Lehrstuhl für Betriebswirtschaft mit Schwerpunkt Finanzierung Abschlussklausur zur Vorlesung Finanzmanagement. 27. Juli 2000

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1 Lehrstuhl für Betriebswirtschaft mit Schwerpunkt Finanzierung Abschlussklausur zur Vorlesung Finanzmanagement 27. Juli 2000 Aufgabenstellung: Sie sollen den Risiko-adäquaten Zinssatz für einen Kredit mit der Laufzeit von T 2Jahren analysieren; der Kreditnehmer ist bereit, D 20 als Hauptschuld (in Form eines Zero-Bonds) einzugehen. Das Unternehmensvermögen (Sie sind der einzige [potenzielle] Kreditgeber) entwickelt sich wie folgt: V und wobei g eine zeitunabhängige standardisiert normal verteilte Variable und sigma 0.2 ist. Der Zinssatz für erstklassige Kredite (Bonotätsrisiko-freie flache Zinsstruktur) beträgt r 0.05 per annum. a) Ermitte Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Endvermögens und leiten Sie daraus die Erwartungsstruktur ab! Welches Mindestvermögen wird mit Wahrscheinlichkeit p 0.95 b) Berechnen Sie das bereitzustellende Kreditvolumen! (2 Minuten) errreicht? (3 Minuten) c) Berechnen Sie den Risiko-adäquaten per annum Zinssatz und die Risikoprämie im Zins! (5 Minuten) d) Berechnen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit für die Hauptschuld D (Zins und Tilgung) und den Kreditbetrag (Tilgung)! (0 Minuten) e) Nennen Sie alle Einflussfaktoren auf den Risiko-adäquaten Zinssatz und diskutieren Sie ihre Wirkungsrichtung! (20 Minuten) Hilfestellung: Die inverse Funktion von N(h(.)) lautet: h - (N - (.)) Verzinsungen sind als stetig zu unterstellen Verwenden Sie bei Bedarf die beiliegende Tabelle für Werte der standardisierten Normalverteilungsfunktion.

2 Lösung: a) Die Erwartungsstruktur S(p,T) ist definiert als derjenige Vermögenswert, der mit Wahrscheinlichkeit p mindestens in T vorhanden ist. Für stetige streng monoton steigende Verteilungen gilt: Grund: Die Verteilungsfunktion F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass das Vermögen kleiner gleich x ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass x das Mindestvermögen darstellt, errechnet sich also gemäß - F(x). Soll nun mit Wahrscheinlichkeit p ein Mindestvermögen x vorhanden sein, gelten folgende Zusammenhänge: womit sich das gesuchte Mindestvermögen x einfach durch Bilden der Umkehrfunktion F- ermitte lässt. Konkret auf die Aufgabe bezogen bedeutet dies: Der Wert der standard normal verteilten Variable g, der mindestens mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit erreicht wird, lautet: gquer qnorm( p0) gquer Für das dazu gehörende Mindestvermögen errechnen wir V quer V 0 e 0. T gquer V quer b) Das Kreditvolumen entspricht dem Marktwert des Fremdkapitals. Der Marktwert des Fremdkapitals wiederum ergibt sich als Differenz aus dem Wert des Gesamtunternehmens abzüglich dem Wert des Eigenkapitals. Der Wert des Eigenkapitals schließlich kann mit Hilfe der Black/Scholes-Formel bestimmt werden. D.h. 2

3 dstern D V 0 rt sigmat sigma T0.5 Wert EK V 0 knorm dstern sigmat 0.5 De rt ( knorm( dstern) ) Wert EK Wert FK V 0 Wert EK Wert FK c) Der (implizit) vereinbarte Zins z ergibt sich folgendermaßen: z T D Wert FK z Damit erhalten wir für die Risikoprämie RP ( z r) 00 also RP Prozent pro Jahr. d) Berechnen wir zuerst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Hauptschuld D ausfällt: Nun ist freilich nicht die Verteilungsfunkton für V gegeben, sodnern nur die für g. Folglich haben wir das g zu bestimmen, bei dem gilt: V(T) = D. Konkret 3

4 gquer D V 0 0.2T T gquer Die gesuchte Wahscheinlichkeit lautet nun N(gquer), also 00 Wa knorm gquer Wa Prozent Analog ermitte wir für den Ausfall des Kreditbetrages gquer 2 Wert FK V 0 0.2T T gquer und damit 00 Wa 2 knorm gquer 2 Wa Prozent e) Für den Zinssatz gilt 4

5 Für den Wert des EK, also eine Kaufoption, kennen wir die Einflussfaktoren samt Wirkungsrichtung: V(0) steigt => Wert EK steigt D steigt => Wert EK sinkt r steigt => Wert EK steigt T steigt => Wert EK steigt sigma steigt => Wert EK steigt Darauf aufbauend lässt sich der Wert des Bruchs bestimmen: V(0) steigt => Nenner unbestimmt => Wirkung auf z unbestimmt D steigt => Nenner steigt, aber Zähler stiegt ebenfalls => Wirkung auf z unbestimmt r steigt => Nenner sinkt => z steigt T steigt => Nenner sinkt, aber es wird über eine längere Zeit verzinst => Wirkung auf z unbestimmt sigma steigt => Nenner sinkt => z steigt Für numerische Beispiele können freilich konkretere Aussagen getroffen werden. z.b. V(0) = 250 => z = 5,00974 Prozent pro Jahr D = 50 => z = 5,67 Prozent pro Jahr r = 0. => z = 0,039 Prozent pro Jahr T = 5 => z = 5,2355 Prozent pro Jahr sigma = 0.5 => z = 0,22 Prozent pro Jahr 5