Mathematik. Lernbaustein 6

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1 BBS Gerolstein Mathematik Mathematik für die Berufsoberschule II Lernbaustein 6 Modellieren von Realsituationen mit Hilfe der Vektorrechnung Lernbaustein 6.pdf Erstellt von: Herrn StD Percy Merkelbach Stand: Merkelbach

2 Inhaltsverzeichnis Lernbaustein Analytische Geometrie (Vektorrechnung)...4. Grundlagen der Vektorrechnung...4. Definitionen...4. Vektorräume, Basis, Dimension und Erzeugendensystem Darstellung eines Vektors...5. Rechenregel für Vektoren...6. Addition von Vektoren...6. Subtraktion von Vektoren Multiplikation mit einem Skalar Der Betrag eines Vektors Normierte Vektoren Richtungswinkel von Vektoren Beschreibung beliebiger Vektoren mit Hilfe von Ortsvektoren Übungen Lineare Abhängigkeit und Lineare Unabhängigkeit von Vektoren Lineare Abhängigkeit von Vektoren zueinander Lineare Abhängigkeit von 3 Vektoren zueinander Übungen: Vektorielle Darstellung von Geraden Geradengleichung in Parameterform Parameterfreie Punktrichtungsgleichung Übungen Gegenseitige Lage von Geraden Übungen Vektorielle Darstellung von Ebenen Ebenengleichung in Parameterform Übungen - Vektorielle Darstellung von Ebenen Koordinatengleichung von Ebenen Übungen - Koordinatengleichung von Ebenen Gegenseitige Lage einer Geraden zu einer Ebene Übungen - Gegenseitige Lage einer Geraden zu einer Ebene Gegenseitige Lage einer Ebene zu einer Ebene Übungen - Gegenseitige Lage einer Ebene zu einer Ebene Das Skalarprodukt (inneres Produkt) Definition Übungen - Skalarprodukt Normalenform der Ebenengleichung Von der Normalenform zur Koordinatengleichung Von der Koordinatengleichung zur Normalenform Von der Parameterform zur Normalenform Von der Normalenform zur Parameterform Übungen Normalenform der Ebenengleichung Schnittwinkel und Orthogonalität Gerade zu Gerade Schnittwinkel Gerade zu Ebene Schnittwinkel Ebene zu Ebene Übungen Schnittwinkel und Orthogonalität Merkelbach

3 9. Abstandsberechnungen Abstand eines Punktes von einer Ebene Abstand eines Punktes zu einer Geraden Abstand zweier windschiefer Geraden Übungen - Abstandsberechnungen Das Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt) Definition Berechnung des Vektorproduktes Berechnung des Vektorproduktes mit Hilfe der Determinantenrechnung Eigenschaften des Vektorproduktes: Anwendungsbeispiele aus der Physik: Übungen - Vektorprodukt Merkelbach

4 Lernbaustein 6 Analytische Geometrie (Vektorrechnung). Grundlagen der Vektorrechnung In der Physik gibt es skalare Größen (Zeit, Masse, Temperatur, Energie, etc.) und vektorielle Größen (Kraft, Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Drehmoment, etc.). Bei den skalaren Größen gibt man Zahlenwert und Einheitszeichen an, während es zur eindeutigen Angabe von vektoriellen Größen zusätzlich noch einer Richtung, einer Orientierung und eines Angriffspunktes bedarf. Vektorielle Größen werden geometrisch durch einen Pfeil dargestellt, wobei die Länge des Pfeils den Betrag angibt, die Gerade, auf der der Pfeil liegt, die Richtung und die Pfeilspitze die Orientierung.. Definitionen Definition: Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gerichteter Strecken (Pfeile) mit gleicher Länge, Richtung und Orientierung. a b c Jeder Pfeil eines Vektors heißt Repräsentant des Vektors. Besondere Vektoren: a b a a b a b b a b a b und a = b a b a = b Parallel entgegengerichtet (Gegenvektor) gleichgerichtet gleich a a a b a a = Betrag von a a = b beide Vektoren der Nullvektor hat Ist die Länge des Vektors sind gleichlang die Länge 4 Merkelbach

5 . Vektorräume, Basis, Dimension und Erzeugendensystem Zur anschaulichen Darstellung müssen Vektoren im Raum oder in der Ebene gezeichnet werden. Dazu benötigt man: - einen Ursprung (den Punkt ) - und Basisvektoren (Ebene) oder - 3 Basisvektoren (Raum) Basisvektoren sind linear unabhängig voneinander. Jeder beliebige Vektor kann dann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden. Kartesische Koordinatensysteme x (y) U x 3 (z) V Rechte Handregel e e x e, e sind Basisvektoren e, e, e 3 e = e x = e = e = e 3 = e e (x) (linear unabhängig) e e, e e, e e 3 3 sind Basisvektoren Der Raum U ist eine Teilmenge des Vektorraumes V, d.h. U ist Unterraum zum Vektorraum V. U kann eine beliebige Ebene aus dem Vektorraum V sein. Weitere Unterräume von V: Vektorraum der aus dem Nullvektor besteht Alle Ortsvektoren, die Punkte einer Geraden g beschreiben Alle Ortsvektoren, die Punkte einer Ebene E beschreiben. Die Basisvektoren zur Bildung eines neuen Vektorraumes müssen linear unabhängig sein! Ein Erzeugendensystem { a, a, a } a, a, a 3 (x) 3 heißt genau dann Basis von dem Vektorraum U, wenn die Vektoren linear unabhängig sind. Die Anzahl der Basisvektoren einer Basis von U nennt man die Dimension von U. Bei 3 Basisvektoren hat der Vektorraum die Dimension 3..3 Darstellung eines Vektors e 3 e e x (y) x 3 P(4;3) O Allgemein: OP a v 4 x = x x bzw. 4 OP = a = 3 v x = x x 3 und OQ sind Ortsvektoren und gehen vom Ursprung O aus. x 4 x 3 b O 3 5 Q(3;5;4) x 3 OQ = b = Merkelbach

6 . Rechenregel für Vektoren. Addition von Vektoren a + b O x x ax 4 a = = a x bx b = = b 3 x ax + b 4 6 x + c = a + b = = = ax + b 3 4 x +. Subtraktion von Vektoren a b O x x ax 4 bx a = = b = = ax 3 bx a b = a + b b = 3 c a b ( ) ( ) ( bx ) ( bx ) a + 4 a + 3 x x = + = = =.3 Multiplikation mit einem Skalar r a x ax 4 a = = a r = x O x r ax 4 8 c = r a = = = r a x 6 Merkelbach

7 .4 Der Betrag eines Vektors Der Betrag des Vektors a entspricht der Länge des Pfeils von a. Als Schreibweise verwendet man die Betragsstriche a. x 3 a x x 3 4 O a a x v Q(3;5;4) a x 3 a = a + a + a Der Betrag eines Vektors: x x x3 5 x a x 3 a = ax = 5 a 4 x3 v = ax + a x v = a + a x x a v a = + x3 a = v + a x3 a = a + a + a = = 5 x x x3 Dreiecksungleichung: a c b a + b a + b.5 Normierte Vektoren Ein Vektor a heißt normierter Vektor a, wenn die Länge des Vektors a beträgt. a = Beispiel: 5 a = = + + = 3 a a = a a a = 3 a 38 = = + + = + + = = Merkelbach

8 .6 Richtungswinkel von Vektoren 3 a x x 3 4 O α a Q(3;5;4) 5 x cos cos α a ( α ) ( β ) a x a = a x a = a x x cos ( γ ) a = a x3 cos ( α) + cos ( β ) + cos ( γ ) = Beispiel: Bestimmen Sie die Richtungswinkel des Vektors 4 a = 5 a = = 45 ( ) 4 5 cos ( α ) = cos( β ) = cos( γ ) = α = cos β = cos γ = cos α = 53, 4 β = 7,3 γ = 4,8 cos (53, 4) + cos (7,3) + cos (4,8) =, Merkelbach

9 .7 Beschreibung beliebiger Vektoren mit Hilfe von Ortsvektoren im Vektorraum mit der Dimension : x B(4;4) 6 4 OA = OB = 4 A(6;) O x im Vektorraum mit der Dimension 3: B(-;6;5) x 3 A(;6;3) OA = 6 OB = x x 9 Merkelbach

10 .8 Übungen. Bestimmen Sie die Koordinaten aller Eckpunkte des Turmes.. Bestimmen Sie die Koordinaten folgender Punkte des Hauses: A, B, C, D, F, H und M. 3. Bestimmen Sie die Vektoren DC und HM des Hauses. 4. Bestimmen Sie die Länge der Dachkante HM. 5. Gegeben seien folgende Vektoren: 4 a = b = c = 4 3 Berechnen Sie: a) 3 a +4 b b) -3 a +b - c c) a +3 b -4 c 6. Bestimmen Sie die Konstanten a, b und c so, dass die Vektoren a und b gleich sind. a + b a = b = b + c a b + c 3 7. Bestimmen Sie λ, a und a in der folgenden Vektorgleichung: a λ + a = Merkelbach

11 8. Gegeben sind folgende Vektoren: 4 a = 3 b = 5 c = 5 a) Berechnen Sie die Beträge der Vektoren a, b und c. b) Geben Sie jeweils die normierten Vektoren an. c) Bestimmen Sie jeweils die drei Richtungswinkel der drei Vektoren. 9. Bestimmen Sie λ so, dass die Vektoren die geforderte Länge L besitzen. λ a) a = L = 3 b) b = + λ L = 4. Gegeben seien die Punkte A, B und C in einem kartesischen Koordinatensystem ( O; e ; e ) ( O; e ; e ; e ). Bestimmen Sie mit Hilfe der Ortsvektoren a, b 3 AB, BC und AC. bzw. und c von A, B bzw C die Vektoren a) A(5;), B(7;3), C(-;-5) b) A(4;;), B(;-;3), C(-;-5;-7). Die Punkte A(-;;5), B(;;3) und C(;;3) bilden ein Dreieck. OA OB AB BC AC? a) Welche Komponenten haben folgende Vektoren:,,,, b) Das Dreieck ABC soll zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Gesucht ist der Vektor OD. Die Vektoren AB und AC. und der Punkt A(;;-) bestimmen ein Dreieck ABC. Geben Sie die. Koordinaten von B und C an und berechnen Sie dann den Vektor BC AB = AC =, Eine Pyramide ABCDE (Grundfläche ABCD ist ein Parallelogramm) ist durch folgende Angaben gegeben: 4 A( ; 6; ) AB = 6, AD =, und AE = 3 6 a) Fertigen Sie eine Zeichnung in einem kartesischen Koordinatensystem an. b) Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte B, C, D und E. c) Es sei AB = a, AD = b und AE = c durch die Vektoren a, b und c aus.. Drücken Sie die Vektoren BE, BC, CE, DE. und BD Merkelbach

12 3. Lineare Abhängigkeit und Lineare Unabhängigkeit von Vektoren 3. Lineare Abhängigkeit von Vektoren zueinander a ist linear abhängig zu b a ist linear unabhängig zu b Beispiele: Prüfen Sie, ob a und a) a a b b Der Vektor a ist kollinear zu dem Vektor b. Die beiden Vektoren sind linear abhängig voneinander. D.h. es gibt ein r, sodass r a = b ist. Beispiel: 6 a = b = 4 mit r = 3 gilt 3 a = b Allgemein gilt: Die Vektoren a und r a + r b = mit b linear abhängig sind. r, r 4 8 a = b = 4 I r 4 r 8 = r 4 = r 8 r= r II r r 4 = in II eingesetzt : r r 4 = = linear abhängig wählt man z. B. für r = 3 dann ist r = 6. b sind linear abhängig, wenn b) 3 a = b = 5 I r 3 + r = r = r 3 II r 5 + r = in II eingesetzt : r 5 r 3 = r = r = und r = linear unabhängig Merkelbach

13 3. Lineare Abhängigkeit von 3 Vektoren zueinander a Allgemein gilt: Die Vektoren a, Der Vektor a ist zu dem Vektor b linear unabhängig. Der Vektor a ist zu dem Vektor c linear unabhängig. Und der Vektor b ist zu dem Vektor c linear unabhängig. Der Vektor c kann als Linearkombination von den Vektoren a und dargestellt werden. D.h. a, b und c sind linear abhängig zueinander. a, b und c liegen in einer Ebene und sind komplanar. Beispiel: 3 a = b = c = 3,5 4 4 mit r =, r = 4 und r3 = gilt a + 4 b c = b und c sind linear abhängig, wenn r a + r b + r c = 3 mit r, r, r 3 Für eine Ebene gilt: Ein Vektor kann stets als Linearkombination zweier linear unabhängiger Vektoren dieser Ebene dargestellt werden. Für einenraum: Ein Vektor kann stets als Linearkombination dreier linear unabhängiger Vektoren dieses Raumes dargestellt werden. Beispiele: Prüfen Sie, ob a, a) b c b und c linear abhängig sind. a = b = c = 3 I r + r + r = r = r r 3 3 II r + r + r = 3 III r 3+ r + r = 3 I in II und III eingesetzt : II ( r r ) + r + r = 4 r + r = r = r III ( r r ) 3 + r + r = r r3 = II in III eingesetzt : r3 r3 = r3 =, r = und r = triviale Lösung a, b und c sind linear unabhängig! b 3 Merkelbach

14 b) a = 7 b = c = I r + r + r = r = r r 3 3 II r 7 + r r = 3 III r + r + r = 3 I in II und III eingesetzt : ( ) ( ) II r r 7 + r r = 5 r 5 r = r = 3 r III r r + r ( ) 3 II in III eingesetzt : + r = r 3 r = r 3 r = 3 r 3 r = = unendlich viele Lösungen z. B. r3 = = 3 =, r r a b und c sind linear abhängig d. h. komplanar! 3.3 Übungen:. Bestimmen Sie die Komponenten b und b 3 so, dass die Vektoren a und b a = b = 3 5 b3. Untersuchen Sie, ob die drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen. A (// ) B ( // ) C (3// ) 3. Zeigen Sie, dass die Vektoren a, Linearkombination von a, b und c aus. 4 a = b = 3 c = und d = 4,5 5 7 b kollinear sind. b und c linear unabhängig sind und drücken Sie den Vektor d als 4 Merkelbach

15 4. Vektorielle Darstellung von Geraden 4. Geradengleichung in Parameterform p O Geradengleichung in Parameterform g : x = p + t u (Punktrichtungsgleichung) Beispiele: P PQ = u P und Q sind Punkte auf der Geraden g. X hat den Ortsvektor: x = OP + PX Der Vektor Vektors PX ist ein Vielfaches des PQ. x = OP + t PQ Den Vektor OP nennt man den Stützvektor und den Vektor Richtungsvektor. a) Geben Sie die Parametergleichung für die Gerade g durch die Punkte A(/-/5) und B(4/6/-) an. a = ist möglicher Stützvektor von g. AB ist möglicher Richtungsvektor von g AB = OB OA = 6 = 8 g : x = + t b) Berechnen Sie einen Punkt der auf der Geraden aus der Aufgabe a) liegt. 3 7 für z. B. t = x = + 8 = g : x = + t liegt I 3+ 5t = 7 t = x = + t = 5 II + t = 5 Probe : + ( ) = 5 wahr 3 8 III 3t = 8 Probe : 3 = 8 wahr c) Prüfen Sie, ob der Punkt A(-7/-5/8) auf der Geraden Q x Ergebnis: Der Punkt A liegt auf der Geraden g! X g ( ) PQ den 5 Merkelbach

16 4. Parameterfreie Punktrichtungsgleichung g : x = p + t u x x ux = + t y y u y x x ux = t y y u y x x t u x x = t u u ( ) x x y = y y t uy y y = t uy ux ( ) ( ) u x x = t u u y x y u y y = t u ( u ) x y x ( ) ( ) ( ) ( ) u x x u y y = t u u t u u y x x y x u x x u y y = y x y ( ) ( ) u x x u y y = y x ( ) ( ) u y y = u x x x y u y ( y y ) = ( x x ) ux ( y y ) = m ( x x ) Beispiel: P = ( ;3) u = x = + t 3 x x + = t ( ) = 3 t y y 3 = t x = t ( ) y 3 = t x + y 5 = y = x + 5 Parameterfreie Gleichung g : ax + by + d = (Koordinatengleichung) Den Richtungsvektor von g: kann man aus der Parameterfreien Gleichung ablesen. Einfache Berechnung des Beispiels: x = t t = x ( ) x = 3 t x = 3 x x = 5 + x x + x 5 = u g b = a 6 Merkelbach

17 4.3 Übungen. Stellen Sie die Geradengleichung für g auf: a) b) A( / / 5) g 4 g a = 3 B(3/ 4 / ) g g h : x = + t 3 4 C( 5 / /) g g x x Ebene c) 3. Untersuchen Sie, ob A(/-/-3), B(-/-/) und C(-8/-/3) auf einer Geraden liegen. 3. Bestimmen Sie die Koordinaten c und c 3 von C(4/c /c 3 ), sodass die Punkte A(3/4/-), B(//3) und C auf einer Geraden liegen. 4. Welcher Punkt auf der Geraden g : x = 4 + t hat x =? Merkelbach

18 4.4 Gegenseitige Lage von Geraden Zwei in einer Ebenen liegende Geraden fallen entweder zusammen oder sie sind zueinander parallel und verschieden oder sie schneiden sich in einem Punkt. Bei zwei Geraden im Raum kann auch der Fall eintreten, dass sie werden zueinander parallel sind noch gemeinsame Punkte besitzen. Solche Geraden heißen zueinander windschief. Mögliche Lage zweier Geraden g : x = p + t u und h : x = q + r v im Raum. Beachten Sie: g und h schneiden sich genau dann, wenn in Fig. 4 die Pfeile von u und v nicht zueinander parallel sind und die Pfeile von u, v und q p in einer Ebene liegen. g und h sind zueinander windschief genau dann, wenn in Fig. 5 die Pfeile von u und v nicht zueinander parallel sind und die Pfeile von u, v und q p nicht in einer Ebene liegen. Es gilt für die Geraden g : x = p + t u und h : x = q + r v : a) g und h schneiden sich in einem Punkt, wenn die Vektorgleichung p + t u = q + r v genau eine Lösung (r,t) besitzt. b) g und h sind identisch, wenn die Vektorgleichung p + t u = q + r v unendlich viele Lösungen hat. 8 Merkelbach

19 c) g und h haben keine gemeinsamen Punkte, wenn die Vektorgleichung p + t u = q + r v keine Lösungen hat. c) g und h sind zueinander parallel, wenn u und v linear abhängig sind. c) g und h sind zueinander windschief, wenn u und v linear unabhängig sind. Beispiele: zu a) 3 g : x = + t h : x = + r 9 4 I + 3t = + r II + t = + r III + t = 9 + 4r II I t = 3 3 r = t + r = 3 III + = = 3 wahr zu b) 3 4 g : x = + x = 3 Es existiert genau eine Lösung. Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt (4;;3). 3 4 g : x = + t 4 h : x = 6 + r I + t = 3 + 4r II + 4t = 6 + 8r III 3 + t = 4 + r t = + r ( ) ( ) I + + r = 3+ 4r 3 = 3 wahr II r = 6 + 8r 6 = 6 wahr Es existieren unendlich viele Lösungen: t = + r für jedes beliebige r gibt es ein entsprechendes t. Die Geraden sind identisch. 9 Merkelbach

20 zu c) 3 g : x = + t 6 h : x = 5 + r I + 3t = r II + 6t = 5 r III + t = + r III = wahr I r = 3t + 3 ( ) II 6t = 5 3t + 3 6t = 6t = falsch Es existiert keine Lösung. Prüfung auf lineare Abhängigkeit: 3 r u + r v = = Da die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, liegen die Geraden parallel zueinander. zu c) g : x = 4 + t h : x = + r I t = r II 4+ t = + 3r III 3+ t = 3 + 3r I t = r ( ) ( ) II 4 + r = + 3r r = III 3+ r = 3 + 3r r = Widerspruch Es existiert keine Lösung. Prüfung auf lineare Abhängigkeit: r u + r v = + 3 = 3 Da die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sind, liegen die Geraden windschief zueinander. Merkelbach

21 4.5 Übungen Stellen Sie sich vor, Sie arbeiten auf einem kleinen Flugplatz im Tower. Bei nebligem Wetter erhalten Sie plötzlich einen Funkspruch mit folgendem Inhalt: Unser Flugzeug befindet sich im Moment am Punkt A und wir fliegen in Richtung u. Unsere Instrumente signalisieren ein weiteres Flugzeug an Punkt B, welches sich in Richtung v bewegt. Überprüfen Sie bitte, ob eine Kollisionsgefahr besteht und teilen Sie uns gegebenenfalls die Koordinaten des möglichen Zusammenstoßpunktes mit. Die genauen Daten können Sie von ihren Instrumenten ablesen: 4 Aufgabe : A( 3/ 7 / ) u =,5 B( 5/ / 6) v = A 3/ 7 / u =,5 B 9 / /3 v = 6 8 Aufgabe : ( ) ( ) A 3/ 7 / u =,5 B 4 / 6 / v = 3 Aufgabe 3: ( ) ( ) A 3/ 7 / u =,5 B 9 / /3 v = 3 Aufgabe 4: ( ) ( ) Aufgabe 5: Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes. a) g : x = + t h : x = + r 3 3 b) c) d) g : x = + t h : x = 3 + r 4 4 g : x = + t h : x = + r 4 5 5,5 g : x = 5 + t h : x = 5 + r Merkelbach

22 5. Vektorielle Darstellung von Ebenen 5. Ebenengleichung in Parameterform R P v x = OP + PX p O u Q x Gegeben sind die Punkte P, Q und R. Der Vektor PX kann durch die Addition eines Vielfaches des Vektors PQ und eines Vielfaches des Vektors PR gebildet werden. x = OP + r PQ + s PR Den Vektor PQ Vektoren Spannvektoren. Ebenengleichung in Parameterform E : x = p + r u + s v Die Spannvektoren u und v müssen linear unabhängig sein. X OP nennt man den Stützvektor und die und PR nennt man auch Merkelbach

23 5. Übungen - Vektorielle Darstellung von Ebenen ) Prüfen Sie, ob der Punkt A(7/5/-3) auf der Ebene E : x = + r 3 + s 5 liegt. ) Prüfen Sie, ob die Punkte A(//), B(3//), C(-/-/-) und D(//) in einer Ebene liegen. 3) Geben Sie jeweils die Parametergleichung der Ebenen an, von denen folgende Punkte gegeben sind: a) A(//3), B(/-/5), C(3/-/) b) A(/5/7), B(7/5/), C(//3) 4) Eine Ebene ist durch den Punkt P und die Gerade g eindeutig bestimmt. geben Sie eine Parametergleichung der Ebene an. (Hinweis: P darf nicht auf g liegen, sonst ist die Ebene nicht eindeutig bestimmt!) a) g : x = + t P( 5/ 5/ 3) b) g : x = + t P( 6 / 3/ ) 3 3 5) Prüfen Sie, ob die beiden Geraden g und g sich schneiden. Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene an, die durch die Geraden g und g festgelegt ist. 3 : = + 3 : = a) g x t g x t : = + : = + 3 b) g x t g x t 6) a) Bestimmen Sie jeweils eine Ebenengleichung in Parameterform der Ebenen E und E von Bild. b) Im Bild ist in einem Raum mit hohen Decken zur Verschönerung ein Segeltuch gespannt. Bilden Sie eine Ebenengleichung in Parameterform der Ebene E 3 in der das Segeltuch liegt. c) Bestimmen Sie die Geradengleichung für die Gerade die durch die Punkte A und B geht und bestimmen Sie die Länge der Strecke von A nach B. Bild Bild E Merkelbach

24 5.3 Koordinatengleichung von Ebenen Beispiele: E : a x + b x + c x3 = d a) Umformung von der Parametergleichung in die Koordinatengleichung E : x = + r + s I x = + r + s II x = r + 5s III x = + 3r + 7s 3 I r = x s I in II und III einsetzen II x = x s + 5s III x = + 3x 6 6s + 7s 3 II x = 6 x + 9s III x = 5 + 3x + s 3 III s = x + 5 3x 3 III in II einsetzen II x = 6 x + 9x x 3 E : 9x + x 9x = Merkelbach

25 b) Umformung von der Koordinatengleichung in die Parametergleichung E : 3x x + 7x = 3 Umstellen nach einer Koordinate z. B. x x = + 3x + 7x 3 Gleichungen ergänzen x = x x = + 3x + 7x x 3 = x 3 3 x durch r und x durch s ersetzen x x = + r 3 + s 7 3 x E : x = + r 3 + s Übungen - Koordinatengleichung von Ebenen ) Bestimmen Sie die Parametergleichung der Ebenen a) E x x x3 : 3 + = 6 b) E : 5x 3x + 6x3 = ) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebenen: a) 4 E : x = 9 + r + s 3 b) 4 E : x = 5 + r + s 3) Gegeben sind die Punkte A(//-), B(6/-5/) und C(3//). a) Bestimmen Sie erst die Parametergleichung der Ebene. b) Bestimmen Sie daraus die Koordinatengleichung der Ebene. 4) Bestimmen Sie aus der Aufgabe 5. Nummer 6) die Koordinatengleichungen der Ebenen E, E und E Merkelbach

26 5.5 Gegenseitige Lage einer Geraden zu einer Ebene g : x = p + t u E : x = q + r v + s w g Ebenengleichung und Geradengleichung gleichsetzen: xg = xe p + t u = q + r v + s w Folgende Fälle sind möglich: E a) Die Gerade g schneidet die Ebene E Das Gleichungssystem ergibt genau eine Lösung für (t, r, s). Hiermit kann man den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene (Durchstoßpunkt) berechnen, indem man t in die Geradengleichung oder r und s in die Ebenengleichung einsetzt. b) Die Gerade g liegt parallel zu der Ebene E Das Gleichungssystem ergibt keine Lösung. c) Die Gerade g liegt in der Ebene E Das Gleichungssystem ergibt unendlich viele Lösungen. 6 Merkelbach

27 Beispiele: 3 3 zu a) g : x = 4 + t E : x = + r + s 3 xg = xe p + t u = p + r u + s v g g E E E I 3 = 3 r + s II 4 + t = + r + s III + t = + 3r + s t = + r + s I 3 = 3 r + s III 4 + r + s = + 3r + s t = 4 4 t = I = r + s III 4 = r = 8 + s s = 4 Schnittpunkt 3 3 x = 4 = 6 9 zu b) 3 3 g : x = + t E : x = + r + s 4 3 xg = xe p + t u = p + r u + s v g g E E E I + t = 3 + 3r II + t = + r + 4s III + t = + 3s t = 3s I + 3s = 3 + 3r II + 6s = r + 4s I 3s = + 3r II s = + r s = + r I 3 + 3r = + 3r 3 = keine Lösung Die Gerade g liegt parallel zur Ebene E. 7 Merkelbach

28 zu c) 4 g : x = 5 + t 3 E : x = + r + s xg = xe p + t u = p + r u + s v g g E E E I 4 + t = r + 3s II 5 + t = + r + s III = r + s s = r I 4 + t = r + 3r II 5 + t = + r + r I t = + r II t = 4 + 4r 4 + 4r = 4 + 4r = Es gibt unendlich viele Lösungen. (t und s ist abhängig von r) Die Gerade g liegt in der Ebene E. 5.6 Übungen - Gegenseitige Lage einer Geraden zu einer Ebene ) Bestimmen Sie den Durchstoßpunkt der Gerade mit der Ebene. a) g : x = + t E : x = + r + s : = 4 + : + 5 = 49 7 b) g x t E x x x3 ) Die Ebene E ist durch die Punkte A(//), B(//) und C(/3/) gegeben. Die Gerade g soll den Punkt P(4/4/4) haben und parallel zur Ebene E liegen. 8 Merkelbach

29 5.7 Gegenseitige Lage einer Ebene zu einer Ebene E : x = p + r u + s v E : x = p + r u + s v Ebenengleichungen gleichsetzen: xe = x E p + r u + s v = p + r u + s v Folgende Fälle sind möglich: a) Die Ebenen E und E schneiden sich. Das Gleichungssystem ergibt unendlich viele Lösungen die eine Schnittgerade beschreiben. g : x = p + t u b) Die Ebenen E und E liegen parallel zueinander. Das Gleichungssystem ergibt keine Lösung. Die Ebenen haben keine gemeinsamen Punkte., p p u und v oder, p p u und v sind linear unabhängig. c) Die Ebenen E und E sind identisch. Das Gleichungssystem ergibt keine Lösung. Die Ebenen haben unendlich viele gemeinsamen Punkte., p p u und v oder, p p u und v sind linear abhängig. 9 Merkelbach

30 Beispiele: zu a) E : x = + r + s 3 F : x = 4 + k 5 + m xe = xf p + r u + s v = p + k u + m v E E E F F F I + r + s = k m II + r + 3s = 4 5k m III 4 + r + s = 4 + k + 5m s = r + k + 5m I + r 4r + k + m = k m II + r 6r + 3k + 5m = 4 5k m I r = 4k m II 5r = 8k 6m r = k + 6m II k 3m = 8k 6m k = + 4m k = m Einsetzen in die Ebenengleichung der Ebene F: F : x = 4 + ( m) 5 + m 4 5 4m x = m + m 4 5 m 4 x = m + m 4 5 Schnittgerade g : x = 9 + m 5 3 zu b) E : x = + r 3 + s F : x = 3 + k + m xe = xf p + r u + s v = p + k u + m v E E E F F F I + 4r s = 3 + 3k 8m II + 3r + s = 3 + k m III + r + 3s = 5 k + 5m s = 4 3r + k m I + 4r 8 + 6r k + m = 3 + 3k 8m III + r + 9r + 3k 3m = 5 k + 5m I r = + 5k m III 8r = 9 4k + 8m r = +,5k m III 8 4k + 8m = 9 4k + 8m 8 9 es existiert keine Lösung Die Ebenen E und F liegen parallel zueinander. 3 Merkelbach

31 zu c) E : x = + r + s F : x = + k 4 + m xe = xf p + r u + s v = p + k u + m v E E E F F F I + r + s = 4 + 5k + 5m II + r + s = + 4k + m III + 3r + s = 4 + 7k + 3m r = s + 5k + 5m II + 4 4s + k + m + s = 4k + m III + 6 6s + 5k + 5m + s = 4 + 7k + 3m II 3s = 6 6k 9m III 4s = 8 8k m s = + k + 3m III 8 8k m = 8 8k m = Die Ebenen E und F sind identisch! 5.8 Übungen - Gegenseitige Lage einer Ebene zu einer Ebene ) Bestimmen Sie die Schnittgerade g der Ebenen E und E. 3 E : x = 3 + r + s E : x = 5 + k + m 4 3 a) E : x = + r + s E : x = + k + m 5 4 b) c) E x x3 E x x x3 : + 5 = 8 : + + = 3 Merkelbach

32 6. Das Skalarprodukt (inneres Produkt) 6. Definition Anwendungsbeispiel: F ϕ F s s Bisher haben Sie wahrscheinlich kennengelernt, dass man die Arbeit W wie folgt berechnet: W = F s Dies gilt aber nur, wenn die Kraft F in Richtung des Weges s zeigt. Ist dies nicht der Fall, muss man die Komponente F s der Kraft F bestimmten, die in die Richtung des Weges s zeigt. Dann kann man wieder mit: W = Fs s rechnen. Bildet man das Skalarprodukt aus Vektoren, so erhält man als Ergebnis keine Vektor sondern ein Skalar. W = F s Fs cos ϕ = Fs = F cos ϕ F W = F s = F cos ϕ s Allgemein: b ϕ b x a a b = a b cos ϕ ax bx a b = ay b = a b + a b + a b az bz a b cos ϕ = a b y x x y y z z Besondere Eigenschaften:. Zwei Vektoren a und b stehen genau dann senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist. a b = ϕ = 9 a b. Zwei Vektoren a und b sind kollinear, wenn der Betrag des Skalarproduktes gleich ist mit dem Produkt der beiden Beträge der einzelnen Vektoren. a b = a b ϕ = a b oder a b 3 Merkelbach

33 6. Übungen - Skalarprodukt ) Bestimmen Sie den Schnittwinkel ϕ der zwischen den beiden Vektoren a und b liegt. 5 a = b = 3 5 ) Bestimmen Sie den Schnittwinkel ϕ der zwischen den beiden Vektoren a und b liegt. 4 a = 3 b = 5 3) Berechnen Sie für die Pyramide OABS die Größe des Winkels ϕ. 4) Bestimmen Sie die fehlende Koordinate so, dass a b gilt. 3 a = 4 b = b3 5) Das Bild zeigt die Anordnung der Balken eines Daches. Zur Längsversteifung werden schräg liegende Bretter angebracht, dir rot gezeichneten Windrispen. a) Beschreiben Sie jeweils die Lage eines Sparren und einer Windrispe durch einen passenden Vektor. b) Berechnen Sie die Länge der Windrispe und die Größe des Winkels zwischen Windrispe und Sparren Merkelbach

34 7. Normalenform der Ebenengleichung n v E E : x p n = ( ) p n P u x p x X Der Vektor n ist der Normalenvektor der Ebene E. Der Normalenvektor n steht senkrecht auf dem Vektor x p und auf den Spannvektoren der Ebene u und v. Daher muss das Skalarprodukt von x p und dem Normalenvektor n Null sein. O 7. Von der Normalenform zur Koordinatengleichung Die Ebene E hat den Punkt P(4//3) und den Normalenvektor 4 Normalenform x = 3 5 x 4 x = x x 4 x = x = ( x ) ( x ) ( ) ( x ) 3 x 8 x + + 5x 5 = 3 n =. 5 Koordinatengleichung x x + 5x3 = 7. Von der Koordinatengleichung zur Normalenform Koordinatengleichung x + 5x + 3x = 3 Um den Stützvektor zu bestimmen wählt man Koordinaten aus und setzt diese gleich Null Merkelbach

35 x x 3 = = x = 6 x = 6 p = Der Normalenvektor n wird gebildet aus den drei Koeffizienten von x, x und x 3. x + 5 x + 3 x3 = ɺɺɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺɺɺ n = Normalenform E : x 5 = Von der Parameterform zur Normalenform 5 Parameterform E : x = + r + s u v Der Normalenvektor n muss senkrecht auf den Spannvektoren u und v stehen. 5 Parameterform E : x = + r + s n n u n und v n n = und n 5 = siehe Skalarprodukt n n n + n = 3 5n + 8n = 3 n3 muss beliebig gewä 3 n + = n = 5n + 4 = n = 8 hlt werden, zum Beispiel n = 5 n = 8 5 Als Stützvektor nimmt man den Stützvektor aus der Parametergleichung. 5 Normalenform E : x 8 = Merkelbach

36 7.4 Von der Normalenform zur Parameterform Normalenform E : x 3 = 4 Man nimmt den Vektor p als Stützvektor und benötigt noch Spannvektoren u und v, die von dem Normalenvektor n linear unabhängig sind. n u n v n u und n v n u = und n v = siehe Skalarprodukt n3 u3 n3 v3 u + 3u + 4u = und v + 3v + 4v = 3 3 man muss Komponenten beliebig wählen u = und u = u = u = 3 v und v 3 u u = = = = 3 3 Parameterform E : x = + r + s 7.5 Übungen Normalenform der Ebenengleichung ) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene E. 4 E : x 5 = 5 ) Bestimmen Sie die Normalenform der Ebene E. E : x + 3x + 5x = 3 3) Bestimmen Sie die Normalenform der Ebene E. E : x = + r 3 + s 3 4) Bestimmen Sie die Ebenengleichung der Ebene E in der Parameterform. 3 E : x 5 = Merkelbach

37 8. Schnittwinkel und Orthogonalität 8. Gerade zu Gerade g : x = p + t u h : x = q + t v cosα = u v u v Orthogonalität: u v u v = Zwei Geraden heißen zueinander orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren zueinander orthogonal sind. 8. Schnittwinkel Gerade zu Ebene E : ( x p ) n = g : x = p + t u E : x = pe + r ue + s ve ne ug cos( 9 α ) = n u E E g g E g 9 - α ist der Winkel zwischen der Geraden und dem Normalenvektor. Gesucht ist aber eigentlich der Winkel α zwischen der Ebene und der Geraden. Über folgende Komplementbeziehung kann man den gesuchten Winkel α auch direkt berechnen: cos ( 9 α ) = sin ( α ) ne ug sinϕ = n u E g Orthogonalität: ug ue ug ue = Mit der Parameterform der Ebene: ug ve ug ve = Mit der Normalenform der Ebene: u n u ist linear abhängig von n g Eine Gerade und eine Ebene heißen zueinander orthogonal, wenn ein Richtungsvektor der Geraden zu den Spannvektoren der Ebene orthogonal ist. 8.3 Schnittwinkel Ebene zu Ebene E : ( x p ) n = E : ( x p ) n = ne n E cosα = n n E E Orthogonalität: Mit der Normalenform der Ebene: ne n = E n E n E Zwei Ebenen heißen zueinander orthogonal, wenn ihre Normalenvektoren zueinander orthogonal sind. g 37 Merkelbach

38 8.4 Übungen Schnittwinkel und Orthogonalität ) Sind die Ebenen E und E orthogonal zueinander? E : x + x 4x = 7 E : 3x x + x = ) Gesucht ist eine Gerade g, die orthogonal zur Ebene E liegt und durch den Punkt P(6/9/4) geht. 7 E : x = 5 + r 3 + s 6 3) Bestimmen Sie einen Punkt Q so, dass die Gerade h durch den Punkt P und Q geht und orthogonal zur Gerade g liegt. 5 g : x = 4 + t P ( / 3/ ) 6 4 4) Bei der Figur in der Abbildung sind A, B, C, D, E und F die Mittelpunkte der Flächen des Quaders. Berechnen Sie die Winkel zwischen den Kanten: a) AB und BC b) AE und EB c) EC und CF 5) Eine sturmgefährdete Fichte an einem gleichmäßig geneigten Hang soll mit Seilen in den Punkten A und B befestigt werden. Mit einem passenden Koordinatensystem ( Einheit = m) steht die Fichte im Ursprung O und es ist A(3/-4/) und B(-5/-/). Die Seile werden in einer Höhe von 5m an der Fichte befestigt. Berechnen Sie die Winkel, die die Seile mit der Hangebene bilden. 6) Verbindet man die Mittelpunkte der Flächen eines Würfels, so erhält man ein Oktaeder. Berechnen Sie den Winkel zwischen den Ebenen von zwei Flächen des Oktaeder a) die eine gemeinsame Kante haben und b) die einen gemeinsamen Punkt haben Merkelbach

39 9. Abstandsberechnungen 9. Abstand eines Punktes von einer Ebene n ist ein Normalenvektor der Ebene E mit der Länge. n = d sei der Abstand des Punktes R von der Ebene E. Man kann folgendes Skalarprodukt aufstellen: cos cos cos ( α ) r p n r p n = = r p n r p ( ) ( ) r p = r p n ( α ) ( ) ( ) ( ) d = r p = d d = r p n r p ( α ) cos( α ) ( ) r p n entspricht dem Term in der Normalenform der Ebenengleichung x p n, wenn man x durch r und n durch n ersetzt. Dies führt zu einer speziellen Der Term ( ) ( ) = Form der Ebenengleichung in Normalenform: Die Hesse sche Normalenform ( x p) n =. Satz: Ist ( ) = x p n die Hesse sche Normalenform der Ebene E, so gilt für den Abstand d eines Punktes R mit dem Ortsvektor r von der Ebene E: d = r p n ( ) In der Koordinatengleichung a x + a x + a3 x3 = b einer Ebene bilden die Koeffizienten a, a und a 3 die Koordinaten des Normalenvektors n. Dividiert man die Koordinatengleichung durch den Betrag von n, so erhält man die a x + a x + a3 x3 b Koordinatendarstellung der Hesse schen Normalenform = a + a + a 3. Satz: Ist a x + a x + a3 x3 = b die Koordinatengleichung der Ebene E, so gilt für den Abstand d eines Punktes ( ) R r r r von der Ebene E: 3 d = a r + a r + a r b 3 3 a + a + a Merkelbach

40 Beispiel : Ebenengleichung in Normalenform Bestimmen Sie den Abstand des Punktes ( 9 / 4 / 3) R von der Ebene mit der Gleichung x 3 =. Schritt: Umwandlung der Normalenform in die Hesse sche Normalenform n = = + + = 3 n = 3 Hesse sche Normalenform x 3 = 3. Berechnung des Abstandes d = ( 8 7 ( 4) ) 3 = = + + = Beispiel : Ebenengleichung in Koordinatengleichung Bestimmen Sie den Abstand des Punktes R ( / 6 / ) von der Ebene mit der Gleichung x x + 4 x = 3. Schritt: Umwandlung der Koordinatengleichung in die Hesse sche Normalenform ( ) x x + 4 x = =. Berechnung des Abstandes d = = = =, Merkelbach

41 9. Abstand eines Punktes zu einer Geraden Den Abstand eines Punktes R von einer Geraden g im Raum bestimmt man in 3 Schritten:. Aufstellen einer Gleichung der zur Geraden g orthogonalen Ebene E durch R.. Berechnung des Fußpunktes F 3. Berechnung des Betrages von RF 3 Beispiel: R ( 6 / 7 / 3 ) g : x = + t 4. Aufstellen einer Gleichung der zur Geraden g orthogonalen Ebene E durch R. Da der Abstand des Punktes R zur Geraden die kürzeste Strecke ist, muss der Vektor vom Fußpunkt F zum Punkt R senkrecht auf der Geraden stehen. Für die Ebene in der der Vektor RF liegt kann man den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor der Ebenen nehmen. Mit diesem Normalenvektor kann man die Ebenengleichung in der Koordinatenform aufstellen. E : 3x + x x = b 3 Setzt man den Punkt R in die Ebenengleichung ein, kann man den Wert b berechnen. ( ) 3 R : = b b = 4 E : 3x x = 4. Berechnung des Fußpunktes F x 3 = + 3t g : x = + t x = 4 t ( ) ( ) E : 3 + 3t 4 t = 4 t = 3 8 OF = + F = 4 3. Berechnung des Betrages von RF 8 6 RF = OF OR = 7 = RF = = 49 = 7 ( ) 4 Merkelbach

42 9.3 Abstand zweier windschiefer Geraden Den Abstand von zwei windschiefer Geraden g und h im Raum bestimmt man in Schritten:. Man bestimmt zwei parallele Ebenen E g und E h.. Der Abstand von der Ebenen E g zur Ebene E h. entspricht dem Abstand der Geraden g zur Geraden h. Laut Abstandsformel der Hesse schen Normaleform gilt: g : x = p + t u h : x = q + t v n u n v d = q p n ( ) Beispiel: g : x = + t h : x = + t n u n u = 4 n + n 6 n = 3 n v n v = n + 3 n = n = 3 n 3 n = = = 3 n = 3 4 n gewählt n = n = d = = = + = n = Merkelbach

43 9.4 Übungen - Abstandsberechnungen ) Berechnen Sie die Abstände der Punkte A(//) und B(5//) von der Ebene E : x x + x = 3 ) Berechnen Sie den kürzesten Abstand des Punktes A(3/3/-4) von der Ebene die durch die Punkte P(//4), Q(6/7/) und R(-/3/7) bestimmt ist. 3) Berechnen Sie den kürzesten Abstand zwischen den beiden Geraden 7 3 g : x = 7 + t und h : x = + t ) Das Bild zeigt eine Werkstatthalle mit einem Pultdach. Die Koordinaten der angegebenen Ecken entsprechen ihren Abständen im m. Die Abluft wird durch ein lotrechtes Edelstahlrohr aus der Halle geführt. Der Auslass des Edelstahlrohres liegt bei R(//8). a. Berechnen Sie den Abstand des Luftauslasses von der Dachfläche. Ist der Sicherheitsabstand von,5m eingehalten? b. Berechnen Sie die Länge des Edelstahlrohres, das über die Dachfläche hinausragt. 5) Bezogen auf das eingezeichnete Koordinatensystem befindet sich ein Flugzeug im Steigflug längs der Geraden: g : x = + t 3 ( Koordinateneinheit = km) In der Nähe befindet sich ein Berg mit einer Kirche. Berechnen Sie den minimalen Abstand des Flugzeuges von der Kirchturmspitze im Punkt S( / /,8). 6) Bezogen auf ein Koordinatensystem mit einem Flughafen als Ursprung verlaufen die Bahnen zweier Flugzeuge auf den Geraden 4 g : x = 5 + t und h : x = 9 + t 3 ( Koordinateneinheit = km) Berechnen Sie, wie nah sich die beiden Flugzeuge im ungünstigsten Fall kommen können Merkelbach

44 . Das Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt). Definition Unter dem Vektorprodukt (äußeres Produkt oder Kreuzprodukt) zweier nichtlinearer Vektoren a und b versteht man einen Vektor a b, für den folgendes gilt:. a b ist orthogonal zu a und b, d.h. der Vektor a b ist ein Normalenvektor der von a und b a aufgespannten Ebene.. a, b und a b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel), 3. a b = a b sinα (Der Betrag a b entspricht dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms. a b b α. Berechnung des Vektorproduktes a b ab3 a3b a b = a b = a3b ab 3 a3 b3 ab ab Beispiel: = 3 ( 7) 9 = ( 7).3 Berechnung des Vektorproduktes mit Hilfe der Determinantenrechnung Man kann das Vektorprodukt auch mit Hilfe der Determinante einer 3x3-Matrix berechnen. Dabei wendet man die Regel von Sarrus an. Hierbei wird die Matrix um die beiden ersten Spalten erweitert. Auf diese Weise erhält man 3 Hauptdiagonalen und drei Nebendiagonalen. Die Differenz aus Haupt- und Nebendiagonalen ergibt den Wert der Determinante. Matrix a a a A a a a a a a 3 = a a a a a 3 det A = a a a a a 3 a a a a a a a a 3 ( ) det A = a a a = a a a + a a a + a a a a a a + a a a + a a a a a a Nebendiagonale Hauptdiagonale 44 Merkelbach

45 Für das Vektorprodukt gilt dann: e a b a b = det e a b e3 a3 b3 det e a b e a e a b e a e a b e a Nebendiagonale = e a b + a b e + b e a e a b + a b e + b e a ( ) Hauptdiagonale = a b + a b + b a a b a b b a a b3 a3 b = + + b a b a 3 3 a b a b ab3 a3b = a3b ab 3 ab ab.4 Eigenschaften des Vektorproduktes: Antikommutativität: a b = ( b a ) Distributivität: a ( b + c ) = ( a b ) + ( a c ) Assoziativität: ( ) = ( ) k a b k a b = a ( k b ).5 Anwendungsbeispiele aus der Physik: a) Das Drehmoment Greift an einem Hebel im Abstand r von der Drehachse eine Kraft F an, so bewirkt diese ein Drehmoment M. M = r F F M r F Schraube hineindrehen F Schraube herausdrehen r F M 45 Merkelbach

46 b) Die Lorentzkraft Auf Leiter, die vom elektrischen Strom durchflossen werden, wirken Kräfte ein. Die Ursache ist im Magnetfeld zu finden, das den Leiter umgibt. Die Kraftwirkung erfolgt auch auf Stromleiter im Permanentmagnetfeld. Zur Vereinfachung soll der Leiter in einem homogenen Magnetfeld sein. Der Leiter mit der Länge l wird vom Strom I durchflossen. Die Stromrichtung verläuft senkrecht zur Magnetfeldrichtung. Beide Magnetfelder überlagern sich. Dabei wird das Feld auf der einen Seite geschwächt und auf der anderen Seite verstärkt. Da das Magnetfeld bestrebt ist seinen kleinsten Energieinhalt anzunehmen, wollen sich die Feldlinien verkürzen. Auf den Stromleiter wirkt eine Kraft F ein, die den Leiter zur feldschwächeren Seite auslenkt. Diese Kraft ist direkt abhängig vom Permanentmagnetfeld, vom Strom durch den Leiter und von der Leiterlänge im Magnetfeld. Vor dem Strom einschalten: Wenn ein Strom fließt: F = l I B ( ) F = Lorentzkraft in N ( Newton ) l = Länge des Leiters in m ( Meter ) I = Stromstärke in A ( Ampere ) T ( Tesla) = Vs m B = magnetische Flussdichte in 46 Merkelbach

47 .6 Übungen - Vektorprodukt ) Bestimmen Sie das Vektorprodukt a b. 7 4 a = 3 b = 3 ) Bilden Sie die Hesse sche Normalenform der Ebene E mit Hilfe des Vektorproduktes. E : x = + r + s ) Berechnen Sie das Drehmoment und bestimmen Sie die Drehrichtung. 4) Geben Sie Betrag, Richtung und Orientierung von F an, wenn in der nebenstehenden Skizze B =4,5mT, l = 5 cm und I = A betragen Merkelbach

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