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1 ad Physik A VL2 ( ) korrigierte Varianz: oder: korrigierte Stichproben- Varianz n ( x) ( xi ) n 1 i1 1 n 1 n i1 1 Begründung für den Vorfaktor : n 1 Der Mittelwert der Grundgesamtheit (= Mittelwert aus unendlich vielen Messungen = tatsächlicher Messwert) ist unbekannt und wird durch den Stichprobenmittelwert σ 2 ist eine Schätzfunktion. x i 1 x 2 ersetzt, d.h. er wird geschätzt. Es lässt sich zeigen (siehe z.b. n dass die Schätzfunktion s x i x nicht erwartungstreu ist, und um einen n i1 n Faktor korrigiert werden muss. n 1 Erwartungswert der korrigierten Stichprobenvarianz = Varianz der Grundgesamtheit x

2 Physik A VL3 ( ) Beschreibung von Bewegungen - Kinematik in einer Raumrichtung I Warum wir ein Bezugssystem brauchen Weg und Geschwindigkeit als vektorielle Größen Die Durchschnittsgeschwindigkeit Die Momentangeschwindigkeit

3 Beschreibung von Bewegungen Kinematik in einer Raumrichtung I Untersuchung der Bewegung von Körpern und der verwandten Begriffe Kraft und Energie: Mechanik Mechanik ist der klassischste Teil der Physik, deren Grundlagen im 15. und 16. Jahrhundert geschaffen wurden, u.a. von : Galileo Galilei ( ) Christiaan Huygens ( ) Isaac Newton ( ) Mechanik, Kreisbewegung, Formalisierung der Mechanik, (Fernrohr, Astronomie) Stoßgesetze Grundprinzipien der Bewegung Gravitationsgesetze

4 Beschreibung von Bewegungen Kinematik in einer Raumrichtung I Untersuchung der Bewegung von Körpern und der verwandten Begriffe Kraft und Energie: Einteilung in drei Bereiche: Mechanik Statik: Zusammensetzung und Gleichgewicht von Kräften Mechanik Kinematik: Beschreibung von Bewegungen Dynamik: Beschreibung von Kräften und Untersuchung, warum sich Körper in einer bestimmten Art und Weise bewegen

5 Kinematik Zunächst: Bewegung ohne Drehimpuls (Begriff zunächst ohne weitere Erläuterung, der Wortteil Dreh- liefert alle momentan notwendigen Informationen: keine Drehbewegung) = Translationsbewegung (keine Rotationsbewegung) Zur Vereinfachung vieler der folgenden Betrachtungen: Darstellung/Annahme der betrachteten Objekte als Massenpunkte: - mathematischer Punkt = ohne räumliche Ausdehnung Form und Abmessungen des Objektes spielen keine Rolle! - Massenpunkte können keine Rotationsbewegungen ausführen. ( ein Punkt kann nicht rotieren ) - der Punkt besitzt exakt die gleiche Masse wie das Objekt, das er repräsentiert

6 Bezugssysteme Beispiel...zur Verdeutlichung, warum immer ein Bezugssystem benötigt wird Bewegung einer Person in einem Zug

7 Bewegung einer Person in einem Zug. Realistische vs. schematische Darstellung

8 Bewegung einer Person in einem Zug. Realistische vs. schematische Darstellung

9 Beispiel...zur Verdeutlichung, warum immer ein Bezugssystem benötigt wird Bewegung einer Person in einem Zug Bezugssysteme Ein Zug fährt mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h. Innerhalb des Zuges läuft eine Person mit einer Geschwindigkeit von 5 km/h in Fahrtrichtung des Zuges. 5 km/h 80 km/h Der Zug bewegt sich mit 80 km/h Die Person bewegt sich mit 5 km/h in dem Zug, d.h. bezogen auf den Zug als Bezugssystem Die Person bewegt sich mit 80 km/h + 5 km/h = 85 km/h relativ zum Erdboden (als Bezugssystem).

10 Beispiel...zur Verdeutlichung, warum immer ein Bezugssystem benötigt wird Bewegung einer Person in einem Zug Bezugssysteme Bei der Beschreibung einer Bewegung neben der Angabe der Geschwindigkeit auch die Angabe der Bewegungsrichtung notwendig! Zug und Person bewegen sich in die gleiche Richtung Geschwindigkeiten werden addiert. Würde die Person entgegen der Fahrtrichtung laufen, ergäbe sich eine Geschwindigkeit von (80-5) km/h = 75 km/h als Geschwindigkeit der Person mit der Erde als Bezugssystem. Zur Angabe der Bewegungsrichtung verwenden wir Koordinatensysteme. Bei Bewegungen in einer Raumrichtung benötigen wir nur eine Koordinatenachse: hier die x-achse.

11 Bezugssysteme Beispiel...zur Verdeutlichung, warum immer ein Bezugssystem benötigt wird Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe!! Bei Bewegungen in einer Dimension reicht das Vorzeichen als Aussage über die Richtung: positive Geschw. bei Bewegung in + x-richtung: + 5 km/h bzw. 5 km/h negative Geschw. bei Bewegung in x-richtung: - 5 km/h Damit können wir (s.o.) die Geschwindigkeiten immer addieren und erhalten dank des Vorzeichens das korrekte Ergebnis für beide Fälle.

12 Bezugssysteme Betrachtung des sich durch die Bewegung eines Körpers ergebenden Weges im Koordinatensystem: Beispiel 1: In einem Bezugssystem (x-achse) bewegt sich ein Körper vom Ort x 1 = 10 m zum Ort x 2 = 35 m. Der Körper beginnt die Bewegung zum Zeitpunkt t 1 am Ort x 1, zum Zeitpunkt t 2 endet die Bewegung am Ort x 2 Der Weg s ergibt sich zu: d.h. in obigem Beispiel: s = x 2 x 1 = Δx s = 35 m 10 m = 25 m Beispiel 2: In diesem Fall erfolgt die Bewegung in entgegengesetzter Richtung x 1 und x 2 sind vertauscht Es ergibt sich für den zurückgelegten Weg: s = x 2 x 1 = (10-35) m = -25 m Das Vorzeichen des zurückgelegten Weges gibt die Richtung der Bewegung an.

13 Durchschnittsgeschwindigkeit Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann als Quotient aus dem zurückgelegten Weg und der dafür benötigten Zeit berechnet werden: Durchschni ttsgeschwindigkeit Die benötigte Zeit ist t 2 t 1 = Δt zurückgelegter Weg benötigte Zeit Damit lässt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen: v x t 2 2 x t 1 1 x t s t verallgemeinert für ein beliebiges Wegstück Δs (d.h. unabhängig vom verwendeten Bezugssystem): Da t 2 > t 1 gilt, ist Δt immer positiv! v s t Das Vorzeichen der (Durchschnitts-) Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Vorzeichen des Weges und gibt in gleicher Art und Weise die Bewegungsrichtung an.

14 Die Durchschnittsgeschwindigkeit liefert lediglich Informationen darüber, wie schnell sich ein Objekt durchschnittlich bewegt hat. Momentangeschwindigkeit Informationen über die momentane Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt erhält man, indem man die Momentangeschwindigkeit bestimmt. Die Momentangeschwindigkeit v in einem beliebigen Moment ist definiert als die Durchschnittsgeschwindigkeit über ein unendlich kleines Zeitintervall Δt : v lim t 0 s t D.h., der Quotient Δs/Δt muss für den Fall berechnet werden, dass Δt gegen Null geht. (Würde einfach Δt = 0 gesetzt, wäre dieser Quotient nicht mehr definiert zudem wäre dann auch Δs = 0) In diesem Fall nähert sich der Quotient einem definierten Wert, der Momentangeschwindigkeit, an. Betrachtung der Bewegung über ein Weg-Zeit-Diagramm:

15 Experiment: Gleichförmige lineare Bewegung Weg-Zeit-Diagramme

16 Weg-Zeit-Diagramme Experiment: Gleichförmige lineare Bewegung Weg-Zeit-Diagramm: t s t x t t x x v t s v t s v t 0 lim Bei einer gleichförmigen linearen Bewegung (= konstante Geschwindigkeit) sind Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit identisch.

17 Weg-Zeit-Diagramme Experiment: Ungleichförmige, beschleunigte Bewegung

18 Weg-Zeit-Diagramme Weg-Zeit-Diagramm: P 1 und P 2 sind die Punkte, die die Situation zu den Zeitpunkten t 1 und t 2 kennzeichnen. Der Quotient Δs/ Δt entspricht der Steigung der Geraden durch diese beiden Punkte. Die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte in einem Weg-Zeit-Diagramm entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit in diesem Zeitintervall.

19 Momentangeschwindigkeit im Weg-Zeit-Diagramm Weg-Zeit-Diagramm: Wählen wir diese Zeitintervalle immer kleiner, nähert sich die Gerade immer weiter einer Tangente an die Weg-Zeit-Kurve im Punkt P 1 an. oder Die Momentangeschwindigkeit ist der Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn Δt gegen Null geht Die Momentangeschwindigkeit ist gleich der Steigung der Tangente an die Weg-Zeit-Kurve in diesem Punkt.

20 Momentangeschwindigkeit im Weg-Zeit-Diagramm Es ergibt sich für die Definition der Momentangeschwindigkeit (in Differentialschreibweise): v lim t 0 x t dx dt ds dt Die Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung von s (genauer: s(t)!) nach t! Die Weg-Zeit-Kurve liefert zu jedem Zeitpunkt die Momentangeschwindigkeit einer Bewegung:

21 Zusammenfassung Mechanik Untersuchung der Bewegung von Körpern und der verwandten Begriffe Kraft und Energie. Einteilung in drei Teilbereiche: - Statik (Zusammensetzung und Gleichgewicht von Kräften) - Kinematik (Beschreibung von Bewegungen) - Dynamik (Beschreibung von Kräften und Untersuchung, warum sich Körper in einer bestimmten Art und Weise bewegen) Kinematik in einer Raumrichtung Zunächst: Translationsbewegungen von Massepunkten in einer Raumrichtung. Es wird immer ein Bezugssystem benötigt, da Weg und Geschwindigkeit vektorielle Größen sind. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Quotient aus dem zurückgelegten Weg und der dafür benötigten Zeit. Die Momentangeschwindigkeit ist der Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn Δt gegen Null geht bzw. Die Momentangeschwindigkeit ist gleich der Steigung der Tangente an die Weg-Zeit-Kurve in diesem Punkt. Das Vorzeichen der Geschwindigkeit (Durchschnitts- und Momentan-) ergibt sich aus dem Vorzeichen des Weges und gibt in gleicher Art und Weise die Bewegungsrichtung an.

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