3 Integration auf Mannigfaltigkeiten

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1 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten 3.1 Der Differentialformenkalkül Definition X und Y seien differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension n bzw. m, Φ : X Y eine differenzierbare Abbildung. Dann wird jeder q-form ω Ω q (Y eine q-form Φ ω Ω q (X zugeordnet, durch (Φ ω x (v 1,..., v q := ω Φ(x (Φ,x v 1,..., Φ,x v q Satz Die Liftung Φ : Ω q (Y Ω q (X hat folgende Eigenschaften: 1. Φ ist R-linear. 2. Ist f eine C -Funktion auf Y und ω Ω q (Y, so ist Φ (f ω = (f Φ Φ (ω. 3. Ist f eine C -Funktion auf Y, so ist Φ (df = d(f Φ. 4. Ist ϕ Ω p (Y und ψ Ω q (Y, so ist Φ (ϕ ψ = (Φ ϕ (Φ ψ. Beweis: Die ersten beiden Eigenschaften folgen sofort aus der Definition, die dritte Eigenschaft haben wir am Ende von Abschnitt 1.4 bewiesen. Insbesondere ist Φ (dy i = dφ i, wenn in lokalen Koordinaten Φ = (Φ 1,..., Φ m ist. Sind ω 1,..., ω q Pfaffsche Formen auf Y, so ist (Φ ω 1 Φ ω q x (v 1,..., v q = = (Φ ω 1 x (v 1 (Φ ω q x (v q = (ω 1 Φ(x (Φ,x v 1 (ω q Φ(x (Φ,x v q = (ω 1 ω q Φ(x (Φ,x v 1,..., Φ,x v q. Daraus folgt, dass Φ (ω 1... ω q = (Φ ω 1... (Φ ω q und dann allgemein Φ (ϕ ψ = (Φ ϕ (Φ ψ ist.

2 2 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten Folgerung 1 Sei ϕ = (x 1,..., x n ein Koordinatensystem auf U X, ψ = (y 1,..., y m ein Koordinatensystem auf V Y, Φ(U V und Φ i := y i Φ für i = 1,..., m. Ist ω Ω q (Y und ω V = a i1...i q dy i1... dy iq, so ist 1 i 1 <...<i q n (Φ ω U = (a i1...i q Φ dφ i1... dφ iq. 1 i 1 <...<i q n Folgerung 2 Ist n = m, so gilt mit den Bezeichnungen von Folgerung 1: Φ (a dy 1... dy n = (a Φ ((det J ψ Φ ϕ 1 ϕ dx 1... dx n. Beweis: Es ist dφ 1... dφ n = = (... (Φ1 ϕ 1 xi1 ϕ ((Φ n ϕ 1 xin ϕ dx i1... dx in i 1 i 2 i n = sign(σ ( ( (Φ 1 ϕ 1 xσ(1 (Φn ϕ 1 xσ(n dx1... dx n σ S n = ( (det J ψ Φ ϕ 1 ϕ dx 1... dx n Satz Sei X eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Zu jeder offenen Teilmenge U X gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung d = d U : Ω q (U Ω q+1 (U mit folgenden Eigenschaften: 1. Ist f Ω (U eine Funktion, so ist df das schon bekannte Differential. 2. Ist ω Ω p (U und ϕ Ω q (U, so ist 3. Es ist stets ddω =. d(ω ϕ = dω ϕ + ( 1 p ω dϕ. Beweis: 1 Eindeutigkeit:

3 3.1 Der Differentialformenkalkül 3 Ist ω = dω = 1 i 1 <...<i q n = = 1 i 1 <...<i q n 1 i 1 <...<i q n 1 i 1 <...<i q n a i1...i q dx i1... dx iq, so folgt: d ( a i1...i q dx i1... dx iq ( dai1...i q dx i1... dx iq + a i1...i q d(dx i1... dx iq da i1...i q dx i1... dx iq, denn es ist d(dx i1... dx iq =, wie ein simpler Induktionsbeweis (unter Verwendung der Eigenschaften (1, (2 und (3 zeigt. Existenz: Wir definieren d durch die oben gewonnene Gleichung. Das ist möglich, wegen der eindeutig bestimmten Basisdarstellung der Differentialformen. Es ist klar, dass d dann linear ist, und dass df das Differential von f ist. Wir benutzen eine abgekürzte Schreibweise: Ist ω = a I dx I und ϕ = b J dx J, so ist d(ω ϕ = d(a I b J dx I dx J = d(a I b J dx I dx J = [ (da I b J + a I (db J ] dx I dx J = (da I dx I (b J dx J + db J (a I dx I dx J = dω ϕ + ( 1 p ω dϕ. Weiter gilt in lokalen Koordinaten ϕ = (x 1,..., x n : ( ( ddf = d (f ϕ 1 xi ϕ dx i i = i d ( (f ϕ 1 xi ϕ dx i = i,j ( (f ϕ 1 xi x j ϕ dx j dx i = j<i ( ((f ϕ 1 xi x j (f ϕ 1 xj x i ϕ dx j dx i =, wegen der Vertauschbarkeit der zweiten Ableitungen, und daher dd(a I dx I = d(da I dx I = dda I dx I da I d(dx I =.

4 4 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten Bemerkung: Definition: Ist V U offen und ω Ω q (U, so ergibt sich sofort aus der d(ω V = (dω V Satz Ist Φ : X Y eine differenzierbare Abbildung und ω Ω q (Y, so ist d(φ ω = Φ (dω. Beweis: In lokalen Koordinaten sei ω = a dy i1... dy iq. Dann ist d(φ ω = d ( (a Φ dφ i1... dφ iq = d(a Φ dφ i1... dφ iq + (a Φ d(dφ i1... dφ iq = Φ (da Φ (dy i1... Φ (dy iq = Φ (da dy i1... dy iq = Φ (dω Satz Φ : X Y und Ψ : Y Z seien differenzierbare Abbildungen, ω Ω q (W. Dann ist (Ψ Φ ω = Φ (Ψ ω. Beweis: ( (Ψ Φ ω (v x 1,..., v q = ( ω Ψ Φ(x (Ψ Φ,x v 1,..., (Ψ Φ,x v q = (Ψ ω Φ(x ( Φ,x v 1,..., Φ,x v q = ( Φ (Ψ ω x (v 1,..., v q Lemma von Poincaré Sei U R n offen und sternförmig bezüglich. Ist ω Ω q (U und dω =, so gibt es eine Differentialform ϕ Ω q 1 (U mit dϕ = ω. Beweis: Wir benutzen folgende Idee: Es gibt eine Abbildung I : Ω q (U Ω q 1 (U mit ω = I(dω + d(iω. Ist dann dω =, so ist ω = d(iω.

5 3.1 Der Differentialformenkalkül 5 Es reicht, Formen vom Typ ω = a dx i1... dx iq mit P i1...i q (x := ( 1 Iω := t q 1 a(tx dt P i1...i q (x, zu betrachten. Dann setzen wir q ( 1 j 1 x ij dx i1... dx ij... dx iq. j=1 Es ist d(p i1...i q (x = q dx i1... dx iq Damit folgt: Weiter ist x j a(tx = und D ν a(tx D j (tx ν = t D j a(tx. ν=1 ( 1 d(iω = d = = dω = ( 1 + ( 1 j=1 t q 1 a(tx dt P i1...i q (x ( 1 + ( 1 j=1 ( 1 + t q 1 a(tx dt dp i1...i q (x t q 1 a(tx dt dx j P i1...i x q (x j qt q 1 a(tx dt dx i1... dx iq t q D j a(tx dt dx j P i1...i q (x qt q 1 a(tx dt dx i1... dx iq. (D j a dx j dx i1... dx iq. j=1 Ist {j, i 1,..., i q } = {k 1,..., k q+1 } mit 1 k 1 <... < k q+1 n, so ist also dx j dx i1... dx iq = δ(j, i 1,..., i q dx k1... dx kq+1, Daraus folgt: P k1...k q+1 (x = x j dx i1... dx iq q + ( 1 ν x iν dx j dx i1... dx iν... dx iq. ν=1

6 6 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten I(dω = = + ( 1 j=1 j=1 ν=1 1 ( t q t q (D j a(tx dt x j dx i1... dx iq q ( 1 ( 1 ν t q (D j a(tx dt x iν dx j dx i1... dx iν... dx iq (D j a(txx j dt dx i1... dx iq j=1 ( 1 t q (D j a(tx dt dx j P i1...i q (x. j=1 Zusammen erhält man: d(iω + I(dω = 1 ( = qt q 1 a(tx + t q = + (D j a(txx j dt dx i1... dx iq j=1 ( 1 t q D j a(tx dt dx j P i1...i q (x j=1 j=1 1 ( 1 d dt ( t q a(tx t q (D j a(tx dt dx j P i1...i q (x dt dx i1... dx iq = ω. Definition Eine Differentialform ω vom Grad p heißt geschlossen, wenn dω = ist. Sie heißt exakt, wenn es eine Differentialform ϕ vom Grad p 1 mit dϕ = ω gibt Satz Auf einer Mannigfaltigkeit X ist jede exakte Differentialform geschlossen. Ist ω eine geschlossene Differentialform auf X, so gibt es zu jedem Punkt x X eine offene Umgebung U = U(x X, so dass ω U exakt ist. Der Beweis ist klar.

7 3.2 Orientierungen Orientierungen Definition Zwei geordnete Basen (a 1,..., a n, (b 1,..., b n eines n-dimensionalen Vektorraumes V heißen gleichorientiert, falls der durch T (a i = b i gegebene Automorphismus von V eine positive Determinante besitzt. Die Menge der geordneten Basen von V wird durch die Relation gleichorientiert in zwei Äquivalenzklassen zerlegt. Basen in zwei verschiedenen Klassen gehen durch einen Automorphismus mit negativer Determinante auseinander hervor. Die Äquivalenzklasse der geordneten Basis (a 1,..., a n bezeichnen wir mit [a 1,..., a n ]. Eine Orientierung von V ist durch die Auswahl einer geordneten Basis und damit durch die Auswahl einer der beiden Klassen gegeben. Definition Sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum. Mit Or(V bezeichnet man die Menge der beiden Äquivalenzklassen von geordneten Basen von V. Ihre Elemente bezeichnet man als die beiden Orientierungen von V. Ist β Or(V eine Orientierung von V, so nennt man die andere Orientierung die entgegengesetzte Orientierung und bezeichnet sie mit β. Weil (T a 1... (T a n = (det T a 1... a n ist, zeichnet jede Orientierung von V eine Halbgerade in dem 1-dimensionalen Raum n (V := A n (V aus, kann also durch einen nicht-verschwindenden n-vektor repräsentiert werden. Die Klasse [a 1,..., a n ] wird durch den n-vektor a 1... a n repräsentiert. Normalerweise kann keine der beiden Orientierungen ausgezeichnet werden. Der R n hat hier eine Sonderstellung inne. Eine Basis des R n heißt positiv orientiert, wenn sie in der Orientierungsklasse der (in natürlicher Weise geordneten Standardbasis (e 1,..., e n liegt. Die positive Orientierung des R n wird also durch den n-vektor e 1... e n repräsentiert. Zum Beispiel repräsentiert e 2 e 3 e 1 die positive Orientierung des R 3, e 2 e 1 e 3 aber die negative Orientierung Satz Ist V ein n-dimensionaler orientierter Vektorraum mit Skalarprodukt, so gibt es genau eine alternierende n-form Ω V, so dass Ω V (a 1,..., a n = 1 für jede positiv orientierte ON-Basis (a 1,..., a n von V ist.

8 8 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten Beweis: Wir wählen eine spezielle positiv orientierte ON-Basis (a 1,..., a n und die dazu duale Basis {α 1,..., α n }. Dann setzen wir Ω V := α 1... α n. Offensichtlich ist Ω V (a 1,..., a n = 1. Ist (b 1,..., b n eine andere (ebenfalls positiv orientierte ON-Basis, so geht sie aus (a 1,..., a n durch eine Transformation T mit det(t = 1 hervor (vgl. Lineare Algebra. Andererseits gilt allgemein: α 1... α n (T a 1,..., T a n = det(t α 1... α n (a 1,..., a n. Also ist auch Ω V (b 1,..., b n = 1. Definition Die n-form Ω V heißt die durch die Orientierung und das Skalarprodukt bestimmte Volumenform von V. Speziell wird die durch das euklidische Skalarprodukt und die positive Orientierung des R n bestimmte Volumenform als Determinantenform bezeichnet. Ist {ε 1,..., ε n } die duale Basis zur Standardbasis {e 1,..., e n } des R n, so ist = ε 1... ε n. Ist M eine (n, n-matrix mit den Zeilenvektoren x 1,..., x n, so ist (x 1,..., x n = det(m. Es sei weiterhin V ein n-dimensionaler orientierter R-Vektorraum mit Skalarprodukt. Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus zwischen V und V. Jedem Vektor a V wird die durch λ a (v = a, v bestimmte Linearform λ a V zugeordnet. Die Zuordnung hängt nur vom Skalarprodukt ab, die Orientierung spielt dabei keine Rolle. Das Skalarprodukt muss auch nicht unbedingt positiv definit sein. Es reicht, dass eine nicht entartete Bilinearform vorliegt (z.b. das Minkowski- Produkt im R 4 : x, y m := x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 x 4 y 4. Wir wollen nun den Raum A n 1 (V untersuchen. Dabei brauchen wir nicht nur das Skalarprodukt, sondern auch die Orientierung. Es sei A = {a 1,..., a n } eine positiv orientierte Orthonormalbasis und {α 1,..., α n } die zugehörige duale Basis. Eine Basis von A n 1 (V bilden die n (n-1-formen ω i := α 1... α i... α n, i = 1,..., n, wobei das Dach über α i bedeutet, dass dieser Faktor weggelassen werden soll. Man erhält also die Formen ω 1 = α 2... α n, ω 2 = α 1 α 3... α n,..., ω n = α 1... α n 1.

9 3.2 Orientierungen Satz (Die kanonische (n 1-Form zu einem Vektor Es gibt zu jedem Vektor v V genau eine (n 1-Form Λ v A n 1 (V, so dass gilt: ϕ Λ v = ϕ(v Ω V, für alle ϕ V. In Koordinaten: Ist {a 1,..., a n } eine positiv orientierte ON-Basis und {α 1,..., α n } die dazu duale Basis, sowie v = v 1 a v n a n, so ist Λ v = v i ( 1 i+1 α 1... α i... α n. i=1 Beweis: Der Eindeutigkeitsbeweis liefert auch gleich die Formel: Wenn es eine Form Λ v = c j ω j mit der geforderten Eigenschaft gibt, so muss für j=1 v = v 1 a v n a n gelten: Also ist dann Λ v = v i Ω V = α i (v Ω V = α i Λ v = c j α i α 1... α j... α n j=1 = c i ( 1 i+1 Ω V. v i ( 1 i+1 α 1... α i... α n. i=1 Da jede Linearform ϕ eine Linearkombination der α i ist, folgt ganz leicht, dass die so definierte Form Λ v die gewünschte Eigenschaft hat. Speziell gilt: Ist λ a die durch λ a (v = a, v gegebene Linearform, so ist λ a Λ v = a, v Ω V Beispiel Sei V = R 3. Wir benutzen das euklidische Skalarprodukt und als Orthonormalbasis die Basis {e 1, e 2, e 3 } der Einheitsvektoren. Ist a = (a 1, a 2, a 3 R 3, so ist λ a = a 1 ε 1 + a 2 ε 2 + a 3 ε 2 und Λ a = a 1 ε 2 ε 3 + a 2 ε 3 ε 1 + a 3 ε 1 ε 2.

10 1 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten Daraus folgt: Λ a (v, w = a 1 (v 2 w 3 v 3 w 2 + a 2 (v 3 w 1 v 1 w 3 + a 3 (v 1 w 2 v 2 w 1 = (v, w, a. Außerdem ist λ a Λ b = (a b Satz Sind v, w R 3, so gibt es genau einen Vektor v w R 3, so dass für alle Vektoren a R 3 gilt. (v w a = (v, w, a = Λ a (v, w Beweis: Durch a (v, w, a wird eine Linearform gegeben. Es muss also einen (eindeutig bestimmten Vektor z R 3 geben, so dass λ z (a = (v, w, a ist. Wir setzen dann v w := z. Man nennt v w das Vektorprodukt von v und w Satz (Eigenschaften des Vektorproduktes 1. v w = (v 2 w 3 v 3 w 2, v 3 w 1 v 1 w 3, v 1 w 2 v 2 w (v, w v w ist bilinear und alternierend. 3. v (v w = w (v w =. 4. Ist {a 1, a 2, a 3 } eine positiv orientierte ON-Basis des R 3, so gilt: a 1 a 2 = a 3, a 2 a 3 = a 1 und a 1 a 3 = a 2. Beweis: 1 Die Komponenten von v w sind die drei Zahlen (v w e i = Λ ei (v, w, i = 1, 2, 3. Dabei ist Λ e1 = ε 2 ε 3, Λ e2 = ε 3 ε 1 und Λ e3 = ε 1 ε 2. 2 ergibt sich aus den Eigenschaften der Determinantenform. 3 Es ist v (v w = (v, v, w = und analog auch w (v w = (w, v, w =. 4 Aus (2 ergibt sich, dass v w auf v und w senkrecht steht. Sei nun A = {a 1, a 2, a 3 } eine ON-Basis des R 3, also a i aj = δ ij. A ist genau dann positiv orientiert, wenn (a 1, a 2, a 3 > ist. Weil die a i die Zeilen einer Orthogonalmatrix bilden, muss dann sogar (a 1, a 2, a 3 = 1 gelten.

11 3.2 Orientierungen 11 Es muss a 1 a 2 = c 12 a 3 sein, mit einem geeigneten Faktor c 12 R. Dann ist c 12 = c 12 (a 3 a3 = (a 1 a 2 a 3 = (a 1, a 2, a 3 = 1. Die beiden anderen Fälle gehen genauso Satz λ a λ b = Λ a b. Beweis: Wir rechnen die Formel zu Fuß nach: ( 3 ( 3 λ a λ b = a i ε i b j ε j i=1 j=1 = a i b j ε i ε j i,j = (a 2 b 3 a 3 b 2 ε 2 ε 3 + (a 3 b 1 a 1 b 3 ε 3 ε 1 + (a 1 b 2 a 2 b 1 ε 1 ε 2 = Λ a b Satz ( v x v y 1. (v w (x y = det w x w y. 2. (v w u = (v u w (w u v. Beweis: 1 Es ist (v w (x y = Λ v w (x, y = (λ v λ w (x, y = λ v (x λ w (y λ w (x λ v (y = (v x (w y (w x (v y ( v x v y = det. w x w y 2 Sind v und w linear abhängig, so kommt auf beiden Seiten Null heraus. Seien also v und w linear unabhängig. Wendet man darauf das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren an, so erhält man eine ON-Basis {a, b} des von v und w aufgespannten Unterraums. Mit c := a b erhält man eine ON-Basis {a, b, c} des R 3, und es gibt Konstanten α, β, γ, ε und δ, so daß gilt: v = v a, w = α a + β b und u = γ a + ε b + δ c.

12 12 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten Außerdem ist ( a (a, b, c = (a b c = a b 2 a a b = det b a b b also c a = b und c b = a. Damit folgt: = 1, (v w u = ( v β c (γ a + ε b + δ c = ( v β (γ b ε a, sowie (v uw = ( v γ (α a + β b = ( v γα a + ( v β (γ b und (w uv = (αγ + βε ( v a = ( v γα a + ( v β (ε a. Zusammen ergibt das die gewünschte Formel. Definition Sei X eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Unter einer Orientierung µ von X versteht man die Wahl von Orientierungen µ x für jeden Tangentialraum T x (X, so dass es zu jedem Punkt x X eine offene Umgebung U = U(x X und differenzierbare Vektorfelder ξ 1,..., ξ n auf U gibt, so dass für alle x U gilt: [(ξ 1 x,..., (ξ n x ] = µ x. Eine Mannigfaltigkeit X heißt orientierbar, falls für X eine Orientierung gewählt werden kann. Definition Sei µ eine Orientierung auf X. Eine Karte (U, ϕ mit Koordinaten x 1,..., x n heißt positiv orientiert, falls für alle x U gilt: [ x ] x,..., = µ x. x 1 x n Satz Eine Mannigfaltigkeit ist genau dann orientierbar, wenn es einen Atlas für X gibt, bei dem alle Kartenwechsel orientierungserhaltend sind (also positive Funktionaldeterminante haben.

13 3.2 Orientierungen 13 Beweis: 1 Sei µ eine Orientierung von X. Man kann einen Atlas finden, der nur aus positiv orientierten Karten besteht. Da dann alle Karten (U, ϕ mit x U auf T x (X die gleiche Orientierung induzieren, müssen die Kartenwechsel positive Funktionaldeterminante haben. 2 Sei umgekehrt ein Atlas (U α, ϕ α von X gegeben, so dass det J ϕα ϕ 1 > auf β ϕ β (U α U β ist. Dann definieren alle Karten (U α, ϕ α mit x U α auf T x (X die gleiche Orientierung, die wir mit µ x bezeichnen. Durch µ : x µ x wird eine Orientierung auf X gegeben, denn auf jeder Kartenumgebung ist sie durch ein n-tupel differenzierbarer Vektorfelder festgelegt. Sei ω eine n-form auf X. Sei (U, ϕ eine Karte und ω ϕ = a ϕ dx 1... dx n. Es ist ω x = genau dann, wenn a ϕ (ϕ(x = ist. Diese Bedingung ist unabhängig von den Koordinaten. Wir schreiben dafür ω(x =. Ist f eine differenzierbare Funktion auf X, so wird durch (f ω x = f(x ω x eine n-form f ω auf X definiert. Dabei ist (f ω ϕ = (f ϕ 1 ω ϕ Satz Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit X ist genau dann orientierbar, wenn es auf X eine nirgends verschwindende stetige n-form gibt. Beweis: 1 Sei ω eine nirgends verschwindende n-form auf X, (U ι, ϕ ι ι I ein Atlas für X. Dann gibt es zu jedem ι I eine nirgends verschwindende stetige Funktion h ι auf B ι = ϕ ι (U ι R n, so dass (ω ι = h ι dx 1... dx n ist. Indem man notfalls die Koordinate x n durch x n ersetzt, kann man erreichen, dass stets h ι > auf B ι ist. Nun ist h κ dx 1... dx n = (ω κ = det(j ϕι ϕ 1ω κ ι = det(j ϕι ϕ 1 h κ ι dx 1... dx n. Also muss det(j ϕι ϕ 1 > sein, der Atlas ist orientiert. κ 2 Jetzt sei vorausgesetzt, dass X orientierbar ist, und (U ι, ϕ ι sei ein orientierter Atlas. Weiter sei (f ι ι I eine Teilung der Eins zur Überdeckung (U ι ι I. Für jedes ι I induziert dx 1... dx n eine n-form ω ι auf U ι. Auf U ι U κ ist ω ι = d ικ ω κ, mit d ικ = det(j ϕι ϕ 1 ϕ κ κ >. Die Form f ι ω ι ist eine n-form auf X mit Träger in U ι. Wir setzen ω := f ι ω ι. ι I Sei x X, I die endliche Menge aller ι I mit x Tr(f ι und ι I. Dann gilt:

14 14 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten (ω x = ι I f ι (x (ω ι x = ( f ι (xd ιι (x (ω ι x. ι I Weil f ι (x, ι I f ι (x = 1 und d ιι (x > ist, folgt: (ω x. Ist X zusammenhängend, so nennt man zwei nirgends verschwindende n-formen ω 1, ω 2 äquivalent, falls es eine überall positive stetige Funktion f auf X gibt, so dass ω 1 = f ω 2 ist. Eine Orientierung von X entspricht der Auswahl einer Äquivalenzklasse. Es ist relativ leicht, Beispiele von orientierbaren Mannigfaltigkeiten anzugeben. Schwieriger ist es, die Nicht-Orientierbarkeit einer Mannigfaltigkeit zu beweisen. Da hilft der folgende kleine Satz: Satz Sei X eine orientierbare Mannigfaltigkeit, (U, ϕ und (V, ψ zwei Karten. Sind U und V zusammenhängend, so kann det J ψ ϕ 1 auf ϕ(u V nirgends das Vorzeichen wechseln. Beweis: Sei µ eine Orientierung auf X. Die Koordinaten auf U bzw. V seien mit x 1,..., x n bzw. y 1,..., y n bezeichnet. Außerdem sei ξ ν := auf U und η ν := x ν y ν auf V. Weil U zusammenhängend ist, ist ( ξ 1 (x,..., ξ n (x entweder in jedem Punkt x U positiv orientiert oder in jedem Punkt negativ orientiert (denn ξ 1 (x... ξ n (x ist stetig und hat keine Nullstellen. Eine entsprechende Aussage gilt für V und die η µ. Sei f := sign det J ψ ϕ 1 auf ϕ(u V. Sind beide Karten positiv orientiert oder beide negativ orientiert, so ist f(x 1. Sind sie entgegengesetzt orientiert, so ist f(x 1. Auf jeden Fall ist f konstant Beispiele A. Wir wollen zeigen, dass die Sphäre S n 1 orientierbar ist. Auf dem R n sei eine (n 1-Form ω definiert durch (ω x := Λ x. Dann ist (ω x = x i ( 1 i+1 dx 1... dx i... dx n. i=1 Ist x S n 1 und (v 1,..., v n 1 eine Basis von T x (S n 1, so ist (x, v 1,..., v n 1 eine Basis des R n und daher

15 3.2 Orientierungen 15 (ω x (v 1,..., v n 1 = det ( x, v 1,..., v n 1. Also ist ω S n 1 orientierbar. eine nirgends verschwindende (n 1-Form und S n 1 damit B. Sei X = RP 2, mit den Karten ( y ϕ (x : y : z := x x, z ( x, ϕ 1 (x : y : z := y, z und ϕ 2 (x : y : z := y ( x z, y z. Die Definitionsbereiche U = {x }, U 1 = {y } und U 2 = {z } sind alle diffeomorph zum R 2 und damit zusammenhängend. ( 1 Es ist ϕ 1 ϕ 1 (s, t = ϕ 1 (1 : s : t = s s, t, also det J ϕ1 ϕ 1 (s, t = det ( 1/s 2 t/s 2 1/s = 1/s 3. Diese Funktion nimmt auf ϕ (U U 1 = {(s, t R 2 : s } zwei verschiedene Vorzeichen an. Also ist RP 2 nicht orientierbar. Sei X eine n-dimensionale orientierbare Mannigfaltigkeit und Y X eine k- dimensionale Untermannigfaltigkeit. Eine transversale oder äußere Orientierung von Y in y Y ist eine Orientierung auf (N X (Y y. Eine innere Orientierung von Y in y ist eine Orientierung auf T y (Y. Hat man auf X eine feste Orientierung gewählt, so bedingen sich innere und transversale Orientierung gegenseitig. Wie, das kann willkürlich festgelegt werden. Man hat sich auf folgende Konvention geeinigt: Sei {v 1,..., v n } eine Basis von T y (X, so dass die Restklassen v k+1,..., v n eine Basis von (N X (Y y = T y (X/T y (Y und die Vektoren v 1,..., v k eine Basis von T y (Y bilden. Die transversale Orientierung [v k+1,..., v n ] entspricht der inneren Orientierung [v 1,..., v k ], falls [v k+1,..., v n, v 1,..., v k ] die positive Orientierung von T x (X ist. Der Zusammenhang ist nicht spiegelungsinvariant. Kehrt man die Orientierung von X um, behält aber die von Y bei, so ändert sich die Richtung der transversalen Orientierung Satz Sei X eine orientierbare Mannigfaltigkeit und Y X eine Untermannigfaltigkeit. Ist N X (Y trivial, so ist auch Y orientierbar. Beweis: Sei dim(x = n und q := codim(y, X. Dann gibt es globale Schnitte ν 1,..., ν q Γ(Y, N X (Y, die das Normalenbündel in jedem Punkt y Y erzeugen. Sei ε : T (X Y N X (Y die kanonische Projektion. Es gibt eine offene Überdeckung (U α von Y in X und Schnitte Nα i Γ(U α, T (X mit ε(nα(y i = ν i (y

16 16 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten für y U α Y. Ist (e α eine Teilung der 1 zur Überdeckung (U α, so setzen wir N i := α e αn i α Y. Dann ist N i Γ(Y, T (X Y für i = 1,..., q, und ε(n i (y = α e α (yε(n i α(y = α e α (yν i (y = ν i (y. Sei ω eine nirgends verschwindende n-form auf X. Dann sei die (n q-form ω auf Y definiert durch (ω y (v 1,..., v n q := ω y (N 1 (y,..., N q (y, v 1,..., v n q. Offensichtlich ist dies eine nirgends verschwindende differenzierbare (n q-form auf Y : Damit ist Y orientierbar. Ein Spezialfall ist die folgende Situation: Sei B R n eine zusammenhängende offene Menge, f : B R eine differenzierbare Funktion, c R und Y := f 1 (c. Ist f(x für alle x Y, so ist Y eine orientierbare Untermannigfaltigkeit. Das Gradientenfeld von f definiert ein nirgends verschwindendes Normalenfeld auf Y. Das liefert z.b. auch eine Orientierung auf S n 1. Sei X eine beliebige n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit,. X := Or(T x (X, p : X X die kanonische Projektion. x X Ist (U, ϕ eine Karte für X, so induziert ϕ auf jedem Tangentialraum T x (X, x U, eine Orientierung µ x (ϕ. Sei Ũ := {(x, µ x (ϕ : x U} und ϕ := ϕ p : Ũ Rn. Offensichtlich bildet ϕ die Menge Ũ bijektiv auf die offene Menge ϕ(u Rn ab, und die Menge solcher Ũ überdeckt X (denn zu jeder Karte gibt es eine entsprechende mit entgegengesetzter Orientierung. Seien nun zwei Karten (Ũ, ϕ und (Ṽ, ψ gegeben. Ist (x, µ Ũ Ṽ, so ist µ x (ϕ = µ = µ x (ψ, d.h., die Karten ϕ und ψ sind in x gleichorientiert, es ist det J ϕ ψ 1(ψ(x >. Dann gibt es eine offene Umgebung W = W (ψ(x ψ(u V, auf der det J ϕ ψ 1 > ist. Also ist µ x (ϕ = µ x (ψ für x ψ 1 (W. Damit liegt W auch in ψ(ũ Ṽ, und diese Menge ist offen. Außerdem ist ϕ ψ 1 = ϕ ψ 1 auf ψ(ũ Ṽ. Man erhält eine Mannigfaltigkeitsstruktur auf X. Die Hausdorff-Eigenschaft zeigt man ähnlich wie bei den Vektorbündeln, das zweite Abzählbarkeitsaxiom ist erfüllt. Außerdem ist p : X X eine zweiblättrige Überlagerung, zu jedem x X gibt es eine Umgebung U = U(x X, so dass p 1 (U diffeomorph zu U Z 2 ist. Man nennt X die Orientierungsüberlagerung von X.

17 3.2 Orientierungen Satz Eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit ist genau dann orientierbar, wenn X nicht zusammenhängend ist. Beweis: 1 Sei X orientierbar und ω eine nirgends verschwindende n-form auf X, wodurch eine Orientierung µ festgelegt wird. Dann induziert ω eine stetige Abbildung s : X X mit p s = id X, und s(x ist zusammenhängend. Die Abbildung s ist ein lokaler Homöomorphismus (denn wenn (U, ϕ eine positiv orientierte Karte ist, dann ist s(x = (x, µ x für x U, also s U = (p Ũ 1. Damit ist s offen. Sei nun (y ν eine Folge in s(x, die in X gegen einen Punkt y konvergiert, sowie x ν X mit s(x ν = y ν. Aus Stetigkeitsgründen konvergiert x ν = p s(x ν = p(y ν gegen p(y, und y ν = s(x ν gegen s p(y. Damit liegt y = s p(y in s(x, d.h., s(x ist abgeschlossen. Es folgt, dass s(x eine Zusammenhangskomponente von X ist. Weil s(u eins der beiden Blätter von p 1 (U ist, ist s(x X, also X nicht zusammenhängend. 2 Sei X nicht zusammenhängend, X1 X eine Zusammenhangskomponente. Dann ist p X1 : X 1 X ein Diffeomorphismus (denn p X1 ist eine Überlagerung, also p(x 1 = X, und diese Überlagerung ist einblättrig. Die Umkehrabbildung s : X X 1 X definiert wie folgt eine Orientierung auf X : Sei s(x = (x, µ x. Dann gibt es in x eine Karte ϕ, die die Orientierung µ x induziert. Wegen der Stetigkeit von s stimmen die durch ϕ bzw. s bestimmten Orientierungen in einer ganzen Umgebung überein. Der Wechsel zwischen zwei solchen Karten hat offensichtlich positive Funktionaldeterminante. Also ist X orientierbar.

18 18 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten 3.3 Integration Definition Sei B R n offen und ω = f dx 1... dx n ein stetige n-form mit kompaktem Träger auf B. Dann setzt man ω := f(x dx 1... dx n. B B Satz Sei Φ : U V ein Diffeomorphismus zwischen offenen Mengen im R n, ω eine n-form mit kompaktem Träger auf V. Dann ist Φ ω = sign det(j Φ ω. U V Beweis: Sei ω = f dy 1... dy n. Die Transformationsformel liefert: Φ ω = (f Φ det(j Φ dx 1... dx n u U = f(φ(x det J Φ (x dx U = sign det(j Φ f(φ(x det J Φ (x dx U = sign det(j Φ f(y dy V = sign det(j Φ ω. V Definition Es sei X eine n-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit, (U, ϕ eine positiv orientierte Karte und ω eine stetige n-form auf X mit kompaktem Träger in U. Dann setzen wir ω := (ϕ 1 ω. X ϕ(u Die Definition hängt nicht von der gewählten Karte ab. Ist (V, ψ eine weitere positiv orientierte Karte mit Tr(ω V, so ist

19 3.3 Integration 19 (ψ 1 ω = ψ(v = = (ψ 1 ω ψ(u V (ψ ϕ 1 (ψ 1 ω ϕ(u V (ϕ 1 ω = (ϕ 1 ω. ϕ(u V ϕ(u Es sei jetzt (U ι, ϕ ι ι I ein orientierter Atlas für X und (f ι ι I eine dazu passende Teilung der Eins. Definition Ist ω eine stetige n-form mit kompaktem Träger auf X, so setzen wir ω := f ι ω. X ι I X Wir müssen uns erst mal überlegen, dass diese Definition sinnvoll ist. 1 Nach Voraussetzung ist K := Tr(ω kompakt. Zu jedem x K gibt es eine offene Umgebung U = U(x, die nur für endlich viele ι den Träger von f ι trifft. Da man K mit endlich vielen solchen Umgebungen überdecken kann, ist die Summe in der Integraldefinition endlich. 2 Sei (V ν ν N ein weiterer (gleich-orientierter Atlas und (g ν ν N eine dazu passende Teilung der Eins. Dann ist f ι g ν = für fast alle (ι, ν, und es gilt: f ι ω = ( g ν fι ω = g ν f ι ω ι X ι X ν ι,ν X = ( f ι gν ω = g ν ω. ν X ι ν X Eigenschaften des Integrals Sei X eine orientierte Mannigfaltigkeit, sowie ω, ω 1 und ω 2 n-formen mit kompaktem Träger auf X: Dann gilt: 1. Sind c 1, c 2 R, so ist X (c 1ω 1 + c 2 ω 2 = c 1 X ω 1 + c 2 X ω Ist X die gleiche Mannigfaltigkeit mit entgegengesetzter Orientierung, so ist X ω = X ω. 3. Ist Φ : Y X ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus, so ist X ω = Y Φ ω.

20 2 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten Der Beweis ist trivial. Unter einer Nullmenge im R n verstehen wir eine Lebesgue-Nullmenge Satz Sei Q R n ein (achsenparalleler Quader. Eine beschränkte Funktion f : Q R ist genau dann (Riemann-integrierbar, wenn {x Q : f nicht stetig in x} eine Nullmenge ist. Beweis: Siehe Analysis 2. Eine beschränkte Menge M R n soll Integrationsbereich heißen, wenn ihr Rand eine Nullmenge ist. Jede beschränkte stetige Funktion auf M ist (Riemann- integrierbar (denn die Menge der Unstetigkeitsstellen der trivialen Fortsetzung von f ist in M enthalten Satz Sei U R n offen und K U kompakt. Dann gibt es einen kompakten Integrationsbereich M mit K M U. Beweis: Man überdecke K durch endlich viele offene Kugeln B 1,..., B N, deren abgeschlossene Hüllen in U enthalten sind. Dann kann man M := B 1... B N setzen Satz Sei U R n offen, A U eine Nullmenge und F : U R n eine differenzierbare Abbildung. Dann ist auch F(A eine Nullmenge. Beweis: Siehe Analysis Folgerung Ist U R m offen, m < n und F : U R n differenzierbar, so ist F(U eine Nullmenge im R n. Beweis: Sei Û := U {} R n und F : U R n m R n definiert durch F(x, x := F(x. Dann ist Û eine Nullmenge, F differenzierbar und F(Û = F(U. Die Behauptung folgt aus dem obigen Satz. Definition Sei X eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Eine Teilmenge N X heißt Nullmenge, falls ϕ(n U für jede Karte (U, ϕ eine Nullmenge im R n ist.

21 3.3 Integration 21 Wegen der obigen Ergebnisse ist die Definition nicht von gewählten Karten abhängig. Das Komplement einer Nullmenge ist dicht in X Satz Sei X eine n-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit. G 1,..., G k seien (offene Integrationsbereiche im R n, U 1,..., U k offene Mengen in X und ϕ i : G i X differenzierbare Abbildungen, so dass gilt: 1. U i = ϕ i (G i ist kompakt und U i ist eine Nullmenge, für i = 1,..., k. 2. ϕ i : G i U i ist ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus, für i = 1,..., k. 3. Für i j ist U i U j = U i U j. Dann ist X ω = k i=1 G i ϕ i ω für jede n-form ω auf X mit kompaktem Träger in U 1... U k. Zum Beweis setze man alle vorangegangenen Ergebnisse zusammen Beispiel Sei a > 1. Lässt man den Kreis (x 1 a 2 + x 2 3 = 1 um die x 3 -Achse rotieren, so entsteht ein Torus X, eine 2-dimensionale kompakte (und orientierbare Untermannigfaltigkeit des R 3. Der Torus kann parametrisiert werden durch ψ(u, v := ((a + cos v cos u, (a + cos v sin u, sin v. Dabei sei ψ auf Q := {(u, v R 2 : u 2π, v 2π} definiert. Dann ist ω = ψ ω für jede 2-Form ω auf X. X Sei etwa ω = x 1 dx 2 dx 3 x 2 dx 1 dx 3 + x 3 dx 1 dx 2 (worunter eigentlich die Einschränkung dieser Differentialform auf X zu verstehen ist. Dann ist ψ (dx 1 dx 2 = (a + cos v sin v du dv, Q ψ (dx 3 dx 1 = (a + cos v sin u cos v du dv und ψ (dx 2 dx 3 = (a + cos v cos u cos v du dv. also ψ ω = (a + cos v(1 + a cos v du dv

22 22 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten und X ω = denn es ist 2π 2π ( 2π cos v dv =, [ a(1 + cos 2 v + (1 + a 2 cos v ] du dv = 6π 2 a, 2π dv = 2π und 2π cos 2 v dv = π. Bemerkung: Es gibt auch eine Integrationstheorie für nichtorientierbare Mannigfaltigkeiten. Ist X eine beliebige Mannigfaltigkeit und p : X X die Orientierungsüberlagerung, sowie π : E X ein Vektorbündel, so verstehen wir unter einem axialen Schnitt in E eine Abbildung s : X E mit π s = p. Dadurch wird jedem Punkt x X und jeder Orientierung µ x in x ein Element s(µ x E x zugeordnet. Auf diese Weise kann man axiale (also orientierungsabhängige Differentialformen definieren. Ist (U, ϕ eine Karte für X und ω eine axiale n-form auf X, so definiert man die n-form ω ϕ auf U durch [ ] ω ϕ := ω,...,. x 1 x n Damit ist klar, wie eine axiale n-form mit Träger in einer Kartenumgebung zu integrieren ist. Da in der Transformationsformel nur der Betrag der Funktionaldeterminante zum Einsatz kommt, ist die Integraldefinition unabhängig von der Karte. Bei einer beliebigen axialen n-form benutzt man wie üblich eine Teilung der Eins. Ist X eine orientierbare Mannigfaltigkeit, so erhält man auf diese Weise ein orientierungsunabhängiges Integral. In der Literatur wird zu diesem Zweck oftmals der Begriff der Dichte eingeführt.

23 3.4 Der Satz von Stokes Der Satz von Stokes Es sei H n := {x = (x 1,..., x n R n : x n }. Dann ist H n = {(x 1,..., x n R n : x n = }. x n H n x 1,..., x n 1 Der Halbraum H n werde mit der Relativtopologie versehen. Definition Ein topologischer Raum X heißt topologische Mannigfaltigkeit mit Rand, falls gilt: 1. X ist ein Hausdorffraum und erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom. 2. Zu jedem Punkt x X gibt es eine Umgebung U = U(x X, eine offene Teilmenge W H n und eine topologische Abbildung ϕ : U W. Man spricht dann von einer Karte für X. Sei U H n offen. Eine Funktion f : U R heißt differenzierbar, falls es eine offene Menge W R n mit U W und eine differenzierbare Funktion f : W R gibt, so dass f U = f ist. Definition Sei X eine topologische Mannigfaltigkeit mit Rand. Zwei Karten (U, ϕ und (V, ψ für X heißen differenzierbar verträglich, falls ϕ ψ 1 : ψ(u V ϕ(u V differenzierbar ist. X heißt differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, falls es für X einen Atlas mit paarweise differenzierbar verträglichen Karten gibt. Ein Punkt a X heißt innerer Punkt von X, falls eine Karte (U, ϕ mit a U existiert, so dass ϕ(u eine offene Teilmenge des R n ist. Ist a kein innerer Punkt, so nennt man a einen Randpunkt von X. Es sei Int(X die Menge der inneren Punkte und bx die Menge der Randpunkte von X.

24 24 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten Satz Ist X eine Mannigfaltigkeit mit Rand, a Int(X und (U, ϕ eine Karte für X mit a U, so gibt es eine offene Umgebung W = W (a U, so dass ϕ(w offen im R n ist. Beweis: M := ϕ(u ist eine offene Umgebung von x := ϕ(a in H n, und ϕ 1 : M U ist eine differenzierbare Abbildung im oben definierten allgemeineren Sinne. Es gibt also eine offene Menge N R n mit M N und eine differenzierbare Abbildung ϱ : N X mit ϱ M = ϕ 1. Sei (V, ψ eine Karte für X mit a V und ψ(v offen im R n. Dann ist (ψ ϱ (ϕ ψ 1 = ψ (ϱ ϕ ψ 1 = ψ ψ 1 = id, also D(ψ ϱ(ϕ(x D(ϕ ψ 1 (ψ(x = id und damit D(ϕ ψ 1 (ψ(x invertierbar, für alle x U V. Nach dem Umkehrsatz gibt es offene Umgebungen P von ψ(a und Q von ϕ(a (jeweils im R n, so dass ϕ ψ 1 (P = Q ist. W := ψ 1 (P ist dann eine offene Umgebung von a in U V, so dass ϕ(w offen im R n ist. Der Satz zeigt, dass die Unterscheidung zwischen inneren Punkten und Randpunkten eindeutig ist Satz Ist X eine Mannigfaltigkeit mit Rand, so ist bx leer oder eine (n 1- dimensionale Mannigfaltigkeit. Insbesondere ist bbx =. Beweis: Ist x bx und (U, ϕ eine Karte für X, so liegt ϕ(x in H n. Insbesondere ist bx U = ϕ 1 ( H n ϕ(u. Sei π n : R n R n 1 die durch π n (x 1,..., x n := (x 1,..., x n 1 definierte Projektion. Dann ist π n ϕ : bx U R n 1 eine Karte für bx. Alle diese Karten ergeben einen Atlas für X. Wir nennen die betrachteten Karten angepasst Beispiele A. X := B r ( R n ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand, mit bx = B r (. B. Ist X eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, so ist X := X [, 1] eine (n + 1-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand. Dabei ist bx = ( X {} ( X {1}. Sei X eine Mannigfaltigkeit mit Rand und a bx. Mit C + (a bezeichnen wir die Menge der Paare (U, f mit folgenden Eigenschaften:

25 3.4 Der Satz von Stokes U ist eine Umgebung von a in X und f eine differenzierbare Funktion auf U. 2. f(a = und f(x für alle x U. Definition Ein Tangentialvektor v T a (X heißt positiv oder innerer Normalenvektor, falls v(f für jedes f C + (a gilt, und v(f > für wenigstens ein f C + (a Satz Sei X eine Mannigfaltigkeit mit Rand, a bx und (U, ϕ eine angepasste Karte für X in a. Sind die lokalen Koordinaten bezüglich ϕ mit x 1,..., x n bezeichnet und ist v ein positiver Tangentialvektor in a, so ist v = c ν mit c n >. x ν Beweis: 1 Sei ϕ(a = und W := ϕ(u H n. Ist f auf W und f( =, so ist f f(,...,, h f(,..., ( = lim. x n h + h 2 Sei g(x 1,..., x n 1 := f(x 1,..., x n 1,. Dann hat g im Nullpunkt ein lokales Minimum, und es ist g xν ( = für ν = 1,..., n 1. Ist v T (R n, v = c ν, so ist v(f = c n f xn (. Ist also v positiv, so x ν=1 ν muss c n > sein. Ist umgekehrt c n >, so ist allgemein v(f uns speziell v(x n = c n >, also v positiv. ν= Satz Sei X eine Mannigfaltigkeit mit Rand und a bx. Sind v 1, v 2 T a (X positiv, so gibt es ein λ > mit v 1 λv 2 T a (bx. Beweis: Man beschreibe beide Tangentialvektoren in lokalen Koordinaten, c n bzw d n sei jeweils der Koeffizient bei. Dann sind beide Zahlen >, und man x n kann ein λ > finden, so dass c n λd n = ist. Dann ist v 1 λv 2 Linearkombination von,...,, liegt also in T a (bx. x 1 x n 1 Sei N a (bx := T a (X/T a (bx und ε a : T a (X N a (bx die kanonische Projektion. Für zwei positive Tangentialvektoren v 1, v 2 T a (X gibt es ein λ >, so dass ε(v 1 = λ ε(v 2 ist. Die von einem positiven Tangentialvektor v induzierte

26 26 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten Orientierung [ε(v] von N a (bx ist demnach eindeutig bestimmt. Man orientiert nun bx transversal so, dass [ε(v] positiv orientiert ist. Ist ϕ eine angepasste positiv orientierte Karte mit Koordinaten x 1,..., x n, so ist / x n ein positiver Tangentialvektor. Nun gilt: Also ist [ x n, x 1,..., ] [ = ( 1 n,..., x n 1 x 1 [ ( 1 n ],..., x 1 x n 1 x n 1, ]. x n die innere Orientierung von bx, die der kanonischen transversalen Orientierung entspricht. Fortan sei bx immer so orientiert. Dies entspricht nur dann der Standard- Orientierung des R n 1, wenn n gerade ist (also z.b. im Falle n = 2. x 2 x 1 Orientierung des Randes Satz von Stokes Sei X eine orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand, j : bx X die natürliche Einbettung, ω eine (n 1-Form mit kompaktem Träger auf X. Dann ist j ω = dω. bx X Beweis: 1 Sei (U ι, ϕ ι ι I ein positiv orientierter angepasster Atlas, (ϱ ι ι I eine dazu passende Teilung der Eins. Dann ist ω = ι ω ι mit ω ι := ϱ ι ω, und es ist dω = ι dω ι und j ω = ι j ω ι. Gilt schon für jedes ι die Gleichung bx j ω ι = dω X ι, so ist j ω = j ω ι = dω ι = dω. bx ι I bx ι I X X Es genügt also, den Fall zu betrachten, dass es eine Karte (U, ϕ für X mit Tr ω U gibt. Sei ω = a i dx 1... dx i... dx n die Darstellung von ω bezüglich der i=1 Koordinaten x 1,..., x n zur Karte ϕ. Dann ist

27 3.4 Der Satz von Stokes 27 und (ϕ 1 ω = (a i ϕ 1 dx 1... dx i... dx n i=1 (ϕ 1 (dω = d ( (ϕ 1 ω = i=1 ( 1 i 1 (a i ϕ 1 x i dx 1... dx n. Schließlich sei noch Q = [a, b] n R n ein Quader mit Tr ( (ϕ 1 ω Q. 2 Fall (a: Es sei bx U =. Dann ist j ω = und X dω = = = = ϕ(u ϕ(u i=1 i=1 (ϕ 1 (dω bx ( 1 i 1 (a i ϕ 1 x i dx 1... dx n ( 1 i 1 (a i ϕ 1 dx 1... dx n Q x i b b ( 1 i 1 (a i ϕ 1... dx 1... dx n =. a x i i=1 a Das folgt aus dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung, da a i ϕ 1 auf Q verschwindet. Fall (b: Nun sei bx U. Dann ist ϕ(u H n und Es ist X dω = ( 1 i 1 i=1 und für i = 1,..., n 1 ist ϕ(u {x H n : x n = }. ϕ(u ϕ(u (a i ϕ 1 x i dx 1... dx n, (a i ϕ 1 x i dx 1... dx n =, das folgt mit dem gleichen Argument wie oben. Für i = n ist (a n ϕ 1 nur auf [, erklärt und x n (a n ϕ 1 (a n ϕ 1 dx 1... dx n = dx 1... dx n 1 dx n ϕ(u x n R n 1 [, x n = a n ϕ 1 (x 1,..., x n 1, dx 1... dx n 1, R n 1 also X dω = ( 1 n R n 1 a n ϕ 1 (x 1,..., x n 1, dx 1... dx n 1.

28 28 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten Ist ϕ := ϕ bx U : bx U H n ϕ(u die induzierte Karte für den Rand und J : H n H n die natürliche Einbettung, so ist und bx j ω = ϕ(bx U ( ϕ 1 (j ω = j ϕ 1 = ϕ 1 J ϕ(bx U (j ϕ 1 ω = ϕ(bx U (ϕ 1 J ω. Es ist { xi für i = 1,..., n 1, pr i J(x 1,..., x n 1 = pr i (x 1,..., x n 1, = für i = n. und damit { (j ϕ 1 dx i = (ϕ 1 J dx i = d(x i ϕ 1 dxi für i = 1,..., n 1, J = d(pr i J = für i = n. Daraus folgt: und (j ϕ 1 (dx 1... dx i... dx n = { dx1... dx n 1 falls i = n, sonst. (j ϕ 1 ω = a n ϕ 1 (x 1,..., x n 1, dx 1... dx n 1. Da sich definitionsgemäß die Orientierung von bx von der kanonischen Orientierung des R n 1 um den Faktor ( 1 n unterscheidet, folgt: j ω = ( 1 R n a n ϕ 1 (x 1,..., x n 1, dx 1... dx n 1. n 1 bx Damit ist alles gezeigt Folgerung Ist X eine orientierte n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand und ω eine (n 1-Form mit kompaktem Träger auf X, so ist dω =. X

29 3.4 Ergänzung: Überlagerungen 29 Ergänzung: Überlagerungen Definition Eine differenzierbare Abbildung p : X Y heißt differenzierbare Überlagerung, falls gilt: 1. X und Y sind zusammenhängende Mannigfaltigkeiten. 2. p ist surjektiv. 3. Zu jedem Punkt y Y gibt es eine zusammenhängende offene Umgebung V = V (y Y, so dass jede Zusammenhangskomponente von p 1 (V durch p diffeomorph auf V abgebildet wird Satz Ist p : X Y eine differenzierbare Überlagerung, so ist p offen und lokal diffeomorph. Alle Fasern p 1 (y haben die gleiche Kardinalität. Ist p zusätzlich injektiv, so ist p ein Diffeomorphismus. Beweis: 1 Ist x X und y := p(x, so gibt es eine offene Umgebung V = V (y, so dass die Zusammenhangskomponente U von x in p 1 (V diffeomorph auf V abgebildet wird. Also ist p lokal diffeomorph. 2 Ist M X offen, so ist M Vereinigung von offenen Teilmengen U ι, ι I, die diffeomorph auf offene Mengen V ι Y abgebildet werden. Dann ist p(m = ι V ι offen. Also ist p eine offene Abbildung. 3 Sei y Y. Dann gibt es eine offene Umgebung V = V (y Y, so dass für die Zerlegung p 1 (V = ι I U ι in Zusammenhangskomponenten gilt: Für jedes ι I ist p Uι : U ι V ein Diffeomorphismus. Es gibt also zu jedem ι I genau ein x ι U ι mit p(x ι = y. Damit ist durch ι x ι eine bijektive Abbildung von I auf p 1 (y gegeben. Also haben I und p 1 (y die gleiche Kardinalität. Das gilt für alle y V. Weil Y zusammenhängend ist, gilt es sogar für alle y Y. 4 Nach Voraussetzung ist p surjektiv. Ist p sogar injektiv und damit bijektiv, so folgt aus (1, dass p ein Diffeomorphismus ist Satz X und Y seien zusammenhängende Mannigfaltigkeiten, p : X Y eine eigentliche differenzierbare Abbildung. Ist p lokal diffeomorph, so ist p eine differenzierbare Überlagerung.

30 3 3 Integration auf Mannigfaltigkeiten Beweis: 1 Weil p lokal diffeomorph ist, ist p eine offene Abbildung. Sei A X abgeschlossen. Es soll gezeigt werden, dass auch p(a in Y abgeschlossen ist. Sei (y i eine Folge in p(a, die gegen ein y Y konvergiert, y i = p(x i mit x i A. Sei V eine kompakte Umgebung von y in Y. Für i i liege y i in V. Weil p nach Voraussetzung eigentlich ist, ist p 1 (V kompakt. Die Folge der Punkte x i, i i, besitzt eine konvergente Teilfolge (x ik, mit Grenzwert x p 1 (V. Weil A abgeschlossen ist, muss x in A liegen. Da p stetig ist, konvergiert y ik = p(x ik gegen p(x. Offensichtlich muss p(x = y sein, d.h. y liegt in p(a. 2 Weil p eine offene und abgeschlossene Abbildung ist, ist p(x offen und abgeschlossen in Y, also = Y. Damit ist p surjektiv. 3 Sei y Y beliebig vorgegeben. Zu jedem x p 1 (y gibt es eine offene Umgebung U = U(x X und eine offene Umgebung V = V (y, so dass p U : U V ein Diffeomorphismus ist. Dann ist U p 1 (y = {x}, also p 1 (y eine diskrete Teilmenge von X. Weil p eigentlich ist, ist p 1 (y zudem kompakt, also eine endliche Menge, etwa = {x 1,..., x k }. Zu jedem i gibt es eine Umgebung Ũi von x i, die diffeomorph auf eine Umgebung Ṽ von y abgebildet wird. Man kann annehmen, dass Ũi Ũj = für i j ist. Sei V := V 1... V k. Die Menge A := X \ (Ũ1... Ũk ist abgeschlossen in X, also ist auch p(a abgeschlossen in Y. Da y p(a ist, kann man V durch V \ p(a ersetzen, also annehmen, dass p 1 (V Ũ1... Ũk ist. Geht man noch zu der Zusammenhangskomponente von y in V über, so kann man erreichen, dass V zusammenhängend ist, V V i für alle i und immer noch p 1 (V Ũ1... Ũk ist. Sei U i := p 1 (V Ũi, für i = 1,..., k. Dann ist p 1 (V = U 1... U k. Es ist p Ui : U i V ein Diffeomorphismus und U i zusammenhängend. Also haben wir die Zerlegung von p 1 (V in Zusammenhangskomponenten gefunden. Damit ist p eine Überlagerung Lemma Sei p : X Y eine stetige Abbildung zwischen Hausdorffräumen und s : Y X ein stetiger Schnitt (mit p s = id Y. Dann ist s eigentlich. Beweis: Sei K X kompakt, y s 1 (K. Dann ist y = p s(y p(k. Da K in X abgeschlossen ist, ist s 1 (K abgeschlossen in Y. Und wie wir gezeigt haben, ist s 1 (K in der kompakten Menge p(k enthalten, muss also selbst kompakt sein. Das zeigt, dass s eigentlich ist.

31 3.4 Ergänzung: Überlagerungen Die universelle Eigenschaft des Faserproduktes Gegeben seien zwei differenzierbare Abbildungen f : E X und g : F X. Das Faserprodukt E X F ist gegeben durch E X F := {(x, y E F : f(x = g(y}. p 1 : E X F E und p 2 : E X F F seien die kanonischen Projektionen. Ist Z eine weitere Mannigfaltigkeit und sind ϕ : Z E und ψ : Z F zwei differenzierbare Abbildungen mit f ϕ = g ψ, so gibt es eine differenzierbare Abbildung F : Z E X F mit p 1 F = ϕ und p 2 F = ψ. Beweis: Trivial: Man setze F (z := (ϕ(z, ψ(z.