Implizite Optionen in Lebensversicherungsprodukten

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1 Implizite Optionen in Lebensversicherungsprodukten Eine quantitative Analyse am Beispiel des Kapitalwahlrechts. von Tobias Dillmann und Jochen Ruß 1 1. Einleitung In den letzten Jahren hat sich in der Ausgestaltung von Lebensversicherungsprodukten vieles verändert, um deren Attraktivität zu steigern. Eine wesentliche Komponente hierbei ist der Einschluß von Wahlrechten und Gestaltungsmöglichkeiten, sogenannter impliziter Optionen, in die Versicherungsverträge. Dem Versicherungsnehmer werden von Seiten des Versicherers verschiedene Möglichkeiten offengehalten, den Verlauf der Versicherung später noch zu beeinflussen und eventuell veränderten Lebensumständen und Risiken anzupassen. Mit solchen flexibleren Produkten erhoffen sich die Versicherer bessere Marktchancen gegenüber der immer größer werdenden, auch zunehmend internationalen Konkurrenz. Ein weiterer Vorteil der impliziten Optionen gegenüber später möglichen Vertragsänderungen ist, daß sie die Steuerbegünstigung nicht gefährden. Diese gilt zur Zeit für Verträge mit einer Laufzeit von mindestens zwölf Jahren. Bis vor kurzem unterbrach eine Vertragsänderung die Versicherungsdauer und die resultierende Versicherung wurde als neuer Vertrag mit entsprechend reduzierter Dauer angesehen, was zum Verlust der steuerlichen Begünstigung führen konnte. Inzwischen wurde die steuerliche Behandlung von nachträglichen Vertragsänderungen bei Lebensversicherungen durch die obersten Finanzbehörden des Bundes und der Länder geändert. 2 Steuerrechtlich ist nun grundsätzlich vom Fortbestand der bisherigen Versicherung auszugehen und lediglich die bewirkte Änderung (z.b. Erhöhung des Beitrags und der Versicherungssumme) ist als neuer Vertrag zu betrachten und gegebenenfalls nicht steuerbegünstigt. Der Vorteil impliziter Optionen ist, daß sie zumindest teilweise den Steuervorteil nicht gefährden. Doch diese Optionen bergen für die Versicherungsunternehmen auch gewisse Risiken, da sie die zukünftigen Zahlungsströme erheblich beeinflussen können. Diese Risiken werden jedoch bisher nicht explizit berücksichtigt, das heißt sie werden auch von Versicherungsnehmern getragen, die ihr Wahlrecht nicht zu ihren Gunsten nutzen oder es gar nicht besitzen. Dadurch kann es zu einem ungewollten Risikotransfer zwischen einzelnen Tarifgruppen kommen. 3 Um das zu vermeiden, sollten solche Optionen auch in die Kalkulation mit einfließen. Eine erste Quantifizierung impliziter Optionen wurde in Gerdes (1997) unternommen. Seine Ergebnisse machen deutlich, daß hier versteckte Ertragsrisiken vorliegen, die teilweise ein 1 Tobias Dillmann ist Mitarbeiter des Instituts für Finanz- und Aktuarwissenschaften, Dr. Jochen Ruß ist stellvertretender Direktor des Instituts für Finanz- und Aktuarwissenschaften. 2 Vergleiche hierzu Bei Novation: Vertrag besteht in Versicherungswirtschaft Heft 7/1999, Seite Siehe dazu auch Gerdes (1997). 1

2 erhebliches Ausmaß annehmen können. Gerdes legt für seine Untersuchungen das Optionspreismodell von Black und Scholes zugrunde. Die von ihn dabei implizit getroffene Annahme, daß das Underlying der jeweiligen Option einer geometrisch Brownschen Bewegung folgt, stellt insbesondere bei zinssensitiven Underlyings eine starke Vereinfachung dar. Da seine Resultate anzeigen, daß der Wert derartiger Optionen sehr hoch sein kann, besteht die Notwendigkeit einer detaillierteren Analyse in komplexeren Kapitalmarktmodellen. In der vorliegenden Arbeit betrachten wir eine konkrete implizite Option, das Kapitalwahlrecht bei aufgeschobenen Rentenversicherungen gegen Einmalbeitrag. Es ist ein typisches Beispiel dafür, daß dem Versicherungsnehmer eine Option im Versicherungsvertrag zugebilligt wird, die nicht in die Kalkulation der Versicherung eingeht. Gerdes hat dieses Beispiel ebenfalls untersucht und in seiner Modellumgebung festgestellt, daß das Kapitalwahlrecht einen hohen Wert hat. Das Underlying dieser Option ist die erwartete Rentenzahlung, also ein Bondportfolio. Wir legen zur Bewertung dieses Zinsderivates das in der Praxis weit verbreitete Modell von Hull und White zugrunde. Dabei handelt es sich um ein Einfaktor No-Arbitrage Modell für die Short Rate. Wir modellieren also, wie in der Praxis üblich, nicht das Underlying der Option, sondern die sogenannte Short Rate durch einen stochastischen Prozeß. Dieser legt dann die stochastische Entwicklung der gesamten Zinsstrukturkurve und somit auch aller künftigen Bondpreise fest. Die Arbeit ist im weiteren folgendermaßen aufgebaut. Im zweiten Abschnitt beschreiben wir das Kapitalwahlrecht als Beispiel einer impliziten Option. Daran anschließend stellen wir in Abschnitt drei kurz das Modell von Hull und White für die Zinsstrukturkurve vor. 4 Innerhalb dieses Modells existieren geschlossene Formeln für die Bewertung der notwendigen Optionen und Bonds. Diese Formeln haben wir in Dillmann/Ruß (1999) hergeleitet. Wir bewerten mit Hilfe dieser Ergebnisse das Kapitalwahlrecht für einen konkreten Versicherungsvertrag und geben in Abschnitt vier die Resultate ausführlicher Sensitivitätsanalysen an. Ziel dieser Arbeit ist es, die Ergebnisse und deren Abhängigkeit von den Inputparametern zu beschreiben. Auf eine Diskussion der zugrundeliegenden mathematischen Details wird weitgehend verzichtet. Der interessierte Leser sei auf Dillmann/Ruß (1999) verwiesen. 2. Das Kapitalwahlrecht Viele Rentenversicherungen mit aufgeschobener Rentenzahlung beinhalten heute eine Option, die der Versicherungsnehmer (VN) am Ende der Aufschubphase ausüben kann. Bei diesem sogenannten Kapitalwahlrecht kann der VN entscheiden, ob seine Versicherung wie vertraglich vorgesehen in den Rentenbezug übergeht und bis zu seinem Lebensende die vereinbarte Rente zahlt. Diese enthält in der Regel auch Gewinnanteile und Überschüsse. Alternativ kann der VN auch mit einer einmaligen Kapitalzahlung seitens der Versicherung den Versicherungsvertrag vorzeitig beenden. Dieses Wahlrecht stellt eine Option dar, da diese Entscheidung nicht zu Beginn der Versicherung getroffen werden muß, sondern dem VN eine spätere Gestaltungsmöglichkeit bietet. Betrachtet man die zu erwartenden Rentenzahlungen als Cash-Flow, so ist offensichtlich, daß es sich bei dem beschriebenen Kapitalwahlrecht um eine europäische Put-Option handelt, die den VN berechtigt, den ihm zustehenden erwarteten Cash-Flow zum Ende der Aufschubdauer zum Preis der Kapitalabfindung zu verkaufen. Diese Option wird dem VN häufig nicht berechnet. Daher werden die anfallenden Kosten allen Versicherungsnehmern angelastet, 4 Vergleiche hierzu Hull/White (1990). 2

3 zumindest jedoch jenen, die dieses Wahlrecht nicht zu ihrem Vorteil nutzen. Wir wollen hier einen möglichen Ansatz zur Bewertung dieser impliziten Option vorstellen. Dazu bedarf es zunächst einer Formalisierung der Situation des Kapitalwahlrechts. Für die zeitliche Betrachtung sei t=0 der Beginn der Versicherung. Des weiteren sei x das Alter (in Jahren) des VN zur Zeit 0. Die versicherte Rentenzahlung sei um n>0 Jahre aufgeschoben, das heißt die erste Rente wird im Jahr n+1 vorschüssig fällig, also zum Zeitpunkt t=n. Die Rente wird natürlich nur unter der Bedingung fällig, daß der VN die Aufschubphase überlebt. Die folgenden Überlegungen sind auch für nachschüssige Rentenzahlung gültig, es müssen lediglich die Indizes entsprechend korrigiert werden. Ebenso kann natürlich auch eine unterjährige Rentenzahlungsart (z.b. monatlich) berücksichtigt werden. Außerdem bezeichne K n die Höhe der Kapitalzahlung zur Zeit n bei Ausübung des Kapitalwahlrechts und L j die erwartete Rente (unter der Bedingung, daß der VN den Zeitpunkt t=n erlebt), die zum Zeitpunkt j, also für das Jahr j+1, gezahlt wird. Die Rente L j enthält hier sowohl den garantierten wie auch einen aus Gewinnen und Überschüssen stammenden Anteil. Meist ist der Wert K n keine vertraglich garantierte Größe, er läßt sich jedoch relativ gut mit der Garantieverzinsung und den Gewinnanteilsätzen vorhersagen, siehe auch Gerdes (1997). Nun wollen wir die oben beschriebene europäische Put-Option auf diesen Cash-Flow genauer betrachten. Das Wahlrecht besteht darin, den Cash-Flow der Rentenzahlungen zum Zeitpunkt t=n gegen K n zu verkaufen. Der Ausübungspreis für die Option ist damit durch X=K n gegeben, und der Fälligkeitstermin der Option ist t=n. Das Underlying ist der erwartete Cash- Flow der Rente. Wir gehen hier zu Erwartungswerten über, was aus Sicht des VN zwar unzulänglich erscheint, da es nicht die tatsächliche Rentenzahlung widerspiegelt. Für die Bewertung der Kapitalwahlrechts aus Sicht des Lebensversicherungsunternehmens ist dieses Vorgehen bei hinlänglich großem Bestand aber sinnvoll. Der Cash-Flow der Rente entspricht gerade einem Kupon-Bond mit einem jährlichen Kupon von L j zum Zeitpunkt j. In Hull/White (1990) sowie Jamshidian (1989) wurde die Bewertung einer europäischen Call-Option auf einen Kupon-Bond auf die Bewertung eines Portfolios von Call-Optionen auf jeweils einen Zero-Bond zurückgeführt. In Dillmann/Ruß (1999) übertragen wir diese Argumentation auf den Fall einer Put-Option. Mit dieser Vorgehensweise ist es möglich für die Option des Kapitalwahlrechts im Modell von Hull und White eine geschlossene Bewertungsformel herzuleiten. 3. Das Modell von Hull und White Das Hull/White Modell ist ein stochstisches Zinsmodell, das die Short Rate durch einen Itô- Prozeß der Form ( ) ) dr( t) = θ ( t) ar( t) dt + σdz( t modelliert. Dabei sind a und σ konstant. Es ist ein sogenanntes No-Arbitrage Modell, d.h. es kann perfekt an eine gegebene Zinsstruktur angepaßt werden. Zur Zeit t=0 stimmen also die Marktpreise aller Bonds mit den theoretischen Preisen überein. Das Hull/White Modell kann als Erweiterung des Vasicek Modells 5 oder als eine Verallgemeinerung des Ho-Lee Modells 6 betrachtet werden. 5 Vgl. Vasicek (1977). 6 Vgl. Ho/Lee (1986). 3

4 Es enthält die Idee der Mean Reversion. Dabei wird die Short Rate mit Intensität a zum zeitabhängigen Mittelwert θ(t)/a gezogen. Wenn r(t) groß wird, dann bewirkt die Mean Reversion, daß der Prozeß einem negativen Trend θ(t) - ar(t) unterliegt. Ist r(t) sehr klein, so wird ein positiver Trend erzeugt. Der Parameter σ, die sogenannte Volatilität, ist ein Maß für die Schwankung der Short Rate um den Mittelwert. Trotz einiger berechtigter Kritik an diesem Modell (so kann z.b. die Short Rate mit positiver Wahrscheinlichkeit negativ werden) besitzt es eine hohe Praxisrelevanz. Hauptgründe für die nach wie vor große Beliebtheit dieses Modells sind die Tatsache, daß es sich um ein No- Arbitrage Modell handelt, die vorhandene Mean Reversion, die Tatsache, daß es numerisch leicht zu implementieren ist, sowie die Möglichkeit, für die Preise vieler Wertpapiere geschlossene Formeln zu bestimmen. 4. Empirische Resultate Für alle nachfolgenden Untersuchungen legen wir Kapitalmarktdaten vom 24. Juni 1998 zugrunde. Insbesondere ist die Zinsstrukturkurve durch die Preise für Discount-Bonds B(0,t) gegeben. Exemplarisch sind einige Werte in Tabelle 1 dargestellt. Die Modellparameter des Hull/White Modells wurden an diese Zinsstrukturkurve kalibriert. Die Kalibrierung der Volatilitätsparameter erfolgte mit Swap-Preisen. 7 t 0, B(0,t) 0, , , , ,84275 t B(0,t) 0, , ,7251 0, ,65485 t B(0,t) 0, , ,3532 0, ,19563 Tabelle 1: Discount-Bond Preise vom 24. Juni 1998 (t in Jahren) Ferner legen wir folgenden Mustervertrag zugrunde: Der VN ist männlich und x Jahre alt. Die betrachtete Rentenversicherung sieht vertraglich eine Aufschubdauer von n Jahren vor. Der Rechnungszins beträgt 4%, die Überschüsse während der Aufschub- bzw. der Rentenzahlungsphase bewirken eine zusätzliche Verzinsung von u 1 % bzw. u 2 %. Das ist natürlich eine vereinfachende Annahme, da die Überschüsse nicht garantiert sind. Da die Gewinnbeteiligung aber über längere Zeit sehr stabil ist, läßt sich die Höhe der Kapitalabfindung innerhalb enger Grenzen gut vorhersagen. Sie ergibt sich im wesentlichen aus dem um Kosten verminderten und mit der Summe aus Garantiezins und Gewinnanteil aufgezinsten Einmalbeitrag. Der Wert des Kapitalwahlrechts für verschiedene Kombinationen von x, n und u=u 1 =u 2 ist in Tabelle 2 gegeben. Dabei wurde angenommen, daß zur Zeit t=0 der VN einen Einmalbeitrag von DM gezahlt hat. Außerdem haben wir keine Kosten berücksichtigt, insbesondere sind anfallende Abschlußkosten ignoriert worden. Die Werte aus Tabelle 2 sind für u=3,5% in Abbildung 1 dargestellt. 7 Für eine detailliertere Darstellung vgl. Dillmann/Ruß (1999). 4

5 n = 5 n = 10 x = 20 x = 40 x = 60 x = 20 x = 40 x = 60 u = 2, , , , , , ,85 u = 2, , , , , , ,74 u = 3, , , , , , ,82 u = 3,5 979,39 897,03 610, , , ,38 u = 4,0 472,12 433,20 292, , , ,37 n = 20 n = 30 x = 20 x = 40 x = 60 x = 20 x = 40 x = 60 u = 2, , , , , , ,41 u = 2, , , , , , ,85 u = 3, , , , , , ,52 u = 3, , , , , , ,29 u = 4, , , , , ,12 975,87 Tabelle 2: Wert des Kapitalwahlrechts in DM (x, n in Jahren, u in %) Der Preis des Kapitalwahlrechts ist für ältere VN stets geringer als für jüngere. Das liegt vor allem an der geringeren Wahrscheinlichkeit, die Aufschubphase zu überleben. Eine längere Aufschubdauer n erhöht in der Regel die Preise der Put-Optionen auf die einzelnen Zero-Bonds, und damit auch den Preis des Kapitalwahlrechts. Andererseits nehmen die Überlebenswahrscheinlichkeiten mit der Dauer ab. Dieser Effekt ist um so stärker, je älter der VN ist. Daher ist der Wert des Kapitalwahlrechts zunächst wachsend, dann jedoch fallend in n, wie auch in Abbildung 1 zu sehen ist. Wert des Kapitalwahlrechts x (in Jahren) n (in Jahren) Abbildung 1: Wert des Kapitalwahlrechts als Funktion in x und n für u=3,5% Die Höhe des Überschußzinses u spielt bei der Bewertung des Kapitalwahlrechts eine entscheidende Rolle. Allerdings überlagern sich hierbei zwei gegenläufige Effekte. Zum einen führt ein hoher Überschußzins u 1 während der Aufschubphase zu einer hohen Kapitalzahlung und in analoger Weise zu einer hohen Rente, was durch einen Skalierungseffekt dazu führt, daß auch der Optionswert sich proportional erhöht. Andererseits führt eine hohe Überschußbeteiligung u 2 während der Rentenzahlungsphase zu einer Erhöhung der Rente im Verhältnis zur Kapitalabfindung, was zu einer Reduktion des Optionspreises führt. Der Wert des Kapitalwahlrechts ist also wachsend in u 1 und fallend in u 2. Tabelle 3 enthält die Werte 5

6 des Kapitalwahlrechts für x=40 und n=20 sowie verschiedene Werte für u 1 und u 2. In Abbildung 2 ist dieser Sachverhalt nochmals illustriert. u 2 = 2,0 u 2 = 2,5 u 2 = 3,0 u 2 = 3,5 u 2 = 4,0 u 1 = 2, , , , , ,60 u 1 = 2, , , , , ,74 u 1 = 3, , , , , ,16 u 1 = 3, , , , , ,96 u 1 = 4, , , , , ,50 Tabelle 3: Wert des Kapitalwahlrechts in DM für verschiedene Werte von u 1 und u 2 (in %) Wert des Kapitalwahlrechts u 2 (in %) u 1 (in %) Abbildung 2: Wert des Kapitalwahlrechts als Funktion von x und n für u=3,5% Tabelle 4 gibt die Werte des Kapitalwahlrechts für x=40, n=20 und u=3,5% für verschiedene Kapitalmarktniveaus wieder. Dabei wurden die durch die Ausgangszinsstrukturkurve aus Tabelle 1 bestimmten Zinssätze um r verschoben. Ebenso wurde der Modellparameter σ, die Volatilität des Zinsprozesses, um verschiedene Werte σ variiert. Die Ergebnisse sind in Abbildung 3 dargestellt. σ = -0,4 σ = -0,2 σ = 0 σ = 0,2 σ = 0,4 r = -2 0,67 454, , , ,35 r = -1,5 3,97 767, , , ,14 r = -1 19, , , , ,54 r = -0,5 74, , , , ,14 r = 0 241, , , , ,99 r = 0,5 641, , , , ,28 r = , , , , ,77 r = 1, , , , , ,42 r = , , , , ,85 Tabelle 4: Wert des Kapitalwahlrechts in DM für verschiedene Kapitalmarktszenarien ( r, σ in %) Wie erwartet ist der Wert des Kapitalwahlrechts wachsend in der Volatilität σ. Außerdem ist bei höherem Zinsniveau das Wahlrecht stets teurer. Dies erklärt sich dadurch, daß das 6

7 zugrundeliegende Bondportfolio bei hohen Zinsen billiger wird. Des weiteren wächst der Wert des Kapitalwahlrechts leicht in a. Da dieser Effekt jedoch sehr gering ist geben wir hier keine Daten wieder. Die Ergebnisse zeigen, daß das Kapitalwahlrecht einen sehr hohen Wert haben kann. Eine Berücksichtigung bei der Prämienkalkulation erscheint auf jeden Fall notwendig. In extremen Fällen beträgt der Wert bis zu rund 16% des Einmalbeitrags. Wert des Kapitalwahlrecht r (in%) σ (in %) Abbildung 3: Wert des Kapitalwahlrechts für verschiedene Kapitalmarktszenarien 5. Zusammenfassung und Ausblick In vorliegender Arbeit haben wir den Wert des Kapitalwahlrechts bei Rentenversicherungen gegen Einmalbeitrag quantifiziert und analysiert. Die Ergebnisse ausführlicher Sensitivitätsanalysen zeigen, daß eine Vernachlässigung des Wahlrechts bei der Produktkalkulation nicht angebracht ist. Die in Gerdes (1997) aufgeführten grundsätzlichen Kritikpunkte an einer Bewertung von impliziten Optionen mit den Methoden der Optionspreistheorie können natürlich auch gegen unsere Vorgehensweise angeführt werden. Einige Kritikpunkte wurden von Gerdes bereits beantwortet, zu den wichtigsten möchten wir nochmals Stellung beziehen: Die angegebenen Preise sind natürlich nur eine obere Schranke für den tatsächlichen Wert des Kapitalwahlrechts, da nicht alle Versicherungsnehmer die Option ausschließlich aufgrund finanzrationaler Erwägungen ausüben. Eine Kenntnis dieses Worst-Case Wertes ist allerdings für den Umgang mit derartigen Risiken unerläßlich. Insbesondere ist zu erwarten daß die Versicherungsnehmer künftig mit derartigen Wahlrechten sensibler und aufgeklärter umgehen. Der Anteil der Versicherungsnehmer, der diese aus finanziellen Erwägungen ausübt dürfte künftig steigen. Das Hull/White Modell weist sicher einige Schwächen auf. Insbesondere kann in diesem Modell die Short Rate mit positiver Wahrscheinlichkeit negativ werden. Das Modell wird allerdings in der Praxis nach wie vor häufig verwendet, so daß die Marktwerte der entsprechenden Finanzoptionen sehr gut durch die Modellwerte approximiert werden. Der vorgegebene Ansatz liefert also eine Quantifizierung der Kosten, die verursacht werden, wenn die implizite Option durch Kauf von entsprechenden Finanzoptionen abgesichert 7

8 wird. Da künftig derartigen impliziten Optionen bei der Produktgestaltung in der Lebensversicherung immer größere Bedeutung zukommen wird, besteht der Bedarf einer umfassenden Analyse, Systematisierung und Bewertung der verschiedensten Wahlrechte in einem einheitlichen Modellkonzept. Eine Ausdehnung des hier vorgestellten Konzeptes auf weitere zinssensitive Optionen erscheint prinzipiell möglich. Jedoch dürften für komplexere Optionen keine geschlossenen Bewertungsformeln mehr existieren, was die Notwendigkeit numerischer Verfahren nach sich zieht. Literatur Dillmann, Tobias und Ruß, Jochen 1999: Implicit Options in Life Insurance Contracts The Case of Lump Sum Options in Deferred Annuity Contracts. Erscheint in Proceedings of the 9 th International AFIR Colloquium, Tokio, Japan. Gerdes, Wolfgang 1997: Bewertung von Finanzoptionen in Lebensversicherungsprodukten. Der Aktuar, No. 3: Ho, T.S. und Lee, S.-B. 1985: Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims. Journal of Finance, No. 41: Hull, John C. und White, Alan 1990: Pricing Interest-Rate-Derivative Secrurities. The Review of Financial Studies Vol. 3, No. 4: Vasicek, O.A. 1977: An Equilibrium Characterisation of the Term Structure. Journal of Financial Economics, 5: