Ausgangspunkt: Über einen endlichen Zeitraum wird aus einem Kapital (Rentenbarwert RBW v n,i

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1 D. Reterechug 1.1. Jährliche Retezahluge Vorschüssige Retezahluge Ausgagspukt: Über eie edliche Zeitraum wird aus eiem Kapital (Retebarwert RBW v,i ), das ziseszislich agelegt ist, jeweils zu Begi eies Jahres eie bestimmte Reterate ř gezahlt bzw. es wird jährlich eie bestimmte Rate ř eigezahlt, um am Ede ei bestimmtes Edkapital (Reteedwert REW,i ) zu erhalte. Dr. A. Brik Dr. A. Brik 1 D. Reterechug Kapitalstock versus Sparziel Dr. A. Brik Dr. A. Brik 2

2 D. Reterechug 1.1. Jährliche Retezahluge Vorschüssige Retezahluge vorschüssige Reteedwertformel: REW v, i q 1 r q q 1 Dr. A. Brik Dr. A. Brik 3 D. Reterechug 1.1. Jährliche Retezahluge Vorschüssige Retezahluge Jemad zahlt 5 Jahre lag jährlich vorschüssig jeweils auf ei Sparkoto ei, das mit 10% Zise vergütet wird. Auf welche Betrag wächst das Kapital bis zum Ede des 5. Jahres a? REW 5 v 5;0,1 1, ,1 1, ,61 Dr. A. Brik Dr. A. Brik 4

3 D. Reterechug 1.1. Jährliche Retezahluge Vorschüssige Retezahluge vorschüssige Retebarwertformel: RBW v, i 1 r q 1 q 1 q 1 Dr. A. Brik Dr. A. Brik 5 D. Reterechug 1.1. Jährliche Retezahluge Vorschüssige Retezahluge Jemad möchte ach 47 Jahre eie Lebesversicherug i Höhe vo ausgezahlt bekomme. Welche Betrag muss er jährlich vorschüssig aspare bei i = 6%? 1,06 1 r ,06(1,06 1) 3.912,91 Dr. A. Brik Dr. A. Brik 6

4 D. Reterechug 1.1. Jährliche Retezahluge Nachschüssige Retezahluge Ausgagspukt: Über eie edliche Zeitraum wird aus eiem Kapital (Retebarwert RBW v,i ), das ziseszislich agelegt ist, jeweils zum Ede eies Jahres eie bestimmte Reterate r gezahlt bzw. es wird jährlich eie bestimmte Rate r eigezahlt, um am Ede ei bestimmtes Edkapital (Reteedwert REW,i ) zu erhalte. Dr. A. Brik Dr. A. Brik 7 D. Reterechug 1.1. Jährliche Retezahluge Nachschüssige Retezahluge achschüssige Reteedwertformel: REW, i q 1 r q 1 Dr. A. Brik Dr. A. Brik 8

5 D. Reterechug 1.1. Jährliche Retezahluge Nachschüssige Retezahluge Jemad zahlt 5 Jahre lag jährlich achschüssig jeweils auf ei Sparkoto ei, das mit 10% Zise vergütet wird. Auf welche Betrag wächst das Kapital bis zum Ede des 5. Jahres a? REW 5 5;0,5 1, , ,10 Dr. A. Brik Dr. A. Brik 9 D. Reterechug 1.1. Jährliche Retezahluge Nachschüssige Retezahluge achschüssige Retebarwertformel: RBW, i 1 r q q 1 q 1 Dr. A. Brik Dr. A. Brik 10

6 D. Reterechug 1.1. Jährliche Retezahluge Nachschüssige Retezahluge Jemad möchte ach 47 Jahre eie Lebesversicherug i Höhe vo ausgezahlt bekomme. Welche Betrag muss er jährlich achschüssig aspare bei i = 6%? r 1, , ,68 Dr. A. Brik Dr. A. Brik 11 D. Reterechug Edwert (t = ) Barwert (t = 0) achschüssig q -1 q -1 q -1 REF ; i q -1 1 q Edwert um -Periode abzise! q Dr. A. Brik Dr. A. Brik 12 q q vorschüssig Alles geschieht eie Periode früher! q 1-1

7 D. Reterechug 1.2. Uterjährige Retezahluge Ausgagspukt: Die Reterate werde mehrmals pro Jahr (z.b. vierteljährlich oder moatlich) gezahlt. Dr. A. Brik Dr. A. Brik 13 D. Reterechug 1.2. Uterjährige Retezahluge Bezüglich der Verzisug der gezahlte Reterate köe mehrere Fälle uterschiede werde Verzisug der gezahlte Reterate (a) die Zise werde i jedem Jahr mehrfach achschüssig berechet (b) die Zise werde eimal pro Jahr achschüssig berechet (1) Zisperiode = Reteperiode (2) Zisperiode > Reteperiode (3) Zisperiode < Reteperiode Dr. A. Brik Dr. A. Brik 14

8 D. Reterechug 1.2. Uterjährige Retezahluge Nachschüssige uterjährige Retezahluge Ausgagspukt: Die Reterate werde mehrmals pro Jahr (z.b. vierteljährlich oder moatlich) achschüssig gezahlt, wohigege die Zise eimal pro Jahr achschüssig berechet werde. Dr. A. Brik Dr. A. Brik 15 D. Reterechug 1.2. Uterjährige Retezahluge Nachschüssige uterjährige Retezahluge Vorgehesweise: Sid Zis- ud Reteperiode icht idetisch, muss eie Trasformatio der Retezahluge auf das jeweilige Periodeede vorgeomme werde Diese Trasformatio sieht so aus, dass der Wert aller Reterate eischließlich der Zise zum Ede eies Jahres ermittelt wird. Dr. A. Brik Dr. A. Brik 16

9 D. Reterechug 1.2. Uterjährige Retezahluge Nachschüssige uterjährige Retezahluge Formel: i r e r m 1 2 m Symbol: r e = jahreskoforme Ersatzreterate Dr. A. Brik Dr. A. Brik 17 D. Reterechug 1.2. Uterjährige Retezahluge Nachschüssige uterjährige Retezahluge Jemad zahlt jeweils am Ede eies Vierteljahres je auf ei Sparbuch. Die Bak verzist dieses mit 8% p.a. Auf welche Betrag wächst dieses Kapital ach 5 Jahre? Dr. A. Brik Dr. A. Brik 18

10 D. Reterechug 1.2. Uterjährige Retezahluge Nachschüssige uterjährige Retezahluge Ermittlug der jahreskoforme Ersatzrete r e : 0,08 r e Ermittlug des Edwertes eier achschüssige uterjährige Rete: REW 5 1, ,08 1 5;0, ,40 Dr. A. Brik Dr. A. Brik 19 D. Reterechug 1.2. Uterjährige Retezahluge Vorschüssige uterjährige Retezahluge Ausgagspukt: Die Reterate werde mehrmals pro Jahr (z.b. vierteljährlich oder moatlich) vorschüssig gezahlt. Dr. A. Brik Dr. A. Brik 20

11 D. Reterechug 1.2. Uterjährige Retezahluge Vorschüssige uterjährige Retezahluge Vorgehesweise: We ma bei der Ermittlug der jahreskoforme vorschüssige Ersatzreterate die Beträge jeweils auf das Jahresede aufzist, ka der Reteedwert aalog zu obe (vgl. Abschitt 1.2.1) bestimmt werde. Der Uterschied zwische der vor- ud achschüssige Zahlugsweise ist da allei bei der Ermittlug der Ersatzreterate zu berücksichtige. Dr. A. Brik Dr. A. Brik 21 D. Reterechug 1.2. Uterjährige Retezahluge Vorschüssige uterjährige Retezahluge Formel: i r e r m 1 2 m Symbol: ř e = jahreskoforme Ersatzreterate Dr. A. Brik Dr. A. Brik 22

12 D. Reterechug 1.2. Uterjährige Retezahluge Vorschüssige uterjährige Retezahluge Jemad zahlt jeweils zu Begi eies Vierteljahres je auf ei Sparbuch. Die Bak verzist dieses mit 8% p.a. Wie hoch ist die jahreskoforme Ersatzreterate? r e 0, Dr. A. Brik Dr. A. Brik 23 D. Reterechug 2. Ewige Rete 2.1. Nachschüssige ewige Rete Ausgagspukt: Über eie uedliche Zeitraum wird aus eiem Kapital (Retebarwert), das ziseszislich agelegt ist, jeweils zum Ede eies Jahres eie bestimmte Reterate r gezahlt. Dr. A. Brik Dr. A. Brik 24

13 D. Reterechug 2. Ewige Rete 2.1. Nachschüssige ewige Rete Formel: RBW i, r i Dr. A. Brik Dr. A. Brik 25 D. Reterechug 2. Ewige Rete 2.1. Nachschüssige ewige Rete Jemad möchte eie jährlich achschüssige ewige Rete vo erhalte. Wie hoch muss der Kapitalstock sei bei eier Verzisug vo 8% p.a.? ,08 RBW, i Dr. A. Brik Dr. A. Brik 26

14 D. Reterechug 2. Ewige Rete 2.2. Vorschüssige ewige Rete Ausgagspukt: Über eie uedliche Zeitraum wird aus eiem Kapital (Retebarwert), das ziseszislich agelegt ist, jeweils zu Begi eies Jahres eie bestimmte Reterate ř gezahlt. Dr. A. Brik Dr. A. Brik 27 D. Reterechug 2. Ewige Rete 2.2. Vorschüssige ewige Rete Formel: RBW v i ~ 1 r i, 1 ~ r ~ r i Dr. A. Brik Dr. A. Brik 28

15 D. Reterechug 2. Ewige Rete 2.2. Vorschüssige ewige Rete Jemad möchte aus seiem Kapitalstock i Höhe vo eie ewige Rete beziehe. I welcher Höhe ka eie jährlich vorschüssige ewige Rete gezahlt werde, we die Verzisug 8% p.a. beträgt? r v, i RBW 1 1 i , Dr. A. Brik Dr. A. Brik 29 D. Reterechug 3. Progressive Rete 3.1. Geometrisch fortschreitede Rete Defiitio: Bei eier geometrisch fortschreitede Rete steigt die (Jahres-)Reterate r vo Jahr zu Jahr um eie bestimmte Prozetsatz. Dr. A. Brik Dr. A. Brik 30

16 D. Reterechug 3. Progressive Rete 3.1. Geometrisch fortschreitede Rete Formel: (achschüssig) REW gs, i r f f q q Symbol: f = Progressiosfaktor Dr. A. Brik Dr. A. Brik 31 D. Reterechug 3. Progressive Rete 3.1. Geometrisch fortschreitede Rete Jemad bezieht eie achschüssige Reterate über 10 Jahre. Die erste Reterate beträgt ud wird jährlich um 4% agehobe. Welche Edwert weist diese Rete bei eiem Zissatz vo 6% auf? REW gs 10;0,06 1,04 1, ,04 1, ,68 Dr. A. Brik Dr. A. Brik 32

17 D. Reterechug 3. Progressive Rete 3.2. Arithmetisch fortschreitede Rete Defiitio: Bei eier arithmetisch fortschreitede Rete steigt die (Jahres-)Reterate r vo Jahr zu Jahr um eie vorgegebee Betrag. Dr. A. Brik Dr. A. Brik 33 D. Reterechug 3. Progressive Rete 3.2. Arithmetisch fortschreitede Rete Formel: (achschüssig) RBW as, i RBW, i d i RBF, i 1 q Symbol: d = jährlicher Steigerugsbetrag der Rete Dr. A. Brik Dr. A. Brik 34

18 D. Reterechug 3. Progressive Rete 3.2. Arithmetisch fortschreitede Rete Jemad bezieht eie achschüssige Reterate über 10 Jahre. Die erste Reterate beträgt ud wird jährlich um 200 agehobe. Welche Barwert weist diese Rete bei eiem Zissatz vo 6% auf? Dr. A. Brik Dr. A. Brik 35 D. Reterechug 3. Progressive Rete 3.2. Arithmetisch fortschreitede Rete RBW RBW as 10;0,06 as 10;0,06 RBW 10;0, , , ,06 RBF 10;0, , , , ,82 Dr. A. Brik Dr. A. Brik 36

19 Aufgabe zur Reterechug Aufgabe: 9, 10, 13, 17, 20, 27, 29, 32 Dr. A. Brik Dr. A. Brik 37

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