Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64

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1 1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011

2 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2

3 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung.

4 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung. Physikalische Interpretation als Kräfte, Geschwindigkeiten etc. (Mechanik, Festigkeitslehre, Elektrotechnik..)

5 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung. Physikalische Interpretation als Kräfte, Geschwindigkeiten etc. (Mechanik, Festigkeitslehre, Elektrotechnik..) Vektoren werden algebraisch definiert als geordnete Zahlenpaare oder Zahlentripel.

6 Was sind Vektoren? 4/64 In der Physik unterscheiden wir zwei Typen von Größen: Skalare Größen, die durch die Angabe einer Zahl beschrieben werden können: Zeit, Masse, Volumen etc.

7 Was sind Vektoren? 4/64 In der Physik unterscheiden wir zwei Typen von Größen: Skalare Größen, die durch die Angabe einer Zahl beschrieben werden können: Zeit, Masse, Volumen etc. Vektorielle Größen, die durch mehrere Zahlenangaben bestimmt werden, z.b. Kraft: nicht nur Größe (Betrag) sondern auch Richtung und Orientierung sind wichtig - analog Geschwindigkeit etc.

8 Was sind Vektoren? 4/64 In der Physik unterscheiden wir zwei Typen von Größen: Skalare Größen, die durch die Angabe einer Zahl beschrieben werden können: Zeit, Masse, Volumen etc. Vektorielle Größen, die durch mehrere Zahlenangaben bestimmt werden, z.b. Kraft: nicht nur Größe (Betrag) sondern auch Richtung und Orientierung sind wichtig - analog Geschwindigkeit etc. Nach dem physikalischen Vorbild des Kraftbegriffs definieren wir: Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im Raum. Dabei werden diejenigen Pfeile als gleich angesehen, die durch Parallelverschiebung ineinander übergehen.

9 Was sind Vektoren? 5/64 Bezeichnung: a Vektoren besitzen Länge (Betrag), Richtung und Orientierung. Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in Betrag, Richtung und Orientierung übereinstimmen.der Vektor mit dem Betrag Null heisst Nullvektor o. a

10 Was sind Vektoren? 6/64 Definiert werden hier sogenannte freie Vektoren; der Anfangspunkt des Pfeils ist beliebig. In den Anwendungen sind noch gebräuchlich: linienflüchtige Vektoren: der Anfangspunkt des Pfeils kann auf einer Geraden gewählt werden. ortsfeste Vektoren mit wohlbestimmtem Anfangspunkt

11 Addition von Vektoren 7/64 Definition: Zwei Vektoren werden addiert, indem man den Anfangspunkt des einen Vektors im Endpunkt des anderen Vektors anhängt. b a + b a a b a b

12 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 8/64 Definition: Unter s a mit s > 0 verstehen wir einen Vektor, dessen Richtung und Orientierung mit a übereinstimmt, aber mit der s-fachen Länge von a.istsnegativ,sodrehtsichnoch zusätzlich die Orientierung um. 3 a a

13 Rechenregeln 9/64 a + b = b + a s( a + b ) = s a + s b (s + t) a = s a + t a s a = s a

14 Punkte und Vektoren 10/64 Zwei Punkte P 1 (x 1 y 1 z 1 ) und P 2 (x 2 y 2 z 2 ) definieren den Vektor x 2 x 1 P 1 P 2 = y 2 y 1 z 2 z 1

15 Algebraisierung der Vektorrechnung 11/64 Der geometrische Vektorbegriff soll zahlenmäßig erfasst werden. Dazu wählen wir drei Vektoren der Länge 1 aus, die paarweise aufeinander orthogonal stehen. Weiter legen wir die Reihenfolge (gegenseitige Orientierung) mit der Rechtsschrauben-Regel fest.

16 Algebraisierung der Vektorrechnung 12/64 Alle Vektoren im Raum können als Linearkombination der Einheitsvektoren i, j, k dargestellt werden, die wir uns in den Achsen eines kartesischen Koordinatensystems denken. a 1 a = a1 i + a2 j + a3 k = a 2 a 3

17 Algebraisierung der Vektorrechnung 13/64 Die Grundrechenoperationen übertragen sich damit auf die Komponenten: Gleichheit von Vektoren a 1 a 2 = a 3 b 1 b 2 b 3 Addition und Subtraktion S-Multiplikation a 1 b 1 a 2 ± b 2 = a 3 b 3 a 1 s a 2 = a 3 a 1 = b 1 a 2 = b 2 a 3 = b 3 a 1 ± b 1 a 2 ± b 2 a 3 ± b 3 s a 1 s a 2 s a 3

18 Länge (Betrag) eines Vektors x 3 a 3 a x a 2 a 1 a x 2 14/64

19 Länge (Betrag) eines Vektors 15/64 a = a = a1 2 + a2 2 a 2 + a 23 = a1 2 + a2 2 + a2 3

20 Anwendung: Normierung eines Vektors 16/64 Normierung eines Vektors a auf die Länge 1. Einsvektor e a. e a = a a Vektor der Länge 1 mit Richtung und Orientierung wie a. Praxisanwendung: Computer Aided Design and Manufacturing (CAD/CAM), Prozesskette Karosserie

21 Die Richtung eines 2D Vektors 17/64 α =Winkel zwischen x 1 -Achse und a : x 2 ( ) a1 a = a 2 α x 1 { arctan a 2 α = 1, a 1 > 0 arctan a 2 a 1 + π, a 1 < 0

22 Die Richtung eines 3D Vektors. Richtungscosinusse 18/64 α k =Winkel zwischen x k -Achse und a ; cosα k = a k a. x 3 a 1 a = a 2 a 3 α 3 α 2 x 2 α 1 x 1

23 Die Richtung eines 3D Vektors. Richtungscosinusse 19/64 Beispiele : a = ( 1 1 ) ; α = π/4 b 1 = 1 ; α 1 = α 2 = π/3, α 3 = π/4 2

24 Die Richtung eines 3D Vektors. Richtungscosinusse 20/64 Für einen Vektor a und seine Richtungscosinusse cos α k gilt: cos 2 α 1 +cos 2 α 2 +cos 2 α 3 =1 sowie cos α 1 e a = cos α 2 und cos α 3 a = a e a

25 Das Skalarprodukt 21/64 Das physikalische Experiment: Arbeit, die längs einer Strecke s von der Kraft F geleistet wird. Nur der Anteil der Kraft längs des Weges ist relevant. A = F s cos ϕ F ϕ F cos ϕ s

26 Das Skalarprodukt 22/64 Definition: Unter dem Skalarprodukt der Vektoren a und b versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren a und b multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. a b = a b cos ϕ Daraus ergibt sich für den Winkel ϕ : a b > 0 0 ϕ< π 2 a b < 0 π 2 <ϕ π a b = 0 ϕ = π 2

27 Eigenschaften des Skalarproduktes 23/64 a b = b a a ( b + c ) = a b + a c s ( a b ) = (s a ) b = a (s b ) a ( b c ) ( a b ) c a b = 0 a = o b = o a b

28 Eigenschaften des Skalarproduktes 24/64 Es gibt keine Umkehrung des Skalarproduktes, d.h. die Beziehung a x = b lässt sich nicht nach x auflösen. x Alle x besitzen dieselbe Projektion auf a. Die Spitzen aller Vektoren mit a x = b liegen in einer Ebene. a

29 Skalarprodukt in Koordinatendarstellung a b = (a1 i + a2 j + a3 k ) (b1 i + b2 j + b3 k ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a 1 b 1 a 2 b 2 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a 3 b 3 Sind die Koordinaten zweier Vektoren bekannt, so kann mit Hilfe des Skalarprodukts der Winkel zwischen den beiden Vektoren bestimmt werden. a b = a b cos ϕ cos ϕ = = a b a b a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a1 2 + a2 2 + a2 3 b1 2 + b2 2 + b2 3 25/64

30 Projektionen 26/64 Projektion des Vektors a auf die Richtung von b : skalar: b a = a b vektoriell: b a b = a b b 2 b

31 Vektorprodukt(Kreuzprodukt) 27/64 Das physikalische Experiment: Bewegt sich eine elektrische Ladung im Magnetfeld, so wirkt auf diese eine Kraft. Diese Kraft wirkt senkrecht auf die Bewegungsrichtung und senkrecht auf die Richtung des Magnetfelds. Dabei ist nur der Anteil des Magnetfelds relevant, der senkrecht zur Bewegungsrichtung ist. Das Drehmoment in der Mechanik wird ebenfalls als Vektorprodukt definiert. B B sin ϕ ϕ v

32 Vektorprodukt(Kreuzprodukt) 28/64

33 Vektorprodukt(Kreuzprodukt) 29/64 Definition: Das mit a b bezeichnete Vektorprodukt steht senkrecht auf den Vektoren a und b, bildet in der Reihenfolge a, b, a b ein Rechtssystem und hat den Betrag a b = a b sin ϕ, ϕ = ( a, b ) a b b a

34 Vektorprodukt(Kreuzprodukt) 30/64 b ϕ b sin ϕ a Der Betrag a b kann als die von den Vektoren a, b aufgespannten Parallelogrammfläche gedeutet werden.

35 Eigenschaften des Vektorproduktes 31/64 a b = b a a ( b + c ) = a b + a c s ( a b ) = (s a ) b = a (s b ) a ( b c ) ( a b ) c a b = o a = o b = o a b

36 Eigenschaften des Vektorproduktes 32/64 Es gibt keine Umkehrung des Vektorprodukts, d.h. die Beziehung a x = b lässt sich nicht nach x auflösen. x a Die Spitzen aller Vektoren mit a x = b liegen auf einer Geraden parallel zu a und senkrecht zu b.

37 Vektorprodukt in Koordinatendarstellung 33/64 a b = (a1 i + a2 j + a3 k ) (b1 i + b2 j + b3 k ). a b =(a2 b 3 a 3 b 2 ) i +(a 3 b 1 a 1 b 3 ) j +(a 1 b 2 a 2 b 1 ) k. oder a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 = b 3 a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3. a 1 b 2 a 2 b 1

38 Vektorprodukt in Koordinatendarstellung 34/64 Merkregel mit Determinantenschema : a b = i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 } {{ } a 2 b 3 a 3 b 2 j a 1 a 3 b 1 b 3 } {{ } a 1 b 3 a 3 b 1 + k a 1 a 2 b 1 b 2 } {{ } a 1 b 2 a 2 b 1

39 Spatprodukt 35/64 Definition: Wird ein Vektor a mit dem Vektorpodukt von zwei Vektoren b c skalar multipliziert, so nennt man diese Kombination Spatprodukt. Schreibweise: [ a, b, c ] = a ( b c )

40 Spatprodukt 36/64 Das Spatprodukt lässt sich als (orientiertes) Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spats interpretieren. a ( b c ) = a b c } {{ } A P cos ϕ mit ϕ = ( a, b c )

41 Spatprodukt 37/64 b c a h c A p b

42 Spatprodukt in Koordinatendarstellung 38/64 a 1 b 2 c 3 b 3 c 2 a ( b c )= a 2 b 3 c 1 b 1 c 3 a 3 b 1 c 2 b 2 c 1 = a 1 (b 2 c 3 b 3 c 2 ) + a 2 (b 3 c 1 b 1 c 3 ) + a 3 (b 1 c 2 b 2 c 1 ) [ a, b, c ]= a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3

43 Eigenschaften des Spatprodukts 39/64 Aus der Eigenschaft [ a, b, c ] = 0 folgt, dass alle Vektoren in einer Ebene liegen. Wird beim Spatprodukt die Reihenfolge der Vektoren verändert, so kann sich höchstens das Vorzeichen ändern. Speziell gilt: Werden zwei Vektoren vertauscht (dritter Vektor bleibt auf seiner Position), so ändert sich das Vorzeichen. Bei zyklischer Vertauschung bleibt das Vorzeichen erhalten.

44 Lineare Abhängigkeit 40/64 Zwei Vektoren a, b 0 nennt man linear abhängig, wenn sie parallel sind; d.h. wenn gilt: b = λ a linear unabhängig, wenn sie nicht parallel sind. a und b spannen dann (bei gleichem Anfangspunkt) eine Ebene auf.

45 Lineare Abhängigkeit 41/64 Drei Vektoren nennt man linear abhängig, wenn alle drei Vektoren in einer Ebene liegen Es gilt dann c = λ a + µ b Kriterium: [ a, b, c ] = 0 linear unabhängig, wenn sie (bei gleichem Anfangspunkt) den 3D-Raum aufspannen. Kriterium: [ a, b, c ] 0

46 Zerlegung in zwei Komponenten 42/64 Sind die Vektoren a, b, c linear abhängig, so kann der Vektor c in Komponenten in die Richtungen von a, b zerlegt werden. Das lineare Gleichungssystem: c = λ1 a + λ 2 b besitzt dann eine eindeutige Lösung λ 1,λ 2.

47 Zerlegung in zwei Komponenten 43/64 Beispiel: 2 a = 1, 1 b = 0, 5 c = Das lineare Gleichungssystem: c = λ1 a + λ 2 b besitzt die Lösung λ 1 =2,λ 2 =1.

48 Zerlegung in drei Komponenten 44/64 Sind die Vektoren a, b, c linear unabhängig, so kann jeder Vektor x in Komponenten in die Richtungen von a, b, c zerlegt werden. Das lineare Gleichungssystem: x = λ1 a + λ 2 b + λ 3 c besitzt dann eine eindeutige Lösung λ 1,λ 2,λ 3.

49 Zerlegung in drei Komponenten 45/64 Beispiel: 2 a = 1, 1 b = 0, 1 c = 1, 1 x = Das lineare Gleichungssystem: x = λ1 a + λ 2 b + λ 3 c besitzt die Lösung λ 1 =1,λ 2 = 2,λ 3 =1.

50 Gerade in Parameterdarstellung 46/64 u x 0 g x x 3 x 1 x 2

51 Gerade in Parameterdarstellung 47/64 Gerade in Parameterdarstellung (Punkt-Richtungsform) g : x = x 0 + t u, t IR Beispiel: Gerade durch die Punkte A(1 2 3), B( 1 0 2) u = AB = 2 0 = x t x = x 2 = 2 + t 2 = 2+2t x t

52 Ebene in Parameterdarstellung 48/64 x 3 x 1 x 2

53 Ebene in Parameterdarstellung 49/64 Ebene in Parameterdarstellung E : x = x 0 + λ u + µ v λ, µ IR Beispiel : Ebene durch A(1 1 1), B(2 1 4),C(2 3 1). x 0 = 1 OA = u = AB = 1 1 = v = AC = 3 1 =

54 Ebene in Parameterdarstellung 50/64 Ergebnis x x 1 = x 2 = x λ 2 + µ 2 = λ + µ 1+2λ 2µ 1+3λ 2µ

55 Ebene in Gleichungsform 51/64 n n v E u x x 0

56 Ebene in Gleichungsform 52/64 Eine Ebene lässt sich auch durch eine lineare Gleichung in x 1, x 2, x 3 beschreiben. Dazu multiplizieren wir die Parameterdarstellung scalar mit dem Normalenvektor der Ebene n = u v x = x 0 + λ u + µ v x n = x 0 n + λ u n + µ v n x n = x 0 n

57 Ebene in Gleichungsform 53/64 Beispiel x 1 = λ 2 + µ = n = u v = e 1 e 2 e

58 Ebene in Gleichungsform 54/64 Beispiel x n = x 0 n 2 x 1 5 x 2 = 4 x x 1 + 5x 2 4x 3 =+ 7

59 Schnitt Gerade-Ebene 55/64 Die Parameterdarstellung der Geraden eingesetzt in die Ebenengleichung ergibt eine lineare Gleichung für den Schnittparameter t. Ist die Ebene ebenfalls in Parameterform gegeben, so bestimmt man zunächst die Ebenengleichung und verfährt weiter nach obigem Schema.

60 Schnitt Gerade-Ebene 56/64 Beispiel 1 1 g : x = 0 + λ E : x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 x 1 = 1 + λ x 2 = λ x 3 = 1 2λ

61 Schnitt Gerade-Ebene 57/64 = (1 + λ) + 2λ + (1 2λ) = 3 = λ = 1 = s = =

62 Schnitt Ebene-Ebene 58/64 Die Ebenen E 1, E 2 seien durch ihre Koordinatengleichung gegeben. Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ergibt eine einparametrige Lösung, d.h. die Parameterdarstellung der Schnittgeraden.

63 Schnitt Ebene-Ebene 59/64 Beispiel : E 1 : x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 ( E 2 : 4x 1 ) x 2 + ( 2x 3 = 3 ) x 1 = 1 5λ x 2 = 1 2λ x 3 = 9λ 1 5 x = + λ

64 Schnitt Gerade-Gerade 60/64 Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt, wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind. Das Gleichsetzen der beiden Parameterdarstellungen (mit unterschiedlichen Bezeichnungen für die Parameter) ergibt ein lineares Gleichungssystem für die beiden Parameter.

65 Schnitt Gerade-Gerade 61/64 Beispiel : g 1 : x 1 x 2 = x t g 2 : x 1 x 2 = x t Ergebnis: S(1 0 2)

66 Kurven in Parameterdarstellung 62/64 Definition : Kurve x(t) = x 1 (t) x 2 (t), t IR x 3 (t) Tangentialvektor x(t) = d x(t) dt = x 1 (t) x 2 (t), t IR x 3 (t)

67 Kurven in Parameterdarstellung 63/64 Beispiele : Kreis x(t) = Zykloide x(t) = Schraubenlinie x(t) = ( ) r cost, t [0, 2π] r sint ( ) r t r sint, t [0, 6π] r r cost cost sint, t [0, 4π] t

68 64/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011

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