Quantitatives Risikomanagement

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Quantitatives Risikomanagement"

Transkript

1 Quantitatives Risikomanagement Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer von Jan Hahne und Wolfgang Tischer -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 1

2 Agenda 1. Einführung in die Themenstellung 2. Grundlagen: Copula 3. Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung 4. Irrtümer bzgl. Korrelation und Abhängigkeit 5. Fazit -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 2

3 1. Einführung in die Themenstellung -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 3

4 1. Einführung in die Themenstellung -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 4

5 2. Grundlagen: Copula -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 5

6 2.1 Definition der Copula Grundsätzliche Idee: Modellierung der Abhängigkeit soll zurückgeführt werden auf die gemeinsame Verteilungsfunktion. Gegeben seien: n Zufallsvariablen X 1,, X n sowie deren gemeinsame Verteilungsfunktion F Dann gilt bekanntlich: Fx 1,, x n ) = P X 1 x 1,, X n x n ) Um zur Copula zu gelangen wird der folgende Satz benötigt: Satz 2.1: Sei X eine Zufallsvariable mit zugehöriger Verteilungsfunktion F. Sei weiterhin F -1 die Quantilfunktion zu F, also: F -1 α) = inf { x Fx) α }, wobei α Є 0,1). Dann gilt: 1. Für jede standard-gleichverteilte Zufallsvariable U ~ U0,1) ist F -1 U) ~ F. 2. Wenn F stetig ist, so ist die Zufallsvariable FX) standard-gleichverteilt, also FX) ~ U0,1). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 6

7 2.1 Definition der Copula Besitzen die X 1,, X n stetige Randverteilungsfunktionen, so kann der Vektor X = X 1,, X n ) nach Satz 2.1 derart transformiert werden, dass jede Komponente eine standard-gleichverteilte Randverteilung besitzt. Die benötigte Transformation T : R n R n bildet x 1,, x n ) auf F 1 x 1 ),, F n x n )) ab, so dass: Fx 1,, x n ) = P F 1 X 1 ) F 1 x 1 ),, F n X n ) F n x n )) = CF 1 x 1 ),, F n x n )) C ist die gemeinsame Verteilungsfunktion des transformierten Vektors F 1 X 1 ),, F n X n )). Man nennt C die Copula des Zufallsvektors X 1,, X n ). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 7

8 2.1 Definition der Copula Definition 2.1: Eine n-dimensionale Copula ist eine Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors X Є R n, deren Randverteilungen alle 0,1) gleichverteilt sind. Äquivalent zur obigen Definition kann eine Copula definiert werden als Funktion C : [0,1] n [0,1] mit den drei Eigenschaften: 1. Cx 1,, x n ) ist monoton steigend in jeder Komponente x i. 2. C1,, 1, x i, 1,, 1) = x i für alle i Є [0,1]. 3. Für alle a 1,, a n ), b 1,, b n ) Є [0,1] n, mit a i b i gilt: i 1 1 i n 1 1) i 1... in C x,..., x ) 0, mit x j1 = a j und x j2 = b j für alle j Є {1,,n}. Die Summe kann interpretiert werden als: Pa 1 X 1 b 1,..., a n X n b n ) 0. 1i 1 ni n -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 8

9 2.1 Definition der Copula Zusammenfassend kann also festgehalten werden: Die gemeinsame Verteilungsfunktion F enthält vollständige Informationen über die gesamte Abhängigkeitsstruktur zwischen Zufallsvariablen Idee bei Verwendung der Copula: Teile die gemeinsame Verteilungsfunktion F in zwei Komponenten auf. Die eindimensionalen Randverteilungen F 1,, F n Die Copula C Der Copula-Ansatz ermöglicht eine sehr flexible Modellierung: die Verteilung der einzelnen Zufallsvariablen kann getrennt von der Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen festgelegt werden. Die Abhängigkeitsstruktur die zwischen den Zufallsvariablen besteht wird alleine durch die Copula modelliert. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 9

10 2.2 Der Satz von Sklar Der bedeutendste Satz in Bezug auf Copulas ist der Satz von Sklar. Satz 2.2: 1. Sei F eine multivariate Verteilungsfunktion mit Randverteilungsfunktionen F 1,, F n. So existiert eine Copula C : [0,1] n [0,1], s.d. für alle x 1,, x n Є R gilt: Fx 1,, x n ) = CF 1 x 1 ),, F n x n )). Die Herleitung wurde oben bereits gezeigt. Falls F 1,, F n stetig sind, so ist die Copula C sogar eindeutig bestimmt. 2. Seien nun umgekehrt eine Copula C sowie die eindimensionalen Verteilungsfunktionen F 1,, F n gegeben, dann ist die durch: Fx 1,, x n ) = CF 1 x 1 ),, F n x n )) definierte Verteilungsfunktion F eine multivariate Verteilung mit den Randverteilungen F 1,, F n. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 10

11 2.2 Der Satz von Sklar Interpretation der beiden Aussagen des Satzes von Sklar: Erster Teil des Satzes: Eine beliebige multivariate Verteilung lässt sich in ihre Randverteilungen und in eine Copula aufteilen.für stetige Randverteilungen ist die Copula dabei eindeutig. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 11

12 2.2 Der Satz von Sklar Der Satz von Sklar gibt jedoch lediglich an, dass diese Überführung möglich ist. Wie dies konkret umgesetzt werden kann wird nicht deutlich. Es ist aber folgendermaßen vorzugehen: Bei bekannter multivariater Verteilungsfunktion F können die eindimensionalen Randverteilungen F 1,, F n bestimmt werden. Sind nun die Zufallsvariablen X 1,, X n mit zugehörigen Verteilungsfunktionen F 1,, F n bekannt. Sei weiterhin u i = PX i x i ) = F i x i ) und daher u i Є [0,1] für alle i Є {1,, n}, so folgt: Cu 1,, u n ) = FF 1-1 u 1 ),, F n -1 u n )). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 12

13 2.2 Der Satz von Sklar Interpretation der beiden Aussagen des Satzes von Sklar: Zweiter Teil des Satzes: Aus n gegebenen einzelnen Verteilungen F 1,, F n und einer Copula C kann eine gemeinsame Verteilungsfunktion F konstruiert werden, welche die F 1,, F n als Randverteilungen besitzt. Umsetzung: Setze die F 1,, F n in die Copula C ein. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 13

14 2.3 Invarianz unter streng monoton steigenden Transformationen Copulas besitzen eine Eigenschaft, die für praktische Anwendungen sehr nützlich ist: Satz 2.3: Sei C eine Copula zu X 1,, X n ). Dann ist C für alle streng monoton steigenden stetigen Transformationen T 1,, T n ebenfalls die Copula zu T 1 X 1 ),, T n X n )). Erläuterung des Vorteils dieser Eigenschaft an einem Beispiel: Die Abhängigkeit von Verlusten mehrerer Einzelrisiken sind in der Einheit Euro durch eine Copula C modelliert. Übergang von Euro zu Dollar: streng monoton steigende Transformation. Das Modell in Dollar-Beträgen besitzt dieselbe Copula C wie das Euro- Modell. Achtung: Die Randverteilungen, die die Verteilungen der Einzelrisiken beschreiben müssen in der Regel an die neuen Skalen angepasst werden. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 14

15 2.4 Beispiele für Copulas Hier werden zwei klassische Beispiele für Copulas vorgestellt werden. Betrachtung im 2-dimensionalen, d.h. gegeben sind: Zwei Zufallsvariablen X und Y mit Verteilungsfunktionen F 1 und F 2 Sei u 1 = PX x 1 ) = F 1 x 1 ) bzw. u 2 = PY x 2 ) = F 2 x 2 ), also u 1,u 2 Є [0,1]. Wie oben gezeigt, gilt: Cu 1, u 2 ) = FF 1-1 u 1 ), F 2-1 u 2 )) *) -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 15

16 2.4.1 Die Gauß-Copula Randverteilungen F 1 und F 2 sind univariate Normalverteilungen. Die Verteilungsfunktionen werden mit φ bezeichnet. F ist Verteilungsfunktion der bivariaten Normalverteilung N 2 0,ψ). Sie wird hier mit φ ρ bezeichnet. Gemäß *) ergibt sich die Gauß-Copula als: C ρ Ga u 1, u 2 ) = φ ρ φ -1 u 1 ), φ -1 u 2 )) Sind anders herum die Gauß-Copula und die zwei normalverteilten Risiken X und Y mit den Verteilungsfunktionen F 1 und F 2 und Korrelationskoeffizient ρ gegeben, ergibt sich: Fx 1, x 2 ) = C ρ Ga F 1 x 1 ), F 2 x 2 )) Die Gauß-Copula ist genau diejenige Copula, die mehrere univariate Normalverteilungen zu einer multivariaten Normalverteilung zusammenführt. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 16

17 2.4.2 Die Gumbel-Copula Gegeben ist ein Parameter Θ Є [0,1]. Die Gumbel-Copula ist dann gegeben als: C Θ Gu u 1, u 2 ) = exp - - log u 1 ) 1/Θ + - log u 2 ) 1/Θ )) Θ ) Modelliert man Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen mit der Gumbel-Copula kann durch den Parameter Θ jede positive Abhängigkeitsstruktur zwischen Unabhängigkeit Θ = 1) und perfekter Abhängigkeit Θ 0) abgedeckt werden. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 17

18 3. Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 18

19 3. Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz Definitionen und Eigenschaften Unterschiede Vor- und Nachteile -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 19

20 3.1 Lineare Korrelation Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 20

21 3.1.1 Definition der linearen Korrelation Das am häufigsten verwendete Maß zur Modellierung von Abhängigkeiten. Idee: Die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Zufallsvariablen in Form einer Maßzahl dem linearen Korrelationskoeffizienten ausdrücken. Definition 3.1: Der Pearsonsche bzw. lineare Korrelationskoeffizient zweier Zufallsvariablen X und Y mit 0 < VarX), VarY) < ) ist definiert als: X, Y ) Cov X, Y ) Var X ) Var Y ) ρx,y) Є [-1,1] ρx,y) = 0: unkorrelierte Zufallsvariablen. Also kein linearer Zusammenhang. ρx,y) = 1: perfekte lineare Abhängigkeit im positiven Sinn. ρx,y) = -1: perfekte lineare Abhängigkeit im negativen Sinn. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 21

22 3.1.2 Vor- und Nachteile der linearen Korrelation Vorteile der linearen Korrelation: Einfach zu bestimmen nur Berechnung zweiter Momente) Bestimmung der Korrelation von linear transformierten Zufallsvariablen sehr elegant möglich, da für a,c Є \ {0} und b,d Є : Cov ax b, cy d) ac Cov X, Y ) und daher: a c ax b, cy d) X, Y ) a c D.h. insbesondere: lineare Korrelation invariant unter positiven affinen Transformationen. Für sphärische und elliptische Verteilungen kann die gesamte Abhängigkeitsstruktur zweier Zufallsvariablen über die Korrelation beschrieben werden. Zu den elliptischen Verteilungen zählt auch die Normalverteilung daher viele Anwendungsgebiete wo die Benutzung der linearen Korrelation Sinn macht). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 22

23 3.1.2 Vor- und Nachteile der linearen Korrelation Nachteile der linearen Korrelation: Korrelationskoeffizient ist nur definiert falls eine Verteilung mit endlicher Varianz vorliegt. z.b. Probleme für heavy-tailed Verteilungen). Lediglich Messung der linearen Abhängigkeit. Zwar invariant unter positiven affinen Transformationen aber nicht invariant unter streng monoton steigenden Transformationen T. D.h. ρx,y) ρtx),ty)). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 23

24 3.1.2 Vor- und Nachteile der linearen Korrelation Die Abbildung fasst das bedeutendste Problem bei der Verwendung der Korrelation als Abhängigkeitsmaß zusammen. Gleiche Randverteilungen Gleiche Korrelation Aber deutlich unterschiedliche Abhängigkeitsstrukturen -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 24

25 Exkurs: Sphärische und elliptische Verteilungen -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 25

26 E.1 Sphärische Verteilungen Erweiterung der multivariaten Normalverteilung N n 0,I). Klasse symmetrischer Verteilungen für unkorrelierte Zufallsvariablen mit Mittelwert 0. Definition 3.2: Ein Zufallsvektor X = X 1,, X n ) hat eine sphärische Verteilung, wenn für jede orthogonale Matrix U Є n x n also U U = UU = I n x n ) die folgende Gleichung erfüllt ist: UX = d X² A = d B bedeutet:,,a besitzt dieselbe Verteilung wie B. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 26

27 E.1 Sphärische Verteilungen Definition 3.3: Für alle t Є n ist die charakteristische Funktion φ : R n einer n-dimensionalen Zufallsvariablen X definiert als: φ X t) = Eexpit X)) Die charakteristische Funktion sphärischer Verteilungen nimmt eine sehr einfache Form an, denn es existiert eine Funktion γ : , sodass: φt) = γt t) = γt 1 ² + + t 2 ²). Die Funktion γ wird als charakteristischer Generator der sphärischen Verteilung bezeichnet. Man schreibt daher auch: X ~ S n γ). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 27

28 E.1 Sphärische Verteilungen Bemerkungen zu sphärischen Verteilungen: 1. Sphärische Verteilungen sind i.a. Verteilungen unkorrelierter nicht jedoch unabhängigker Zufallsvariablen. 2. Die multivariate Normalverteilung ist die einzige Verteilung unter den sphärischen Verteilungen, bei der die Zufallsvariablen auch unabhängig sind. 3. X ~ S n γ) ist äquivalent zu X = d RU, wobei U auf der Einheitskugel S n-1 = { x Є x x = 1 } gleichverteilt ist und R 0 eine von U unabhängige Zuvallsvariable darstellt. Die 3. Bemerkung ermöglicht eine Interpretation sphärischer Verteilungen als n-dimensionale Gleichverteilung auf Umgebungen mit verschiedenen Radien. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 28

29 E.2 Elliptische Verteilungen Erweiterung der multivariaten Normalverteilung N n μ, ). Klasse symmetrischer Verteilungen mit Mittelwert μ und Kovarianzmatrix. Mathematisch gesehen: affine Transformationen sphärischer Verteilungen. Definition 3.4: Sei eine affine Transformation T : n n mit Tx) = Ax + μ, A Є n x n, μ Є n gegeben. Ein Zufallsvektor X Є n hat eine elliptische Verteilung, falls X = TY), wobei Y ~ S n γ). Die charakteristische Funktion ist gegeben als: mit = AA. φt) = expit μ) γt t), Notation: X ~ E n μ,, γ) -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 29

30 E.2 Elliptische Verteilungen Bemerkungen zu elliptischen Verteilungen: 1. Die Verteilung von X bestimmt nur μ ŝŷğŝŷěğƶɵőğƌt ĞŝƐĞ єƶŷěγ sind nur bis auf eine positive Konstante bestimmt. 2. Es ist möglich so zu wählen, dass sie die Kovarianzmatrix von X darstellt. Insgesamt bedeutet dies: Eine elliptische Verteilung ist eindeutig definiert durch: Mittelwert μ Kovarianzmatrix Charakteristischer Generator γ Insbesondere: Die Varianz einer elliptisch verteilten Zufallsvariablen ist endlich der lineare Korrelationskoeffizient für solch eine Zufallsvariable ist wohldefiniert. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 30

31 E.3 Korrelation und Kovarianz als natürliche Abhängigkeitsmaße in der Welt elliptischer Verteilungen Elliptische Verteilungen besitzen einige sehr nützliche Eigenschaften: Jede Linearkombination eines elliptisch verteilten Zufallsvektors ist selbst wieder elliptisch verteilt und besitzt sogar den selben charakteristischen Generator. Die Randverteilungen elliptischer Verteilungen sind ebenfalls elliptisch verteilt und besitzen den selben charakteristischen Generator. Sei die Kovarianzmatrix єăůɛɖžɛŝɵǀ ĚĞĮ Ŷŝƚǀ ŽƌĂƵƐŐĞƐĞƚnjƚ ĂŶŶŝƐƚĚŝĞďĞĚŝŶŐƚĞ Verteilung X 1 unter X 2 auch elliptisch verteilt allerdings i.a. mit einem anderen charakteristischen Generator. Alle Randverteilungen elliptisch Elliptische Verteilung eindeutig durch Mittelwert, Kovarianzmatrix und Verteilungstypen bestimmt. Anders ausgedrückt: Gesamte Abhängigkeitsstruktur stetiger, elliptischer Verteilungen eindeutig festgelegt durch Korrelationsmatrix und Verteilungstypen. Jegliche Form von Abhängigkeit wird für elliptisch verteilte Zufallsvariablen komplett über den linearen Korrelationskoeffizienten beschrieben. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 31

32 E.4 Kovarianz und elliptische Verteilungen im Risikomanagement Elliptische Verteilungen begünstigen den Einsatz vieler mathematischer Standard-Modelle. Z.B. Markowitz-Modell und Value-at-Risk). Konzentration auf Value-at-Risk VaR): Gegeben sei ein elliptisch verteilter Zufallsvektor X = X 1,, X n ), wobei X i das Risiko i modelliert. Definiere die Menge linearer Portfolios, die aus diesen n Risiken bestehen als: { Z n X i i1 i R}. Die Verteilungsfunktion von Portfolio Z ist gegeben durch F Z und der VaR zu vorgegebener Wahrscheinlichkeit α ist bekanntermaßen: VaR α Z) = F Z -1 α) = inf { z Є F Z z) α } VaR als Risikomaß besitzt für elliptische Verteilungen eine besondere Eigenschaft. i -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 32

33 E.4 Kovarianz und elliptische Verteilungen im Risikomanagement Definition 3.5: Ein Risikomaß ist eine Funktion ξ mit: X Risikomaß ordnet jedem Risiko X eine reelle Zahl zu. ξ X). D.h. ein Definition 3.6: Ein kohärentes Risikomaß nach Atzner, Delbaen, Eber und Heath) ist ein Risikomaß mit folgenden Eigenschaften: 1. Positivität: Für jedes X 0 ist: ξx) 0 2. Subadditivität: Für alle X und Y gilt: ξx + Y) ξx) + ξy). 3. Positive Homogenität: Für jedes λ 0 ist: ξλx) = λξx). 4. Translationsinvarianz: Für jedes a Є gilt: ξx + a) = ξx) + a. Der VaR ist i.a. kein kohärentes Risikomaß, da er nicht subadditiv ist. Für elliptische Verteilungen erfüllt der VaR auch die Subadditivitätseigenschaft und ist somit kohärent. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 33

34 3.2 Alternative Abhängigkeitsmaße Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 34

35 3.2.1 Komonotonie Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 35

36 3.2.1 Komonotonie Definition 3.7: Zwei Risiken X und Y werden komonoton genannt, wenn es eine Zufallsvariable Z und zwei monoton steigende Funktionen f 1 und f 2 gibt, sodass: X = f 1 Z) und Y = f 2 Z) gilt. Wenn f 1 eine monoton steigende Funktion ist und f 2 monoton fällt, so spricht man von kontramonotonen Zufallsvariablen. Die Entwicklung der beiden Risiken hängt komplett von einem einzigen gemeinsamen Faktor ab. Komonotone Risiken können sich niemals ausgleichen extremste Form positiver Abhängigkeit. Steigt das eine Risiko von zwei kontramonotonen Risiken, so sinkt das andere Risiko extremste Form negativer Abhängigkeit. Sind X und Y komonotone Zufallsvariablen, so gilt: VaR α X + Y) = VaR α X) + VaR α Y). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 36

37 Fundamentale Copulas Komonotonie und Kontramonotonie lassen sich zumindest im Zweidimensionalen durch bestimmte Copulas modellieren. Zusammen mit der Unabhängigkeits-Copula bilden sie die fundamentalen Copulas. Definition 3.8: Die Komonotonie-Copula C o wird für alle u 1,u 2 ) Є [0,1]² definiert durch: C o u 1,u 2 ) = minu 1,u 2 ). Definition 3.9: Die Kontramonotonie-Copula C u wird für alle u1,u2) Є [0,1]² definiert durch: C u u 1,u 2 ) = maxu 1 + u 2-1, 0). Definition 3.10: Die Unabhängigkeits-Copula C id wird für alle u1,u2) Є [0,1]² definiert durch: C id u 1,u 2 ) = u 1 u 2. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 37

38 Die Schranken von Fréchet Perfekte negative Abhängigkeit, Unabhängigkeit, perfekte positive Abhängigkeit lassen sich mit fundamentalen Copulas darstellen. Sie stehen zu vielen anderen Copulas in einer interessanten Beziehung. z.b. Gumbel-Copula:,,interpoliert zwischen Unabhängigkeits- und Komonotonie-copula). Eine weitere wichtige Beziehung liefern die Fréchet-Schranken. Satz 3.2: Für jede n-dimensionale Copula Cu 1,, u n ) gilt: max {u u n + 1 n, 0} Cu 1,, u n ) min {u 1,, u n }. Im zweidimensionalen Fall gilt also genau: C u Cu 1, u 2 ) C o. Für höhere Dimensionen sind die Schranken ähnlich zu interpretieren, aber die untere Schranke ist keine Copula mehr. Komonotonie ist eine sehr viel allgemeinere Definition von Abhängigkeit als die lineare Korrelation. Sie erfasst nicht nur lineare sondern jede Form von perfekter) Abhängigkeit. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 38

39 3.2.2 Rangkorrelation Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 39

40 3.2.2 Rangkorrelation Definition 3.11: Seien X und Y Zufallsvariablen mit den Randverteilungen F 1 und F 2 sowie F ihre gemeinsame Verteilungsfunktion. Der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient von X und Y ergibt sich als: ρ S X,Y) = ρf 1 X),F 2 Y)), wobei ρ den linearen Korrelationskoeffizienten bezeichnet. Definition 3.12: Seien X 1,Y 1 ) und X 2,Y 2 ) zwei unabhängige Paare von Zufallsvariablen und F ihre gemeinsame Verteilungsfunktion. Der Kendallsche Rangkorrelationskoeffizient von X und Y ergibt sich als: ρ τ X,Y) = PX 1 X 2 )Y 1 Y 2 ) > 0) PX 1 X 2 )Y 1 Y 2 ) < 0). Sowohl der Spearmansche, als auch der Kendallsche Rangkorrelationskoeffizient messen den Grad monotoner Abhängigkeit. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 40

41 3.2.2 Rangkorrelation Satz 3.3: Seien X und Y Zufallsvariablen mit den Randverteilungen F 1 und F 2, gemeinsamer Verteilungsfunktion F sowie Copula C. Dann gilt: 1. ρ S X,Y) = ρ S Y,X) und ρ τ X,Y) = ρ τ Y,X) 2. X und Y unabhängig ρ S X,Y) = ρ τ X,Y) = ρ S X,Y), ρ τ X,Y) S S 1 X, Y ) 12 C x, y) x y) dxdy X, Y ) 4 C u, v) dc u, v) ρ S und ρ τ sind invariant unter streng monotonen Transformationen T : : X, Y), fallst steigend T X), Y) S, X, Y), fallst fallend 1., 2. und 3. sind vom linearen Korrelationskoeffizienten bekannt. Die übrigen Punkte werden vom linearen Korrelationskoeffizienten nicht erfüllt. Größter Vorteil der Rangkorrelation gegenüber linearer Korrelation: Rangkorrelationskoeffizienten hängen nur von der Copula ab 4. und 5.) sie sind invariant unter streng monotonen Transformationen. Größter Nachteil der Rangkorrelation gegenüber linearer Korrelation: Keine momentbasierte Korrelation. 7. ρ S X,Y) = ρ τ X,Y) = 1 C = C o 8. ρ S X,Y) = ρ τ X,Y) = -1 C = C u -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 41

42 3.2.3 Tail Abhängigkeit Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 42

43 3.2.3 Tail Abhängigkeit Wichtige Fragestellung im Risikomanagement: Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten mehrerer extremer Ereignisse angeben. Tail Abhängigkeit: Maßzahl für die Abhängigkeit von extremen Ereignissen, also in den Randbereichen einer Verteilung: -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 43

44 Definition der Tail Abhängigkeit -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 44 Frage: Wie hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Risiko X höchstens zu einem Verlust von a führt, unter der Bedingung, dass Risiko Y höchstens einen Verlust von b erleidet? Also: Bei bekannter Copula C kann nach dem Satz von Sklar eine gemeinsame Verteilungsfunktion F gefunden werden, die F 1 bzw. F 2 als Randverteilungen hat: O.B.d.A. treten die Ereignisse X a und Y b mit derselben Wahrscheinlichkeit α ein, also: Und wegen der Stetigkeit der Randverteilungen gilt: Es gilt also:. ) ), ) b Y P b Y a X P b Y a X P. ) )) ), ) b F b F a F C b Y a X P ). ) und ) ) 2 1 b F b Y P a F a X P ). und ) F b F a. ), )) ))) )), ) C F F F F F F C b Y a X P

45 Definition der Tail Abhängigkeit -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 45 Eine zweite interessante Frage lautet: Wie hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Risiko X einen sehr hohen Verlust erleidet X > a), unter der Bedingung, dass auch Risiko Y einen sehr hohen Verlust verursacht hat Y > b)? Also: Äquivalent zu oben: Sowie aufgrund der Stetigkeit der Randverteilungen: Damit folgt in Copula-Schreibweise:. ) 1 ), ) ) 1 ) ), ) b Y P b Y a X P b Y P a X P b Y P b Y a X P b Y a X P ). ) und ) ) 2 1 b F b Y P a F a X P ). und ) F b F a. ) 1 ), ) ) 1 ) ), b Y P b Y a X P b Y P a X P b Y a X P C

46 Definition der Tail Abhängigkeit Definition 3.13 und Definition 3.14: Seien X und Y zwei stetige Zufallsvariablen. Bei bekannter Copula C ergeben sich der untere Tail-Abhängigkeitskoeffizient λ L bzw. der obere Tail-Abhängigkeitskoeffizient λ U als: L C, ) lim 0 und wenn der Grenzwert existiert und λ L, λ U Є [0,1] ist. 1 2 C, ) lim 1 U 1 λ L = 0: asymptotische Unabhängigkeit im unteren Tail. λ U = 0: asymptotische Unabhängigkeit im oberen Tail. λ L Є 0,1]: Abhängigkeit im unteren Tail. λ U Є 0,1]: Abhängigkeit im oberen Tail. Je größer λ L bzw. λ U ) ist, desto größer ist die Abhängigkeit im unteren bzw. oberen) Tail. Die Tail Abhängigkeit ist invariant unter streng monoton steigenden Transformationen. Abhängigkeiten in den Tails werden durch unterschiedliche Copulas unterschiedlich modelliert. Bei Auswahl eines Copula-Modells wichtig. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 46

47 3.2.4 Konkordanz Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 47

48 3.2.4 Konkordanz Hier: Nicht Stärke der Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen X und Y messen sondern feststellen, ob die Abhängigkeit zwischen positiv ihnen Konkordanz) oder negativ Diskordanz) ist. Zentrale Frage: Wie ist positive bzw. negative) Abhängigkeit definiert? 1. Möglichkeit: Der Zusammenhang zwischen X und Y ist genau dann positiv, wenn ρx,y) > 0 oder ρ S X,Y) > 0 bzw. ρ τ X,Y) > 0) ist. In der Regel wird positive Abhängigkeit jedoch anders definiert! 2. Möglichkeit: Der Zusammenhang zwischen X und Y ist genau dann positiv, wenn X und Y positiv quadrant abhängig PQA) sind. 3. Möglichkeit: Der Zusammenhang zwischen X und Y ist genau dann positiv, wenn X und Y positiv assoziiert PA) sind. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 48

49 3.2.4 Konkordanz Definition 3.15: Zwei Zufallsvariablen X und Y werden positiv quadrant abhängig PQA) genannt, wenn für alle x,y Є gilt: PX x, Y y) PX x) PY y). Positive quadrant Abhängigkeit ist geeignet um positive Abhängigkeit zwischen X und Y auszudrücken, da X und Y mit höherer Wahrscheinlichkeit beide große bzw. kleine) Werte annehmen als im Falle der Unabhängigkeit zwischen X und Y. Wird die Ungleichung in Definition 3.15 umgekehrt, spricht man von negativ quadrant abhängigen Zufallsvariablen. Definition 3.16: Zwei Zufallsvariablen X und Y werden positiv assoziiert PA) genannt, wenn für alle reellwertigen, messbaren Funktionen g 1 und g 2, die monoton steigend in beiden Komponenten sind und für die die nachfolgenden Erwartungswerte definiert sind, gilt: Eg 1 X,Y) g 2 X,Y)) Eg 1 X,Y)) Eg 2 X,Y)). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 49

50 3.2.4 Konkordanz Die obige Definition für PA) ist äquivalent zu: Cov g 1 X,Y), g 2 X,Y) ) 0. Daran wird deutlich, warum die Positive Assoziation ein geeignetes Konzept ist, um positive Abhängigkeit zwischen X und Y zu beschreiben. Wird die Ungleichung in Definition 3.16 umgekehrt, spricht man von negativ assoziierten Zufallsvariablen. PQA) und PA) sind invariant unter streng monoton steigenden Transformationen. PQA) und PA) sind stärkere Abhängigkeitsbedingungen als die drei bekannten Korrelationskoeffizienten. Folgende Darstellung verdeutlicht dies und zeigt gleichzeitig, dass Komonotonie die stärkste Form von Konkordanz also positiver Abhängigkeit ist: Komonotonie PA) PQA) ρx,y) 0, ρ S X,Y) 0, ρ τ X,Y) 0 -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 50

51 4. Irrtümer bzgl. Korrelation und Abhängigkeit -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 51

52 4.1 Irrtum 1 Die gemeinsame Verteilungsfunktion F kann mithilfe der Randverteilungen F 1 und F 2 und der Korrelation zwischen den Zufallsvariablen X und Y bestimmt werden. Die Aussage gilt für elliptische Verteilungen. Im Allgemeinen jedoch nicht! Gegenbeispiel: Betrachte zwei verschiedene gemeinsame Verteilungen mit Gamma3,1)- Randverteilungen und derselben Korrelation ρ = 0,7. Dies ist sowohl mit der Gauß- als auch mit der Gumbel-Copula konstruierbar. F Ga Ga Gu x, y) C G3,1 x), G3,1 y)) und FGu x, y) C G3,1 x), G3, 1 y)) mit 0,71und 0,54. Während die Gauß-Copula keine Tail-Abhängigkeiten aufweist, ist die Gumbel- Copula für θ < 1 asymptotisch abhängig. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 52

53 4.1 Irrtum 1 Um dies zu verdeutlichen betrachte für beide Modelle: PX > u Y > u), mit u = VaR 0,99 X) = VaR 0,99 Y) = G -1 3,1 0,99). Empirische Schätzungen liefern: P FGa X > u Y > u) = 1/3 und P FGu X > u Y > u) = 3/4 Gumbel-Modell: gemeinsame extrem hohe Verluste sind wahrscheinlicher als im Gauß-Modell. weniger Diversifikation! Analytische Aussage über den VaR der Summe X + Y unter den beiden Modellen zu treffen ist schwierig. Aber Simulationen belegen, dass das Gumbel-Modell eine höhere Anzahl an großen Resultaten für den VaR liefert. Entscheidender Unterschied der Modelle bei Einschätzung extremer Verluste der sich in den Randverteilungen und der Korrelation nicht bemerkbar macht). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 53

54 4.2 Irrtum 2 Seien F1 und F2 gegeben. Die lineare Korrelation zwischen X und Y kann bei einer geeigneten Spezifikation von F alle Korrelationen zwischen -1 und 1 annehmen. Diese Aussage ist falsch! Gegenbeispiel: Betrachte: X ~ LN0,1) und Y ~ LN0,σ²), mit σ > 0. Was ist der minimale ρ min ) bzw. maximale ρ max ) Wert, den die Korrelation bei diesen Randverteilungen annehmen kann? Da ρ min = ρe Z,e σz ) und ρ max = ρe Z,e σz ), mit Z ~ N0,1) gilt, ist eine analytische Lösung möglich: min e 1 e 1) e 2 max 1) und e 1 e 1) e 2 1) -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 54

55 4.2 Irrtum 2 Bei diesem Beispiel werden nicht alle Werte zwischen -1 und +1 angenommen. lim min lim max 0 Zusätzliches Problem: X und Y sind in diesem Beispiel komonoton bzw. kontramonoton), aber für σ ist die lineare Korrelation sehr nahe bei 0. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 55

56 4.3 Irrtum 3 Der Value-at-Risk eines linearen Portfolios X + Y wird am größten, wenn ρx,y) maximal ist, also wenn X und Y komonoton sind. Wir wissen: 1. Für zwei komonotone Zufallsvariablen X und Y gilt: VaR α X + Y) = VaR α X) + VaR α Y). 2. Für elliptische Verteilungen erfüllt der VaR die Subadditiätseigenschaft, also VaR α X + Y) VaR α X) + VaR α Y). 3. Für nicht-elliptische Verteilungen erfüllt der VaR die Subadditiätseigenschaft nicht, d.h. es existieren X und Y, s.d. VaR α X + Y) > VaR α X) + VaR α Y). Die obige Aussage gilt also i.a. nicht, für elliptische Verteilungen ist sie jedoch korrekt. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 56

57 4.3 Irrtum 3 Beispiel, bei dem sich der Value-at-Risk sehr interessant verhält: Betrachte zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y mit derselben Verteilung: F 1/2 = 1 x -1/2, mit x 1. Hierbei handelt es sich um eine extreme heavy-tailed Verteilung ohne endlichen Mittelwert. Betrachte nun die beiden Risiken: X + Y unabhängig) sowie 2X komomoton). Es lässt sich abschätzen, dass für z > 2 gilt: 2 z 1 P X Y z) 1 P2X z) z Damit folgt: VaR α X + Y) > VaR α 2X) = VaR α X) + VaR α Y). Hier: aus Sicht des VaR Unabhängigkeit schlechter als perfekte positive Abhängigkeit - ganz unabhängig von der Wahl von α. keinerlei Diversifikationseffekt, sondern es ist sogar besser zwei gleiche Risiken einzugehen. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 57

58 5. Fazit -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 58

59 5. Fazit Überblick über verschiedene Möglichkeiten zur Modellierung von Abhängigkeiten zwischen Zufallsvariablen. Lineare Korrelation: Lediglich für elliptische Verteilungen gut geeignet. Alternative Abhängigkeitsmaße: Falls keine elliptische Verteilung vorliegt. Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz Drei klassische Irrtümer bzgl. Korrelation und Abhängigkeit: mit der intuitiven Gleichsetzung der Begriffe Abhängigkeit und Korrelation gehen einige Irrtümer einher besonders bei nicht-elliptischen Verteilungen ist Vorsicht geboten. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 59

60 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 60

+ 2 F2 (u) X 1 F1 (u)) Der Koeffizient der unteren Tail-Abhängigkeit von (X 1,X 2 ) T wird folgendermaßen definiert:

+ 2 F2 (u) X 1 F1 (u)) Der Koeffizient der unteren Tail-Abhängigkeit von (X 1,X 2 ) T wird folgendermaßen definiert: Tail Abhängigkeit Definition 12 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit Randverteilungen F 1 und F 2. Der Koeffizient der oberen Tail-Abhängigkeit von (X 1,X 2 ) T wird folgendermaßen definiert: λ U (X

Mehr

Quantitative Risk Management

Quantitative Risk Management Quantitative Risk Management Copulas und Abhängigkeit Johannes Paschetag Mathematisches Institut der Universität zu Köln Wintersemester 2009/10 Betreuung: Prof. Schmidli, J. Eisenberg i Inhaltsverzeichnis

Mehr

Eine zweidimensionale Stichprobe

Eine zweidimensionale Stichprobe Eine zweidimensionale Stichprobe liegt vor, wenn zwei qualitative Merkmale gleichzeitig betrachtet werden. Eine Urliste besteht dann aus Wertepaaren (x i, y i ) R 2 und hat die Form (x 1, y 1 ), (x 2,

Mehr

Herzlich Willkommen zur letzten Vorlesung in. Statistik 2. vor Weihnachten

Herzlich Willkommen zur letzten Vorlesung in. Statistik 2. vor Weihnachten Herzlich Willkommen zur letzten Vorlesung in Statistik 2 vor Weihnachten Was sollen wir heute machen? Vorlesung? Übung? Weihnachtsfeier? Was sollen wir heute machen? Vorlesung? Übung? Weihnachtsfeier?

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.77: Normalverteilung & Standardnormalverteilung Es sei µ R und 0 < σ 2 R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f(x) = 1 2 πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2, x R, so heißt X normalverteilt

Mehr

Abhängigkeiten zwischen Großschäden

Abhängigkeiten zwischen Großschäden Abhängigkeiten zwischen Großschäden Holger Drees, Universität Hamburg I. Typen von Abhängigkeiten II. Modelle für abhängige Großschäden III. Fallstudie: Dänische Feuerversicherung I. Typen von Abhängigkeiten

Mehr

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

Zufallsvariablen: Die allgemeine Definition

Zufallsvariablen: Die allgemeine Definition KAPITEL 8 Zufallsvariablen: Die allgemeine Definition 8.1. Zufallsvariablen Bis zu diesem Zeitpunkt haben wir ausschließlich Zufallsvariablen mit endlich oder abzählbar vielen Werten (also diskrete Zufallsvariablen)

Mehr

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch 6 Stetige Verteilungen 1 Kapitel 6: Stetige Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch dargestellt. 0.2 6

Mehr

Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung I

Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung I 10 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Bedingte Verteilungen 10.6 Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung I Wichtige mehrdimensionale stetige Verteilung: mehrdimensionale (multivariate) Normalverteilung

Mehr

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie

Mehr

Hierarchische Archimedische Copulas

Hierarchische Archimedische Copulas Hierarchische Archimedische Copulas Bachelorarbeit im Studiengang Wirtschaftsmathematik am Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg eingereicht von Yuriy Pinkhasik Marburg,

Mehr

9 Die Normalverteilung

9 Die Normalverteilung 9 Die Normalverteilung Dichte: f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 /2σ 2, µ R,σ > 0 9.1 Standard-Normalverteilung µ = 0, σ 2 = 1 ϕ(x) = 1 2π e x2 /2 Dichte Φ(x) = 1 x 2π e t2 /2 dt Verteilungsfunktion 331 W.Kössler,

Mehr

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f.

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f. Stetige Funktionen Abbildungen f : X Y, wobei X und Y strukturierte Mengen sind (wie z.b. Vektorräume oder metrische Räume), spielen eine zentrale Rolle in der Mathematik. In der Analysis sind Abbildungen

Mehr

Extremwertverteilungen

Extremwertverteilungen Seminar Statistik Institut für Stochastik 12. Februar 2009 Gliederung 1 Grenzwertwahrscheinlichkeiten 2 3 MDA Fréchet MDA Weibull MDA Gumbel 4 5 6 Darstellung von multivariaten, max-stabilen Verteilungsfunktionen

Mehr

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable

Mehr

4. Versicherungsangebot

4. Versicherungsangebot 4. Versicherungsangebot Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie (FS 11) Versicherungsangebot 1 / 13 1. Einleitung 1.1 Hintergrund In einem grossen Teil

Mehr

Die Varianz (Streuung) Definition

Die Varianz (Streuung) Definition Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ

Mehr

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

8. Stetige Zufallsvariablen

8. Stetige Zufallsvariablen 8. Stetige Zufallsvariablen Idee: Eine Zufallsvariable X ist stetig, falls ihr Träger eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen R ist. Beispiel: Glücksrad mit stetigem Wertebereich [0, 2π] Von Interesse

Mehr

Seminar im Wintersemester 2010/2011: Quantitative und implementierte Methoden der Marktrisikobewertung

Seminar im Wintersemester 2010/2011: Quantitative und implementierte Methoden der Marktrisikobewertung M.Sc. Brice Hakwa hakwa@uni-wuppertal.de Seminar im Wintersemester 2010/2011: Quantitative und implementierte Methoden der Marktrisikobewertung - Zusammenfassung zum Thema: Berechnung von Value-at-Risk

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 12

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 12 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 12 11. Januar 2013 7.3. Multiple parameterlineare Regression Im Folgenden soll die

Mehr

Kompaktskript zur Vorlesung Stochastische Risikoanalyse

Kompaktskript zur Vorlesung Stochastische Risikoanalyse Kompaktskript zur Vorlesung Stochastische Risikoanalyse Friedrich-Schiller-Universität Jena Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Wirtschafts- und Sozialstatistik Prof. Dr. P. Kischka Sommersemester

Mehr

Seminar Quantitatives Risikomanagement

Seminar Quantitatives Risikomanagement Seminar Quantitatives Risikomanagement Kreditrisikomanagement II Fabian Wunderlich Mathematisches Institut der Universität zu Köln Sommersemester 2009 Betreuung: Prof. Schmidli, J. Eisenberg Contents 1

Mehr

K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis

K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis 8.1 Theoretischer Hintergrund Wir haben (nicht abzählbare) Wahrscheinlichkeitsräume Meßbare Funktionen Zufallsvariablen Verteilungsfunktionen Dichten in R

Mehr

Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern.

Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. Aufgabe 1 (2 + 1 + 2 + 2 Punkte) Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. a) Wieviele Möglichkeiten hat

Mehr

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig) ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels

Mehr

3.4 Asymptotische Evaluierung von Sch atzer Konsistenz Konsistenz Definition 3.4.1: konsistente Folge von Sch atzer

3.4 Asymptotische Evaluierung von Sch atzer Konsistenz Konsistenz Definition 3.4.1: konsistente Folge von Sch atzer 3.4 Asymptotische Evaluierung von Schätzer 3.4.1 Konsistenz Bis jetzt haben wir Kriterien basierend auf endlichen Stichproben betrachtet. Konsistenz ist ein asymptotisches Kriterium (n ) und bezieht sich

Mehr

Korrelation (II) Korrelation und Kausalität

Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Situation: Seien X, Y zwei metrisch skalierte Merkmale mit Ausprägungen (x 1, x 2,..., x n ) bzw. (y 1, y 2,..., y n ). D.h. für jede i = 1, 2,..., n bezeichnen

Mehr

Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas. Kevin Schellkes und Christian Hendricks 29.08.2011

Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas. Kevin Schellkes und Christian Hendricks 29.08.2011 Kevin Schellkes und Christian Hendricks 29.08.2011 Inhalt Der herkömmliche Ansatz zur Simulation logarithmischer Renditen Ansatz zur Simulation mit Copulas Test und Vergleich der beiden Verfahren Fazit

Mehr

1 Gemischte Lineare Modelle

1 Gemischte Lineare Modelle 1 Gemischte Lineare Modelle Wir betrachten zunächst einige allgemeine Aussagen für Gemischte Lineare Modelle, ohne zu tief in die mathematisch-statistische Theorie vorzustoßen. Danach betrachten wir zunächst

Mehr

Kenngrößen von Zufallsvariablen

Kenngrößen von Zufallsvariablen Kenngrößen von Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann durch die sogenannten Kenngrößen beschrieben werden, sie charakterisieren sozusagen die Verteilung. Der Erwartungswert Der Erwartungswert

Mehr

Portfolioselection. Zentrale Frage: Wie stellen rationale Investoren ihr Portfolio zusammen?

Portfolioselection. Zentrale Frage: Wie stellen rationale Investoren ihr Portfolio zusammen? Portfolioselection Zentrale Frage: Wie stellen rationale Investoren ihr Portfolio zusammen? Investieren in Aktien ist riskant Risiko einer Aktie kann in 2 Teile zerlegt werden: o Unsystematisches Risiko

Mehr

Solvency II und die Standardformel

Solvency II und die Standardformel Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematische Stochastik Solvency II und die Standardformel Festkolloquium 20 Jahre (neue) Versicherungsmathematik an der TU Dresden Sebastian Fuchs

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba.

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba. Die Eindeutigkeit nach Satz 3 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und () wegen Aussage (7) ergibt sich aus () und (6). 0 = log b = log b ( a a) = log b a +log ba. 3 Reihen 3. Konvergenz und Divergenz

Mehr

1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie H.-J. Starkloff Unendlichdimensionale Stochastik Kap. 01 11. Oktober 2010 1 1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 Messbare Räume Gegeben seien eine nichtleere Menge Ω und eine Menge A von Teilmengen

Mehr

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel 8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a

Mehr

Korrelationsmatrix. Statistische Bindungen zwischen den N Zufallsgrößen werden durch die Korrelationsmatrix vollständig beschrieben:

Korrelationsmatrix. Statistische Bindungen zwischen den N Zufallsgrößen werden durch die Korrelationsmatrix vollständig beschrieben: Korrelationsmatrix Bisher wurden nur statistische Bindungen zwischen zwei (skalaren) Zufallsgrößen betrachtet. Für den allgemeineren Fall einer Zufallsgröße mit N Dimensionen bietet sich zweckmäßiger Weise

Mehr

Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele

Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Ist (a n ) eine Folge von Zahlen, so heißt der formale Ausdruck a ν = a 0 + a 1 + a 2 +... eine Reihe; die einzelnen a ν sind die Glieder dieser Reihe. Um

Mehr

Wissenschaftliches Arbeiten Quantitative Methoden

Wissenschaftliches Arbeiten Quantitative Methoden Wissenschaftliches Arbeiten Quantitative Methoden Prof. Dr. Stefan Nickel WS 2008 / 2009 Gliederung I. Motivation II. III. IV. Lesen mathematischer Symbole Wissenschaftliche Argumentation Matrizenrechnung

Mehr

Stochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008

Stochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008 Stochastische Eingangsprüfung, 17.5.8 Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A)

Mehr

Simulation von Zufallsvariablen und Punktprozessen

Simulation von Zufallsvariablen und Punktprozessen Simulation von Zufallsvariablen und Punktprozessen 09.11.2009 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Pseudozufallszahlen 3 Punktprozesse Zufallszahlen Definition (Duden): Eine Zufallszahl ist eine Zahl, die

Mehr

11 Stochastisches Integral und Itô-Formel

11 Stochastisches Integral und Itô-Formel 11 Stochastisches Integral und Itô-Formel Im diskreten Finanzmodell bei selbstfinanzierender Strategie ϑ = {ϑ n n=,...,n mit Anfangswert V gilt : Ṽ n ϑ = V + n ϑ T j S j. j=1 Dieser diskontierte Wertprozess

Mehr

GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN

GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN Mathematik-Olympiaden in Rheinland-Pfalz GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN Fortgeschrittene Die Aufgaben auf diesem Arbeitsblatt haben alle eine elegante Lösungsidee. Bei vielen Gleichungen ist nach Anwenden

Mehr

Prüfungstutorat: Angewandte Methoden der Politikwissenschaft. Polito Seminar Carl Schweinitz 10.12.2014

Prüfungstutorat: Angewandte Methoden der Politikwissenschaft. Polito Seminar Carl Schweinitz 10.12.2014 Prüfungstutorat: Angewandte Methoden der Politikwissenschaft Polito Seminar Carl Schweinitz 10.12.2014 Übersicht 1. Einheiten und Variablen 2. Skalen und ihre Transformation 3. Deskriptive Statistik 4.

Mehr

Kapitel 5. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

Kapitel 5. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298 Kapitel 5 Dualität Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2014 241 / 298 Inhalt 5 Dualität Dualitätssätze Zweiphasen-Simplexalgorithmus Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester

Mehr

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 203/4 Blatt 20.0.204 Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag 4. a) Für a R betrachten wir die Funktion

Mehr

Vektoren und Matrizen

Vektoren und Matrizen Vektoren und Matrizen Einführung: Wie wir gesehen haben, trägt der R 2, also die Menge aller Zahlenpaare, eine Körperstruktur mit der Multiplikation (a + bi(c + di ac bd + (ad + bci Man kann jedoch zeigen,

Mehr

1 Grundprinzipien statistischer Schlußweisen

1 Grundprinzipien statistischer Schlußweisen Grundprinzipien statistischer Schlußweisen - - Grundprinzipien statistischer Schlußweisen Für die Analyse zufallsbehafteter Eingabegrößen und Leistungsparameter in diskreten Systemen durch Computersimulation

Mehr

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen 12.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig

Mehr

1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente...

1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente... Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 1 1 Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten 5 1.1 Zufallsvorgänge.......................... 5 1.1.1 Ergebnismengen..................... 6 1.1.2 Ereignisse und ihre Verknüpfung............

Mehr

Konvergenz von Folgen

Konvergenz von Folgen 6 Konvergenz von Folgen Definition 6.1 Eine Folge in C (oder R) ist eine Abbildung f : N C (oder R). Schreibweise: (a n ) n N, (a n ), a 1, a 2... wobei a n = f(n). Beispiele: 1) (1 + 2 n ) n N, 3 2, 5

Mehr

3.2 Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit)

3.2 Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit) 3. Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit) Betrachtet wird hier der Fall Θ = (bzw. die Situation u(a, ϑ) bzw. l(a,ϑ) konstant in ϑ Θ für alle a A). Da hier keine Unsicherheit über die Umweltzustände

Mehr

Vektorräume und Rang einer Matrix

Vektorräume und Rang einer Matrix Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,

Mehr

DEUTSCHE SCHULE MONTEVIDEO BIKULTURELLES DEUTSCH-URUGUAYISCHES ABITUR ( AUF SPANISCH )

DEUTSCHE SCHULE MONTEVIDEO BIKULTURELLES DEUTSCH-URUGUAYISCHES ABITUR ( AUF SPANISCH ) Grundlegende Bemerkungen : Der Begriff des Vektors wurde in den vergangenen Jahren im Geometrieunterricht eingeführt und das mathematische Modell des Vektors wurde vor allem auch im Physikunterricht schon

Mehr

Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen

Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender I Beispielklausur I mit en Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in denen noch nicht geschrieben werden darf.

Mehr

11. Folgen und Reihen.

11. Folgen und Reihen. - Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a

Mehr

Multivariate Statistik

Multivariate Statistik Hermann Singer Multivariate Statistik 1 Auflage 15 Oktober 2012 Seite: 12 KAPITEL 1 FALLSTUDIEN Abbildung 12: Logistische Regression: Geschätzte Wahrscheinlichkeit für schlechte und gute Kredite (rot/blau)

Mehr

λ(a n ) n 1 = (λa n ) n 1. Abbildung 1: Graph einer Folge. b n = arctan(n), f n = cos(nπ), g n = n 2, h n = ( 1) n n.

λ(a n ) n 1 = (λa n ) n 1. Abbildung 1: Graph einer Folge. b n = arctan(n), f n = cos(nπ), g n = n 2, h n = ( 1) n n. Folgen Es sei X eine beliebige Menge. Eine Folge mit Werten in X ist eine Abbildung von N nach X. Es wird also jeder natürlichen Zahl n (dem Index) ein Element a n aus X zugeordnet (das n-te Folgenglied).

Mehr

Messung von Rendite und Risiko. Finanzwirtschaft I 5. Semester

Messung von Rendite und Risiko. Finanzwirtschaft I 5. Semester Messung von Rendite und Risiko Finanzwirtschaft I 5. Semester 1 Messung von Renditen Ergebnis der Anwendung der Internen Zinsfuß- Methode ist die Rentabilität des Projekts. Beispiel: A0-100.000 ZÜ1 54.000

Mehr

3.2 Extensive und intensive Größen. Mathematik. Zusammenfassung des physikalischen Teils:

3.2 Extensive und intensive Größen. Mathematik. Zusammenfassung des physikalischen Teils: 3. Extensive und intensive Größen. Mathematik 43 3. Extensive und intensive Größen. Mathematik Zusammenfassung des physikalischen Teils: Wir untersuchen, wie sich bestimmte Größen bei Kontakt B 1 B zweier

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler 1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Springer-Lehrbuch Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik von Karl Mosler, Friedrich Schmid Neuausgabe Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Mosler / Schmid schnell und portofrei

Mehr

(Lineare) stochastische Optimierung

(Lineare) stochastische Optimierung (Lineare) stochastische Optimierung Bsp: Aus zwei Sorten Rohöl wird Benzin und Heizöl erzeugt. Die Produktivität sowie der Mindestbedarf (pro Woche) und die Kosten sind in folgender Tabelle angegeben:

Mehr

Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen. 0 sonst.

Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen. 0 sonst. Aufgabe 1 (2 + 4 + 2 + 1 Punkte) Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y : { 2x + 2y für 0.5 x 0.5, 1 y 2 f(x, y) = 3 0 sonst. a) Berechnen

Mehr

Multivariate Analysis

Multivariate Analysis Kapitel Multivariate Analysis Josef Leydold c 6 Mathematische Methoden I Multivariate Analysis / 38 Lernziele Funktionen in mehreren Variablen Graph und Niveaulinien einer Funktion in zwei Variablen Partielle

Mehr

Übungsrunde 9, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 8, Gruppe 2, 12.12. Markus Nemetz, TU Wien, 12/2006

Übungsrunde 9, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 8, Gruppe 2, 12.12. Markus Nemetz, TU Wien, 12/2006 3.75. Angabe Übungsrunde 9, Gruppe 2 LVA 07.369, Übungsrunde 8, Gruppe 2, 2.2. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 2/2006 X sei eine stetige sg mit Dichte f(x), x R. Ermitteln Sie einen

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 38

Aufgaben zu Kapitel 38 Aufgaben zu Kapitel 38 Aufgaben zu Kapitel 38 Verständnisfragen Aufgabe 38. Welche der folgenden vier Aussagen sind richtig:. Kennt man die Verteilung von X und die Verteilung von Y, dann kann man daraus

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

2 Rationale und reelle Zahlen

2 Rationale und reelle Zahlen 2 reelle Es gibt Mathematik mit Grenzwert (Analysis) und Mathematik ohne Grenzwert (z.b Algebra). Grenzwerte existieren sicher nur dann, wenn der Zahlbereich vollständig ist, also keine Lücken aufweist

Mehr

Analysis I - Stetige Funktionen

Analysis I - Stetige Funktionen Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt

Mehr

Das Markowitz Modell zur Bestimmung optimaler Aktienportfolios

Das Markowitz Modell zur Bestimmung optimaler Aktienportfolios Das Markowitz Modell zur Bestimmung optimaler Aktienportfolios Frank Oertel Departement T Mathematik und Physik Zürcher Hochschule Winterthur (ZHW) CH 840 Winterthur 8. Februar 200 Zielsetzung und Modellansätze

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt 0 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus

Mehr

Chi-Quadrat-Verteilung

Chi-Quadrat-Verteilung Chi-Quadrat-Verteilung Die Verteilung einer Summe X +X +...+X n, wobei X,..., X n unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind, heißt χ -Verteilung mit n Freiheitsgraden. Eine N(, )-verteilte

Mehr

Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen

Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir die Invertierbarkeit von glatten Abbildungen bzw. die Auflösbarkeit von impliziten Gleichungen.

Mehr

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass

Mehr

Kapitel VI. Euklidische Geometrie

Kapitel VI. Euklidische Geometrie Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und

Mehr

Scheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik

Scheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik Universität Karlsruhe (TH) Institut für Stochastik Dr. Bernhard Klar Dipl.-Math. oec. Volker Baumstark Name Vorname Matr.-Nr.: Scheinklausur Stochastik für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik

Mehr

Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2007/2008. Aufgabe 1

Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2007/2008. Aufgabe 1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2007/2008 Aufgabe 1 Ihnen liegt

Mehr

Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2.

Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) = (0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34,...) gilt Rekursion erzeugende Funktion f n2 = f n f n (n 0), f 0 = 0, f = f(z) = f n z n = z z z 2 Partialbruchzerlegung mit φ

Mehr

Definition: Gedächtnis einer Zeitreihe

Definition: Gedächtnis einer Zeitreihe Lang- und Kurzzeitgedächtnis Definition: Gedächtnis einer Zeitreihe k = M = ρ( k) Eine Zeitreihe hat kurzes Gedächtnis M < Arten von Kausalitätsbeziehungen Beziehung Eigenschaften der Kreuzkorrelation

Mehr

I. Deskriptive Statistik 1

I. Deskriptive Statistik 1 I. Deskriptive Statistik 1 1. Einführung 3 1.1. Grundgesamtheit und Stichprobe.................. 5 1.2. Merkmale und Verteilungen..................... 6 1.3. Tabellen und Grafiken........................

Mehr

( ) Lineare Gleichungssysteme

( ) Lineare Gleichungssysteme 102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv

Mehr

Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14

Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14 Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14 Walter Sanddorf-Köhle Statistik und Ökonometrie Foliensatz Nr. 11 Version vom 24. Januar 2014 1 / 45 6.5.1 Bisherige Vorgehensweise zur Berechnung

Mehr

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -E Ma Lubov Vassilevskaya Eindimensionaler Raum Abb. -: Zwei nicht gleiche Vektoren auf der gleichen Gerade Jeden Vektor, der auf einer Geraden liegt, kann man durch

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

Lösung der Prüfung Sommer 2009

Lösung der Prüfung Sommer 2009 Prof. D. Salamon Analysis I/II D-MATH, D-PHYS, D-CHAB ETH Zürich. Juni 9 Lösung der Prüfung Sommer 9. Berechnen Sie folgende Grenzwerte: (a) (b) Hinweis: Regel von de l Hospital. ( ( )) lim n n cos n lim

Mehr

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Dozent: Volker Krätschmer Fakultät für Mathematik, Universität Duisburg-Essen, WS 2012/13 1. Präsenzübung Aufgabe T 1 Sei (Z 1,...,

Mehr

00. Einiges zum Vektorraum R n

00. Einiges zum Vektorraum R n 00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen

Mehr

Wertetabelle : x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1. y = f(x) = x 2 0 0,25 1 4 9 16 0,25 1. Graph der Funktion :

Wertetabelle : x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1. y = f(x) = x 2 0 0,25 1 4 9 16 0,25 1. Graph der Funktion : Quadratische Funktionen ================================================================= 1. Die Normalparabel Die Funktion f : x y = x, D = R, heißt Quadratfunktion. Wertetabelle : x 0 0,5 1 3 4 0,5 1

Mehr

Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung. 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme

Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung. 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung Armin Farmani Anosheh (afarmani@mail.uni-mannheim.de) 3.Mai 2016 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme Einleitung In diesem Vortrag geht es

Mehr

Abbildungseigenschaften

Abbildungseigenschaften Abbildungseigenschaften.5. Injektivität Injektivität (injektiv, linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr