Zahlensysteme. Dezimalsystem. Binär- oder Dualsystem. Hexadezimal- oder Sedezimalzahlen

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1 IT Zahlesysteme Zahledarstellug eem Stellewertcode (jede Stelle hat ee bestmmte Wert) Def. Code: Edeutge Abbldugsvorschrft für de Abbldug ees Zeche-Vorrates eem adere Zechevorrat. Dezmalsystem De Bass (b) des Dezmalsystems st b= De Zffer (a) des Dezmalsystems sd a.. a =... 9 De höchste Zffer st b-=9 Bespel: 3465 = 3* + 4* + 6* + 5* 3 2 = 3 * + 4* + 6* + 5* 3 2 z = a 3 * + a2 * + a * + a * z = a = = a b Allgemee Schrebwese b + a b +... a b + a b Bär- oder Dualsystem De Bass (b) des Bärsystems st b=2 De Zffer (a) des Bärsystems sd a.. a =, De höchste Zffer st Bespel: b = 9d (b für bär) (d für dezmal) = * 2 + * 2 + * 2 + * 2 + * 2 = *6 + *8 + *4 + *2 + * = 9d z = a = = a 2 Allgemee Schrebwese 2 + a a 2 + a 2 Hexadezmal- oder Sedezmalzahle De Bass (b) des Hexadezmalsytems st b=6 De Zffer (a) des Hexadezmalsytems sd : Hex A B C D E F Dez De höchste Zffer st b- = Fh (5d) z = a = = a 6 Allgemee Schrebwese 6 + a a 6 + a 6

2 Koverterugsverfahre Dezmal Æ Bär 7d Æ b. Methode => Poteze vo 2 (bär) ( 2 ) => Kommt der 7 vor (mt 64 afage) 7d Æ b => Poteze vo 2 (bär) => Kommt der 7 vor 2. Methode 7d 7d 7 : 2 = 35 Rest!!Bäre Zahl vo 7 : 2 = 85 Rest 35 : 2 = 7 Rest ute lese!!!!!!!! 85 : 2 = 42 Rest 7 : 2 = 8 Rest 42 : 2 = 2 Rest 8 : 2 = 4 Rest... 2 : 2 = Rest 4 : 2 = 2 Rest 3. Zffer : 2 = 5 Rest 2 : 2 = Rest 2. Zffer 5 : 2 = 2 Rest : 2 = Rest. Zffer 2 : 2 = Rest _ : 2 = Rest 7d = b 7d = b Merke: Be der 2. Methode mmer durch de Bass des Zahlesystems dvdere.

3 Dezmal Æ Hex 259d Æ 3h. Methode => Poteze vo 6 (hex) 3 (6 ) 2 (6 ) (6 ) (6 ) 3 => Kommt der 259 vor (mt 256 afage) 838d Æ => Poteze vo 6 (hex) 3 (6 ) 2 (6 ) (6 ) (6 ) 4 7 C C => Kommt der 259 vor (mt 496 afage) Am beste ach folgedem System: 838 : 496 = 4,48... also 4x 496 Æ 4 *496 = = 996 Restbetrag (mt desem Wert weterreche)æ 996 : 256 = 7,79... also 7x 256 Æ 7*256 = = 24 Restbetrag (mt desem Wert weterreche)æ 24 : 6 = 2,75 also 2x 6!!! 2d st = Ch!!!! also Cx 6 Æ 2*6 = = 2 (mt desem Wert weterreche)æ 2 : = 2 also 2x... also Cx Æ 47CCh 2. Methode 259d 838d 259 : 6 = 6 Rest 3 3. Zffer 838 : 6 = 48 Rest C (2d) 6 : 6 = Rest 2. Zffer 48 : 6 = 7 Rest C (2d) : 6 = Rest. Zffer 7 : 6 = 4 Rest 7 4 : 6 = Rest 4 259d = 3h 838d = 47CCh Merke: Be der 2. Methode mmer durch de Bass des Zahlesystems dvdere.

4 Bär Æ Hex b Æ 9FCh De bäre Zahl verer-päckche auftele: b Expoete der Bass (2,2,2,2 = 8,4,2,,) Bär-Zahl Ergebs der Addto, das de Hex Wert ergbt Addto der Expoete der bäre -Werte Hex Zahl 9 F C Hex Æ Bär 8BF3h Æ b Hex Zahl 8 B (d) F (5d) 3 b Expoete der Bass (2,2,2,2 = 8,4,2,,) Welche adderte Expoete ergebe als Summe de Hex Zahl? Umwadel bär, wobe cht adderte Expo. = Ud aderte Expo. = Bär-Zahl b

5 Bäre Arthmetk Addto Summe Übertrag Be der Addto mmer ach der Tabelle gehe Bespel: + _ Übertrag Üt= Übertrag + = Üt ++(Üt.) = Üt ++(Üt) = + = Üt Üt = Subtrakto. Methode Dfferez Etlehug (borrow) Be der Subtrakto mmer ach der Tabelle gehe. Bespel: - _ 2. Methode : Komplemetäraddto Bsp: 26D => b Efach umgerechet, -D => - b st so aber mcht möglch, _ erst das 2er Komplemet 5D => b blde (sehe Kaste). Schrtt b -b ausfülle der leere Stelle Schrtt b +b Eerkomplemet -> vertere + b Zweerkomplemet -> addere Schrtt b addere +b b Bldug des 2er Komplemets: Das Komplemet eer Bärzahl erhält ma, dem ma jede durch ee ud jede durch ee ersetzt (vertere). Da zusätzlch ee addere. b => 2er Kompl. = b b (I Addtos-Tabelle + b achschaue) b Ergebs legt cht als Komplemet Zahl vor soder st das korrekte Ergebs (Da erste Zffer de st)

6 Bsp 2 : D => b Efach umgerechet, -26D => - b st so aber mcht möglch, _ erst das 2er Komplemet -5D => b blde (sehe Kaste) Vorrscht: Der Tascherecher zegt als Ergebs a, rchtg sd aber 8 Stelle, wobe de 8. etweder für egatves Ergebs oder für e postves Ergebs st.. Schrtt b ausfülle der leere Stelle Also we bem 3. Schrtt de. Zffer (also der letze Übertrag) st st des das korrekte -b Ergebs We der letzte Übertrag st muss weder 2. Schrtt b vertert ud + gerechet werde. + b Eerkomplemet -> vertere Deses Ergebs wrd da vor das erste + b gehägt (!!cht mehr als 8 Stelle sgesamt) Am beste de Tabelle schaue ud auf 3. Schrtt b addere de Zettel - sehe Ahag- +b b Ergebs legt als Komplemet vor ud st egatv, also weder vertere ud + 4. Schrtt b Eerkomplemet vom Ergebs (b vertert) + b Zweerkomplemet -> addere _ b => vor erstes Ergebs schebe => b Ps: Vorzechebehaftete Dualzahle ee sch de gägge Programmersprache Sgerte Dualzahle (sged Iteger) Ahag: Subtrakto durch Komplemetäraddto Dezmalsystem Normalschrebwese Komplemetäradto 9D => 9D - 2D => + 8D Zeherkomplemet vo 2 _ 7D => 7D Kee Komplemetzahl (wel als Übertrag, dese fällt weg) 8D => 8D - 9D => + D Zeherkomplemet vo 9 _ -D => 9D 9 Ergebs st ee Komplemetzahl (wel als Übertrag) also weder Koplemet vo 9 zur Bass st also -.

7 Multplkato Dfferez * * * * Be der Multplkato mmer ach der Tabelle gehe. Bespel: * Auf de rchtge Schreb- wese achte. Schräg versetzt ud da addere Dvso Bespel: : Auf de rchtge Schreb- wese achte. drekt utereader ud da addere Das sd de relevate Stelle, der letzte Übertrag fällt raus, Ergebs :

8 Grudlage der Dgtaltechk Lösugsmöglchkete ƒ Dgtale Verküpfugsgleder (Logkbaustee) ƒ Verbdugsprogrammerte Steuerug (z.b. mehrere Schalter htereader ƒ Specherprogrammerbare Steuerug SPS) ƒ Pc clusve Programm (IPC => Idustre-Pc) ƒ Mcro-Cotroller (µc) ƒ Programmerbare Logcbaustee (PLD) z.b. GAL, PAL... Boolesche Algebra Wahrhetstabelle vo ODER A B Q Q = A ( UND) B + ( ODER) A B+ A B = A + B Rechegesetzte. Kommutatvgesetze A B = B A A + B = B + A 2. Assozatvgesetze A ( B C) = ( A B) C = A B C A + ( B + C) = ( A + B) + C = A + B + C 3. Dstrbutvgesetze A ( B + C) = ( A B) + ( A C) A + ( B C) = ( A + B) ( A + C) => De Rechearte sd glechragg (k.p.vor- Rech.) 4. Absorptosgesetze A + A = A A A = A A + = A A = A + = A = A

9 5. Gesetz der doppelte Vereug A = A 6. De Morgasche Idettäte A B = A+ B A + B = A B 7. Zusatz A + A = A A = Verküpfugsglechuge Bespel Atvalez. Dsjuktve Normalform De ezele Varable werde durch UND verküpft, de Telaussage durch ODER a) y ( A B) + ( A B) = b) y = ( A B ) + ( A B) _ 2. Kojuktve Normalform De Ezele Varable werde durch ODER verküpft, de Telaussage durch UND. a) y = ( A + B) ( A+ B) _ b) y = ( A + B ) ( A + B) Aufgabe (sehe Zettel auf achfolgeder Sete) A Geld B Kaffee C Tee D Kaffee Abgabe E Tee Abgabe Q Wasser Becher

10 De Azahl der Kombato ( 2 ) st abhägg vo der Azahl der Varable, desem Fall(Varable A,B ud C also 3) 2³ = 8 Kombatosmöglchkete (Zele der Tabelle) ( ) = UND D = A B C E = A B C Q = A B C A B C ( + ) = ODER Das etsprechede Schaltugsgatter: A B C D E Q = NICHT Ö UND Gatter Ö Iverter (Ncht) Ö ODER Gatter Aufgabe 3: (Pascal Programm das de Wertetabelle der UND bzw ODER Fukto ausgbt) PROGRAM xyz; USES crt; VAR,j : boolea; BEGIN CLRSCR; FOR j:= false TO true DO FOR := false TO true DO WRITELN (j : 6, : 6, j AND :6 ) // XOR statt AND für oder Fukto END. Aufbau eer Schaltug ausschleßlch mt dem Bauste 74 (NAND Gatter) ) Ncht Verküpfug : Zel y = A Wr habe y = A B A y = A A A B Iverter (Parallelgeschaltete Egäge, aus A wrd B) y = A (Adsorptosgesetz A A = A ) Y 2) UND Verküpfug : Zel y = A B Wr habe y = A B A y = A B (Doppelte Vereug => postv, also y = A B B Y I Rehe geschaltet => postv

11 3) ODER Verküpfug : Zel y = A + B Wr habe y = A B A y = A + B (Doppelte Vereug) => A y = B Y B 2 Iverter für ee Schaltug

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