Diskrete Integratoren und Ihre Eigenschaften

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1 Diskree Inegraoren und Ihre Eigenschafen Whie Paper von Dipl.-Ing. Ingo Völlmecke Indusrielle eglersrukuren werden im Allgemeinen mi Hilfe von Inegraoren aufgebau. Aufgrund des analogen Schalungsaufbaus wurden die regelungsechnischen Srukuren mi Hilfe zeikoninuierlicher Modelle realisier. Die im Laufe der Jahre einziehende echnerechnik ha zu einer Diskreisierung im Zei- und Ampliudenbereich geführ. Die Diskreisierung (Quanisierung) im Ampliudenbereich führ zu einem Diskreisierungsrauschen und den dami zusammenhängenden Phänomenen, wie z.b. maximal erreichbare Dynamik. Die zeiliche Diskreisierung (Abasung) führ uner anderem zu einer maximal erreichbaren Signalfrequenz, die mi dem abgeaseen Signal eindeuig rekonsruier werden kann. In der egelungsechnik komm ein weierer Effek hinzu, der lezendlich auf den oben beschriebenen Effeken beruh, der aber einer besonderen Inerpreaion bedarf. Dieser Effek wird of vergessen und unerschäz. Er beruh auf den eingesezen Elemenen zur ealisierung von zeidiskreen eglern, Beim Einsaz dieser egelbauseine solle man ses diese andbedingungen im Hinerkopf behalen. e() K i K P Bild : Zeikoninuierliches Modell eines eglers x() Der koninuierliche egler G (s) kann mi folgender Gleichung beschrieben werden. x( ) = ki e( τ ) dτ + kpe( ) () Bei der Berachung von Gl. und dem folgenden zeidiskreen Modell eines eglers erkenn man unschwer, dass lediglich der Inegraor eine zeiveränderliche Größe darsell, die neben dem Eingangssignal, einer genauen Berachung der Auswirkungen der zeilichen Diskreisierung bedarf. e(n) K i Diskreer Inegraor x(n) Bild zeig das ypische Modell einer egelsrecke. u() e() x() y() G (s) G S (s) Bild : Modell einer egelsrecke Diese egelsrecke kann mi folgender Gleichung beschrieben werden. G( s) GS( s) s) = U( s) G ( s) G ( s) S () K P Bild 3: Zeidiskrees Modell eines eglers Wie kann nun ein diskreer Inegraor realisier werden. Wir erinnern uns sicher alle noch, mehr oder minder, an unser erses Zusammenreffen mi der Inegralrechnung. Unsere Lehrer versuchen uns, mehr oder minder gu versändlich, mi Hilfe von iemanschen echecken und Übergängen zu unendlich schmalen echecken die Fläche uner einer Kurve und den Übergang zur koninuierlichen Inegraion näher zu bringen. Lezendlich is dies die erse Approximaionsformel für die Berechnung eines diskreen Inegraions. Wir nähern die Fläche uner einer Kurve mi Hilfe von echecken an, deren Breie der Abaszei ensprich. Berlin +49 () Frankfur +49 () Schweiz +4 ()5 7455

2 echeckregel f() f() n- n n+ n- n n+ Bild4: Flächenapproximaion mi Hilfe der echeckregel Bild5: Flächenapproximaion mi Hilfe der rapezregel Diese Approximaion kann nun mi Hilfe der folgenden Formel beschrieben werden. Diese Approximaion kann nun mi Hilfe der folgenden Formel beschrieben werden. y ( n) = y ( n ) + x( n )* (3) Diese Differenzengleichung berechne ieraiv eine Approximaion des Inegrals mi Hilfe von zeilich äquidisan abgeaseen Ampliudenweren. Diese Differenzengleichung kann nun mi Hilfe der z-ransformaion uner Berücksichigung der Voraussezungen in den z-bereich ransferier werden. G ( = z = z (4) Neben der echeckregel is eine Vielzahl weierer Approximaionsverfahren für die zeiliche Diskreisierung von Inegraoren bekann. Eine der bekannesen is die rapezregel, die auch als bilineare ransformaion zur Diskreisierung von koninuierlichen Überragungsfunkionen eingesez wird. rapezregel Bei der rapezregel wird neben dem echeck uner der Kurve noch das Dreieck berücksichig, dass sich durch die lineare Verbindung zwischen zwei aufeinanderfolgenden Abaspunken und dem echeckaneil aufspannen läss. y ( n) = y ( n ) + x( n ) + [ x( n) x( n ) ] (5) Die Z-Überragungsfunkion berechne sich daraus wie folg. G ( = + z = z Mi Hilfe der Gleichung: z = e = cos( Ω) + j sin( Ω) (6) (7), lassen sich nun der Ampliuden- und Phasenfrequenzgang des Inegraors berechnen. Dami ergeben sich folgende komplexe Frequenzgänge: G ( e ) = = e Ω sin( ) π Ω (8) Berlin +49 () Frankfur +49 () Schweiz +4 ()5 7455

3 G ( e ) = = e Ω an( ) π (9) Im Ampliudenbereich ergeben sich die größen Abweichungen im Bereich der halben Abasfrequenz. Die rapezregel führ zu einer Nullselle bei der halben Abasfrequenz, was zu einer zunehmenden Dämpfung bei hohen Frequenzen führ. Die echeckregel führ zu einer Überhöhung bei hohen Frequenzen im Vergleich zu einem koninuierlichen Inegraor. In der Abbildung 6 und 7 werden die Ampliuden- und Phasenfrequenzgänge der beiden oben besprochenen Inegraoren dargesell. db echeckregel.b rapezregel.b Koninuierlich.b Der Phasenfrequenzgang der rapezregel ensprich dem Phasenfrequenzgang des koninuierlichen Inegraors bei 9. Demgegenüber weiß der Inegraor nach der echeckregel ein komple abweichendes Verhalen auf. Der Sarwer dieses Inegraors lieg für f= bei 9 und weiß dann eine lineare Phase (konsane Gruppenlaufzei) auf. Die Phase geh für die halbe Abasfrequenz gegen 8. Wenn ein maximaler Ampliudenfehler von. % zwischen den Ergebnissen des koninuierlichen Inegraors und den Inegraoren nach echeck- und rapezregel zugelassen wird, erhäl man folgende Bandbreien: -9-3 Bild 6: Ampliudenfrequenzgang von echeck- und rapezinegraor echeckregel: rapezregel: Beragsfehler_echeckregel %. ca..5 % der Abasrae ca..7 % der Abasrae Beragsfehler_rapezregel echeckregel.p rapezregel.p Koninuierlich.p Grad Bild7: Phasenfrequenzgang von echeck- und rapezinegraor Bild 8: Differenz der Ampliudenfrequenzgänge zwischen echeck- und rapezinegraor sowie koninuierlichem Inegraor Sowohl im Ampliuden- als auch im Phasenbereich ergeben sich Abweichungen zwischen den diskreen und koninuierlichen Inegraoren. Berlin +49 () Frankfur +49 () Schweiz +4 ()

4 Phasenfehler_echeckregel Phasenfehler_rapezregel yr y yk % ^ Bild 9: Differenz der Phasenfrequenzgänge zwischen echeck- und rapezinegraor sowie koninuierlichem Inegraor Wenn nun für die oben berechneen Frequenzen mi. % Ampliudenfehler die Phasenfehler besimm werden, ergeben sich folgende Zahlen: echeckregel: rapezregel: ca. 5 % Fehler ca. % Fehler Bei einer Anwendung der unerschiedlichen Inegraoren auf ein Cosinussignal mi der Ampliude erhäl man die in Abbildung dargesellen Zeiverläufe. 3 4 Bild : Anwendung der unerschiedlichen Inegraoren auf eine Cosinusschwingung mi der Ampliude und der Frequenz 5 bei k Abasfrequenz (yr= echeckregel, y= rapezregel, yk= koninuierliches Modell) Schallinensiäsberechnung Eine weiere Applikaion bei der ein Inegraionsverfahren eingesez wird, is die Schallinensiäsberechnung. Die Schallinensiä is definier als Produk aus der Schallschnelle und dem Schalldruck an dem Messpunk. Die Inensiä gib an, wie viel Energie pro Flächeneinhei durch ein Flächenelemen ri. Sie is aufgrund der Schallschnelle eine vekorielle Größe. ms ^-3 yr y yk I = pv () Die Messung kann mi Hilfe einer Mikrofonsonde erfolgen. Dabei wird an zwei benachbaren Punken der Schalldruck gemessen und mi Hilfe folgender Berechnungsformel, die Schallinensiä in einer ichung berechne ms Bild : Anwendung der unerschiedlichen Inegraoren auf eine Cosinusschwingung mi der Ampliude und der Frequenz bei k Abasfrequenz (yr= echeckregel, y= rapezregel, yk= koninuierliches Modell) I ( ) = p( ) v ( ) x x ( p ( ) + p ( ) ) x ρ x * ( p ) x( τ) px( τ) x dτ Berlin +49 () Frankfur +49 () Schweiz +4 ()

5 P Vorversärker AD- Wandler + / x I P Vorversärker AD- Wandler - Bild : Schema der Berechnung der Schallinensiä Die Differenz der Schalldrucksignale wird vor der Muliplikaion über einen Inegraor geführ. Für diesen Inegraor können bei einer digialen ealisierung unerschiedliche Inegraionsverfahren verwende werden. Berlin +49 () Frankfur +49 () Schweiz +4 ()

6 Weiere Informaionen erhalen Sie uner: imc Meßsyseme GmbH Volasr. 5 D-3355 Berlin elefon: +49 () Fax: +49 () holine@imc-berlin.de Inerne: hp:// Sei über Jahren enwickel, ferig und verreib die imc Meßsyseme GmbH welwei Hard- und Sofwarelösungen im Bereich der physikalischen Messechnik. Ob im Fahrzeug, an Prüfsänden oder beim Überwachen von Anlagen und Maschinen Messdaenerfassung mi imc-sysemen gil als produkiv, leich ausführbar und renabel. Dabei kommen in Enwicklung, Forschung, Versuch und Inberiebnahme sowohl schlüsselferige imc- Messsysemlösungen als auch sandardisiere Messgeräe und Sofwareproduke zum Einsaz. imc-geräe arbeien in mechanischen und mecharonischen Anwendungen bis k pro Kanal mi nahezu allen gängigen Sensoren zur Erfassung physikalischer Messgrößen wie z.b. Drücke, Kräfe, Drehzahlen, Vibraionen, Geräusche, emperauren, Spannungen oder Sröme. Das Spekrum der imc-messechnik reich von der einfachen Messdaenaufzeichnung über inegriere Echzeiberechnungen bis hin zur Einbindung von Modellen und vollsändigen Auomaisierung von Prüfsänden. Am Haupsiz Berlin beschäfig das 988 gegründee Unernehmen rund 6 Miarbeier, die das Produkporfolio seig weierenwickeln. Inernaional werden imc-produke durch rund 5 Parnerunernehmen verrieben. imc es & Measuremen GmbH Max-Planck-Sr. b D-638 Friedrichsdorf/s. elefon: +49 () Fax: +49 () holine@imc-frankfur.de Inerne: hp:// Die imc es & Measuremen GmbH is ein Sysemhaus, das Produke und Diensleisungen für messechnische Anwendungen anbiee. Unser eam beseh aus ca. 4 praxiserproben Experen mi überwiegend ingenieur- oder naurwissenschaflichen Abschlüssen realisier produkive, kundenorieniere und anwendungsspezifische Lösungen rund um das hema elekrisches Messen physikalischer Größen. Die imc es & Measuremen GmbH vermarke die anerkann innovaiven und leisungssarken Hard- und Sofwareproduke unseres sraegischen Parners imc Meßsyseme GmbH, Berlin. Wir ergänzen diese Produke mi umfangreichen Ingenieurdiensleisungen. Diese reichen von der Konzepion über die Beraung und den Verkauf mi Preund Afer-Sales-Service bis zu kunden- und anwendungsspezifischen Erweierungen, Syseminegraion, Inberiebnahme, Schulung sowie Vermieung von Messsysemen und Personal u.v.m Nuzungshinweise: Dieses Dokumen is urheberrechlich geschüz. Alle eche sind vorbehalen. Dier Berich darf ohne Genehmigung weder bearbeie, abgewandel noch in anderer Weise veränder werden. Ausdrücklich gesae is das Veröffenlichen und Vervielfäligen des Dokumens. Bei Veröffenlichung bien wir darum, dass der Name des Auors, des Unernehmens und eine Verlinkung zur Homepage genann werden. roz inhallicher sorgfäliger Ausarbeiung, kann dieser Berich Fehler enhalen. Sollen Ihnen unzureffende Informaionen auffallen, bien wir um einen ensprechenden Hinweis an: markeing@imc-berlin.de. Eine Hafung für die ichigkei der Informaionen wird grundsäzlich ausgeschlossen. Berlin +49 () Frankfur +49 () Schweiz +4 ()