Thermodynamik der Atmosphäre

Transkript

1 Einführung in ie Meteorologie Teil I Theroynaik er Atosphäre Atospherische Bewegung Dynaik Newton sche zweiter Gesetz F x Masse Beschleunigung = Kraft Theroynaik 2 x t 2 = F Bezieht sich auf Änerungen er inneren Energie un en Zustan feuchter Luft

2 Theroynaik er Atosphäre In iese Abschnitt weren ie wichtigsten theroynaischen Gesetze otiviert. Sie helfen, Stabilität bzw. Labilität bei Vertikalbewegungen un Konensationsprozessen zu erklären. Wir weren z. B. lernen, wie an as Auftreten von verschieenen Arten von Wolken vorhersagen kann, insbesonere Quellwolken (Cuuluswolken un Gewitter). Die Atosphäre als ieales Gas Das atosphärische Gasgeisch in guter Näherung ein ieales Gas - Begriff stat aus er kinetischen Gastheorie. Molekul ein ieales Gas ist ein Moellgas, in e keine Kräfte zwischen en Molekülen wirken un ie Molekülzusaenstöβe vollkoen elastisch verlaufen, vergleichbar e Verhalten zweier Billarkugeln.

3 Die ieale Gasgleichung Laborversuche er Druck p, ie absolute Teperatur T un as Voluen V eines iealen Gases sin urch eine einfache Zustansgleichung iteinaner verknüpft. Für Kilogra eines einatoigen Gases gilt pv = RT R spezifische Gaskonstante Zahlenwert hängt vo Gas ab Einheit von R: Joule pro Gra K pro Kilogra pv = RT p = (/V)RT = ρrt ρ =Dichte Die ieale Gasgleichung 2 Das Voluen von 1 kg eines Gases bezeichnet an als spezifisches Voluen α = V/. α = V/ ρ = 1/α für 1 Kilogra eines einatoigen Gases gilt: pα = RT Die Atosphäre ist eine Mischung aus verschieenen einatoigen Gasen. Wir üssen ie Zustansgleichung für ein solches Gas herleiten.

4 Die ieale Gasgleichung 3 Die Masse aller Teilchen eines Kilool einer Substanz ergibt ihr Molekulargewicht M in Kilogra. Ein kol entspricht er Anzahl von 6, Teilchen. Diese Teilchenenge 6, ist eine Universalkonstante un wir Avogaro-Konstante genannt. In er älteren Literatur finet an oft ie Angaben in Gra,. h. ie Masse von eine Mol, oer 6, Teilchen. Ein Kilool Wasser wiegt z.b. 18,016 kg. Die Zahl er Kiloole n einer beliebigen Masse eines Stoffes läβt sich leicht berechnen: n = /M Die Zustansgleichung Experiente => pv = * nr T Druck Absolute Teperatur Voluen Zahl von kmolen Universelle Gaskonstante 1 kmole = Molekulargewicht M in kg Beispiel: Sauerstoff hat ein atoares Gewicht von 16 un ein olekulares Gewicht von 32 => 1 kmol Sauerstoff wiegt 32 kg

5 Zustansgleichung Für kg eines Gases, n = /M kmol pv = Für 1 kg iviieren urch ie Masse => V R*T p = pα = RT M R *T M Moleculargewicht es Gases R* R = is the specific gas constant M Diese Gleichung gilt für ein einatoiges Gas Luft ist eine Mischung aus verschieenen einatoigen Gasen (z.b. O 2, N 2, CO 2, H 2 O, )! Zustansgleichung eines Gasgeisch Sauerstoff Stickstoff M O2 M N2 Zustansgleichung V R*T p = M R*T pv 1 = O2 M O 2 N 2 kg of O 2, kg of N 2 O = + 2 O N 2 2 R*T pv 2 = N2 M N 2 p 1, p 2 partielle Druck, wobei p 1 + p 2 = p

6 Zustansgleichung eines Gasgeisch R*T R*T pv 1 = O + pv 2 2 = N M 2 M O 2 O2 N2 pv = (p + p )V = ( + )R *T 1 2 M O N M 2 N 2 2 Diviieren urch ie Gesatasse = + O N 2 2 O 2 N2 + V MO M N R*T α= = = + M 2 2 p p R*T O N 2 2 Zustansgleichung eines Gasgeisch pα= R*T M O N 2 2 O N O N O = + M M M N 2 2 Massenanteil von Sauerstoff Massenanteil von Stickstoff pα = R T or p = ρr T R = as specifiches Gaskonstant für trockene Luft

7 Die Natur es Druckes - Partialruck Die Moleküle eines Gases befinen sich in einer konstanten zufälligen Bewegung jees Molekül hat kinetische Bewegungsenergie. Gelegentlich stoßen Moleküle it aneren Molkülen oer it er begrenzenen Wan zusaen. Die Natur es Drucks v v Ipulsänerung bei eine vollelatischen Stoß = ( v) (v) = 2v Flächeneinheit Die Ipulsänerung bei vielen Zusaenstößen geittelt über eine Zeit- un Flächeneinheit repräsentiert eine Kraft. Die Kraft pro Einheitsfläche ist er Druck. Die Einheit ist as Pascal. 1 Pa = 1 N 2.

8 Partialruck O 2 N 2 Einheitsfläche Die O 2 Moleküle üben einen Partialruck p 1 un ie N 2 Moleküle einen Partialruck p 2 auf ie Einheitsfläche aus. Der Gesatruck ist ie Sue er Partialrücke. Die Natur er Teperatur Geäß er kinetischen Gastheorie ist ie absolute Teperatur von Gasen proportional zu er ittleren kinetischen Energie er Moleküle (Rotationsenergie eingeschlossen), welche innere Energie genannt wir.

9 Fluibewegungen V Die Moleküle eines Fluis (gasförig oer flüssig) befinen sich in eine konstante Zustan er Bewegung. Die geittelte Bewegung aller Moleküle in eine Fluieleent stellt ie akroskopische Geschwinigkeit es Eleents V ar. Die in er zufälligen Bewegung angesieelt (innere) Energie wir urch ie absolute Teperatur T es Fluis charakterisiert. Die Zustansgleichung für feuchte ungesättigte Luft Der Zustan feuchter Luft ist charakterisiert urch: Druck, p Absolute Teperatur, T Dichte, ρ (oer spezifisches Voluen α = 1/ρ), un gewisseraßen urch ie enthaltene Feuchte, z.b. Das Wasserapfischungsverhältnis, r, efiniert als ie Masse es Wasserapfes pro Masse trockener Luft es betrachteten Voluens.

10 Zustansgleichung für feuchte, ungesättigte Luft Wasserapf M v Trockene Luft M Nun pv= RT un ev = R T v v Diviieren urch pv = (p + e)v = (R + vr v)t + v v 1 v v R ( R + R ) pα= T = R T + v v 1+ R Zustansgleichung für feuchte, ungesättigte Luft v v 1+ v v R ( R + R ) pα= T = R T + v v Sei ε = R /R v = R r = v / ist as Wasserapfischungsverhältnis (typischerweise << 1, axial 0.04) ( 1+ r/ ε) pα= R T R ( r)T = R T 1+ r v Τ v = ( r)Τ ist ie virtuelle Teperatur

11 Zusaenfassung: ie Zustansgleichung für feuchte Luft ist: pα = R T specifiches Gaskonstant für Wasserapf v specifiches Gaskonstant für trockene Luft Tv = T(1 + r / ε ) /(1 +ε) T( r) ε = R /R v = r ist noralerweise in g/kg angegeben: es uβ aber in kg/kg in jeer Gleichung sein! Die virtuelle Teperatur α=rt/p v Tv = T( r) Trockene Luft it er virtuellen Teperatur T v hat bei konstante Druck as gleiche spezifische Voluen wie ie feuchte Luft it er Teperatur T. Das Mischungsverhältnis ist noralerweise kleiner als ein bis zwei Prozent un wir in Gra Wasserapf pro Kilogra trockener Luft angegeben. Sehr wichtig: u T v zu bestien, uß an en Wert auf kg/kg urechnen un ie Teperatur in Kelvin einsetzen.

12 Beispiel p = 990 b Pa T = 26 C 299 K r = 8 g/kg 0,008 kg/kg pα= RTv p=ρrtv T v = 299 (1 + 0,61 0,008) = 300,46 K ρ = p/r T v = 99000/( ,46) = 1,15 kg/ 3 α = 1/ρ = 1/1.15 = 0,87 3 /kg Zusaenfassung: Verschieene Foren er iealen Gasgleichung Für kg pv = RT Für 1 kg pα = RT Für eine beliebige Menge p = ρrt Für ein Kole pv = MRT oer pv = R * T Für n Kole pv = nr * T Für 1 kg feuchte Luft pα = R T v

13 Die Hyrostatische Grungleichung Die Atosphäre befinet sich fast vollstänig i hyrostatischen Gleichgewicht. Nur bei kleinräuigen Bewegungen (z.b. in Gewittern) können stärkere Abweichungen auftreten. Matheatische Forulierung Die Hyrostatische Grungleichung 2 Hyrostatische Gleichgewicht Masse = ρaz p(z)a p(z + z)a = gρaz Der Übergang z 0 p z = gρ( z) ie hyrostatische Gleichung Das Minuszeichen kot urch ie vertikale Druckabnahe zustane

14 Die Hyrostatische Grungleichung 3 p z = gρ( z) Ist ie vertikale Dichteänerung ρ(z) bekannt, kann an bezüglich z integrieren: p(z) = g ρ(z)z z z Es gilt ie Ranbeingung p(z) 0 für z. Der Druck in er Höhe z entsteht urch as Gewicht, it e ie vertikale Luftsäule auf einer Einheitsfläche lastet. Die Hyrostatische Grungleichung 4 Der Druck in Meeresniveau: p(z) = g ρ(z)z 0 0 Das Proukt ittlerer Luftruck in Meereshöhe (= 10 5 Pa) al Eroberfläche (= ) ergibt ungefähr ie gesate Atosphärenasse ( kg).

15 Die Hyrostatische Grungleichung 5 Das vertikale Dichteprofil ρ(z) ist schwierig zu essen: p(z) un T(z) sin leichter zu essen. ρ(z) kann aber it Hilfe er iealen Gasgleichung p = ρr T v bestit weren: p z = gρ( z) 1p pz g = RT(z) v z g ln p(z) ln p(0) = z 0 RT(z) z g p(z) = p(0)exp z 0 RT(z) v v Die Hyrostatische Grungleichung 6 z g p(z) = p(0)exp z 0 RT(z) v Die vertikale Druckabnahe hängt von er Teperaturschichtung T(z) er Atosphäre un vo Ausgangswert a Boen p(0) ab. In warer Luft nit er Druck langsaer it er Höhe ab, als in kalter Luft. Ich sollte arauf hinweisen, aß sich er Boenruck p(0) it ieser Gleichung nicht bestien läßt. Er uß z.b. urch eine Messung gegeben sein.

16 Geopotential Es stellt sich heraus, aß ie Annahe g = Konstant noralerweise ausreichen ist. Wir üssen aber vorsichtig sein. Wir sollten genau wissen waru! Wir führen nun as Konzept Geopotential ein. Das Geopotential φ an einer beliebigen Stelle in er Atosphäre ist ie Arbeit, ie an leisten uß, u vo Meeresniveau eine Masse von 1 kg i Erschwerefel auf ie Höhe es gewählten Punktes zu heben. Aners ausgeruckt: φ ist as Gravitationspotential für ie Einheitsasse (Einheit J/kg bzw. 2 s -2 ). Geopotential Die Schwerkraft (in Newton), ie auf 1 kg in er Höhe z wirkt, entspricht e Zahlenwert er Schwerebeschleunigung g. U 1 kg in er Höhe z auf ie Höhe z + z zu bringen, ist eshalb ie Arbeit gz nötig. z + z z g Arbeit = gz Es folgt: φ = gz

17 Geopotential 2 φ (z) = 0 z g(z)z Für as Bezugsniveau z = 0 gilt ie Konvention φ(0) = 0. Das Geopotential einer Masse hängt nur von eren Höhe ab. Es hängt nicht aber vo Weg ab, auf e sie orthin gebracht wure (Der atheatische Beweis stat aus er Vektoranalysis). Wenn eine Einheitsasse von er Höhe A auf ie Höhe B gehoben wir, so wir ier ie Energie φ(b) - φ(a) benötigt. Auf e Weg zurück zu A ist ie gleiche Energieenge wieer verfügbar. Geopotential 3 Die Geopotentialhöhe Z ergibt sich aus er Division es Geopotentials urch ie ittlere Schwerebeschleunigung an er Eroberfläche (g * = 9,8 s 2 ). φ(z) 1 Z= = g* g* 0 z g(z)z In er unteren Atosphäre besteht zwischen Höhenangaben in z un Z fast kein Unterschie. Die zunehene Erentfernung wirkt sich erst in größeren Höhen stärker auf g aus.

18 Geopotential 4 z (k) Z (k) g (s 1 ) Der Unterschie zwischen Z un z bei 40 Breitengra. Geopotential 5 g Pol = 9,83 s -2 Tangentialgeschwinigkeit v = Ωr Ωr 2 Zentrifugalkraft pro Masseneinheit g Äq = 9,78 s -2 Die Schwerebeschleunigung variiert wegen er Errotation un er Abplattung er Erkugel it er geographischen Breite. Die Abplattung er Ere ist entstanen als ie flüssige Ere erstarrte.

19 Geopotential 6 g Pol = 9,83 s -2 Tangentialgeschwinigkeit v = Ωr Ωr 2 Zentrifugalkraft pro Masseneinheit g Äq = 9,78 s -2 In nierigen Breiten wir g von er Zentrifugalkraft verinert. an kann it einer vorgegebenen Energieenge eine Masse über e Äquator etwas höher heben als a Pol. Geopotential 7 ie Geopotentialflächen (Flächen it φ = Konst.) g Pol = 9,83 s -2 g Äq = 9,78 s -2 ie Eroberfläche ist eine Geopotentialfläche φ (z) = 0 z g(z)z Die Geopotentialflächen verlaufen in er Atosphäre über e Pol in geringer Entfernung vo Meeresniveau als über e Äquator. Auf iesen leicht geneigten Flächen wirkt in jee Punkt als einzige Kraft ie Schwerkraft. Auf einer nicht geneigten Fläche z = Konst. tritt agegen zusätzlich eine zu Äquator hin gerichtete Kraft-koponente auf.

20 Schichticke un Höhe von Druckflächen Wenn rei von en Größen p, α, r un T urch Messungen bestit sin, kann an ie vierte aus er Zustansgleichung für feuchte Luft [pα = R T(1 + 0,61r) ] berechnen. Häufig wir it ieser Gleichung α eliiniert, weil iese Größe bzw ie Dichte schwer zu essen ist. Als Beispiel läßt sich ie hyrostatische Gleichung uschreiben p pg pg = = z RT R T Setzt an ie Beziehung gz = φ ein, ergibt sich p φ= RTv p v Schichticke un Höhe von Druckflächen 2 nach Integration oer φ φ = p 2 R T p1 p 2 1 v R Z Z = T p1 2 1 v p p g* p2 p Die geopotentielle Höhe kann erittelt weren, wenn ie Änerung er Teperatur un es Mischungsverhältnisses in Abhängigkeit vo Druck bekannt ist. Diese Größen weren in er Atosphäre von Raiosonen geessen. Das Mischungsverhältnis ist für ie Berechnung von T v nötig.

21 Schichticke un Höhe von Druckflächen 4 Für en Fall einer trockenen un isotheren Atosphäre -.h. r = 0 un T v = T = const. p R 1 p Z2 Z1 = Tv T g* p2 p Z 2 Z 1 Z 2 p 2 Z 1 p 1 RT p Z2 Z1 = ln g* p 1 2 Schichticke un Höhe von Druckflächen 5 Z 1 = 0, Z 2 = Z, p 1 = p B - er Boenruck un p 2 = p(z). RT p Z2 Z1 = ln g* p 1 2 T Z Zp(Z) 0 p B Z p(z) = pb exp H H RT g* = Skalenhöhe Für ie ittlere Teperatur an er Eroberfläche von 288 K beträgt H 8,5 k.

22 Schichticke un Höhe von Druckflächen 6 In er Troposphäre änert sich zwar ie virtuelle Teperatur it er Höhe. Die Forel RT p Z2 Z1 = ln g* p 1 2 kann aber ennoch verwenet weren, wenn an statt T v eine ittlere virtuelle Teperatur T v bezüglich ln p efiniert ln p1 ln p1 ln p1 p p T Tv(ln p)/ (ln p)= T /ln ln p 2 ln p 2 ln p2 1 = v p p2 Schichticke un Höhe von Druckflächen 7 T Z 2 Z 1 Z 2 p 2 Z 1 p 1 Der geopotentielle Höhenunterschie Z 2 -Z 1 zwischen beliebigen Niveaus in er Atosphäre wir als Schichticke bezeichnet (thickness auf Englisch). Wir haben schon gesehen, aß ie Schichticke zwischen en Drukcflächen p 1 an p 2 nur von er ittleren virtuellen Teperatur er eingeschlossenen Luft abhängt. Steigt T v an, ehnt sich ie Luft aus un ie Schichticke wächst, aber ie Masse er Luft änert sich jeoch abei nicht. Z2 p2 1 p p1 p2 Masse = ρ z = z = Z 1 p1 g*z g*

23 Schichticke un Höhe von Druckflächen 8 Schichticke zwischen 1000 b un 500 b - wir relative Topographie genannt - thickness chart auf Englisch. Norale Boenruckkarte Drängungszonen <=> Fronten Eine typische Schichtickekarte H H H

24 Luftruckreuktion auf Meereshöhe Die vertikale Druckänerung übertrifft bei weite ie horizontale Unterschie in verschieenen Wettersysteen. Dies führt azu. aß er Luftruck an einer Station hauptsächlich von eren Höhenlage bestit wir. Will an ie Druckessungen vergleichen, u Schwankungen bei Durchzug von Wettersysteen festzustellen, üssen ie Werte eshalb erst auf ein geeinsaes Bezugsniveau (ittlere Meereshöhe) reuziert weren. Eine Methoe ist, en Druck einer fiktiven Luftsäule zwischen Beobachtungsort un Meeresniveau zu Meßwert an er Station p st zu aieren. Luftruckreuktion auf Meereshöhe 2 T v Zur Berechnung er virtuellen Mittelteperatur T v er Luftsäule wir eine Teperaturzunahe nach unten von 0.65 K pro 100 Höhe angenoen. Der Druck in Meereshöhe p(0) = p st exp (Z st /H) it H = R T v /g*

25 Luftruckreuktion auf Meereshöhe 3 Solange Z st nicht größer als einige hunert Meter ist, gilt Z st /H << 1 un in guter Näherung g* Zst p(0) p = st 1 + R T v Wenn Z st größer ist, benutzt an epirische Foreln für ie Luftruckreuktion auf Meereshöhe, obwohl solche Methoen nicht völlig befrieigen sin. Wegen er bei noch größeren Stationshöhen zunehenen Ungenauigkeiten er Luftruckreuktion wir er Meeresspiegel nur unterhalb 700 Höhe als Bezugsniveau gewählt. Bei höhergelegenen Orten (Bergstationen) berechnet an aus er Luftruck-un Teperaturessung ie Höhe er nächstgelegenen Hauptruckfläche (850 b, 700 b). Baroetrische Höhenessung Die Höhenesser in Flugzeugen funktionieren nach e Prinzip er baroetrischen Höhenessung. T v Z 2 Z 1 Z 2 p 2 Z 1 p 1 Die Höhenifferenz zwischen zwei Punkten wir urch Messung es Luftruckes an iesen beien Punkten bestit. RT p Z2 Z1 = ln g* p v 1 2 Für ie exakte Erittlung er Höhe ist jeoch ie Kenntnis er Teperatur un Feuchtverteilung erforerlich; wir brauchen T v. Aber an weiβt iese noralerweise nicht!

26 Baroetrische Höhenessung 2 Deshalb weren en Skalen er Höhenesser ie Werte er US-Stanar-atosphäre zugrune gelegt. In ihr beträgt er vertikale Teperaturgraient Γ = T/z bis zur Tropopause 6,5 K/k. Ausgangspunkte in Meereshöhe sin p * = 1013,25 b un T * = 288 K; außere wir ie Luft als trocken angenoen. z T * = 288 K p * = 1013,25 b T Baroetrische Höhenessung 3 Das Flugzeug fliegt in er Höhe z über e Meeresspiegel un in er Höhe z über er Druckfläche p * er Stanaratosphäre. ie Atosphäre z z ie Stanaratosphäre T v z T = T * Γz p p p * T * = 288 K T

27 Baroetrische Höhenessung 4 Das Flugzeug fliegt in er Höhe z über e Meeresspiegel un in er Höhe z über er Druckfläche p * er Stanaratosphäre. z ie Stanaratosphäre p g gz = z = p RT R(T Γ z ) p R T Γ z * p z' p g z = p * 0 * T = T * Γz p T * p * T p g T Γ z ln p R T * = ln * Γ * R Γ /g T * p * z = 1 Γ p Der Höhenesser eines Fluzeugs

28 Baroetrische Höhenessung 4 Das Flugzeug fliegt in er Höhe z über er Druckfläche p * er Stanaratosphäre. R Γ /g T * p ie Stanaratosphäre * z = 1 Γ p z p T = T * Γz z p * T * p = p T Wenn er Druck b i Höhenesser eingestellt ist, wir ie Höhe z angezeigt. Baroetrische Höhenessung 4 Das Flugzeug fliegt in er Höhe z über er Druckfläche p * er Stanaratosphäre. R Γ /g ie Stanaratosphäre Γ p * T * p z = 1 z p = p Sei er aktuelle Boenruck bei z = 0, p s. p T = T * Γz z z p s T z * p s * T z 1 Γ R Γ /g T * p s s = p * z = z z s

29 Baroetrische Höhenessung 5 Wenn er Druck i ittlere Meeresniveau p s i Höhenesser eingestellt wure, wir eine Höhe z angezeigt. Der Druck p s wir QNH genannt. A Flugplatz zeigt er Höhenesser ie Flugplatzhöhe in er Stanaratosphäre über Meeresniveau, z b. Ist ie Mittelteperatur er Luft zwischen Meeresniveau un Flugplatzhöhe oer Flugzeug höher (nieriger) als ie er Stanaratosphäre, ißt an i Vergleich zur tatsächlichen Höhe eine zu kleine (zu große) Flugplatzhöhe oer Flughöhe. QNH wärer z z = z z kälter Stanaratosphäre Baroetrische Höhenessung 5 Bei Durchfliegen von Wettersysteen können urch ie Änerungen es QNH-Wertes entstehen. Deshalb, kurz vor er Lanung läßt sich er Pilot en aktuellen QNH-Wert vo Fluglotsen inforieren. Man kann auch en Boenruck a Flugplatz p s einstellen. Dies wir QFE genannt. Dann zeigt ie Höhenesser z = 0 a Flugplatz un z QFE = z QNH -z s währen es Fluges.

30 Zusaenfassung: Höhenessung i Flugzeug Stanaratosphäre Höhe genaue Höhe z z z = z QNH z = z QNE p b z = z z z b z b z b p b = QFE z p = QNH p * = b, T * = 288 K T R /g * T* ( ) Γ = ( ) Γ z = 1 p /p * R /g Γ z 1 p /p Γ * Ene