SO(2) und SO(3) Martin Schlederer. 06. Dezember 2012

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1 SO(2) und SO(3) Martin Schlederer 06. Dezember 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 2 Wiederholung Spezielle Orthogonale Gruppe SO(n) Erzeuger Charakter Skalarprodukt SO(2) Drehmatrix R(ϕ) Skalarprodukt Infinitesimaler Erzeuger Beziehung zu L z SO(3) Infinitesimale Erzeuger Kommutatorrelation Weitere irreduzible Darstellungen von SO(3) Charakter Skalarprodukt Clebsch-Gordon Reihe Literatur 11 1

2 1 Motivation Während wir uns bisher auf diskrete Gruppen beschränkt haben, wollen wir nun zwei Gruppen mit kontinuierlichen Symmetrien betrachten. Wir haben also nun Gruppen mit unendlich viele Elementen, die allerdings nur von endlich vielen Parameteren abhängen, die zudem nur Werte in einer endlichen Menge annehmen können. In diesem Zusammenhang wird das Konzept des infinitesimalen Erzeugers eingeführt, über den alle Gruppenelemente miteinander verbunden sind, was dann führt zur Kommutatorrelation führt. Außerdem muss die Orthogonalitätsrelation für kontinuierliche Gruppen abgeändert werden. 2 Wiederholung 2.1 Spezielle Orthogonale Gruppe SO(n) Die SO(n) ist die Gruppe der orthogonalen n n - Matrizen mit Determinante 1. Es gilt also: sowie 2.2 Erzeuger R SO(n) gilt: RR E R R det(r) 1 Im ersten Vortrag haben wir die Gruppe C 3 kennengelernt, die Drehungen um 0, 120 und 240 beschreibt. Die Gruppenelemente haben wir mit e, c und c 2 bezeichnet, wobei gilt: e c 3. Somit kann jedes Element als Potentz von c dargestellt werden. Man sagt, dass c die Gruppe erzeugt und nennt c den Erzeuger der Gruppe. 2.3 Charakter Der Charakter einer Darstellung ist definiert als die Summe der Diagonalelemente der darstellenden Matrix D, also der Spur der Matrix: χ(g) T rd(g) Der Charakter einer Darstellung ist invariant unter Konjugation, ist also konstant auf Konjugationsklassen. 2

3 2.4 Skalarprodukt Als Skalarprodukt zwischen zwei Charakteren wurde definiert: 3 SO(2) 3.1 Drehmatrix R(ϕ) χ (ν) χ (µ) 1 [g] χ (ν) (g)χ (µ) (g) g Die spezielle orthogonale Gruppe der Matrizen wird als SO(2) bezeichnet. Sie beschreibt echte Drehungen (also keine Drehspiegelungen) in zwei Dimensionen, also einer Ebene. Anders als in der Gruppe C 3 haben wir jetzt unendliche viele mögliche Winkel ϕ mit ϕ [0, 2π). Allerdings gibt es nur eine Drehachse, und somit hängen alle Gruppenmitglieder nur von dem einen Parameter ϕ ab. Da die Achsenbenennung beliebig ist, ist im folgenden die z-achse als Drehachse gewählt. Wie bekannt sein dürfte, hat die Drehmatrix folgendende Gestalt: cos ϕ sin ϕ R(ϕ) sin ϕ cos ϕ Wir können nun überprüfen, dass R(ϕ) Element von SO(2) ist: RR cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ ( cos 2 ϕ + sin 2 ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ ) cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos 2 ϕ + sin 2 ϕ 1 0 E 0 1 Außerdem: Somit ist R(ϕ) SO(2). det(r(ϕ) cos 2 ϕ ( sin 2 ϕ) 1 Anmerkung: Eigentlich handelt es sich bei der Drehmatrix R(ϕ) um eine Darstellung der abstrakten Gruppe der Drehungen in zwei Dimensionen, aber da der Kern nur die Identität ϕ 0 ist, ist die Abbildung zwischen Darstellung und abstrakter Gruppe bijektiv und somit die Darstellung isomorph zur abstrakten Gruppe selbst. Die Darstellung ist über den reellen Zahlen nicht weiter reduzibel. Allerdings ist sie über den komplexen Zahlen reduzibel. Bestimmt man die (komplexen) Eigenwerte von R(ϕ), so erhält man e iϕ und e iϕ. 3

4 Bestimmt man auch noch die Eigenvektoren zu den Eigenwerten, so erhält man folgende Gleichung: x + iy e iϕ 0 x + iy x iy 0 e iϕ x iy Wie man erkennt, sind die irreduziblen Darstellungen dank der komplexen Zahlen nur noch 1 1-Matrizen, die mit ganzen Zahlen durchnummeriert werden können: 3.2 Skalarprodukt D (m) e imϕ Die Skalarprodukt von Charakteren muss nun natürlich entsprechend angepasst werden. Die gewichtete Summe über alle Gruppenmitglieder wird dabei durch eine passende Integration über ϕ ersetzt: 1 2π [g] g 0 2π Also: χ (ν) χ (µ) 2π 0 2π χ(ν) (ϕ)χ (µ) (ϕ) Als Beispiel soll die Zerlegung der Drehmatrix R(ϕ) nochmal geprüft werden. Bei einer Zerlegung in irreduzible Darstellungen erhält man die Koeffizienten durch: a m χ (m) χ Der Charakter χ von R(ϕ) ist 2 cos ϕ. Also folgt: Also: a m 2π 0 2π 2π eimϕ 2 cos(ϕ) 0 2π eimϕ (e iϕ + e iϕ ) δ m,m 1 + δ m,m+1 R(ϕ) D (1) D ( 1) in Übereinstimmung mit der vorherigen Zerlegung. Die Clebsch-Gordon-Reihe wird einfach zu: 3.3 Infinitesimaler Erzeuger D (m) D (m ) D (m+m ) Den infinitesimalen Erzeuger einer Gruppe kann man finden, indem man Elemente betrachtet, die infinitesimal nahe am neutralen Element liegen, also gilt: ϕ 1. Dann kann man die Drehmatrix nach ϕ entwickeln und erhält: R(ϕ) E iϕx + O(ϕ 2 ) 4

5 oder anders ausgedrückt ix dr(ϕ) ϕ0 X bezeichnet man nun als infinitesimalen Erzeuger. Im Fall unserer Drehmatrix ergibt sich: 0 1 ix 1 0 Das besondere an diesem infinitesimalen Erzeuger ist nun, dass sich jede beliebige Drehung um einen endlichen Winkel durch die Exponentierung von X erzeugt werden kann: R(ϕ) exp( iϕx) Dieser Ansatz funktioniert bei allen kontinuierlichen Gruppen, bei denen die Elemente kontinuierlich mit dem neutralen Element verbunden sind, also z.b. nicht bei Spiegelungen. R und X sind natürlich Matrizen, die Exponentierung muss also als Reihe aufgefasst werden: 1 exp( iϕx) n! ( iϕ)n X n 2 0 i Da X 2 i 0 und es folgt: exp( iϕx) n0 1 0 E zerfällt die Summe in gerade und ungerade Terme cos ϕ sin ϕ 1 0 cos ϕ sin ϕ R(ϕ) sin ϕ cos ϕ 3.4 Beziehung zu L z Bei einer Rotation gilt: Ψ( x) Ψ ( x ) Ψ(R 1 x ) Û R Ψ( x ) Ψ(R 1 x ) Û R bezeichnet hierbei die Rotation der Funktion im Raum der Wellenfunktionen. Für ein sehr kleines ϕ ergibt das: dψ(r, θ) (E iϕx)ψ(r, θ) Ψ(r, θ) ϕ dθ Da ϕ sehr klein ist, kann man ix mit d/dθ identifizieren und erhält: da L z i d dθ. X i d dθ L z, 5

6 4 SO(3) Diese Gruppe beschreibt Drehungen in drei Dimensionen. Es gibt wieder eine Bijektion zwischen der abstrakten Gruppe und den Matrizen, sodass die Darstellung als orthogonale Matrizen isomorph zur abstrakten Gruppe ist. Ebenso wie zuvor handelt sich um eine kontinuierliche Symmetrie, aber statt einen Parameter ϕ erhält man nun drei Parameter, da man drei Achsen hat, um die rotiert werden kann. 4.1 Infinitesimale Erzeuger Es gibt (mindestens) zwei Arten, die infinitesimalen Erzeuger zu finden: Einerseits kann man die Drehmatrizen für die Koordinatenachsen betrachen: Drehung um die z-achse: cos ϕ sin ϕ 0 R 3 (ϕ) sin ϕ cos ϕ Den Erzeuger findet man wie zuvor: Oder kurz: ix 3 dr 3(ϕ) ϕ0 (X 3 ) ij iɛ ij wobei ɛ ijk der Epsilon-Tensor ist. Analog wird bei den anderen Drehachsen vorgegangen: Drehung um die x-achse: R 1 (ϕ) 0 cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ Oder kurz: und: Drehung um y-achse: ix 1 dr 1(ϕ) ϕ0 (X 1 ) ij iɛ ij cos ϕ 0 sin ϕ R 2 (ϕ) sin ϕ 0 cos ϕ 6

7 Oder kurz: ix 2 dr 2(ϕ) ϕ0 (X 2 ) ij iɛ ij Also kann man zusammenfassen: (X k ) ij iɛ ijk Eine andere Art, die Erzeuger zu finden, ist, eine kleine Drehung um eine beliebige normierte Drehachse n zu betrachten. n soll hierbei durch eine orthonormale Basis ausgedrückt sein. Die Verrückung ist senkrecht zu der Ebene, die durch n und r aufgespannt wird. Die Größe der Verrückung ist für kleines ϕ: Zusammen ergibt das: Oder in Komponentenschreibweise: Also: mit Das zeigt: r i r i + 3 j,k1 δ r (r sin θ)ϕ r r + δ r r + ( n r)ϕ ϕɛ ikj n k r j r i 3 j,k1 ϕɛ ijk n k r j (R(ϕ)) ij δ ij ϕɛ ijk n k δ ij iϕ(x n ) ij (X n ) ij 3 iɛ ijk n k k1 3 n k (X n ) ij ( n X) ij k1 R n (ϕ) exp( i n Xϕ) 3 (δ ij ϕɛ ijk n k )r j j,k1 mit dem allgemeinen Erzeuger X n n X, also um eine beliebige (normierte) Drehachse n. So ergibt sich zum Beispiel für den Spezialfall n (1, 0, 0) : n X X Kommutatorrelation Die infinitesimalen Erzeuger spannen einen Vekorraum auf, was bedeuted, dass jede beliebige Linearkombination von ihnen wieder einen Erzeuger gibt. Allerdings gibt es noch eine weitere Verknüpfung, bei der man wieder einen Erzeuger erhält. Diese Verknüpfung ist der Kommutator: [X, Y ] XY Y X 7

8 Diese Verknüpfung ist nicht assoziativ, erfüllt aber die Jacobi-Identität: [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] 0 Aufgrund dieser Eigenschaften bilden die Infinitesimalen Erzeuger eine Lie-Algebra, worauf in einem späteren Vortrag noch eingegangen wird. Anschaulich gesagt ist der Kommutator auch ein Maß dafür, wie stark dass Kommutativgesetz verletzt wird. Ein Weg, die Kommutatorrelation zu erhalten, ist es, sie einfach mithilfe der Matrizen, die wir oben hergeleitet haben, auszurechnen: i 0 0 i [X 1, X 2 ] 0 0 i i 0 i 0 i 0 0 i i ix Analog kann man den Kommutator für die anderen Kombinationen berechnen und erhält: [X i, X j ] iɛ ijk X k Ein anderer Weg, diese Relation herzuleiten, ist die folgende Konjugation zu betrachten: R n (ϕ) S(θ)R n (ϕ)s 1 (θ) mit ϕ infinitesimal klein. Diese Konjugation entspricht einer Drehung um eine gedrehte Achse n S(θ) n. Wird als Achse für die Drehung um θ die z-achse gewählt, so gilt: S(θ) exp( ix 3 θ) Wählt man außerdem als Drehachse für ϕ die x-achse, so gilt zusätzlich: n cos θ S(θ) n sin θ 0 und somit: n X X1 cos θ + X 2 sin θ Eingesetzt in die obere Gleichung ergibt dies: e ix 3θ e ix 1ϕ e ix 3θ e i(x 1 cos θ+x 2 sin θ)ϕ Entwickelt man die Gleichung um ϕ 0 folgt: e ix 3θ X 1 e ix 3θ X 1 cos θ + X 2 sin θ 8

9 Leitet man nun nach θ ab und setzt θ 0, erhält man: ix 3 X 1 + X 1 ix 3 i[x 3, X 1 ] X 2 [X 3, X 1 ] ix 2 Die restlichen Relationen kann man analog herleiten. 4.3 Weitere irreduzible Darstellungen von SO(3) Da die abstrakte Gruppe SO(3) generell dreidimensionale Drehungen beschreibt, wir uns bisher aber nur auf dreidimensionale Drehungen in einem dreidimensionalen Raum beschränkt haben, wollen wir nun eine allgemeinere Formel für die Darstellung finden. Dabei wird die oben hergeleitete Kommutatorrelation als fundamental angesehen. Das Problem ist also, irreduzible Matrizen zu finden, die die Kommutatorrelation erfüllen. Diese beschreiben dann dreidimensionale Drehungen in (Hilbert-)Räumen mit beliebiger Dimension. Identifiziert man J X, wie vorhin für J z gezeigt wurde, so wird dieses Problem auf eines zurückgeführt, das in der Quantenmechanik bekannt ist. Deshalb soll auf die Herleitung an dieser Stelle verzichtet werden. Da J 2 mit einer Komponente, zb J z, kommutiert, haben sie gemeinsame Eigenfunktionen. Es folgt: J 2 jm 2 j(j + 1) jm J z jm m jm mit j m j. Damit folgt für die infinitesimalen Erzeuger: jm X 3 jm mδ m m jm X + jm [(j m)(j + m + 1)] 1/2 δ m,m+1 jm X jm [(j + m)(j m + 1)] 1/2 δ m,m 1 Wobei X ± X 1 ± ix 2. Dies sind die Erzeuger für R(ϕ) in einer (2j+1)-dimensionalen Darstellung. Da (2j+1) eine ganze, positive Zahl ergeben muss, kann j ganzzahlig oder halbzahlig sein. Tatsächlich führen die ganzzahligen Werte zum (mechanischen) Drehimpuls, während die halbzahligen j zum Spin führen, der dann eine Periodizität von 4π aufweist. Für j 1 erhält man wieder die Erzeuger, die wir vorhin hergleitet hatten, allerdings in einer anderen Basis. 4.4 Charakter Den Charakter einer [2j+1]-Darstellung findet man wieder über die Spur der zugehörigen Drehmatrix. X 3 diag(j, j 1,..., j + 1, j) 9

10 R 3 (ϕ) exp( ix 3 ϕ) diag(e ijϕ, e i(j 1)ϕ,..., e i(j 1)ϕ, e ijϕ ) χ (j) (ϕ) T rr 3 (ϕ) e ijϕ + e i(j 1)ϕ e i(j 1)ϕ + e ijϕ ijϕ 1 ei(2j+1)ϕ e 1 e iϕ e i(j+1/2)ϕ e i(j+1/2)ϕ e i ϕ 2 e i ϕ 2 sin(j + 1/2)ϕ sin ϕ 2 Da der Charakter konstant auf Konjugationsklassen ist, also nicht von der Drehachse abhängt, gilt diese Formel für den Charakter nicht nur für die z-achse, sondern generell. Bei ganzzahligem j erhält man: Und für halbzahlige j: mit j n + 1/2. j χ (j) (ϕ) cos(mϕ) m1 n χ (j) (ϕ) cos(m + 1/2)ϕ m0 4.5 Skalarprodukt Auch für SO(3) muss das Skalarprodukt für Charaktere wieder abgewandelt werden. Wichtig ist dabei, dass das Integral invariant unter Drehungen sein muss, also gelten muss:...dµ(ϕ)...dµ(ϕ ) Die Suche nach dem Maß, das diese Relation erfüllt, liefert für SO(3): Also: χ (j) χ (j ) 2π 4.6 Clebsch-Gordon Reihe 0 1 2π [g] g 0 2π (1 cos ϕ) 2π (1 cos ϕ)sin((j + 1/2)ϕ) sin ϕ 2 sin((j + 1/2)ϕ) sin ϕ ) 2 Wie wir bereits in vorangegangenen Vorträgen gehört haben, kann man das direkte Produkt zweier irreduzibler Darstellungen auch als Summe von irreduziblen Darstellungen ausdrücken: D (j 1) D (j 2) j 1 +j 2 j j 1 j 2 D (j) Der Beweis wird am besten direkt mit den Charakteren geführt: χ (j 1) (ϕ)χ (j 2) (ϕ) ei(j 1+1/2)ϕ e i(j 1+1/2)ϕ 2i sin ϕ 2 j 2 m j 2 e imϕ 10

11 j 2 1 2i sin ϕ e i(j 1+m+1/2)ϕ e i(j 1 m+1/2)ϕ 2 m j 2 Da man über einen symmetrischen Bereich summiert, kann man im zweiten Summanden -m zu m umschreiben. Definiert man noch j j 1 + m so folgt: χ (j 1) (ϕ)χ (j 2) (ϕ) j 1 +j 2 j j 1 j 2 sin((j )ϕ) sin ϕ 2 j 1 +j 2 j j 1 j 2 χ (j) (ϕ) Womit die Gleichung gezeigt ist. Diese Beziehung schlägt sich in der Quantenmechanik nieder, wo bei der Addition von zwei Drehimpulsen j 1, j 2 der neue Drehimpuls alle Werte zwischen j 1 j 2 und j 1 + j 2 annehmen kann. 5 Literatur H. F. Jones. Groups, Representations and Physics. Taylor & Francis Group, 2. edition,

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