Simulink 1. Simulink Grundlagen

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1 Simulink Simulink Grundlagen Einleitung Simulink it eine Blocket-Erweiterung von MATLAB zur Modellierung, Simulation und Analye dynamicher Syteme. Die graphiche Benutzeroberfläche erlaubt die Dartellung de Sytem in Form eine Signalflußplane betehend au verknüpften Funktionblöcken. In einer umfangreichen Bibliothek teht eine große Anzahl vordefinierter Funktionblöcke zur Verfügung. Bevor man mit Simulink (aktuelle Verion 6.3) arbeiten kann, muß MATLAB getartet werden. Nach Eingabe de Befehl imulink auf der Kommandozeile bzw. über da Launch Pad nach Start - Simulink - Library Brower oder über da Simulink-Symbol im MATLAB-Toolbar erhält man den Simulink Library Brower (Abb. ). Abb. Der Simulink Library Brower.

2 Simulink 2 Alle Funktionblöcke ind nach einem einfachen Muter aufgebaut: Jeder Block hat einen Namen und einen oder mehrere Ein- und Augänge (Aunahmen ind die Blöcke der Source- und Sink-Bibliothek). Der Name kann vom Benutzer geändert werden (Linkdoppelklick auf den Namen). Bei Link-Doppelklick auf den Block wird die Block Parameter Dialogbox geöffnet. Ein Rechtklick auf den Block öffnet da zugehörige Kontextmenü mit Befehlen zum Editieren und Formatieren de Block. Simulink untercheidet zwei Arten von Funktionblöcken: Nichtvirtuelle Blöcke betimmen da dynamiche Verhalten de Simulink-Modell (Beipiele: Integrator-, Sum- oder Product-Blöcke). Virtuelle Blöcke dienen nur zur graphichen Organiation eine Simulink-Modell und verändern da Sytemverhalten nicht (Beipiele: Mux- oder Scope-Blöcke). 2 Ertellen eine Simulink-Modell Vom Library Brower au können neue Simulink-Modelle durch da Menü File - New - Model geöffnet werden. Beim Speichern erhält eine Simulink-Datei die Erweiterung.mdl (Textfile). Simulink kann fat auchließlich mit der Mau bedient werden. Funktionblöcke werden durch Ziehen bei gedrückter linker Mautate vom Library Brower in da Fenter de aktuellen Simulink-Modell übernommen. Zum Editieren eine Signalflußplane tehen unter anderen folgende Möglichkeiten zur Verfügung: Kopieren: Drag & Drop mit der rechten Mautate kopiert einen Block. Verchieben: Mit der linken Mautate kann ein Block poitioniert werden. Markieren: Mit der linken Mautate können einzelne Blöcke durch Anklicken augewählt oder um mehrere Blöcke ein Auwahlrahmen gezogen werden. Vergrößern/Verkleinern: Markierte Blöcke können durch Ziehen an einer Ecke mit der linken Mautate in ihrer Göße verändert werden. Löchen: Markierte Blöcke und Linien werden über den Menübefehl Edit - Clear gelöcht. Einzelne Bearbeitungchritte können mit Edit - Undo rückgängig gemacht werden. Subyteme: Zuammenhängende Teilyteme können markiert und über den Menüpunkt Edit - Create Subytem zu einem Subytem zuammengefaßt werden. Verbinden zweier Blöcke: Man klickt mit der linken Mautate auf den Augang eine Block und zieht bei gedrückter Tate die Mau bi zu einem Blockeingang. Nach dem Lolaen wird die Verbindunglinie erzeugt. Ein Signal kann verzweigt werden, indem man mit der rechten Mautate auf eine bereit betehende Verbindunglinie klickt und von dort bei gedrückter Tate eine Verbindunglinie zu einem Block zieht. Verchieben einer Linie: Mit der linken Mautate können Eckpunkte beliebig und Geradentücke parallel verchoben werden. Formatieren eine Block: Nach Klick mit der rechten Mautate auf einen Block über da Kontextmenü unter Format (z.b. Schrift) bzw. Forground color und Background color.

3 Simulink 3 3 Signale und Datentypen Simulink verteht unter dem Begriff Signale Daten, die während der Simulation eine Modell an den Augängen der Funktionblöcke ercheinen (man könnte ich vortellen, daß ie während einer Simulation an den Verbindunglinien entlanglaufen, ohne dafür Zeit zu benötigen). Signale haben in Simulink charakteritiche Merkmale, die vom Benutzer fetgelegt werden können, wie einen Namen, eine Dimenion oder einen Datentyp. Hinichtlich der Dimenion werden drei Typen unterchieden: Skalare Signale und Vektor-Signale (D-Signale): beitzen nur eine Dimenion, nämlich ihre Länge n. Matrix-Signale (2D-Signale, Array): beitzen zwei Dimenionen, [m n]. Darunter fallen auch Zeilen- und Spaltenvektoren ([ n] und [m ]). Je nach Art können Funktionblöcke Signale einer oder mehrerer Dimenionen an ihrem Eingang akzeptieren oder am Augang augeben. Jedem Signal it in Simulink ein betimmter Datentyp zugewieen. Simulink untertützt ebenfall die von MATLAB untertützten Datentypen. Der Default-Datentyp eine Simulink-Signal it double. 4 Die Bibliotheken Source und Sink Contant Step Pule Generator Sine Wave Der Contant-Block erzeugt einen zeitunabhängigen reellen oder komplexen Wert. Dieer kann ein Skalar, ein Vektor oder eine Matrix ein, je nachdem, wa im Parameter Contant value angegeben wird. Mit Hilfe de Step-Block kann ein tufenförmige Anregungignal erzeugt werden. In der Dialogbox Block Parameter de Kontextmenü können Anfang- und Endwert de Sprungignal owie der Zeitpunkt de Sprung fetgelegt werden. Der Pule Generator-Block gibt Rechteckimpule al Anregung au. Amplitude und Frequenz können beliebig gewählt werden. Weiter kann noch die Zeit (in % der Periodendauer) eingetellt werden, in der da Signal verchieden von Null it (duty cycle). Dieer Block erzeugt Sinu-Signale y(t) = A in(ω t + ϕ). Al Parameter können Amplitude A, Kreifrequenz ω und Phae ϕ angegeben werden.

4 Simulink 4 Clock Scope XY Graph imout To Workpace Der Clock-Block liefert in jedem Simulationchritt die aktuelle Simulationzeit. Mit dem Scope-Block können während einer Simulation Signale dargetellt werden. Wird ein Scope-Fenter durch Doppelklick vor der Simulation geöffnet, kann der Verlauf der auf den Scope-Block geführten Signale direkt mitverfolgt werden. Die Button im Toolbar de Scope- Fenter ermöglichen ein Vergrößern von Teilbereichen, eine automatiche Achenkalierung, eine Speicherung der Acheneintellungen owie ein direkte Drucken der Kurven. Ein XY Graph tellt eine kalaren Eingangignale in einer MATLAB- Figur dar. Dabei wird der obere Eingang der x-ache, der untere der y-ache zugeordnet. In der Dialogbox Block Parameter de Kontextmenü können die Limit der Achen manuell eingetellt werden. Der Block To Workpace au der Sink-Bibliothek chreibt eine Eingangdaten auf den MATLAB-Workpace in Form eine Array, einer Structure oder Structure with time und benennt diee mit dem unter Variable name eingetragenen Namen. Um Daten der geamten Simulation zu erfaen, ollte unter Limit data point to lat der Parameter inf eingetragen werden. Der To Workpace-Block chreibt keine Zeitwerte; diee können jedoch über die entprechende Check-Box im Regiter Data Import/Export der Dialogbox Configuration Parameter unter dem Menü Simulation gepeichert werden. 5 Die Bibliothek Math Operation Product Der Augang de Sum-Block it die Summe einer Eingangignale. Sind alle Eingangignale kalar, o it auch da Augangignal kalar. Bei gemichten Eingangignalen wird elementweie addiert. Der Product-Block führt eine elementweie Multiplikation oder eine Matrix-Multiplikation bzw. Diviion einer Eingangignale durch, abhängig vom Wert der Parameter Multiplication und Number of input. e u Math Function in Trigonometric Function Im Math Function-Block teht eine Anzahl von vorgegebenen mathematichen Funktionen zur Verfügung, wie z.b. Exponential- und Logarithmufunktionen. Diee können unter Function direkt augewählt werden. Analog tellt der Trigonometric Function-Block alle wichtigen trigonometrichen Funktionen zur Verfügung.

5 Simulink 5 Gain Slider Gain Der Gain-Block vertärkt ein Eingangignal mit dem Audruck, der unter Gain angegeben wurde. Die kann ein numericher Wert oder eine Variable au dem aktuellen MATLAB-Workpace ein. Über Multiplication kann eingetellt werden, ob eine elementweie oder eine Matrix- Multiplikation tattfinden oll. Der Slider Gain-Block erlaubt die interaktive Eintellung eine kalaren Vertärkungfaktor während der Simulation über einen Schieberegler (öffnet ich bei Link-Doppelklick auf den Block). Weiter können die Grenzen de Schiebereglerbereich unter Low und High angegeben werden. 6 Die Bibliotheken Port & Subytem und Signal Routing In Subytem Out Der Subytem-Block dient dem Ertellen von Teil- oder Unterytemen eine Simulationmodell. Die Verbinding zur nächthöheren Modellebene gechieht durch Einfügen von Inport-Blöcken für Eingangignale und Outport-Blöcken für Augangignale. Ein Subytem kann auf zweierlei Arten ertellt werden:. In einem betehenden Modell werden die Funktionblöcke, die zu einem Subytem zuammenfaßt werden ollen, mit Hilfe eine Auwahlrahmen markiert. Im Menü Edit wird dann der Punkt Create Subytem gewählt; damit eretzt Simulink die markierten Blöcke durch einen Subytem-Block. Ein Link-Doppelklick auf dieen Block öffnet ein neue Fenter mit dem Namen de Subytem-Block. Die Ein- und Augangignale de Subytem werden mit der darüber liegenden Sytemebene automatich durch Inport- und Outport-Blöcke verknüpft. 2. Au der Bibliothek Port & Subytem wird der Block Subytem in da aktuelle Modell kopiert. Mit einem Link-Doppelklick wird da noch leere Fenter geöffnet, in da nun die gewünchten Funktionblöcke eingefügt werden können. In Out Inport- und Outport-Blöcke tellen allgemein die Eingänge zu und Augänge von einem Simulationmodell dar. In der Block parameter Dialogbox kann unter Port number die Blocknummer angegeben werden. Auf der oberten Modellebene können Daten au dem Workpace eingeleen bzw. dorthin gechrieben werden (dazu muß jedoch im Regiter Data Import/Export der Dialogbox Configuration Parameter im Menü Simulation die Input- bzw. Output-Checkbox aktiviert ein). Mit dem Mux-Block können wie mit einem Multiplexer Einzelignale zu einem neuen Signal zuammengefaßt werden. Unter Number of input können Anzahl, Dimenion und Namen der Eingangignale angegeben werden.

6 Simulink 6 7 Die Bibliotheken Continuou und Dicontinuitie Der Integrator-Block liefert da Integral y(t) eine Eingangignal u für den aktuellen Zeitpunkt t: Integrator du/dt Derivative y(t) = y 0 + t t 0 u(τ)dτ Der Anfangwert y 0, von dem au integriert wird, kann in der Block Parameter Dialogbox direkt geetzt werden durch Wahl von internal unter Initial condition ource und Eingabe de Startwert in da Textfeld Initial condition. Der Derivative-Block führt eine Differentiation eine Eingangignal u durch. Der Augang berechnet ich zu u/ t, wobei jeweil die Änderung der entprechenden Größe eit dem letzten Simulationchritt bezeichnet. Saturation Der Saturation-Block begrenzt den Maximalwert de Eingangignal nach oben (Upper limit) und nach unten (Lower limit). 8 Drucken von Simulink-Modellen Genauo wie MATLAB-Figure können auch Simulink-Modelle exportiert werden. Mit print -name wird da Modell name auf dem Standard-Drucker augegeben (print - druckt da aktuelle Modell). Da Drucken über da Menü File - Print läßt jedoch die Eintellung mehrerer Druckoptionen zu. Der Export eine Simulink-Modell in eine Datei erfolgt analog zu MATLAB-Figure mit der Anweiung print -name -dformat -option filename Dabei it name der Name de Simulink-Modell und format da Graphikformat. Beipielweie peichert >> print -neu -dep neu.ep da Simulink-Modell neu im Format Encapulated PotScript in eine Datei mit dem Namen neu.ep.

7 Simulink 7 9 Simulationparameter Vor dem Start einer Simulation ollten die Simulationparameter über da Menü Simulation in der Dialogbox Configuration Parameter fetgelegt werden. Dort ind alle Parameter mit Default- Werten belegt. Die Dialogbox Configuration Parameter it in mehrere Regiter unterteilt: Solver Hier können Beginn und Ende der Simulation owie der Integrationalgorithmu (Solver) mit Schrittweiten und Fehlerchranken fetgelegt werden (Abb. 2). Abb. 2 Regiter Solver der Configuration Parameter Dialogbox. Data Import/Export Über diee Regiter können Daten auf den MATLAB-Workpace gechrieben oder von dieem geleen werden, ohne entprechende Blöcke wie To Workpace oder From Workpace im Modell zu verwenden. Auganggrößen de Modell (die auf einen Outport-Block geführt ind) können durch Aktivierung der Check-Box Output unter dem eingetragenen Variablennamen auf den Workpace gepeichert werden (Abb. 3). Abb. 3 Regiter Data Import/Export der Configuration Parameter Dialogbox.

8 Simulink 8 0 Simulation von Differentialgleichungen Eine große Anzahl dynamicher Syteme kann in folgender Form gechrieben werden: y (n) (t) = f (y (n ) (t),...,y () (t),y(t),u(t),t) y (n ) (0) = y n y (n 2) (0) = y n 2. y () (0) = y y(0) = y 0 () Die Simulation eine dynamichen Sytem erfolgt in zwei Schritten: (a) Ertellung eine graphichen Simulink-Modell und (b) Simulation de Sytemverhalten über da intereierende Zeitintervall. Die Ertellung eine graphichen Simulink-Modell von () beginnt mit der Annahme, daß die höchte Ableitung y (n) (t) von y(t) bekannt it. Durch Integrator-Blöcke werden die retlichen Ableitungen bi zu y(t) elbt erhalten. Jeder Integrator-Block wird mit der entprechenden Anfangbedingung y (n ) (0),...,y(0) initialiiert. Danach wird mit Hilfe der Funktion f (.) die höchte Ableitung, die zuvor al bekannt angenommen wurde, nachgebildet, da nun alle Variablen, die dazu benötigt werden, zur Verfügung tehen. Schließlich wird der Augang de Block, der f (.) implementiert, auf den Eingang de erten Integrator-Block zurückgeführt, odaß eine Schleife mit den Integratorblöcken und dem f (.)-Block entteht (Abb. 4). y n- y n-2 y n-3 y 0 y (n) y (n-) y (n-2) y (n-3) y(t) (n-) f( y (t),..., y(t), u(t), t ) u(t) Abb. 4 Simulation von Differentialgleichungen (nach [2]). Die eigentliche Simulation beteht au zwei Etappen: Bei der Initialiierung werden die Parameter der Blöcke initialiiert, danach werden die Blöcke in einer Reihenfolge ortiert, welche die Aktualiierung der zugeordneten Variablen ermöglicht. In der Etappe der Simulation wird ein numeriche Integrationverfahren (Solver) eingeetzt, um die Variablen der Blöcke zu aktualiieren. Zum Schluß werden die Dartellungen (z.b. die Scope-Blöcke) aktualiiert.

9 Simulink 9 0. Da Modellproblem y (t) = y(t) y (t) Integrator y(t) y (t) = y(t) y(0) = Scope Abb. 5 Simulink-Modell für y (t) = y(t). 0.2 Ein Modell für die Aubreitung einer anteckenden Krankheit Wir betrachten die Differentialgleichung dy(t) dt = k y(t) [ y(t)], y(0) = y 0, (2) wobei y(t) den Anteil der zur Zeit t infizierten Individuen einer Population dartellt und k eine poitive Kontante it, welche von der Bevölkerungdichte owie von der Infektioität der Krankheit abhängt. y 0 it der Anteil der zu Beginn, d.h. zur Zeit t = 0, infizierten Individuen. y (t) Integrator y(t) Scope Product k*y(t) y(t) 0.2 k Sum Contant Abb. 6 Simulink-Modell für die Differentialgleichung (2).

10 Simulink Ein Räuber-Beute-Modell Bezeichnet y (t) die Anzahl der Beute, y 2 (t) die Anzahl der Räuber zur Zeit t, o hat man da folgende Sytem von nichtlinearen Differentialgleichungen. Ordnung: dy (t) = y (t) [a b y 2 (t)] dt (3) dy 2 (t) = y 2 (t) [ c + d y (t)] dt Dabei ind a, b, c und d poitive Kontanten. a it die Wachtumrate der Beute bei Abweenheit der Räuber, c it die Sterberate der Räuber bei Abweenheit der Beute. b und d bechreiben die Wechelwirkungeffekte zwichen den beiden Spezie: b it die Sterberate der Beute pro vorhandenem Räubertier, d it die Wachtumrate der Räuber pro gefreenem Beutetier. Zur Initialiierung der Parameter a, b, c und d verwenden wir ein kleine MATLAB-Skript, in welchem mit open() gleich da zugehörige Simulink-Modell geöffnet wird. % ode2_init.m Initialiierung von ode2.mdl % % Modellparameter: a =.0e-3; b =.0e-5; c =.0e-3; d =.0e-6; % % Simulink-Modell: open( ode2.mdl ); Räuber Beute Modell y (t) Integrator y y (t) b Product XY Graph Gain b a Cont a d Gain d Scope c Cont c y 2 (t) Integrator y2 y 2 (t) Product Abb. 7 Simulink-Modell für die Räuber-Beute-Gleichungen (3).

11 Simulink 0.4 Differentialgleichungen höherer Ordnung Al Beipiel für eine Differentialgleichung höherer Ordnung betrachten wir die Bewegunggleichung eine mathematichen Pendel, ϕ (t) = inϕ(t), (4) wobei ϕ(t) der Winkel der Aulenkung au der Ruhelage zur Zeit t it. Gleichung (4) it eine nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung für den Drehwinkel ϕ(t). Sie kann ofort alo ohne Tranformation auf ein Sytem von Differentialgleichungen. Ordnung al Simulink- Modell formuliert werden: Mathematiche Pendel φ (t) = in φ(t) XY Graph φ (t) φ (t) φ(t) Integrator Integrator Scope Gain in Trigonometric Function Abb. 8 Simulink-Modell für die Differentialgleichung (4). Abb. 9 Ergebni der Simulation von (4).

12 Simulink Glucoe-Modell nach Stolwijk und Hardy Diee Modell it durch da folgende Differentialgleichungytem gegeben [4]: dx(t) dt dy(t) dt = V E { QG +U(t) λ x(t) νx(t)y(t) µ[x(t) A]θ A (x) } = V E { αy(t) + β[x(t) P]θP (x) } (5) Dabei it x(t) die Glucoekonzentration zur Zeit t und y(t) die Inulinkonzentration zur Zeit t im extrazellulären Kompartment mit Volumen V E. Q G it ein kontanter Glucoezutrom, λ die Ratenkontante der inulinunabhängigen Glucoeaufnahme in Gewebe, ν die Ratenkontante der inulinabhängigen Glucoeaufnahme in Gewebe, µ die Ratenkontante der Glucoeaucheidung über die Nieren, A die zugehörige Glucoe-Schwellenkonzentration, α die Ratenkontante de Inulinabbaue, β die Ratenkontante der Inulinproduktion und P die Glucoe- Schwellenkonzentration zur Inulin-Produktion. U(t) bechreibt den Zeitverlauf einer externen Glucoe-Zufuhr (Infuionrate). u Glucoe Infuionrate (mg/h) x Glucoe Konzentration (mg/ml) Out x(t) In U(t) Glucoe Konzentration Glucoe Infuion Out2 y(t) Glucoe Infuionrate Glucoe Inulin Regulation Inulin Konzentration y Inulin Konzentration (mu/ml) Abb. 0 Simulink-Modell für da Sytem (5).

13 Simulink 3 In U(t) Schwelle für A 7200 Mu Sum 2.5 Glucoe Schwellenkonz. A Q_G Sum4 Sum Lambda x (t) /5000 / V_E Integrator x(t) Out x(t) Product Nu Schwelle für P 430 Beta Sum2 0.5 Glucoe Schwellenkonz. P Sum3 /5000 / V_E y (t) Integrator y(t) 2 Out2 y(t) 7600 Alpha Abb. Subytem für da Simulink-Modell au Abb. 0 (nach [3]). Abb. 2 Ergebni der Simulation de Modell (5).

14 Simulink 4 Literatur [] Angermann, A., Beuchel, M., Rau, M., Wohlfarth, U. Matlab Simulink Stateflow. Grundlagen, Toolboxen, Beipiele. Oldenbourg Verlag, München, [2] Hoffmann, J., Brunner, U. Matlab und Tool für die Simulation dynamicher Syteme. Addion-Weley Verlag, München, [3] Khoo, M.C.K. Phyiological Control Sytem. IEEE Pre, New York, 999. ftp://ftp.ieee.org/upload/pre/khoo/ [4] Stolwijk, J.E., and Hardy, J.D. Regulation and control in phyiology. In: Medical Phyiology, 3th ed. (edited by V.B. Mountcatle). C. V. Moby, St. Loui, 974. pp [5] The MathWork: Uing Simulink. Verion 6. The MathWork Inc., Natick, MA, Online: l_uing.pdf auf [6] The MathWork: Simulink Reference. Verion 6. The MathWork Inc., Natick, MA, Online: lref.pdf auf