Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Stichwortverzeichis abhägig...8 bweichug... mittlere...7 iomialkoeffiziet...10 iomialverteilug...15, 24, 25 lockdiagramm...6 Ereigis...1 Elemetar-...1 etgegegesetztes...2 sicheres...1 umögliches...1 Ergebismege...1 Ergebisse...1 Erwartugswert...13 Häufigkeit...5 Häufigkeit... Formel...5 relative...5 Häufigkeitsverteilug... Darstellug...5 Kombiatorik...8 Quelleagabe VuW arth Ecarta Fisz Schwa Paetec Oldebourg Kreisdiagramm...6 Laplace...8 Mege... ild...2 Verküpfuge...2 Mittelwert...7 Modalwert...7 Permutatio...9 Säulediagramm...6 Spaweite...7 Stabdiagramm...5 Stadardabweichug...8 Statistische Erhebuge...5 Strichliste...5 uabhägig...8 Urliste...5 Variaz...8 Variatio...9 Vediagramm...2 Wahrscheilichkeitsverteilug...13 Zetralwert...7 Weber, Grit: Stochastik; Volk ud Wisse Verlag GmbH erli 1992; 1. uflage ISN arth Microsoft Ecarta Ezyklopädie Microsoft Corporatio. lle Rechte vorbehalte. Fisz Schwa Themearbeitsheft für die Sekudarstufe I Stochastik; paetec Gesellschaft für ildug ud Techik mbh erli 1997; ISN ock H., Walsch W.: Mathematik Stochastik. 1. uflage Müche, R. Oldebourg Verlag GmbH 1993 ISN Iteret Galtorett Wahrscheilichkeitsrechug Eileitug Dieser Text ist etstade, um Schülerie ud Schüler der Jahrgagsstufe 12 die Wiederholug des Stoffs voragegageer Jahre zu erleichter. Nebe viele Übugsaufgabe fide sich auch Erkläruge zu wichtige egriffe. lle agegebee Lösugswege sid lediglich Vorschläge zur Lösug der ufgabe. Dies ist Versio 1.7 des Textes mit Stad: 13. pril Der Text ist leider och uvollstädig ud wird im Laufe der Zeit ergäzt. Eie Versio im PDF-Format, die sich besoders gut für das Drucke eiget, fidet sich uter dem Eitrag Materialie für de Uterricht auf dem Sächsische Schulserver Frage zum Text, Hiweise auf Fehler oder Ähliches teile Sie mir bitte uter mit. Grudbegriffe lle mögliche Ergebisse ω eies Vorgags mit zufälligem Ergebis zusamme ergebe die Ergebismege. Ei Zufallsexperimet ka uterschiedliche Ergebismege habe, je ach dem uter welche Gesichtpukte es betrachtet wird. Oft iteressiert ma sich für das Eitrete bestimmter Ereigisse. Ereigisse sid ussage über die Ergebisse eies Vorgags. Sie werde als Teilmege vo Ergebisse otiert. 1. Es werde ei roter ud ei blauer Würfel geworfe. eschreibe Sie folgede Ereigisse, idem Sie alle mögliche ugepaare aufzähle, die für das etsprechede Ergebis güstig sid! Schreibe Sie dabei jeweils zuerst die ugezahl des rote Würfels! : eide Würfel zeige die gleiche ugezahl a. : Die ugezahl des rote Würfels ist ei Teiler der ugezahl des blaue Würfels. C: Die ugesumme ist eie Primzahl. D: Die ugesumme ist 6. E: Das kleiste gemeisame Vielfache der ugezahle ist größer als 9. F: Der größte gemeisame Teiler der ugezahle ist 3. Quelle: VuW Lösug: 2. xel, Werer, Thomas ud Paul wolle Tischteis spiele. Es sid aber ur 2 Kelle vorhade. Sie köe sich icht eiige, wer zuerst spiele darf ud lose deshalb. a) Schreibe Sie die Ergebismege dieses Loses auf, idem Sie alle mögliche Paare aufstelle, wie das erste Match besetzt sei köte! b) eschreibe Sie die folgede Ereigisse! : Thomas spielt im erste Match. : Paul spielt icht zuerst. C: Thomas spielt zuerst ud Paul icht. Quelle: VuW Lösug: 3. eim "Mesch-ärgere-Dich-icht" darf ma mit seier Figur ur starte, we ma ierhalb vo drei Würfe eie 6 würfelt. Ma köte also ach de Folge 5-6 oder sei Steiche auf das Feld setze. Gebe Sie alle "erfolgreiche" Zahlefolge a! - Sichere Ereigisse werde durch de uchstabe selbst dargestellt, d. h. jedes mögliche Ergebis ist im sichere Ereigis ethalte. Umögliche Ereigisse ethalte kei mögliches Ergebis. Deshalb stellt ma sie durch die leere Mege Ø dar. Ereigisse, die geau ei Ergebis umfasse, heiße Elemetarereigisse. 4. Welche der folgede Ereigisse sid "umöglich", "sicher" bzw. "möglich, aber icht sicher"?

2 2 : us eier Ure, i der sich ur rote Kugel befide, wird eie rote Kugel gezoge. : Vo de 8 Familiemitglieder der Familie Kluge hat jedes a eiem adere Wochetag Geburtstag. C: Ei Würfel wird geworfe, ud die ugesumme ist kleier als 10. D: Die Schüler Ihrer Klasse köe sich so aufstelle, dass immer ei Mädche ebe eiem Juge steht. E: Ei Kid hat zwei Geschwister. F: Ei Kid hat Mutter ud Vater. G: Gebe Sie selbst eispiele für sichere ud für mögliche Ereigisse a!quelle: VuW - Lösug: K Zu jedem Ereigis gibt es ei etgegegesetztes Ereigis. Das Ereigis tritt ei, we icht eitritt. Eie Megedarstellug erhält ma, idem ma die Elemete des Ereigisses aus der Ergebismege streicht. 5. Nee Sie für folgede Ereigisse die etgegegesetzte Ereigisse! : I eier Familie mit 5 Kider gibt es midestes 3 Mädche. : eim Ziehe eier Kugel aus eier Ure mit 2 weiße, 3 schwarze ud 4 rote Kugel wird eie weiße Kugel gezoge. C: ei 3 Schüsse auf eie Zielscheibe werde 3 Treffer erzielt. D: ei 5 Schüsse auf eie Zielscheibe werde icht mehr als 2 Treffer erzielt. E: Das Eis kostet weiger als 4,-, aber mehr als 2,-. F: eim Roulette wird eie Zahl aus der mittlere Lägsreihe gezoge. G: I keiem dieser ücher gibt es weiger als 3 Druckfehler. H: Nadie hat eie ruder. I: Ich gewie immer dieses Spiel d) Ma beurteile das Verfahre, we 3 Kider um 1 große ud 2 kleie pfel lose.(zitat RTH S. 225 Nr. 15) 15. Eie Müze werde 5mal geworfe. Treffer sei das uftrete vo dler. Mit welcher Wahrscheilichkeit wird ei Ergebis a) midestes 4mal acheiader Treffer oder midestes 4mal acheiader Niete, b) midestes 3mal acheiader Treffer oder midestes 3mal acheiader Niete ethalte? (Zitat RTH S. 225 Nr. 17) 16. Ei Laplace-Würfel werde so lage geworfe, bis eie Sechs erscheit. a) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass die Sechs frühestes beim 4. mal auftritt?(zitat RTH S. 225 Nr. 19 teilweise) 17. a) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass dem erste Treffer geau k Nippte vorausgehe? Stelle die Wahrscheilichkeite für p=0,25 ud k=0,..,10 graphisch dar. b) Mit welcher Wahrscheilichkeit erscheit der 1. Treffer erst beim k-te Wurf oder och später? (Zitat RTH S. 225 Nr. 20) Megeverküpfuge Megebild (Vediagramm) Symboldarstellug Sprechweise = Ø Die Ereigisse ud sid uvereibar. ud köe icht gleichzeitig eitrete. Das Ereigis zieht ach sich. ist Teilereigis vo. Immer, we eitritt, tritt auch ei. ist das Gegeereigis vo. Das Gegeereigis tritt ei, we das Ereigis icht eitritt.

3 30 ßedes eispiel führt er aus, dass sich die Eisätze wie : : 12 verhalte müsse, we ma fair darauf wette wollte, dass bei 3 aufeiaderfolgede Würfe mit 3 Würfel jedes Mal weigstes ei Würfel die Eis zeigt. Weise die Richtigkeit beider ehauptuge ach.(zitat RTH S. 223 Nr. 3) 8. Zur Etscheidug eies Problems werde 5 Experte befragt, die sich uabhägig voeiader äußer. Jeder Experte beurteilt das Problem mit 80% Sicherheit richtig. a) Stelle das Experimet als eroulli-kette dar. Was bedeutet "Treffer beim i-te Versuch"? Wie groß sid die Läge ud der Parameter p? b) Mit welcher Wahrscheilichkeit urteile geau der erste ud der dritte Experte richtig, urteile alle Experte richtig, erhält ma kei richtiges Urteil, erhält ma weigstes ei richtiges Urteil? c) Wie viele Experte müsste ma midestes befrage, um mit mehr als 99% Sicherheit midestes ei richtiges Urteil zu erhalte. (Zitat RTH S. 223 Nr. 4) 9. Eie Persoemege ("evölkerug", "Populatio") bestehe zu 40% aus Fraue ud zu 60% aus Mäer. Es wird 5mal jemad ausgewählt ud otiert, ob es ei Ma oder eie Frau ist. (Stichprobe vom Umfag 5, mit zurücklege.) Mit welcher Wahrscheilichkeit erhält ma a) keie Ma, b) weigstes 1 Ma, c) geau 1 Ma, d) ur Mäer? (Zitat RTH S. 223 Nr. 5) 10. Ei Gerät besteht aus 10 austeie, die uabhägig voeiader mit der Wahrscheilichkeit p ordugsgemäß arbeite. Fällt auch ur ei austei aus, so ist das Gerät gestört. Wie groß muss p sei, damit das Gerät mit 90% Sicherheit arbeitet? (Zitat RTH S. 224 Nr. 7) 11. Ei elektroisches Gerät besteht aus 13 augruppe. Fällt auch ur eie davo aus, ist es ubrauchbar. Ma weiß, dass für jede augruppe die Wahrscheilichkeit, währed 1jährige etriebs auszufalle, 0,26% beträgt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass das Gerät im Laufe eies Jahres repariert werde muss? (Zitat RTH S. 224 Nr. 8) 12. Eie Maschie erzeugt Metallteile, 5% davo sid ubrauchbar. Wie viele Teile muss 9 ma weigstes ehme, damit ma mit midestes 50% Wahrscheilichkeit midestes ei defektes dabei hat? (eroulli-kette aehme!)(zitat RTH S. 224 Nr. 9) 13. Eie Stadt wird vo 4 Kraftwerke versorgt. Es sid 2 Wasser- ud 2 Dampfkraftwerke. ei Gewitter besteht für jede der 4 zugehörige Hochspaugsleituge eizel die Wahrscheilichkeit p, dass sie sich wege litzschlag automatisch abschaltet. Im Notfall köe 2 Kraftwerke die Stadt gerade och versorge; es muss jedoch ei Dampfkraftwerk dabeisei. a) Mit welcher Wahrscheilichkeit bricht bei Gewitter die Stromversorgug der Stadt zusamme? Ma zeiche diese Wahrscheilichkeit als Fuktio der "bschaltewahrscheilichkeit" p. Eiheit = 10 cm. Ma überzeuge sich durch Rechug davo, dass die gezeichete Fuktio mooto steigt. b) Ma zeiche die etsprechede Fuktio wie i a), we die Stadt vo 2 beliebige Kraftwerke gerade och versorgt werde ka. (Zitat RTH S. 224 Nr. 12) Kider lose um 4 Äpfel, 2 große ud 2 kleie. Sie werfe der Reihe ach eie Müze. Wer "dler" wirft, erhält eie große pfel, wer "Zahl" wirft, eie kleie, bis ur och große oder ur och kleie Äpfel da sid. a) Ist das Verfahre gerecht, d. h., hat jedes die gleiche ussicht, eie große pfel zu erhalte? b) Ist es für je 2 vo ihe gleich wahrscheilich, dass beide eie große pfel erhalte? c) Ist das Losverfahre gerecht, we es allgemei große ud kleie Äpfel ud 2 Kider sid? 3 \ ( ) ( ) oder tritt ei. Eies er Ereigisse oder beide trete ei. ud tritt ei. eide Ereigisse trete gleichzeitig ei. mius ( ohe ) tritt ei. tritt ei ud tritt icht ei. Etweder oder tritt ei. Geau eies der beide Ereigisse tritt ei. XOR Tabelle 1 6. Ei Versuch bestehe im eimalige Werfe eies Würfels. Dabei werde folgede Ereigisse betrachtet: : eie 6 wird gewürfelt, : eie ugerade Zahl wird gewürfelt, C: midestes eie 4 wird gewürfelt, D: höchstes eie 3 wird gewürfelt, E: eie 2 oder eie 4 wird gewürfelt. Veraschauliche Sie sich diese Sachverhalt mit eiem Vediagramm, ud beatworte Sie die folgede Frage! a) Welches ist das Gegeereigis zu C? b) Gibt es Ereigisse, die mit kei Elemet gemeisam habe? - 7. lässlich eier efragug wird aus de i eier Stadt lebede Ehepaare willkürlich ei Ehepaar ausgewählt. Folgede Ereigisse werde betrachtet: : Der Ehema ist älter als 40 Jahre. : Der Ehema ist älter als die Ehefrau. C: Die Ehefrau ist älter als 40 Jahre. eschreibe Sie die Ereigisse, ; C ud C mit Worte! 8. Es seie ud beliebige Ereigisse. Überlege Sie, uter welche ediguge die folgede eziehuge gelte: a) =, b) =, c) =, d) =

4 4 e) =! 9. Drei Pärche gehe zur Tazschule. Jeweils ach der Hälfte der Tazstude lässt der Tazlehrer das Los etscheide, welcher Juge mit welchem Mädche tazt, damit ma sich icht zu sehr auf seie Parter "eitazt". Usere Pärche wolle atürlich auch i der zweite Hälfte der Tazstude miteiader taze ud betrachte die Ereigisse 1, 2 bzw. 3, dass das Pärche 1, 2 bzw. 3 doch zufällig zusamme weiter taze ka, als Gewi. eschreibe Sie die folgede Ereigisse mit Worte: a) 1 2 3, b) 1 2 3, c) 1 2 3, d) 1 2 3, Habe die für die folgede Vorgäge jeweils zwei der agegebee Ereigisse gemeisame Elemete? a) Vorgag: Werfe eier Müze e) ( ) ( ) ( ) Ereigisse: 1: Zahl liegt obe. 2: Wappe liegt obe. b) Vorgag: Werfe vo zwei Müze. Ereigisse: 1: Die erste Müze zeigt "Zahl". 2: Die zweite Müze zeigt "Wappe". 3: eide Müze zeige "Wappe". c) Vorgag: Zweimaliges Schieße auf eie Scheibe. Ereigisse: C l: Kei Treffer. C 2: Geau ei Treffer. C 3: Ei Treffer. C 4: Zwei Treffer. d) Vorgag: Ziehe vo zwei Karte aus eiem Skatspiel. Ereigisse: D l: Zwei Kreuz- oder zwei Pikkarte werde gezoge. D 2: Ei s wird gezoge. D 3: Eie Dame wird gezoge. 11. Ei Schüler möchte ohe zum Keime brige ud legt 4 Stück auf eie Teller uter eie feuchte Wattebausch. Es werde die folgede Ereigisse beobachtet: : Geau eie der 4 ohe keimt. : Midestes eie ohe keimt. C: Zwei oder mehr ohe keime. D: Geau zwei ohe keime. E: Geau drei ohe keime. F: lle vier ohe keime. eschreibe Sie die folgede Ereigisse mit Worte: a), b) C, c) D E F, d), e) C! 12. Es werde drei Maschie auf Fuktiostüchtigkeit überprüft. Es sei i das Ereigis "Die i-te Maschie ist defekt". Stelle Sie folgede Ereigisse durch eie Verküpfug der Ereigisse i dar: : lle drei Maschie sid defekt. : Keie Maschie ist defekt. C: Weigstes eie Maschie ist defekt. D: Weigstes eie Maschie ist itakt Weitere ufgabe 2. I eiem Wasserwerk werde regelmäßig Probe etomme ud auf das Vorhadesei vo Ihaltsstoffe utersucht. Ei wesetlicher Kewert für die Wasserqualität ist die Nitratkozetratio. Für sie ist ei Grezwert vo 50 mg/l gesetzlich festgelegt. Wird dieser Wert überschritte, so ist zu etscheide, ob Wasser i das öffetliche Trikwasseretz eigespeist werde ka oder ur i die rauchwasserversorgug. Der Gesetzgeber hat de Grezwert bewusst sehr iedrig agesetzt, um eie Gefährdug der evölkerug auszuschließe. Der Geuss des Wassers ist erst bei eier vielfache Überschreitug dieses Grezwertes kritisch. Im Wasserwerk ist bekat, dass drei Viertel der abgegebee Wassermege eie Nitratgehalt uterhalb des Grezwertes hat. Wir wolle die Situatio uter verschiedee Gesichtspukte betrachte ud ach tworte auf die folgede Frage suche: a) Es sid 20 Probe etomme. Mit welcher Wahrscheilichkeit ist diese Probegesamtheit repräsetativ, d.h. mit welcher Wahrscheilichkeit ist i 5 der Probe der Grezwert überschritte? b) Wie kommt ma zu der Iformatio, dass drei Viertel des Wassers eie Nitratkozetratio uterhalb des Grezwertes hat? c) Welche mathematisch begrüdbare Schlussfolgeruge hat ma zu ziehe, i eier 20 Eizelprobe umfassede Serie zeh Probe eie Nitratgehalt oberhalb des Grezwertes aufweise? (Quelle: Oldebourg S. 107) 3. Diverse ufgabe zur Zuverlässigkeit vo techische Systeme zum eispiel Reihe- ud Parallelschaltuge ab S. 40 Volk ud Wisse. (Zitat: Volk ud Wisse S. 42 ff) 4. I eier Ure befide sich Lose zweierlei rt, etwa Gewie (E) ud Niete (E ). Für die teile der beide Losarte gilt: p m m = = PE ( ) q = 1 p= 1 = PE ( ) ud. Die Lose müsse da jeweils wieder i die Ure zurückgelegt werde, damit die eizele Ziehuge voeiader uabhägig sid. Da ist z.. bei zweimaligem Ziehe die Gewiwahrscheilichkeit gegebe durch P(E) P(E)=p². (Zitat Schwa S. 189 Nr. 2.1.) 5. Ei Modell für eie eroulli-kette ist ei Glücksrad mit zwei Felder E ud E, das -mal gedreht wird; die Grase der Felder ist so eigerichtet, dass P(E )=p ud P(E )=1-p ist, z.. p = 0,15 ud q = 0,85.(Zitat Schwa S. 189 Nr. 2.2.) 6. Das aachsche Problem Ei Mathematiker trägt zwei Streichholzschachtel bei sich, vo dee jede ursprüglich Streichhölzer ethielt. Jedes Mal, we er sich eie Zigarette azüdet, wählt er eie Streichholzschachtel zufällig aus. Ma bereche die Wahrscheilichkeit dafür, dass bei evetueller uswahl eier bereits leere Schachtel i der adere Schachtel och r Streichhölzer vorhade sid, r = 0, 1,...,. 15 (Zitat Fisz S. 46 Nr. 14) 7. Gerolamo Cardao ( ) a) Cardao behauptet zu egi vo Kapitel XV seies Liber de ludo aleae (um 1564), dass sich bei eier faire Wette die Eisätze wie 1:(2-1) verhalte müßte, we ma darauf wette wollte, bei Würfe mit zwei Würfel jedes Mal eie gerade ugesumme zu erhalte. Was meist du dazu? b) Gege Ede desselbe Kapitels kommt Cardao zur Erketis, dass sich bei aufeiader folgede Versuche die Eisätze wie a:(b-a) verhalte müsse, we a die zahl der güstige Fälle ud b die zahl aller mögliche Fälle im Eizelversuch bedeute. ls abschlie- 15 Es ist azumerke, dass die zahl der verbleibede Streichhölzer icht Null sei sollte (r 0), da ja sost diese Schachtel zuerst leer gewese wäre ud icht die adere Schachtel. Vergleiche dazu auch.

5 5 E: Midestes zwei Maschie sid defekt. Gewiteil Wahrscheilichzahl uszahlug total math. uszahlu60miouszahlug Durchschitt F: Nicht mehr als eie Maschie ist defekt. I 10% 7,1511E , , ,94 0,43 6 Richtige + Superzahl ,00 G: Nur die erste Maschie ist defekt! II 8% 7,1511E , , ,58 4,29 6 Richtige , I eiem Saatorium beträgt der teil der Kurgäste mit Diabetes 40% ud der mit zu hohem III 5% 5,0058E , , ,29 30,03 5 Richtige + Zusatzzahl ,40 lutdruck 50%. 30% der Kurgäste habe keie der beide Krakheite. Wie groß ist der teil IV 13% 1,8450E , , , ,99 5 Richtige 2.705,20 derer, die beide Krakheite habe? V 2% 6,3073E , ,36 136, ,37 4 Richtige + Zusatzzahl 166, ei eier Reiheutersuchug werde viele Persoe auf Lugekrebs hi utersucht. Es iteressiere folgede Ereigisse: VI 10% 9,6862E , ,81 32, ,18 4 Richtige 40,60 VII 8% 2,1550E , ,45 20, ,47 3 Richtige + Zusatzzahl 24,30 VIII 44% 1,7650E , ,98 8, ,23 3 Richtige 10,00 : Die utersuchte Perso hat Lugekrebs. 9,7914E : Die utersuchte Perso ist Raucher. 100% ,01 eschreibe Sie die folgede Ereigisse verbal, ud schraffiere Sie jeweils i eiem Vediagramm die etsprechede Fläche! E(X) 0,40% ,70 0,32 E(x) 0, , ,00 a) usschüttug 52,04% b) Tabelle 5: c) d) e) ( ) ( ). 15. ei ergleute mit 10jähriger erufspraxis betrage der teil der a Silikose erkrakte Persoe 40%, der a rochitis erkrakte 70% ud der Persoe, die a beide Krakheite gleichzeitig leide müsse, 30%. (Silikose ist eie krakhafte Veräderug der Luge durch Quarzstaub.) Wie groß ist der teil der Persoe dieser Gruppe, die keie der beide Krakheite habe? Statistische Erhebuge Wird ei Zufallsexperimet sehr oft durchgeführt, da stabilisiere sich für jedes Ergebis die relative Häufigkeite für das uftrete dieses Ergebisses, sie pedel sich um eie bestimmte Wert ei. Der Wert, um de sich die relative Häufigkeite für ei Ergebis eipegel, et ma die Wahrscheilichkeit dieses Ergebisses. Darstellugsmöglichkeite für Häufigkeitsverteiluge eispiel: Lehrer Müller korrigiert die Mathearbeit seier Klasse ud otiert die Zesure i eier Urliste: Zesure z i {1, 2, 3, 4, 5, 6} mit 1 i 25 Strichliste: II IIIII II IIIII III IIII III I Tabelle mit absoluter ud relativer Häufigkeit 1 Zesure z H 25 (z) h 25 (z) 2/25 7/25 8/25 4/25 3/25 1/25 Stabdiagramm H 1 ( x) Es gilt: h ( x) =. ußerdem gilt auch H ( x) = ud h ( x) = 1. x x

6 Säulediagramm Kreisdiagramm relative Häufigkeit absolute Häufigkeit ,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Zesur Zesur ufgabe 50: Überleguge zum Spiel 6 aus 49 us ( ): Die Superzahl wird aus de zahle 0 bis 9 ermittelt ud ergibt zusamme mit 6 Richtige die Gewiklasse I. Die Superzahl etspricht der letzte Ziffer der auf der Spielquittug gedruckte, "Spiel 77" - bzw. "Super 6" Nummer. Die Zusatzzahl im Lotto wird ach Ziehug der 6 Gewizahle aus de restliche 43 Zahle ermittelt ud erlagt ur edeutug, falls ei Teilehmer 3, 4 oder 5 Richtige hat. Das Totalisatorprizip wird bei Lotto, der uswahl- ud der Ergebiswette agewadt. ei diese Lotterie ud Wette werde 50% der i Deutschlad getätigte Spieleisätze als Gewi a die Spielteilehmer ausgeschüttet % 24% 5% 10% 19% 14% Fazit us der Tabelle 5 ist zu etehme: ur 2% aller Spieler köe überhaupt mit eiem Gewi reche. diese 2% Gewier werde aber 50% der Eiahme verteilt. Daraus folgt, dass, we ma überhaupt gewit, ämlich E(x) = 0,375, mit eiem durchschittliche Gewi vo 18,75 reche ka. Isgesamt verliert ma freilich die Hälfte des Eisatzes. bbildug 5: Zahle im November 2008 lockdiagramm bbildug 6: Verteilug der Gewie

7 usführlichere Darstellug vo Lösuge zu ausgewählte ufgabe ufgabe : = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} C = { (1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (5, 2), (5, 6), (6, 1), (6, 5)} D = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} Siehe Tabelle E = {(2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 4), (6, 5)} F = { (3, 3), (3, 6), (6, 3)} ufgabe : X sei eie Zufallsgröße, die beschreibt wer im spielt: -xel, W-Werer, T-Thomas, P-Paul = {(, W), (, T), (, P), (W, T), (W, P), (T, P)} = {(, T), (W, T), (T, P)} = {(, W), (, T), (W, T)} C = {(, T), (W, T)} ufgabe : Stehe? für gewürfelte Werte vo 1 bis 5 ud 6 für 6, ka die Lösug L der erfolgreiche Ziehuge kurz so agegebe werde: L = {(6), (?, 6), (?,?, 6)}. Isgesamt ethält L: L = = 31 Elemete Die Problematik lässt sich leicht mit eiem aumdiagramm verdeutliche. L = { (6), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (1, 1, 6), (1, 2, 6), (1, 3, 6), (1, 4, 6), (1, 5, 6), (2, 1, 6), (2, 2, 6), (2, 3, 6), (2, 4, 6), (2, 5, 6), (3, 1, 6), (3, 2, 6), (3, 3, 6), (3, 4, 6), (3, 5, 6), C (4, 1, 6), (4, 2, 6), (4, 3, 6), (4, 4, 6), (4, 5, 6), (5, 1, 6), (5, 2, 6), (5, 3, 6), (5, 4, 6), (5, 5, 6)} D a\b Tabelle 4: kgv(a, b) E bbildug 4: Vediagramm Kegröße Mittelwert 100% 75% 50% 25% 0% Der durchschittlich erreichte Wert; im eispiel z = 3,08. llgemei gilt xi H ( x) x i x x = = h ( x) x = = 1. x Zetralwert Der Wert, der i der geordete Urliste geau i der Mitte steht 2 ; im eispiel: Urliste: Häufigster Wert oder Modalwert m Der Wert, desse absolute Häufigkeit am größte ist; hier m = 3. Spaweite Gibt die Itervallbreite a, aus dem die Werte stamme. Sie wird allerdigs vo de Extremwerte der Messgröße bestimmt; hier z Mi = 1 bis z Max = 6 Spaweite 5. Mittlere bweichug Verdeutlicht, iwiefer die Werte vom Mittelwert abweiche. ei der erechug der bweichug verachlässigt ma das Vorzeiche, d. h. ob der Wert größer oder kleier ist, ist icht vo elag. Zesure z i H 25 (z i) bweichug: z zi 2,08 1,08 0,08 0,92 1,92 2,92 Mittlere bweichug 3 z= z z i ; hier z = 0, Sollte der Zetralwert eier gerade zahl vo Werte bestimmt werde, immt ma de Mittelwert der beide mittlere Werte. 3 Wird als Mittelwert der bweichuge betrachtet ud i der Physik mit x bezeichet. ei der erechug des Mittelwertes ist die Häufigkeit des uftretes der Eizelwerte zu beachte. Mit adere Worte es ist der gewichtete Mittelwert zu bereche. Es ist immer ei positiver Wert. Gilt x = 0 so folgt daraus, dass alle Werte idetisch mit dem Mittelwert sid. Ist z.. beim Würfel immer ur die 3 gefalle, so ist der Mittelwert 3 ud die bweichug vom Mittelwert 0, die mittlere bweichug

8 8 Stadardabweichug ud Variaz 2 Die Variaz beschreibt die mittlere quadratische bweichug V ( z) = ( z zi ) der Werte. Sie gibt damit a, wie stark die Streuug der Werte ist. Die Stadardabweichug σ ist die Wurzel aus diesem Wert: z= V z. Zesure z i H 25 (z i) bweichug: ( ) 2 z z i 4,3264 1,1664 0,0064 0,8464 3,6864 8,5264 Hier ist V(z) = 1,5936 ud σ(z) = 1,2624. Je kleier die mittlere (lieare) bweichug bzw. die mittlere quadratische bweichug ud damit die Stadardabweichug ist, desto eger liege die Eizelwerte um das arithmetische Mittel dieser Eizelwerte herum. Sie streue also weiger. 16. ei der Dichtebestimmug vo Stahl fade Schülergruppe die folgede Messwerte (i g/cm³). Stelle Sie die Häufigkeitsverteilug grafisch dar, ud vergleiche Sie diese. Dichte 7,1 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,3 Häufigkeit Gruppe 1 Dichte 7,3 7,4 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 Häufigkeit Gruppe 2 Welche Schülergruppe hat sorgfältiger gearbeitet? Geügt es, die Mittelwerte zu vergleiche? Laplace-Versuche Im Folgede betrachte wir Zufallsexperimete, die edlich viele Ergebisse (usgäge) habe ud bei dee alle Ergebisse gleich wahrscheilich sid. Solche Experimete heiße LPLCE- Experimete. 17. Werde mehrere Versuche acheiader ausgeführt, so spricht ma vo eiem mehrstufige Zufallsexperimet bzw. eier Kette. We mehrfach acheiader gewürfelt wird, et ma die Versuche voeiader stochastisch uabhägig. Stochastisch abhägig wäre das Verteile vo Karte aus eiem Stapel. Erkläre Sie die egriffe abhägig ud uabhägig ahad vo adere eispiele. Wie ist das beim Ziehe aus eier Lostrommel mit sehr viele Lose? 18. Das Würfel mit eiem (mathematische) Würfel ist ei solcher Versuch. Nee Sie adere LPLCE-Experimete ud gebe Sie die Ergebismege a. ereche vo Wahrscheilichkeite ei eiem LPLCE-Experimete gilt für die Wahrscheilichkeit P(E) eies Ereigisses E: zahl der für E güstige Ergebisse E P(E) = = zahl der mögliche Ergebisse S Kombiatorik Um die zahl der güstige zu bestimme, ist es oft das eifachste, alle mögliche Ergebisse aufzuschreibe ud die Passede zu markiere. Oftmals hätte ma da viel zu tu. Die Kombiatorik diet dazu, für bestimmte Kategorie vo ufgabe scheller zum Ziel zu fide. Eie wichtige Uterscheidug ist die Reihefolge, i der Ereigisse auftrete Für das Durchlaufe der Stufe ergibt sich für jede Weg die Wahrscheilichkeit 1/2. Für die Wahrscheilichkeit, dass eie Kugel i das 2. Fach fällt, müsse wir zahl der Wege /2 reche. ufgabe 63: Die Wahrscheilichkeit für eie usfall: p=10-3. Die zahl der Triebwerke: =4 ud die Zufallsgröße: X zahl der ausgefallee Triebwerke ist biomialverteilt. lso ist P(X=3) = b(4, 10 - ³, 3) gesucht. ufgabe 64: Offesichtlich liegt dem Experimet ei iomialverteilug zugrude. X beschreibt eie Zufallsgröße, die agibt, wie viele defekte Glühlampe zu fide sid. p 1 = P(X>0) =25 = 1 - P(X=0) =25 = 1 b(25, 0.01, 0) = = p 2 = P(X=0) =15 = = p 2 > p 1 ufgabe 65: X beschreibt eie Zufallsgröße, die agibt, wie viele der Same aufgehe. Die ZG X ist biomialverteilt mit de Parameter =10, p=0,8. Kurz: X ~ b(10, 0.8, k). P(X>0) = 1 P(X=0) = 1 b(10, 0.8, 0) = 1 0, ufgabe 66: X beschreibt eie Zufallsgröße, die agibt, wie viele Teile usschuss i der uswahl vo 10 gefude werde. a) X ~ b(10, 0.05, k) P(X > 0) = 1 b(10,.05, 0) = = b) X ~ b(10, 0.1, k) P(X = 0) = b(10,.1, 0) = = c) X ~ b(10, 0.05, k) P(X > 1) = 1 b(10,.05, 0) b(10,.05, 1) = X ~ b(10, 0.1, k) P(X > 1) = b(10,.1, 0) + b(10,.1, 1)= ufgabe 67: X beschreibt eie Zufallsgröße, die agibt, wie viele Patiete erfolgreich operiert werde. X ~ b(5,.8, k) P(X 4) = b(5,.8, 4) = 0,737 Ob die Operatio auch beim füfte Patiete erfolgreich ist, ist uabhägig vo de voragegagee Operatioe. Deshalb hat auch dieser 80% Erfolgsaussichte. ufgabe 68: ufgabe : ufgabe : somit auch 0.

9 24 ufgabe 58: I eiem Lostopf würde ach dem Etehme vo Lose weiger Lose vorhade sei. Damit ädert sich die Wahrscheilichkeit für das Ziehe. Nur bei kostater Wahrscheilichkeit für das uftrete eies Eizelergebisses etsteht eie eroulli-kette. Sollte im Lostopf sehr viele Lose vorhade sei ud werde ur weige Lose etomme, uterscheide sich die Eizelwahrscheilichkeite jedoch kaum. Deshalb köte ma i diesem Fall überschlagsweise auch mit eroulli-kette reche. ufgabe 59: X sei die Zufallsgröße, die beschreibt, wa erstmals eie 6 auftritt. Gesucht ist da P(1 X 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1/6 + 5/6 1/6 + 5/6 5/6 1/6. Oftmals ist es aber der kürzere Recheweg, vom Gegeteil auszugehe. Die Wahrscheilichkeit bei 3 Würfe keie 6 zu erhalte ist P(X>3) = (5/6)³ ud damit P(1 X 3) = 1 P(X>3) = 1 (5/6)³ = 91/216. ufgabe 60: P({(r, r, w, w)}) = P({(w, w, r, r)}) = 3² 7²/10 4 P({(r, r, r, w)}) = 3³ 7/10 4 P({(r, r, r,?)}) = 3³ 10/10 4 = 3³/10³ X beschreibe die Häufigkeit des uftretes eier rote Kugel. P(X=2)= 14 b(4, 0.3, 2) = ufgabe 61: Offesichtlich ist ach eier iomialverteilug b(10, 1/3, k) gefragt. k b(10,1/3,k) 3,0000E , ,5000E , , ,0000E , , ,5000E , ,0000E , , ,0000E , , ,0000E ,6935E ufgabe 62: Galtobrett We die Kugel über Stufe falle, da ergebe sich isgesamt 2 Wege. ezoge auf die Skizze ud Fach aufgeschlüsselt auf die eizele Fächer ergebe sich die Werte der ebestehede Tabelle. Der mathematische zahl der Wege Zusammehag zwische zahl ud Fach besteht i der uswahl der Wege. Zum eispiel muss eie Kugel, die im Fach 2 liegt, 2 mal rechts ud 3 mal liks gerollt sei. Zum eispiel (r, r, l, l, l) oder (l, r, l, l, r) die uswahl vo 2 Positioe aus 5 beschreibt aber der iomialkoeffiziet b(,p,k) steht für die iomialverteilug b,p,k =b,p k = k p k 1 p 1 k. ber (,p,k) ist die kumulierte iomialverteilug, p,k =,p k = k i =0 b,p,i =b,p x k. 9 We die Reihefolge iteressiert, da bilde die Elemete ei Tupel. Wir schreibe Tupel i rude Klammer (...). Mit (a b c) beschreibt ma also ei 3-Tupel / Tripel aus de Elemete a, b ud c. We die Reihefolge icht iteressiert, da bilde die ausgewählte Elemete eie Mege. Wir schreibe diese Mege wie üblich i geschweifte Klammer {...}. {a b c} ist eie 3-elemetige Mege. Im erste eispiel sei die Reihefolge vo großer Wichtigkeit: Vier Sportler ehme am gleiche Wettkampf teil. Wie viele mögliche usgäge gibt es? Die Frage beatwortet ma schell durch folgede Überlegug: Es gibt Vier, die die Stelle des Siegers eiehme wolle. Zweiter köe da och Drei werde; Dritter och Zwei ud Letzter wird der Letzte ist doch klar. Isgesamt gibt es also: = 24 verschiedee Eiläufe. Das führt zur Permutatio. Eie ordug vo Elemete auf Positioe et ma Permutatio 4. Die zahl der Permutatioe ergibt sich da aus ( 1) ( 2) =!. 5 merkug: für das Produkt gibt es ählich zur Schreibweise mit dem Summezeiche z..: i die Produktschreibweise:! = i= 1 i Das ächste eispiel ist sehr ählich. Die Reihefolge ist immer och wichtig. cht Sportler ehme am gleiche Wettkampf teil. Wie viele Möglichkeite gibt es für die beste Drei? Die Frage beatworte wir aalog zur Vorhergehede: Es gibt cht, die die Stelle des Siegers eiehme wolle, Siebe köe da och Zweiter werde ud Sechs mache uter sich de Dritte aus. Isgesamt gibt es also = 8!/5! = 336 Möglichkeite. Solle aus Elemete acheiader k Elemete der Reihe ach ausgewählt werde, so gibt es! V k = ( 1) K ( k + 1) = Möglichkeite. Dies et ma Variatio 6 ohe ( k)! Wiederholug k merkug: V = i i= k+ 1 Was köte u ei eispiel für eie Variatio mit Wiederholug sei? Nu bleibe wir beim Sport: cht Zehkämpfer versuche de Sieg uter sich auszumache. Wir betrachte de Sieger i jedem der 10 Kämpfe. Wie viele verschiedee Möglichkeite gibt es? Die eatwortug der Frage fällt wieder leicht: im erste Kampf köte das jeder sei, im zweite Kampf köte das jeder sei usw. Isgesamt also = 8 10 Möglichkeite Jede mögliche ordug mit erücksichtigug der Reihefolge aus je k vo Elemete heißt k k Variatio ud berechet sich im Falle der mögliche Wiederholug der Elemete durch: V =. Nu stellt sich die Frage: Wer hat de u gewoe? 7 So lade wir bei de Kombiatioe. Jede mögliche ordug ohe erücksichtigug der Reihefolge aus je k vo Elemete heißt Kombiatio. Ohe Wiederholug der eizele Elemete ergibt sich: C k! = i= 1 k! k! = k 8 4 Es ist klar, dass sich da kei Elemet wiederhole ka ud das die Reihefolge vo edeutug ist. 5 Die mathematische Fuktio! (Fakultät) ist im GTR uter Math+PRoability zu fide. 6 Variatio k-ter Klasse vo verschiedee Elemete ohe Wiederholug 7 Ud die ka hier atürlich icht beatwortet werde. 8 Sprich über k. Schreibweise für de iomialkoeffiziete. GTR-Fuktio wieder im Math-Meü uter PRoability zu fide.

10 10 Da wir auf die Frage Wer hat de u gewoe? jede Gewier ur eimal aufzähle, habe wir bei 8 Teilehmer ud 3 Plätze isgesamt 8 3 = 8! 8 3! 3! = verschiedee Möglichkeite zu atworte. merkug: Nicht ohe Grud habe Variatio ud Kombiatio sehr ähliche Formel. Dadurch, dass Wiederholuge zugelasse werde, falle k! Möglichkeite weg. merkug: Der iomialkoeffiziet wird sehr häufig verwedet. Sehe Sie doch mal ach k dem iomische Satz oder dem PSCLsche Dreieck. Ud zum bschluss: Wer ware die Sieger der 10 Disziplie? Hier ist u die Widerholug zugelasse, de Eier ka ja i verschiedee Sportarte gewie (oder i alle). Die twort darauf fidet ma i der Kombiatio vo Elemete zur k-te Klasse mit Wiederholug: C k = k 1 k ufgabe zur Kombiatorik 19. ei eiem 5000 m-lauf sid 5 Läufer am Start. Wie viele Möglichkeite für de Zieleilauf gibt es? Quelle: VuW Lösug: K Persoe solle sich ametlich i eie Liste eitrage. Wieviel Eitragugsmöglichkeite gibt es? 21. Wieviel Wörter ka ma aus de 6 uchstabe a, b, e, f,, s bilde, we kei uchstabe doppelt vorkomme soll? (Der Si des Wortes ud die ussprachefähigkeit solle bei dieser Überlegug keie Rolle spiele.) 22. Ei rzt muss auf seier Hausbesuchstour 9 Patiete besuche. Wieviel Möglichkeite hat er für die Reihefolge der Krakebesuche? 23. Wieviel verschiedee füfstellige Zahle ka ma aus 5 Ziffer bilde, we keie Ziffer doppelt vorkomme soll? Wie ädert sich die zahl, we Ziffer auch mehrfach auftrete köe? (Hiweis: Überlege Sie, wieviel Möglichkeite es für jede eizele Stelle gibt!) 24. Für die deutsche utoummer (L - C 3718) wurde das folgede System etwickelt: Zuerst stehe 1 bis 3 uchstabe, die de Ort bzw. de Kreis bezeiche. Da folge 1 oder 2 uchstabe ud de bschluss bilde 1 bis 4 Ziffer. Wieviel verschiedee utoummer ka ma auf diese Weise i eiem bestimmte Kreis (bzw. i eiem bestimmte Ort) höchstes ausgebe? 25. Wieviel Möglichkeite gibt es, aus eier Ure mit 5 umerierte Kugel zwei Kugel acheiader herauszuehme, we die Kugel icht zwischedurch wieder zurückgelegt werde? 26. eim Sportuterricht, a dem 24 Schüler teilehme, solle 2 Schüler zum ufbaue der Turgeräte eigeteilt werde. Wie viele Möglichkeite stehe zur uswahl? 27. Wir sid auf der Rebah ud iteressiere us für die drei Erstplazierte uter 10 Pferde. a) Wieviel verschiedee Tips gibt es, we die Reihefolge, i der die Pferde durchs Ziel gehe, icht berücksichtigt wird? b) Wieviel verschiedee Tips sid es, we die Reihefolge doch berücksichtigt werde soll? 28. Ei roter, ei grüer ud ei blauer Würfel werde geworfe. Wieviel Möglichkeite gibt es für die 3 gewürfelte ugezahle? Wieviel davo zeige auf jedem Würfel eie adere ugezahl? 23 us eier Lotterie werde 5 Lose ohe zurücklege etomme. I der Ure liegt ei Hauptgewi vo 1000, 10 Trostpreise vo 10 ud 89 Niete. Gebe Sie die Wahrscheilichkeitsverteilug a. Hiweis: Die Lösug der ufgabe erfordert ei weig Geduld. Lösug: x i Gewi zahl der Wege Wahrsch. auf Pfad P(xi) ,0003% ,0142% ,2341% ,5084% ,2431% ,0003% ,0248% ,6242% ,79% ,43% ,13% ,00% Hiweise zur Lösug: die blaue Kugel steht für 1000 die gelbe Kugel für 10 die weiße Kugel für eie Niete zusammefassed werde i der zweite Spalte die Ergebisse aufgelistet ud die Farbe i der dritte Spalte des aumdiagrammes etspricht dem jeweils erreichte etrag. I der Tabelle ka abgelese werde, welchem etrag das eizele Ergebis zugeordet wird.

11 verschiedee Möglichkeite. P Vierer = , Ud wie halte es die Lottogesellschafte? mehr Lottozahle vom (12. KW) ,00 k P(X=k) ageommeer Gewi6 Richtige + Superzahl ubesetzt 6 7,15112E ,80 6 Richtige ,80 5 1,84499E ,60 5 Richtige + Zusatzzahl ,80 4 0, ,40 5 Richtige ,60 3 0, ,50 4 Richtige + Zusatzzahl ,00 2 0, ,00 4 Richtige ,40 1 0, ,00 3 Richtige + Zusatzzahl ,30 0 0, ,00 3 Richtige ,50 mit Zusatzzahl: ,20 6 1,16414E ,00 E_real(x) 46,82% 5 3,50405E ,80 4 0, ,00 3 0, ,30 2 0, ,00 1 0, ,00 E(X) 64,75% ufgabe 51: Ohe die eachtug vo Groß- ud Kleischreibug ud mit Eibeziehug vo Wiederholuge ergebe sich 44 5 Möglichkeite. Davo ist ur ei güstig: p = 1/44 5 ufgabe 52: Es befide sich midestes Karpfe im Teich. Vermutlich sid es Karpfe. Das ergibt sich aus dem Verhältis: x:1000 = 150:10. ufgabe 53: Vo ausgehed (der sei Hadzeiche ja weiß) ist der Etscheidede. P( gewit) = 1/3; P( gewit icht) = 2/3; P(uetschiede) = 1/3 ufgabe 54: P()=3/5 2/4=0,3 P()=p(rot) p(weiß)+p(weiß) p(rot)=2 p(weiß) p(rot)=2 3 2/(5 4)=0,6 P(C)=p(weiß) 1=0,6 P(D)=1 p(rot)=0, Für welche der folgede uswahle gibt es mehr Möglichkeite: - für die uswahl vo 2 Persoe aus eier Gruppe vo 8, oder - für die uswahl vo 6 Persoe aus eier Gruppe vo 8? 30. Wieviel Möglichkeite gibt es, 8 Türme so auf ei Schachbrett zu setze, dass kei Turm eie adere schlage ka. 31. eiem Volleyball-Wettkampf beteilige sich 16 Maschafte. Wieviel Spiele sid auszutrage, we jede Maschaft gege jede spiele soll? Wieviel Spiele sid es, we durchgägig ach dem k.o.-system gespielt wird, also ur der Meister ermittelt wird? 32. Eie Müze wird füfmal hitereiader geworfe. Nach jedem Wurf wird otiert, ob Zahl (Z) oder Wappe (W) obe liegt. ls Ergebis dieses Vorgags erhält ma eie Folge vo 5 Zeiche, z.. (ZZWZW). a) Wieviel derartige Folge sid überhaupt möglich? b) Wieviel Folge gibt es, i dee geau zweimal Z registriert wurde? 33. ei eier statistische Qualitätskotrolle wird aus eier Produktiosserie eie bestimmte zahl Erzeugisse ausgewählt ud utersucht. us dem Ergebis der Stichprobeutersuchug schließt ma da auf die Qualität der gaze Serie. Wieviel verschiedee Stichprobe gibt es bei eier Produktiosserie vo 100 Stück, we die Stichprobe aus 2 Stück besteht? 34. us eier Sedug vo 90 atterie werde zu eier Stichprobeprüfug 4 willkürlich herausgegriffe. Wieviel uswahlmöglichkeite gibt es? 35. Ei Versorgugsfahrzeug soll vo eiem Großhadelslager aus acheiader 6 verschiedee Verkaufsstelle afahre. Wieviel Möglichkeite eier Versorgugstour gibt es? 36. Wieviel verschiedee dreistreifige Flagge köe aus 7 Farbe zusammegestellt werde? (bbildug 1) 37. I eier Stadt möge es 5stellige Telefoummer gebe. a) Wieviel schlüsse köe i dieser Stadt isgesamt vergebe werde, we a der erste Stelle keie 0 stehe darf? b) Wieviel dieser schlüsse bestehe jeweils bbildug 1 ur aus verschiedee Ziffer? 38. Die Grudform bei der raille-lideschrift besteht aus eiem Rechteck, das aus 6 Pukte gebildet wird. Jeder uchstabe wird durch 1 bis 6 Pukte gebildet, vo dee jeder Das Lebe ist schö. a eie bestimmte Stelle des Schemas be- bbildug 2 setzt wird (ei- oder hochgedrückt; vgl. mit bbildug 2). Wieviel Zeiche ka ma auf diese rt ud Weise bilde? 39. Wieviel verschiedee Iitiale (z.. Karl Müller: K. M.) köe aus 2 uchstabe (aus 3 uchstabe) gebildet werde? 40. Wie lag muss ei lphabet sei, damit 1 Millio Mesche durch 3buchstabige Iitiale idetifiziert werde köe? (Vgl. Kurt Friedrich Nebel: K. F. N.) Kider stehe im Kreis ud spiele all. Wieviel verschiedee Strecke ka der all zurücklege, we eie Strecke de Weg vo Kid zu Kid darstellt? 13 ber ur falls keier der markierte Karpfe abhade gekomme ist.

12 Ei lphabet bestehe aus de uchstabe ud. Wieviel Wörter mit 4 uchstabe gibt es i diesem lphabet? ereche Sie auch die zahl der Wörter mit 8, 12 ud 16 uchstabe! 43. I eiem Krakehaus solle 16 Krakeschwester zu zweit zum Diest auf 8 Statioe eigeteilt werde. a) Wieviel Möglichkeite hat die Oberschwester für de Diestpla? b) Wieviel Möglichkeite verbleibe och, we die Krakeschwester Ia ud Kari auf gar keie Fall auf der Itesiv-Statio ud die Krakeschwester Sabie ud ke ubedigt auf der Woche-Statio arbeite wolle? 44. Sie habe sich vo eier 7stellige Telefoummer ur die erste ud die letzte Zahl merke köe. Dukel erier Sie sich auch och dara, dass außerdem die Ziffer 3, 4, 4, 6 ud 9 auftrate, aber die Reihefolge dieser 5 Ziffer i der Mitte wisse Sie icht mehr. Wieviel Telefogespräche müsste Sie maximal führe, um die richtige Telefoummer herauszufide? Schüler (8 Mädche ud 10 Juge) bewerbe sich i eiem etrieb für eie Feriejob. Der etrieb ka die Schüler für drei rbeite eisetze, ud zwar bei der erste rbeit 3 Mädche, bei der zweite 5 Juge ud bei der dritte 4 Mädche oder Juge. Wieviel Eistellugsmöglichkeite gibt es für de etrieb? 46. I eier Iteratswohug stehe 2 Dreibett- ud 1 Zweibettzimmer zur Verfügug. I die Wohug ziehe 8 Juge ei. Wieviel Möglichkeite der Zimmerbelegug gibt es? 47. Wieviel verschiedee Farbmuster ergebe sich (bbildug 3) we a) 8 verschiedefarbige Perle, b) 4 rote, 2 weiße ud 2 grüe Perle aeiadergereiht werde? 48. Füf Ehepaare habe eie Teisplatz gemietet. a) ls erstes soll ei gemischtes Doppel gespielt werde. bbildug 3 Wieviel Möglichkeite für die uswahl der erste vier Spieler gibt es? b) Gebe Sie auch die zahl der etsprechede Möglichkeite a, we gefordert wird, dass icht beide Parter eies Ehepaares im erste Match spiele (sowie we icht beide Parter eies Paares auf eier Seite spiele) dürfe? 49. Mit welcher Wahrscheilichkeit werde bei der ächste Ziehug im Lotto 6 aus 49 alle 6 Zahle gezoge, die Sie auf eiem Lotto-Schei akreuze würde? 50. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit bei eiem Tip eie 4-er (5-er, 3-er, 2-er, 1-er) zu habe? Lösug: K 51. Eie Schreibmaschie hat 44 Taste. Der kleie Felix tippt 5 verschiedee Taste auf gut Glück. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass er das Wort "Felix" tippt? (edeke Sie, dass die Reihefolge zu beachte ist!) 52. I eiem Teich befidet sich eie ubekate zahl vo Karpfe. Ma fägt Stück, kezeichet sie ud lässt sie wieder i de Teich zurück. Nach eiiger Zeit fägt ma 150 Karpfe ud stellt fest, dass uter ihe 10 markierte sid. Wieviel Karpfe befide sich midestes i diesem Teich? Wieviel Karpfe befide sich vermutlich i diesem Teich? 53. Das Kobelspiel "Schere-Stei-Papier" wird bestimmt durch gleichzeitiges Zeige bestimmter Hadzeiche vo 2 Leute. Dabei gewit. "Schere" gege "Papier", "Papier" gege "Stei", "Stei" gege "Schere". Zeige beide das gleiche Zeiche, edet die Rude uetschiede. Mit welcher Wahrscheilichkeit gewit Spieler bzw. gewit Spieler icht bzw. edet es uetschiede, we jeder Spieler willkürlich ei Zeiche zeigt? = ufgabe 46: Wie obe uswahl: 3 vo 8 ud 3 vo 5. Die verbleibede sid gezwuge das Doppelzimmer zu ehme =560 ufgabe 47: a) Permutatio: 8! b) Es werde 8 Perle ageordet 8! Davo sid aber 4 rot, d. h. 4! orduge sid gleich. ußerdem och weiße: 2! Ud grüe 2!. Isgesamt: 8! = 420 4!2!2! ufgabe 48: a) Gemischtes Doppel: =100 uswahl vo zwei Fraue ud zwei Mäer ohe beachte der Spielseite ud -parter. Mit uslosug der Spielparter ergebe sich doppelt so viele Möglichkeite (200). Sollte die Spielseite beachtet werde müsse, gibt es wiederum doppelt so viele Möglichkeite. b) Nicht beide Parter 12 : =30 uswahl vo zwei Fraue, da stehe ur och 3 Mäer zur Wahl. Wie obe würde das eachte des Spielparters oder der Spielseite jeweils zur Verdopplug führe. c) Nicht beide Parter auf eier Seite: =160 ufgabe 49: uswahl vo zwei Fraue, für die erste Frau gibt es 4 passede Parter. Ebeso für die zweite Frau. Kombiatio ohe Wiederholug ud Reihefolge: 49 1 = ud P Sechser = ufgabe 50: Siehe auch Hypergeometrische Verteilug N = 49 zahl der mögliche Ergebisse M = 6 zahl der güstige Ergebisse = 6 zahl der uswahl m = 4 zahl der aufgetretee güstige Ergebisse Isgesamt gibt es 49 6 Möglichkeite 6 aus 49 auszuwähle. ei eiem Vierer werde 4 vo 6 Güstige ud 2 vo 43 Ugüstige ausgewählt. Für eie Vierer gibt es also = Uter der Voraussetzug, dass weiterhi gemischte Doppel gespielt werde.

13 20 ufgabe 39: Variatio mit: 26² = 676; 26³ = ufgabe 40: Variatio mit: x³ > 10 6 x > 100 ufgabe 41: Die Formulierug der ufgabestellug schie für mache Schüler uklar zu sei. Gemeit ist, dass der all geau eimal vo eiem zu eiem adere Spieler geworfe wird. Dabei ist es icht wichtig, welcher der beide de all am fag hatte. Kombiatio ohe Reihefolge (uswahl vo 2 aus 9): 9 2 =36 ufgabe 42: 2 4 ; (2 8 ; 2 12 ; 2 16 ) ufgabe 43: Tabelle 2 Die 16 Schwester (hier mit CD usw. bezeichet) werde auf die 8 CD Statioe (1...8) vollstädig aufgeteilt. Isgesamt gibt es 16! Möglichkeite. CD Dabei werde aber pro Statio jeweils 2 Zeile als gleich agesehe. CE I der ebestehede Tabelle wird das Problem für 6 Schwester ud 3 CE Statioe asatzweise demostriert. I de per Permutatio produzierte 6! = 720 Zeile, sid pro Statio jeweils zwei als gleich azusehe. CF Selbstverstädlich lässt sich das auch auf 16 Schwester ud 8 Statioe CF übertrage. DC DC CD EF GH IJ KL MN OP DE CD EF GH IJ KL MN OP DE DC EF GH IJ KL MN OP DC EF GH IJ KL MN OP DF DF Deshalb ergibt sich als Gesamtzahl 16!/2 8. EC Ei aderer satz ist i folgeder Überlegug ethalte. Die Oberschwester EC ka für die erste Statio 2 vo 16 auswähle. Für Statio 2 sid es och 2 vo ED 14 Schwester usw.: 16 ED = 16! Zur Teilaufgabe b) EF CD Sabie ud ke auf der Woche-Statio, bedeutet, dass für die restliche EF DC Schwester ur och 7 Statioe zur Verfügug stehe. uf der Itesiv- Statio solle Ia ud Kari icht arbeite. Verteile wir u zuerst die verbleibede 12 Schwester auf die Itesivstatio (uswahl vo 2 aus 12) ud die weitere 6 Statioe auf (u wiederum mit I ud K) 12 Schwester, erhalte wir: = ! 2 7 ufgabe 44: Würde sich alle Ziffer uterscheide, da würde die Permutatio 5! zum Ziel führe. Da aber zwei Ziffer icht uterscheidbar sid, gibt es ur halb so viele Möglichkeite. 5! = 60 2 ufgabe 45: uswahl etspreched der ediguge: 3 vo 8 Mädche, 5 vo 10 Juge ud 4 vom Rest (10). 2 8 EF FE DF FD DE ED EF FE CF FC CE EC DF FD CF FC us eier Ure mit 3 weiße ud 2 rote Kugel werde ohe zurücklege, acheiader zwei Kugel etomme. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit der folgede Ereigisse : eide Kugel sid weiß. : Die Kugel sid verschiedefarbig. C: Die erste Kugel ist weiß. D: Die zweite Kugel ist rot. aumdiagramme Mehrstufige Zufallsexperimete lasse sich durch aumdiagramme veraschauliche. Da bei mehrstufige Zufallsexperimete die Wahrscheilichkeite der eizele Ergebisse zu ermittel sid ud zu jedem Ergebis geau ei Pfad im aumdiagramm existiert, et ma die vo us zu fidede Rechevorschrifte Pfadregel. Pfadregel sid Rechevorschrifte zum Ermittel vo Wahrscheilichkeite vo Ergebisse ud Ereigisse mehrstufiger (-stufiger, 2) Zufallsexperimete. Die Wahrscheilichkeite der Ergebisse i de eizele Stufe müsse bekat sei. 55. us eier Lotterie werde 5 Lose ohe zurücklege etomme. I der Ure liegt ei Hauptgewi vo 1000, 10 Trostpreise vo 10 ud 89 Niete. Gebe Sie die Wahrscheilichkeitsverteilug a. Lösug: K Hiweis: Die Lösug der ufgabe erfordert ei weig Geduld. Summe ud Produktregel Die Wahrscheilichkeite etlag eies Pfades multipliziere sich. Die Wahrscheilichkeite verschiedeer Wege (Pfade) addiere sich. Zufallsgröße Wahrscheilichkeitsverteilug Wird jedem Ergebis eies Zufallsexperimets geau eie reelle Zahl zugeordet, da et ma diese bbildug Zufallsgröße X (ZG). Eie Fuktio, die jeder dieser reelle Zahle - ausgehed vo der Wahrscheilichkeitsverteilug der Ergebisse des Zufallsexperimets - eie bestimmte Wahrscheilichkeit zuordet, heißt Wahrscheilichkeitsverteilug dieser Zufallsgröße P(X = x i). Erwartugswert Uter dem Erwartugswert eier Zufallsgröße versteht ma de zu erwartede Mittelwert der Werte dieser Zufallsgröße. Ma bestimmt de Erwartugswert E(X) eier Zufallsgröße X, idem ma jede mögliche Wert x 1, x 2,... x der Zufallsgöße mit der zugehörige Wahrscheilichkeit multipliziert ud diese Produkte addiert, d. h. E(X) = x 1 P(X = x 1) + x 2 P(X = x 2) x P(X = x ).

14 14 ERNOULLI-Experimete 9 Ei ERNOULLI-Versuch ist ei spezielles LPLCE-Experimet. Er hat ämlich ur zwei mögliche Ereigisse. So ist z.. das eimalige Würfel ei LPLCE-Experimet, aber och kei ERNOULLI-Experimet, de es köe ja sechs verschiedee Ergebisse betrachtet werde. Würde ma aber ur darauf achte, ob ei Sechs fällt oder icht, da hätte ma ur zwei mögliche usgäge ud somit ei ERNOULLI-Experimet. 56. Nee Sie adere ERNOULLI-Experimete. 57. I eier Ure liege eie rote ud drei schwarze Kugel. Ma zieht dreimal je eie Kugel. Treffer i sei das Ziehe der rote Kugel beim i-te Zug. Offebar ist sowohl beim Ziehe mit Zurücklege wie auch beim Ziehe ohe Zurücklege P( i) = ¼ für i = 1, 2, 3. Eie eroulli-kette liegt jedoch ur beim Ziehe mit Zurücklege vor. a) egrüde Sie die letzte ehauptug; idem Sie mit Hilfe eies aums die Wahrscheilichkeitsverteiluge für das Ziehe mit bzw. ohe Zurücklege erstelle. b) Zeige Sie, dass beim Ziehe ohe Zurücklege 1 ud 2 stochastisch abhägig sid. (Quelle: arth) ERNOULLI-Kette Wiederholt ma eie ERNOULLI-Versuch ei- oder mehrmals ud beeiflusst das Ergebis des eie Versuches icht das des adere Versuches, so etsteht eie ERNOULLI-Kette. 58. We wir mehrmals acheiader mit der Müze werfe 10, etsteht also eie ERNOULLI-Kette. Warum ist es keie solche Kette, we wir mehrmals aus eiem Lostopf ziehe ud otiere, ob ei Gewi erzielt wurde oder icht? Nee Sie weitere Experimete, die zur Etstehug (oder icht Etstehug) eier ERNOULLI-Kette führe. Lösug: K 59. eim Mesch-ärgere-dich-icht darf ma dreimal würfel. We dabei eie 6 gewürfelt wird, darf ma eie Figur auf das Spielfeld setze. Mit welcher Wahrscheilichkeit ka ma scho i der erste Rude starte? () 60. I eier Ure befide sich 3 rote ud 7 weiße Kugel. Viermal hitereiader wird folgeder Versuch durchgeführt: Es wird eie Kugel gezoge, die Farbe otiert ud schließlich wieder zurückgelegt. ereche Sie die Wahrscheilichkeite folgeder Ergebisse: a) Erst werde 2 rote, da 2 weiße Kugel gezoge. b) Erst werde 2 weiße, da 2 rote Kugel gezoge. c) Die erste 3 Kugel sid rot, die vierte ist weiß. d) Die erste 3 Kugel sid rot. e) 2 der 4 Kugel sid rot. () 61. ei eier Prüfug werde jedem Prüflig 10 Frage gestellt. Zu jeder Frage sid 3 tworte vorgegebe, vo dee aber ur eie richtig ist. Nehme wir a, ei Prüflig weiß überhaupt ichts ud tippt jedes Mal, ohe zu überlege, irgedeie twort. ereche Sie für jede mögliche zahl vo richtige tworte die etsprechede Wahrschei- 9 eroulli, Jakob ( ), Schweizer Mathematiker ud Physiker, gebore am 27. Dezember 1654 i asel. eroulli stammte aus eier bedeutede Gelehrtefamilie ud ahm auf Wusch seies Vaters das Studium der Theologie auf. Seie besodere ufmerksamkeit aber galt der Mathematik. Nach eedigug des Studiums lehrte er als Privatdozet im europäische uslad ud lerte dabei bedeutede Wisseschaftler seier Zeit kee erreichte ih die erufug zum Professor für Mathematik a der Uiversität asel. eroulli war eier der bedeutede Mathematiker des 17. Jahrhuderts. Gemeisam mit seiem ruder Joha eroulli schuf er grudlegede eiträge zur Theorie der Differetialgleichuge. Er erzielte wichtige Resultate auf dem Gebiet der Wahrscheilichkeitsrechug ud gab etscheidede stöße zur Etwicklug der Variatiosrechug wurde seie umfagreiche wisseschaftliche bhadluge als Gesamtwerk herausgegebe. Jakob eroulli starb am 16. ugust 1705 i asel. (Quelle: Ecarta) 10 Müzwurf hat immer ur zwei Ergebisse. uf dem Rad ka keie (mathematische) Müze stehe ufgabe 25: Variatio ohe: 5 4 = 20 ufgabe 26: Kombiatio ohe: / 2 = 276 ufgabe 27: a) Kombiatio ohe: 10 3 =120 b) Variatio ohe: = 720 ufgabe 28: Variatio mit: 6³ = 216 Kombiatio ohe: = 120 ufgabe 29: Kombiatio ohe: 8 2 = ufgabe 30: Permutatio: 8! = ufgabe 31: Kombiatio ohe: 16 2 = = 15 ufgabe 32: a) Variatio mit: 2 5 = 32 b) Uter dem Gesichtspukt, dass die Plätze ummeriert sid, ka ma sich das als uswahl vo zwei Plätze vorstelle (Kombiatio ohe): 5 2 =10 ufgabe 33: Kombiatio ohe: 4950 ufgabe 34: Kombiatio ohe: 90 4 = ufgabe 35: Permutatio: 6! = 720 ufgabe 36: Variatio ohe: 2 (7 6 5) = 420 ufgabe 37: ; ur verschiedee Ziffer: = ufgabe 38: Variatio mit: = 63 (mius 1, da midestes ei Pukt)

15 b) 62. lichkeit! Stelle Sie die Ergebisse im Streckediagramm dar ud diskutiere Sie darüber! () c) d) 63. e) f) siehe XOR: auschließliches ODER etweder die Perso hat Lugekrebs oder sie ist Raucher ufgabe : 20% ufgabe 19: Permutatio: 5! = 120 ufgabe 20: Permutatio: 10! = ufgabe 21: Permutatio: 6! = 720 ufgabe 22: Permutatio: 9! = ufgabe 23: Permutatio: 5! = 120 Variatio mit: 5 5 = 3125 ufgabe 24: Variatio mit (kombiiert): = Dabei etstehe 26² 10 4 uterschiedliche Nummerschilder mit geau zwei uchstabe ud Schilder mit geau eiem uchstabe. Mit adere Worte: ei der Nutzug vo 26 uchstabe a der erste Stelle, ka a der zweite Stelle och ei Leerzeiche (das 27. Zeiche im lphabet) geutzt werde. We Kezeiche wie L-0 icht auftrete ist die Lösug: (10 4-1) = lampe zu fide oder dass bei 15 zufällig ausgewählte Glühlampe alle i Ordug sid?(quelle: VuW - Lösug: K) 65. uf eier Tüte mit Saatgut steht, dass bei Eihaltug der Hiweise 80% der Same aufgehe werde. Mit welcher Wahrscheilichkeit wird weigstes eis vo 10 gesäte Samekörer aufgehe? () 66. Eiem Poste vo 100 Teile werde "auf gut Glück" 10 Teile zur Qualitätskotrolle etomme. Der Hersteller hat sich zu höchstes 5% usschuss verpflichtet. Der Poste wird abgeleht, we midestes ei defektes Teil i der Stichprobe ist. a) Mit welcher Wahrscheilichkeit wird der Poste abgeleht, we der vereibarte usschussateil gerade och eigehalte wird? b) Wie veräder sich die ebe berechete Wahrscheilichkeite, we der Poste i Wirklichkeit 10% defekte Teile ethält? c) Wie veräder sich die ebe berechete Wahrscheilichkeite, we der Poste höchstes ei defektes Teil ethalte darf, um ageomme zu werde? () 67. Eie Operatio habe 80% ussichte auf Erfolg. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass 4 der ächste 5 Patiete erfolgreich operiert werde? Wie groß ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass der füfte Patiet erfolgreich operiert wird, we die vier Patiete vor ihm eie erfolgreiche Operatio hatte? () 68. iomialverteilug muss och ergäzt werde

16 16 Lösuge zu de ufgabe gabe der Lösuge ufgabe 3: Stehe? für gewürfelte Werte vo 1 bis 5 ud 6 für 6, ka die Lösugsmege L der erfolgreiche Ziehuge kurz so agegebe werde: L = {(6), (?, 6), (?,?, 6)}. Isgesamt ethält L: L = = 31 Elemete ufgabe 4: : sicher : umöglich C: sicher D: möglich, aber icht sicher E: möglich, aber icht sicher F: je ach dem, vermutlich ist die sivollste twort: sicher ufgabe 5: : I eier Familie mit 5 Kider gibt es weiger als 3 Mädche. : eim Ziehe eier Kugel aus eier Ure mit 2 weiße, 3 schwarze ud 4 rote Kugel wird eie icht weiße Kugel gezoge. C: ei 3 Schüsse auf eie Zielscheibe werde weiger als 3 Treffer erzielt. D: ei 5 Schüsse auf eie Zielscheibe werde mehr als als 2 Treffer erzielt. E: Das Eis kostet mehr als 4,- oder weiger als 2,-. F: eim Roulette wird keie Zahl aus der mittlere Lägsreihe gezoge. G: I midestes eiem dieser ücher gibt es weiger als 3 Druckfehler. H: Nadie hat keie ruder. I: Ich gewie icht immer dieses Spiel. ufgabe 6: C = { 1,2,3 } ud E L ufgabe 7: : Der Ehema ist älter als 40 oder seie Frau jüger als er. : Der Ehema ist älter als 40 ud seie Frau jüger als er. C: Der Ehema oder seie Frau ist älter als 40. C: Der Ehema ud seie Frau sid älter als 40. ufgabe 8: a) = b) = Nur falls = Ø ud =. c) = d) = Nur falls = Ø ud =. e) = = ufgabe 9: a) Kei Pärche wechselt. b) Midestes ei Pärche ka weiter zusamme taze. c) Midestes ei Pärche wechselt. L 17 d) alle Pärche wechsel 11. e) Geau ei Pärche ka zusamme weitertaze. ufgabe 10: a) 1 2 = Ø b) 1 2 = {(z, w)}; 1 3 = Ø; 2 3 = {(w, w)} c) C 1 C 2 = Ø; C 1 C 3 = Ø; C 1 C 4 = Ø; C 2 C 3 = {geau ei Treffer}; C 2 C 4 = Ø; C 3 C 4 = {zwei Treffer} d) Kreuz-s ud adere Kreuz-Karte oder Pik-s ud adere Pik-Karte Kreuz-Dame ud adere Kreuz-Karte oder Pik-Dame ud adere Pik-Karte Dame ud s Kreuz-Dame ud Kreuz-s oder Pik-Dame ud Pik-s ufgabe 11: a) = {midestes eie ohe keimt} b) C = {midestes eie ohe keimt} c) D E F = {mehr als eie ohe keimt} d) = {geau eie ohe keimt} e) C = {zwei oder mehr ohe keime} ufgabe 12: : : C: = D: E: ( ) ( ) ( ) F: ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 2 3 ) G: ufgabe 13: 30% 50%?% 40% ufgabe 14: siehe Tabelle 1 a) 50% + 40% -?% = 100% - 30%?% = 20% 11 We midestes ei Pärche wechselt müsse selbstverstädlich zwei Pärche wechsel. Geau ei Pärche ka icht wechsel.

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Wahrscheinlichkeitsrechnung www.s.schule.de/~matheabi 1 Wahrscheilichkeitsrechug Eileitug Dieser Text ist etstade, um Schülerie ud Schüler der Jahrgagsstufe 12 die Wiederholug des Stoffs voragegageer Jahre zu erleichter. Nebe viele

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