Quantitatives Prognosemodell für die Anwendung des Black-Litterman-Verfahrens

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1 Quanttatves Prognosemodell für de Anwendung des Black-Ltterman-Verfahrens Franzska Felke* und Marc Gürtler** Abstract: De chätzung erwarteter Wertpaperrendten stellt ene der zentralen Aufgaben n der praktschen Umsetzung des Markowtz-Portfoloselektonsmodells dar. Vor desem Hntergrund entwckelten Black-Ltterman (1992) en Verfahren, das zum enen auf (theoretsch funderten) erwarteten Rendten m Kaptalmarktglechgewcht basert, und zum anderen subjektve Prognosen von Analysten berückschtgt. Im Gegensatz zur hstorschen chätzung erwarteter Rendten, de n der Markowtz Optmerung zu recht extremen Wertpaperantelen führt, resulteren be Anwendung des Black-Ltterman-Verfahrens mest recht ausgeglchene Portfologewchte. Das Vorlegen von Analystenschätzungen st für das Black-Ltterman-Verfahren allerdngs zentral, so dass be fehlenden chätzungen aktves Portfolomanagement ncht mehr möglch st. Auch ergeben sch häufg Anwendungsprobleme, da Analystenprognosen typscherwese ncht so konkret abgegebenen werden, we des für das Black-Ltterman- Verfahren notwendg st. Vor desem Hntergrund wrd dargelegt, we (öffentlch zugänglche) Dvdendenschätzungen für de Ermttlung ener a-pror-chätzung der erwarteten Rendte genutzt und n das Black-Ltterman-Modell ntegrert werden können. Dabe werden zum enen Konfdenzwahrschenlchketen der Prognose aus der Anzahl der von den Analysten abgegebenen chätzungen ermttelt und zum anderen wrd zu desem Zweck auf en Monte- Carlo-mulatonsverfahren abgestellt. In ener nachfolgenden emprschen Untersuchung wrd weterhn ausgehend von den beden unterschedlchen Arten der Prognoseermttlung de Wrkung des Black-Ltterman-Verfahrens auf de Portfologewchte untersucht. Abschleßend wrd ene out-of-sample Performanceanalyse des Black-Ltterman-Verfahrens m Verglech zu alternatven Portfoloallokatonsstrategen durchgeführt. * Dpl.-Math. Oec. Franzska Felke Technsche Unversttät Braunschweg Lehrstuhl für BWL, nsbes. Fnanzwrtschaft Abt-Jerusalem-tr. 7 D Braunschweg Deutschland Phone: Fax: e-mal: f.felke@tu-bs.de ** Professor Dr. Marc Gürtler Technsche Unversttät Braunschweg Lehrstuhl für BWL, nsbes. Fnanzwrtschaft Abt-Jerusalem-tr. 7 D Braunschweg Deutschland Phone: Fax: e-mal: marc.guertler@tu-bs.de 1

2 Quanttatves Prognosemodell für de Anwendung des Black-Ltterman-Verfahrens Abstract: De chätzung erwarteter Wertpaperrendten stellt ene der zentralen Aufgaben n der praktschen Umsetzung des Markowtz-Portfoloselektonsmodells dar. Vor desem Hntergrund entwckelten Black-Ltterman (1992) en Verfahren, das zum enen auf (theoretsch funderten) erwarteten Rendten m Kaptalmarktglechgewcht basert, und zum anderen subjektve Prognosen von Analysten berückschtgt. Im Gegensatz zur hstorschen chätzung erwarteter Rendten, de n der Markowtz Optmerung zu recht extremen Wertpaperantelen führt, resulteren be Anwendung des Black-Ltterman-Verfahrens mest recht ausgeglchene Portfologewchte. Das Vorlegen von Analystenschätzungen st für das Black-Ltterman-Verfahren allerdngs zentral, so dass be fehlenden chätzungen aktves Portfolomanagement ncht mehr möglch st. Auch ergeben sch häufg Anwendungsprobleme, da Analystenprognosen typscherwese ncht so konkret abgegebenen werden, we des für das Black-Ltterman- Verfahren notwendg st. Vor desem Hntergrund wrd dargelegt, we (öffentlch zugänglche) Dvdendenschätzungen für de Ermttlung ener a-pror-chätzung der erwarteten Rendte genutzt und n das Black-Ltterman-Modell ntegrert werden können. Dabe werden zum enen Konfdenzwahrschenlchketen der Prognose aus der Anzahl der von den Analysten abgegebenen chätzungen ermttelt und zum anderen wrd zu desem Zweck auf en Monte- Carlo-mulatonsverfahren abgestellt. In ener nachfolgenden emprschen Untersuchung wrd weterhn ausgehend von den beden unterschedlchen Arten der Prognoseermttlung de Wrkung des Black-Ltterman-Verfahrens auf de Portfologewchte untersucht. Abschleßend wrd ene out-of-sample Performanceanalyse des Black-Ltterman-Verfahrens m Verglech zu alternatven Portfoloallokatonsstrategen durchgeführt. 2

3 1 Enletung Gegenstand der Portfolotheore st de Frage, we en Anleger sene fnanzellen Mttel bestmöglch n de am Markt vorhandenen Wertpapere nvestert. De grundlegenden Arbeten n desem Berech stammen von Harry Markowtz (1952, 1959). Er schlägt vor, dass sch rskoaverse Investoren be der Entschedung zur Portfolozusammensetzung aus N Wertpaperen nach dem Erwartungswert µ P und der Varanz 2 σ P der Gesamtportfolorendte rchten sollen, wobe be konstanter absoluter Rskoaverson de folgende Präferenzfunkton maxmert wrd: 1 λ 2 λ φ=µ P σ P = X' µ X' ΣX max! (1) 2 2 X X = x,,x ', Σ bezechnet de N N Dabe st X der N-Vektor der Wertpapergewchte: ( ) 1 N Varanz-Kovaranzmatrx der Wertpapere, µ bezechnet den Erwartungswertvektor der Wertpaperrendten und λ den Rskoaversonsparameter. En Problem der Portfolotheore legt n der chätzung der engehenden Parameter: Erwartungswerte, Varanzen und Kovaranzen der enzelnen Wertpaperrendten. De Inputparameter werden geschätzt, und m Optmerungsalgorthmus wrd davon ausgegangen, dass se de wahren Werte der Rendtemomente snd. Jedoch snd zukünftge Rendten zufällge Größen und hre wahren Ausprägungen unterscheden sch von hrem Erwartungswert. Häufg resulteren aus dem Optmerungsalgorthmus extrem hohe Leerverkaufspostonen oder be Enschränkung der Portfologewchte zwschen null bs ens gbt es wenge postve Gewchte und ene Velzahl an Wertpaperen wrd ncht n das optmale Portfolo aufgenommen. Dese Portfologewchte führen sollten de Parameter tatsächlch entreten natürlch zum höchsten Präferenznveau, wechen de Parameter allerdngs von den Prognosen ab, so könnte das gerng dversfzerte Portfolo en schlechtes Präferenznveau erzelen, wenn sch de jewels gewählten Akten suboptmal entwckeln. Der aus dem Maxmerungsproblem (1) abgeletete optmale Gewchtsvektor 1 1 X = Σ µ (2) λ st weterhn sehr senstv bezüglch der Engangsparameter. Berets margnale Veränderungen n den Rendteerwartungen können große Veränderungen n den Portfologewchten her- 1 Ene Nutzenfunkton mt konstanter absoluter Rskoaverson und de Annahme normalvertelter Rendten führen zu desem cherhetsäquvalent, das anstelle der Maßzahl des Erwartungsnutzens maxmert werden kann. Vgl. dazu Anderson/Bancroft (1952),. 37; Freund (1956). 3

4 vorrufen. 2 Bezüglch Änderungen n Varanzen und Kovaranzen st de enstvtät der Gewchte ncht so stark we be Änderungen n den erwarteten Rendten. 3 Das von Black und Ltterman (1992) entwckelte Verfahren kombnert glechgewchtge erwartete Rendten mt persönlchen subjektven Prognosen und st n der Praxs auf ene brete Akzeptanz gestoßen. 4 Werden nur für enge Wertpapere Prognosen abgegeben, wechen nur dese Wertpapergewchte von den Gewchten deses Wertpapers m Marktportfolo ab. Frelch müssen Prognosen aufgestellt werden, um überhaupt von den verständlchen und realserbaren Marktgewchten abzuwechen. Wenn man kene egenen Prognosen aufstellen kann, so betet das Black-Ltterman-Verfahren ncht de Möglchket aktves Portfolomanagement zu betreben. elbst wenn man enzelne Prognosen für Aktenrendten abgeben kann, so stützen sch dese auf enzelne Menungen se es de egene Prognose oder de Erwartung enes Analysten. In desem Betrag werden zwe Möglchketen beschreben, we Prognosen für das Black-Ltterman-Verfahren mt Hlfe von Bewertungsmodellen und ener Velzahl von Analystenschätzungen quantfzert werden können. Weterhn wrd ene unseres Erachtens bsher enmalge out-of-sample Performanceanalyse des Black-Ltterman-Verfahrens durchgeführt. Herold (2003) beschrebt enen Ansatz, n dem das Black-Ltterman Verfahren mt qualtatven Analystenprognosen angewendet werden kann. Im Rahmen des aktven Portfolomanagements wrd das optmale Portfolo dabe so gewählt, dass en vorgegebener trackng error errecht wrd. Allerdngs beruht de Zusammenstellung des Portfolos auf den Prognosen enes Analysten und ncht auf ener Velzahl von Analystenschätzungen. Jones (2007) erstellt Prognosen auf der Bass enes Faktormodells. De Konfdenzwahrschenlchketen der Prognosen werden auf Bass der hstorschen Rendtekovaranzen und varanzen aus dem Modell ermttelt. In unserem Betrag wrd für de Ermttlung der Konfdenzwahrschenlchketen ncht auf de hstorsche Varanz-Kovaranzmatrx zurückgegrffen, sondern das Vertrauen n de Prognosen wrd drekt aus den Analystenschätzungen abgeletet. Zunächst werden n Kaptel 2 de Grundlagen des Black-Ltterman-Verfahrens erläutert. Anschleßend werden n Kaptel 3 de beden Methoden zur Aufstellung von Prognosen für das Black-Ltterman-Verfahren erläutert. In Abschntt 3.1 wrd dafür auf de Anzahl der Analys- 2 Ene enstvtätsstude fndet sch bespelswese n Kempf/Memmel (2002). 3 Vgl. Chopra/Zemba (1993). 4 Vgl. Herold (2004), De Investmentbank Goldman achs verwendet bespelswese das Black- Ltterman-Verfahren. Vgl. He/Ltterman (1999). 4

5 tenschätzung zurückgegrffen, n Abschntt 3.2 wrd ene Monte-Carlo-mulaton zur Genererung der Prognosen beschreben. In der emprschen Untersuchung n Kaptel 4 werden de Input- und Outputparameter der beden n Kaptel 3 beschrebenen Verfahren mt Hlfe von realen Kaptalmarktdaten analysert und schleßlch wrd n Abschntt 4.3 ene out-of-sample Performance der Verfahren berechnet. Im Kaptel 5 werden de Ergebnsse zusammengefasst. 2 Grundlagen des Black-Ltterman-Verfahrens 2.1 Grunddee Black und Ltterman (1992) kombneren n hrem Verfahren glechgewchtge erwartete Rendten mt egenen Erwartungen der Investoren, um enen neuen Vektor der erwarteten Rendten µ BL zu berechnen, der n de Markowtz-Optmerung enfleßt. Durch de Optmerung sollen auch ohne Leerverkaufs- oder sonstge Restrktonen relatv ausgewogene Portfolos resulteren. De glechgewchtgen erwarteten Rendten werden aus dem Marktportfolo abgeletet. 5 Zunächst wrd davon ausgegangen, dass der Rendtevektor r der N betrachteten Wertpapere normalvertelt st mt enem N 1 Erwartungswertvektor µ und der N N Varanz- Kovaranzmatrx Σ : ( µ Σ) r N,. (3) De Varanz-Kovaranzmatrx wrd als bekannt vorausgesetzt und hstorsch geschätzt, 6 der Vektor der erwarteten Rendten µ se hngegen en Zufallsvektor, der ener Normalvertelung mt bekannten Parametern ( ) Πτ, und Σ folgt: µ N Π, τσ. (4) Π stellt herbe den N 1 Rendteerwartungswertvektor des Marktportfolos dar und dent als neutraler Referenzpunkt. De Berechnung von Π wrd n Abschntt 2.2 beschreben. De Varanz-Kovaranzmatrx des Erwartungswertvektors µ wrd als Velfaches der Varanz-Kovaranzmatrx der Rendten r mt enem kalerungsfaktor τ > 0 gewählt. Der Faktor wrd n dem Ansatz ncht fest vorgegeben. Da Black und Ltterman davon ausgehen, dass de Uns- 5 Es wrd streng genommen natürlch en tellvertreter für das Marktportfolo gewählt, da das Marktportfolo m Grunde ncht nachgebldet werden kann. Vgl. herzu Roll (1977). 6 Vgl. Black/Ltterman (1992),

6 cherhet über den erwarteten Rendtevektor klener st als de Unscherhet (her also de Varanz-Kovaranzmatrx) der Rendten, schlagen se vor, en recht klenes τ zu wählen Der neutrale Referenzpunkt Als Ausgangspunkt für de erwarteten Rendten nutzen Black und Ltterman (1992) das Marktportfolo. 8 Über ene Rückwärtsoptmerung werden de erwarteten Rendten des Marktportfolos bestmmt. Dabe geht man von enem Investor mt ener Präferenzfunkton (1) aus. tellt man Glechung (2) nach dem Rendtevektor µ um, so erhält man: µ=λ Σ X. (5) Der Vektor der erwarteten Wertpaperrendten µ ergbt sch also als en Velfaches des Produkts der Varanz-Kovaranzmatrx mt dem Wertpapergewchtsvektor. De optmalen Wertpaperantele X snd be Festlegung enes Marktportfolos aus N Akten durch de Marktkaptalserungen der enzelnen Wertpapere m Verhältns zur gesamten Marktkaptalserung gegeben: x j = η j Pj. (6) N η P = 1 η j gbt dabe de Anzahl der j-ten Akte auf dem Kaptalmarkt an und P j den aktuellen Pres der j-ten Akte. De fehlende Komponente zur Berechnung von µ aus Formel (5) st schleßlch noch de Rskoaverson. Legt man das Captal-Asset-Prcng Modell zugrunde, so ergbt sch der Rskoaversonsparameter als Marktpres des Rskos. 9 Lässt man den Parameter λ unbestmmt, so kann man dennoch de relatven erwarteten Rendten mt Hlfe von (5) und (6) bestmmen. Werden de berechneten Wertpaperrendten µ n ener Markowtz-Optmerung genutzt, erhält man für belebge λ erwartungsgemäß de Gewchte des Marktportfolos. 2.3 Ausschten der Investoren Als zusätzlche Menung können Investoren k Enschätzungen über de erwarteten Rendten n folgender Form abgeben: 7 Vgl. Black/Ltterman (1992), Zur Auswahl ener geegneten Referenzrendte dskuteren Black und Ltterman auch hstorsche erwartete Rendten der enzelnen Wertpapere, gleche erwartete Rendten nnerhalb der Assetklassen sowe rskoadjusterte erwartete Rendten. e kommen allerdngs zu dem chluss, dass Marktrendten m Gegensatz zu den anderen trategen de ausgewogensten und ntutvsten Portfolos genereren. 9 Vgl. Ptts (1998),. 123 f. Drobetz (2003) setzt bespelswese den Rskoaversonsparameter auf Ens fest. 6

7 ( ) Q= P' µ+ε,mtε N 0, Ω. (7) Q st dabe en k 1 Vektor von k Prognoseerwartungen und P ene bekannte N k Prognosematrx. Der k 1 Vektor ε folgt ener Normalvertelung mt Erwartungsvektor Null und ener Varanz-Kovaranzmatrx Ω. Ω stellt nach Black/Ltterman ene Dagonalmatrx dar, 10 Enschätzungen snd damt unterenander unabhängg. 11 Dese Annahme st eher krtsch zu sehen, da Enschätzungen ener bestmmten Industrebranche scherlch ncht unabhängg vonenander snd. De Enträge auf der Dagonalen geben de cherhet des Investors n de jewelge Prognose an: je größer der Entrag, desto unscherer st der Investor bzgl. sener Vorhersage. De Enschätzungen können sowohl absolut als auch relatv angegeben werden, und es muss ncht für jede Akte ene Prognose abgegeben werden. De Aufstellung von Glechung (7) wrd exemplarsch an dem folgenden Bespel verdeutlcht. Bespel 2.1: (a) Der Investor st sch scher, dass de erwartete Rendte von Akte 1 20 % betragen wrd. (b) Der Investor glaubt mt ener Wahrschenlchket von 70 %, dass de Dfferenz der erwarteten Rendten zwschen enem glechgewchteten Portfolo aus Akte 1 und Akte 3 und enem glechgewchteten Portfolo aus Akte 4, 5 und 6 zwschen 5 % und 7 % betragen wrd. Dese Prognosen werden für enen Anlagehorzont von 6 Akten n Form von Glechung (7) dann folgendermaßen aufgestellt: µ 1 µ 2 0, µ 3 ε1 = +, 0, 06 0,5 0 0,5 0,33 0,33 0,33 µ 4 ε2 (8) µ 5 µ mt ε N, , Vgl. Black/Ltterman (1992), nd de Enträge der Varanz-Kovaranzmatrx außerhalb der Dagonalen Null, so kann man zunächst nur davon sprechen, dass de Enschätzungen unkorrelert unterenander snd. Be Annahme ener Normalvertelung st de Unkorrelerthet allerdngs äquvalent zur Unabhänggket. Vgl. dazu auch Fahrmer et al. (1997),

8 Der erste Entrag des Vektors Q enthält de erwartete Rendte der Akte 1 mt 20 %. Prognose (a) st absolut angegeben und an dem ersten Entrag (für de erste Akte) der ersten Prognosezele n der Matrx P' steht zu desem Zweck ene Ens. Da sch der Investor bezüglch deser Prognose scher st, beträgt de Varanz ω 11 des Fehlerterms ε 1 Null. Prognose (b) st ene relatve Prognose. Der Mttelwert der Prognose (b) wrd dabe an de zwete telle des Vektors Q geschreben. De zwete Zele der Matrx P' betrfft Prognose (b). Da der relatve Verglech glechgewchtete Portfolos zwschen Akten 1, 3 und Akten 4, 5 und 6 betrfft, steht n der entsprechenden palte ene 1/2 be Akten 1 und 3 und -1/3 be Akten 4, 5 und De Unscherhet der Prognose, wrd durch de Wahrschenlchket des Investors zum Ausdruck gebracht. Je scherer sch der Investor bezüglch ener Prognose st, desto klener st de Varanz an der entsprechenden telle der Matrx Ω. Der Entrag ω 22 wrd bespelhaft m Anhang hergeletet. De zwete palte der Matrx P enthält ausschleßlch Nullen, da weder absolute noch relatve Prognosen der zweten Akte abgegeben wurden. Um de Vertelung von Q herzuleten, wrd de Vertelung der erwarteten Rendten µ benötgt, de n (4) als normalvertelt angenommen wurden: µ N ( ΠτΣ, ) de Vertelung der Prognosen des Investors: ( Π τσ +Ω). Insgesamt ergbt sch für Q N P',P' P. (9) 2.4 Kombnaton der beden chten Mt den weteren Informatonen der ndvduellen chtwesen der Investoren soll ncht mehr de allenge Informaton über de Rendtevertelung E( r ) = Π und Cov( r,r ') =Σ für de Portfolooptmerung genutzt werden, sondern es wrd de bedngte Vertelung der Rendten gegeben de Ausschten der Investoren gesucht. Der Erwartungswertvektor und de Varanz- Kovaranzmatrx der bedngten Vertelung ergeben sch zu: 13 1 ( ) ( ) ( ) E r Q µ =Π+τΣP P' ΣPτ+Ω Q P' Π, (10) BL 2 ( ) ( ) 1 Var r Q =Σ+τΣ τ ΣP P ' ΣPτ+Ω P ' Σ. (11) 12 Es können bespelswese auch relatve Prognosen über marktwertgewchtete Telportfolos abgegeben werden. Vgl. Drobetz (2003),. 220 f. 13 Vgl. Herold (2004),. 289, Memmel (2004),

9 Der Erwartungswert der bedngten Vertelung st en matrxgewchteter Durchschntt der Erwartungswerte der Enzelvertelungen. In der Lteratur wrd häufg auch ene alternatve chrebwese verwendet: ( ) ( ) ( ) E r Q = τσ + PΩ P' τσ Π+ PΩ Q, (12) de ohne weteres n de chrebwese von (10) überführbar st. 14 Wenn de Unscherhet über de egenen Ausschten gegen Unendlch geht, so vertraut man nur noch auf de erwarteten Glechgewchtsrendten lm E ( r Q) Ω =Π. (13) Entsprechend vertraut man nur auf de Markterwartungen, wenn de Unscherhet der erwarteten Rendten gegen Null geht: τ 0 ( ) lm E r Q =Π. (14) Ist man sch sener Prognosen jedoch scher, d.h. Ω = 0, so erhält man als bedngten Erwartungswert 1 ( ) ( ) ( ) E r Q =Π+τΣP P' ΣPτ Q P' Π. (15) Da auch relatve Prognosen zwschen den enzelnen Prognosen abgegeben werden, resulteren ncht unmttelbar de Prognoserendten aus Q. Werden für enzelne Akten absolute Prognosen mt Konfdenzwahrschenlchket Ens abgegeben, so entsprcht de jewelge erwartete Black-Ltterman-Rendte µ BL, genau der Prognoserendte Q. Nutzt man den bedngten Erwartungswert des Black-Ltterman Verfahrens für de Markowtz- Optmerung, so erhält man ausgewogenere Portfolos. Wrd bespelswese nur ene absolute Prognose zu ener Akte abgegeben, so verändern sch dennoch durch de Kovaranzmatrx der Rendten Σ alle weteren erwarteten Rendten der bedngten Vertelung. etzt man den Erwartungswert der Prognosevertelung n ener Portfolooptmerung en, so erhält man für alle Akten, für de kene Prognosen abgegeben wurden, unveränderte Portfologewchte, für de ene Akte mt ener Prognose allerdngs das nach der Prognose angepasste Gewcht. Des glt natürlch nur für den Fall, dass kene Restrktonen bndend snd. oll de umme der 14 Vgl. Ptts (1998),. 144, Black/Ltterman (1992),. 42; Lndley/mth (1972). 9

10 Gewchte allerdngs ens betragen, so blebt das Verhältns der Akten ohne Prognose unterenander glech Probleme be der Anwendung des Black-Ltterman Verfahrens Für das Black-Ltterman Verfahren benötgt man, we vorher beschreben, egene Prognosen über de Rendteerwartungen des Anlagespektrums. Häufg kennen sch nsttutonelle Investoren nur n enzelnen Marktsegmenten aus, we bespelswese das egment Akten Europa, aber haben ken Expertenwssen auf dem Gebet Akten Asen. Wenn dese Investoren aber auch n egmente nvesteren möchten, über de se kene Prognosen abgeben können, so würden se nach Anwendung des Black-Ltterman Verfahrens nur das Marktportfolo n dem Berech Akten Asen realseren. Prvate Investoren, de eventuell gar kene Informatonen bezüglch aller Wertpapere bestzen, würden ebenfalls das Marktportfolo realseren, womt man auf de Anwendung des Black-Ltterman Verfahrens von vornheren verzchten kann. Weterhn kommt hnzu, dass Analysten typscherwese kene Ausschten we de n Bespel 2.1 abgeben, so dass dese Möglchket der Genererung von Prognosen zur Abwechung vom Marktportfolo realter ebenfalls ncht gegeben st. Um auf Expertenwssen für de Formulerung der Prognosen zurückzugrefen und de Möglchket zu haben, auch n wenger vertrauten egmenten n der Wahl senes Portfolos vom Marktportfolo abzuwechen, wrd m Folgenden en Verfahren beschreben, das mt Hlfe von Analystenschätzungen von Dvdendenerwartungen Prognosen für das Black-Ltterman Verfahren generert. 3 Nutzung von Expertenschätzungen 3.1 Ermttlung der Prognosen aus der Anzahl der Analystenschätzungen Hstorsch geschätzte Egenkaptalrendten haben sch als schlechte chätzer für zukünftge Rendten erwesen. 16 Aus der Notwendgket heraus bessere chätzer für zukünftge erwartete Rendten zu fnden, hat sch de Lteratur zur Ermttlung von mplzten Egenkaptalrendten 15 Vgl. Herold (2004),. 289 f. Weterhn führt Herold ene Fallstude durch, n der de klasssche Markowtz Optmerung und der Black-Ltterman Ansatz verglchen werden: vgl. Herold (2004),. 370 ff. 16 Vgl. Elton (1999), Joron (1986), Kempf und Memmel (2002). 10

11 auf Bass von Bewertungsmodellen n den vergangenen Jahren rasant entwckelt. Mttlerwele gbt es zahlreche emprsche Untersuchungen zu den Bewertungsmodellen (bespelswese Dvdendendskonterungsmodell, Dscounted Cashflow Modell, Resdualgewnnmodell, Ohlson/Jüttner-Nauroth (2005) Modell), de von Analystenschätzungen bezüglch enger Parameter der Modelle ausgehen und gute Ergebnsse erzelen. 17 Im Folgenden werden de Prognosen auf Bass des Dvdendendskonterungsmodells nach Wllams (1938) und Gordon (1959, 1966) hergeletet. Auf Bass der anderen Bewertungsmodelle snd grundsätzlch entsprechend Abletungen von Prognosen möglch. Im Dvdendendskonterungsmodell wrd zu enem gegebenen Zetpunkt t de erwartete Wertpaperrendte (t) ˆµ auf Bass des Marktwerts des Egenkaptals (t) EK enes Unternehmens als nterner Znsfuß zur Zetrehe erwarteter Dvdendenzahlungen bestmmt. Es wrd vorwegend en Zwephasen-Modell angesetzt, wobe n der ersten Phase der Länge T Detalschätzungen der nsgesamt von enem Unternehmen ausgeschütteten Dvdenden (t) ˆD vorlegen und n der folgenden zetlch unbegrenzten Phase ohne solche Detalschätzungen en konstantes Wachstum g der Dvdenden angenommen wrd: EK D D (1+ g). (16) T (t +τ ) (t+ T) (t) = + (t) τ (t) (t) T τ= 1 (1 +µ ) ( µ g) (1 +µ ) Über Anbeter von Fnanzdaten (n desem Betrag Thomson Fnancal Datastream) kann man auf folgende Daten von Analystenschätzungen zurückgrefen: Mttelwert D Medan tandardabwechung σ D höchste chätzung D h nedrgste chätzung D lo de Anzahl NE der Analystenschätzungen der erwarteten Dvdenden für das nächste Jahr, das übernächste und das darauffolgende Jahr je Akte. Nun stellt sch de Frage, we das Konfdenzntervall und de Konfdenzwahrschenlchket der Prognose anhand der vorhandenen Daten der Analystenschätzungen berechnet werden könnten. 17 Vgl. herzu bespelswese Botosan/Plumlee (2005), Courteau et al. (2001), Francs et al. (2000), Gebhardt et al. (2001), Gode/Mohanram (2003), Easton (2004), Daske et al. (2006). 11

12 In Valdtätstests zur Beurtelung von berechneten erwarteten Rendten aus den oben genannten Bewertungsmodellen wrd häufg ene Regresson der erwarteten Rendten zu verschedenen Rskofaktoren, we bespelswese Beta, Verschuldungsgrad, Marktkaptalserung oder auch Informatonsrsko durchgeführt. 18 Dabe wrd en bestmmter Zusammenhang des Rskofaktors zur erwarteten Rendte unterstellt und überprüft, ob deser Zusammenhang nachgewesen werden kann. Bem Informatonsrsko wrd davon ausgegangen, dass ene größere Menge an Informatonen, de über en Unternehmen beretstehen, de Kaptalkosten des Unternehmens reduzert. Als Maß für das Informatonsrsko legen Botosan/Plumlee (2005) bespelswese de Bandbrete der Vorhersagen zwschen mnmaler und maxmaler chätzung zugrunde. e betonen, dass de Brete auch de Unscherhet der Prognose wderspegelt. Brennan et al. (1993) stellen heraus, dass Frmen mt ener größeren Analystenabdeckung schneller auf Marktnformatonen n hren Presen reageren. Dese Untersuchungsergebnsse setzen Gebhardt et al. (2001) um, ndem se de Anzahl an Analystenschätzungen ebenso als Maß für das Informatonsrsko zugrunde legen je mehr Analystenschätzungen vorhanden snd, desto nedrger sollten de Egenkaptalkosten des jewelgen Unternehmens sen. In desem Betrag wrd ebenfalls der Zusammenhang unterstellt, wonach de Unscherhet der Analystenschätzungen negatv von der Anzahl der Analystenschätzungen abhängt. De Anzahl an Analystenschätzungen wrd m Folgenden mt der Wahrschenlchket des Zutreffens ener Prognose n Verbndung gebracht. Um de absoluten Grenzen µ undµ der (t),lo (t),h Analystenschten we n Bespel % und 7 % zu genereren, werden zunächst zwe erwartete Rendten je Zetpunkt und Akte mt Hlfe von der höchsten und der nedrgsten Dvdendenerwartung der Analysten für dese Akte und desen Zetpunkt berechnet: EK EK D D (1+ g ), (17) 3 (t +τ ) (t+ 3) (t),lo,lo lo = + (t) τ (t) (t) 3 τ= 1 (1 +µ,lo) ( µ,lo g lo) (1 +µ,lo) D D (1+ g ). (18) 3 (t +τ ) (t+ 3) (t),h,h h = + (t) τ (t) (t) 3 τ= 1 (1 +µ,h) ( µ,h g h) (1 +µ,h) De Konfdenzwahrschenlchketen für de Varanz-Kovaranzmatrx Ω werden mt Hlfe der Anzahl der Analystenschätzungen berechnet. Für jede Akte, jeden Zetpunkt und jede Vorhersagevarable gbt es ene Anzahl an Analysten, de dese chätzung abgegeben haben. Also gbt es bespelswese für de VW-Akte m Monat Oktober de Dvdendenschätzungen (1) (2) (3) D VW,Okt,D VW,Okt,D VW,Okt für das nächste, das übernächste und das darauffolgende Jahr und für 18 Vgl. Botosan/Plumlee (2005), Gebhardt et al. (2001). 12

13 jeden deser enzelnen chätzungen steht de Anzahl der Analysten, de chätzungen abgegeben haben, zur Verfügung: (1) (2) (3) NE VW,Okt, NE VW,Okt, NE VW,Okt. Geht man davon aus, dass alle Analysten prnzpell für alle Akten chätzungen abgeben können, so kann man de Anzahl an abgegebenen chätzungen mt der Unscherhet bezüglch der chätzungen n Bezehung setzen. Je wenger chätzungen abgegeben wurden, desto unscherer snd sch de Analysten bezüglch der weteren Entwcklung der Akte. Abarbanell/Bernard (2000) und Courteau et al. + µ +µ auf (2001) messen enen starken Enfluss des Endwerts ( (t + D T) ) ( (t) (t) T (1 g) / ( g) (1 ) ) de chätzung der erwarteten Rendte. Aufgrund deser großen Bedeutung des letzten Terms n (16) wrd für de Konfdenzwahrschenlchket de Anzahl der Analystenschätzungen für das letzte (drtte) Jahr zugrunde gelegt. Als Ausgangspunkt markert de maxmale Anzahl an Analystenschätzungen, de über den gesamten betrachteten Zetraum und über das gesamte Aktenunversum errecht wrd, ene Konfdenzwahrschenlchket von 100 %. Falls also alle Analysten chätzungen für das drtte Jahr für ene Akte n enem Zetpunkt abgeben, so beträgt de Konfdenzwahrschenlchket für das oben berechnete Konfdenzntervall 100 %. Würde kene chätzung für das drtte Jahr für ene Akte n enem Zetpunkt abgeben werden, so betrüge de Konfdenzwahrschenlchket 0 %. De Anzahl der Analystenschätzungen für das drtte kommende Jahr wrd dann für jede Akte und jeden Zetpunkt n ene Konfdenzwahrschenlchket lnear zwschen 0 und 100 % nterpolert. De Prognose nach (7) seht somt folgendermaßen aus: (t) (t) µ 1,lo +µ 1,h µ (t) (t) 1 ε1 0 ω µ 2,lo +µ 2,h µ ε ω,mt N = + ε, µ ε ω (t) (t) µ N,lo +µ N,h 2 N N NN. (19) De Prognosematrx st n desem Fall ene Enhetsmatrx, und es gbt für jede Akte ene absolute Prognose. Glechung (10) verenfacht sch dadurch folgendermaßen: 1 ( ) ( ) ( Q ) E r Q =Π+τΣ Στ+Ω Π. (20) Wenn für enen Tel der Akten m Portfolo Analystenschätzungen fehlen, so kann man de fehlenden Aktenprognosen ohne Probleme n der Prognosematrx gnoreren. Als optmale Gewchte für Akten ohne Prognosen erhält man schleßlch weder de Marktgewchte. 13

14 3.2 Ermttlung der Prognosen mttels ener Monte-Carlo-mulaton Weterhn könnte man de Varanz-Kovaranzmatrx Ω der Prognosen auch aus den gegeben Analystenschätzungen bestmmen, ndem man de angegebenen tandardabwechungen der Analysten bezüglch der Dvdendenschätzungen drekt n tandardabwechungen für de prognostzerten erwarteten Rendten umrechnet. Dazu wrd ene Monte-Carlo-mulaton durchgeführt, um de tandardabwechung der erwarteten Rendte aus der folgenden Glechung zu ermtteln: D D (1+ g ) EK. (21) 3 (t +τ ) (t+ 3) (t),s,s s = + (t) τ (t) (t) 3 τ= 1 (1 +µ,s ) ( µ,s g s) (1 +µ,s ) Es werden für ene Akte zum Zetpunkt t für jeden Parameter, der für de Berechnung der erwarteten Rendte benötgt wrd, s = 1,, Zufallszahlen gezogen, wobe de Anzahl der mulatonsdurchläufe darstellt: normalvertelte chätzung von (t 1) D +,s mt Mttelwert (t 1) D + (t+ 1) σ D,, de von Thomson Fnancal beretstehen: (t + 1) ( (t + 1) (t + D 1),s N D, σd, ) (t + 2) ( (t + 2) (t + D 2),s N D, σd, ) und (t + 3) ( (t + 3) (t + D 3),s N D, σd, ) Wachstumsrate glechvertelt mt g [g lo,g h ]. 19 und tandardabwechung Auf der Bass jewels enes smulerten Datensatzes s D,D,D,g (t+ 1) (t+ 2) (t+ 3),s,s,s s wrd ene erwartete Rendte (t) µ,s numersch nach (21) berechnet. Man erhält schleßlch erwartete Rendten und ermttelt anschleßend aus desen de Varanz der erwarteten Rendte von Akte zum Zetpunkt t. De Varanzen werden schleßlch n de Dagonale der Matrx Ω übernommen, und das Black-Ltterman-Verfahren kann nachfolgend angewendet werden. 4 Emprsche Untersuchung 4.1 Untersuchung der Methode auf Bass der Anzahl an Analystenschätzungen Das Black-Ltterman-Verfahren wrd m Folgenden anhand von realen Kaptalmarktdaten durchgeführt. Dafür stehen monatlche Werte von allen 19 Akten des DAX zur Verfügung, 19 Legt nur ene Analystenschätzung vor, so exstert kene tandardabwechung der Analystenschätzungen. De Anzahl von nur ener Analystenschätzung legt n der emprschen Untersuchung n 28 der 3819 (=3*19*67) Fälle vor. In desem Fall wrd aufgrund der großen Unscherhet be nur ener chätzung der Wert der tandardabwechung auf de höchste tandardabwechung aus den 19 Akten über den gesamten Zetraum festgelegt. 14

15 de vom bs zum de für de Untersuchung benötgten Daten aufwesen. 20 Der Zetraum für de Portfolooptmerung begnnt am , de vorhergehenden Daten werden bespelswese zur Berechnung der hstorschen Varanz-Kovaranzmatrx sowe dem hstorschen Mttelwert der realserten Rendten genutzt. 21 In Abbldung 4.1 snd de nach (5) ermttelten erwarteten glechgewchtgen Rendten sowe de hstorschen chätzer der erwarteten Rendten vom dargestellt. 22 In den hstorschen Rendten auf Bass der letzten 35 Monate treten be acht Akten auch negatve Rendten auf. Weterhn haben Akten 1, 6 und 13 m Verglech zu den glechgewchtgen erwarteten Rendten betragsmäßg hohe hstorsche Rendten. Für den Vektor der erwarteten Rendten µ wrd zur Ermttlung der Portfologewchte mt (2) zum enen der hstorsche Mttelwertsvektor der Rendten µ hst und zum anderen der Vektor der glechgewchtgen Rendten Π engesetzt. Für den letzteren Vektor resultert natürlch wederum unmttelbar de Zusammensetzung des Marktportfolos aus den 19 Akten. Allen Gewchtsberechnungen legt de hstorsche Varanz-Kovaranzmatrx der Rendten zugrunde. Be den Gewchtsberechnungen wrd davon ausgegangen, dass Leerverkäufe n allen Wertpaperen zugelassen snd De Daten stammen von Thomson Fnancal Datastream. Vgl. für de Akten Tabelle 6.1 m Anhang. 21 De Varanz-Kovaranzmatrx wrd somt auf Bass der letzten 35 Zetpunkte n jedem Zetpunkt neu berechnet. Dasselbe glt für de hstorschen Mttelwerte. Aufgrund ener sonst zu gerngen Aktenanzahl begnnt der Untersuchungszetraum ncht früher als De Akten, de für de Optmerung genutzt wurden snd m Anhang aufgeführt. 22 Für de gesamte emprsche Untersuchung wurde der Rskoaversonsparameter nach Drobetz (2003) auf Ens festgelegt das mplzert enen Investor mt ener logarthmschen Nutzenfunkton, der sen gesamtes Vermögen n das Marktportfolo nvestert. Der Parameter τ wrd auf 0,03 festgelegt, das entsprcht etwa der Rendtehstore von 35 Monaten: 1/ 35 0,03 m Rahmen ener Bayesanschen Herletung des Black-Ltterman- Verfahrens. Für ene enstvtätsanalyse bezüglch der Parameter vgl. Drobetz (2003). Weterhn bezehen sch alle folgenden Abbldungen auf den Zetpunkt , also das letzte Datum, für das Daten zur Verfügung gestanden haben. 23 Weterhn wecht de umme der Portfologewchte auch von Ens ab. Das Gewcht der rskolosen Anlage ergbt sch aus der Dfferenz zwschen Ens und der umme der Aktengewchte. Vgl. Kempf/Memmel (2003),. 520, Drobetz (2003),

16 Abbldung 4.1: Rendten m Glechgewcht und m hstorschen Durchschntt Abbldung 4.2: Optmale Portfologewchte be Nutzung von glechgewchtgen und hstorschen Rendten De optmalen Portfologewchte, de aus dem hstorschen Vektor der Rendten resulteren, snd n Abbldung 4.2 dargestellt. De zwete Grafk zegt ausschleßlch de Marktgewchte, da man dese m Maßstab der ersten Grafk kaum unterscheden kann. Es ergeben sch extreme Gewchte be Nutzung von hstorschen Rendten von ca. -15 bs 25, wohngegen de Marktgewchte konstruktonsbedngt alle postv snd und sch zu Ens adderen. De Handlungsempfehlung bezüglch der optmalen Allokaton mt hstorschen Rendten würde wohl ken Investor, selbst bem Vorhandensen der Möglchket zu Leerverkäufen, aufgrund der betragsmäßg hohen Gewchte realseren. In Abbldung 4.3 werden de Prognoserendten für das Black-Ltterman-Verfahren dargestellt. De blauen Balken stellen de erwartete Rendte aus dem Dvdendendskonterungsmodell dar, de aus den nedrgsten Dvdendenprognosen der Analysten D lo mt ener Wachstumsrate von 2 % berechnet werden. De roten Balken stellen de erwartete Rendte dar, de aus den höchsten Dvdendenprognosen der Analysten D h mt ener Wachstumsrate von 5 % berechnet werden. 16

17 Abbldung 4.3: nedrgste und höchste erwartete Rendte aus dem Dvdendendskonterungsmodell und glechgewchtge Marktrendte mt glo = 2%,gh = 5% In der Lteratur werden verschedene Wachstumsraten für de Berechnung von Endwerten verwendet. De Inflatonsrate oder auch de Wachstumsrate des Bruttonatonalenkommens dent bespelswese als chätzung für de Wachstumsrate von Dvdenden. 24 In der späteren out-of-sample Performanceuntersuchung wrd für de Berechnung der unteren chranke der Rendteberechnung (t) µ,lo ene nedrge Wachstumsrate g lo von en, zwe oder dre Prozent und für de Berechnung der oberen Rendteschranke (t) µ,h ene hohe Wachstumsrate von ver, fünf oder sechs Prozent zugrunde gelegt. Dese Wachstumsraten snd ökonomsch plausbel und denen n allen möglchen Kombnatonen als Inputparameter für das beschrebene Verfahren, um de enstvtät bzgl. der Wachstumsraten zu untersuchen. Abbldung 4.4 zegt de Hstogramme der Anzahlen an Analystenschätzungen für de chätzungen (1) (2) (3) D,D und D. De maxmale Anzahl an Analystenschätzungen über den gesamten Zetraum und über alle Akten hnweg beträgt 45, de mnmale Anzahl beträgt ens. Für das Hstogramm stehen Daten von 19 Akten über enen Zetraum von 67 Monaten zur Verfügung, also nsgesamt 1273 Werte. In 400 der 1273 Fälle wurden ca. 30 Analystenschätzungen für das erste Jahr abgegeben, n nur noch 25 Fällen wurden 30 Analystenschätzungen für das drtte kommende Jahr abgegeben. De Anzahl an chätzungen nmmt somt deutlch ab, je ferner de chätzperode st. 24 Vgl. bespelswese Wallmeer (2005),. 141, totz (2004),

18 Abbldung 4.4: Hstogramm der Anzahl an Analystenschätzungen über alle 19 Akten Abbldung 4.5 zegt enen Überblck über de Engangsparameter der Berechnung der prognosebedngten erwarteten Black-Ltterman-Rendte µ BL nach (10) für den De erste Grafk zegt de Rendtedfferenz µ h µ lo, de n de Berechnung der Prognosestandardabwechung nach (26) engeht. Je höher dese Rendtedfferenz st, desto größer st de tandardabwechung der Prognose. De Rendtedfferenzen wurden auf Bass der Wachstumsraten von 1 % und 6 % berechnet und legen alle zwschen 0,4 % und 0,72 % monatlch. De zwete Grafk zegt de Anzahl an Analystenschätzungen der Dvdendenprognose für das drtte kommende Jahr, de zur Berechnung der Konfdenzwahrschenlchket der Prognose herangezogen wrd. Der her unterstellte Zusammenhang, dass ene höhere Anzahl an Analystenschätzungen mt ener höheren Konfdenzwahrschenlchket der Prognose enhergeht, mplzert weterhn, dass ene höhere Anzahl an Analystenschätzungen auch n ener nedrgeren tandardabwechung der Prognose mündet. De höchste Anzahl an Analystenschätzungen hat Akte 8 mt 23 chätzungen, de nedrgste Anzahl wurden für Akte 11 mt 7 chätzungen abgegeben. De drtte Grafk n Abbldung 4.5 stellt de tandardabwechungen der Prognose-Varanz- Kovaranzmatrx Ω dar. Akte 8 hat de gerngste tandardabwechung, de vor allem aus der hohen Anzahl an Analystenschätzungen (23) resultert. 18

19 Abbldung 4.5: Überscht über Rendten m Black-Ltterman-Verfahren Akte 11 hngegen hat de höchste tandardabwechung der Prognose. Dort st de Anzahl an Analystenschätzungen mt 7 chätzungen am gerngsten. Grafk 4 zegt de glechgewchtgen Rendten Π, de mttlere Rendte aus den Dvdendenprognosen µ m = ( µ h +µ lo )/2 für den Vektor Q n (7) und de erwartete BL-Rendte µ BL, de aus den beden vorhergehenden Rendten nach (10) berechnet wrd. Man kann erkennen, dass de erwarteten BL-Rendten tendenzell näher an den Prognoserendten aus den Dvdendenschätzungen der Analysten snd. Akten 5 und 11 haben ene relatv hohe tandardabwechung, de sch auch n der größeren Abwechung zwschen der Prognose- und BL-Rendte wderspegelt. Aber de Höhe der tandardabwechung west ncht zwangsläufg auf de Abwechung hn. De BL-Rendte der Akte 6 entsprcht bespelswese nahezu der Prognoserendte, obwohl ene höhere tandardabwechung vorlegt als be Akte 8, be der de Rendtedfferenz endeutg größer st. De Begründung legt n den Abhänggketen zwschen den Akten, de n Form der Varanz- Kovaranzmatrx der Rendten Σ be der Berechnung der BL-Rendte engeht. Mt den BL-Rendten µ BL werden nun de optmalen Portfologewchte aus (2) berechnet. De BL-Gewchte snd n Abbldung 4.6 mt roten Balken dargestellt und werden den Marktgewchten (blaue Balken) und den Gewchten, de man erhält, wenn man de renen Dvden- 19

20 denprognosen µ m ensetzt (grüne Balken), gegenübergestellt. De Gewchte des Black- Ltterman-Verfahrens snd wetaus ausgeglchener als de renen Dvdendengewchte. Abbldung 4.6: Optmale Portfologewchte der 19 Akten Auch wenn de erwarteten Black-Ltterman-Rendten n gerngerem Maße von den Prognoserendten abwechen (vgl. Abbldung 4.5), so st das be den Gewchten ncht festzustellen. De Gewchte auf Bass von µ BL legen bs auf Akte 6 vollständg zwschen den Marktgewchten und den Dvdendengewchten auf Bass der Analystenschätzungen. Be den 19 Akten st es ausgeglchen n welche Rchtung de Aktengewchte tenderen bespelswese snd de Gewchte von Akten 3, 13 und 15 den Marktgewchten recht nahe, de der Akten 2, 8 und 10 tenderen eher zu den Dvdendengewchten. Alles n allem kann man sagen, dass de Gewchte be wetem ncht so extrem we de optmalen Gewchte be Nutzung von hstorschen Rendteschätzungen (vgl. Abbldung 4.2) snd. 4.2 Untersuchung der Monte-Carlo-Methode De Abbldung 4.7 zegt de verscheden berechneten tandardabwechungen der Varanz- Kovaranzmatrx der Prognosen Ω. De blauen Balken der ersten Grafk stellen de tandardabwechungen auf Bass der Anzahl an Analystenschätzungen dar und de roten Balken stellen de auf Grundlage der Monte-Carlo-Methode berechneten tandardabwechungen dar. De letzteren snd wetaus gernger als de tandardabwechungen der Prognosen, de anhand der Anzahl an Dvdendenschätzungen gebldet werden. Weterhn legen de Dfferenzen zwschen den tandardabwechungen der enzelnen Akten mt der Monte-Carlo-Methode wetaus gernger gegenüber der ersten Methode der Berechnung der tandardabwechungen vor. Es gbt damt nur noch gernge Unterschede n den Konfdenzwahrschenlchketen der Akt- 20

21 enprognosen. Ferner wrd den Prognosen mt den nedrgeren tandardabwechungen ene höhere Gewchtung n der Berechnung der erwarteten BL-Rendte gegeben und de Gewchte wechen somt stärker von den Marktgewchten ab. De n der zweten Grafk von Abbldung 4.7 mt grünen Balken dargestellten optmalen Portfologewchte auf Bass der Monte-Carlo- mulaton snd betragsmäßg stets größer als de mt den blauen Balken dargestellten Gewchte auf Bass der Anzahl der Analystenschätzungen. Abbldung 4.7: tandardabwechung von Ω mt verschedenen Verfahren und resulterende optmale Portfologewchte De Performance der beden verschedenen Methoden zur Berechnung der Varanz-Kovaranzmatrx Ω und daraus schleßlch der BL-Rendten, wrd m folgenden Abschntt mt der Performance der hstorschen tratege und dem enfachen Halten des Marktportfolos verglchen. 4.3 Performancemessung der verschedenen trategen Für de Performancemessung werden n enem rollerenden Verfahren vom bs zum monatlche out-of-sample Rendten berechnet. Dafür wrd davon ausgegangen, dass bs zu enem bestmmten Zetpunkt t nur de vergangenen und aktuellen Daten der Zetpunkte t s,,t, mts> 0 bekannt snd. Auf Bass deser Informatonen werden de erwarteten Rendten zum Zetpunkt t für de folgenden fünf trategen bestmmt: hstorsche erwartete Rendten µ hst glechgewchtge Rendten µ markt erwartete Rendten aus dem Dvdendendskonterungsmodell µ m 21

22 BL-Rendten auf Bass der Anzahl an Analystenschätzungen µ BL,A BL-Rendten auf Bass der Monte-Carlo-Methode µ BL,MC. Der Durchschntt der letzten 35 monatlchen realserten Rendten ener Akte bldet bespelswese de hstorsche erwartete Rendte deser Akte. Das rollerende Verfahren wrd grafsch n Abbldung 4.8 dargestellt. t=0 Portfolo enen Monat halten realserte Portfoloüberrendte (0) r P,exc t=1 chätzung mt Daten von t=-34 to t=0 Optmerung n t=0 optmaler Gewchtsvektor X (1) r P,exc t=66 chätzung mt Daten von t=-33 to t=1 Optmerung n t=1 (66) r P,exc chätzung mt Daten von t=32 to t=66 Abbldung 4.8: Rollerendes Verfahren zur Performancemessung Optmerung n t=66 De erwartete BL-Rendte wrd we oben beschreben zu jedem Zetpunkt t mt der aktuellen Informaton und den Analystenschätzungen zum Zetpunkt t berechnet. Mt den verschedenen erwarteten Rendten werden dann Gewchtsvektoren berechnet und dese Portfologewchte werden dann enen Monat vom Zetpunkt t bs zum Zetpunkt t+1 konstant gehalten. Zum Zetpunkt t+1 werden de tatsächlch n desem Monat aufgetretenen Aktenrendten mt den jewelgen Gewchtsvektoren multplzert um zunächst de tatsächlch realserte Portfolorendte für de jewelge tratege n desem Monat zu erhalten. Von deser Rendte wrd noch der rskolose Znssatz abgezogen, um de Überrendte µ (exc) für den Zetraum von t bs t+1 zu erhalten. Als Performance-Maß für de jewelgen trategen wrd der harpe-quotent 22

23 zugrunde gelegt. Der harpe-quotent setzt de durchschnttlche Überrendte zum relevanten Rsko σ (exc) ns Verhältns: 25 ϕ =µ (exc) / σ (exc). (22) Um den harpe-quotenten zu berechnen, werden der Mttelwert und de tandardabwechung der 66 Überschussrendten vom bs zum ermttelt. De Optmerung wurde mt verschedenen plausblen Wachstumsraten durchgeführt, um de enstvtät desbezüglch zu untersuchen. Weterhn wurden verschedene Optmerungen durchgeführt. Zunächst wrd ene Optmerung ohne Leerverkaufsbeschränkungen durchgeführt und de Portfologewchte werden so realsert we dese sch ergeben (Optmerung 1). Be der zweten Optmerung, snd Leerverkäufe ebenfalls zugelassen, aber de Gewchte aus der Optmerung 1 werden auf Ens normert, das heßt jedes Gewcht wrd durch de umme der Gewchte aller Akten getelt. 26 Darüber hnaus wurde en Optmerungsalgorthmus angewendet, der optmale Portfologewchte mt Enhaltung von Leerverkaufsrestrktonen ( 0 X 1) und der Vollnvesttonsbedngung ermttelt ( N = 1 X = 1) (Optmerung 3). De Ergebnsse der dre Optmerungen snd n Tabelle 4.1 dargestellt. 27 g_low g_hgh ϕ (Dv) Optmerung 1 Optmerung 2 Optmerung 3 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (BL,A) (BL,MC) (Dv) (BL,A) (BL,MC) (Dv) (BL,A) (BL,MC) 1 4 0,0913 0,1354 0,0895 0,1204 0,1222 0,1189 0,1850 0,1165 0, ,0833 0,1315 0,0849 0,1164 0,1129 0,1168 0,1845 0,1029 0, ,0757 0,1272 0,0816 0,1120 0,1044 0,1151 0,1842 0,0933 0, ,0840 0,1262 0,0801 0,1178 0,1226 0,1141 0,1850 0,1286 0, ,0764 0,1247 0,0747 0,1133 0,1136 0,1112 0,1846 0,1119 0, ,0692 0,1214 0,0709 0,1087 0,1039 0,1084 0,1842 0,0985 0, ,0772 0,1088 0,0716 0,1147 0,1168 0,1094 0,1850 0,1444 0, ,0700 0,1151 0,0662 0,1100 0,1150 0,1062 0,1846 0,1274 0, ,0632 0,1144 0,0618 0,1054 0,1055 0,1029 0,1842 0,1062 0,1770 (Hst) ϕ 0,0362-0,1066 0,0508 (Markt) ϕ -0,0141 Tabelle 4.1: Performance der BL-trategen und der Dvdendenstratege m Verglech 25 Vgl. Breuer et al. (2004),. 379 ff. 26 De Normerung der Gewchte auf Ens schlägt bespelswese Drobetz (2003),. 231 vor. 27 De Optmerung wurde mt enem Parameter τ = 0, 03 durchgeführt. Optmerungen mt enem anderen Parameter τ führen aber zu ähnlchen Ergebnssen. o ändert sch bespelswese nchts an den Rehenfolgen der Performance der dre Optmerungen für en τ von 0,3. 23

24 Der harpe-quotent der Marktstratege, also das Halten des Marktportfolos, st negatv mt (Markt) ϕ =-0,0141, das heßt als durchschnttlche realserte Rendte der Marktstratege konnte noch ncht mal ene Rendte n Höhe der rskolosen Rendte erwrtschaftet werden. 28 Der harpe-quotent der hstorschen tratege (Hst) ϕ st für de zwete Optmerung ebenfalls negatv. In der Optmerung 1 ohne Nebenbedngungen schnedet das Black-Ltterman- Verfahren mt der Anzahl an Analystenschätzungen am besten ab. Der harpe-quotent (BL,A) ϕ legt für alle Wachstumsraten her zwschen 10,88 % und 13,54 %. De bessere Performance legt scherlch an der Tatsache, dass den Prognosen durch de höheren tandardabwechungen ncht sovel Gewcht begemessen wrd und daher ausgewogenere Portfologewchte m Gegensatz zum renen Dvdendenansatz resulteren. De rene Dvdendenstratege und das Black-Ltterman-Verfahren unter Anwendung der Monte-Carlo mulaton (BL- MC) wesen ähnlche harpe-quotenten auf. De harpe-quotenten der renen Dvdendenstratege (Dv) ϕ legen zwschen 0,0632 und 0,0913 und de harpe-quotenten von BL-MC legen zwschen 0,0618 und 0,0895. De Performance aller dre Verfahren legt deutlch über der Performance der Marktstratege oder der hstorschen tratege. Durch de Normerung der Portfologewchte auf ens (Optmerung 2) gbt es ncht mehr extreme Verkaufs- oder Kaufpostonen m Portfolo. Das kommt vor allem be der Dvdendenstratege zum Tragen, wel dort de betragsmäßg größten Gewchte auftreten (vgl. Abschntt 4.1). De Normerung führt her zu ener Verbesserung der Performance um ca. 4 %. Alle dre Verfahren legen m Berech des harpe-quotenten von 10 % bs 13 %. In sechs der neun Kombnatonen der Wachstumsraten hat das Black-Ltterman-Verfahren mt der Anzahl an Analystenschätzungen (BL-A) de beste Performance, n zwe Fällen das BL-MC Verfahren, und n enem Fall hat das rene Dvdendenverfahren den höchsten harpe-quotenten. In der Optmerung 3 mt Leerverkaufsrestrkton und Vollnvesttonsbedngung hat das rene Dvdendenverfahren stets de beste Performance mt enem harpe-quotenten von ca. 18 %. De Performance von BL-MC st n allen Optmerungen sehr ähnlch zur renen Dvdendenstratege, da de Prognosen m Black-Ltterman-Verfahren mt ener nedrgen tandardabwechung engehen, folglch desen Prognosen en hohes Gewcht begemessen wrd und somt de Gewchtsvektoren sehr ähnlch zum renen Dvdendenverfahren snd. Es lässt sch also zusammenfassen, dass ohne jeglche Berückschtgung von Nebenbedngungen be der 28 Als rskoloser Znssatz wurde her der 1-Monats-FIBOR zugrunde gelegt. 24

25 Maxmerung der Präferenzfunkton (1) das BL-A Verfahren de beste Performance aufwest. 29 Be der Normerung der Gewchte auf Ens (Optmerung 2) west ebenso mest das BL-A Verfahren de beste Performance auf, aber es gbt ncht so große Unterschede we n der ersten Optmerung. Optmert man mt den Nebenbedngungen: kene Leerverkäufe und Vollnvestton (Optmerung 3), so erhält man mt dem renen Dvdendenverfahren de beste Performance. 5 Zusammenfassung Für das Black-Ltterman-Verfahren snd egene Prognosen bezüglch erwarteter Rendten von Wertpaperen nötg, um von den allgemenen Marktgewchten abzuwechen. Wenn kene egenen Prognosen vorlegen, so betet das Black-Ltterman-Verfahren ncht de Möglchket aktves Portfolomanagement zu betreben. Weterhn geben Analysten de Prognosen typscherwese ncht n der Form ab, de für de Aufstellung der Prognosematrx nach Black- Ltterman notwendg st. In desem Betrag wurden de Prognosen für das Black-Ltterman- Verfahren auf der Bass des Dvdendendskonterungsmodells mt Hlfe von Analystenschätzungen erstellt. Es wurden zwe Möglchketen vorgestellt, de erwartete Rendte m Black- Ltterman-Verfahren zu berechnen. Im ersten Fall wurde de Konfdenzwahrschenlchket der Prognosen aus der Anzahl der von den Analysten abgegebenen chätzungen bestmmt und m zweten Fall wurde mt Hlfe der Vertelungsparameter der Analystenschätzungen ene Monte-Carlo mulaton durchgeführt um de Varanz-Kovaranzmatrx der Prognosen Ω zu ermtteln. In ener emprschen Untersuchung wurden anhand von realen Kaptalmarktdaten erwartete Rendten und optmale Portfologewchte für de verschedenen trategen (Marktportfolo, hstorsche chätzer, Black-Ltterman-Verfahren mt der Anzahl an Analystenschätzungen (BL-A), Black-Ltterman-Verfahren mt der Monte-Carlo mulaton (BL-MC), renes Dvdendenverfahren (Dv)) berechnet. Ausgehend von den beden unterschedlchen Arten der Prognoseermttlung wurde de Wrkung des Black-Ltterman-Verfahrens auf de Portfologewchte untersucht. Abschleßend wurde ene out-of-sample Performanceanalyse über enen Zetraum von 66 Monaten durchgeführt. Werden kene Nebenbedngungen be der Maxmerung der Präferenzfunkton berückschtgt, so lefert das Black-Ltterman-Verfahren mt 29 De bessere Performance st leder ncht sgnfkant. De gnfkanz wurde mt dem Test von Memmel (2003), der enen Fehler m Test von Jobson/Korke (1981) aufdeckt, untersucht. De tärke des Tests st allerdngs ncht groß, so dass es schwer st, ene sgnfkant bessere Performance nachzuwesen. Vgl. dazu Jobson/Korke (1981),

26 der Anzahl an Analystenschätzungen de mt Abstand beste Performance. Be ener Optmerung mt Leerverkaufsbeschränkungen und Vollnvesttonsbedngung errecht das Black- Ltterman-Verfahren noch ene wetaus bessere Performance als de Marktstratege oder de hstorsche tratege, allerdngs west de rene Dvdendenstratege noch enen höheren (allerdngs ncht sgnfkanten) harpe-quotenten auf. 26

27 6 Anhang Zur Bestmmung enes Entrags ω jj der Varanz-Kovaranzmatrx Ω, der sch auf de Unscherhet der j-ten Prognose bezeht, wrd auf de Wahrschenlchketsaussage des Investors zugegrffen. e etwa angenommen, dass der Investor mt ener Wahrschenlchket von 70 % daran glaubt, dass de Dfferenz der erwarteten Rendten zwschen enem Portfolo A und enem Portfolo B zwschen 5 % und 7 % betragen wrd. Dazu wrd zunächst das 85 % Quantl 30 der tandardnormalvertelung n ener Quantlstabelle der tandardnormalvertelung nachgeschlagen, 31 denn de Wahrschenlchket von 70 % st symmetrsch um de erwarteten Rendte von 0,06 vertelt und der rechte Rand deses Konfdenzberechs, st derselbe Abzssenwert we der 85 % Quantlswert der tandardnormalvertelung, we man n Abbldung 6.1 erkennen kann. omt erhält man de Begrenzungsstellen a und b der standardnormalvertelten 32 Zufallsvarable Z für de glt: P( a Z b) = 70%. Der Wert des 85 % Quantls beträgt 1,036, demnach st P( 1, 036 Z 1, 036) = 70%. (23) De Rendteprognose P ( ) P r des Investors kann we folgt formalsert werden: P 0,05 r 0,07 = 70%. (24) Abbldung 6.1: Quantle der Normalvertelung Dese normalvertelte Zufallsvarable muss nun noch mt der standardnormalvertelten Zufallsvarable Z n Verbndung gebracht werden, damt ene Varanz für de Prognose ermttel- 30 Das α Quantl bezechnet de telle der Abzsse, an der de Vertelungsfunkton der standardnormalvertelten Zufallsvarable den Wert α annmmt. Vgl. Poddg et al. (2001), Quantlstabellen der Normalvertelung gbt es n zahlrechen Büchern der tatstk, vgl. z.b. Bosch (2005), Ene standardnormalvertelte Zufallsvarable hat den Erwartungswert Null und ene Varanz von Ens. 27