daß Stationarität und Komplementarität gelten. (x,λ,µi )L(x, λ, µ) = 0 µ T h(x ) = 0 Formulieren Sie die KKT-Bedingungen für das LP max c T x, Ax = b, x 0 und setzen Sie das Ergebnis mit entsprechenden Resultaten aus der Vorlesung in Beziehung. Abgabe bis Mittwoch, Webseite: hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/teaching/ss11/linopt/

21 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011 Übungsblatt Aussagen zum Simplex-Algorithmus Wir betrachten ein lineares Programm in Standardform max c T x, Ax = b, x 0 mit A R m n, b R m, c R n. Sei m < n, ranga = m und P = (A, b) {}. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: (a) Eine Nichbasisvariable, die in einer Iteration des Simplex-Algorithmus in die Basis aufgenommen wird, kann die Basis nicht im nächsten Schritt wieder verlassen. (b) Eine Basisvariable, die gerade die Basis verlassen hat, kann im nächsten Schritt des Simplex-Algorithmus nicht wieder in die Basis aufgenommen werden. (c) Falls x 1 eine eindeutige optimale Basislösung und x 2 eine zweitbeste Basislösung mit kleinerem Zielfunktionswert ist, dann kann x 1 aus x 2 durch den Austausch einer Basisvariablen mit einer Nichtbasisvariablen erhalten werden. (d) Falls A = A T, dann ist jede zulässige Lösung des LP optimal. max c T x, Ax = c (e) Falls keine Basislösung degeneriert und das LP von oben beschränkt ist, dann ist die Optimallösung eindeutig. (f) Falls eine unbeschränkte Variable x j durch x + j x j, x+ j, x j 0 ersetzt wird, ist in jeder Iteration des Simplex-Algorithmus höchstens eine der Variablen x + j und x j ungleich Rang-1-Matrizen Zeigen Sie: Alle n n-matrizen A vom Rang 1 lassen sich in der Form A = uv T Spaltenvektoren u, v R n \ {0} schreiben. Beweisen Sie die Sherman-Morrison-Woodbury-Formel: Sei A R n n regulär. Falls gilt v T A 1 u 1, ist A + uv T regulär, und es gilt: (A + uv T ) 1 = A 1 A 1 uv T A v T A 1 u. mit

22 3. Hinzufügen einer Ungleichung Gegeben sei ein LP in Standardform max c T x, Ax = b, x 0 mit A R m n, b R m, c R n. Das LP habe ein Optimum mit dem Tableau ( c T B A 1 B b ct c T B A 1 B A ). A 1 B b A 1 B A Bei gegebenem a R n, β R betrachten wir das modifizierte Problem max c T x, Ax = b, a T x β, x 0. Wie kann man das modifizierte Problem unter Benutzung des optimalen Tableaus für das ursprüngliche Problem lösen? 4. Praktische Aufgabe: Re-Optimierung Schreiben Sie ein Gurobi-Programm, das ein LP einliest und die Optimallösung berechnet. Modifizieren Sie anschließend das LP durch Änderungen jeweils an Zielfunktion, rechter Seite und Koeffizientenmatrix. Optimieren Sie das LP danach erneut. Lassen Sie sich Informationen über die Schritte des Simplex-Algorithmus ausgeben. Welche Variante des Simplex-Algorithmus wird jeweils verwendet? Testen Sie Ihr Programm mit Beispielen. Abgabe bis Mittwoch, Webseite: hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/teaching/ss11/linopt/

23 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011 Übungsblatt Homogenes LP Zeigen Sie: Das lineare Programm max c T x, Ax = 0, x 0 ist entweder unbeschränkt oder hat das Maximum Halbachsen eines Ellipsoids Sei A R n n symmetrisch und positiv definit, a R n und E := {x R n : (x a) T A 1 (x a) 1} ein Ellipsoid. Zeigen Sie: Die Quadratwurzeln der Eigenwerte von A sind die Halbachsen des Ellipsoids. Tipp: Hauptachsentransformation. 3. Beispiel zur Ellipsoid-Methode Sei s N, A := 0 1 und b := 1. 2 s 1 1 Sei P := {x R 2 : Ax b}. Bestimmen Sie mit der Ellipsoid-Methode einen zulässigen Punkt von P für s = 0 und s = Löwner-John-Ellipsoid Bestimmen Sie ein zweidimensionales Ellipsoid mit minimalem Volumen, das die positive Halbkreisscheibe {x R 2 : x x 2 2 1, x 2 0} enthält. Abgabe bis Mittwoch, Webseite: hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/teaching/ss11/linopt/

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25 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011 Übungsblatt 13 Wiederholungsaufgaben zur Klausurvorbereitung 1. Modellierung eines linearen Optimierungsproblems Eine Großstadt hat für ein Bauprojekt in den folgenden fünf Jahren Bedarf an Finanzierungsmitteln, und zwar 10 Mio. e in 1. Jahr 8 Mio. e in 2. Jahr 6 Mio. e in 3. Jahr 4 Mio. e in 4. Jahr 2 Mio. e in 5. Jahr. Man will sich diese Mittel über langfristige Anleihen beschaffen. Am Beginn jedes Jahres können solche Anleihen aufgenommen werden. Alle Anleihen müssen nach genau sechs Jahren (von jetzt gerechnet) zurückgezahlt werden. Die Verzinsung ist in der Rückzahlungssumme enthalten. Der Rückzahlungskurs beträgt für Anleihen aus dem 1. Jahr 150%, aus dem 2. Jahr 147%, aus dem 3. Jahr 131%, aus dem 4. Jahr 125% und aus dem 5. Jahr 119%. Man steht nun vor der Frage, ob man nicht vielleicht Anleihen auf Vorrat aufnehmen soll, also wie die Volumina der fünf Anleihen aussehen sollen. Wichtig ist es noch zu wissen, daß man noch nicht benötigte Mittel zu jeweils 7% Verzinsung jährlich (von Jahr zu Jahr) anlegen kann. Formulieren Sie ein lineares Optimierungsproblem zur Bestimmung der besten Volumina. 2. Transformation von linearen Programmen Transformieren Sie das folgende LP nach Standardform max c T x : Ax = b, x 0, ohne die Lösungsmenge zu verändern. 3. Duales lineares Programm min x 1 + x 2 + x 3 x 1 x 2 + 2x 3 3 x 1 + x 2 x 3 = 3 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 7 x x 2 0 Wie lautet das zum LP aus der vorherigen Aufgabe duale lineare Programm? Berechnen Sie das zum dualen Problem duale Programm und zeigen Sie, dass es mit dem ursprünglichen Problem übereinstimmt.

26 4. Dualitätstheorie Wie lauten die Aussagen der Dualitätssätze und der Sätze vom komplementären Schlupf? 5. Farkas-Lemma Wie lauten nach dem Farkas-Lemma die Alternativen zu folgenden Aussagen: (a) x : Ax = b, x 0, (b) P (A, b) {}, (c) { x R n : i I (Ai x = b i, x 0) } {}? 6. Extremalen von Polyedern Durch welche äquivalenten Eigenschaften kann man Extremalen von Polyedern P (A, b) charakterisieren? 7. Geometrische Eigenschaften von Polyedern Gegeben sei das Polyeder P = {x K n : x 1 x 2 2, x 1 + x 2 2, x 1 0}. Geben Sie alle Seitenflächen, Facetten, Kanten, Ecken, und Extremalen von P an. Wie lautet der Rezessionskegel rec(p ) von P? Schreiben Sie P als P = conv(v ) + cone(e) mit geeigneten Mengen V und E. 8. Simplex-Algorithmus (a) Welche generellen Schritte werden in einer Iteration des Simplex-Algorithmus (in einer beliebigen Variante) durchgeführt? (b) Was sind Phase I und Phase II? (c) Was ist der Unterschied zwischen primalem und dualem Simplex-Algorithmus? (d) Welche Entscheidungen kann man ggf. in den Iterationen treffen? (e) Was wissen Sie über endliche Terminierung und das Laufzeitverhalten des Simplex- Algorithmus? 9. Rechenbeispiel zum Simplex-Algorithmus Lösen Sie das folgende lineare Programm mit dem primalen Simplex-Algorithmus. Bestimmen Sie eine geeignete Startbasis (ohne Rechnung). Stellen Sie die Iterationen des Simplex-Algorithmus in Tableauform dar. max x 1 + x 2 x 1 + 3x 2 + x 3 = 13 3x 1 + x 2 + x 4 = 15 x 1 + x 2 + x 5 = 3 x 0 Wenn die Variablen x 3, x 4, x 5 als Schlupfvariablen von Ungleichungsbedingungen aufgefasst werden, kann man das Polyeder der zulässigen Punkte zweidimensional zeichnen. Vergleichen Sie die Basislösungen in den Schritten des Simplex-Algorithmus mit den Ecken des Polyeders.

27 10. Duales Simplexverfahren Gegeben sei das lineare Programm max 5x 1 3x 2 3x 3 6x 4 6x 1 + x 2 + 2x 3 + 4x 4 + x 5 = 14 3x 1 2x 2 x 3 5x 4 + x 6 = 25 2x 1 + x 2 + x 4 + x 7 = 14 x 0 Lösen Sie das Problem mit dem dualen Simplexverfahren mit der Startbasis B = (5, 6, 7). Schreiben Sie die Schritte in Tableauform auf. 11. Re-Optimierung Sei ein LP in Standardform mit dem Simplex-Algorithmus gelöst worden. Nun werde das Problem modifiziert. Was muß man tun, wenn man ohne erneute Phase I das Maximum des modifizierten LPs berechnen will, wenn man (a) den Vektor der Zielfunktionskoeffizienten geändert hat, (b) die rechte Seite geändert hat, (c) eine Gleichungsbedingung hinzugefügt hat, (d) eine Spalte der Matrix und eine Variable x n+1 mit c n+1 = 0 hinzugefügt hat? 12. Polytop und Ecken Veranschaulichen Sie den folgenden Satz graphisch: Sei P ein Polytop, dann ist jedes Element von P Konvexkombination von höchstens dim(p ) + 1 Ecken von P. 13. Ellipsoid-Methode Gegeben sei ein Polytop P. Skizzieren Sie die Schritte der Ellipsoid-Methode, um einen Punkt in P zu bestimmen oder festzustellen, ob P = {} ist. Wie kann man die Ellipsoid-Methode einsetzen, um in polynomialer Laufzeit ein LP zu lösen? 14. Innere-Punkte-Methoden Beschreiben Sie die grundsätzlichen Ideen für Innere-Punkte-Verfahren. Abgabe: keine Webseite: hgs.iwr.uni-heidelberg.de/expdesign/teaching/ss11/linopt/

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