Institut für Mathematik der Universität Wien DIPLOMARBEIT. zur Erlangung des akademischen Grades. Mag. rer. nat. an der

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1 Institut für Mathematik der Universität Wien DIPLOMARBEIT zur Erlangung des akademischen Grades Mag. rer. nat. an der Formal- und Naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Wien Titel: "NETZPLANTECHNIK - GRUNDLAGEN UND MATHEMATISCHER HINTERGRUND - ANWENDUNGEN IM UNTERRICHT" Eingereicht von Michael HOLLAUF Begutachtet von Ao. Univ.- Prof. Dr. Hans Christian REICHEL Wien, im Mai 1994

2 EINFÜHRUNG-NETZPLANTECHNIK SEITE 2 Inhaltsverzeichnis: 1. Einführung-Netzplantechnik Erster Schritt der Planung Balkendiagramm Balkendiagramm mit Fortschrittskontrolle Methoden der Netzplantechnik Zeitplanung CPM - Critical Path Method Zeitplanung mit Hilfe der Netzplanmatrix Adjazenzmatrix Bewertungsmatrix Berechnung der Ereigniszeitpunkte Pufferzeiten CPM-Kostenoptimierung Direkte Kosten Vorgangskosten Projektkosten Zeitplanung für Normaldauer Minimale direkte Projektkosten Indirekte Kosten Kostenfunktion Kostenminimale Gesamtprojektdauer Minimalkosten bei vorgegebenem Projektende PERT - Program Evaluation and Review Technik Einzeiten- Mehrzeitenschätzung Dichtefunktion der Vorgangsdauer Erwartungswert der Vorgangsdauer Zeitplanung mit PERT (stochastische Zeitplanung) Berechnung der Ereigniszeitpunkte Berechnung der gesamten Pufferzeit Kritische Ereignisse - kritische Wege Wahrscheinlichkeitsaussagen für Ereigniszeitpunkte Wahrscheinlichkeitsaussagen für Verzögerungen Allgemeine Wahrscheilichkeitsaussagen für PERT-Planungen Computereinsatz Topologische Sortierung Indizierung der Quelle Sortieralgorithmus Basic Programm - NETZ.BAS Bedienungsanleitung Listing - NETZ.BAS Beispiele zur Anwendung von NETZ.BAS... 80

3 EINFÜHRUNG-NETZPLANTECHNIK SEITE Pascal Programm - CPM.EXE Bedienungsanleitung Listing - CPM.PAS Beispiele zur Anwendung von CPM.EXE Didaktische Bemerkungen Modelle der Netzplantechnik im Unterricht Erstellen von Netzplänen im Unterricht Methoden der Netzplantechnik im Unterricht Beispielverzeichnis Liste der Datensätze und Programme Abbildungsverzeichnis Symbolverzeichnis Literaturverzeichnis

4 EINFÜHRUNG-NETZPLANTECHNIK SEITE 4 "NETZPLANTECHNIK - GRUNDLAGEN UND MATHEMATISCHER HINTERGRUND - ANWENDUNGEN IM UNTERRICHT" 1. EINFÜHRUNG-NETZPLANTECHNIK Um mit den wesentlichen Merkmalen der Netzplantechnik vertraut zu machen, werden die Grundprinzipien der Netzplantechnik zunächst an einem einfachen, einführenden Beispiel demonstriert. Dieses Beispiel dient zur Erläuterung der Verfahrenstechnik. Es knüpft, um das Verständnis zu erleichtern, an einem realen Problem an, ist jedoch sehr stark vereinfacht und gibt den Sachverhalt nur unvollständig wieder. Beispiel 1: Einführungsbeispiel Aufgabenstellung: Drei Freunde beabsichtigen eine Urlaubsreise ins Ausland zu machen und überlegen sich welche Vorbereitungen für die Reise zu treffen sind. Das Projekt, um das es hier also geht, ist die Vorbereitung einer Urlaubsreise ERSTER SCHRITT DER PLANUNG Zunächst erfolgt eine erste Analyse des Projekts. Es wird eine Liste mit allen Vorgängen des Projekts angefertigt und vermerkt, wieviel Zeit für die einzelnen Vorgänge in etwa benötigt wird. Hierin unterscheidet sich die Netzplantechnik noch nicht von anderen Planungsverfahren.

5 EINFÜHRUNG-NETZPLANTECHNIK SEITE 5 Vorgang: Dauer in Tagen: Kurzbezeichnung: Visabeschaffung 5 A Ausrüstung überprüfen und ergänzen 25 B Auto überprüfen 20 C Hotelreservierungen 15 D Proviantbeschaffung 5 E Abb.1: Liste der Vorgänge zu Beispiel 1 mit Angabe der Dauer Für die Vorgänge wurden Kurzbezeichnungen eingeführt. Die drei Freunde teilen sich die notwendigen Arbeiten wie folgt: Der Erste übernimmt die Visabeschaffung (A) und daran anschließend die Hotelreservierungen (D). Der Zweite sorgt für die Überprüfung und Ergänzung der Ausrüstung (B). Der Dritte erledigt die Überprüfung des Autos (C). Die Proviantbeschaffung (E) wollen der Erste und der Zweite im Anschluß an die Hotelreservierungen bzw. Überprüfung und Ergänzung der Ausrüstung gemeinsam übernehmen. Nun gilt es, den zeitlichen Ablauf des Projekts zu planen! 1.2. BALKENDIAGRAMM Einer der häufig verwendeten Planungsansätze der Arbeitsablauf- und Zeitplanung ist die Darstellung der einzelnen Projektaktivitäten (Vorgänge) in Form eines sogenannten Balkendiagramms 1. 1 Dafür findet man auch häufig die Bezeichnung GANTT-Diagramm.

6 EINFÜHRUNG-NETZPLANTECHNIK SEITE 6 In einem Balkendiagramm wird für jede Aktivität (Tätigkeit, Vorgang) eines Projekts ein waagrechter Balken über einer Zeitachse eingetragen. Die Länge des Balkens entspricht der für die Durchführung der Aktivität benötigten Zeit. Aus der Lage des Balkens über der Zeitachse kann abgelesen werden, wann jede Aktivität nt und wann sie beendet ist. Die drei Freunde zeichnen ein Balkendiagramm und erhalten folgendes Ergebnis: Proviantbeschaffung Auto überprüfen Ausrüstung überprüfen Hotelreservierungen Visabeschaffung Tage Abb.2: Balkendiagramm Aus dem Balkendiagramm läßt sich auch ablesen, daß das Gesamtprojekt 30 Tage in Anspruch nehmen wird BALKENDIAGRAMM MIT FORTSCHRITTS- KONTROLLE Nach 15 Tagen, also nach Ablauf der für die Reisevorbereitungen angesetzten halben Zeit, treffen sich die drei Freunde um zu überprüfen, ob alles wunschgemäß verläuft. Dabei stellen sie fest, daß der Dritte mit der Prüfung des Autos bereits fertig ist, hingegen der Ersten und Zweite mit den laufenden Arbeiten (Hotelreservierungen, Ausrüstung überprüfen und ergänzen) jedoch nicht so weit gekommen sind, wie sie hätten kommen sollen. Jeder von ihnen hinkt um einen Tag hinter dem Plan her.

7 EINFÜHRUNG-NETZPLANTECHNIK SEITE 7 Der Stand der Vorbereitungen ist in dem folgenden Balkendiagramm mit Fortschrittskontrolle eingetragen. Proviantbeschaffung Auto überprüfen Ausrüstung überprüfen Hotelreservierungen Visabeschaffung Tage = ausgeführt = geplant Abb.3: Balkendiagramm mit Fortschrittskontrolle Bei der Betrachtung des Balkendiagramms kommen die Freunde zu dem Ergebnis, daß es um ihre Reisevorbereitungen gut bestellt ist. Es wurde bereits mehr erledigt als sie geplant hatten. Dieser Schluß ist jedoch voreilig! Eine genaue Betrachtung des Projekts zeigt, daß die Verzögerung bei der Überprüfung und Ergänzung der Ausrüstung das Ende der gesamten Reisevorbereitungen um einen Tag verzögert. Mit der Proviantbeschaffung, die nach der Überprüfung und Ergänzung der Ausrüstung durchzuführen ist, kann erst verspätet begonnen werden, wodurch sich die Gesamtprojektdauer verlängert. Aus einem Balkendiagramm läßt sich im allgemeinen nicht ersehen, welche Konsequenzen Terminüberschreitungen oder Änderungen im Projektablauf für die Projektdurchführung haben und welche Maßnahmen gegen unerwünschte Verzögerungen zweckmäßigerweise zu ergreifen sind METHODEN DER NETZPLANTECHNIK Diese Probleme treten bei der Netzplantechnik nicht auf. Hier werden Abhängigkeiten, die zwischen den Vorgängen des Projekts bestehen, bei der Planung berücksichtigt. Fehlschlüsse der oben beschriebenen Art werden dadurch ausgeschlossen. Die Analyse des durchzuführenden Projekts erstreckt sich im ersten Schritt also nicht nur auf eine

8 EINFÜHRUNG-NETZPLANTECHNIK SEITE 8 vollständige Erfassung der Vorgänge, sondern auch auf die Untersuchung der Abhängigkeiten, die zwischen den Vorgängen bestehen. Diese Abhängigkeiten bzw. Reihenfolgebedingungen werden dann bei der Ablaufplanung explizit berücksichtigt und einzeln dargestellt. In unserem Beispiel ergeben sich die Abhängigkeiten vor allem daraus, daß keiner der drei Freunde mehrere Dinge auf einmal erledigen kann. Einige Vorgänge können daher nur hintereinander ausgeführt werden. Andere Vorgänge können dagegen (wegen der Aufteilung auf drei Freunde) parallel ausgeführt werden. Beispielsweise die Überprüfung und Ergänzung der Ausrüstung und die Überprüfung des Autos. Die Überprüfung des Autos ist also unabhängig von den anderen Reisevorbereitungen, die Proviantbeschaffung kann dagegen erst nen, wenn der zweite Freund die Ausrüstung überprüft hat und der Erste zunächst die Visabeschaffung und danach die Hotelreservierungen vorgenommen hat. Der Ablauf des Projekts vollzieht sich somit folgendermaßen: Der dritte Freund befaßt sich von Projektn bis Projektende mit der Überprüfung des Autos (C) und macht bis zum Projektende nichts anderes. Der Zweite nt mit der Überprüfung und Vervollständigung der Ausrüstung (B). Der Erste nimmt sich zunächst die Visabeschaffung vor (A) und erledigt im Anschluß daran die Hotelreservierungen (D). Erst wenn der Erste und der Zweite mit diesen Arbeiten fertig sind, können sie mit der Proviantbeschaffung (E) nen. Stellt man die zu diesem Projekt gehörigen Vorgänge graphisch so dar, daß auch die Abhängigkeiten zwischen ihnen zu ersehen sind, so erhält man folgenden Netzplan. 1 A 5 2 B 25 D 15 C 20 3 E 5 4 Abb.4: Netzplan zu Beispiel 1 mit numerierten Ereignissen (Vorgangspfeil-Netzplan)

9 EINFÜHRUNG-NETZPLANTECHNIK SEITE 9 Diese Form der Darstellung des Projektablaufs bezeichnet man als Netzplan. Hier sind die Vorgänge als Pfeile dargestellt. Die Pfeile sind über Ereignisse (Knoten des Netzplans) so verknüpft, wie es der Reihenfolge der Vorgänge entspricht. Die Ereignisse sind in dieser Netzplandarstellung, wie es allgemein üblich ist, numeriert, und die Vorgänge (Pfeile) sind mit der jeweiligen Kurzbezeichnung und zugehöriger Ausführungsdauer beschriftet. Der Netzplan hat gegenüber dem Balkendiagramm den wesentlichen Vorteile, daß die technischen, wirtschaftlichen und logischen Abhängigkeiten zwischen den Vorgängen berücksichtigt werden. Darüber hinaus wird der "logische" Projektablauf wiedergegeben. Die Darstellung ist aber unabhängig von den Ausführungszeiten der einzelnen Vorgänge. Bei Zeitänderungen oder Terminverschiebungen bleibt der Netzplan unverändert, während ein Balkendiagramm immer wieder neu gezeichnet werden muß. Die Ablaufplanung eines Projekts ist mit dem Zeichnen des Netzplans beendet. Der Netzplan enthält detaillierte Informationen über die Vorgänge des Projekts und deren Beziehung zueinander ZEITPLANUNG Zunächst stellt sich die Frage nach der Dauer des Gesamtprojekts. In unserem Beispiel kann die Frage dadurch gelöst werden, daß man die längste Zeit bestimmt, die einer der drei Freunde mit Reisevorbereitungen beschäftigt ist (Angaben in Tagen). 1. Freund: 5 (Visabesch.) + 15 (Hotelreservierungen) + 5 (Proviantbesch.) = Freund: 25 (Ausrüstung überprüfen und ergänzen) + 5 (Proviantbesch.) = Freund: 20 (Auto überprüfen) Aus der Sicht des oben abgebildeten Netzplans entspricht die Gesamtprojektdauer dem längsten Weg von Knoten 1 (Anfangsereignis) bis Knoten 4 (Endereignis). 1. Weg: Dauer: = Weg: Dauer: = Weg: 1 4 Dauer: 20

10 EINFÜHRUNG-NETZPLANTECHNIK SEITE 10 Die Reisevorbereitungen dauern also 30 Tage. Da die Arbeiten des zweiten Freundes das Ende der Reisevorbereitungen bestimmten, bewirkt jede Verzögerung, die bei seinen Arbeiten eintritt, eine Verschiebung des Projektendes. Die Arbeiten des zweiten Freundes sind also "kritisch" in dem Sinn, daß von ihnen das Ende der Reisevorbereitungen abhängt. Eine pünktliche Beendigung der Reisevorbereitungen nach 30 Tagen setzt voraus, daß die Überprüfung und Ergänzung der Ausrüstung nach 25 Tagen beendet ist und dann sofort mit der Proviantbeschaffung begonnen wird. Der zweite Freund hat also keinerlei Spielraum bei der Ausführung seiner Vorbereitungen, die Vorgänge B und E sind somit kritische Vorgänge. In folgendem Netzplan ist der kritische Weg eingezeichnet 2. 1 A 5 2 B 25 D 15 C 20 3 E 5 4 kitischer Weg Abb.5: Netzplan zu Beispiel 1 mit kritischem Weg Anders ist es bei den beiden anderen Freunden. Der dritte Freund weiß, daß er für die Überprüfung des Autos 20 Tage benötigt, dafür aber 30 Tage Zeit hat. Das bedeutet, daß er an irgendeinem der ersten 10 Tage nen kann und zwischen dem 20. und 30. Tag abschließen wird (eine Unterbrechung seiner Arbeit wird ausgeschlossen). Der erste Freund hat bei der Visabeschaffung und bei den Hotelreservierungen 5 Tage zeitlichen Spielraum. Er muß mit den Hotelreservierungen nach 25 Tagen fertig sein, d.h. er muß spätestens nach 10 Tagen damit nen. Mit der Visabeschaffung muß er an einem der ersten 5 Tage nen; dann ist er spätestens nach 10 Tagen damit fertig und das reicht aus, da er dann nach 25 Tagen mit den Hotelreservierungen fertig sein kann. 2 Die kürzester Projektdauer und der kritische Weg wurden auch mit Hilfe des Computerprogramms NETZ.BAS und dem zugehörigen Datensatz BSP1.DAT ermittelt (siehe Kapitel 5. COMPUTEREINSATZ).

11 EINFÜHRUNG-NETZPLANTECHNIK SEITE 11 Aus diesen Überlegungen geht hervor, daß ein Teil der Vorgänge (nichtkritische Vorgänge) des Projekts in der Ausführung nicht streng an Termine gebunden ist. Ein zeitlicher Spielraum, um den ein Vorgang verschoben oder um den die Zeitdauer eines Vorgangs verlängert werden kann, heißt in der Netzplantechnik Pufferzeit. Die genaue Kenntnis der Ausführungsdauer der einzelnen Vorgänge und der Abhängigkeiten zwischen den Vorgängen (wie sie im Netzplan dargestellt werden) bilden die Grundlage für eine aussagefähige Zeitplanung. Mit Hilfe einfacher Verfahren kann festgestellt werden, welche Vorgänge die Dauer des Projekts bestimmen, wann mit diesen Vorgängen begonnen werden muß und wann sie abgeschlossen sein müssen. Alle übrigen Vorgänge können zeitlich verschoben werden. Für sie wird errechnet, wann mit ihnen frühestens bzw. spätestens zu nen ist und wann sie frühestens bzw. spätestens beendet sein werden. Die früheste Anfangszeit (FAZ 3 ) bzw. früheste Endezeit (FEZ) eines Vorgangs ist dabei immer auf den Zeitpunkt des Projektns bezogen. Spätester Anfang (SAZ) bzw. spätestes Ende (SEZ) dagegen auf den Projektendtermin. Darstellung der Zeitplanung in einer Tabelle 4 : Vorgang FAZ frühest möglicher Anfang SAZ spätest notwendiger Anfang FEZ frühest mögliches Ende SEZ spätest notwendiges Ende Pufferzeit Visabeschaffung (A): Ausrüstung überprüfen (B): Auto überprüfen (C): Hotelreservierung (D): Proviantbeschaffung (E): Abb.6: Tabelle zu Beispiel 1 mit Ergebnissen der Zeitplanung 3 Die verwendeten Symbole und Begriffe beziehen sich soweit wie möglich auf das Normblatt "Netzplantechnik". 4 Die Ergebnisse der Zeitplanung finden sie auch im Kapitel BEISPIELE ZUR ANWENDUNG VON CPM.EXE.

12 EINFÜHRUNG-NETZPLANTECHNIK SEITE 12 Für jeden Vorgang wird die Pufferzeit berechnet (Differenz zwischen spätester Anfangszeit und frühester Anfangszeit bzw. Differenz zwischen spätester Endzeit und frühester Endzeit). Pufferzeit = SAZ FAZ = SEZ FEZ In diesem Beispiel ist die Zeitplanung etwas unsystematisch vorgenommen worden. Die Netzplantechnik stellt dafür einfache und übersichtliche Rechenverfahren bereit. Vergleicht man die aus dem Netzplan gewonnenen Ergebnisse mit der Abbildung, in der der Stand der Reisevorbereitungen nach 15 Tagen vermerkt ist, dann sieht man sofort, daß die Verzögerung bei den Hotelreservierungen für den rechtzeitigen Abschluß der Reisevorbereitungen belanglos ist. Die Verspätung bei der Überprüfung und Ergänzung der Ausrüstung hat jedoch ein verspätetes Ende der Reisevorbereitung zur Folge. Die Netzplantechnik gibt also nicht nur ein genaues Bild von der Ablaufstruktur eines Projekts (mit allen Verknüpfungen zwischen den Vorgängen), sondern liefert auch detaillierte Informationen über den zeitlichen Ablauf des Projekts. Der Netzplan zeigt die kritischen Vorgänge, von deren fristgerechter Ausführung die Einhaltung des Endtermins abhängt. Bei den nichtkritischen Vorgängen wird angegeben, innerhalb welcher Zeitspanne sie auszuführen sind und welcher zeitliche Spielraum (Puffer) zur Verfügung steht. Das Einführungsbeispiel soll die große Anwendbarkeit und Nützlichkeit der Netzplantechnik zeigen und transparent machen, wie einfach und voraussetzungslos die Methoden der Netzplantechnik sind.

13 CPM - CRITICAL PATH METHOD SEITE CPM - CRITICAL PATH METHOD Dieses Verfahren wurde 1956 in den USA entwickelt und verwendet Vorgangspfeilnetze. Heute ist CPM noch vielfach ein Synonym für Vorgangspfeilnetze, und man spricht von CPM-Netzplänen ZEITPLANUNG MIT HILFE DER NETZ- PLANMATRIX Netzpläne können auch in anderen Formen dargestellt werden, wobei verschiedene Notationen verschiedene Vor- und Nachteile besitzen 6. Eine übersichtliche Form der Ablaufdarstellung ist die sogenannte Netzplanmatrix (oder Beziehungsmatrix), die insbesonders bei umfangreicheren Netzplänen die nicht computerunterstützte Berechnung der Ereigniszeitpunkte durch Formalisierung vereinfacht. Für die aufeinanderfolgenden Ereignisse i, j gilt: i V (i, j) j i Vorereignis des Vorgangs V (i, j) j Nachereignis des Vorgangs V (i, j) Zwei aufeinanderfolgende Ereignisse dürfen nur durch genau einen Vorgang verbunden werden. 5 Vgl. SCHWARZE, "Netzplantechnik" Seite Vgl. REICHEL, (1992) Seite 171

14 CPM - CRITICAL PATH METHOD SEITE ADJAZENZMATRIX Sortieralgorithmen - zur Netzplananalysen mit dem PC 7 - verwenden zur formalen Darstellung der Abhängigkeiten zwischen den Vorgängen des Projekts, die sogenannte Adjazenzmatrix. Sie gibt, ohne Berücksichtigung der Dauer der Vorgänge, deren Reihenfolgebedingungen wieder. Die Adjazenzmatrix A = (a ij ) ist definiert durch a ij = 1 falls ein Vorgang V(i, j) existiert und a ij = 0 sonst. Die Adjazenzmatrix zum Netzplan von Beispiel 1 (siehe Abb. 4) hat folgende Gestalt: A = oder eine "unmathematische" Form, die insbesondere für die Darstellung der Abhängigkeiten, bei den Programmen zur Netzplananalyse mit dem PC, verwendet wird: nach: P 8 1 P 2 P 3 P 4 von: P von: P von: P von: P Abb.7: Adjazenzmatrix zu Beispiel 1 7 Siehe Kapitel 5.1. TOPOLOGISCHE SORTIERUNG 8 P i : Knoten (Ereignis)

15 CPM - CRITICAL PATH METHOD SEITE BEWERTUNGSMATRIX Berücksichtigt man in der Matrizendarstellung der Netzplandaten auch die Ausführungsdauern der Vorgänge, so spricht man von einer Bewertungsmatrix. Aufbau der Bewertungsmatrix: In der Kopfspalte werden alle Ereignisse als Anfangsereignisse P i und in der Kopfzeile als Endereignisse P j eingetragen. Die Dauer D ij eines Vorgangs V(i, j) ist in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte einzutragen. Somit enthält jede Matrixeintragung eine Struktur und eine Zeitinformation. Ist der Netzplan aufsteigend durchnumeriert (i < j ), können sich Eintragungen nur oberhalb der Hauptdiagonale befinden. Alle von einem Ereignis P i ausgehenden (in ein Ereignis P j einmündenden) Vorgänge finden sich in einer Zeile (Spalte). So läßt sich beispielsweise ein Netzplan folgendermaßen in Matrixform überleiten: Beispiel 2: Zeitplanung mit Hilfe der Netzplanmatrix Gegeben sei folgender Netzplan: Abb.8: Netzplan zu Beispiel 2

16 CPM - CRITICAL PATH METHOD SEITE 16 *) Ermitteln Sie die zugehörige Netzplanmatrix! nach: P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 von: P 1 **** von: P 2 **** **** von: P 3 **** **** **** von: P 4 **** **** **** **** von: P 5 **** **** **** **** **** von: P 6 **** **** **** **** **** **** von: P 7 **** **** **** **** **** **** **** von: P 8 **** **** **** **** **** **** **** **** 8 von: P 9 **** **** **** **** **** **** **** **** **** Abb.9: Netzplanmatrix zu Beispiel 2 Die Berechnung der Ereigniszeitpunkte erfolgt nach dem nachstehend beschriebenen Berechnungsschema: BERECHNUNG DER EREIGNISZEITPUNKTE a) Berechnung der frühesten Zeitpunkte mit Hilfe der Netzplanmatrix Die frühesten Zeitpunkte für die jeweiligen Ereignisse werden in einer Ereignisspalte am rechten Rand der Matrix eingetragen (siehe Abb.10). Die Ereignisse werden nun, nend mit der Quelle, der Reihe nach bis zur Senke abgearbeitet; vorher wird für das Startereignis P 1 der frühest mögliche Zeitpunkt FZ 1 = 0 gesetzt (siehe Abb.10; erste Zeile, letzte Spalte). Es folgt die Berechnung von FZ 2; der errechnete Wert wird in der letzten Spalte der zweiten Zeile eingetragen. Den frühesten Zeitpunkt FZ j für ein Ereignis P j (j > 1) (P j Nachereignis des Vorgangs V(i, j)) errechnet man als Summe von D ij (Matrixeintragung in der i-ten Zeile für den Vorgang V(i, j)) und dem bereits errechneten (in der gleichen Zeile ersichtlichen) FZ i -Wert. Münden mehrere Vorgänge in

17 CPM - CRITICAL PATH METHOD SEITE 17 das Ereignis P j (d.h. sind in der Spalte j noch weitere Eintragungen vorhanden), so sind die Endzeitpunkte der Vorgänge in gleicher Weise zu berechnen. Der früheste Zeitpunkt für das Ereignis P j ist dann der größte dieser Werte, da er den zeitlängsten Weg darstellt. i k { FZ D } FZ = max + k ki *) Berechnen Sie die frühesten Zeitpunkte FZ für das gegebene Beispiel: Die Berechnung der frühesten Zeitpunkte erfolgt nach dem oben beschriebenen Schema 9. Man geht dabei von der Netzplanmatrix zu Beispiel 2 (siehe Abb.9) aus. FZ = 1 0 FZ2 = = 2 FZ3 = = 5 FZ4 = = 8 { 2 + 5; 5 + 3; 8 + 1} 9 FZ5 = max = FZ6 = = 12 { 8 + 4; 9 + 5} 14 FZ7 = max = { 9 + 3; } 16 FZ8 = max = { ; } 24 FZ9 = max = Die errechneten FZ i -Werte sind in der Ereignisspalte der folgenden Abbildung eingetragen. 9 Vgl. LÄNGLE, (1992) Seite 16

18 CPM - CRITICAL PATH METHOD SEITE 18 nach: P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 FZ von: P 1 **** von: P 2 **** **** von: P 3 **** **** **** von: P 4 **** **** **** **** von: P 5 **** **** **** **** **** von: P 6 **** **** **** **** **** **** von: P 7 **** **** **** **** **** **** **** von: P 8 **** **** **** **** **** **** **** **** 8 16 von: P 9 **** **** **** **** **** **** **** **** **** 24 SZ Abb.10: Netzplanmatrix zu Beispiel 2 mit frühesten und spätesten Zeiten b) Berechnung der spätesten Zeitpunkte mit Hilfe der Netzplanmatrix Die spätesten Zeitpunkte der Ereignisse werden in einer Ergebniszeile am unteren Rand der Matrix eingetragen (siehe Abb.10). Die Ereignisse werden nun in umgekehrter Reihenfolge, also von rechts unten nend abgearbeitet; vorher wird für das Zielereignis P n der spätest mögliche Zeitpunkt SZ n = FZ n gesetzt. Die Eintragungen der i-ten Zeile bezeichnen jene Vorgänge, die vom Ereignis P i ausgehen. Für einen solchen Vorgang V(i, j) errechnet man SZ i durch Subtraktion der Vorgangszeit D ij vom in der gleichen Spalte ersichtlichen spätestmöglichen Termin SZ j. Gibt es noch weitere Werte in der Zeile i, so ist die "Rückwärtsrechnung" für jeden Vorgang vorzunehmen. Der spätest erlaubte Zeitpunkt für das Ereignis P i ist dann der kleinste Wert. SZ i =min k { SZ D } k ik

19 CPM - CRITICAL PATH METHOD SEITE 19 *) Berechnen Sie die spätesten Zeitpunkte SZ für das gegebene Beispiel! SZ 9 = 24 SZ8 = 24 8 = 16 SZ7 = 16 2 = 14 SZ = = 22 { 14 5; 16 3} 9 SZ5 = min = { 9 1;14 4} 8 SZ4 = min = { 22 7; 9 3} 6 SZ3 = min = { 9 5; 8 6; 6 3} 2 SZ2 = min = SZ1 = 2 2 = 9 Die errechneten SZ i -Werte sind in der Ereigniszeile der Abb.10 eingetragen. Trägt man die errechneten FZ i - und SZ i -Werte in den gegebenen Netzplan ein, so erhält man folgende Abbildung: Abb.11: Netzplan zu Beispiel 2 mit frühesten und spätesten Ereigniszeiten

20 CPM - CRITICAL PATH METHOD SEITE PUFFERZEITEN Pufferzeiten sind Maße für die zeitliche Verschiebbarkeit eines Vorgangs. Aus der Kombination von Anfangs- und Endereignis eines Vorgangs in jeweils frühester und spätester Lage kann man vier Pufferzeiten unterscheiden. a) Gesamte Pufferzeit GP: ist die maximale Zeitspanne, um die ein Vorgang im günstigsten Fall verschoben werden kann (dann wenn alle Vorgänger frühestmöglich abgeschlossen werden und die Nachfolger zum spätestnotwendigen Zeitpunkt nen). Durch die Verschiebung eines Vorgangs um die gesamte Pufferzeit wird die Gesamtdauer des Projekts nicht verlängert, allerdings werden sowohl Vorgänger als auch Nachfolger in ihrer zeitlichen Lage beeinflußt. Ein Vorgang heißt kritisch, wenn seine gesamte Pufferzeit 0 ist. GP ij = SAZ ij - FAZ ij = SEZ ij - FEZ ij = SZ j -FZ i -D ij b) Freie Pufferzeit FP: gibt die höchstzulässige Verlängerung der Dauer eines Vorgangs (bzw. die maximale Zeitspanne, um die eine Vorgang verschoben werden kann) an, wenn sowohl die Vorgänger als auch die Nachfolger zum frühest möglichen Zeitpunkt nen sollen. Die Verschiebbarkeit eines Vorgangs wird somit unter der Prämisse ermittelt, daß alle Vorgänge zum frühest möglichen Termin nen (also ohne den frühesten Beginn irgend eines nachfolgenden Vorgangs hinauszuschieben). FP ij = FZ j - FEZ ij = FZ j - FZ i -D ij c) Freie Rückwärtspufferzeit FRP: ist die maximale Verschiebbarkeit eines Vorgangs unter der Voraussetzung, daß sowohl Vorgänger als auch Nachfolger zum spätest möglichen Zeitpunkt nen. Der Fall des spätest möglichen Beginns aller Vorgänge ist jedoch von geringer praktischer Bedeutung. FRP ij = SZ j - SZ i -D ij = SAZ ij -SZ i

21 CPM - CRITICAL PATH METHOD SEITE 21 d) Unabhängige Pufferzeit UP: gibt die Verlängerungsmöglichkeit eines Vorgangs im ungünstigsten Fall an (dann, wenn der Vorgänger zum spätest möglichen Zeitpunkt endet, der Nachfolger zum frühesten Zeitpunkt nen soll). Ihre Inanspruchnahme beeinflußt die Lage keines anderen Vorgangs. UP ij = max {0, FZ j - SZ i -D ij } Es gilt: UP FP GP ij ij ij UP FRP GP ij ij ij In der folgenden Abbildung sind die Pufferzeiten eines Vorgangs graphisch dargestellt. FZ SZ FZ SZ i D ij i j j GP ij D ij FP ij D ij FRPij D ij UP ij Abb.12: Pufferzeiten (GP, FP, FRP, UP)

22 CPM-KOSTENOPTIMIERUNG SEITE CPM-KOSTENOPTIMIERUNG Die Tatsache, daß die Durchführung eines Projekts Kosten verursacht, ist ein bisher unberücksichtigt gebliebener Aspekt. Eine vernünftige Planung und Kontrolle des Projektablaufs ist mit der Ermittlung der anfallenden Kosten und einer möglichen Kostenoptimierung verbunden. Ein paar Schlagworte in diesem Zusammenhang wären: Soll-Ist-Vergleich, Frühwarnung, Kostenprognose, Schwachstellenanalyse, Wirtschaftlichkeitskontrolle, usw DIREKTE KOSTEN Jene Projektkosten, die einem Vorgang unmittelbar zugeordnet werden können, bezeichnet man als "direkte Projektkosten" VORGANGSKOSTEN Bei der Kostenoptimierung wird von den Kosten für die Vorgänge ausgegangen. Zunächst wird untersucht, wie sich die Kosten verhalten, wenn die Dauer eines Vorgangs verkürzt wird. Eine Zeitreduktion wird im allgemeinen nicht ohne Einfluß auf die Kosten sein. In der Praxis können viele Vorgänge beschleunigt ausgeführt werden, was die Zeit reduziert, die Kosten allerdings erhöht 10. Wie hängen nun die Vorgangskosten von der Vorgangsdauer ab? 10 Vgl. STADLMANN, (1990) Seite 79

23 CPM-KOSTENOPTIMIERUNG SEITE 23 Grundsätzlich sind hier zwei Fälle zu unterscheiden: 1. Die Vorgangsdauern lassen sich nicht (auch nicht näherungsweise) stetig variieren (der Übergang vom Land-See-Weg zum Luftweg beim Transport ist z.b. ein solcher Fall). Hier sind bei der Verkürzung der Transport-(Vorgangs-)zeit keine Zwischenwerte möglich. In einem solchen Fall kann man natürlich auch nur einzelne, diskrete Kostenpunkte für die Beziehung zwischen Kosten und Dauer eines Vorgangs bestimmen Die Vorgangsdauer kann, wenigstens näherungsweise, stetig variieren. In diesem Fall läßt sich die Beziehung zwischen Kosten und Dauer durch eine stetige Kostenfunktion beschreiben. Die Kostenfunktion eines einzelnen Vorgangs wird, ohne hier auf produktions- und kostentheoretische Gesichtspunkte einzugehen, wenigstens tendenziell einen Verlauf haben wie sie in folgender Abbildung dargestellt ist 12. KC K KN D DC DN DM Abb.13: Vorgangskostenkurve 11 Vgl. BRUNNER, (1992) Seite Vgl. SCHWARZE, (1990) Seite 220

24 CPM-KOSTENOPTIMIERUNG SEITE 24 D... Dauer eines Vorgangs DC... minimale Dauer 13 DM... maximale Dauer DN... normale Dauer des Vorgangs, bei der üblicherweise die Kosten des Vorgangs am geringsten sind K... Kosten eines Vorgangs KC... Kosten eines Vorgangs bei minimaler Dauer KN... Kosten eines Vorgangs bei normaler Dauer Bei einer exakten Beschreibung der Vorgangskostenfunktion stößt man auf erhebliche Schwierigkeiten. Man kann sich jedoch hier durch eine lineare Approximation der Kostenfunktion helfen. Durch zwei Punkte der Kostenkurve wird die zwischen ihnen verlaufende Gerade bestimmt, wobei üblicherweise der aufsteigende Ast der Vorgangskostenfunktion vernachlässigt wird. Die Vorgangskosten nehmen für Normaldauer DN das absolute Minimum an und sind daher für Zeitdauern größer als DN uninteressant, da man für höhere Kosten eine kürzere Dauer erreichen kann. KC K KN D DC DN Abb.14: Lineare Approximation der Vorgangskostenkurve 13 In der Wirtschaft findet man auch die Bezeichnung "Zusammenbruchspunkt" (crash-point).

25 CPM-KOSTENOPTIMIERUNG SEITE 25 Der Anstieg k der linear angenäherten Kostenfunktion läßt sich wie folgt berechnen. k KC - KN = DN - DC Er gibt an, um wieviel sich die Kosten des Vorgangs erhöhen, wenn man die Vorgangsdauer um eine Zeiteinheit verkürzt. Diese Kosten werden häufig als Beschleunigungskosten bezeichnet. In der Praxis wird man die Beschleunigungskosten nicht immer in der angegebenen Form bestimmen können. Oft wird man sie aber dennoch schätzen können PROJEKTKOSTEN Eine Veränderung der Projektdauer bewirkt eine Veränderung der gesamten Projektkosten. Über die Beziehung zwischen Projektdauer und Projektkosten lassen sich jedoch keine eindeutigen Aussagen machen, wie das folgende einfache Beispiel zeigt. Das "Projekt" besteht nur aus den beiden hintereinander liegenden Vorgängen A und B, mit den in der folgender Abbildung dargestellten Kostenkurven. K K KC A Vorgang A Vorgang B KC B KN A D KN B D DC A DN A DC B DN B Abb.15: Vorgangskostenfunktionen

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