Versuch 213 Messung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit mit Ultraschall

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1 Versuch 213 Messung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit mit Ultraschall Praktikum für Fortgeschrittene am Dritten Physikalischen Institut der Universität Göttingen 27. April 2008 Praktikant Johannes Dörr physik.johannesdoerr.de Durchführung am zusammen mit Oliver Schönborn Betreuer Dr. Robert Mettin

2 Unterschrift des Praktikanten: Johannes Dörr - Göttingen, den

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2 Theorie Schallwellen Wellengleichung Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Wellenwiderstand und Reflexion Lösung der Wellengleichung für die Wasserrinne Durchführung Phasengeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit Auswertung 11 5 Diskussion 11

4 4 2 THEORIE 1 Einleitung Dieser Versuch befasst sich mit der Ausbreitung von Ultraschall in einer Wasserrinne, wobei im Wesentlichen die folgenden zwei wichtigen Größen gemessen werden: Die Phasengeschwindigkeit wird mit Hilfe eines Mikrofons durch Ausmessen der Druckknotenpunkte der stehenden Welle, die in der Wasserrinne nach korrekter Posionierung des Reflektors in einem bestimmten Abstand vom Sender entsteht, ermittelt. Die Gruppengeschwidigkeit eines vom Frequenzgenerator erzeugten Wellenpakets wird bestimmt durch Betrachtung Laufzeit des Signals. 2 Theorie 2.1 Schallwellen Das Schallfeld setzt sich aus zwei Größen zusammen: dem Schalldruck p und der Schallschnelle v, wobei letztere eine vektorielle Größe ist. Bei Schall handelt sich (zumindest in Fluiden) es um eine Longitudinalwelle - sie schwingt in Ausbreitungsrichtung, anders als bei Transversalwellen. Die Schallschnelle ist nicht zu verwechseln mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle. Deutlich wird dies bei einer stehenden Welle: Diese hat keine Ausbreitungsgeschwindigkeit, dennoch bewegen sich Moleküle des Mediums periodisch mit der sich zeitlich ändernden Schallschnelle v(t). Dadurch zwangsläufig bedingt ändert sich an einigen Stellen der Druck periodisch - je nachdem, ob gerade viele Moleküle zu diesem Punkt hin- oder wegströmen. Allgemein geht man davon aus, dass Schalldruck und -schnelle sowie weitere Zustandsgrößen wie der Druck jeweils in eine zeitlich konstante und eine variable Komponente aufgeteilt werden können, sodass gilt: p = p 0 + p v = v 0 + v ρ = ρ 0 + ρ. Dabei nimmt man die variablen Größen als wesentlich kleiner im Vergleich zu den konstanten an. Die Schallausbreitung in Fluiden wird beschrieben durch die folgenden Gleichungen. Eulersche Gleichung: (ρ ist die Dichte des Mediums) Kontinuitätsgleichung: v t + ( v ) v + 1 p = 0 (2.1.1) ρ div(ρ v) + ρ t = 0 (2.1.2)

5 2.2 Wellengleichung 5 Zustandsgleichung: (κ ist der Adiabatenexponent des Mediums) p(ρ) = p 0 ρ κ 0 ρ κ (2.1.3) Mit p p 0 und ρ ρ 0 wie oben bereits angesprochen können wir für (2.1.3) um die Stelle ρ 0 eine Taylor-Näherung durchführen, und erhalten: p(ρ) = p 0 + κ p 0 ρ κ 0 ρ κ 1 0 (ρ ρ 0 ) p (ρ ) = κ p 0 ρ 0 ρ. (2.1.4) Das Schallfeld ist wirbelfrei, weshalb man ein Potential Φ einführt, aus dem Druck und Schnelle auf folgende Weise abgeleitet werden können: 2.2 Wellengleichung Dieses Potential erfüllt die Wellengleichung: p = ρ Φ t (2.1.5) v = Φ. (2.1.6) 2 Φ t 2 = c2 div Φ, (2.2.1) die sich wie folgt ableiten lässt. Zunächst gehen wir vom Ruhezustand des Fluids aus, was bedeutet: v 0 = 0. Damit wird die Eulersche Gleichung (2.1.1) zu und die Kontinuitätsgleichung zu v t + 1 ρ 0 p = 0 (2.2.2) ρ 0 div( v ) + ρ t = 0. (2.2.3) Mit (2.1.6) wird (2.2.3) zu darin (2.1.4) eingesetzt ergibt wiederum: 1 ρ div Φ = 0, ρ 0 t 1 p div Φ = 0. (2.2.4) κp 0 t

6 6 2 THEORIE Aus (2.2.2) erhalten wir mit (2.1.6): p = ρ 0 Φ t p = ρ 0 Φ t + a, (2.2.5) wobei a eine Konstante ist, die wir sofort durch geeignete Eichung des Potentials Φ eliminieren. Aus (2.2.5) und (2.2.4) erhalten wir: ρ 0 2 Φ κp 0 t 2 div Φ = 0. Der Faktor ρ 0 κp 0 entspricht dem Inversen der quadrierten Ausbreitungsgeschwindigkeit c, sodass man schließlich (2.2.1) erhält. Ihre allgemeine Lösung im eindimensionalen ist: Φ(x, t) = f(x + ct) + g(x ct), dabei sind f und g beliebiege (zweifach differenzierbare) Funktionen, die zwei mit der Geschwindigkeit c aufeinander zulaufende Wellen darstellen. Auf Grund des Satzes von Fourier lässt sich jede Funktion als Überlagerung von mehreren Sinus- und Cosinusschwingungen beschreiben. Jede einzelne löst ebenfalls die Wellengleichung. 2.3 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Im Allgemeinen lässt sich eine einfache Welle durch eine Gleichung der Form: a(x, t) = a 0 cos(ωt kx + ϕ) beschreiben. Sie gibt an, wie sich die physikalische Größe a an der Stelle x mit der Zeit t ändert. (In unserem Fall handelt es sich hierbei um den Schalldruck.) a 0 ist die maximale Amplitude, ω die Kreisfrequenz, k der Wellenvektor und ϕ die Phasenverschiebung. Den Therm (ωt kx + ϕ) nennt man die Phase. Betrachtet man statt eines festen Ortes einen konstanten Phasenwert: ωt kx + ϕ = const. x = ω k t + ϕ const. k so ergibt sich für die Geschwindigkeit des Ortes: dx dt = ω Phase=const. k =: c Ph. (2.3.1) Dies ist die Phasengeschwindigkeit, mit der sich also Stellen konstanter Phase, beispielsweise die Wellenberge, in der Welle fortbewegen. In Medien, in denen Dispersion vorliegt, ist definitionsgemäß die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle von der Wellenlänge abhängig. Die Dispersionsrelation ω(k) = c Ph k gibt über deren Verhältnis Aufschluss.,

7 2.4 Wellenwiderstand und Reflexion 7 Überlagert man mehrere Sinus-Wellen, so wird das Wellenbild komplizierter. Qualitativ: Bedingt durch gegenseitige Auslöschung der Einzelschwingungen entstehen sogenannte Wellenzüge, die die Schwingung einhüllen. Um dies quantitativ zu behandeln verwenden wir eine integrale Form der Überlagerung: a(x, t) = k 0 + k/2 Ã 0 (k) e i(ωt kx) dk, (2.3.2) k 0 k/2 wobei wir dabei Frequenzen k im Intervall k 0 k/2 k k 0 + k/2 um k 0 betrachten. Die komplexe Amplitude Ã0(k) dk = a 0 e iϕ beinhaltet die Phasenverschiebung der Einzelwelle; diese wiederum werden alle zur Vereinfachung in komplexer Schreibweise notiert. Für einen hinreichend kleinen Frequenzbereich k können wir die Dispersionsrelation ω(k) als Taylorreihe einwickeln und dabei schon nach dem linearen Glied abbrechen. Mit ω 0 := ω(k 0 ) und δk := k k 0 lautet die Entwicklung ω(k) = ω 0 + dω δk und aus (2.3.2) dk wird mit Ã0(k) = Ã 0(δk): a(x, t) = e i(ω 0t k 0 x) k/2 k/2 [ ( ) ] dω Ã 0(δk) exp i dk t x δk d(δk) } {{ } =:A 0 (x,t). Der erste Faktor e i(ω 0t k 0 x) liefert die Trägerwelle, die offenbar die mittlere Frequenz k 0 der Einzelfrequenzen besitzt. Das Integral moduliert diese Trägerwelle und stellt somit die Einhüllende dar. Deren Geschwindigkeit ist die Gruppengeschwindigkeit. Um sie zu errechnen betrachten wir die Stellen gleicher Amplitude (der Einhüllenden), also A 0 (v, t) = const.. An diesen Stellen muss die Phase jeder Einzelwelle konstant sein. Damit ergibt sich: dω dk t x = const. d dt ( dω dk t x Mit (2.3.1) kann man dies auch schreiben als: c Gr = d(c Ph k) dk ) = c Ph + k dc Ph dk = 0 dω dk = dx dt = c Ph λ dc Ph dλ =: c Gr. A0 (x,t)=const.. (2.3.3) Man erkennt sofort, dass nur in dispersiven Medien die Gruppengeschwindigkeit von der Phasengeschwindigkeit eines einzelnen Wellenzuges abweicht, denn nur dort ist dc Ph dλ Wellenwiderstand und Reflexion Der Wellenwiderstand eines Mediums ist definiert durch: Z = ρ 0 c Ph = p v.

8 8 2 THEORIE Man verwendet ihn vor Allem beim Betrachten einer Grenzfläche, also den Übergang von Medium 1 mit dem Wellenwiderstand Z 1 in ein Medium 2 mit Z 2. Dann ergibt sich der Reflexionsfaktor aus: R = Z 2 Z 1 Z 2 + Z 1, wobei 1 R 1. Man unterscheidet dann zwischen drei Grenzfällen für die Grenzfläche: (1) schallweich, wenn Z 2 Z 1. Der Reflexionsfaktor geht gegen -1. Die Welle wird mit einem Phasensprung von π reflektiert. (2) schallhart, wenn Z 2 Z 1. Der Reflektionsfaktor geht gehen 1. Die Welle wird ohne Phasensprung reflektiert. (3) angepasst, wenn Z 2 Z 1. Der Reflektionsfaktor ist ungefähr 0. Die Welle wird transmittiert. 2.5 Lösung der Wellengleichung für die Wasserrinne Wir nehmen an, dass das Wasser in der Wasserrinne ausschließlich durch schallweiche Wände begrenzt wird, also auch an der Grenze zur Luft. Bei schallweichen Wänden muss das Potential Φ an den Grenzflächen konstant sein, da der Schalldruck dort verschwindet. (Bei schallharten Wänden verschwände hingegen die Schallschnelle.) Die Randbedingungen sind also: dφ dt = dφ y=0, y=ly dt = 0. z=0, z=lz Die Ausdehnung in x-richtung nehmen wir dabei zunächst als beliebig groß an, sodass sich die Welle in diese Richtung unendlich weit ausbreiten kann. Bei der Lösung der Wellengleichung für die Wasserrinne geht man von dem Ansatz: φ(x, y, z) = φ x (x) φ y (y) φ z (z) (2.5.1) aus, wobei man hier wie üblich für die Zeitabhängigkeit des Potentials Φ(x, y, z, t) einen harmonischen Verlauf Φ(x, y, z, t) = φ(x, y, x) e iωt voraussetzt und für φ die Differentialgleichung: div φ + k 2 φ = 0 zu lösen versucht. Der Ansatz (2.5.1) kann verwendet werden, da die Wände der Wasserrinne eben sind und senkrecht aufeinander stehen. Sonst wäre eine kompliziertere Lösung zu erwarten. Die Randbedingungen werden zu: φ(x, y, z) = 0 falls y = 0 y = l y z = 0 z = l z.

9 2.5 Lösung der Wellengleichung für die Wasserrinne 9 Nach längerer Rechnung erhält man als Lösung für das Potential: mit den Bedinungen: Φ(x, y, z, t) = Φ 0 sin(k y y) sin(k z z) e i(ωt kxx) k y = n yπ l y und k z = n zπ l z mit n y, n z N für die Komponenten des Wellenvektors k. Dieser ergibt sich insgesamt zu: k = kx 2 + ky 2 + kz 2. Für die Wellenvektorkomponente in x-richtung folgt damit: ( ) 2 ( ) 2 ny π nz π k x = k 2 = k 1 l y l z ( ωg ) 2. ω Dabei ist ω g := πc n 2 y/ly 2 + n 2 z/lz 2 die Grenzfrequenz, unterhalb derer sich die Welle nicht mehr in x-richtung ausbreiten kann sondern exponentiell abklingt (mathematisch hat man in diesem Fall einen komplexen Wellenvektor). Liegt die Frequenz jedoch oberhalb der Grenzfrequenz, so ergibt sich mit (2.3.1) und ω = ck die Phasengeschwindigkeit in x- Richtung zu: c c Ph = ω k x = 1 ( ω g ω ) 2. (2.5.2) Und mit (2.3.3) folgt für die Gruppengeschwindigkeit: c Gr = dω ( ωg ) 2 = c 1 dk x ω. (2.5.3) Das Produkt c Ph c Gr ist offenbar genau c 2. Die Zahlen n y und n z kennzeichnen die Schwingungsmode - sie charakterisiert eine Eigenschwingung, indem sie angibt, ob und wie viele Schwingungsperioden längs der jeweilige Richtung y und z der Wasserrinne liegen. Die jeweilige Komponente des Wellenvektors, insbesondere k x, hängt von der Mode [n y, n z ] ab, und damit auch die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit. Will man umgekehrt diese Messen, muss man in jedem Fall sicherstellen, dass nur eine Mode ausbreitungsfähig ist. Damit sich eine Mode (in x-richtung) ausbreiten kann, muss die Frequenz in jedem Fall größer als die Grenzfrequenz sein. Wir können diese Bedingung so umformen, dass wir eine Mindestwasserhöhe erhalten: n 2 y 2πf = ω ω g = πc + n2 z ly 2 lz 2 n z l z c h min,f. 4f 2 lz 2 c 2 n y

10 10 3 DURCHFÜHRUNG Für unsere Abmessungen der Wasserrinne l y = 0.13m und der verwendeten Frequenz f = 12.5kHz erhalten wir für die Mode [1,1] eine Mindesthöhe von 6.68cm. Die nächsthöhere Mode [1,2] kann sich nach derselben Rechnung ab 13.37cm ausbreiten. Aus diesem Grund beschränken wir uns auf den Bereich zwischen diesen beiden Werten, um zu gewährleisten, dass wir es immer mit der [1,1]-Mode zu tun haben. Definitiv nur eine Mode betrachten zu können ist nur bei der ersten Mode möglich. Bei allen höher liegenden Moden kann sich auch immer die erste ausbreiten. Durch geschickte Wahl der Mikrofonposition in einen Druckknoten einer bestimmten Mode kann man diese geschickt ausblenden. Dies ist im Versuch ebenfalls nötig, da trotz der Grenzfrequenz die Störmoden [1,2] und [2,1] die Messung beinträchtigen können. Die zu wählende Mikrofonposition ist somit genau die Mitte der Rinne. 3 Durchführung Bei dem Versuch werden Phasen- und Gruppengeschwindigkeit bei verschiedenen Wasserhöhen in der Wanne ermittelt, wie im Folgenden beschrieben. 3.1 Phasengeschwindigkeit In der Wasserrinne wird von dem Sinus-Generator durch den Lautsprecher eine Schallwelle mit der Frequenz f = 12.5kHz erzeugt. Durch Variieren der Reflektorposition wird genau die Einstellung gesucht, bei der eine stehende Welle entsteht, sich ausgesendete und reflektierte Welle also konstruktiv überlagern. Dann wird durch Verschieben des Mikrofons der Abstand zwischen den Druckknoten gemessen. 3.2 Gruppengeschwindigkeit Um die Gruppengeschwindigkeit zu bestimmen, lässt man den Sinus-Generator Impulse im 50Hz-Takt senden, wobei jeder einzelne Impuls immer noch die Frequenz 12.5kHz hat. Das Oszilloskop wird mit 500Hz getriggert. Dies bedeutet, dass auf dem Bildschirm die x-achse genau 2ms entspricht. Vom Sender geht nur alle 20ms ein Signal aus, weshalb man dazwischen mit dem Mikrofon die Refexionen aufnimmt. Der Reflektor wird nun so eingestellt, dass diese Echos alle auf dem Oszilloskop an derselben Stelle (übereinander) geplottet werden. Sie haben dann genau den Abstand 2ms. Der Abstand vom Sender zum Reflektor entspricht dann genau der Strecke, die das Signal in 1ms zurücklegt. Bedingt durch die Dispersion zerläuft der Impuls immer mehr, weshalb die Echos im Vergleich zum Primärimpuls des Lautsprechers nach und nach breiter werden. Bei dem Versuch wird das Mikrofon, das ja Schalldruckschwankungen aufnimmt, dicht vor dem Sender positioniert, etwa im Abstand 1/4 der Wellenlänge. Dort liegt das Schalldruckmaximum, da der Sender einen weichen Reflektor darstellt. Mit dem Mikrofon werden nicht die einzelnen Impulse aufgenommen, sondern auf Grund der geringen Entfernung zum

11 11 Sender immer die Überlagerung des einfallenden und des am Sender reflektierten Wellenbergs. Eine Ausnahme bildet dabei der Primärimpuls, denn bei ihm gibt es nur die vom Sender ausgehende Welle. Auf dem Oszilloskop ist sein Maximum deshalb im Vergleich zu denen der Refexionen zeitlich etwas nach rechts verschoben. Auch seine Amplitude ist größer als die der ersten Reflexion, da bei letzterer die Amplitude durch die Überlagerung ca. doppelt so groß werden kann. 4 Auswertung Aus den Abständen der Knotenpunkte wird die Wellenlänge errechnet. Die Phasengeschwindigkeit bei der Wasserhöhe h ergibt sich dann aus: c Ph,h = f λ h. Um die Gruppengeschwindigkeit zu bestimmen, beachtet man, dass das Signal innerhalb von 20ms die Strecke Sender-Reflektor der Länge s h 20 mal durchläuft, bis ein neuer Impuls gesendet wird. Es folgt: c Gr,h = 20 s h 20ms = 1000 s h s Die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit für verschiedene Wasserhöhen sind in Abbildung 4.1 dargestellt. Die Theoriekurven (ω = 2π 12500Hz) ergeben sich aus (2.5.2) und (2.5.3). Die dort eingesetzte Schallgeschwindigkeit ergibt sich aus der für Flüssigkeiten geltene Beziehung c = Kρ 1, wobei K Pa das Kompressionsmodul und ρ 1000kg/m 3 ist. In der Abbildung ist ebenfalls die allgemeine Schallgeschwindigkeit c 0 = c Gr c Ph aufgetragen. Ihr gewichteter Mittelwert beträgt: c 0 = 1484(1)ms 1. Dies entspricht genau dem Literaturwert, das Ergebnis ist also überaus zufriedenstellend. Die jeweiligen Fehlerangaben ergeben sich durch Fehlerfortpflanzung aus dem abgeschätzten Ablesefehler vom 2mm bei der Wasserhöhe sowie einem bei jeder Messung individuell abgeschätztem Wert für die Wellenlänge bzw. Reflektorposition, deren Einstellung bei kleinerer Wasserhöhe immer schwieriger wurde. Die Raumtemperatur während des Versuchs lag konstant bei 19.5 C.. 5 Diskussion Die Durchführung des Versuchs erweist sich als sehr durchsichtig und die Auswertung beschränkt sich auf das Wesentliche. Mit den Ergebnissen sind wir sehr zufrieden, auch deshalb, weil die Fehlerabschätzung gut funktioniert hat.

12 12 5 DISKUSSION G e s c h w in d ig k e ite n in m s ,0 7 0,0 8 0,0 9 0,1 0 0,1 1 0,1 2 0,1 3 Abbildung 4.1: c Ph, c Gr und c 0 bei verschiedenen Wasserhöhen h