Datenanalyse aus einer unklassierten Häufigkeitstabelle

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1 Datenanalyse aus einer unklassierten Häufigkeitstabelle Worum geht es in diesem Modul? Häufigkeitstabelle Stabdiagramm Die empirische Verteilungsfunktion Quantile Worum geht es in diesem Modul? Nachdem gezeigt wurde, wie Daten in Form einer Urliste statistisch analysiert werden, soll in diesem Modul die Datenanalyse aus einer Häufigkeitstabelle ohne Klassierung gezeigt werden. Zunächst wird die Idee und der Aufbau der Häufigkeitstabelle erklärt. Es folgen die entsprechenden grafischen Darstellungen einer Häufigkeitstabelle. Anschließend wird erklärt, wie Quantile aus einer Häufigkeitstabelle bestimmt werden. Ein statistischer Report demonstriert die erlernten Methoden. Häufigkeitstabelle Die Daten einer Erhebung liegen zunächst ungeordnet in Form einer Urliste vor. Im Allgemeinen treten einige Werte mehrfach auf. Hieraus folgt, dass bei größer werdenden Datenumfängen eine mögliche Struktur der Daten aufgrund der wachsenden Unübersichtlichkeit immer schwerer zu erkennen ist. So erhebt das Statistische Bundesamt eine Vielzahl von Daten zu unterschiedlichen Fragestellungen, wie etwa zu der Aufteilung aller Studierenden Deutschlands auf die unterschiedlichen Studienfächer. Ein derartig umfangreicher Datensatz, bestehend aus Beobachtungen, kann nicht übersichtlich in einer Urliste oder einem geordneten Datensatz dargestellt werden. Aus diesem Grund werden die erhobenen Daten in Form einer Häufigkeitstabelle übersichtlicher dargestellt. Die Vorgehensweise bei der Erstellung einer derartigen Tabelle ist dabei die Folgende: Die innerhalb eines Datensatzes auftretenden Beobachtungswerte werden geordnet Page 1

2 zusammengefasst, indem ausgezählt wird, wie oft welche Merkmalsausprägung in dem betrachteten Datensatz auftritt. Diese Information wird dann tabellarisch zusammengefasst. Auf diese Art entsteht ein erster Überblick über die Häufigkeit des Auftretens der einzelnen Werte und deren Verteilung im Datensatz. Der Aufbau einer Häufigkeitstabelle erfolgt nach dem folgenden Muster. Welche Werte in den einzelnen Spalten eingetragen werden, wird im weiteren Verlauf näher erläutert. 1 Die erste Spalte der Häufigkeitstabelle wird als Indexspalte, mit, zur Kennzeichnung der einzelnen Merkmalswerte vorangestellt. In der zweiten Spalte der Häufigkeitstabelle werden die einzelnen Merkmalswerte der Größe nach geordnet eingetragen. Eine derartige Ordnung ist nur bei ordinal und kardinal skalierten Merkmalen möglich. Im Falle nominalskalierter Merkmale ist die Reihenfolge, in der die Ausprägungen in der Spalte eingetragen werden, frei wählbar. In der dritten Spalte der Tabelle ist ablesbar, wie oft die jeweiligen Ausprägungen im Datensatz aufgetreten sind; es werden die absoluten Häufigkeiten eingetragen. Diese sind stark von dem Umfang des Datensatzes abhängig, so dass zum einen die Interpretation der Daten erschwert wird und zum anderen ein Vergleich von Datensätzen unterschiedlichen Umfangs nicht möglich ist. Um eine Vergleichbarkeit unterschiedlicher Tabellen zu gewährleisten, werden in der vierten Spalte der Häufigkeitstabelle die Anteile der jeweiligen Merkmalswerte, die so genannten relativen Häufigkeiten, bestimmt. Diese werden berechnet, indem die absoluten Häufigkeiten durch den Umfang des Datensatzes dividiert werden: Betrachten wir den Datensatz bezüglich der Aufteilung aller Studierenden Deutschlands im Wintersemester 2001/02 auf die unterschiedlichen Studienfächer. Die dazugehörige Häufigkeitstabelle sieht wie folgt aus: 1 Sprach- u. Kulturwissens , Sport ,0144 Page 2

3 3 Rechts-, Wirtschafts- u. Sozialwissens , Mathe, Naturwissens , Humanmedizin , Veterinärmedizin , Agrar-, Forst- u. Ernährungswissens , Ingenieurwissens , Kunst, Kunstwissens , Sonstiges 657 0,0004 Die Häufigkeitsverteilung wird hier sehr schön ersichtlich: Im Wintersemester 2001/02 waren die meisten Studierenden in der Fächergruppe "Rechts-, Wirtschafts- und Sozialwissenschaften" eingeschrieben. Die wenigsten studierten "Veterinärmedizin" oder "Sonstiges". Schauen Sie sich auch die : Flashanimation ' Animation Erstellung unklassierter Häufigkeitstabellen ' siehe Online-Version an, hier wird der Sachverhalt noch einmal aus einer anderen Perspektive dargestellt. Zur praktischen Umsetzung der hier vorgestellten und verwendeten statistischen Methoden im Statistiklabor sei auf den folgenden Exkurs verwiesen. Beispiel: Kryptologie Problemstellung Ein Schatzsucher hat eine Wegbeschreibung zu einer Schatzinsel gefunden. Da diese allerdings verschlüsselt wurde, kann er den Schatz nicht so ohne weiteres finden. Der verschlüsselte Text lautet: Page 3

4 Yq hmi Mrwip fixvixir dy osirrir, fveyglwx hy jspkirhi Kikirwxeirhi: Imri Ebx yrh hew Wimp eyw hiq Wglyttir yrh hmi Vyhiv eyw hiq Zivwxigo zsr Kisvki. Eywwivhiq qeglx iwivwx Wmrr, hmi Mrwip dy ivjsvwglir, airr hy hir Wglexdtper irxhigox lewx. Lösungsweg Der Schatzsucher bittet einen Freund, der sich gut mit Statistik auskennt, um Hilfe. Glücklicherweise hat dieser letzte Woche in einem Buch über Kryptologie interessante Informationen über die Caesar-Verschlüsselung gefunden. Bei dieser Verschlüsselungsmethode wird jeder Buchstabe durch den Buchstaben verschlüsselt, der eine bestimmte Anzahl von Buchstaben hinter ihm steht. Des Weiteren hat er herausgefunden, dass sich deutschsprachige Texte durch eine bestimmte Häufigkeitsstruktur bezüglich des Auftretens der Buchstaben in diesen auszeichnen. So tritt der Buchstabe e sehr häufig auf, während der Buchstabe x eher selten zu finden ist. Der verschlüsselte Text liegt als Urliste im Labor auf der Seite Krypto.spf vor; ebenso ist dort die Häufigkeitstabelle der Buchstaben in deutschsprachigen Texten zu finden. Mit diesen beiden Hilfsmitteln und dem in diesem Kapitel erlernten Wissen sollte eine Entschlüsselung leicht fallen. Labordatei öffnen ( baa.spf ) Antwort Die Lösung ergibt sich durch einen Vergleich der relativen Häufigkeiten der Buchstaben des verschlüsselten Textes mit den relativen Häufigkeiten der Buchstaben in deutschsprachigen Texten. Bei der Betrachtung des verschlüsselten Textes fällt auf, dass hier der Buchstabe i der am häufigsten vorkommende Buchstabe ist; in deutschsprachigen Texten ist dies der Buchstabe e. Damit liegt die Vermutung nahe, dass der Buchstabe e durch ein i verschlüsselt wurde. Um nun die Wegbeschreibung zu entschlüsseln, müssen alle Buchstaben im kodierten Text um 4 Stellen im Alphabet nach hinten verschoben werden. Betrachten wir exemplarisch das kodierte Wort mrwip. Nach der oben festgestellten Methode zur Entschlüsselung wird aus dem Buchstaben m ein i, aus r ein n usw. Das gesuchte Wort lautet Insel. Labordatei öffnen ( bb5.spf ) Beispiel: Generalbeispiel "Studentendaten" - Erstellung einer Häufigkeitstabelle Problemstellung Wir betrachten zwei Merkmale des Generalbeispiels. Hierzu wählen wir zum einen das nominalskalierte Merkmal "Geschlecht" und zum anderen das kardinalskalierte Merkmal "Anzahl der Brüder". Zu diesen beiden Datensätzen wird jeweils die Häufigkeitstabelle erstellt und in einem nächsten Schritt interpretiert. Lösungsweg Wir erstellen zunächst die Häufigkeitstabelle des Merkmals "Geschlecht". Der Merkmalsausprägung "weiblich" wird dabei eine 1, der Merkmalsausprägung "männlich" eine 2 zugeordnet. Page 4

5 Die zu dem kardinalskalierten Merkmal "Anzahl der Brüder" erstellte Häufigkeitstabelle und die dazugehörige Interpretation kann im Labor betrachtet werden: Labordatei öffnen ( c0f.spf ) Antwort Es fällt auf, dass der Anteil der männlichen Studierenden überwiegt - die relative Häufigkeit ist gleich 0.6. Interpretieren wir dieses Ergebnis vor dem Hintergrund, dass es sich bei den befragten Studierenden um angehende Wirtschaftswissenschaftler handelt, so ist dieses nicht weiter überraschend, da an diesen Fakultäten der Anteil der männlichen Studierenden im Allgemeinen überwiegt. Betrachten wir dieses Ergebnis jedoch unter dem Blickwinkel, dass heutzutage die Absolventen an Gymnasien überwiegend Frauen sind, stellt sich die weiterführende Frage, warum der Frauenanteil an der Fakultät für Wirtschaftswissenschaften nicht auch größer ist. Haben sich diese eher an anderen Fakultäten eingeschrieben oder entscheiden sich Frauen eher für eine Lehre nach dem Abitur? Deutlich wird, dass je nach Fragestellung die Interpretation der Häufigkeitstabelle unterschiedlich ausfallen kann. In zwei Städten wurden je 60 Personen nach der Anzahl ihrer Kinobesuche in den letzten 6 Monaten befragt. Die beiden Urlisten liegen im Labor bereit. Labordatei öffnen ( c1c.zmpf ) a) Erstellen Sie aus den beiden vorliegenden Urlisten jeweils eine Häufigkeitstabelle. b) Bestimmen Sie für beide Städte die am häufigsten genannte Merkmalsausprägung. c) Die Bewohner welcher Stadt scheinen lieber ins Kino zu gehen? d) Formulieren Sie ihre Ergebnisse aus. Betrachten Sie die Merkmale "Haarfarbe" und "Anzahl der Schwestern" des Generalbeispiels. Bestimmen Sie die Skalenniveaus und diskutieren Sie, warum eine diskrete Darstellung der Daten angebracht ist. Bestimmen Sie mit Hilfe der jeweiligen Häufigkeitstabellen die häufigsten und seltensten Merkmalsausprägungen. Für das Merkmal "Haarfarbe" gilt folgende Zuordnung: 1= schwarz, 2= braun, 3= blond, 4= rot, 5=sonstiges. Die Ausprägung "NA" (not available) in den Datensätzen bedeutet, dass von dem Befragten keine Angabe gemacht wurde. Diese Ausprägungen sollten aus den Datensätzen eliminiert werden. Page 5

6 Labordatei öffnen ( c31.zmpf ) Die Funktion DiskHaeuf setzt das Konzept der Häufigkeitstabelle für nichtklassierte Daten im Labor um. - Aufruf im Statistiklabor: DiskHaeuf(x) - Demonstrationsseite im Statistiklabor: Häufigkeitstabelle (nichtklassierte Daten) ( c40.spf ) Hinweise: - Sie ist nur auf Daten x in der Form einer Urliste oder Rangwertreihe ansetzbar. - NA`s sind in Urlisten zugelassen, sie werden bei der jeweiligen Verarbeitung nicht berücksichtigt. - Das Objekt Häufigkeitstabelle hat Matrixform mit den 3 Spalten Ausprägungen, absolute Häufigkeiten und relative Häufigkeiten. - Als Funktion aus der Bibliothek danalyse.r arbeitet sie defaultmäßig im Silent-Modus. Durch Setzen des Parameters SIL=F im Aufruf, gibt die Funktion Informationen über ihr Arbeiten. - Mit xh <- DiskHaeuf(x) wird die Häufigkeitstabelle auf der Variablen xh zur weiteren Verarbeitung in Funktionen wie beispielsweise Mittelwert, Stabdiagramm etc. abgelegt. - Im Labor findet sich im Objekt "Häufigkeitstabelle" eine eingeschränkte Umsetzung des Konzepts "Häufigkeitstabelle für diskrete Daten". Steckbrief/Kurzbeschreibung Ein Steckbrief der Funktion: Häufigkeitstabelle (nichtklassierte Daten) ( ) Weitere Quellen Im Anhang sind die für das Labor benötigte Bibliothek "danalyse.r" und eine Beschreibung der Bibliothek abgelegt. Stabdiagramm : c56.pdf Die Häufigkeitstabelle enthält die Verteilung der beobachteten Merkmalswerte in tabellarischer Form. Sie ist damit der erste Schritt einer Datenanalyse und schafft einen ersten Einblick in die Struktur des Datenmaterials. Die grafische Darstellung des Inhalts einer Häufigkeitstabelle ist das Stabdiagramm. Mit seiner Hilfe wird ein umfassender Überblick über die einzelnen Merkmalsausprägungen und der Häufigkeit ihres Auftretens in der zu betrachtenden und zu analysierenden Stichprobe ermöglicht. Auf der x-achse (Abszisse) des Stabdiagramms werden die beobachteten Merkmalsausprägungen abgetragen. Auf der y-achse (Ordinate) werden die absoluten oder relativen Häufigkeiten der jeweiligen Ausprägung in Form eines Stabes abgetragen. Die Länge des Stabes gibt die Häufigkeit der zugehörigen Ausprägung wider. Im Allgemeinen werden die relativen Häufigkeiten ein Vergleich von Datensätzen mit unterschiedlichen Stichprobenumfängen gewählt, da so Page 6

7 gewährleistet wird. Das Stabdiagramm ermöglicht es, auf einen Blick alle beobachteten Ausprägungen eines Merkmales und deren Häufigkeit zu erfassen und zu interpretieren. Stellen wir an dieser Stelle ein exemplarisches Stabdiagramm zur Verdeutlichung auf. Das Statistische Bundesamt hat eine Häufigkeitstabelle bezüglich der Aufteilung aller Studierenden Deutschlands im Wintersemester 2001/02 auf die unterschiedlichen Studienfächer veröffentlicht (vgl. Abschnitt Häufigkeitstabelle ). 1 Sprach- u. Kulturwissens ,22 2 Sport ,014 3 Rechts-, Wirtschafts- u. Sozialwissens ,32 4 Mathe, Naturwissens ,17 5 Humanmedizin ,05 6 Veterinärmedizin ,004 7 Agrar-, Forst- u. Ernährungswissens ,02 8 Ingenieurwissen ,16 9 Kunst, Kunstwissens ,04 10 Sonstiges 657 0,0004 Betrachten wir im Folgenden die grafischen Umsetzung: Page 7

8 Stabdiagramm des Merkmals "Fächergruppen" Quelle: Statistisches Bundesamt Schauen Sie sich dazu auch die folgende : Flashanimation ' Animation Erstellung Stabdiagramm ' siehe Online-Version an. Zur praktischen Umsetzung der hier vorgestellten und verwendeten statistischen Methoden im Statistiklabor sei auf den folgenden Exkurs verwiesen. Beispiel: Fortsetzung des Kryptologie - Beispiels Problemstellung In Rahmen der Beispielkomponente "Kryptologie" wurde das Problem des Schatzsuchers bereits mit Hilfe einer Häufigkeitstabelle gelöst (vgl. Abschnitt Kryptologie ). Die dort angewandte Lösungsstrategie bestand in einer Gegenüberstellung der Häufigkeiten der einzelnen Buchstaben im verschlüsselten Text und der Häufigkeiten der Buchstaben in deutschsprachigen Texten. Lösungsweg Page 8

9 Die Lösung dieses Problems erfolgt erneut über einen Vergleich. Aus den in dem vorhergegangenen Beispiel erstellten Häufigkeitstabellen werden die dazugehörigen Stabdiagramme erstellt. Die Erstellung dieser Diagramme und auch die Ergebnisse der Analyse können auf dieser Laborseite nachgelesen werden. Labordatei öffnen ( d8c.spf ) Stabdiagramm der Häufigkeiten der Buchstaben im verschlüsselten Text Quelle: Statistik Labor Stabdiagramm der Häufigkeiten der Buchstaben in deutschsprachigen Texten Quelle Statistik Labor Antwort Ein Vergleich der Stabdiagramme verdeutlicht den Sachverhalt auf einen Blick: Im Stabdiagramm, welches die Häufigkeiten der Buchstaben in deutschsprachigen Page 9

10 Texten veranschaulicht, zeigt sich ein Anstieg der Häufigkeiten bei den Buchstaben b bis e. Die selbe Struktur ist in dem Stabdiagramm des verschlüsselten Textes in dem Bereich von f bis i zu beobachten. Der Anstieg der Häufigkeiten ist folglich um vier Stellen im Alphabet nach vorn verschoben. Wir kommen bei einem Vergleich der beiden Stabdiagramm somit zu dem selben Ergebnis wie bereits bei den dazugehörigen Häufigkeitstabellen. Weitere Ähnlichkeiten lassen sich auch in der Nähe des Buchstaben r im Diagramm des verschlüsselten Textes und in der Nähe des Buchstaben n im Diagramm der deutschsprachigen Texte feststellen. Wir können festhalten, dass eine Entschlüsselung der Wegbeschreibung nach der Caesar-Verschlüsselung durch eine Verschiebung der Buchstaben des kodierten Textes um 4 Stellen im Alphabet nach hinten erfolgen kann. Das Ergebnis, welches über einen Vergleich der Häufigkeitstabelle erzielt wurde, konnte somit bestätigt werden. Insgesamt kommen wir zu dem Ergebnis, dass Stabdiagramme Strukturen innerhalb der Häufigkeiten besser und anschaulicher darstellen als einfache Häufigkeitstabellen, die einen ersten Eindruck in das bestehende Datenmaterial gewähren. Beispiel: Generalbeispiel "Studentendaten" - Erstellung eines Stabdiagramms Problemstellung Im Rahmen der Beispielkomponente "Generalbeispiel "Studentendaten - Erstellung einer Häufigkeitstabelle" wurden die Häufigkeitstabellen der Merkmale "Geschlecht" und "Anzahl der Brüder" betrachtet und interpretiert (vgl. Teil 1 des Generalbeispiels ). Die Ergebnisse dieser Analyse sollen anhand einer grafischen Darstellung bestätigt werden. Lösungsweg Aus den Häufigkeitstabellen zu den interessierenden Merkmalen werden die dazugehörigen Stabdiagramme erstellt. Die Erstellung der beiden Stabdiagramme und die daraus folgenden Ergebnisse der Interpretation können im Labor unter dem Dateinamen bspstabdia.spf nachvollzogen werden. Labordatei öffnen ( db4.spf ) Page 10

11 Stabdiagramm des Merkmals "Geschlecht" Quelle: Statistik Labor Stabdiagramm des Merkmals "Anzahl der Brüder" Quelle: Statistik Labor Antwort Im ersten Stabdiagramm werden die Häufigkeiten des Merkmals "Geschlecht" dargestellt. Dabei steht die Ausprägung 1 für "weiblich" und die Ausprägung 2 für "männlich". Es zeigt sich, dass der Anteil der männlichen Wirtschaftswissenschaftsstudenten größer ist als der Anteil weiblicher Studierenden. Dieses Ergebnis bestätigt unsere bereits getroffene Einschätzung der Situation an der Fakultät, die wir aufgrund der dazugehörigen Häufigkeitstabelle getroffen haben. Das zweite Stabdiagramm veranschaulicht die Häufigkeiten des Merkmals "Anzahl der Brüder". Deutlich wird, dass der Anteil der Befragten mit höchstens einem Bruder deutlich höher ist als der Anteil derjenigen, die mehr als einen Bruder haben. Labordatei öffnen ( dc9.spf ) In zwei Städten wurden je 60 Personen nach der Anzahl ihrer Kinobesuche in den letzten 6 Monaten befragt. Zeichnen Sie die Stabdiagramme der jeweiligen Städte. Diskutieren Sie die Diagramme bezüglich ihrer Symmetrieeigenschaft ( Teil 1 der Aufgabe ). Reflektieren Sie die Fragen und Antworten zu b) und c) aus der Aufgabe Kinobesuche Häufigkeitstabelle mit Hilfe der erstellten Grafiken. Formulieren Sie ihre Ergebnisse aus. Labordatei öffnen ( dd7.spf ) Erstellen Sie die Stabdiagramme zu den Merkmalen "Haarfarbe" und "Anzahl der Schwestern" ( Teil 1 der Übung ). Interpretieren Sie die Diagramme und reflektieren Sie die Aussagen, die Sie über die Merkmale im Rahmen der Aufgabe im Abschnitt "Häufigkeitstabelle" getroffen haben. Welches Instrument halten Sie für geeigneter, um Aussagen über die Häufigkeitsstruktur eines Datensatzes zu treffen? Page 11

12 Labordatei öffnen ( de3.zmpf ) Die Funktion Stabdiagramm setzt das Konzept des Stabdiagramms im Labor um. Sie ist nur auf Daten x in der Form einer diskreten Häufigkeitstabelle ansetzbar. - Aufruf im R-Kalkulator des Labors: Stabdiagramm(x) - Demonstrationsseite im Labor: Stabdiagramm ( df4.spf ) Hinweise - Damit die Graphik angezeigt wird, müssen Sie das Laborobjekt R-Graphik mit dem R-Kalkulator verbinden. - Als Funktion aus der Bibliothek danalyse.r arbeitet sie defaultmäßig im Silent-Modus. Durch Setzen des Parameters SIL=F im Aufruf, gibt die Funktion Informationen über ihr Arbeiten. - Im Labor findet sich im Objekt R-Graphik-Wizard mit dem Angebot Stabdiagramm" eine einfache Umsetzung des Konzepts "Stabdiagramm". Hiermit können Sie aus verbundenen Datenquellen stammende Daten einfach in einem Stabdiagramm darstellen. Steckbrief/Kurzbeschreibung Steckbrief der Funktion Stabdiagramm: Stabdiagramm ( : e04.pdf ) Weitere Quellen Im Anhang sind die für das Labor benötigte Bibliothek "danalyse.r" und eine Beschreibung der Bibliothek abgelegt. Die empirische Verteilungsfunktion Wir haben bislang die relativen Häufigkeiten einzelner Merkmalsausprägungen betrachtet und Aussagen über deren Verteilung getroffen. In vielen Fällen sind allerdings nicht einzelne Ausprägungen von Interesse; statt dessen möchten wir die relative Häufigkeit ganzer Intervalle von Ausprägungen betrachten. Es stellen sich Fragen der folgenden Art: "Welcher Anteil der Daten ist kleiner oder gleich einem interessierenden Wert?" oder bezogen auf ein Beispiel: "Welcher Anteil der befragten Studierenden ist höchstens 23 Jahre alt?" Dazu könnten die einzelnen relativen Häufigkeiten in dem betrachteten Intervall aufaddiert werden. Das Problem dieser Lösungsform liegt aber darin, dass bei jeder neuen Fragestellung die einzelnen relativen Häufigkeiten neu aufaddiert werden müssen. Um dieses zu umgehen, wird die empirische Verteilungsfunktion gebildet. Hierzu wird die Häufigkeitstabelle um eine Spalte der kumulierten relativen Häufigkeiten erweitert. Hierbei handelt es sich um die in der Häufigkeitstabelle schrittweise aufaddierten relativen Häufigkeiten. Damit eine sinnvolle Kumulation der Häufigkeiten überhaupt möglich ist, muss das betrachtete Merkmal mindestens ordinalskaliert sein, die Merkmalsausprägungen somit der Größe nach geordnet in der Häufigkeitstabelle stehen. Da nominalskalierte Merkmale keine natürliche Ordnung besitzen, würde ein Aufaddieren der Häufigkeiten Page 12

13 der Merkmalsausprägungen keine sinnvolle Interpretation ermöglichen. Formal wird die empirische Verteilungsfunktion wie Folgt definiert: also als der Anteil der Beobachtungen, die kleiner oder gleich einem interessierenden Wert ist. Dieser Anteil ist nicht nur für die Ausprägungen des Merkmals im Datensatz sinnvoll, sondern für alle reellen Zahlen. Zur praktischen Umsetzung der hier vorgestellten und verwendeten statistischen Methoden im Statistiklabor sei auf den folgenden Exkurs verwiesen. Bei einer grafischen Darstellung der Funktion werden auf der Abszisse die Merkmalsausprägungen und auf der Ordinate die kumulierten relativen Häufigkeiten abgetragen. Es entsteht eine monoton wachsende Treppenfunktion, die an den Ausprägungen um die entsprechende relative Häufigkeit nach oben springt. Die Funktion ist rechtsseitig stetig, d.h. an den Sprungstellen ist jeweils der Wert der Treppenoberkante der zu der Ausprägung gehörige Funktionswert. Verdeutlichen wir diese Vorgehensweise anhand eines Beispiels: Ein Dozent befragt die 55 Studierenden seiner Veranstaltung nach ihrem Alter. Er möchte wissen, welcher Anteil der befragten Studierenden höchstens 23 Jahre alt ist. Die zur Beantwortung dieser Frage benötigte empirische Verteilungsfunktion ist die Folgende: Empirische Verteilungsfunktion des Merkmals "Alter" Quelle: Eigene Befragung Page 13

14 Mit Hilfe dieser grafischen Darstellung kann die Frage einfach beantwortet werden: 60% der Studierenden sind höchstens 23 Jahre alt. Schauen Sie dazu auch die : Flashanimation ' Animation Verteilungsfunktion ' siehe Online-Version an, in der das Konzept aus einer etwas anderen Perspektive erörtert wird. Zur praktischen Umsetzung der hier vorgestellten und verwendeten statistischen Methoden im Statistiklabor sei auf den folgenden Exkurs verwiesen. Beispiel: Tore bei der EM 2000 Problemstellung Ein Statistiker hat für jedes der 31 Spiele der Fußball-EM 2000 die Anzahl der Tore der ersten und der zweiten Halbzeit notiert. Er möchte wissen, in welcher Halbzeit die meisten Tore erzielt wurden. Labordatei öffnen ( e5f.spf ) Lösungsweg Um die Fragestellung beantworten zu können, werden in einem ersten Schritt die Differenzen von den Toren der 2. Halbzeit und den Toren der 1.Halbzeit gebildet. In weiteren Schritten werden die Differenzen tabellarisch und grafisch dargestellt, um zu plausiblen Aussagen kommen zu können. Im Rahmen dieses Beispieles werden das ermittelte Stabdiagramm und die dazugehörige empirische Verteilungsfunktion abgebildet. Die diesen beiden grafischen Darstellungen zugrunde liegende Häufigkeitstabelle kann im Labor eingesehen werden. Stabdiagramm der Tordifferenzen Quelle: Statistik Labor Page 14

15 Empirische Verteilungsfunktion der Tordifferenzen Quelle: Statistik Labor Antwort Betrachten wir zunächst das Stabdiagramm der Tordifferenzen. Es fällt auf, dass die meisten Differenzen rechts von der beobachteten Ausprägung 0 liegen, also positiv sind. Eine positive Differenz bedeutet, dass in der zweiten Halbzeit mehr Tore erzielt wurden als in der ersten Halbzeit. Der häufigste beobachtete Wert der Tordifferenzen ist die 1; während der betrachteten Fußball-EM wurde in der 2. Halbzeit häufig ein Tor mehr erzielt als in der 1. Halbzeit. Wir können daher die Vermutung anstellen, dass die Spieler in der 2. Halbzeit motivierter sind, sich nach der Halbzeit mehr Mühe geben und daher auch mehr Tore schießen als vor der Pause. Bestätigt wird diese Annahme durch die empirische Verteilungsfunktion: Es zeigt sich, dass der Anteil der Tordifferenzen, die größer sind als 0, 52% beträgt. Der Anteil der Tordifferenzen, die kleiner als 0 sind, beträgt hingegen lediglich 26%. Kein Unterschied zwischen den beiden Halbzeiten wurde in 23% der Fußballspiele beobachtet. Damit konnte die obige Vermutung bestätigt werden, dass in der 2. Halbzeit mehr Tore erzielt wurden, die Spieler sich somit während der zweiten Spielphase mehr Mühe gaben. Die Funktion pemp setzt das Konzept einer empirischen Verteilungsfunktion im Labor um. - Aufruf im Statistiklabor: pemp(x) - Demonstrationsseite im Labor: Empirische Verteilungsfunktion ( e8a.spf ) Hinweise - Die Daten seien auf der Variablen x abgelegt. Sie können in Form einer Urliste, Rangwertreihe, diskreten oder kontinuierlichen Häufigkeitstabelle vorliegen. - NA`s sind in Urlisten zugelassen, sie werden bei der jeweiligen Verarbeitung nicht berücksichtigt. - Soll der Wert der empirischen Verteilungsfunktion an der Stelle xp berechnet werden, dann erreicht man dies im R-Kalkulator des Labors durch den Aufruf: pemp(xp,x) - Als Funktion aus der Bibliothek danalyse.r arbeitet sie defaultmäßig im Silent-Modus. Page 15

16 Durch Setzen des Parameters SIL=F im Aufruf, gibt die Funktion Informationen über ihr Arbeiten. Steckbrief/Kurzbeschreibung Steckbrief der Funktion: Empirische Verteilungsfunktion ( : e9c.pdf ) Weitere Quellen Im Anhang sind die für das Labor benötigte Bibliothek "danalyse.r" und eine Beschreibung der Bibliothek abgelegt. Die Funktion EmpVert setzt das Konzept Graph einer empirischen Verteilungsfunktion im Labor um. - Aufruf im R-Kalkulator des Labors: EmpVert(x) - Demonstrationsseite 1 im Labor: Grafik(1) der empirischen Verteilung ( ec1.spf ) - Demonstrationsseite 2 im Labor: Grafik(2) der empirischen Verteilung ( ec4.spf ) Hinweise - Die Daten seien auf der Variablen x abgelegt. Sie können in Form einer Urliste, Rangwertreihe, diskreten oder kontinuierlichen Häufigkeitstabelle vorliegen. - NA`s sind in Urlisten zugelassen, sie werden bei der jeweiligen Verarbeitung nicht berücksichtigt. - Die Graphik erscheint in dem mit dem R-Kalkulator verbundenen Laborobjekt R-Graphik. - Als Funktion aus der Bibliothek danalyse.r arbeitet sie defaultmäßig im Silent-Modus. Durch Setzen des Parameters SIL=F im Aufruf, gibt die Funktion Informationen über ihr Arbeiten. - Im Labor findet sich im Objekt R-Graphik-Wizard mit dem Angebot "Empirische Verteilungsfunktion" eine einfache Umsetzung des Konzepts "Empirische Verteilungsfunktion". Steckbrief/Kurzbeschreibung Steckbrief der Funktion EmpVert: EmpVert() ( : ed8.pdf ) Weitere Quellen Im Anhang sind die für das Labor benötigte Bibliothek "danalyse.r" und eine Beschreibung der Bibliothek abgelegt. Quantile Bislang haben wir Fragen nach Anteilen, die von einer bestimmten Ausprägung nicht überschritten werden, mit Hilfe der empirischen Verteilungsfunktion beantworten können. Diese Fragestellung kann auch umgekehrt werden: Wir suchen nun nach einer Merkmalsausprägung, die von einem bestimmten Anteil der Merkmalsträger in der Stichprobe nicht überschritten wird. Dabei kann es sich um Fragen der folgenden Art handeln: "Welches Alter wird von 90% der Studierenden nicht überschritten?" (vgl. ) Page 16

17 Die Bestimmung der Quantile aus einer Häufigkeitstabelle ohne Klassierung unterscheidet sich im Wesentlichen nicht von der Berechnung der Quantile aus einem geordneten Datensatz. Schließlich ist eine nicht-klassierte Häufigkeitstabelle nichts anderes als ein komprimierter geordneter Datensatz: Eine Häufigkeitstabelle fasst die innerhalb eines Datensatzes auftretenden Ausprägungen der Größe nach geordnet zusammen, indem ausgezählt wird, wie oft welche Merkmalsausprägung in dem betrachteten Datensatz auftritt. Der geordnete Datensatz wird demnach komprimiert in einer Tabelle zusammengefasst. Definition: p-quantil Für jeden Anteil mit ist das p-quantil des Datensatzes der kleinste x-wert, für den gilt, formal:, falls und. Wir sprechen auch vom p-quantil der empirischen Verteilungsfunktion. Zur Veranschaulichung beantworten wir die Frage nach dem Alter der Studierenden anhand der dazugehörigen Häufigkeitstabelle: Page 17

18 Der Wert an Stelle des erwarteten ist auf Rundungsfehler zurückzuführen. Für p = 0.9 ergibt sich, denn aber. Zur praktischen Umsetzung der hier vorgestellten und verwendeten statistischen Methoden im Statistiklabor sei auf den folgenden Exkurs verwiesen. Schauen Sie sich dazu die : Flashanimation ' Animation Quantile ' siehe Online-Version an, in der der Sachverhalt von einer etwas anderen Perspektive beleuchtet wird. Beispiel: Generalbeispiel "Studentendaten" - Erstellung einer empirischen Verteilungsfunktion Problemstellung Wir betrachten erneut die beiden Merkmale "Geschlecht" und "Anzahl der Brüder" des Generalbeispiels ( Teil 1 des Beispiels ). Da es sich bei dem Merkmal "Geschlecht" um ein nominalskaliertes Merkmal handelt, ist eine Erstellung und Betrachtung der empirischen Verteilungsfunktion nicht sinnvoll. Die beiden möglichen Merkmalsausprägungen besitzen keine Ordnungsstruktur, so dass ein Aufaddieren dieser keine sinnvolle Interpretation ermöglichen würde. Auch lassen sich inhaltlich mit Hilfe der Verteilungsfunktion keine neuen Erkenntnisse ableiten; diese würde zeigen, dass 100% der Studierenden ein Geschlecht haben. Aus diesem Grund wird nur die Verteilungsfunktion für das Merkmal "Anzahl der Brüder" betrachtet. Lösungsweg Die bereits bekannte Häufigkeitstabelle des Merkmals "Anzahl der Brüder" wird zunächst um die Spalte der kumulierten relativen Häufigkeiten erweitert: ,37 0, ,42 0, ,11 0, ,02 0, ,07 0, , Page 18

19 In einem nächsten Schritt wird die dazugehörige empirische Verteilungsfunktion grafisch dargestellt: Empirische Verteilungsfunktion des Merkmals "Anzahl der Brüder" Quelle: Statistik Labor Antwort Aus der um die empirische Verteilungsfunktion ergänzten Häufigkeitstabelle kann abgelesen werden, dass 79% der befragten Studierenden höchstens einen Bruder haben. Damit gilt im Umkehrschluss, dass der Anteil der Studierenden, die mehr als einen Bruder, bzw. mindestens zwei Brüder haben, 21% beträgt. Mindestens 3 und höchstens 5 Brüder haben lediglich 8% der befragten Studierenden. Dieser Wert ergibt sich aus 0.98, d.h. 98% der Befragten haben höchstens 5 Brüder, abzüglich der 90%, die höchstens 2 Brüder haben. Die Geschwisteranzahl der befragten Studierenden scheint eher klein zu sein. Hierbei kann es sich lediglich um eine Vermutung handeln, da sich aus dem vorliegenden Datensatz keine Aussagen über die Anzahl der Schwestern ergeben. Würden wir die Anzahl der Schwestern in die Analyse einfließen lassen, könnten gesicherte Aussagen über die Geschwisterzahl der Befragten abgeleitet werden. Gegeben ist die Anzahl der Kinobesuche der letzten 6 Monaten in zwei Städten. Beantworten Sie die folgenden Fragen für beide Städte ( Teil 1 der Aufgabe ). a) Ergänzen Sie die Häufigkeitstabelle um die kumulierten relativen Häufigkeiten des betrachteten Merkmals. b) Zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion. c) Bestimmen Sie den Anteil der Leute, die mindestens einmal im Kino waren. d) Bestimmen Sie den Anteil der Leute, die mindestens 3-mal und höchstens 5-mal im Kino waren. e) Bestimmen Sie den Anteil der Leute, die mehr als einmal und weniger als 5-mal im Kino waren. Page 19

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