Geometrische Brownsche Bewegung und Brownsche Brücke

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1 Seminar: Grundlagen der Simulation und Statistik von dynamischen Systemen SoSe 2012 Geometrische Brownsche Bewegung und Brownsche Brücke Korinna Griesing 10. April 2012 Dozentin: Prof. Dr. Christine Müller

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Statistische Methoden Geometrische Brownsche Bewegung Verschiebung des Startwertes und Startzeitpunktes bei der Brownschen Bewegung Brownsche Brücke Simulationen, Untersuchungen und Beispiele Simulation und Untersuchung der geometrischen Brownschen Bewegung Simulation der Brownschen Brücke Ähnlichkeit der Pfade mit gleichen Parametern Zusammenfassung 10 A Anhang 12 A.1 Zusätzliche Abbildungen A.2 R-Code Literaturverzeichnis 15 2

3 1 Einleitung Im Finanzwesen ist es nützlich, Aktienverläufe simulieren zu können, damit der Verlauf von Aktienwerten nachvollzogen, aber eventuell auch vorausgeplant werden kann. Dafür wird die geometrische Brownsche Bewegung verwendet. Sie nimmt ausschließlich positive Werte an und ist damit gut für diese Art der Verwendung geeignet. Sie wird ein Gegenstand dieses Berichts sein. Eine nützliche Erweiterung der Brownschen Bewegung ist die Brownsche Brücke. Mit ihr ist es möglich, bei festgelegten Start- und Endpunkten den Verlauf eines dynamischen Zufallsprozesses zu simulieren. Diese Methode wird im Laufe des Berichts ebenfalls vorgestellt und untersucht. Der Bericht hat das Buch Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations: With R Examples von Stefano M. Iacus als Grundlage. Zu diesem Buch entwickelte Iacus das Paket sde für das Programm R, in dem nützliche Funktionen zur Simulation der vorgestellten Verfahren implementiert sind, die auch in dieser Ausarbeitung vorgestellt werden. Diese Ausarbeitung beschreibt im Kapitel Statistische Methoden zwei Modifikationen der Brownschen Bewegung, und zwar die geometrische Brownsche Bewegung und die Brownsche Brücke. Außerdem wird hier geschildert, wie der Startwert und der Startzeitpunkt der Brownschen Bewegung verändert werden können. Darauf folgen einige Unterkapitel, die unter der Beschreibung Simulationen, Untersuchungen und Beispiele zusammengefasst werden. Im ersten Unterkapitel wird die Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung beschrieben und veranschaulicht sowie eine Untersuchung der Parameter durchgeführt. Das zweite Unterkapitel beschäftigt sich mit der Simulation der Brownschen Brücke. Das letzte Unterkapitel thematisiert die Ähnlichkeit der Pfade, die die vorliegenden Simulationen mit den gleichen Parametern hervorbringen. Schließlich werden die Ergebnisse in der Zusammenfassung gebündelt dargestellt. Im Anhang befinden sich zwei zusätzliche Abbildungen sowie der R-Code, der verwendet wurde. 3

4 2 Statistische Methoden Im Laufe des gesamten Berichtes geht es um Modifikationen der Brownschen Bewegung, eines stochastischen Prozesses. Daher folgen hier einige kurze Definitionen. Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum gegeben durch (Ω, F, P), ein Messraum durch (S, S) und eine Indexmenge durch I [0, [. Ein stochastischer Prozess ist dann eine Familie X = (X t ) t I messbarer Abbildungen X t : Ω S, t I (vgl. Meintrup und Schäffler, 2005, S.268). Eine Brownsche Bewegung B = (B t ) t 0 ist ein stochastischer Prozess, der folgende Bedingungen erfüllt: B 0 = 0 fast sicher, (B t ) t 0 besitzt unabhängige Zuwächse, die Zuwächse B t B s, 0 s < t sind normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz t s sowie (B t ) t 0 ist ein stetiger Prozess (vgl. Meintrup und Schäffler, 2005, S.342). 2.1 Geometrische Brownsche Bewegung Die geometrische Brownsche Bewegung wird häufig verwendet, um den Kursverlauf einer Aktie zu simulieren. Um positive dynamische Zufallsvariablen zu modellieren, reicht es nicht aus, die Brownsche Bewegung W(t) zu verwenden, da diese normalverteilte Zuwächse hat und somit negative Werte annehmen kann. Außerdem ist es nicht immer gerechtfertigt, stationäre Zuwächse anzunehmen, die nicht vom aktuellen Wert der Zufallsvariable abhängen (vgl. Henking et al., 2006, S.149). Die geometrische Brownsche Bewegung hat multiplikative, unabhängige Zuwächse und ist als Modifikation der Brownschen Bewegung W(t) definiert: S(t) = x exp[(r σ2 )t + σw(t)], t > 0 2 Dabei ist der Startwert gegeben durch S(0) = x, x R. Außerdem sind die Volatilität σ > 0 (Einfluss des Zufalls) sowie der Drift r zwei Konstanten. Neben dieser Definition kann auch eine Definition der geometrischen Brownschen Bewe- 4

5 gung über die Zuwächse von S gegeben werden. Diese Zuwächse sind gegeben durch S(t + t) = S(t) exp[(r σ2 )(t + t t) + σ(w(t + t) W(t))] 2 = S(t) exp[(r σ2 2 ) t + σ tz]. Dabei ist Z normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz 1. Die erste Formel ist ein Spezialfall der generalisierten geometrischen Brownschen Bewegung. Diese Generalisierung beginnt bei x zum Zeitpunkt s und die Bewegung wird beschrieben durch Z s,x (t) = x exp[(r σ2 )(t s) + σ(w(t) W(s))], t s. 2 Dabei ist Z 0,S(0) (t) = S(t) (vgl. Iacus, 2008, S.24 ff.). 2.2 Verschiebung des Startwertes und Startzeitpunktes bei der Brownschen Bewegung Wenn die Brownsche Bewegung zum Startzeitpunkt 0 nicht bei dem Wert 0, sondern dem Wert x beginnt, dann ist der Pfad dieser Bewegung gegeben durch folgende Modifikation der Brownschen Bewegung W(t): W 0,x (t) = x + W(t) Es handelt sich hierbei um eine schlichte Verschiebung der Bewegung entlang der y- Achse. Wenn auch der Startzeitpunkt verändert wird, ergibt sich folgender Pfad: W t0,x(t) = x + W(t) W(t 0 ) Dieser Ausdruck beschreibt die Brownsche Bewegung, die zum Zeitpunkt t 0 mit dem Wert x beginnt. Dabei ist zusätzlich zu einer Verschiebung entlang der x-achse um x eine Verschiebung entlang der y-achse um W(t 0 ) gekommen. Der Prozess kann auch 5

6 durch eine bedingte Wahrscheinlichkeit ausgedrückt werden: W t0,x = {W(t), t 0 t T W(t 0 ) = x}. Es gilt dabei W 0,W (0) (t) = W(t) und W t0,x(t) ist verteilungsgleich zu x + W(t t 0 ) (vgl. Iacus, 2008, S.26 f.). 2.3 Brownsche Brücke Die Brownsche Bewegung dient dann zur Beschreibung von dynamischen Vorgängen, wenn ein Prozess fast sicher bei einem bestimmten Wert beginnt und fast sicher bei einem bestimmten Wert endet (vgl. Meintrup und Schäffler, 2005, S. 350). Der Verlauf der Brownschen Bewegung wird also simuliert, wobei die Werte der Start- und der Endzeit bekannt sind. Es wird sozusagen eine Brücke zwischen diesen beiden Punkten geschlagen. Die Brownsche Brücke ist, wenn die Brownsche Bewegung bei x zum Zeitpunkt t 0 beginnt und durch den Punkt y zur Zeit T, T > t 0 geht, gegeben durch: W T,y t 0,x(t) = x + W(t t 0 ) t t 0 T t 0 (W(T t 0 ) y + x) Der Prozess lässt sich auch durch die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit beschreiben: {W(t), t 0 t T W(t 0 ) = x, W(T) = y} (vgl. Iacus, 2008, S.27). 3 Simulationen, Untersuchungen und Beispiele Alle Simulationen sowie die Erstellung der Grafiken wurden mit dem Programm R vorgenommen (R Development Core Team, 2011). Die im Folgenden vorgestellten Simulationen können mit dem R-Paket sde vorgenommen werden (Iacus, 2009). Dort sind Funktionen zur Simulation der Brownschen Bewegung, der geometrischen Brownschen Bewegung und der Brownschen Brücke implementiert. 6

7 3.1 Simulation und Untersuchung der geometrischen Brownschen Bewegung Ein schlichter Weg, um die geometrische Brownsche Bewegung zu simulieren, ist die Simulation der Brownschen Bewegung und die anschließende Transformation gemäß der Definition im Methodenteil dieser Ausarbeitung. Bei der Simulation müssen nun mehrere Werte festgelegt werden. Natürlich müssen die Parameter Drift t und Volatilität σ festgelegt werden, aber auch das Ende des Intervalls sowie der Startwert und die Schrittgröße. Zu jedem einzelnen Schritt in dem Intervall wird dann zunächst der Wert der Brownschen Bewegung berechnet. Dabei wird für den ersten Schritt der Startwert 0 gewählt. Danach wird die (zufällige) Zunahme zum nächsten Schritt berechnet und aufaddiert. Mit dem so berechneten Wert geht der Algorithmus weiter, bis das Ende des Intervalls erreicht ist. Um nun die Werte der geometrischen Brownschen Bewegung zu erhalten, wird die Reihe der Werte der Brownschen Bewegung gemäß der Definition im Methodenteil transformiert. Natürlich kann auch statt der Einbindung einer Schleife die Verwendung von Vektoren gewählt werden. Diese Art der Simulation ist in dem Paket sde als Funktion BM vorgenommen (Iacus, 2009). In Abbildung 1 ist die Veränderung der Brownschen Bewegung zur geometrischen Brownschen Bewegung veranschaulicht. Es ist klar erkennbar, dass der Pfad der geometrischen Brownschen Bewegung einen Trend nach oben hat. Dieser Trend wird durch den Drift r beschrieben. Der Graph der geometrischen Brownschen Bewegung hat einen stärkeren Ausschlag. Diese Unbeständigkeit wird durch die Volatilität σ beschrieben. Außerdem ist eine Veränderung des Startwertes durchgeführt worden. Abbildung 2 stellt dar, wie sich die Veränderung der Volatilität σ auf den Pfad auswirkt. Ein Pfad mit einer höheren Volatilität ist höheren Schwankungen ausgesetzt. Außerdem erkennbar ist, dass der Pfad eines Prozesses sich umso mehr an die x-achse anschmiegt, je größer die Volatilität ist. Ein weiterer Parameter, der die geometrische Brownsche Bewegung bestimmt, ist der Drift. Dieser Parameter gibt an, inwieweit sich der Pfad der Bewegung nach oben (posi- 7

8 Wert Zeit Abbildung 1: Ein Pfad der normalen Brownschen Bewegung (gestrichelte Linie) und der daraus berechnete Pfad der geometrischen Brownschen Bewegung mit Drift r=1 und Volatilität σ=1 (durchgehende Linie) tiver Drift) oder unten (negativer Drift) orientiert. In Abbildung 5 im Anhang ist veranschaulicht, wie sich eine Veränderung des Drifts auf den Pfad auswirkt. 3.2 Simulation der Brownschen Brücke Die Brownsche Brücke kann wie die geometrische Brownsche Bewegung simuliert werden, indem zuerst die Brownsche Bewegung simuliert und dann entsprechend der Definition modifiziert wird. Auch hier kann entweder eine Schleife verwendet werden, oder die Ergebnisse werden direkt vektorwertig verwendet. Dabei wird bei der Funktion BBridge, implementiert im Paket sde (Iacus, 2009), zunächst ein Pfad der Brownschen Bewegung mit dem Startwert 0 berechnet. Darauf folgend wird eine Modifikation der Werte entsprechend der Definition im Methodenteil vorgenommen. Ein Pfad der Brownschen Brücke ist in Abbildung 3 dargestellt. Zur Veranschaulichung der Modifikation der Brownschen Bewegung zur Brownschen Brücke wurde der entsprechende Graph der Brownschen Bewegung hinzugefügt. 8

9 Wert Zeit Abbildung 2: Pfade der geometrischen Brownschen Bewegung mit Volatilität σ=0.5 (durchgehende Linie), σ=2 (gestrichelte Linie) und σ=5 (gepunktete Linie) 3.3 Ähnlichkeit der Pfade mit gleichen Parametern Es ist bei der Simulation von dynamischen Zufallsvariablen interessant, wie ähnlich sich Pfade mit den gleichen Parametern sind. Je näher die Pfade beieinander liegen, desto besser kann man eventuell abschätzen, wie der tatsächliche Verlauf ist. Natürlich können die Pfade umso weiter auseinander driften, je größer der Zeitraum ist, den sie umspannen. Die Abbildung 4 im Folgenden und die Abbildung 6 im Anhang zeigen jeweils drei verschiedene Pfade der geometrischen Brownschen Bewegung und der Brownschen Brücke mit den gleichen Parametern. Bei der Brownschen Brücke ist der Bereich, den die Pfade einnehmen, relativ begrenzt, da sie einen festen Endpunkt haben. 9

10 Wert Zeit Abbildung 3: Ein Pfad der normalen Brownschen Bewegung (gestrichelte Linie) und der daraus berechnete Pfad der Brownschen Brücke, der bei 0 beginnt und bei -1 endet (durchgehende Linie) mit einer Markierung des gesetzten Endwertes (gepunktete Linie) 4 Zusammenfassung Das Ziel des Berichtes ist es, eine verständliche und ausführliche Darstellung, Simulation und Untersuchung von zwei Modifikationen der Brownschen Bewegung, und zwar der geometrischen Brownschen Bewegung und der Brownschen Brücke, zu liefern. Dazu wird vor allem das Buch Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations: With R Examples von Stefano M. Iacus verwendet. Die geometrische Brownsche Bewegung besitzt zwei Parameter, mit denen eingestellt wird, sodass eine gute Anpassung an reale Verläufe zu erwarten ist. Die Brownsche Brücke kann gut verwendet werden, um einen Verlauf eines dynamischen Prozesses zwischen zwei Punkten zu simulieren. So ist der Verlauf der Pfade eingeschränkt, da sie nicht wegdriften können, sondern einen klaren Endpunkt haben. Der Pfad einer Simulation der Brownschen Brücke oder einer geometrischen Brownschen Bewegung sollte keinesfalls als einziges Vorbild für eine reale Entwicklung genommen werden, da die möglichen Pfade sich sehr voneinander unterscheiden können. Vielmehr stellt ein Pfad eine von unendlich vielen Möglichkeiten des Verlaufs 10

11 Wert Zeit Abbildung 4: Drei Pfade der geometrischen Brownschen Bewegung mit gleichen Parametern dar. Sehr interessant wäre eine weitere Untersuchung der Ähnlichkeit der Pfade der hier vorgestellten Modifikationen der Brownschen Bewegung. So könnte man einschätzen, in welchen Bereich die Pfade der dynamischen Prozesse sich unter den gegebenen Voraussetzungen mit hoher Wahrscheinlichkeit bewegen. Es könnte auch genauer betrachtet werden, warum ein Pfad der geometrischen Brownschen Bewegung umso eher an die x-achse rückt, wenn die Volatilität hoch ist. Ebenfalls interessant ist unter Umständen eine Vereinigung der beiden hier vorgestellten Verfahren, also eine Art geometrische Brownsche Brücke. So könnte beispielsweise der Kursverlauf von Aktien simuliert werden, wenn der Startwert und der Endwert einer Aktie bekannt ist. 11

12 A Anhang A.1 Zusätzliche Abbildungen Wert Zeit Abbildung 5: Pfade der geometrischen Brownschen Bewegung mit Drift r=1 (durchgehende Linie), r=0 (gestrichelte Linie) und r=-1 (gepunktete Linie) Wert Zeit Abbildung 6: Drei Pfade der Brownschen Brücke mit gleichen Parametern 12

13 A.2 R-Code # Geometrische Brownsche Bewegung r <- 1 # Drift sigma <- 1 # Volatilität x <- 1 # Startwert zum Zeitpunkt 0 N <- 100 # Anzahl der Punkte, zu denen Veränderung berechnet wird/ x-werte T <- 1 # Länge des Intervalls [0,T] in Zeiteinheiten Delta <- T/N # Zeiterhöhung/ Schrittgröße W <- numeric(n+1) # Vektor, der später überschrieben wird t <- seq(0,t,length=n+1) # Vektor der einzelnen x-werte for(i in 2:(N+1)) { W[i] <- W[i-1] + rnorm(1) * sqrt(delta) # Brownsche Bewegung } S <- x * exp((r-sigma^2/2)*t + sigma*w) # Geometrische Brownsche Bewegung # Abbildung: Veränderung der BM zur GBM plot(t,s,type="l", xlab="zeit", ylab= "Wert", xlim=c(0,1), ylim=c(-0.2,4.5)) lines(t,w,lty=2) # Brownsche Brücke N <- 100 T <- 1 Delta <- T/N W <- numeric(n+1) t <- seq(0,t, length=n+1) for(i in 2:(N+1)){ W[i] <- W[i-1] + rnorm(1) * sqrt(delta) # Brownsche Bewegung } x <- 0 # Startwert zum Zeitpunkt 0 y <- -1 # Endwert zum Zeitpunkt T BB <- x + W - t/t * (W[N+1] - y + x) # Brownsche Brücke # Abbildung: Veränderung der BM zur BBridge plot(t,bb,type="l", xlab="zeit", ylab="wert", ylim=c(-1.5,1)) lines(t,w,lty=2) abline(h=-1, lty=3) # Linie auf der Höhe des Endwertes # nur nötig, falls Funktionen nicht manuell definiert werden: # require(sde) ## Simulation der Brownschen Bewegung BM <- function(x=0, t0=0, T=1, N=100){ if(t<= t0) stop("wrong times") dt <- (T-t0)/N # Schrittgröße t <- seq(t0,t, length=n+1) # Zeitvektor X <- ts(cumsum(c(x,rnorm(n)*sqrt(dt))), start=t0, deltat=dt) # Berechnung über Zunahmen (cumsum) return(invisible(x)) # Ausgabe als Zeitreihenobjekt } ## Simulation der Brownschen Brücke BBridge <- function(x=0, y=0, t0=0, T=1, N=100){ if(t<= t0) stop("wrong times") dt <- (T-t0)/N # Schrittgröße t <- seq(t0, T, length=n+1) # Zeitvektor X <- c(0, cumsum(rnorm(n)*sqrt(dt))) # Berechnung Brownsche Bewegung bei null beginnend BB <- x + X - (t-t0)/(t-t0)*(x[n+1]-y+x) # Berechnung Brownsche Brücke gemäß Formel X <- ts(bb, start=t0, deltat=dt) # Zeitreihenobjekt return(invisible(x)) } ## Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung GBM <- function(x, r=0, sigma, T=1, N=100){ 13

14 tmp <- BM(T=T, N=N) # Berechnung der Brownschen Bewegung S <- x * exp((r-sigma^2/2)*time(tmp) + sigma* as.numeric(tmp)) X <- ts(s, start=0, deltat=1/n) return(invisible(x)) # Ausgabe als Zeitreihenobjekt } ## Abbildungen zur GBM # Volatilität verändern plot(gbm(x=5,r=1,sigma=0.5,t=1,n=100), xlab="zeit", ylab= "Wert", ylim=c(0,20)) lines(gbm(x=5,r=1,sigma=2,t=1,n=100), lty=2) lines(gbm(x=5,r=1,sigma=5,t=1,n=100), lty=3) # Drift verändern plot(gbm(x=5,r=1,sigma=0.5,t=1,n=100), xlab="zeit", ylab= "Wert", ylim=c(0,20)) lines(gbm(x=5,r=0,sigma=0.5,t=1,n=100), lty=2) lines(gbm(x=5,r=-1,sigma=0.5,t=1,n=100), lty=3) # verschiedene Graphen plot(gbm(x=5,r=1,sigma=0.5,t=1,n=100), xlab="zeit", ylab= "Wert", ylim=c(4,20)) set.seed(234) lines(gbm(x=5,r=1,sigma=0.5,t=1,n=100), lty=2) set.seed(345) lines(gbm(x=5,r=1,sigma=0.5,t=1,n=100), lty=3) ## Abbildungen zu BBridge # verschiedene Graphen plot(bbridge(x=0, y=-1, t0=0, T=1, N=100), xlab="zeit", ylab= "Wert", ylim=c(-1.5,0.5)) set.seed(234) lines(bbridge(x=0, y=-1, t0=0, T=1, N=100), lty=2) set.seed(345) lines(bbridge(x=0, y=-1, t0=0, T=1, N=100), lty=3) 14

15 Literaturverzeichnis Henking, A., Bluhm, C., Fahrmeir, L. (2006): Kreditrisikomessung: Statistische Grundlagen, Methoden und Modellierung, 1. Auflage, Springer, Berlin. Iacus, S. M. (2008): Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations: With R Examples, 1. Auflage, Springer, New York. Iacus, S. M. (2009): sde: Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations, R package version Meintrup, D. und Schäffler, S. (2005): Stochastik: Theorie und Anwendungen, 1. Auflage, Springer, Berlin. R Development Core Team (2011): R : A language and environment for statistical computing, R Foundation for Statistical Computing, Wien, Österreich, URL 15