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1 3. Deskriptive Statistik Ziel der deskriptiven (beschreibenden) Statistik (explorativen Datenanalyse) ist die übersichtliche Darstellung der wesentlichen in den erhobenen Daten enthaltene Informationen (Strukturen) Univariate Verteilungen Eindimensionale (univariate) Daten: Pro Objekt wird ein Merkmal durch Messung / Befragung/ Beobachtung erhoben. Resultat ist jeweils ein Wert (Mermalsausprägung) x i : - Länge eines Werkstücks, - Gehalt einer Person, - Güteklasse eines Produkts Zweidimensionale (bivariate) Daten: Pro Objekt werden zwei Merkmale erhoben: (Preis, Material) (Ausbildung, Gehalt) (Wohngegend, Wagentyp) Ausgangspunkt: sog. Urliste = Ergebnis der Registrierung der Beobachtungen (Mermalsausprägungen) (häufig Zahlenkodes) x 1, x 2,..., x n 1

2 Beispiel 1: benutzte Verkehrsmittel von 100 Urlaubern bei Auslandsreisen, 53 x Pkw, 29 x Flugzeug, 7 x Bahn, 9 x Bus, 2 x Sonstige Beispiel 2: Messwerte für einen technischen Parameter an 10 Werkstücken (geordnet) 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,17 1,17 1,18 Beispiel 3: 200 Messwerte in Klassen Klasse 125, , , , , , , , , , , , , ,5 2 Erster Schritt: Häufigkeit Bestimmung der absoluten Häufigkeiten für das Auftreten der verschiedenen Merkmalsausprägungen (bzw. Klassen) d.h. Erstellen einer Häufigkeitstabelle, Häufigkeitsverteilung (Verteilung) 2

3 Grafische Darstellung der Verteilung der Merkmalsausprägungen einer Variablen Balkendiagramm, ( -grafik, Säulendiagramm) zur Veranschaulichung absoluter Häufigkeiten, z.b: Darstellung der Ausprägungen auf der x-achse, Häufigkeiten auf der y-achse pro Ausprägung ein Balken, eine Säule, im Beispiel Darstellung von Kategorien: Balken getrennt günstig bei kategorialen Daten mit wenigen Kategorien Reihenfolge der Anordnung (auf der x-achse) spielt keine Rolle Korrekte Skalierung der Achsen! relative Häufigkeiten = absolute Häufigkeiten Gesamtanzahl der Beobachtungen nützlich beim Vergleich von Anteilen, günstig durch mehrere Kreisdiagramme oder gestapelte Balkendiagramme darstellbar absolute Häufigkeiten nicht mehr zu erkennen, keine Aussagen z.b. über Zunahme der abs. Häufigkeiten möglich 3

4 bei metrischen Daten u.u. Anzahl der Säulen bzw. Sektoren zu groß, da zu viele verschiedene Messwerte vorliegen Ausweg: Klasseneinteilung, Bildung von sog. Messwertklassen, Daten werden gruppiert, siehe Beispiel 3, dann grafische Darstellung durch Histogramm oftmals werden die Werte für die Klassenmitten verbunden (mind. ordinale Daten): Häufigkeitspolygon, liefert Information über die Form der Verteilung kumulative Häufigkeiten entstehen durch Aufsummieren der abs. Häufigkeiten, von links beginnend mindestens ordinale Daten erforderlich, Beispiel 3: Klasse 125, ,5 8 8 Häufigkeit kumulative Häufigkeiten 130, , =36 135, , =72 140, , = , , = , , = , , = Messwerte waren 150, 5 cm Bild der kumulativen Häufigkeiten ist das Summenpolygon bzw. die empirische Verteilungsfunktion für die kumulierten relativen Häufigkeiten 4

5 Kenngrößen eindimensionaler Verteilungen Charakterisierung von Verteilungen durch statistische Maßzahlen (Kenngrößen, Parameter), die die Eigenschaften (Zentrum, Ausbreitung, Form) der Verteilung widerspiegeln wichtigste Maßzahlen sind Lage- und Streuungsparameter Wichtig: Skalierungsniveau beachten Lageparameter: Der Modalwert = die am häufigsten auftretende Merkmalsausprägung = die Klasse (Klassenmitte) mit der größten Häufigkeit bei gruppierten Daten (Klassen) Mehrere Maxima: kein Modalwert Eigenschaften und Interpretation: Wert, der am ehesten zu beobachten ist (sprachl. Formulierungen wie: Diese Krankheit dauert normalerweise 3 Tage., Die Fahrzeit beträgt normalerweise 2 Stunden. ) unempfindlich gegenüber Ausreißern (extremen Werten) 5

6 Median mindestens ordinale Daten Median heißt jede Merkmalsausprägung a, für die gilt: i : x i a h i 1/2, i : x i a h i 1/2 oberhalb und unterhalb der Mediane befinden sich gleichviele Elemente der Stichprobe Bei metrischen Daten wird häufig der Mittelwert der Mediane als Median angegeben. Eigenschaften und Interpretation: zentraler Wert bei ordinalen Merkmalen unempfindlich gegenüber Ausreißern Minimaleigenschaft bez. absoluter Abweichungen (metrische Daten), jeder Median löst n i=1 x i z min Das arithmetische Mittel metrische Daten x = 1 n n i=1 x i = l j=1 a j h j Eigenschaften und Interpretation: Schwerpunkt der Verteilung, empfindlich gegenüber Ausreißern (vgl. Median), 6

7 Minimaleigenschaft bezüglich quadratischer Abweichungen: n i=1 hat die Lösung z = x (x i z) 2 min (Beweis: Übung). bei gruppierten Daten mit Klassenmitten x i und Klassenhäufigkeiten n i : x = 1 n k i=1 n i x i gewichtetes Mittel der Klassenmitten Beispiel 3: 200 Messwerte in Klassen Klasse Häufigkeit 125, , , , , , , , , , , , , ,5 2 Im Gegensatz zum Median kann das arithmetische Mittel bei gruppierten Daten mit offenen Randklassen nicht berechnet werden. 7

8 Streuungsparameter (Variabilitätsparameter) Maßzahlen zur Bewertung der Variabilität der Messwerte, der Breite einer Verteilung, der Abweichungen vom Mittelwert Ziel von Analysen: Zerlegung der Variabilität der Messwerte nach verschiedenen Ursachen (Faktoren, Fehler des Messgerätes usw.), Analyse der Wirkung des Zufalls Streuungsparameter für metrische Daten Spannweite: v = x max x min empirische Varianz: s 2 s 2 = 1 n 1 n i=1 (x i x) 2 = 1 ( n n 1 i=1 x 2 i n x 2 ) mittlere quadratische Abweichung 1 n 1 2 ( ) Dimension von s 2 : ist z.b. x i eine Konzentration, dann mg 2 /l 2 Eigentlich müsste durch n geteilt werden. Grund für die Division durch n 1 ist die Anwendung der so erhaltenen Größe in der schließenden Statistik. Standardabweichung s = s 2, gleiche Dimension wie x i. Variationskoeffizient v = s x 100% dimensionslos 8

9 Quartilsabstand Grundgedanke: Ähnlich der Spannweite (s.o.) wird die Spannweite der mittleren 50% der Werte berechnet. Unteres Quartil q 0.25 heißt jede Merkmalsausprägung a, für die gilt: i : x i a h i 1/4, i : x i a h i 3/4. Oberes Quartil q 0.75 heißt jede Merkmalsausprägung a, für die gilt: i : x i a h i 3/4, i : x i a h i 1/4. q 0.25 und q 0.75 sind i.a. nicht eindeutig bestimmt. Falls doch, dann heißt q 0.75 q 0.25 (empirischer) Quartilsabstand, Interquartilbereich, IQR. In Statistiksoftware sind unterschiedliche Interpolationsregeln für die Quartile realisiert. 9

10 Veranschaulichung von Median, Quartilen, IQR, Minimum, Maximum im Boxplot: Ausreißer (mit Fallnummer) maximale Zaunlänge = 1,5 Boxlänge oberes Quartil unteres Quartil Median kleinster Wert, der nicht als Ausreißer erkannt wird Beispiel: ALLBUS, Monatliches Haushalt-Nettoeinkommen (die ersten 300 Fälle, nur 178 haben geantwortet). 10

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