Grundzustandsberechnung von Gross-Pitaevskii Gleichungen

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1 Grundzustandsberechnung von Gross-Pitaevskii Gleichungen Christoph Bischko, Lukas Einkemmer, Dominik Steinhauser Fakultät für Mathematik, Informatik und Physik Universität Innsbruck 2. Juli, 2010 Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

2 Einleitung - BEC (Bose-Einstein condensate) Eigener Aggregatzustand, 1924 von Bose und Einstein vorhergesagt, 1995 erstmals experimentell realisiert Bosonische Teilchen im selben Quantenzustand bei Temperaturen nahe 0K Im BEC sind die Teilchen delokalisiert Zustand beschreibbar durch einzelne Wellenfunktion Supraleitung, Suprafluidität, Kohärenz Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

3 Einleitung - BEC II Molekularfeldtheoretische (mean-field theory) Betrachtung eines wechselwirkenden BEC bei T=0K unter Vernachlässigung von Fluktuationen i ψ dt = 2 ψ 2m + V ( r)ψ + g ψ 2 ψ } {{ } } {{ } } {{ } potentielle Energie (nichtlineare) Wechslewirkung Kinetische Energie Wechselwirkungsterm: ψ 2 = n Teilchendichte g = 4π a m Kopplungskonstante mit Streulänge a in Einheiten des Bohr Radius, z.b a = 100 für 87 Rb Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

4 Einleitung Problem 1 Ziel: Berechnen des Grundzustandes/ersten angeregten Zustandes 2 (Lineare) Schrödingergleichung i t ψ(x, t) = ( V (x) ) ψ(x, t) 3 Gross-Pitaevskii Gleichung i t ψ(x, t) = ( V (x) + ϑ ψ(x, t) 2 ) ψ(x, t) Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

5 Einleitung Problem 1 Ziel: Berechnen des Grundzustandes/ersten angeregten Zustandes 2 (Lineare) Schrödingergleichung i t ψ(x, t) = ( V (x) ) ψ(x, t) 3 Gross-Pitaevskii Gleichung i t ψ(x, t) = ( V (x) + ϑ ψ(x, t) 2 ) ψ(x, t) Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

6 Einleitung Problem 1 Ziel: Berechnen des Grundzustandes/ersten angeregten Zustandes 2 (Lineare) Schrödingergleichung i t ψ(x, t) = ( V (x) ) ψ(x, t) 3 Gross-Pitaevskii Gleichung i t ψ(x, t) = ( V (x) + ϑ ψ(x, t) 2 ) ψ(x, t) Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

7 Motivation Imaginäre Zeit 1 Substituiere t = iτ in die lin. Schrödingergleichung ( ) 1 φ(x, τ) = τ 2 V (x) φ(x, τ) = Hφ(x, τ) 2 Ansatz φ(x, 0) = c i φ i (x) i=0 Hφ i = E i φ i, mit E 0 < E 1 <... 3 Lösung der Schrödingergleichung φ(x, τ) = e τe i φ i (x) i=0 Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

8 Motivation Imaginäre Zeit 1 Substituiere t = iτ in die lin. Schrödingergleichung ( ) 1 φ(x, τ) = τ 2 V (x) φ(x, τ) = Hφ(x, τ) 2 Ansatz φ(x, 0) = c i φ i (x) i=0 Hφ i = E i φ i, mit E 0 < E 1 <... 3 Lösung der Schrödingergleichung φ(x, τ) = e τe i φ i (x) i=0 Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

9 Motivation Imaginäre Zeit 1 Substituiere t = iτ in die lin. Schrödingergleichung ( ) 1 φ(x, τ) = τ 2 V (x) φ(x, τ) = Hφ(x, τ) 2 Ansatz φ(x, 0) = c i φ i (x) i=0 Hφ i = E i φ i, mit E 0 < E 1 <... 3 Lösung der Schrödingergleichung φ(x, τ) = e τe i φ i (x) i=0 Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

10 Motivation Imaginäre Zeit (Fortsetzung) 1 Da E 0 < E 1 <... e τe i e τe 0 0, τ 2 Daher lim τ 3 Löse Gleichung in imaginärer Zeit φ(x, τ) φ(x, τ) = φ 0(x) 4 Beitrag von φ i, i 0 verschwindet für große τ exponentiell 5 Nach Normalisierung bleibt nur der Grundzustand erhalten 6 Anfangszustand ist egal solange c 0 0 Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

11 Motivation Imaginäre Zeit (Fortsetzung) 1 Da E 0 < E 1 <... e τe i e τe 0 0, τ 2 Daher lim τ 3 Löse Gleichung in imaginärer Zeit φ(x, τ) φ(x, τ) = φ 0(x) 4 Beitrag von φ i, i 0 verschwindet für große τ exponentiell 5 Nach Normalisierung bleibt nur der Grundzustand erhalten 6 Anfangszustand ist egal solange c 0 0 Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

12 Motivation Imaginäre Zeit (Fortsetzung) 1 Da E 0 < E 1 <... e τe i e τe 0 0, τ 2 Daher lim τ 3 Löse Gleichung in imaginärer Zeit φ(x, τ) φ(x, τ) = φ 0(x) 4 Beitrag von φ i, i 0 verschwindet für große τ exponentiell 5 Nach Normalisierung bleibt nur der Grundzustand erhalten 6 Anfangszustand ist egal solange c 0 0 Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

13 Motivation Imaginäre Zeit (Fortsetzung) 1 Da E 0 < E 1 <... e τe i e τe 0 0, τ 2 Daher lim τ 3 Löse Gleichung in imaginärer Zeit φ(x, τ) φ(x, τ) = φ 0(x) 4 Beitrag von φ i, i 0 verschwindet für große τ exponentiell 5 Nach Normalisierung bleibt nur der Grundzustand erhalten 6 Anfangszustand ist egal solange c 0 0 Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

14 Motivation Imaginäre Zeit (Fortsetzung) 1 Da E 0 < E 1 <... e τe i e τe 0 0, τ 2 Daher lim τ 3 Löse Gleichung in imaginärer Zeit φ(x, τ) φ(x, τ) = φ 0(x) 4 Beitrag von φ i, i 0 verschwindet für große τ exponentiell 5 Nach Normalisierung bleibt nur der Grundzustand erhalten 6 Anfangszustand ist egal solange c 0 0 Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

15 Motivation Imaginäre Zeit (Fortsetzung) 1 Da E 0 < E 1 <... e τe i e τe 0 0, τ 2 Daher lim τ 3 Löse Gleichung in imaginärer Zeit φ(x, τ) φ(x, τ) = φ 0(x) 4 Beitrag von φ i, i 0 verschwindet für große τ exponentiell 5 Nach Normalisierung bleibt nur der Grundzustand erhalten 6 Anfangszustand ist egal solange c 0 0 Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

16 Gross-Pitaevskii Gleichung Imaginäre Zeit 1 Adaptierung zur nichtlinearen Schrödingergleichung 2 Mit t = iτ ( ) 1 φ(x, τ) = V (x) ϑ ψ(x, t) 2 ψ(x, t) τ 2 Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

17 Gross-Pitaevskii Gleichung Imaginäre Zeit 1 Adaptierung zur nichtlinearen Schrödingergleichung 2 Mit t = iτ ( ) 1 φ(x, τ) = V (x) ϑ ψ(x, t) 2 ψ(x, t) τ 2 Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

18 Rückwärts-Euler Sinus Pseudospektral Methode Vorarbeit 1 Einschränkung auf Potentiale der Form 2 Betrachte Bereich [a, b] V (x) =V 0 (x) + W (x) V 0 (x) = 1 2 γ, x 2 W (x) lim x V 0 (x) =0 3 Wegschneiden wo die Lösung ohnehin verschwindet 4 Homogene Randwerte Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

19 Rückwärts-Euler Sinus Pseudospektral Methode Vorarbeit 1 Einschränkung auf Potentiale der Form 2 Betrachte Bereich [a, b] V (x) =V 0 (x) + W (x) V 0 (x) = 1 2 γ, x 2 W (x) lim x V 0 (x) =0 3 Wegschneiden wo die Lösung ohnehin verschwindet 4 Homogene Randwerte Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

20 Rückwärts-Euler Sinus Pseudospektral Methode Vorarbeit 1 Einschränkung auf Potentiale der Form 2 Betrachte Bereich [a, b] V (x) =V 0 (x) + W (x) V 0 (x) = 1 2 γ, x 2 W (x) lim x V 0 (x) =0 3 Wegschneiden wo die Lösung ohnehin verschwindet 4 Homogene Randwerte Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

21 Rückwärts-Euler Sinus Pseudospektral Methode Vorarbeit 1 Einschränkung auf Potentiale der Form 2 Betrachte Bereich [a, b] V (x) =V 0 (x) + W (x) V 0 (x) = 1 2 γ, x 2 W (x) lim x V 0 (x) =0 3 Wegschneiden wo die Lösung ohnehin verschwindet 4 Homogene Randwerte Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

22 Rückwärts-Euler Sinus Pseudospektral Methode Diskretisierung 1 Herleitung (Tafel) 2 Führt auf ein lineares Gleichungssystem in jedem Zeitschritt 3 Iterative Lösung Aφ,m+1 = Bφ,m + φ n A = (1 + α t)i t 2 Ds xx ( B = t diag α V (x 1 ) ϑ φ n 1 2,..., α V (x M 1 ) ϑ φ n 2) M 1 4 Konvergenzbeweis (Tafel) Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

23 Rückwärts-Euler Sinus Pseudospektral Methode Diskretisierung 1 Herleitung (Tafel) 2 Führt auf ein lineares Gleichungssystem in jedem Zeitschritt 3 Iterative Lösung Aφ,m+1 = Bφ,m + φ n A = (1 + α t)i t 2 Ds xx ( B = t diag α V (x 1 ) ϑ φ n 1 2,..., α V (x M 1 ) ϑ φ n 2) M 1 4 Konvergenzbeweis (Tafel) Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

24 Rückwärts-Euler Sinus Pseudospektral Methode Diskretisierung 1 Herleitung (Tafel) 2 Führt auf ein lineares Gleichungssystem in jedem Zeitschritt 3 Iterative Lösung Aφ,m+1 = Bφ,m + φ n A = (1 + α t)i t 2 Ds xx ( B = t diag α V (x 1 ) ϑ φ n 1 2,..., α V (x M 1 ) ϑ φ n 2) M 1 4 Konvergenzbeweis (Tafel) Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

25 Rückwärts-Euler Sinus Pseudospektral Methode Diskretisierung 1 Herleitung (Tafel) 2 Führt auf ein lineares Gleichungssystem in jedem Zeitschritt 3 Iterative Lösung Aφ,m+1 = Bφ,m + φ n A = (1 + α t)i t 2 Ds xx ( B = t diag α V (x 1 ) ϑ φ n 1 2,..., α V (x M 1 ) ϑ φ n 2) M 1 4 Konvergenzbeweis (Tafel) Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

26 Implementierung Lineare Schrödingergleichung Anfangswert zufallsverteilt Ergebnis: Grundzustand für harmonisches Potential Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

27 Grundzustand - Schrödingergleichung Gross-Pitaevskii Gleichung Bekannte Lösung für ϑ = 0 kann als Anfangswert verwendet werden Funktioniert gut für ϑ 10 Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

28 Grundzustand - TF Approximation Gross-Pitaevskii Gleichung Für große ϑ ist die Thomas-Fermi Approximation als Anfangswert eine gute Wahl (hier z.b. ϑ = 400) Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

29 Erster angeregter Zustand Implementierung 1 Gleiche Methodik kann dazu verwendet werden φ 1 zu berechnen 2 Entscheidend ist die Wahl des Anfangswertes 3 Wenn V (x) gerade ist kann φ 0 (x) ungerade gewählt werden 4 Konvergenz gegen den ersten angeregten Zustand Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

30 Erster angeregter Zustand Implementierung 1 Gleiche Methodik kann dazu verwendet werden φ 1 zu berechnen 2 Entscheidend ist die Wahl des Anfangswertes 3 Wenn V (x) gerade ist kann φ 0 (x) ungerade gewählt werden 4 Konvergenz gegen den ersten angeregten Zustand Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

31 Erster angeregter Zustand Implementierung 1 Gleiche Methodik kann dazu verwendet werden φ 1 zu berechnen 2 Entscheidend ist die Wahl des Anfangswertes 3 Wenn V (x) gerade ist kann φ 0 (x) ungerade gewählt werden 4 Konvergenz gegen den ersten angeregten Zustand Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

32 Erster angeregter Zustand Implementierung 1 Gleiche Methodik kann dazu verwendet werden φ 1 zu berechnen 2 Entscheidend ist die Wahl des Anfangswertes 3 Wenn V (x) gerade ist kann φ 0 (x) ungerade gewählt werden 4 Konvergenz gegen den ersten angeregten Zustand Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

33 Erster angeregter Zustand ϑ = 400 Christoph, Lukas, Dominik (Univ. Innsbruck) Grundzustand Gross-Pitaevskii 2. Juli, / 14

8.6.1 Erwartungswert eines beliebigen Operators O 8.6.2 Beispiel: Erwartungswert des Impulses eines freien Teilchens

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