1 KURVEN IN PARAMETERFORM 1 2 FLÄCHEN IM RAUM 16

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1 1 1 KURVEN IN PARAMETERFORM Kurven in der Ebene Grundlagen 1.1. Ableitungen von ebenen Kurven 4 1. Kurven im Raum Definition und Darstellung von Kurven im Raum Definition und Beispiele der Ableitungen von Raumkurven Begleitendes Dreibein - Krümmung Torsion Frenetsche Formel 11 FLÄCHEN IM RAUM 16.1 Grundlagen 16. Funktionen mit zwei Veränderlichen in der expliziten Form z = fx,y 17.3 Funktionen mit zwei Veränderlichen in der impliziten Form Fx,y,z = Funktionen mit zwei Veränderlichen in Parameterform 19.5 Andere Koordinatensysteme 0.6 Grafische und analytische Darstellung besonderer Raumflächen Kugeloberfläche 1.6. Ellipsoidoberfläche.6.3 Elliptisches Paraboloid Hyperbolisches Paraboloid Elliptischer Zylinder parallel zu den Koordinatenachsen Elliptischer Kegel Einschaliges Hyperboloid Zweischaliges Hyperboloid Ebene Drehflächen Allgemeine Formel für die Erstellung einer Drehfläche 3.7 Flächenkurven Partielle Funktion 34 3 DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER Einleitung, Überblick und einige Grund legende Definitionen Einleitung und Überblick Einige Grund legende Definitionen Partielle Ableitungen Gradient - Richtungsableitung Konvergenz und Stetigkeit bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen Bedeutung der Konvergenz für die Differenzierbarkeit Konvergenz und Stetigkeit von Funktionen mit mehreren Veränderlichen Tangentialebene - Totales Differential Kettenregel Höhere partielle Ableitungen 60

2 3.7 Taylorreihen Taylorpolynome- Taylorreihen für Funktionen mit Veränderlichen Taylorpolynome- Taylorreihen für Funktionen mit 3 Veränderlichen Tipps und Tricks zum Berechnen von Potenz-Taylorreihen-Taylorpolynomen Taylorformel n - ter Ordnung für Funktionen mit m Veränderlichen Partielle Differentiation der Parameterform nach einem Parameter Extremwerte von Funktionen mit mehreren Veränderlichen Allgemeine Definitionen Extremwerte von Funktionen mit zwei Veränderlichen Extremwerte von Funktionen mit drei Veränderlichen Extremwerte mit Nebenbedingungen Hüllkurven Implizites Differenzieren 94 4 KOORDINATENTRANSFORMATIONEN 96

3 1 1 Kurven in Parameterform 1.1 Kurven in der Ebene Grundlagen Wenn wir auf einem Oszillographen ein leuchtend, geladenes Teilchen in horizontaler Richtung eine Kurve durchlaufen lassen, die z.b. durch die x-ablenkspannung x = " cost verursacht wird, sehen wir das untere Bild. Wenn wir den Vorgang wiederholen, lassen aber jetzt das Teilchen in vertikaler Richtung eine Kurve mit der y-ablenkspannung y = 3" sint durchlaufen, so sehen wir das darunter liegende Bild mit der roten Kurve. In beiden Bildern können wir das Argument t als Zeit interpretieren, wodurch jedem Zeitpunkt t eine x- bzw. y- Ablenkung zugeordnet wird. Legen wir nun gleichzeitig die horizontale x t Ablenkung und die vertikale y t Ablenkung an, so überlagern sich beide Bilder zu einem x y Bild in dem das ursprüngliche Argument Zeit t nicht mehr vorkommt. Das Bild zeigt eine Ellipse mit den Hauptachsen a = und y = 3. In der analytischen Darstellung beschreiben wir die Ellipse nun durch ihre zwei zugrunde gelegten Abbildungen: " xt = xt " cost = ; 0 t. # yt # 3 sint Wir sprechen von der Parameterform der Ellipse. Die Parameterform stellt die Ellipse offensichtlich durch zwei Abbildungen dar, die in einem Vektor zusammengeführt werden. Wir sprechen deshalb von einer vektoriellen Darstellung. Das Argument oder Urbild t taucht im Bild nicht mehr auf. Dass xt eine Ellipse darstellt, lässt sich analytisch auch so zeigen: " xt = xt " = cost # yt # 3sint + x = 4cos t y = 9sin t x + 4 y 9 = cos t, + x = sin t, 4 + y 9, = cos t + sin t. Aus dem konkreten Beispiel formulieren wir die allgemeine Definition der Parameterform. In der Parameterdarstellung einer Funktion xt bzw. einer Kurve C werden die Koordinatenwerte x und y durch zwei stetige und eindeutige Funktionen xt und yt mit der " Veränderlichen t beschrieben: C := xt = xt mit t [ t # yt 1,t ].

4 Beispiele # cost " cost 1 C := xt =, t [ 0, ]. sint - sint " # t + cos 0.5" " # t xt =, 0 + t sin 0.5" " # t Diese Kurve heißt die Pascalsche Schnecke. Im Gegensatz zur expliziten Form einer Funktion macht es die Parameterform möglich, dass für ein x Wert mehrere y Werte vorkommen dürfen. Der Grund ist, dass in der Formulierung der Parameterform nicht x als Urbild und y als Bild auftreten, sondern beide eindeutige Bilder des Parameters t sind. Der Parameter t Urbild erscheint nicht im Bild. Die Bilder x und y werden in der Kurve C gleichberechtigt zusammengeführt. Die nächste Kurve heißt Zykloide und stellt eine Kurve dar, die von einem Punkt auf einem rollenden Rad durchlaufen wird. Im Bild ist die Bahn des Nordpols eines Rades mit Radius 1 dargestellt. Anmerkungen 1 Die Parameterform einer Kurve C besteht aus zwei Abbildungen t a xt. Die beiden yt Abbildungen werden in einem Vektor xt zusammengefasst. Dieser mit dem Parameter t variable Ortsvektor xt beschreibt die Kurvenpunkte. Im Bild sind weder die Abbildungen xt, yt noch t explizit sichtbar.

5 3 Es handelt sich um eine eindeutige Abbildung aus einem Geradlinigen Intervall I: a t b, in eine krumme Kurve xt. 3 Für jeden Wert von t existieren eindeutige Werte xt bzw. yt. Dann ist aber auch die Zuordnung t a xt. eindeutig. Im Beispiel des Kreises gilt dies für den gesamten yt Kreis. Die Parameterform gibt uns also die Möglichkeit beliebige Kurven darzustellen. # Dieses Bild zeigt die Parameterform: C := xt = cost + cost 0.35t sint " sint, t [ 0, ]. Das Bild zeigt den Anfangs-,Endpunkt xt=0,π orange, grün und die Punkte xt=π, orange, blau. 4 Interpretiert man den Parameterbereich I als das Zeitintervall, welches man benötigt um die Kurve zu zeichnen, so wird jedem Zeitpunkt ein Kurvenpunkt zugeordnet. Interpretiert man in diesem Sinne die Kurve als Bahnkurve eines Punktes Teilchen so entstehen folgende Anschauungsmöglichkeiten: i ii Jede Kurve hat eine Orientierung vom Anfangs- zum Endpunkt. Für jede Kurve existiert eine Geschwindigkeit, mit der die Kurve durchlaufen wird. Weil man eine Kurve mit verschiedenen Geschwindigkeiten durchlaufen kann, existieren für eine Kurve verschiedene Parameterformen zur Darstellung. Beispiel Einheitskreis: " xt = cost # sin t Einheitskreis:0t " und x = cos. # sin Einheitskreis:0 5 Die einfachste Parameterform einer Funktion y = fx ist die so genannte triviale: " t " xt = ; z.b. besitzt y = lnx, x>0, die triviale Parameterform xt = t, t > 0. # ft # lnt 6 Jeder Kurve in Parameterform können wir einen Grenzwert zuordnen. Dieser ist definiert als Grenzwert ihrer Komponenten: # lim xt bei t"t lim xt = 0 t"t lim yt 0 = # a Stetigkeit = x 0 t # t #1. Beispiel: lim + b y t"t 0 t t #1 t"1 + = sin t

6 Ableitungen von ebenen Kurven Sei eine ebene Kurve C so definiert: Definition Ableitung einer Raumkurve " C : xt = xt ; t [ t # yt 1,t ], worin xt und yt differenzierbare Funktionen von t sind. Dann ist die Ableitung der Vektorfunktion xt erklärt durch die Ableitungen ihrer Komponenten. d xt dt = d dt " xt # yt = " x t # y, worin t = lim x t > 0 Voraussetzung ist. Die Grenzwertformulierung der Ableitung sieht so aus: x t x t + "t x t = lim "t#0 "t + x t + "t - - "t "t#0- y t + "t, a xt yt "t u. + x t + "t 0 - lim 0 = - "t#0 "t 0 y t + "t lim / -, "t#0 xt yt "t. 0 + x 0 = t. - 0 y 0., t/ / Beispiele " 1 xt = xt " = a + t u = a 1 " + t u 1 ", t, besitzt die Ableitung: x t = u 1. # yt # # # " C : xt = xt " = cost # ; 0 t 3, besitzt die Ableitung x t = "4sint. # yt # 4sint 8cost Interpretiert man den Parameter t als Zeit, so stellt der Ableitungsvektor x t die Geschwindigkeit dar, mit der die Kurve C durchlaufen wird. Er liegt in der Tangentenrichtung der Kurve und besitzt eine Länge, die von der Parameterdarstellung abhängt. Dazu sei daran erinnert, dass in der Tat ein und dieselbe Kurve mit verschiedenen Parameterformen dargestellt werden kann. Jede Parameterform definiert dann nicht nur die Kurve C, sondern auch das Zeitintervall Parameterintervall, in dem die Kurve durchlaufen wird. Beispiel Die Parameterformen " x 1 t = cost ",0 t 3, und x # 4sint = cos4,0 3 # 4sin4, definieren dieselbe Kurve. Die zweite Parameterform impliziert allerdings, dass die Kurve doppelt so schnell durchlaufen wird. Ihre Ableitungen sind: # x 1 t = "4sint #, 0 t 3, und x 8cost + = "8sin4+ = x 16cos4+ 1 t, " x Ist die Ableitung in der Parameterform x t = t # y gegeben, so können wir daraus die t y t Ableitung der expliziten Form y x formal so herleiten: x t = dy/dt dx/dt = dy dx = y"x. Beispiel " Sei xt = t # t 3, t > 0 " x t = t # 3t y = 3t = 3t t = 3 x. u

7 5 Eine besondere Rolle unter den Parameterbelegungen stellt die Bogenlänge s dar. Ist eine Kurve durch ihre Bogenlänge s als Parameter dargestellt, so besitzt ihr Ableitungsvektor die Länge 1: x"s =1. Wir schreiben in diesem Fall x an Stelle von x. Ist die Bogenlänge s der Parameter, so ist das Parameterintervall genau so lang wie die Kurve. Dass in diesem Fall x"s =1 gilt, erklären wir so. Die Ableitung beschreibt für alle s das "Bild "x Verhältnis. In unserem Fall heißt dieses Verhältnis, worin sowohl Δx Δ der "Urbild. "s Kurve als auch Δs Bogenlänge den zurückgelegten Weg längs der Kurve bedeuten. Also ist dieser Quotient stets 1. Den Zusammenhang zwischen dem beliebigen Parameter t und dem Parameter Bogenlänge s gibt die Formel: s t ds = x dt " # d# = x dt = s s Mittels dieser Formel können wir zwischen der Parameterbelegung t und der Parameterbelegung Bogenlänge s wechseln. Beispiele 1 Gegeben sei die Kurve " xt = sint, 0 t. Dann ist # cost # cost x t = und x t = 4cos "sint t + 4 "sint +1 =. Der Zusammenhang zwischen der Bogenlänge s und dem Parameter t ist: ds = x dt " s = t # x dt = # dt = t. 0 t 0 Verwenden wir die Bogenlänge s als Parameter, so erhalten wir: " " sin s " 1 # xs = " cos s cos " s mit xs = # 1 # # sin " s und xs = # # Prüfungsaufgabe " cos " s + 1 " " # # sin s =1. # # Ein Kreis mit Radius 1 soll am Innenrand eines Kreises abgerollt werden, der den Radius 3 besitzt und dessen Mittelpunkt der Ursprung des Koordinatensystems ist. Ein geeignet gewählter Punkt P auf dem Rand des kleineren Kreises beschreibt dann eine Kurve C, welche die Parameterdarstellung " xt " cost + cost =, t [ 0,+ ], besitzt. # yt # sint sint

8 6 a Bestimmen Sie die Steigung mt der Tangente an die Kurve C im Punkt " xt, t [ 0, ], Wie lauten die Tangentengleichungen für t " 0, # # yt 3,#, 4# 3? Skizzieren Sie die Kurve C. " x t Hinweis: Vereinfachen Sie # y, t [ 0, ], unter Beachtung von t cost " cost = sin 3t # sin t 3t und sint + sint = sin # cos t. b Berechnen Sie die Länge der Kurve C. Lösung a Wir berechnen die Parameterdarstellung des Tangentenvektors: " x x t = t "sint sint # y =, t [ 0, ], t # cost cost und daraus die Steigung der Tangente y mt = t x t = cost " cost "sint " sint Hinweis 4sin 3t = sin t "4sin 3t cos t sin t = " cos t = "tan t. Die Tangentensteigungen sind: / - # tan "0 # = 0,tan " # = " 3,tan " # = ±,tan " -, = Punkt 1 Punkt Punkt 3 Punkt 4 1 b Für die Länge der Kurve berechnen wir : " LC = x t + y " # t dt = # sint sint dt cost cost " = 4 sin 3t + cos t + sin 3t + sin t " # dt = 4 sin 3t + cos t + sin t # 0 " " = 4 sin 3t " # dt = 4 # sin 3t 3 dt =1 # sin 3t dt =, cos3t / = "

9 7 1. Kurven im Raum 1..1 Definition und Darstellung von Kurven im Raum Eine Kurve C im Raum wird durch eine Parameterform dargestellt. Dabei handelt es sich um eine Abbildung aus einem Intervall Parameterintervall in eine krumme Raumkurve. Andere Darstellungen einer Kurve im Raum, wie z.b. als Schnittkurve von zwei Flächen, sind die Ausnahme. Definition einer Raumkurve In der Parameterform einer Kurve im Raum werden die drei Koordinatenwerte x, y und z durch drei stetige und eindeutige Funktionen xt, yt und zt dargestellt: " xt C : Xt = yt ; t [ t 1,t ]. # zt Die Urbilder, also das Parameterintervall Beispiele 1 Gerade im Raum " xt " a 1 " u 1 Xt = yt = a + t u = a + t u, # zt # a 3 # u 3 " a 1 " 1 " u 1 " 3 mit a = 0 und u = und t. # a 3 #1 # u 3 # 4 Spirale im Raum " xt " cost C : Xt = yt = 4sint ; 0t 6. # zt # 0.5t Anmerkungen Jede Kurve lässt sich interpretieren als eine Bewegung im Raum mit dem Zeitparameter t. Jede solche Bewegung hat einen Anfang, eine Ende, eine Orientierung und eine Geschwindigkeit. Wir können die Geschwindigkeit erhöhen, wenn wir das Zeitintervall verkürzen und den Parameter entsprechend multiplizieren. Z.B. wird die Spiralenbewegung bei gleichem Bild doppelt so schnell, wenn wir C so definieren: " xt " cost C : Xt = yt = 4sint ; 0t 3. # zt # t t 1 " t " t, sind im Bild im Regelfall nicht sichtbar.

10 8 1.. Definition und Beispiele der Ableitungen von Raumkurven Sei eine Raumkurve C so definiert: " xt C : Xt = yt ; t [ t 1,t ], # zt worin xt, yt und zt differenzierbare Funktionen von t sind. Dann ist die Ableitung der Vektorfunktion Xt erklärt durch die Ableitungen ihrer Komponenten. Definition Ableitung einer Raumkurve d dt Xt = d dt " xt " x t yt = y t # zt # z, worin t X t > 0 ist. Die strenge Formulierung der Ableitung sieht so aus am Beispiel n = 3: + x t + "t xt. + x t + "t xt lim 0 "t X X t + "t X t "t#0 "t 0 + x t. y t + "t yt t = lim = lim - 0 = - y t + "t yt lim 0 - = 0 "t#0 "t "t#0- "t 0 - "t#0 "t 0 y t - - z t + "t zt 0 - z t + "t zt 0 0., z t/ lim 0, "t /, "t#0 "t / Beispiele 1 " xt " Xt = yt = a + t u = # zt # a 1 a a 3 " + t # u 1 u, t, besitzt die Ableitung: " xt " cost C : Xt = yt = 4sint ; 0 t 3, besitzt die Ableitung # zt # t u 3 X t = #"4sint X t = 8cost. 1 Interpretiert man den Parameter t als Zeit, so stellt der Ableitungsvektor X t die Geschwindigkeit dar, mit der die Kurve C durchlaufen wird. Er liegt in der Tangentenrichtung der Kurve und besitzt eine Länge, die von der Parameterdarstellung abhängt. Dazu sei daran erinnert, dass in der Tat ein und dieselbe Kurve mit verschiedenen Parameterformen dargestellt werden kann. Jede Parameterform definiert dann nicht nur die Kurve C, sondern auch das Zeitintervall Parameterintervall, in dem die Kurve durchlaufen wird. Beispiel Die Parameterformen " cost " cos4 X 1 t = 4sint,0 t 3, und X = 4sin4,0 3, # t # definieren dieselbe Kurve. Die zweite Parameterform impliziert allerdings, dass die Kurve doppelt so schnell durchlaufen wird. Ihre Ableitungen sind: #"4sint #"8sin4+ X 1 t = 8cost,0 t 3, und X + = 16cos4+ = X 1 t, " # u 1 u u 3.

11 9 Anmerkung " x 1 t " x 1 t x Für n-dimensionale Kurven Xt gilt analog: Xt = t X... t = x t.... # x n t # x n t Natürlich ist X t selbst wieder eine Raumkurve, so dass sich der Ableitungsprozess wiederholen lässt: d dt d " cost Xt = 4sint dt # t Xt = d dt d "4sint X t = 8cost dt # 1 X t = " 8cost d X t = 16sint dt... # 0 Das Bild zeigt die grüne Kurve " cost Xt = 4sint, 0 t, und deren blaue # t Ableitungskurve #"4sint X t = 8cost,0 t. 1 Die orangenen Linien stellen jeweils den Tangentenvektor X t = 0 dar. Die Linie vom roten zum grünen Punkt zeigt zur Ableitungskurve, die parallele Linie ist Tangente an Xt = 0. Der grüne bzw. blaue Punkt definieren den Zeitpunkt t=0 bzw. t=π für ihre Raumkurven. Eine besondere Rolle unter den Parameterbelegungen stellt die Bogenlänge s dar. Ist eine Kurve durch ihre Bogenlänge s als Parameter dargestellt, so besitzt ihr Ableitungsvektor die Länge 1: X"s =1. Wir schreiben in diesem Fall wieder X an Stelle von X. Ist die Bogenlänge s der Parameter, so ist das Parameterintervall genau so lang wie die Raumkurve. Dass in diesem Fall X"s =1 gilt, erklären wir uns so. Die Ableitung beschreibt stets das "Bild "X Verhältnis. In unserem Fall heißt dies Verhältnis, worin sowohl ΔX Δ der "Urbild. "s Raumkurve als auch Δs Bogenlänge den zurückgelegten Weg längs der Kurve bedeuten. Also ist dieser Quotient stets 1. Den Zusammenhang zwischen dem beliebigen Parameter t und dem Parameter Bogenlänge s gibt die Formel: ds = X s t dt " # d# = X dt = s s

12 10 Mittels dieser Formel können wir zwischen der Parameterbelegung t und der Parameterbelegung Bogenlänge s wechseln. Beispiel Gegeben sei die Raumkurve # cost X t = "sint und X t = 1 " sint Xt = cost, 0 t. Dann ist # t cos t + "sint +1 =. Der Zusammenhang zwischen Bogenlänge s und allgemeiner Parameter t ist: ds = X dt " s = t # X dt = # dt = t. 0 t 0 Verwenden wir die Bogenlänge s als Parameter, so erhalten wir: " " sin s " # 1 cos " s # " s Xs = cos mit Xs = 1 # sin s " und Xs = 1 " " # cos s + 1 " " # # sin s + 1 # # =1. " s " 1 # # # # Der Differentiationsprozess lässt sich auch mehrfach durchführen. Sei eine Raumkurve C so definiert: " xt C : Xt = yt ; t [ t 1,t ], # zt worin xt, yt und zt n-fach differenzierbare Funktionen von t sind. Dann sind die Ableitungen der Vektorfunktion Xt erklärt durch die Ableitungen ihrer Komponenten. Definition -te Ableitung einer Raumkurve d Xt dt = d dt X = d dt " d " x t dt x t " y t # z = d y dt x t t = y t t d z dt # z = X t, worin t t # Analog werden höhere Ableitungen n> definiert. Beispiel X > 0 ist. " xt " cost C : Xt = yt = 4sint, 0t, besitzt die zweite Ableitung # zt # t # "8cost X t = "16sint. 0

13 Begleitendes Dreibein - Krümmung Torsion Frenetsche Formel In jedem Punkt einer Raumkurve " xt " xs C : Xt = yt ; t t [ 1,t ], bzw. Xs = ys ; s [ 0,L ], # zt # zs können wir drei charakteristische Vektoren definieren: Den Tangentenvektor t, den Hauptnormalenvektor n und den Binormalenvektor b. Diese stehen senkrecht zueinander, besitzen die Länge 1 und sind so definiert. t = X"s = d ds X = dx dt # dt ds = 1 X t # X t, Tangentenvektor n = X""s X""s = = d ds X"s d ds X"s # d X t ds X t = = # d X t ds X t # X t X t X # X t X t t X t 1 X t X t # X t X t X # X t X t t X t 1 X t X t # d X t dt X t dt ds = # d X t dt X t dt ds # d X t dt X t 1 X t # d X t dt X t 1 X t # X t X t X # X t X t t X t = X t X t X X t X t Normalenvektor # # t X t # X t X t X t X t X t = X t X t = # X t X t X t und b = t "n = X#s " Zahl 1 X##s X##s = 1 X##s X t + X t + X t X t + X t X t + X#s " X##s. Binormalenvektor Die drei Vektoren bilden ein orthogonales Dreibein. Jede Kurve im Raum ist durch dieses begleitende Dreibein eindeutig definiert bis auf Bewegungen im Raum.

14 1 Die Krümmung κ bzw. die Torsion τ sind ein Maß für die Abweichung der Kurve vom geradlinigen bzw. ebenen Verlauf. In der Ebene gilt stets τ=0 und für eine Gerade gilt κ=0. Die Krümmung einer Kurve ist erklärt als Veränderung der Richtung Δα des Tangentenvektors längs der Kurvenbahn bezogen auf deren Bogenlänge Δs. Definition Krümmung # "s = lim #s0 #s + = d ds Das Gegenstück zur Krümmung κ ist ihr Krümmungsradius R Definition Krümmungsradius Rs = 1 #Rs "s =1. "s Ist eine ebene Kurve in der expliziten Form y=fx vorgegeben, so lautet die Krümmung: "x = y##x 1+ f# x. 3 Ansonsten gilt mit xt = xt " xt " bzw. Xt = yt # yt für die Krümmung: # zt Ebene 1443 Raum x "t = x## = x x 3. Die Torsion Abweichung vom ebenen Verlauf ist für Raumkurven so definiert: Definition Torsion x "t = x # x x # x. Das begleitende Dreibein bildet drei Ebenen: Schmiegebene, erzeugt von t und n, steht senkrecht zu b: Rektifizierende Ebene, erzeugt von b und t, steht senkrecht zu n: x " x 0 #b = 0. x " x 0 #n = 0. Normalebene, erzeugt von n und b, steht senkrecht zu t: Die Ableitungen von t, n und b sind in den Frenetschen Formeln miteinander verknüpft: Frenetschen Formeln x " x 0 # t = 0. t" = #n n" = # t + b b" = n + # = t"n" = b" n".

15 13 Beispiel 1 Das obere Bild zeigt die Raumkurve grün " cost Xt = sint, 0 t # t " cos s Xs = sin s, 0 s s # und das begleitende Dreibein: Die Tangente rot tt = 1 #"sint cost, 0 t 1 13 X t die Normale blau #"cost nt = sint, 0 t 0 und die Binormale olive bt = 1 # sint "cost, 0 t. 1 Das untere Bild zeigt für t=0 das Dreibein und die Schmiegebene. Die anderen Ebenen lassen sich anhand des Dreibeins leicht visualisieren. Für die Krümmung gilt: " = t# = 1 cos t + sin t = 1. Für die Torsion gilt: x "t = x # x x # x = 1.

16 14 Beispiel Raumkurve orange " t 1 Xt = t, 0 t 3 1 # 6 t3 Tangentenkurve rot " 1 tt = + t t, 0 t 3 1 # t Normalenkurve blau # "t nt = + t 1" 1 t, 0 t 3 t Binormalenkurve olive # 1 t bt = + t "t, 0 t 3 1 Krümmung x "t = x## = x x 3 = 4 + t Torsion x "t = x # x x # x = 4 + t. Krümmung und Torsion sind offenbar in diesem Beispiel längs der gesamten Kurve gleichgroß. Die Ebenen lesen wir aus dem Dreibein ab. Anmerkungen

17 15 Die Ausführungen für den " und " 3 lassen sich direkt auf den " n übertragen. Dann schreiben wir die Kurve so: " x 1 t x C : Xt = t ; t [ t... 1,t ]. # x n t Ihre Grenzwerte sind so definiert: [ ] = lim Xt t"t 0 [ ] # lim x 1 t t"t 0 lim [ x t] t"t 0 ; t t... 1,t lim [ x n t] t"t 0 [ ] Der Ableitungsvektor lautet entsprechend: " x 1 t X x t = t ; t t... 1,t # x n t Beispiel [ ]. Sei Xt der vierdimensionale Vektor: " t sint C : Xt = ; t t [ 0,]. # t 3 Sein Grenzwert an der Stelle t=1 heißt: Seine Ableitung an der Stelle t heißt: [ ] = lim Xt t"1 [ ] # lim t"1 t lim [ sint] # 1 t"1 lim [ t] = sin1. t"1 lim[ t 3 ] 1 t"1 # t X cost t = ; t [ 0,]. 3" t

18 16 Flächen im Raum Funktionen mit zwei Veränderlichen im Raum.1 Grundlagen Hängt eine Funktion f von einer Variablen ab, so lässt sich die Abbildung analytisch durch drei Varianten darstellen: 1 Explizit mit y = fx, Implizit mit Fx,y = 0 x " Definitionsintervall D # " 3 Parameterform mit xt = xt, atb. # yt Ihr Graph stellt im Regelfall z.b. bei stetigen Funktionen eine Kurve in der Ebene dar. Hängt eine Funktion f von zwei Variablen ab, so lässt sich die Abbildung ebenso analytisch durch drei Varianten darstellen: 1 Explizit mit z = fx,y, Implizit mit Fx,y,z = 0 3 Parameterform mit x,y " Definitionsintervall D # Die Theorie für Funktionen fx,y mit Variablen lässt sich problemlos auf Funktionen mit drei fx,y,z und mehr fx 1,x,...,x n Variablen übertragen. Wir können diese Fälle aber nicht mit Bildern veranschaulichen. Deshalb beschränken wir uns meist auf Funktionen " 3 " xu,v Xu,v = yu,v, u,v Parameterbereich P. # zu,v eben Ihr Graph stellt im Regelfall stetige Funktionen eine Fläche im Raum dar. fx,y, was aber prinzipiell die Allgemeingültigkeit für fx 1,x,...,x n nicht einschränkt. Im Bild ist als Beispiel die Funktion z = fx,y = 3x " y, -1 x1, -1y1, dargestellt. Der Definitionsbereich ist rot eingerahmt. Für jeden Punkt im Definitionsbereich gibt es genau einen Wert z=fx,y auf der krummen Fläche. Im Bild sind stellvertretend der rote Urbildpunkt im Grundriss -1,-1,0, d.h. x,y=-1,-1 und der blaue Bildpunkt -1,-1,-3, d.h. z = fx,y = -3, eingezeichnet. Das Beispiel zeigt die explizite Form einer Funktion. In der expliziten Form enthält das Bild den Definitionsbereich als Grundriss und das Bild als z-wert auf dem zugehörigen Flächenpunkt. Es handelt sich um eine Abbildung vom Typ "{ # "{ "{. x y z Der Graph der Abbildung ist danach ein E- lement aus dem " 3, aber x,y " #,z " #1 3. Urbild Bild Wir beginnen mit der expliziten Form.

19 17. Funktionen mit zwei Veränderlichen in der expliziten Form z = fx,y Wie bei Funktionen mit einer Veränderlichen ist auch bei Funktionen mit zwei Veränderlichen die explizite Form die gebräuchlichste. Weitere Beispiele 1 { p =R" T { v, z f v,t das ideale Gasgesetz, worin im Bild der Druck p dargestellt wird als Funktion von T Temperatur und v spezifisches Volumen. R ist die Gaskonstante. { R = R 1 " R z R + R f x,y, die Kirchhoffsche Regel, worin der Gesamtwiderstand R in einem Stromkreis für zwei parallel geschaltete Widerstände R 1 und R berechnet wird. Der Definitionsbereich ist das rote Rechteck im Grundriss.

20 18.3 Funktionen mit zwei Veränderlichen in der impliziten Form Fx,y,z = 0 Die implizite Form einer Funktion umfasst alle expliziten Darstellungen, d.h. jede explizite Form können wir zu einer impliziten machen: z = fx,y " z 14 - fx,y 43 = 0. Die Umkehrung Fx,y, z gilt nicht. Viele Kegelschnitte sind in der impliziten Form gegeben. Beispiele 1 Ellipsoid mit a =,b = 3 und c = 1 und dem Mittelpunkt 1,-,3: x "1 4 + y z "1 "1 = 0 1 Kegel mit a=b=c=1: x + y "z = 0.

21 19.4 Funktionen mit zwei Veränderlichen in Parameterform In der Parameterform für Funktionen mit einer Veränderlichen hatten wir jedem Urbildelement t aus einem Parameterintervall einen Ortsvektor xt eindeutig zugeordnet. Die Menge aller Ortsvektoren stellte dann die Bildkurve C dar. In der Parameterform für Funktionen mit zwei Veränderlichen werden wir jedem Urbildelement u,v aus einem Parameterrechteck einen Ortsvektor Xu,v eindeutig zuordnen. Die Menge aller Ortsvektoren stellte dann die Bildkurve C dar. Wir definieren: Ordnen wir jedem Element u,v aus einem häufig rechteckigen Parameterbereich " xu,v P = { u,v \ u,v " P} eindeutig einen Ortsvektor Xu,v = yu,v zu, so stellt die Menge aller Vektoren eine Fläche im Raum # zu,v dar. In der Parameterform für Funktionen mit einer Veränderlichen handelt es sich um eine Abbildung aus einem Intervall in eine Kurve. In der Parameterform für Funktionen mit zwei Veränderlichen handelt es sich um eine Abbildung aus einem ebenen Bereich in eine krumme Fläche im Raum: u,v " Xu,v, f : # " # 3. Die Urbildelemente u,v kommen im Bild meist nicht vor. Beispiele 1 Ebene Das Bild zeigt einen Ausschnitt der Ebene E mit den Parametern u und v: = X u,v # 1 # # "1 + u "1 + v 3 3 "3 0.5 Parameterbereich: -5 u 5, -5 v 5. Drehflächen Dreht man eine Kurve z = fy bzw. z = fx, a y b bzw. a x b, um die z Achse, so entsteht eine rotationssymmetrische Figur. Ihre Parameterform heißt: # u" cosv Xu,v = u" sinv. fu Das Bild zeigt eine Drehung der Kurve z = fx = x 3, 1" x " 3, um die z Achse: # u" cosv Xu,v = u" sinv u 3, 1 u 3, 0 v.

22 0.5 Andere Koordinatensysteme Wenn wir in der Parameterform einer Funktion mit zwei bzw. drei Veränderlichen anstelle von x, y bzw. x, y, z neue Parameter u und v bzw. u, v und w benutzen, dann haben wir damit indirekt neue Koordinaten eingeführt, die in unserem x-y-z Anschauungsraum unsichtbar bleiben. Die bekanntesten Koordinaten für eine so genannte Parametrisierung der Funktion sind 1 Polar- und elliptische Koordinaten in der Ebene und Zylinder- und Kugelkoordinaten im Raum. Die Anwendung neuer Koordinaten beruht auf dem Umstand, dass ein Punkt in der Ebene bzw. im Raum in vielfältiger Weise eindeutig beschrieben werden kann. So lässt sich ein Punkt in der Ebene nicht nur als Eckpunkt eines Rechtecks mit den Seitenlängen x und y erklären. Stattdessen ließe sich auch ein Kreis verwenden jeder Punkt der Ebene liegt auch auf einem Kreis und ein Strahl, der vom Nullpunkt zum Punkt auf dem Kreis zeigt. Damit wäre der Punkt durch den Kreisradius r und den Winkel φ des Strahls mit der x- Achse beschrieben. Wir sprechen dann von Polarkoordinaten. In gleicher Art und Weise können wir den Punkt auf eine Ellipse mit den Achsen a und b setzen, und zusätzlich als Winkel den Strahl auffassen, der von Null zum Punkt auf der Ellipse zeigt. Diese Vorgehensweise können wir auf den Raum übertragen. Jeder Punkt im Raum liegt auf einer Kugel mit Radius ρ. Zur eindeutigen Bestimmung benötigen wir zusätzlich zwei Winkel u Winkel im Grundriss zur x-achse und v Winkel gegen die z-achse, v=0 als z- Achse. Bestimmen wir einen Punkt im Raum durch die Größen ρ, u und v so sprechen wir von Kugelkoordinaten. Analog führen wir Zylinderkoordinaten ein. Jeder Punkt des Raumes liegt auf einem Zylinder. Den Punkt können wir nun so bestimmen. Wir bestimmen den Punkt im Grundriss des Zylinders durch Polarkoordinaten r und φ und seine Höhe durch die Koordinate z. Insgesamt ergibt dies die drei Zylinderkoordinaten r, φ und z. Der Vorteil, der Verwendung anderer Koordinatensysteme liegt auf der Hand. Alle kreisförmigen, zylinderartigen oder kugelförmigen Körper lassen sich durch so genannte krumme Koordinaten besser beschreiben als mit kartesischen Koordinaten. Der Nachteil ist, dass wir meist mit Funktionen, z.b. fx,y bzw. fr,φ arbeiten, die auf diese Variablen angewendet werden. Verwenden wir fx,y, also kartesische Koordinaten, so können wir direkt den Zusammenhang Urbildvariablen x,y und Bildvariablen fx,y in einem gemeinsamen Bild Graph von f anschaulich darstellen. Verwenden wir z.b. Polarkoordinaten, so können wir letztlich das gleiche x-y-z - Bild erstellen, aber aus diesem ist der Zusammenhang zwischen Urbildvariablen ρ,φ und Bildvariablen z=fρ,φ direkt nicht zu sehen. Vielmehr geht der Erkenntnisweg so: ",# Urbildbereich in Polarkoordinaten: Im Bild nicht zu sehen Verzerrung des Bereichs x ",#,y ",# Urbildbereich in kartesischen Koordinaten:Im Bild zu sehen = f ",# f x ",#,y",# Eindeutige Bildwerte Die Urbilder stellen Flächen bzw. Volumen dar und sind unterschiedlich in der Größe. Bei Integrationen mit anderen Koordinaten als kartesischen stellt sich daher stets die Aufgabe, diesen Verzerrungen Rechnung zu tragen. Wir werden dies in den Integralkapiteln ausführlich erläutern.

23 1.6 Grafische und analytische Darstellung besonderer Raumflächen.6.1 Kugeloberfläche mit Mittelpunkt x 0,y 0,z 0 und Radius r Explizite Form z = z 0 + r " x " x 0 z = z 0 " r " x " x 0 + y " y 0 Obere Halbkugel + y " y 0 Untere Halbkugel Implizite Form Fx,y,z = x " x 0 + y " y 0 + z " z 0 "1= 0 Parameterform " x 0 + r cosusinv " cosusinv Bild Xu,v = y 0 + r sinusinv = sinusin v, 0 u, 0 v # z 0 + r cosv # cosv Darstellung der Kugel durch Höhenlinien. Höhenlinien gewinnt man durch fx,y=c. Jede Höhenlinie stellt einen Kreis dar.

24 .6. Ellipsoidoberfläche mit Mittelpunkt Explizite Form z = z 0 + c " 1# x # x 0 a + y # y 0 b z = z 0 # c" 1# x # x 0 a + y # y 0 b x 0,y 0,z 0 und Hauptachsen a,b und c Oberes Ellipsoid Unteres Ellipsoid Implizite Form Parameterform x " x 0 a + y " y 0 b + z "z 0 c "1= 0 # x 0 + a" cosusinv #1+ " cosusinv Bild Xu,v = y 0 + b " sinusinv = + 3" sinusinv, z 0 + c " cosv 3 +1" cosv 0 u +, 0 v +. Höhenliniendarstellung: Jede Höhenlinie stellt eine Ellipse dar.

25 3.6.3 Elliptisches Paraboloid mit Mittelpunkt Explizite Form z " z 0 = x " x 0 Implizite Form x 0,y 0,z 0 und Hauptachsen a, b a + y " y 0 b x " x 0 a + y " y 0 b "z + z 0 = 0 # x 0 + u" a" cosv Parameterform Xu,v = y 0 + u" b " sinv Bild # 5 + u" " cosv z 0 + u =, 5 + u" 3" sinv + u, 0 u 4, 0 v +. Elliptisches Paraboloid

26 4.6.4 Hyperbolisches Paraboloid Explizite Form Implizite Form Parameterform z " z 0 = x " x 0 x " x 0 a " y " y 0 b a " y " y 0 b " z + z 0 = 0 # x Xx,y = y = z 0 + x " x 0 a " y " y 0 b Triviale Parameterform Bild # x y x " y oder Höhenliniendarstellung Höhenlinien sind Hyperbeln

27 5.6.5 Elliptischer Zylinder parallel zu den Koordinatenachsen Parallel zur z-achse Explizite Form Implizite Form Parameterform Keine x " x 0 a + y " y b "1= 0, c 14 # z 4 # 3 d 4443 Höhe d-c Elliptischer Grundriss: Achsen a und b # x 0 + a" cosu Xu,v = y 0 + b " sinu = v Bild # 0 +1" cosu 0 +1" sinu,0 u, - v. v Explizite Form Implizite Form Parameterform Keine x " x 0 a + z " z b "1= 0, c 14 # z 4 # 3 d 4443 Höhe d-c Elliptischer Grundriss: Achsen a und b # x 0 + a" cosu Xu,v = v = z 0 + b " sinu Bild, Parallel zur y-achse # 0 +1" cosu v,0 u, - v. 0 +1" sinv

28 6 Zylinder parallel zur y-achse Parallel zur x-achse Explizite Form Implizite Form Parameterform Keine y "y 0 a + z " z b "1= 0, c 14 # z 4 # 3 d 4443 Höhe d-c Elliptischer Grundriss: Achsen a und b # v Xu,v = y 0 + a" cosu = z 0 + b " sinu Bild # v 0 +1" cosu, 0 u, - v. 0 +1" sinu Zylinder parallel zur x-achse

29 7.6.6 Elliptischer Kegel Parallel zur z-achse Explizite Form Implizite Form Parameterform oberer } Kegel z = z 0 14 ± 43 c" unterer Kegel x " x 0 a + y " y 0 b " z " z 0 c = 0 x # x 0 a + y # y 0 b oberer Kegel Ellipse als Leitkurve: Achsen a und b für z-z 0 =c # x 0 + h" a c " cosu Xu,h = y 0 + h" b c " sinu Bild # h" cosu =, h" sinu, 0 u, - h. 0 ± h z 0 ± h a=,b=,c=1

30 8.6.7 Einschaliges Hyperboloid Explizite Form Implizite Form Parameterform oberes Hyperboloid } z = z ± 44 3 c" x # x 0 unteres Hyperboloid a + y # y 0 b #1 x " x 0 a + y " y 0 b " z " z 0 c "1 = 0 # x 0 + a" coshusinv Bild# coshusin v Xu,v = y 0 + b " coshucosv = coshucos v 6 oberes, - 3 u 3, 0 v. 78 sinhu z 0 ± { c" sinhu unteres

31 9.6.8 Zweischaliges Hyperboloid Explizite Form z = z 0 "c # Implizite Form Parameterform x " x 0 x " x 0 a + y "y 0 b +1 a + y " y 0 b " z " z 0 c +1= 0 # x 0 + a" sinhusinv Bild# sinhusin v Xu,v = y 0 + b " sinhucosv = sinhucos v 6 oberes, - 3 u 3, 0 v coshu z 0 ± { c " coshu unteres

32 Ebene Explizite Form z = z 0 + a x " x 0 + b y "y 0, - # < x,y < # Implizite Form Fx,y,z = a x " x 0 +b y "y 0 + c z " z 0 = 0, - # < x,y,z < # Parameterform " x 0 + a 1 u + b 1 v " 5 + u + 3v Bild Xu,v = y 0 + a u + b v = 3 + u v, - <u,v < # z 0 + a 3 u + b 3 v # 5 + u + v

33 Drehflächen 1 Torus Parameterform x 0 " a# cosucosv 4 " # cosu Bild cosv Xu,v = x 0 " a# cosusinv = 4 " # cosusinv, 0 u,v + z 0 "b # sinu 4 " sinu Drehung einer Kurve in der y - z - Ebene um die z - Achse Parameterform # u" cosv Bild# Xu,v = u" sinv fu = u" cosv u" sinv, 0.75u 0 u 3,0 v.

34 Allgemeine Formel für die Erstellung einer Drehfläche " x 1 Wird der Urbildpunkt x = x um die z-achse mit dem Drehwinkel φ gedreht, so entsteht # x 3 " y 1 " cos sin 0 " x 1 " cos x 1 sin x der Bildpunkt y = y = sin cos 0 x = sin x 1 + cos x. # y 3 # # x 3 # 1 x 3 Wird eine Kurve in der x-z-ebene mit dem Drehwinkel φ um die z-achse gedreht, so wird jeder Punkt der Kurve gedreht und es entsteht eine Drehfläche: " xt Drehung um " cosu sinu 0 " xt " xt + cosu die zachse xt = 0, a t b, xt,u = sinu cosu 0 0 = xt + sinu, a t b,0 u,. # zt # # zt # zt Analog gilt: " xt Drehung um " " xt " xt die xachse xt = yt, a t b, xt,u = 0 cosu sinu yt = yt + cosu Bild " t = cost + cosu. # 0 # 0 sinu cosu # 0 # yt + sinu # cost + sinu t0.5,,0u, " 0 Drehung um " cosu 0 sinu" 0 "zt sinu " die yachse xt = yt, a t b, xt,u = yt = yt Bild 4 + costsinu = 3 + sint. # zt # sinu 0 cosu # zt # zt cosu # 5 + cost cosu t+,0u+ Bilder Drehung um die y-achselinks, Drehung um die x-achse rechts.

35 33 Für Funktionen mit drei Veränderlichen bzw. mehr Veränderlichen sieht die explizite Form so aus: w = fx,y,z bzw. w = fx 1,x,...,x n. Beispiel w = x + y + z bzw. w = fx 1,x,...,x n = x 1 + x xn Die implizite Form sieht entsprechend so aus: Fx,y,z,w = 0 bzw. Fx 1,x,...,x n,x n+1 = 0. Beispiel = 0 bzw. x 1 + x xn + +xn+1 w " x + y + z "1 = 0. Schließlich sieht die Parameterform mit drei Veränderlichen bzw. mehr Veränderlichen so aus: " x 1 u,v,w x Xu,v,w = u,v,w x 3 u,v,w # x 4 u,v,w Beispiel bzw. " y 1 x 1,x,...,x n Yx,x,...,x n = y x 1,x,...,x n Dimension n Dimension n # y n+1 x 1,x,...,x n + " u v Triviale Xu,v,w = w Parameterform bzw. u 14 + v + 43 w # f u,v,w + " x 1 Yx,x,...,x n = x Triviale... Parameterform Dimension n # x 1 + x x n +

36 34.7 Flächenkurven Partielle Funktion Für viele Berechnungen im Bereich der Differentiationen sind Kurven auf der Fläche von Bedeutung. Wir beginnen mit dem Begriff der partiellen Funktion. Solche Funktionen entstehen, wenn man von den zwei Variablen eine konstant hält und dadurch aus einer Funktion mit zwei Variablen Fläche im Raum eine Funktion mit einer Variablen Kurve auf der Fläche im Raum entsteht. Definition partielle Funktion Sei z = fx,y die explizite Form einer Funktion f mit zwei Variablen: Außerdem sei x 0,y 0 " D. Die Funktionen x,y " D# f fx,y ", fx,y 0 f 1 : x " f 1 x fx 0,y f : y " f y heißen partielle Funktionen von f im Punkt x 0,y 0. Offensichtlich sind die partiellen Funktionen die ebenen Kurven Schnittlinien, die entstehen, wenn man die Fläche mit zwei Ebenen schneidet, die durch den Punkt x 0,y 0 gehen: Der Schnitt mit der Ebene parallel zur x z-ebene ergibt als Schnittlinie die ebene Kurve f 1 x, entstehen, wenn man die Fläche mit zwei Ebenen schneidet, die durch den Punkt x 0,y 0 gehen: Der Schnitt mit der Ebene parallel zur x z-ebene ergibt als Schnittlinie die ebene Kurve f 1 x, der Schnitt mit der Ebene parallel zur y z-ebene ergibt als z = fx,y = x" y und im Punkt x + y Schnittlinie die ebene Kurve f y. Im Bild sind die Fläche x 0 = 3,y 0 = 3 die partiellen Funktionen f y = 3y, blaue Flächenkurve, dargestellt. 3 + y f 1 x = 3x, grüne Flächenkurve, und 3 + x

37 35 Analog zu den partiellen Funktionen für Funktionen in expliziter Form, lassen sich Kurven für Funktionen in der Parameterform erklären. In der Parameterform heißen die Variablen " xu,v u und v und zu jedem Punkt u 0,v 0 lassen sich auf der Fläche Xu,v = yu,v eindimensionale Kurven X 1 u = yu,v 0 bzw. # zu,v " xu,v 0 " xu 0,v X v = yu 0,v bilden. Man nennt diese Flächenkurven # zu,v 0 # zu 0,v Parameterlinien. Beispiele " xu,v " u cosv Xu,v = yu,v 1 = u sinv # zu,v # u 3, 1 u 1.5, 0 v. nebst " " xu,v 0 v 0 = u cos 64 X u 1 3 = 64 yu,v 0 = u sin 64 rot # zu,v 0 u 3 # und " xu 0,v X v 1 3 = yu 0,v blau # zu 0,v u 0 =1. = " 1. cosv 1. sinv # 1. 3 " xu,v " u cosv Xu,v = yu,v = u sinv # zu,v # 4 u, 0 u 1, 0 v +. nebst " xu,v 0 v 0 = " 0 X u 1 3 = yu,v 0 = u rot # zu,v 0 # 4 u und " xu 0,v " u X v 1 3 = 0 =1 cosv yu 0,v = sinv gelb # zu 0,v # 3

38 36 Bei den partiellen Funktionen betrachten wir Linien auf der Fläche, die von einem Punkt ausgehend geradlinig parallel zu den Achsen verlaufen. Wir wollen diese Linien nun verallgemeinern auf beliebige Kurven auf der Fläche. Bildlich zeigen wir dies am Fall n=. Wenn wir eine besondere Linie auf einer Fläche erzeugen wollen, so tun wir dies, in dem wir im Urbildbereich eine eindimensionale Linie vorgeben. Beispiel 1 Vorgegeben sei die Fläche z = cos x + y. Wir stellen auf dieser Fläche eine Flächenkurven dar, und zwar die Kurve entlang der Parabel y = x, blau. Weil die Kurve auf einer Fläche immer eine Raumkurve ist, und Raumkurven immer durch eine Parameterform vorgegeben sind, gehen wir so vor. Wir bringen die explizite Form der Fläche in eine Parameterform, hier z.b. die triviale Parameterform: " x Xx,y = y. # cos x + y Zur Konstruktion der Flächenkurvend in die Parameterform ein: " x Xx,yx = x blau # cos x + x 4.. Häufig entstehen Flächenkurven als Schnittlinien von zwei Flächen. Grundsätzlich führt der Schnitt von zwei beliebigen Flächen auf 3 nichtlineare Gleichungen mit 4 Unbekannten, was im Regelfall nur numerisch lösbar ist. In wenigen besonderen Fällen, z.b. Schnitte von Quadriken mit Zylindern und Ebenen, lassen sich die Schnittlinien analytisch berechnen.

39 37 Beispiel Man bestimme die Schnittlinie des Zylinders x + y =1, 0 " z " 3, mit der Ebene z=1-x. Lösung " cosu Der Zylinder heißt in Parameterform: Xu,v = sinu, 0 u, 0 v 3 und die Ebene # v # x heißt in Parameterform: Xx,y = y, " x,- y. 1" x " cosu " x " cosu Im Schnitt beider Flächen gilt: sinu = y Xu = sinu # u # 1 x # 1 cosu Schnittlinie Xu Eine große Zahl weiterer Beispiele sind in den Prüfungsaufgaben dargestellt. Man beachte dabei, dass die meisten Schnittprobleme den Schnitt mit einem Zylinder enthalten. Diese Schnittlinien sind stets so zu berechnen: 1 Der Grundriss der Schnittlinie ist der Grundriss des Zylinders, also ein Kreis. Die Schnittlinie liegt auch auf der zweiten Fläche. Sie stellt dort die Flächenkurve dar, die man erhält, wenn man den Grundrisskreis in die Parameterform der Fläche einsetzt s. Beispiel 1.

40 38 3 Differentiation von Funktionen mit mehreren Veränderlichen 3.1 Einleitung, Überblick und einige Grund legende Definitionen Einleitung und Überblick Die Ableitung in einem Punkt x 0 einer Funktion mit einer Veränderlichen beschreibt, in welchen Maße sich die Funktionswerte an der Stelle x 0 verändern. Das Maß der Veränderung wird bestimmt, indem man die Veränderung der Bildwerte Δy ins Verhältnis setzt zur Veränderung der Urbilder Δx, und dabei letztere gegen Null gehen lässt: #y y" = lim #x0 #x. Auf Funktionen mit mehreren Veränderlichen, etwa z = fx,y, lässt sich dieses Verfahren nicht direkt übertragen. Man stelle sich beispielsweise die von den Punkten x,y,zx,y dargestellte Fläche als einen Berg vor, den man besteigen möchte. Man wird, ausgehend von einem speziellen Bergpunkt P=x 0, y 0,fx 0,y 0, gemäß dem obigen Verfahren unterschiedliche Steigungen überwinden müssen, je nachdem, in welcher Richtung man sich vom Ausgangspunkt P auf dem Berg fortbewegt. Die Frage danach, in welchem Tempo man den Berg z-werte erklimmt, wird man also verknüpfen müssen mit einer Aussage darüber, in welcher Himmelsrichtung x-y - Ebene man sich bewegt. Als "ausgezeichnete Richtung" zur Beschreibung der Bergstruktur bieten sich z.b. die Himmelsrichtungen an: Wie steil ist der Berg, wenn man strikt in nördlicher Richtung y- Richtung marschiert und wie steil ist der Berg, wenn man stets nach Osten x - Richtung wandert. Übertragen wir diese Überlegungen auf das mathematische Beispiel, so stellen sich folgende Fragen: Wie verändert sich z.b. z=fx 0,y, wenn man x=x 0 festhält und die Änderung der Funktionswerte einer Richtung parallel zur x-achse betrachtet. Entsprechend kann man y = y 0 festhalten und danach fragen, wie sich z=fx,y 0 in einer Richtung parallel zur y - Achse verändert. Bei dieser Vorgehensweise spricht man von den partiellen Ableitungen, die man durch "f "f und beschreibt. Die Überlegung, das Differenzieren "x "y einer Funktion mit mehreren Veränderlichen dadurch zu einem eindimensionalen Vorgang zu machen, indem man spezielle Richtungslinien vorgibt, lässt sich von den Achsenrichtungen auf beliebige Richtungen erweitern. Man spricht dann von den so genannten Richtungsableitungen und schreibt dafür "f, wobei a die Richtung angibt, längs der die Veränderung betrachtet wird. "a Neben den Begriffen "Partielle Ableitung" und "Richtungsableitung" haben in der Differentiation von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen noch die Begriffe "Stetige partielle Ableitung" und "Totales Differential" eine besondere Bedeutung. Besitzt eine Funktion z = fx,y in einem Punkt x,y stetig partielle Ableitungen, dann existiert für sie in diesem Punkt das totale Differential, und dies bedeutet, dass man in diesem Flächenpunkt x,y,fx,y die Fläche durch eine Tangentialebene linear approximieren kann. Dies ist z.b. offensichtlich an der Spitze eines Drehkegels nicht möglich. Generell lässt sich die Frage nach der Differenzierbarkeit bei Funktionen mit mehreren Variablen an einer vorgegebenen Stelle so beantworten:

41 39 Eine Funktion fx 1, x,..., x n heißt differenzierbar an einer vorgegebenen Stelle x 0, wenn sie sich dort linear approximieren lässt stetig partiell differenzierbar ist. Im Fall n=1 ist diese lineare Approximation anschaulich durch die Tangente gegeben, im Fall n= durch die Tangentialebene. Der Begriff "Lineare Approximation" ist generell verknüpft mit dem Begriff "Taylorentwicklung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen". Wir werden zuerst die Begriffe "Partielle Ableitung" und "Richtungsableitung" einführen. Anschließend werden die Begriffe "Grenzwert und Stetigkeit für Funktionen mit mehreren Veränderlichen" erklärt. Schließlich lässt sich über den Begriff der stetig partiellen Ableitungen der Begriff des totalen Differentials erklären. Die Stetigkeit der partiellen Ableitungen ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass das totale Differential existiert. Man kann sich jedoch viel Mühe und Aufwand beim Umgang mit dem Differenzieren ersparen, wenn man die Stetigkeit der partiellen Ableitungen voraussetzt, wovon man im Regelfall in der Behandlung technischer Probleme ausgehen kann. In diesem Fall ergibt sich das totale Differential direkt aus der Existenz der partiellen Ableitungen. Es bleibt dem Leser überlassen, die Kapitel über Konvergenz und Stetigkeit bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen zu überschlagen. Zur Beantwortung der Frage, ob eine solche Funktion Extremwerte besitzt, benötigt man die Kenntnis der zweiten partiellen Ableitungen. Die Antwort auf diese Frage wird am Schluss dieses Kapitels gegeben. Einige Grund legende Definitionen In der Literatur werden zum Thema Differentiation im Regelfall die Kenntnisse folgender Grund legender Eigenschaften von Punktmengen im R bzw. im R 3 vorausgesetzt. Für das praktische Berechnen von Übungs- und Prüfungsaufgaben oder zur Lösung technischer Probleme sind diese Kenntnisse im Regelfall nicht erforderlich. Wir fassen diese Eigenschaften der Vollständigkeit halber dennoch an dieser Stelle zusammen. Definitionen von innerer Punkt und offener Menge Eine Menge D heißt offen, wenn jeder Punkt x 0 D ein innerer Punkt ist. Der Punkt x 0 heißt innerer Punkt von D, wenn zu x 0 eine Umgebung Ux 0 existiert, die ganz in D liegt: U x 0 " D. Beispiele für offene Mengen n=1 : D: Alle Punkte im Inneren eines Intervalls ohne Randpunkte n= : D: Alle Punkte im Inneren eines Kreises oder Rechteckes ohne Randlinien. n=3 : D: Alle Punkte im Inneren einer Kugel oder eines Spates ohne Randflächen. Definitionen von Häufungspunkt und abgeschlossener Menge Eine Menge D heißt abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge {x k } mit x k D der Grenzwert x auch in D liegt: lim x k = x D k"# oder eine Menge D heißt abgeschlossen, wenn sie die Menge aller ihrer Häufungspunkte enthält. Ein Punkt x H heißt Häufungspunkt der Menge D, wenn jede Umgebung Ux H mindestens ein Element x von D enthält. Beispiele für abgeschlossene Mengen

42 40 n=1 : D: Alle Punkte eines Intervalls mit Randpunkt. n= : D: Alle Punkte eines Kreises oder Rechteckes mit Randlinien. n=3 : D: Alle Punkte einer Kugel oder eines Spates mit Randflächen. Definitionen der beschränkten Menge Eine Menge D heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl T gibt mit: x = x = x 1 + x x n " T für alle x D. x 1 + x x n bedeutet den Abstand des Punktes x zum Nullpunkt. Beispiele für beschränkte Mengen n=1 : D: Alle Punkte eines Intervalls. n= : D: Alle Punkte eines Kreises oder eines Rechteckes. n=3 : D: Alle Punkte einer Kugel oder eines Spates. Definition der kompakten Menge Eine Menge D heißt kompakt, wenn D sowohl abgeschlossen als auch beschränkt ist. Beispiele für kompakte Mengen n=1 : D: Alle Punkte eines Intervalls mit Randpunkt. n= : D: Alle Punkte eines Kreises oder Rechteckes mit Randlinien. n=3 : D: Alle Punkte einer Kugel oder eines Spates mit Randflächen. Definition der Randpunkte Ein Punkt x R heißt Randpunkt einer Menge D, wenn in jeder Umgebung Ux 0 mindestens ein Punkt liegt, der zu D gehört und mindestens ein Punkt liegt, der nicht zu D gehört. Die Menge aller Randpunkte von D heißt Rand von D und wird häufig mit D bezeichnet. Beispiele für Randpunkte n=1: D: {x "/ - 1 < x < 0 < x 1} Randpunkte x R = -1, 0, 1 n=: D: x <1 Randpunkte x R = x + y =1 n=3: D: 0 < x < Randpunkte x R = 0 und x R = x + y + z =

43 41 3. Partielle Ableitungen Gradient - Richtungsableitung Wir betrachten die explizite Form einer Funktion, die von n Variablen abhängt, und wählen stellvertretend für n den Fall n =. Mit dieser Wahl können wir uns mit z = fx,y ein Bild zu den weiteren Überlegungen machen, ohne aber dadurch die allgemeine Gültigkeit für n > zu beeinträchtigen. Sei nun x 0,y 0 ein beliebiger Punkt im Definitionsbereich von f und x 0,y 0,f x 0,y 0 ein beliebiger Flächenpunkt. Wenn wir von x 0,y 0 ausgehend nur in der x-richtung variieren, also y = y 0 festlassen, so entsteht eine Kurve auf der Fläche, die parallel zur x Achse verläuft. Wir nennen diese Funktion f 1 x = f x,y 0, die nur von einer Variablen x abhängt, eine partielle Funktion zu fx,y. Analog ist f y = f x 0,y eine zweite partielle Funktion, die parallel zur y Achse verläuft. Wir können diese Überlegungen ohne Einschränkungen auch auf Funktionen fx,y,z oder f x 1,x,...,x n fortsetzen. Allerdings gibt es für n> keine grafische Veranschaulichung. Für n = 3 erhalten wir analog folgende partielle Funktionen: f 1 x = f x,y 0,z 0, f x = f x 0,y,z 0 und f 3 x = f x 0,y 0,z und für n > 3: f 1 x 1 = f x 1,x 0,...,x n0, f x = x 10,x,x 30...,x n0,..., und f n x n = x 10,x 0,...,x n. Differenzieren wir die partiellen Funktionen nach ihrer Variablen, so erhalten wir jeweils eine eindimensionale Ableitung, im Fall n = z.b. df 1 x df oder y dx dy. Diese Ableitungen definieren wir als partielle Ableitungen der Funktion fx,y und schreiben dafür so: "fx,y "x = df 1 dx und "fx,y "y = df dy. Die partiellen Ableitungen von fx,y sind also die speziellen Ableitungen in den Richtungen der Achsen. Ohne den Bezug auf die partiellen Funktionen können wir diesen Tatbestand allein mit fx,y auch so erklären: Definitionen partielle Ableitung für n=,3,...n "fx,y "x fx = lim 0 + t,y 0 t#0 t und "fx,y "y fx = lim 0,y 0 + t t#0 t. Diese Definitionen der partiellen Ableitungen übernehmen wir problemlos für Funktionen fx,y,z mit 3- und f x 1,x,...,x n mit n Variablen: "fx,y,z "x und "f x 1,x 0,...,x n0 fx = lim 0 + t,y 0,z 0 t#0 t, "fx,y,z fx = lim 0,y 0 + t,z 0 "y t#0 t,"fx,y,z fx = lim 0,y 0,z 0 + t "z t#0 t f x = lim 1 + t,x 0,...,x n0, "f x 10,x,...,x n0 f x = lim 10,x + t,...,x n0,..., "x 1 t#0 t "x t#0 t "f x 10,x 0,...,x n + t f x = lim 10,x 0,...,x n + t "x n t#0 t

44 4 Etwas strenger mathematisch ausgedrückt, definieren wir die partielle Ableitung einer Funktion aus " n # " 1 schließlich auch so: Sei D " # n eine offene Menge und x 0 = x 10,x 0,...,x n0 " D. Eine Funktion heißt in x 0 partiell differenzierbar nach x i, wenn der Grenzwert # f x 0 f x lim 0 + te i t"0 t = f existiert. Darin ist e i der i-te Basisvektor im " n. x i f x 1,x,...,x n Die partielle Ableitung beschreibt die eindimensionale Ableitung einer Funktion in positiver Achsenrichtung. In den Bildern sind die Funktion z = fx,y = x " y, blaue Fläche, und ihre partiellen Funktionen f x = x "y 43 0 und f 1y 4 = x 4 0 "y 43 gelbe Kurve "fx,y 1 "x "fx, y "y grüne Kurve zum Punkt x 0,y = 1,"1 rot dargestellt. Die partiellen Ableitungen sind die eindimensionalen Steigungen zu den ebenen Kurven gelb und grün im Punkt x 0,y = 1,"1. Sie lauten: rot df 1 x d x #1 dx = =x dx df y dy = d 1#y =#y dy x 0 =1,y 0 =#1 = x = und x 0 =1,y 0 =#1 = #y =. Eine besondere Bedeutung bekommen die partiellen Ableitungen, wenn wir sie zu einem Vektor zusammenpacken. Diesen Vektor nennen wir dann einen Gradienten.