Fachrechnen für Bauberufe. 1 Arithmetik Algebra. 2 Proportionalität. 3 Trigonometrie. 4 Planimetrie. 5 Stereometrie. 6 Allgemeines Rechnen

Transkript

1 Fachrechnen für Bauberufe 1 Arithmetik Algebra 2 3 Trigonometrie 4 Planimetrie Stereometrie 6 Allgemeines Rechnen

2 Inhaltsverzeichnis 1 Verhältnisse und Proportionen Verhältnisse Proportionen Prozent- und Promillerechnung... 2 Steigung und Gefälle Theoretische Grundlagen Ähnlichkeit, Strahlensätze und lineare Funktionen Theoretische Grundlagen Funktionen Was ist eine lineare Funktion? Aufgaben Bestimmen der Funktion mit Hilfe des Graphen Aufgaben Leistungsaufgaben Aufgaben Übungsaufgaben aus der Praxis Abbildungsverzeichnis Abbildung 4-1: Wertetabelle... 1 Bemerkung Ausgabe 2013 Der Autor: Reto Cantamessi Seite 2 von 26

3 1 Verhältnisse und Proportionen 1.1 Verhältnisse Theoretische Grundlagen Die theoretischen Grundlagen finden Sie im Formelbuch Kapitel Algebra für Zeichnerinnen und Zeichner der Fachrichtung Ingenieurbau Übungsaufgaben 1. Wie kann man folgende Verhältnisse einfacher ausdrücken? km : 20 km kg 8.4kg m : 1.17 m. 13t 289t x x 2. Ein Stadtplan ist im Massstab 1:10'000 gezeichnet. Wie lang sind folgende Strecken? a) cm b) 7.4 cm c) 78 cm d) 1 dm e) 17. dm 4. Wie kann man die Zahl 4 so in zwei Summanden zerlegen, dass diese sich zueinander verhalten wie 2:3?. Luft besteht aus Sauerstoff und Stickstoff, und zwar im Massenverhältnis von 24:76. Wie viel Gramm beider Gase sind in 4 kg Luft enthalten? Seite 3 von 26

4 1.2 Proportionen Theoretische Grundlagen Die theoretischen Grundlagen finden Sie im Formelbuch Kapitel Algebra für Zeichnerinnen und Zeichner der Fachrichtung Ingenieurbau. Die Gleichsetzung zweier Verhältnisse nennt man Verhältnisgleichung Übungsaufgaben 1. Das Alter eines Sohnes verhält sich zu dem des Vaters wie 6 : 13. Der Vater ist 28 Jahre älter als der Sohn. Wie alt ist jeder? 2. Eine Mauer ist 2 m lang, 2 cm breit und 2.46 m hoch. Eine zweite Mauer ist 18 m lang, 17. cm breit und 1.9 m hoch. Wie verhalten sich die Mengen der dazu verwendeten Backsteine? 3. Berechnen Sie die Höhe eines Hauses, dessen Schatten eine Länge von m hat, wenn bei demselben Sonnenstand der Schatten eines 180 cm grossen Mannes 4. m beträgt. 4. Für 40 kg Bronze braucht man.6 kg Zinn. Wie viele kg Zinn sind zur Herstellung von 130 kg Bronze nötig?. Ein Verkehrsflugzeug fliegt mit 420 km/h und legt eine bestimmte Flugstrecke in Minuten zurück Wie viel Zeit braucht eine Düsenmaschine, die mit 80 km/h fliegt, für die gleiche Strecke? Seite 4 von 26

5 1.3 Prozent- und Promillerechnung Theoretische Grundlagen Die theoretischen Grundlagen finden Sie im Formelbuch Kapitel Geometrie für Zeichnerinnen und Zeichner der Fachrichtung Ingenieurbau. Die Gleichsetzung zweier Verhältnisse nennt man Verhältnisgleichung Übungsaufgaben 1. Ein Lehrling im zweiten Lehrjahr verdient Fr im Monat. Die Versicherungsprämien machen 6. % aus. Berechnen Sie den Nettolohn und die Prämien. (Resultate in Fr. auf 2 Stellen nach dem Komma!) 2. Zuhanden der Bundeskasse zieht Ihnen die Bank 3% des Zinses als Verrechnungssteuer ab. Wie gross ist demnach diese Steuer bei einem Zins von Fr ? (Resultate in Fr. auf 2 Stellen nach dem Komma!) 3. Ein Betrieb erzielte im letzten Jahr einen Umsatz von Fr. 142' Für Versicherungen und Gebühren mussten Fr. 6'704. aufgewendet werden. Wie viele Prozente des Umsatzes sind das? 4. In einer ZFI- Klasse sind 7 Frauen und 12 Männer. Wie viele Prozente der Klasse sind Frauen?. Ein Gebrauchtwagen wird für Fr. '37.00 verkauft, was noch 43% des Neuwertes ausmacht. Wie viel hat der Wagen seinerzeit gekostet? (auf ganze Franken) 6. Nach Abzug von 2% Skonto bezahlen Sie noch Fr Wie hoch war der Rechnungsbetrag? (auf ganze Franken) 7. Als Prämie für die Gebäudeversicherung sind Fr. 1'87.0 zu bezahlen. Der Gebäudewert beträgt Fr. 1'270' Wie viele Promille der Versicherungssumme macht die Prämie aus? (auf 2 Stellen nach dem Komma!) Seite von 26

6 1.3.3 Vermischte Aufgaben 1. Kies lässt sich mit einem Böschungswinkel von rund 1:1 aufschütten. Welches Kiesvolumen lässt sich auf einer kreisrunden Fläche von 10 m Durchmesser höchstens deponieren? (Resultat in m 3, auf eine Stelle) 2. Von einem Betonbrunnen wird vorerst ein Modell im Massstab 1: hergestellt. Das Betonmodell wiegt 3 kg. Wie schwer wird der Brunnen in Wirklichkeit? (Resultat in kg) 3. Ein Würfel hat ein Volumen, das doppelt so gross ist wie ein kleinerer Würfel. Wie verhalten sich die Kantenlängen zueinander? 4. Berechnen Sie die Mengen von Zement und Kiessandgemisch für ein Streifenfundament. Das Fundament mit l = 6.2 m, b = 0.4 m und h = 0.30 m wird mit 32 kg CEM I 42. und 2'27 kg Kiessandgemisch je m 3 hergestellt. (Resultate in kg auf 2 Stellen nach dem Komma!). Nach Abzug von 8% Rabatt und 2.% Skonto kostet ein Computer noch 2'377.0 Fr. Berechnen Sie: (Resultate in Fr. auf Rp. genau!) a) den Rechnungsbetrag b) den Rabatt in Franken c) den Skonto in Franken Seite 6 von 26

7 2 Steigung und Gefälle 2.1 Theoretische Grundlagen Die theoretischen Grundlagen finden Sie im Formelbuch Kapitel Geometrie für Zeichnerinnen un Zeichner der Fachrichtung Ingenieurbau. Neigungen wie Steigung und Gefälle kann man auf drei verschiedene Arten angeben: Zusammenfassung Zahlenverhältnis Prozentsatz Promillesatz Winkel Höhe Länge Höhe 100 Länge Höhe 1'000 Länge Höhe Länge tan Winkel Kapitel 2.2 Kapitel 2.3 Trigonometrie Übungsaufgaben 1. Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle: (Masse auf ½ cm genau) Höhenmass Breitenmass Verhältnis [cm] [m] h : b a) 1.2? 2:3 b)? : c) ? d) ? 2. Ein Werkstattboden von m Länge und 6.7 m Breite erhält ein Quergefälle von 1% und ein Längsgefälle von 2.%. Berechnen Sie die Höhenkoten in den Ecken, wenn man bei der tiefsten Ecke mit der Kote m beginnt. (Resultate im m auf ½ cm genau) 3. Als Auffahrt zu einer Garage wird eine Rampe geschüttet. Durch die Rampe wird eine Höhe von 1.20 m überwunden. Wie lang ist die Rampe bei einer Steigung von 8.% Seite 7 von 26

8 0.6% 0.4% 4.20 b h Fachrechnen für Bauberufe 4. Zu einem Magazin wird eine Rampe mit Böschung 2:3 erstellt. Wie gross sind die Masse h und b? (alle Resultate auf 3 Stellen genau) 12% 3%. Eine Gartenböschung hat eine Neigung von 3%. Berechnen Sie die Neigung der Kehllinie A. A 6. Gesucht sind: 1. Gefälle X 2. Grösstes Platzgefälle Rasensportplatz 120/80m x% 0.8% Seite 8 von 26

9 4.60m 3.80 h m Fachrechnen für Bauberufe 7. Das Profil eines Dammes ist zu verpflocken. Berechnen Sie das Mass h. (In m auf ½ cm genau) 6.00m 2:3 2:3 8.6m 8. Berechnen Sie die Masse x und y der abgebildeten Stützmauer. (Resultate in m auf ½ cm genau) X :1 :1 y Seite 9 von 26

10 3 Ähnlichkeit, Strahlensätze und lineare Funktionen 3.1 Theoretische Grundlagen Die theoretischen Grundlagen finden Sie im Formelbuch Kapitel Geometrie für Zeichnerinnen und Zeichner der Fachrichtung Ingenieurbau. Allgemeines Begriff: Zwei Figuren sind ähnlich ( ), wenn sie in der Form ihrer Flächen übereinstimmen. Ähnliche Flächen sind also Vergrösserungen oder Verkleinerungen einer bestimmten Fläche (Fotos). Kreise sind einander immer ähnlich. Auch Körper können einander ähnlich sein, z.b. verschieden grosse Kugeln und Würfel. Bei einer Vergrösserung oder Verkleinerung von Flächen werden alle Strecken im gleichen Verhältnis verlängert oder verkürzt, die Winkel bleiben aber erhalten. Man kann also sagen: Figuren in denen gleichliegende Strecken gleiche Verhältnisse bilden und gleichliegende Winkel gleich sind, nennt man ähnlich. Seite 10 von 26

11 Angenommen, ein Dreieck habe die Seitenlängen 3cm, 4cm und cm. Nun wird das Dreieck so vergrössert, dass die 4cm lange Seite 6cm lang wird. Der Vergrösserungsfaktor ist dann 1,. Die anderen Seiten werden ebenfalls um den Faktor 1, vergrössert, so dass sie 4,cm und 7, cm lang werden. Die Seiten wachsen zwar um den gleichen Faktor, aber nicht um den gleichen Betrag! b 1 b 2 a 2 a1 Wenn a 2 = 1. a 1 ist, ist automatisch b 2 = 1. b 1, und 1. ist der Vergrösserungsfaktor. 1 a Es gilt dann 2 1. a1 a1 b b 1. b b b d.h. das Verhältnis zweier sich entsprechender Seiten ändert sich bei der Vergrösserung nicht. 2 a Die skonstante Das Verhältnis zweier proportionaler Grössen y und x ist immer gleich: y x 1 1 y x 2 2 y x 3 3 y x 4 4 y x... m Die Konstante, die das Verhältnis angibt, heisst skonstante m. Es gilt y 1 = mx 1, y 2 = mx 2, y 3 = mx 3, y 4 = mx 4, y = mx, y 6 = mx 6, usw. Statt all diese Gleichungen aufzuschreiben, kann man auch die allgemeine Vorschrift aufschreiben, wie y berechnet werden muss, wenn x bekannt ist: Man schreibt y = m x. Beispiel: Wir denken uns, x sei die Menge Tomaten in kg, und y sei der Preis. Wir wissen z.b., dass 3 kg Tomaten 7,20 Fr. kosten, und wollen wissen, wie viel kg, 1.4 kg, 2.3 kg, 0.8 kg usw. kosten. Statt für jede Menge die Rechnung neu durchzuführen, rechnen wir einmal die skonstante aus: y 7.20 Fr. Fr. x 3 kg kg 1 m Von jetzt an können wir angeben, wie viel eine beliebige Menge Tomaten kosten wird: ist die Menge x, so ist der Preis Fr. y m x 2.4 x kg Umgekehrt lässt sich auch ausrechnen, wie viel kg Tomaten man für einen bestimmten Geldbetrag bekommt. Es ist nämlich x y m y Fr. 2.4 kg Seite 11 von 26

12 3.1.2 Lineare Funktionen Eine Rechenvorschrift, wie aus einer Grösse x eine Grösse y zu berechnen ist, nennt man Funktion. Funktionen werden meistens mit dem Buchstaben f bezeichnet. Sind die Grössen x und y proportional (mit der skonstanten m), so lautet die Vorschrift y = m x, und die Funktion wird lineare Funktion genannt. Beispiel: Der Preis eines Liters Benzin beträgt 1.22 Fr. Nennen wir die Benzinmenge x (gegeben) und den Preis y (gesucht). Dann ist y = m x Fr. Fr. m l l Der Zusammenhang zwischen Benzinmenge x und Preis y wird also durch die lineare Funktion y = 1.22 Fr. l x beschrieben. Wenn man aussagen will, dass die Rechenvorschrift, die durch eine Funktion f gegeben ist, auf eine Zahl x angewendet wird, schreibt man f(x), gelesen "f von x". Das Ergebnis dieser Anwendung der Rechenvorschrift ist die Zahl y, daher schreibt man auch y = f(x). Bei der linearen Funktion lautet die Rechenvorschrift "multipliziere x mit m", also schreibt man y = f(x) = m x. Beispiel: Die Benzinpreisfunktion kann geschrieben werden als y = f(x) = 1.22 Der Preis von 3 l Benzin wird also wie folgt berechnet: Fr. l x. Man schreibt also: Aufgabe Fr. y f 3 l l. Das Ergebnis lautet 3.66 Fr. l Eine lineare Funktion ist durch die Vorschrift y = f(x) = 2x gegeben. Stellen Sie die Funktion mit roter Farbe in einem Koordinatensystem dar. Dazu erstellt man zunächst eine Tabelle, in der man für eine Reihe von x-werten die zugehörigen y-werte gemäss der Vorschrift y = f(x) berechnet. Beispiel: Wertetabelle der linearen Funktion y = f(x) = 2x. X y=f(x) Nun zeichnet man die Punkte, deren x- und y- Koordinaten man der Wertetabelle entnimmt, in ein Koordinatensystem ein. Seite 12 von 26

13 Im Beispiel y = f(x) = 2x sind die Punkte (-/-10), (-4/-8), (-3/-6), (-2/-4), (-1/-2), (0/0), (1/2), (2/4), (3/6), (4/8), (/10) einzuzeichnen. Die einzelnen Punkte werden dann verbunden. y=f(x) x -2-6 Zeichnen Sie nun die Funktion y=2x+3 mit Hilfe einer Wertetabelle in dasselbe Koordinatensystem ein. Wertetabelle der linearen Funktion y = f(x) = 2x+3. X y=f(x) Was stellen Sie fest? Seite 13 von 26

14 4 Funktionen 4.1 Was ist eine lineare Funktion? Im Begriff Lineare Funktion stecken die beiden Begriffe linear und Funktion, die im folgenden zunächst erklärt werden. (Kapitel Algebra, Formelbuch) Eine Funktion ist eine Zuordnung. Durch eine festgelegte Regel wird einer Zahl eine andere zugeordnet. Dies ist ein wenig abstrakt formuliert. Aber es steckt viel weniger dahinter, als man befürchten kann: Die Regel sagt nämlich, wie man die zugeordnete Zahl ausrechnen kann. Funktionen werden meist in dieser Art gegeben: Sprich: y ist eine Funktion von x y = f x = mx + b m ist dabei die Steigung und b der Summand. Beide Buchstaben stehen für konkrete Zahlen im Term und haben somit eine andere Bedeutung als das x! Wenn man in den Term m x + b für x Null einsetzt, so erhält man immer b, denn m 0 + b = 0 + b = b. Im Koordinatensystem ist das der Schnittpunkt mit der y-achse, denn dort ist x=0. Man kann also an dem Summanden im Funktionsterm direkt ablesen, an welcher Stelle die Gerade die y-achse schneidet! Bedeutung der Parameter Der Faktor vor dem x (in der allgemeinen Schreibweise das m), gibt die Steigung der Geraden an. Die einzelne Zahl, der Summand ohne x (in der Standardschreibweise das b), gibt an, wo die Gerade die y-achse schneidet. Beispiel Zu jedem Beispiel gibt es einen Graphen, in dem jeweils Steigungsdreiecke eingezeichnet sind. y = f x = 3x - 7 Der Graph dieser linearen Funktion schneidet die y-achse bei -7. Die Steigung der Geraden ist 3, d.h. immer wenn x um 1 grösser wird, erhöht sich y um 3. Zum Zeichnen einer Geraden reichen zwei Punkte. Man zeichnet also (0-7), den Schnittpunkt mit der y-achse, ein, und findet einen weiteren Punkt, indem man vom ersten Punkt aus treppenweise ein paarmal um 1 nach rechts und um 3 nach oben geht. y=f(x) x Zum Beispiel um insgesamt nach rechts und um insgesamt 1 (=3 ) nach oben. So kommt man zu ( 8). 3 1 Seite 14 von 26

15 y = f x = -x +1 Der Graph dieser linearen Funktion schneidet die y-achse bei +1. Die Steigung der Geraden ist -1, d.h. immer wenn x um 1 grösser wird, vermindert sich y um 1. Zum Zeichnen einer Geraden reichen zwei Punkte. Man zeichnet (0 1), den Schnittpunkt mit der y-achse, ein und findet einen weiteren Punkt, indem man vom ersten Punkt aus treppenweise ein paarmal um 1 nach rechts und um 1 nach unten geht. Zum Beispiel um insgesamt 7 nach rechts und insgesamt um 7 nach unten. So kommt man zu (7-6). y=f(x) 1 1 x 2 y = f x = x 3. 3 Der Graph dieser linearen Funktion schneidet die y-achse bei -3,. Die Steigung der Geraden ist 2/3, d.h. immer wenn x um 1 grösser wird, erhöht sich y um 2/3. Man zeichnet wieder zunächst (0-3,), den Schnittpunkt mit der y- Achse, ein. Einen weiteren Punkt findet man in diesem Fall (Bruch!) zweckmäßigerweise, indem man vom ersten Punkt aus treppenweise ein paarmal um 3 (=Nenner der Steigung) nach rechts und um 2 (=Zähler der Steigung) nach oben geht. Z.B. um insgesamt 6 nach rechts und insgesamt um 4 nach oben. So kommt man zu (6 0,). y=f(x) 3 2 x Alle Funktionsgleichungen können auch mit einer Wertetabelle aufgezeichnet werden: Beispiel 1 y=f(x)=3x-7 X y=f(x) Abbildung 4-1: Wertetabelle Seite 1 von 26

16 4.2 Aufgaben Zeichnen Sie die Graphen folgender Funktionen auf: a) y = f x = x + 3 b) y = f x = -x + 4 c) d) y = f x = +3 e) y = f x = -3x - 2 f) y=f(x) 9 1 y = f x = x y = f x = - x x 9 Finden Sie den richtigen Funktionsterm Zu den angezeigten Graphen sollen die entsprechenden Funktionsgleichungen gefunden werden. y = f x = mx + b y=f(x) x Seite 16 von 26

17 y1 y2-y1 y2 Fachrechnen für Bauberufe 4.3 Bestimmen der Funktion mit Hilfe des Graphen Gegeben: Graphen, die durch folgende Punkte (Koordinaten) gegeben sind. Gerade 1 P1 ( 4 / 2) P2 ( 10 / ) Bestimmen der Steigung m: y y y m= x x x Die Steigung der Strecke PP 1 2 wird ausgedrückt durch das Verhältnis der Seiten y 2 -y 1 und x 2 -x 1. Der Steigungsfaktor hat also den Wert: y y m= x x Durch Einsetzen der x- und y- Werte erhält man den Steigungsfaktor der Geraden. y=f(x) P P1 x2-x x1 x2 x y y m= Da die Gerade durch den Nullpunkt geht, ist das Glied x x der Funktionsgleichung y=mx+ b gleich Null. Für die gezeichnete Gerade lautet die Funktionsgleichung Sonderfälle y= x Alle Punkte der Geraden haben die gleichen Werte für x und y. y= 0 Alle Punkte der Geraden haben für y den Wert Null, d.h. die Gerade verläuft auf der x-achse. y= 1 Alle Punkte der Geraden haben für y den Wert 1, d.h. die Gerade ist eine Parallele zur x-achse im Abstand 1. x= 0 Gerade liegt auf der y-achse. x= -2 Gerade verläuft parallel zur y-achse x=-2 y=f(x) x=0 1 y = f x = x y=x y=1 4 y= x Seite 17 von 26

18 4.4 Aufgaben Aufgabe 1: Von einer Geraden sind zwei Punkte bekannt: P1 (x 1 = -8, y 1 = -3) P2 (x 2 = 4, y 2 = 6) Zeichnen Sie die Gerade und bestimmen Sie: 1. ihren Steigungsfaktor m 2. ihren Schnittpunkt P 3 mit der y-achse 3. die Funktionsgleichung 4. ihren Schnittpunkt P 4 mit der x-achse Lösungsgang y y y m= x x x Die Gerade schneidet die y-achse im Punkt P 3. Dieser Punkt hat die Koordinaten P 3 (x 3 = 0, y 3 = y). Die Gleichung für den Steigungsfaktor m, auf die beiden Punkte P2 und P3 angewendet lautet: y y m x x Setzt man die bekannten Werte ein, so erhält man: 3 6 y m = ; wobei y Es ist also P 3 ( x 3 = 0, y 3 = 3) y=f(x) P2 P3 P P1 x 3. Das Glied b der Normalform y = mx + b gibt an, an welcher Stelle die Gerade die y-achse schneidet. Die Funktionsgleichung lautet also: 3 y = f x = x An der Stelle, an der die Gerade die x-achse schneidet, ist in der Funktionsgleichung der y-wert gleich Null = x 3 x Der Schnittpunkt mit der x-achse hat dann die Koordinaten P 4 ( x 4 = -4, y 4 = 0) Seite 18 von 26

19 Aufgabe 2: Ein Fussgänger marschiert mit km/h los. Nach 4 Stunden startet ein Velofahrer mit 1 km/h. a) Wie lange braucht der Velofahrer, um den Fussgänger einzuholen? b) Wie viele km hat der Fussgänger insgesamt dabei zurückgelegt? Lösen Sie die Aufgabe zuerst rechnerisch und dann mit Hilfe der Funktionsgleichungen Mit Hilfe der Funktionsgleichung s=f(t) in Analogie zu y=f(x) s=f(t) 40km 30km 20km 10km 1h 2h 3h 4h h 6h 7h Zeit t Dies ist das Weg-Zeit-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung. Aus ihm kann man recht schnell Zusammenhänge ablesen, etwa, dass der Velofahrer nach 1 Stunde Fahrzeit noch 10 km vom Fussgänger entfernt ist. Die Geschwindigkeit v stellt hier die Steigung der Geraden dar! Seite 19 von 26

20 Aufgabe 3: Reto und Gino wohnen 0 km voneinander weg. Sie wollen sich irgendwo auf der Strecke treffen. Reto fährt zu Hause um 8 Uhr weg. Er würde um 18:00 Uhr bei Gino zu Hause eintreffen. Gino fährt um 9 Uhr weg und würde um 14 Uhr bei Reto eintreffen. Wann und wie viele km von Reto entfernt treffen sich die beiden. Lösen Sie die Aufgabe zuerst rechnerisch und dann mit Hilfe der Funktionsgleichungen. Mit Hilfe der Funktionsgleichung s=f(t) in Analogie zu y=f(x) s=f(t) 0km 40km 30km 20km 10km 09:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 1:00 16:00 17:00 18:00 Zeit t Die beiden treffen sich also um Uhr und km von Reto entfernt. Man kann noch andere Informationen ablesen, etwa: - dass um 11:00 die beiden noch km voneinander entfernt sind. - dass um 11:00 Reto eine Strecke von km zurückgelegt hat - dass um 11:00 Gino eine Strecke von km zurückgelegt hat. - dass um 14:00 Gino bei Reto angekommen wäre, falls Reto - dass um 18:00 Reto bei Gino angekommen wäre, falls Gino Seite 20 von 26

21 Aufgabe 4: Ein Velofahrer fährt um 8 Uhr mit 1 km/h von A los. Nach 2 Stunden beschleunigt er das Tempo auf 20 km/h. Um 11:00 Uhr startet ein Motorradfahrer mit 60 km/h. Dieser verlangsamt nach einer halben Stunde auf 40 km/h. a) Um welche Zeit und wie viele km von A entfernt trifft der Motorradfahrer auf den Velofahrer? b) Wie weit voneinander entfernt sind Velofahrer und Motorradfahrer um 12:00 Uhr? c) Wie viele Kilometer hat der Velofahrer und Motorradfahrer um 12:30 Uhr zurückgelegt? Mit Hilfe der Funktionsgleichung s=f(t) in Analogie zu y=f(x) s=f(t) 100km 80km 60km 40km 20km 09:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 1:00 Zeit t a) b) c) Aufgabe : Herrn Meier mietet für eine Fahrt ein Auto. Die Grundgebühr beträgt Fr , und für jeden gefahrenen Kilometer werden Fr berechnet. a) Stelle die dazugehörige Funktionsgleichung Fr=f(km) auf und zeichnen Sie den Graph. b) Wie teuer wird eine Fahrt von Rothrist nach Solothurn bei einer Distanz von 20 km? c) Wie weit kann man mit Fr fahren? a) b) c) Fr.=f(km) 40Fr. 30Fr. 20Fr. 10Fr. 10km 20km 30km 40km Weg km Seite 21 von 26

22 Leistungsaufgaben Hier ist es prinzipiell gleichgültig, von was für Leistungen die Rede ist (Arbeitsleistungen von Maschinen oder Volumenleistungen von Wasserrohren). Es gelten die Formeln: Arbeit Volumen A V Leistung = oder L oder L Zeit Zeit t t Röhre 1 3 Std Vorlaufzeit Röhre 2 Röhre 3 Restmenge B-C Behälter B Röhre 1 in 3 Stunden Vorlaufmenge C Vorgehen bei Leistungsaufgaben. 1 Einzelleistungen und Gesamtleistungen aufschreiben 2 Gleichung: Summe der Einzelleistungen=Gesamtleistung 3 Resultat in Textform Beispiel: Eine Röhre würde einen Behälter in 8 Stunden alleine füllen, eine zweite Röhre alleine in 10 Stunden, eine dritte Röhre alleine in 11 Stunden. Zuerst fliesst die erste Röhre während drei Stunden alleine, hernach alle drei Röhren zusammen. Berechnen Sie die totale Füllzeit des Behälters in Sekunden. V V Vorlaufmenge C : 3h Re stmenge B-C : h 8h 8h V V V V Gleichung : h 8h 10h 11h 8h x x x 880 8x Füllzeit für die Restmenge: x= x h Gesamte Füllzeit: 3h+1.978h=4.978h 4h 8 min 41 sec Seite 22 von 26

23 .1 Aufgaben Aufgabe 1: Ein Wasserbehälter wird durch drei Röhren gefüllt. Die erste Röhre füllt ihn alleine in 80 Minuten, die zweite in 200 Minuten und die dritte in Stunden. In welcher Zeit wird der Wasserbehälter voll, wenn alle drei Röhren gleichzeitig geöffnet sind? Gleichheitsbedingung: Summe der Einzelleistungen = Gesamtleistung Der Wasserbehälter habe das Volumen V Einzelleistungen aufschreiben Aufgabe 2: Ein Behälter kann durch Pumpe A in 0 Minuten geleert werden, durch Pumpe B in 30 Minuten. In welcher Zeit wird der Behälter geleert, wenn beide Pumpen gleichzeitig arbeiten? Mit Hilfe der Funktionsgleichung V=f(t) in Analogie zu y=f(x) Die Grösse des Behälters sei durch die Parallele x---x zur Zeit- Achse angegeben. Zeichnen Sie die Leistungsgeraden. der Pumpen. Die Einzelleistungen beider Pumpen im Zeitpunkt 30 min werden durch zwei Ordinaten dargestellt. Die Gesamtleistung ist also die Summe beider Strecken. Zeichnen Sie die Leistungsgerade beider Pumpen. In welcher Zeit leeren die Pumpen den Behälter? V=f(t) min Seite 23 von 26

24 h=.20 Fachrechnen für Bauberufe 6 Übungsaufgaben aus der Praxis 1. Zur Grundlinie c = 40 cm eines Dreiecks ist im Abstand von 9.6 cm eine Parallele gezogen. Aus ihr schneiden die Dreiecksseiten eine 2 cm lange Strecke aus. Welche Höhe hat das Dreieck? 2. Die Grundlinie eines Trapezes misst 20 cm, ihre Parallele 12 cm. Die Höhe h des Trapezes beträgt 6 cm. Man verlängert die Schrägseiten (Schenkel), bis sie sich schneiden. Nun soll die Höhe x des Dreiecks über den Parallelen berechnet werden. (Resultat in cm auf 1 Stelle) 3. Ein Geländeeinschnitt weist die skizzierten Ausmasse auf. Ermitteln Sie die den Aushub in m 2 auf 2 Stellen genau. 1.2:1 A 1:1.2 x s=8.20 y 4. Berechnen Sie den Querschnitt A einer gemauerten Rinne, deren Abmessungen aus der Skizze hervorgehen. (Masse in mm, Resultat auf mm 2 gerundet) Seite 24 von 26

25 . Berechnen Sie für die skizzierte Treppe das Schalungsmass a auf ganze mm gerundet. 6. Strassenprofil a) Bei den gegebenen Horizontalabständen ab Strassenachse ist ein Lattenprofil zu stellen. Welche Koten weisen die Punkte A und B auf? b) Im Punkt C ist eine Kote von auf der Böschungslinie aufgetragen. Wie gross ist der Abstand c von der Strassenachse? 7. Entlang eines trapezförmigen Grundstückes wird eine neue Strasse von 8m Breite erstellt. Berechnen Sie die neue Grundstückslänge L auf 2 Stellen genau und die neue Grundstücksfläche. Seite 2 von 26

26 8. Die Querschnittfläche des unten abgebildeten Einschnittes ist rechnerisch zu bestimmen. (auf 2 Stellen genau) 9. Berechnen Sie im untenstehenden Querprofil die Meereshöhen Von H1, H2, H3 und H4 der Profilierung. (Resultate auf cm genau) 10. Aus einem Rundholz mit dem Umfang U=94.2 cm soll ein scharfkantiger Balken herausgeschnitten werden. Welche Abmessungen (Handelsmasse) erhält der Balken, wenn a) Der Balken quadratisch sein soll? b) Der Balken rechteckig mit a:b = 3:4 sein soll? (Resultate in cm auf 1 Stelle genau) Seite 26 von 26