Tragwerkslehre 2. Druckstäbe, Knickbemessung und Aussteifung Univ.-Prof. Dr.-Ing. Stefan Peters

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1 Tragwerkslehre 2 Univ.-Prof. Dr.-Ing. Stefan Peters

2 Kontakt: Institutsleiter: stellvertr. Institutsleiter: UniversitätsassistentInnen: LektorInnen: Projektmitarbeiter: StudienassistentInnen: Technik/Roboterlabor: Sekretariat: Institut für Tragwerksentwurf Technikerstraße 4 / 4.Stock Univ.-Prof. Dr.-Ing. Stefan Peters Ass.-Prof. Dr. nat.techn. Andreas Trummer Dipl.-Ing. Felix Amtsberg M.Sc. Dipl.-Ing. Eva Pirker Dipl.-Ing. Joshua Tapley Dipl.-Ing. Markus Junghans Dipl.-Ing. Helmut Schober Dipl.-Ing. Gernot Parmann M.Ing. Melanie Groß Dipl.-Ing. Franz Forstlechner Georg Hansemann Jürgen Holl Robert Schmid Azra Gradincic Stefan Leitner Wolfgang Windisch Fachoberinspektor Robert Schrempf Sonja Senekowitsch Sandra Lüking 2

3 Vorlesungen Übungen Lehrinhalte Unterlagen Prüfungsleistungen Dienstags 11:15 12:45 Hörsaal I Dienstags 11:15 13:45 Uhr Übungsräume Druckstäbe und Knicken Durchlaufsysteme Fachwerke Seiltragwerke Bogentragwerke Rahmentragwerke Faustformel Tragwerksentwurf Übungsbeispiele auf der Institutshomepage - Lehre TWL 2VU Lehrveranstaltungsunterlagen Kennwort: Twluser Anwesenheit bei den Übungen Praktische Übung Modellübung Abgabe Schriftliche Klausur (Wiederholung ) 3

4 1.Semester 2.Semester 3.Semester 4.Semester 5.Semester 6.Semester Entwurf Workshop 2 Entw. Spezial TWE VO TWL 1 VU TWL 2 VU TWE VO TWE UE Exkursionen freie Wahlf. 4

5 VO Einleitung Druckstäbe, Knickbemessung Peters, S. VO Durchlaufsysteme Peters, S. UE Übung Knickstäbe Dimensionierung von Knickstäben Junghans, M. / Peters, S./ Schober, H./ Tapley, J./ Groß, M. VO Fachwerke Ausgabe Modellübung UE Übung Ermittlung der Stabkräfte für Fachwerkstäbe zeichnerisch und rechnerisch Peters, S. Junghans, M. / Peters, S./ Schober, H./ Tapley, J./ Groß, M. VO Seiltragwerke Peters, S. UE Übung Seiltragwerke Junghans, M. / Peters, S./ Schober, H./ Tapley, J./ Groß, M Präsentation der Modellübung im HSI Junghans, M. / Peters, S./ Schober, H./ Tapley, J./ Groß, M. VO Bogentragwerke Peters, S. UE Übung Bogentragwerke Junghans, M. / Peters, S./ Schober, H./ Tapley, J./ Groß, M. VO Rahmentragwerke Peters, S. UE Übung Rahmentragwerke Junghans, M. / Peters, S./ Schober, H./ Tapley, J./ Groß, M XX Klausur Wiederholungsklausur In den einzelnen Übungsgruppen Alle Teilnehmer in einem Hörsaal 5

6 Übersicht Tragwerkselemente linear flächig Zugstab Druckstab Platte Trägerrost Seil Scheibe Bogen Gewölbe Biegeträger Schale kombiniert-linear Fachwerk Membran Seilnetz Rahmen Rahmenträger 6

7 Übersicht Tragwerkselemente linear flächig Zugstab Druckstab Platte Trägerrost Seil Scheibe Bogen Gewölbe Biegeträger Schale kombiniert-linear Fachwerk Membran Seilnetz Rahmen Rahmenträger 7

8 Die 4 Grundaufgaben eines Tragwerks 1 ÜBERSPANNEN Träger, Platte, STÜTZEN Stütze, Scheibe, AUSSTEIFEN 1 4 Scheibe, Verband,... 4 GRÜNDEN 2 Flachgründung, Tiefgründung, Abtrag vertikaler Lasten 4 Abtrag horizontaler Lasten 8

9 Zugstab - Druckstab Zugstab nicht stabilitätsgefährdet Druckstab stabilitätsgefährdet 9

10 Zugstab A Vorbemessung Querschnittsfläche: Stahl S 235 A Querschnittsfläche N Normalkraft (charakteristisch, ohne Sicherheitsfaktor) A = N 1,4 218 [N] [ ] N mm 2 = [mm 2 ] N Stahl Vollquerschnitte Hohlprofile offene Querschnitte Zugstäbe: übliche Querschnitte 10

11 Druckstab A N Vordimensionierung Stützendurchmesser Holz, Stützenraster 5 m Decken über Stütze Stützenabmessung [mm] Stahl, Stützenraster 7 m Decken über Stütze RND HEB Stützenabmessung [mm] Stahl Hohlprofile offene Querschnitte Stahlbeton, Holz voll Querschnitte Druckstäbe: übliche Querschnitte 11

12 Zugstab l 1 l 1 A 1 = A 2 I 1 = I 2 σ 1 = N A 1 = σ 2 = N A 2 aufnehmbare Kraft = N R,d1 = N R,d2 = A σ R,d Tragfähigkeit unabhängig von Stablänge und Querschnittsform 12

13 Druckstab l 2 l 1 A 1 = A 2 I 1 = I 2 σ 1 = N A 1 = σ 2 = N A 2 aufnehmbare Kraft = N R,d1 > N R,d2 Tragfähigkeit abhängig von Stablänge 13

14 Druckstab N 1 N 2 l A 1 = A 2 I 1 I 2 aufnehmbare Kraft = N R,d1 > N R,d2 Tragfähigkeit abhängig von Querschnittsform 14

15 Druckstab N 1 N 2 l aufnehmbare Kraft = N R,d1 < N R,d2 Tragfähigkeit abhängig von Lagerung 15

16 Grundlagen stabil indifferent instabil (labil) N < N ki N = N ki N > N ki instabil N = N ki Ssabiles Gleichgewicht Verzweigungspunkt Verformung f + Verformung f 16

17 Biegeknicken Eulerfälle und ideale Knicklast Leonhard Euler ( ) N ki s k β i E I ideale Knicklast Knicklänge Knicklängenbeiwert Trägheitsradius Elastizitätsmodul Flächenträgheitsmoment 17

18 Biegeknicken Eulerfälle und ideale Knicklast Leonhard Euler ( ) N ki s k β i E I ideale Knicklast Knicklänge Knicklängenbeiwert Trägheitsradius Elastizitätsmodul Flächenträgheitsmoment Abhängigkeit der Knicklast von der Stützenhöhe: N ~ 1 ki h 2 18

19 Biegeknicken Eulerfälle und ideale Knicklast Leonhard Euler ( ) N ki s k β i E I ideale Knicklast Knicklänge Knicklängenbeiwert Trägheitsradius Elastizitätsmodul Flächenträgheitsmoment Abhängigkeit der Knicklast von der Stützenhöhe: N ~ 1 ki h 2 Ideale Tragfähigkeit (ideale Knicklast) einer Stütze nach Euler: N = π 2 E I 2 ki 2 s k [-] [N/mm 2 ] [mm 4 ] [mm] 2 = [N] 19

20 Biegeknicken Eulerfälle und ideale Knicklast Eulerfall N = N ki Leonhard Euler ( ) N ki s k β i E I ideale Knicklast Knicklänge Knicklängenbeiwert Trägheitsradius Elastizitätsmodul Flächenträgheitsmoment Abhängigkeit der Knicklast von der Stützenhöhe: N ~ 1 ki h 2 Ideale Tragfähigkeit (ideale Knicklast) einer Stütze nach Euler: β = 2,0 N = π 2 E I 2 ki 2 s k [-] [N/mm 2 ] [mm 4 ] [mm] 2 = [N] s k = 2,0 h 20

21 Biegeknicken Eulerfälle und ideale Knicklast Eulerfall N = N ki Eulerfall 2 1 N = N ki Leonhard Euler ( ) N ki s k β i E I ideale Knicklast Knicklänge Knicklängenbeiwert Trägheitsradius Elastizitätsmodul Flächenträgheitsmoment s k = 1,0 h Abhängigkeit der Knicklast von der Stützenhöhe: N ~ 1 ki h 2 Ideale Tragfähigkeit (ideale Knicklast) einer Stütze nach Euler: β = 2,0 β = 1,0 N = π 2 E I 2 ki 2 s k [-] [N/mm 2 ] [mm 4 ] [mm] 2 = [N] s k = 2,0 h s k = 1,0 h 21

22 Biegeknicken Eulerfälle und ideale Knicklast Eulerfall N = N ki Eulerfall 2 Eulerfall 3 1 N = N ki 2 N = N ki Leonhard Euler ( ) N ki s k β i E I ideale Knicklast Knicklänge Knicklängenbeiwert Trägheitsradius Elastizitätsmodul Flächenträgheitsmoment s k = 1,0 h s k = 0,7 h Abhängigkeit der Knicklast von der Stützenhöhe: N ~ 1 ki h 2 Ideale Tragfähigkeit (ideale Knicklast) einer Stütze nach Euler: β = 2,0 β = 1,0 β = 0,7 N = π 2 E I 2 ki 2 s k [-] [N/mm 2 ] [mm 4 ] [mm] 2 = [N] s k = 2,0 h s k = 1,0 h s k = 0,7 h 22

23 Biegeknicken Eulerfälle und ideale Knicklast Eulerfall 1 Eulerfall 2 Eulerfall 3 Eulerfall N = N ki 1 N = N ki 2 N = N ki 4 N = N ki Leonhard Euler ( ) N ki s k β i E I ideale Knicklast Knicklänge Knicklängenbeiwert Trägheitsradius Elastizitätsmodul Flächenträgheitsmoment s k = 1,0 h s k = 0,7 h WP s k = 0,5 h Abhängigkeit der Knicklast von der Stützenhöhe: N ~ 1 ki h 2 WP Ideale Tragfähigkeit (ideale Knicklast) einer Stütze nach Euler: β = 2,0 β = 1,0 β = 0,7 β = 0,5 N = π 2 E I 2 ki 2 s k [-] [N/mm 2 ] [mm 4 ] [mm] 2 = [N] s k = 2,0 h s k = 1,0 h s k = 0,7 h s k = 0,5 h 23

24 Biegeknicken Knicklängen h o Stützen 1, 2, 3 S Ky = h h S Kz = h u h u 0,5 h 0,5 h Stützen 1 S Ky = 0,5 h S Kz = 0,5 h z y 1 y z 2 3 z y 1 y z 2 3 Stützen 2, 3 S Ky = h S Kz = 0,5 h 0,5 h 0,5 h Stützen 1, 2, 3 S Ky = h S Kz = 0,5 h h u > h o 0,7 h u Stützen 1, 2, 3 S Ky = 2h Stützen 1, 2 S Kz = h u > h o z y 1 y z 2 3 2h 1 z y 2 y z 3 Stütze 3 S Kz = 0,7 h u oder h o 24

25 Gemeindezentrum Aachen 25

26 Villa Savoye in Poissy Architekt Le Corbusier 26

27 Bibliothek in Eichstätt Architekten: Behnisch & Partner 27

28 Biegeknicken Knicklänge Lagerungsart Material (E-Modul) Querschnittsform Einflussfaktoren für die Knicklast 28

29 Biegeknicken Schlankheit s k i λ Knicklänge Trägheitsradius Schlankheit λ = s K i = Schlankheit [cm] = [-] [cm] 29

30 Biegeknicken Schlankheit s k i λ Knicklänge Trägheitsradius Schlankheit λ = s K i = Schlankheit [cm] = [-] [cm] s K = Knicklänge [m] 30

31 Biegeknicken Schlankheit s k i λ Knicklänge Trägheitsradius Schlankheit λ = s K i = Schlankheit [cm] = [-] [cm] s K = Knicklänge [m] Eulerfall 1 Eulerfall 2 Eulerfall 3 Eulerfall 4 s k = 1,0 h s k = 0,7 h WP s k = 0,5 h WP s k = 2,0 h s k = 1,0 h s k = 0,7 h s k = 0,5 h 31

32 Biegeknicken Schlankheit s k i λ Knicklänge Trägheitsradius Schlankheit λ = s K i = Schlankheit [cm] = [-] [cm] s K = Knicklänge [m] I i = = Trägheitsradius [m] A 32

33 Biegeknicken Schlankheit s k i λ Knicklänge Trägheitsradius Schlankheit λ = s K i = Schlankheit [cm] = [-] [cm] s K = Knicklänge [m] z I i = = Trägheitsradius [m] A Trägheitsradien für Rechteckquerschnitte: I Flächenträgheitsmoment i Trägheitsradius A Querschnittsfläche y z b y d I y b d i y = = 3 d b [cm] i z = = 3 A 12 b d A 12 b d i y = d 1 [cm] i z = b i y = d 0,289 [cm] i z = b 0,289 I z [cm] [cm] [cm] 33

34 Biegeknicken Schlankheit s k i λ Knicklänge Trägheitsradius Schlankheit λ = s K i = Schlankheit [cm] = [-] [cm] s K = Knicklänge [m] I i = = Trägheitsradius [m] A Rechteckquerschnitt i = 0,289 min d Rundquerschnitt i = 0,25 d Stahlprofil i = tabelliert 34

35 Biegeknicken Schlankheit s k i λ Knicklänge Trägheitsradius Schlankheit λ = s K i = Schlankheit [cm] = [-] [cm] Stahlbau Hochbau und Kranbau λ 250 Brückenbau λ 150 Ausnahmefälle im Brückenbau λ 200 Stahlbeton λ 200 Beton (unbewehrt) Druckstäbe λ 40 Wände λ 70 Holzbau Einteilige Druckstäbe λ 150 zusammengesetzte Druckstäbe nicht verleimt λ 175 Fliegende Bauten Druckstäbe mit vorwiegend ruhender Beanspruchung λ 200 Zulässige Schlankheiten max λ zul. 35

36 Beispiel Schlankheit

37 Beispiel Schlankheit I = b h³ = 2 2³ = 1,333 [cm 4 ] I = b h³ = 1 1³ = 0,083 [cm 4 ]

38 Beispiel Schlankheit I = b h³ 2 2³ = = 1,333 [cm 4 ] I = b h³ 1 1³ = = 0,083 [cm 4 ] A = a b = 2 2 = 4 [cm 2 ] A = a b = 1 1 = 1 [cm 2 ] 38

39 Beispiel Schlankheit I = b h³ 2 2³ = = 1,333 [cm 4 ] I = b h³ 1 1³ = = 0,083 [cm 4 ] A = a b = 2 2 = 4 [cm 2 ] A = a b = 1 1 = 1 [cm 2 ] I = = 0,577 [cm] I i = 1,333 i = 0,083 = = 0,289 A 4 A 1 [cm] 39

40 Beispiel Schlankheit I = b h³ 2 2³ = = 1,333 [cm 4 ] I = b h³ 1 1³ = = 0,083 [cm 4 ] A = a b = 2 2 = 4 [cm 2 ] A = a b = 1 1 = 1 [cm 2 ] I = = 0,577 [cm] I i = 1,333 i = 0,083 = = 0,289 A 4 A 1 s K = 2 l = 2 20 = 40 [cm] s K = 2 l = 2 10 = 20 [cm] [cm] 40

41 Beispiel Schlankheit I = b h³ 2 2³ = = 1,333 [cm 4 ] I = b h³ 1 1³ = = 0,083 [cm 4 ] A = a b = 2 2 = 4 [cm 2 ] A = a b = 1 1 = 1 [cm 2 ] I = = 0,577 [cm] I i = 1,333 i = 0,083 = = 0,289 A 4 A 1 s K = 2 l = 2 20 = 40 [cm] s K = 2 l = 2 10 = 20 [cm] [cm] s K λ = 40 = = 69 [-] 20 = = 69 [-] i 0,577 λ = i 0,289 s K 41

42 Biegeknicken Eulerhyperbel σ ki σ Rd f 0,01 f u,k f y,k λ λ P Knickspannung Grenzspannung (resistance, design) Proportionalitätsgrenze (Elastizitätsgrenze) charakteristische Bruchspannung (ultimate) charakteristische Fließspannung (yield) Schlankheit Grenzschlankheit der Gültigkeit der Eulertheorie max. λ zul = baustoffabhängig! 42

43 Biegeknicken Eulerhyperbel Knickspannung σ ki [N/mm 2 ] σ ki σ Rd f 0,01 f u,k f y,k λ λ P Knickspannung Grenzspannung (resistance, design) Proportionalitätsgrenze (Elastizitätsgrenze) charakteristische Bruchspannung (ultimate) charakteristische Fließspannung (yield) Schlankheit Grenzschlankheit der Gültigkeit der Eulertheorie 400 f u,k = 360 Bruchfestigkeit max. λ zul = baustoffabhängig! 300 f y,k = 240 σ Rd = f yd = f = σ = 192 0,01 P Streckgrenze Grenzspannung Elastizitätsgrenze λ P 200 < max. λ zul Schlankheit λ plastischer elastischer Bereich Bereich Zusammenhang zwischen Spannung und Schlankheit, Euler-Hyperbel für Baustahl S235 43

44 Biegeknicken Eulerhyperbel Knickspannung σ ki [N/mm 2 ] σ ki σ Rd f 0,01 f u,k f y,k λ λ P Knickspannung Grenzspannung (resistance, design) Proportionalitätsgrenze (Elastizitätsgrenze) charakteristische Bruchspannung (ultimate) charakteristische Fließspannung (yield) Schlankheit Grenzschlankheit der Gültigkeit der Eulertheorie 400 f u,k = 360 Bruchfestigkeit max. λ zul = baustoffabhängig! 300 N cr σ = ki = A π 2 E I s k2 A N mm 2 f y,k = 240 σ Rd = f = σ = 192 0,01 P Streckgrenze Grenzspannung Elastizitätsgrenze λ P 200 < max. λ zul Schlankheit λ plastischer elastischer Bereich Bereich Zusammenhang zwischen Spannung und Schlankheit, Euler-Hyperbel für Baustahl S235 44

45 Biegeknicken Eulerhyperbel Knickspannung σ ki [N/mm 2 ] σ ki σ Rd f 0,01 f u,k f y,k λ λ P Knickspannung Grenzspannung (resistance, design) Proportionalitätsgrenze (Elastizitätsgrenze) charakteristische Bruchspannung (ultimate) charakteristische Fließspannung (yield) Schlankheit Grenzschlankheit der Gültigkeit der Eulertheorie 400 f u,k = 360 Bruchfestigkeit max. λ zul = baustoffabhängig! 300 σ = ki = A σ ki = N cr π 2 E i 2 s k 2 π 2 E I s k2 A N mm 2 N mm 2 f y,k = 240 σ Rd = f = σ = 192 0,01 P Streckgrenze Grenzspannung Elastizitätsgrenze λ P 200 < max. λ zul Schlankheit λ plastischer elastischer Bereich Bereich Zusammenhang zwischen Spannung und Schlankheit, Euler-Hyperbel für Baustahl S235 45

46 Biegeknicken Eulerhyperbel Knickspannung σ ki [N/mm 2 ] σ ki σ Rd f 0,01 f u,k f y,k λ λ P Knickspannung Grenzspannung (resistance, design) Proportionalitätsgrenze (Elastizitätsgrenze) charakteristische Bruchspannung (ultimate) charakteristische Fließspannung (yield) Schlankheit Grenzschlankheit der Gültigkeit der Eulertheorie 400 f u,k = 360 Bruchfestigkeit max. λ zul = baustoffabhängig! 300 σ = ki = A σ ki = N cr π 2 E i 2 s k 2 π 2 E I s k2 A N mm 2 N mm 2 f y,k = 240 σ Rd = f = σ = 192 0,01 P Streckgrenze Grenzspannung Elastizitätsgrenze Knickspannung: 100 σ = π 2 E ki 2 λ k [-] [N/mm 2 ] N = [-] mm λ P 200 < max. λ zul Schlankheit λ plastischer elastischer Bereich Bereich Zusammenhang zwischen Spannung und Schlankheit, Euler-Hyperbel für Baustahl S235 46

47 VW Kundencenter in Wolfsburg Architekt: Henn Ingenieur: Schlaich, Bergermann und Partner 48

48 VW Kundencenter in Wolfsburg Architekt: Henn Ingenieur: Schlaich, Bergermann und Partner 49

49 Eingangshalle Bahnstation Luzern Architekt: Santiago Calatrava

50 Eingangshalle Bahnstation Luzern Architekt: Santiago Calatrava

51 Eingangshalle Bahnstation Luzern Architekt: Santiago Calatrava

52 HALO Flugzeughangar, Oberpfaffenhofen 2008 A: Kersten + Kopp Architekten; I: a.k.a. ingenieure, Engelsmann Peters Beratende Ingenieure 53

53 Flughafen Stansted Architekt: Norman Foster Ingenieur Ove Arup London

54 Flughafen Stansted Architekt: Norman Foster Ingenieur Ove Arup London

55 Il Bigo Pavillon zur Kolumbusausstellung 1992 Architekt: Renzo Piano 56

56 Il Bigo Pavillon zur Kolumbusausstellung 1992 Architekt: Renzo Piano 57

57 Galerie der Stadt Stuttgart A: Hascher Jehle Architekten; I: Werner Sobek Ingenieure 58

58 Kantonschule Wohlen, Bibliothek Architekt: Santiago Calatrava

59 Haus Tugendhat Architekt Mies van der Rohe - Brünn

60 ZOB Schwäbisch Hall A: Marquardt Architekten; I: Engelsmann Peters Ingenieure 61

61 ZOB Schwäbisch Hall A: Marquardt Architekten; I: Engelsmann Peters Ingenieure 62

62 Zentrale Inszenierung SCHÜCO Bau 2011 A: FAT LAB Architekten; I: Engelsmann Peters Ingenieure 63

63 Liederhalle Stuttgart Architekt Rolf Gutbrod

64 Rhön Klinik Architekten:Lamm, Weber, Donath & Partner, Stuttgart

65 Neckarbrücke bei Wernau 66

66 Neckarbrücke bei Wernau 67

67 Stahlhalle 68

68 Stahlhalle 69

69 Stahlskelett Stützen aus Vierkantrohren 70

70 Pendelstütze bei einer Eisenbahnbrücke 71

71 Hängebrücke bei Rondenkirchen 72

72 Knicknachweis gegeben ist die Beanspruchung,gesucht ist der Stützenquerschnitt 1. Normalkraft bestimmen: N [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: s k [cm] 3. Profil schätzen Querschnittsfläche bestimmen: A [cm²] Trägheitsradien bestimmen: i y, i z [cm] Stahlstütze: Knickspannungslinie festlegen 4. Schlankheit berechnen: Material berücksichtigen - λ (S235: λ a =93,10 S355: λ a =76,41) λ= λ= s k i λ λ a 5. Abminderungsfaktor k in Abhängigkeit von λ und dem Profil aus Tabellen ablesen N 6. Spannung berechnen: σ [kn/cm²] = + A k M W [kn/cm 2 ] 7. Nachweis führen: σ [kn/cm²] < f d bzw. σ Rd [kn/cm²] 73

73 zu 5. Abminderungsfaktor k Tabellen nach EC 74

74 zu 5. Abminderungsfaktor k Abminderungsfaktor κ Knickspannungslinien 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 a b c d 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 Schlankheitsgrad λ l a b c d l a b c d 0,2 1,000 1,000 1,000 1,000 1,9 0,245 0,229 0,214 0,192 0,3 0,977 0,964 0,949 0,923 2,0 0,223 0,209 0,196 0,177 0,4 0,953 0,926 0,897 0,850 2,1 0,204 0,192 0,180 0,163 0,5 0,924 0,884 0,843 0,779 2,2 0,187 0,176 0,166 0,151 0,6 0,890 0,837 0,785 0,710 2,3 0,172 0,163 0,154 0,140 0,7 0,848 0,784 0,725 0,643 2,4 0,159 0,151 0,143 0,130 0,8 0,796 0,724 0,662 0,580 2,5 0,147 0,140 0,132 0,121 0,9 0,734 0,661 0,600 0,521 2,6 0,136 0,130 0,123 0,113 1,0 0,666 0,597 0,540 0,467 2,7 0,127 0,121 0,115 0,106 1,1 0,596 0,535 0,484 0,419 2,8 0,118 0,113 0,108 0,100 1,2 0,530 0,478 0,434 0,376 2,9 0,111 0,106 0,101 0,094 1,3 0,470 0,427 0,389 0,339 3,0 0,104 0,099 0,095 0,088 1,4 0,418 0,382 0,349 0,306 3,1 0,097 0,093 0,090 0,083 1,5 0,372 0,342 0,315 0,277 3,2 0,091 0,088 0,084 0,079 1,6 0,333 0,308 0,284 0,251 3,3 0,086 0,083 0,080 0,074 1,7 0,299 0,278 0,258 0,229 3,4 0,081 0,078 0,075 0,071 1,8 0,270 0,252 0,235 0,209 3,5 0,077 0,074 0,071 0,067 Tabellen k Wert Tabellen nach EC 75

75 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: 4 m 1000 kn S355: f d =32,27 kn/cm 2 76

76 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = N γ s = ,4 = 1400 [kn] 4 m 1000 kn 77

77 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = 1400 [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: Eulerfall 1 Eulerfall 2 Eulerfall 3 Eulerfall kn s k = 1,0 h s k = 0,7 h WP s k = 0,5 h 4 m WP s k = 2,0 h s k = 1,0 h s k = 0,7 h s k = 0,5 h 78

78 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = 1400 [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: Eulerfall 2: s k = 1,0 400 [cm] = 400 [cm] Eulerfall 1 Eulerfall 2 Eulerfall 3 Eulerfall kn s k = 1,0 h s k = 0,7 h WP s k = 0,5 h 4 m WP s k = 2,0 h s k = 1,0 h s k = 0,7 h s k = 0,5 h 79

79 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = 1400 [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: s k = 400 [cm] 3. Profil schätzen: 4 m 1000 kn 80

80 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = 1400 [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: s k = 400 [cm] 3. Profil schätzen: HEB 200 Querschnittsfläche: A = Trägheitsradien: i y = i z = 4 m 1000 kn 81

81 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = 1400 [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: s k = 400 [cm] 3. Profil schätzen: HEB 200 Querschnittsfläche: A = 78,1 [cm²] Trägheitsradien: i y = 8,54 [cm] i z = 5,07 [cm] Knickspannungslinie: 4 m 1000 kn 82

82 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = 1400 [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: s k = 400 [cm] 3. Profil schätzen: HEB 200 Querschnittsfläche: A = 78,1 [cm²] Trägheitsradien: i y = 8,54 [cm] i z = 5,07 [cm] Knickspannungslinie: c 4. Schlankheit berechnen: 4 m 1000 kn 83

83 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = 1400 [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: s k = 400 [cm] 3. Profil schätzen: HEB 200 Querschnittsfläche: A = 78,1 [cm²] Trägheitsradien: i y = 8,54 [cm] i z = 5,07 [cm] Knickspannungslinie: c 4. Schlankheit berechnen: s k λ= = 400 = 79 i 5,07 λ= λ λ = 79 = 1,03 a 76,41 4 m 1000 kn 84

84 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = 1400 [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: s k = 400 [cm] 3. Profil schätzen: HEB 200 Querschnittsfläche: A = 78,1 [cm²] Trägheitsradien: i y = 8,54 [cm] i z = 5,07 [cm] Knickspannungslinie: c 4. Schlankheit berechnen: λ= 1,03 5. Abminderungsfaktor k ablesen: k= 0,53 1 0,9 a 0,8 b 0,7 c d 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Abminderungsfaktor κ 4 m 1000 kn 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 Schlankheitsgrad λ 85

85 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = 1400 [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: s k = 400 [cm] 3. Profil schätzen: HEB 200 Querschnittsfläche: A = 78,1 [cm²] Trägheitsradien: i y = 8,54 [cm] i z = 5,07 [cm] Knickspannungslinie: c 4. Schlankheit berechnen: λ= 1,03 5. Abminderungsfaktor k ablesen: k= 0, kn 6. Spannung berechnen: 4 m 86

86 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = 1400 [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: s k = 400 [cm] 3. Profil schätzen: HEB 200 Querschnittsfläche: A = 78,1 [cm²] Trägheitsradien: i y = 8,54 [cm] i z = 5,07 [cm] Knickspannungslinie: c 4. Schlankheit berechnen: λ= 1,03 5. Abminderungsfaktor k aus Tab. ablesen: k= 0, kn 6. Spannung berechnen: σ = N = 1400 = 33,8 [kn/cm²] A.k 78,1.0,53 4 m 87

87 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = 1400 [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: s k = 400 [cm] 3. Profil schätzen: HEB 200 Querschnittsfläche: A = 78,1 [cm²] Trägheitsradien: i y = 8,54 [cm] i z = 5,07 [cm] Knickspannungslinie: c 4. Schlankheit berechnen: λ= 1,03 5. Abminderungsfaktor k aus Tab. ablesen: k= 0, kn 6. Spannung berechnen: σ = 33,8 [kn/cm²] 7. Nachweis führen: 4 m 88

88 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = 1400 [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: s k = 400 [cm] 3. Profil schätzen: HEB 200 Querschnittsfläche: A = 78,1 [cm²] Trägheitsradien: i y = 8,54 [cm] i z = 5,07 [cm] Knickspannungslinie: c 4. Schlankheit berechnen: λ= 1,03 5. Abminderungsfaktor k aus Tab. ablesen: k= 0, kn 6. Spannung berechnen: σ = 33,8 [kn/cm²] 7. Nachweis führen: σ [kn/cm²] < f d [kn/cm²] 4 m 89

89 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = 1400 [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: s k = 400 [cm] 3. Profil schätzen: HEB 200 Querschnittsfläche: A = 78,1 [cm²] Trägheitsradien: i y = 8,54 [cm] i z = 5,07 [cm] Knickspannungslinie: c 4. Schlankheit berechnen: λ= 1,03 5. Abminderungsfaktor k aus Tab. ablesen: k= 0, kn 6. Spannung berechnen: σ = 33,8 [kn/cm²] 7. Nachweis führen: σ [kn/cm²] < f d [kn/cm²] 4 m σ = 33,8 [kn/cm²] < 32,27 [kn/cm²] nicht erfüllt 90

90 Bemessung einer Stahlstütze 1. Normalkraft bestimmen: N d = 1400 [kn] 2. Eulerfall klären und Knicklänge bestimmen: s k = 400 [cm] 3. Profil schätzen: HEB 200 Querschnittsfläche: A = 78,1 [cm²] Trägheitsradien: i y = 8,54 [cm] i z = 5,07 [cm] Knickspannungslinie: c 4. Schlankheit berechnen: λ= 1,03 5. Abminderungsfaktor k aus Tab. ablesen: k= 0, kn 6. Spannung berechnen: σ = 33,8 [kn/cm²] 7. Nachweis führen: σ [kn/cm²] < f d [kn/cm²] 4 m σ = 33,8 [kn/cm²] < 32,27 [kn/cm²] nicht erfüllt 33,8 > 32,27! Stütze HEB200 reicht nicht aus! Nachweis mit größerem Querschnitt wiederholen 91

91 Stabilität und Stabilisierung Stabilitätsversagen Stabilisierung 92

92 Stabilität und Stabilisierung Stabilitätsversagen Stabilisierung Biegeknicken Biegedrillknicken (Kippen) Beulen z.b. Plattenbeulen, Schalenbeulen 93

93 Grundlagen Stabilität und Stabilisierung Stabilitätsversagen Stabilisierung Biegeknicken Biegedrillknicken (Kippen) Beulen z.b. Plattenbeulen, Schalenbeulen biegebeanspruchte Tragwerke Bogen- und Seiltragwerke 94

94 Biegedrillknicken primäre Biegeverformung ausgekippte Gleichgewichtslage φ Biegedrillknicken Verstärkung Obergurt Steife "Gabellagerung" (kippsicher) biegedrillknickgefährdet (kippgefährdet) Lagerung 95

95 Beulen Beulflächen druckbeanspruchter Wandscheiben zweiseitig gehalten dreiseitig gehalten vierseitig gehalten Druck Zug Druck Zug Beulen in Auflagerzonen Beulen aufgrund hoher Biegbeanspruchung 96

96 Gebäudeaussteifung Übersicht Aussteifungselemente horizontale Aussteifungselemente vertikale Aussteifungselemente 97

97 Gebäudeaussteifung Übersicht Aussteifungselemente horizontale Aussteifungselemente vertikale Aussteifungselemente flächig stabförmig stabförmig flächig 98

98 Gebäudeaussteifung Übersicht Aussteifungselemente horizontale Aussteifungselemente vertikale Aussteifungselemente flächig stabförmig stabförmig flächig horizontale Scheibe Stahlbetonplatte Brettsperrholzplatte Beplankung Blech Trapezblech Diagonalschalung Holzwerkstoffplatte Diagonalstab vorgespannte Seile Rahmen Rahmen Bogen Fachwerk/ Verband eingespannte Stütze vertikale Scheibe Stahlbetonscheibe Mauerwerksscheibe Brettsperrholzscheibe 99

99 Gebäudeaussteifung horizontal Gebäudeaussteifung Horizontale Aussteifungse 100

100 Gebäudeaussteifung Lastumlenkung horizontales Aussteifungselement 101

101 Gebäudeaussteifung Lastumlenkung horizontales Aussteifungselement vertikales Aussteifungselement 102

102 Gebäudeaussteifung Lastumlenkung horizontales Aussteifungselement vertikales Aussteifungselement Auflagerreaktionen 103

103 Aussteifungselemente Wandscheibe, Rahmen Wandscheibe Horizontallastabrtag in Ebene Keine Lastabtragung orthogonal zur Ebene möglich. 104

104 Aussteifungselemente Wandscheibe, Rahmen Wandscheibe Horizontallastabrtag in Ebene Rahmen Horizontallastabtrag in Ebene Keine Lastabtragung orthogonal zur Ebene möglich. 105

105 Aussteifungselemente Fachwerk, Zugdiagonalen Fachwerk Horizontallastabtragung in Ebene. Keine Lastabtragung orthogonal zur Ebene möglich. 106

106 Aussteifungselemente Fachwerk, Zugdiagonalen Fachwerk Horizontallastabtragung in Ebene. Diagonalseile Horizontallastabtragung in Ebene. Keine Lastabtragung orthogonal zur Ebene möglich. 107

107 Aussteifungselemente Fachwerk, Zugdiagonalen Die Richtung der Horizontallast bestimmt, welches Seil zur Lastabtragung herangezogen wird. Fachwerk Horizontallastabtragung in Ebene. Diagonalseile Horizontallastabtragung in Ebene. Keine Lastabtragung orthogonal zur Ebene möglich. 108

108 Aussteifungselemente Vertikales Aussteifungselement Resultierende Kraft verläuft durch die Lagerfuge: keine Kippgefahr. Resultierende außerhalb der Lagerfuge: Kippgefahr. 109

109 Aussteifungselemente Eingespannte Stütze Horizontallastabtragung über eingespannte Stütze. Eingespannte Stützen ermöglichen die Horizontallastabtragung in allen Richtungen. 110

110 Minimalaussteifung Bei vorhandener Horizontalscheibe (Decke bzw. Dach) Stabile Aussteifung durch drei vertikale Aussteifungselemente. Stabile Aussteifung durch einen Kern. 111

111 Minimalaussteifung Bei vorhandener Horizontalscheibe (Decke bzw. Dach) Parallele Scheiben können nur Lasten parallel zur Scheibenrichtung abtragen. 112

112 Minimalaussteifung Bei vorhandener Horizontalscheibe (Decke bzw. Dach) Parallele Scheiben können nur Lasten parallel zur Scheibenrichtung abtragen. Labiles Verhalten paralleler Scheiben unter Horizontallast. 113

113 Minimalaussteifung Bei vorhandener Horizontalscheibe (Decke bzw. Dach) Sich kreuzende Scheiben können nur Lasten, die in den Scheibenebenen wirken, abtragen. 114

114 Minimalaussteifung Bei vorhandener Horizontalscheibe (Decke bzw. Dach) Sich kreuzende Scheiben können nur Lasten, die in den Scheibenebenen wirken, abtragen. Labiles Verhalten sich kreuzender Scheiben unter Horizontallast 115

115 Anordnung im Grundriss Bei vorhandener Horizontalscheibe (Decke bzw. Dach) 116

116 Anordnung im Grundriss Drei Scheiben Stabil, günstige Anordnung: Windlasten in Richtung der zwei parallelen Scheiben werden durch diese abgetragen. Stabil, jedoch ungünstig: Der Hebelarm zwischen den zwei parallelen Scheiben ist sehr gering. 117

117 Anordnung im Grundriss Drei Scheiben Stabil, günstige Anordnung: Drei Scheiben, nicht parallel, Wirkungslinien schneiden sich nicht in einem Punkt. 118

118 Anordnung im Grundriss Drei Scheiben Instabil: Wirkungslinien schneiden sich in einem Punkt. Instabil: Wirkungslinien der Scheiben verlaufen alle parallel, horizontale Einwirkungen mit Lastanteil orthogonal zur Scheibenebene führen zum Kippen. 119

119 120

120 Anordnung im Grundriss Kern Stabil, günstige Anordnung: Zentrale Lage des Kerns Stabil, jedoch ungünstig: Torsionsbeanspruchung bei Windlast orthogonal zur Gebäudelängsseite. 121

121 Anordnung im Grundriss Scheibe und Kern Stabil, günstige Anordnung: Torsion wird durch eine Einzelscheibe mit großem Hebelarm zum Kern vermindert. Stabil, günstige Anordnung: Torsion wird durch eine Einzelscheibe mit großem Hebelarm zum Kern vermindert. 122

122 Anordnung im Grundriss Stabil, jedoch ungünstig: Windlast orthogonal zur Deckenquerseite verursacht durch die exzentrische Anordnung ein Moment, das nur über die schlanken Kerne abgetragen werden kann, sodass diese stark beansprucht werden. 123

123 Anordnung im Grundriss Vier Scheiben Stabil, günstige Anordnung: Auch unter Temperaturbelastung. Stabil, jedoch ungünstig: Zwänge unter Temperaturbeanspruchung. 124

124 Minimalaussteifung - Varianten Ohne vollflächige Horizontalscheibe (Dach- oder Deckenscheibe) Mindestens vier vertikale Aussteifungselemente notwendig. Pro Lastrichtung tragen mindestens zwei vertikale Aussteifungselemente die Horizontallasten ab. 125

125 Minimalaussteifung - Varianten Lastabtragung in der horizontalen Ebene Lastabtragung über einen Verband in der Dachebene. Lastabtragung über Querbiegung eines Trägers. 126

126 Minimalaussteifung - Varianten Rahmen und eingespannte Stütze In Rahmen- bzw. Bogenebene kann auf zusätzliche vertikale Aussteifungselemente verzichtet werden. Aussteifung in zwei Richtungen ohne ergänzende vertikale Aussteifungselemente. 127

127 Hochhausbau Vertikale Tragwerke Eingespannte Stütze als abstraktes Ersatzsystem 128

128 Hochhausbau Vertikale Tragwerke Eingespannte Stütze als abstraktes Ersatzsystem Kerntragwerk Röhrentragwerk 129

129 Hochhausbau Tragwerksysteme Kerntragwerk - zentral angeordneter Kern trägt gesamte Horizontallast ab. - Kern aus Scheiben, Rahmen oder Fachwerken. - Kern enthält oft Erschliessung. - bis zu 35 Geschossen möglich. 130

130 Hochhausbau Tragwerksysteme Outriggertragwerk - Außenstützen zur Horizontallastabtragung aktivieren - schubsteife Verbindung des Kerns und der Stützen. - Vergrößerung Hebelarm. - bis 60 Geschossen wirtschaftlich. 131

131 Hochhausbau Tragwerksysteme Stockwerkrahmenröhre - geschlossene Röhre. Liegt im Grundriss so weit außen wie möglich. - Röhre (Framed Tube) aus biegesteif verbundenen Riegeln und Stützen. - enger Stützenabstand(1,20 3,50 m) und starke Riegel nötig. - bis 80 Geschossen. 132

132 Hochhausbau Tragwerksysteme Rohr in Rohr (Tube in Tube) - schubsteife Verknüpfung von Kern und äußerer Röhre über die Deckenscheiben. - bis zu 90 Geschossen. 133

133 Hochhausbau Tragwerksysteme Fachwerkröhre (Trussed Tubes) - diagonal ausgesteifte Stockwerksrahmen oder Fachwerke. - größere Stützenabstände und schlankere Stabquerschnitte möglich. - bis zu 100 Geschossen. 134

134 Hochhausbau Tragwerksysteme Gebündelte Röhre (Bundled Tubes) - Kopplung mehrerer Tussed oder Framed Tubes. - bis zu 110 Geschossen. 135

135 Hochhausbau Übersicht Geschossanzahl Kerntragwerk Outrigger Stockwerkrahmenröhre Rohr in Rohr Fachwerkröhre gebündelte Rohre 136

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