Übung zur theoretischen Mechanik (Bachelor) Blatt 1

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1 PD Dr. Gerald Kasner Dr. Volker Becker Übung zur theoretischen Mechanik (Bachelor) Blatt 1 WS Global Positioning System 8 Pkt. Das amerikanische GPS-System findet heutzutage in vielen Alltagssituationen Anwendungen (Smartphones, Autonavigation etc. ). Die prinzipielle Funktionsweise ist folgende: In den Signalen, welche von den GPS Satelliten ausgesandt werden, ist die (fast) exakte Sendezeit 1, sowie die Position des Satelliten kodiert. Ein Empfänger auf der Erde kann durch Messung der Empfangszeit, die Laufzeit des Signals bestimmen und kennt damit auch den Abstand seiner Position zu dem des GPS-Satelliten. Da der Empfänger im Allgemeinen keine Atomuhr dabei hat, ist die gemessene Empfangszeit, und damit auch die Laufzeit, mit einem Fehler t bzw. s behaftet. Würde dieser Fehler verschwinden, bräuchte man das Signal dreier Satelliten um den eigenen Standort zu bestimmen. Mit dem Fehler t kommt eine vierte Unbekannte hinzu, deshalb benötigt man zur Ortsbestimmung mindestens vier Satelliten um die vier Unbekannten (3 Ortskomponenten sowie t) zu bestimmen. In der Praxis wird zur Ortsangabe auf der Erdoberfläche der WGS84 Referenzellipsoid 2 verwendet und entsprechende es werden entsprechende elliptische Winkelkoordinaten verwendet. Hier nehmen wir der Einfachheit halber an, die Erde sei eine Kugel mit dem Radius R E = , 785 m. Außerdem vernachlässigen wir atmosphärische Effekte und nehmen an die Signalgeschwindigkeit ist mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c = m/s identisch:. Beachten sie dass bei geographischen Koordinaten, die geographische Breite so definiert ist, das θ = 0 am Äquator und θ = N 90 am Nordpol bzw. θ = S 90 am Südpol gilt. Sie haben Signale von vier Satelliten empfangen und deren Laufzeiten, inklusive dem Fehler t bestimmt. Die Daten finden sie in der unten stehenden Tabelle. Satellit Länge Breite Bahnhöhe bzgl. gemessene Erdmittelpunkt Signallaufzeit BII-02 (PRN02) Ost 9,32541 Nord 44, ,000 km s BIIA-12 (PRN 25) West 27,62321 Nord 51, ,000 km s BIIA-18 (PRN 22) Ost 7,75396 Nord 31, ,000 km s BIIA-28 (PRN 08) Ost 52,48465 Nord 57, ,000 km s (a) (b) (c) Stellen sie ein Gleichungssystem zur Bestimmung des Ortes, sowie des Fehlers der Empfängeruhr t auf. Hinweis: Hier ist es günstig, ein geeignet orientiertes, kartesische Koordinatensystem zu benutzen. Lösen die das Gleichungssystem (egal ob analytisch oder numerisch) und berechnen Sie den Längengrad φ, den Breitengrad θ, sowie den Abstand des Empfängers zum Erdmittelpunkt R E. Wenn sie den berechneten Längen- und Breitengrad als wirkliche geographi- (1 Bpt.) sche Koordinaten nutzen (z.b. mit GPS-Gerät,Smartphone oder Google maps oder Bing-maps), werden sie sehen, dass die bestimmte Position nahe des Campus liegt. Wenn sie ihre Lösung schon vor der Übung überprüfen wollen, begeben sie sich an die Koordinaten. Dort finden Sie am Fuße einer Eiche einen Hohlraum im Wurzelwerk, in dem eine mit Ästen abgedeckte wasserdichte Dose liegt. Diese enthält ein Logbuch, 1 Diese wird durch Atomuhren an Bord der Satelliten bestimmt. Aufgrund von Effekten aus der allgemeinen Relativitätstheorie weicht diese leicht von der Zeit ab, die eine Atomuhr auf der Erde anzeigt, diese Abweichung ist vor allem bei der Synchronisation von auf der Erde stehenden Referenzuhren und den Borduhren der Satelliten zu berücksichtigen, die Korrekturen werden vor der Aussendung des Signals berechnet. 2 2World Geodetic System 1984, ist ein geodätisches Referenzsystem als einheitliche Grundlage für Positionsangaben auf der Erde und im erdnahen Weltraum (4 Pkt.) (4 Pkt.) (1 Bpt.) Abgabe:

2 in das sie ihren Namen eintragen können. Für die ersten fünf Finder ist weiterhin eine kleine "Überraschung in der Dose. Bitte nur eine entnehmen und die Dose wieder ins Versteck legen. Die Dose liegt dort bis zum Vortag der nächsten Übung. Lösung: (a) Wir definieren uns ein kartesischen Koordinatensystem, dessen z-achse mit der Erdachse identisch ist, also durch Süd- und Nordpol läuft. Dabei ist Norden die positive Richtung. Die x-y Ebene ist die Äquatorebene. Die x-achse verlüft so, dass sie am Äquator mit dem Nullmeridian identisch ist. Die kartesischen Koordinaten ausgedrückt durch Länge φ, Breite θ und Abstand zum Erdmittelpunkt sind dann: x cos φ cos θ r = y = r sin φ cos θ z sin θ Wir bezeichnen die Positionen der Satelliten mit r 1, r 2, r 3 und r 4 und die gemessenen Laufzeiten mit t 1,t 2,t 3,t 4. Der Abstand des i ten Satelliten (i = 1..4) zum Empfänger, dessen Position mit r e bezeichnet wird, kann dann zum einen durch die Länge des Differenzvektors r i r e, zum anderen durch die Laufzeit c(t i + t) angegeben werden. Für die Rechnung ist es günstig, dies wie folgt zu schreiben: (r i r e ) 2 = c 2 (t i + t) 2. Der Index i läuft von eins bis vier, damit sind dies die vier Bestimmungsgleichungen für die Position des Empfängers. Explizit in Koordinatenschreibweise lauten die Gleichungen: (x 1 x e ) 2 + (y 1 y e ) 2 + (z 1 z e ) 2 = c 2 (t 1 + t) 2 (1.1) (x 2 x e ) 2 + (y 2 y e ) 2 + (z 2 z e ) 2 = c 2 (t 2 + t) 2 (1.2) (x 3 x e ) 2 + (y 3 y e ) 2 + (z 3 z e ) 2 = c 2 (t 3 + t) 2 (1.3) (x 4 x e ) 2 + (y 4 y e ) 2 + (z 4 z e ) 2 = c 2 (t 4 + t) 2. (1.4) (b) Prinzipiell ist es möglich, dass nichtlineare Gleichungssystem zur Postionbestimmung auf ein lineares Gleichungssystem abzubilden. Dazu schreiben wir: (r i r e ) 2 = r 2 i + r 2 e 2r i r e = c 2 t 2 i + c 2 t 2 + 2c 2 t i t hierbei ist eine kompakte Schreibweise für das Betragsquadrat des Vektors r 2 i = x 2 i + y 2 i + z 2 i. Nun ziehen wir die j te von der i ten Gleichung ab, dabei muss i = j gelten: r 2 i r 2 j 2(r i r j ) r e = c 2 (t 2 i t 2 j ) + 2c2 (t i t j ) t. Nun kommen alle Unbekannten nur noch als lineare Terme in den Gleichungen vor. Leider kann man durch unterschiedliche Kombinationen von i und j auf diese Weise nur drei linear unabhängige Gleichungen erzeugen. Man erhält deshalb eine unendlich Lösungsmenge für das Gleichungssystem. Den Ausdruck dafür kann man dann wieder in die Originalen Gleichungen einsetzen und erhält dann Abgabe:

3 letzlich zwei Lösungen, von denen eine weit draußen im All liegt und deshalb ausgeschlossen werden kann. Praktischer ist es jedoch, das Gleichungssystem aus Teil a numerisch zu lösen. Mit dem Computeralgebrasystem Maple könnte dies wie in dem verlinkten.pdf file aussehen: lsg_gps_uerbersichtlich.pdf. Weiterhin könnte man Mathematika online nutzen oder auch selber einen Löser Programmieren. Das Ergebnis ist: φ = 11, θ = 52, R = m (c) Die Koordinaten liegen an einer Eiche im Nordpark :-) 2. Polarkoordinatan 5 Pkt. Die Beschleunigung eines Massenpunktes der sich in einer Ebene bewegt, sei in kartesischen Koordinaten gegeben. a(t) = ω 2 ( x(t)e x + y(t)e y ), wobei x(t) und y(t) die Position des Massenpunktes und ω eine konstante ist. (a) Welche Einheit hat ω? (b) Geben sie die Beschleunigung in Polarkoordinaten, d.h in der Form: (1 Pkt.) (3 Pkt.) a(t) = a r (t)e r + a φ (t)e φ (c) an, wobei e r der Einheitsvektor in die radiale und e φ der Einheitsvektor in die tangentiale Richtung ist. Geben sie mindestens ein Beispiel für eine Bewegung an, bei dem die Beschleunigung die gegebene Form hat. (1 Pkt.) Lösung: (a) Die Beschleunigung hat die Einheit Weg. Der Ort hat die Einheit Weg, damit hat Zeit 2 1 ω die Einheit, in SI Einheiten also 1 Zeit 2 s bzw. Hz., also die Einheit einer Frequenz. (b) Wir schauen uns zunächst den Ausdruck in der Klammer an. ( ) ( ) x cos φ xe x + ye y = = r = re y sin φ r Damit sind wir schon fertig: a(t) = rω 2 e r Der Massenpunkt beschleunigt also radial nach außen, wobei der Betrag der Beschleunigung proportianal zum Abstand ist. Abgabe:

4 (c) Wäre das Vorzeichen in der Beschleunigung umgekehrt, würde eine Kreisbewegung mit festem Radius oder ein harmonischer Oszillator als Beispiel in Betracht kommen. Hier zeigt die Beschleunigung allerdings nach außen, dies beschreibt ein Teilchen in einem umgekippten harmonischen Potential. Ein Beispiel wäre ein Massenpunkt der sich in einem rotationssymmetrischen, konserativem Kraftfeld befindet, dass am Koordinatenursprung ein instabiles Gleichgewicht hat wenn sich der Massepunkt in unmittelbarer Nähe zum Gleichgewicht befindet. z.b. ein von einem vereisten Hügel abrutschender Stein solange er sehr Nahe beim Gipfels ist. 3. Fallender Eiszapfen 3 Pkt. Stellen sie sich vor, sie sitzen in der Woche vor der Weihnachtspause in einer Vorlesung, die in der zweiten Etage eines Gebäudes in 10m Höhe befindet, stattfindet. Sie schauen aus dem Fenster und schätzen, dass das Fenster eine Höhe von 2m hat. Plötzlich bemerken sie, dass unmittelbar vor dem Fenster ein Eiszapfen vorbei fällt und schätzen das er etwa eine halbe Sekunde sichtbar war. Wie hoch ist das Gebäude (Dachkante)?. Lösung: Der Eiszapfen wird sich von der Dachkante gelöst haben, zu diesem Zeitpunkt war er in Ruhe, danach im freien Fall. Die Luftreibung vernachlässigen wir. Der Vollständigkeit halber fangen wir bei der Bewegungsgleichung für den freien Fall an. Sei y die Höhe des Eiszapfens und m dessen Masse lautet seine Bewegungsgleichung: mÿ = mg. Der Koordinatenpfeil der y-achse zeigt dabei nach oben. wir integrieren zweimal und erhalten y/t) = g 2 t2 + v o t + y 0 wobei v 0 die Anfangsgeschwindigkeit des Eiszapfens ist und y 0 seine Position zur Zeit t = 0. Betrachten wir zuerst den Fall am Fenster vorbei. Wir definieren ein Koordinatensystem dessen Nullpunkt sich an der oberen Fensterkante befindet. Die untere Fensterkante ist demnach bei y f = 2m zu finden. Weiterhin legen wir den Nullpunkt der Zeit so, dass er mit dem auftauchen des Eiszapfens vor dem Fenster zusammenfällt. Da der Eiszapfen direkt vor dem Fenster herunterfällt, können wir Effekte der Parallaxe vernachlässigen. Der Fall am Fenster vorbei wird also durch: y = g 2 t2 + v o t beschrieben. Er dauert die Zeit t f = 0.5s. Beim erreichen der unteren Kante gilt demnach: y f = g 2 t2 f + v ot f Wir stellen nach v 0 um: Setzen wir die Werte ein erhalten wir: v 0 = y f t f + g 2 t f. v 0 = m s. Abgabe:

5 Nun müssen wir nur noch den Weg bestimmen, des der Eiszapfen bis zum oberen Ende des Fensters zurückgelegt hat. Dafür legen wir nun den Nullpunkt der y-achse an die Dachkante und bestimmen den Weg nach dem der Eiszapfen die Geschwindigkeit v 0 erreicht hat. Dazu nutzen die Energieerhaltung, wobei wir den Nullpunkt der potentiellen Energie die Höhe der Dachkante legen. Folglich gilt: woraus wir erhalten Wir erhalten 1 2 mv2 + mgy = 0 y = v2 2g = 0.12m Sie befinden sich also im obersten Stock des Gebäudes, oberhalb des Fensters sind es noch etwa 12 cm bis zur Dachkante, das spielt keine große Rolle. Das Gebäude ist demnach etwa 12m hoch. Es sind insgesamt 16 Punkte zu erreichen. Die Aufgaben sind zu dem unten genannten Termin abzugeben. Abgabe: