FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I)

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1 Statst I / B. Zegler Formelsammlng FORMELSAMMLUG STATISTIK (I) Statstsche Formeln, Defntonen nd Erläterngen A a X n qaltatves Mermal Mermalsasprägng qanttatves Mermal Mermalswert Anzahl der statstschen Enheten n der Grndgesamthet Stchprobenmfang h absolte Häfget von (alternatv: n ) f H F o relatve Häfget von (alternatv: n /n) mlerte absolte Häfget mlerte relatve Häfget Untergrenze der -ten Klasse Obergrenze der -ten Klasse Brete der -ten Klasse: = o - o Mtte der -ten Klasse: + = Anzahl der Klassen F( ) mlerte relatve Häfget an der Untergrenze der Klasse F( o ) mlerte relatve Häfget an der Obergrenze der Klasse arthmetsches Mttel (alternatv: µ) Z D p F() Zentralwert (Medan) Häfgster Wert (dchtester Wert, Mods bzw. Modalwert) Prozentpnt Antel der Mermalswerte X <

2 Statst I / B. Zegler Hstogramm. Hstogramm De Häfgetsvertelng qanttatv-stetger Mermale wrd als Hstogramm dargestellt. Be onstanter Klassenbrete snd de Rechtechöhen proportonal z den relatven (oder absolten) Klassenhäfgeten. Be nglechen Klassenbreten ermttelt man de Rechtechöhen, ndem de relatven (oder absolten) Klassenhäfgeten f (bzw h ) drch de jewelgen Klassenbreten dvdert werden: d = f Dadrch wrd gewährlestet, daß de relatve (bzw. absolte) Häfget ener Klasse glech der Rechtecfläche über deser Klasse st.. Vertelngsfnton (Smmenhäfgetsfnton) qanttatv-stetger Mermale ( ) = f ( ) F < Berechnng von Antelswerten nnerhalb ener Klasse F ( ) = F( ) + f Das Konzept der p-qantle p = F + ( ) F( ) p f

3 Statst I / B. Zegler Mttelwerte 3. Mttelwerte (ach als Lageparameter bezechnet) Mttelwerte snd statstsche Maßzahlen, de de drchschnttlche Lage ("Mtte") der Mermalswerte ener Häfgetsvertelng wedergeben. Ene snnvolle Berechnng st nr be engpfelgen Vertelngen möglch. 3.. Das arthmetsche Mttel st en rechentypscher Mttelwert, d.h. jeder Mermalswert beenflßt senen Wert. gbt an, welchen Mermalswert jede statstsche Enhet (Mermalsträger) haben würde, wenn de gesamte Mermalssmme glechmäßg af alle statstschen Enheten vertelt wäre (Ersatzwert). a) Ungrpperte Daten = = = = b) Grpperte Daten be Klassenbldng h = = h = = = f = = f = 3

4 Statst I / B. Zegler Mttelwerte 3.. Der Zentralwert (Medan) Werden alle statstschen Enheten nach der Größe hres Mermalswertes geordnet, so st der Zentralwert (Z) der Wert der mttleren statstschen Enhet, d.h. 50 Prozent aller statstschen Enheten haben enen Mermalswert lener oder glech dem Zentralwert nd 50 Prozent haben enen Mermalswert größer oder glech dem Zentralwert. Der Medan st somt der 50-Prozentpnt. a) Ungrpperte Daten be = ngerade Z = + be = gerade Z = b) Klassfzerte Daten Znächst: Afschen der Klasse n der F = 0,5 (Enfallslasse von Z) Anmerng: Z = F ( ) 0 ( ) F ( ) ( + ) + ( ) 05, 05, F 0 + ( ) = + F f Wrd de "Trennng" zwschen dem oberen nd dem nteren Abschntt der Häfgetsvertelng ncht m Verhältns : (we bem Zentralwert), sondern m Verhältns : 3 bzw. 3 : vollzogen, so sprcht man vom Qartl (= 5- Prozentpnt) bzw. Qartl 3 (=75-Prozentpnt). De entsprechenden Formeln für lassfzerte Daten laten: Sche de Klasse, n der F = 0,5 (bzw. 0,75) wrd 05, F ( ) Q = + 075, F ( ) Q 3 = + f f bzw Der häfgste Wert, der ach als dchtester Wert oder Mods bezechnet wrd, st der Mermalswert mt der größten absolten bzw relatven Häfget. D = mt as h ma bzw. f ma Be lassfzerten Daten wrd als häfgster Wert de Klassenmtte der Klasse mt der größten absolten bzw. relatven Häfget bestmmt nter der Annahme onstanter Klassenbreten. Im Falle nglecher Klassenbreten wrd de ma Klassenmtte der Klasse mt der größten Häfgetsdchte (d ) genommen. 4

5 Statst I / B. Zegler Mttelwerte 3.4. Geometrsches Mttel a) Ungrpperte Daten G = bzw. log G = 3... = log b) Grpperte Daten G = bzw. log G = h h h3 h 3... = h log 3.5. Formale Egenschaften der Mttelwerte Der Zentralwert bestzt de formale Egenschaft, daß de Smme der absolten Abwechngen der Mermalswerte vom Zentralwert gernger st als von rgendenem anderen Wert: = - Z = mn. Im Gegensatz zm Zentralwert gelten für das arthmetsche Mttel folgende formale Egenschaften: a) de Smme der Abwechngen der Mermalswerte vom arthmetschen Mttel st ll: = ( ) - = 0 b) de Smme der qadrerten Abwechngen der Mermalswerte von st lener als von jedem anderen Wert: = ( ) Relaton zwschen den Mttelwerten: D = Z = symmetrsche Vertelng D > Z > rechtsstele Vertelng D < Z < lnsstele Vertelng - = mn. 5

6 Statst I / B. Zegler Strengsmaße 4. Strengsmaße Strengsmaße lassen erennen, ob sch de Mermalswerte eng m enen Mttelwert grpperen oder star streen. Se messen somt de Abwechngen der enzelnen Mermalswerte von hrem Mttelwert. 4.. Spannwete De Spannwete (R) st de Dfferenz zwschen dem größten nd dem lensten Mermalswert ener Vertelng: R = ma - mn Be lassfzerten Daten lassen sch entsprechend de Klassengrenzen der Randlassen verwenden. 4.. Mttlere (bzw. drchschnttlche) absolte Abwechng Z) De mttlere absolte Abwechng (d) st das arthmetsche Mttel der absolten Abstände der Mermalswerte von enem Mttelwert (mest zwelen aber ach a) Ungrpperte Daten d = = - = = - d = = - Z = = -Z b) Grpperte Daten d = = - h = - f = d = = - h = - f = Entsprechendes glt, wenn für der Zentralwert engesetzt wrd. 6

7 Statst I / B. Zegler Strengsmaße 4.3. Varanz nd Standardabwechng der De Varanz nd de daras hergeletete Standardabwechng snd de gebrächlchsten Strengsmaße. De Varanz (σ ) st de drchschnttlche Abwechng der qadrerten Abstände Mermalswerte vom arthmetschen Mttel. a) Ungrpperte Daten ( ) σ = - = = = ( - ) σ = σ= = ( - ) b) Grpperte Daten - h ( ) σ = = = ( ) = - f σ = = - h = - f = De jewelge Standardabwechng σ st de (postve) Qadratwrzel der Varanz Mttlerer Qartlsabstand MQ = Q3 - Q 4.5. Varatonsoeffzent Mt dem Varatonsoeffzenten soll de Streng ener Häfgetsvertelng nabhängg von der absolten Größe der Mermalswerte charatersert werden. Er st en relatves Strengsmaß nd wrd als Qotent as Standardabwechng nd arthmetschem Mttel berechnet: V = σ σ bzw. V = 00 7

8 Statst I / B. Zegler Momente nd Schefe / Konzentratonsmaße 5. Momente nd Schefe Das drtte Moment m das arthmetsche Mttel wrd als Maßzahl für de Schefe ener Häfgetsvertelng verwendet. De Schefe gbt an, we star de Häfgetsvertelng von der Symmetre abwecht. Das drtte Moment gbt de drchschnttlche drtte Potenz der Abwechngen der Mermalswerte vom arthmetschen Mttel an: a) Ungrpperte Daten m3 ( ) = 3 ( - ) b) Klassfzerte Daten m3 ( ) = ( = 3 ( ) h = ) 3 = f Interpretaton m3 ( ) > 0 m3 ( ) < 0 rechtsschefe Vertelng lnsschefe Vertelng 6. Konzentratonsmaße Konzentratonsmaße messen de Aftelng ener gesamten Mermalssmme af de enzelnen statstschen Enheten. In der Konzentratonsmessng werden de statstschen Enheten ach als Mermalsträger bezechnet. Je nach Betrachtngswese wrd zwschen absolter nd relatver Konzentraton nterscheden. Der Untersched besteht darn, daß von absolter Konzentraton gesprochen wrd, wenn en Großtel der Mermalssmme af ene lene Zahl von Mermalsträgern entfällt, von relatver Konzentraton, wenn en Großtel der Mermalssmme af enen lenen Antel der Mermalsträger fällt. Konzentratonsoeffzent (concentraton rato) Der Konzentratonsoeffzent (Konzentratonsrate, Konzentratonszffer oder Konzentratonsgrad) st en wet verbretetes Maß zr Messng der absolten Konzentraton. Gegeben se ene Anzahl von Mermalsträgern (z. B. Unternehmen) mt dem Mermal (z. B. Umsatz), wobe glt: K 8

9 Statst I / B. Zegler Konzentratonsmaße Der Konzentratonsoeffzent CR a für a =, 3, 4, 5, 6, 0 oder 00 (je nach Fragestellng) wrd defnert als: CR a = a+ = = Soll bespelswese der Antel der dre msatzstärsten Unternehmen ener Branche = oder enes Martes am Gesamtmsatz ( =0: ) ermttelt werden, so glt für CR 3 be CR 3 0 = 0 3+ = 0 = Herfndahl-Inde (Hrschman-Inde) Ene wetere Maßzahl der absolten Konzentraton st der Herfndahl-Inde (ach als Hrschman-Inde bezechnet), der defnert wrd als: H = p = wobe p = Antel des Mermalsträgers an der gesamten Mermalssmme. H Mamale Konzentraton legt dann vor, wenn H = st (en Mermalsträger verengt de gesamte Mermalssmme af sch); be mnmaler Konzentraton st H = (alle Mermalsträger haben den glechen Antel an der Mermalssmme). 9

10 Statst I / B. Zegler Konzentratonsmaße Zwschen dem Herfndahl-Inde nd dem Varatonsoeffzenten (s. Strengsmaße) besteht folgender Zsammenhang: H = ( V + ) Lorenzrve nd Gn-Koeffzent Zr Messng der relatven Konzentraton wrd de Lorenzrve herangezogen. In enem qadratschen Schabld werden af der Abszsse de mlerten Antele der Mermalsträger abgetragen, af der Ordnate de zgehörgen mlerten Antele der Mermalssmme. Der Strecenzg, der de entsprechenden Pnte vom llpnt begnnend mtenander verbndet, wrd als Lorenzrve (Konzentratonsrve) bezechnet. Der Gn-Koeffzent G st en Maß für de Fläche zwschen der Glechvertelngsgeraden nd der Lorenzrve: G = Fläche zwschen der Lorenzrve nd der Glechvertelngsgeraden Fläche des Dreecs nter der Glechvertelngsgeraden Zr Berechnng ann folgende Formel verwendet werden: G = ( MS + MS ) f mt MS 0 = 0 = Es glt: 0 G. Be G = 0 besteht Glechvertelng, be G = vollständge Konzentraton. 0