Physik für Oberstufenlehrpersonen Statik und Dynamik von Flüssigkeiten und Gasen

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1 Peter Robmann Physik für Oberstufenlehrpersonen Statik und Dynamik von Flüssigkeiten und Gasen Physik-Institut der Universität Zürich

2 Die einzelnen Kapitel in dieser Vorlesung sind Auszüge aus dem Skript Physik C für BiologInnen und SekundarlehrerInnen von Prof. P. Truöl. Ich bedanke mich bei meinem Lehrer und Kollegen ganz herzlich für das Überlassen seiner Unterlagen.

3 Inhaltsverzeichnis A Selbstlernteil Statik und Dynamik von Flüssigkeiten und Gasen A.1 A.1 Statik und Dynamik der Gase und Flüssigkeiten A.1 A.1.1 Hydrostatik A.1 A Beispiel zur Hydrostatik A.2 A Physiologische Anwendungen A.7 A.1.2 Dynamik der Flüssigkeiten A.11 A.1.3 Grenzflächen von Flüssigkeiten Kohäsion und Adhäsion A.30 iii

4 Abbildungsverzeichnis A.1 Wasser A.1 A.2 Hydrostatischer Druck A.2 A.3 Tauchen A.8 A.4 Blutdruckverteilung im Körper A.10 A.5 Blutdruckmessung A.10 A.6 Stromlinien A.12 A.7 Stromlinien bei einer Verengung der Flussröhre A.12 A.8 Gauss sche Fläche A.14 A.9 Füssigkeitsreibung A.17 A.10 Nicht-Newton sche Flüssigkeiten A.19 A.11 Ohm sches Gesetz für Rohrsysteme A.22 A.12 Kirchhoff sche Kreise für Rohrsysteme A.22 A.13 Umströmung eines Flügelprofils A.23 A.14 Magnus-Effekt A.24 A.15 Menschlicher Blutkreislauf A.26 A.16 Details zum Blutkreislauf A.27 A.17 Tropfenbildung A.32 A.18 Messung der Oberflächenspannung A.32 A.19 Grenzflächen A.34 A.20 Benetzung A.35 A.21 Kapillarität A.36 A.22 Wasserläufer und Waschmittel A.36 iv

5 Tabellenverzeichnis A.1 Blutdruckwerte A.9 A.2 Viskosität A.17 A.3 Luftwiderstand A.24 A.4 Blutkreislauf A.28 A.5 Oberflächenspannungen A.33 v

6 A Selbstlernteil Statik und Dynamik von Flüssigkeiten und Gasen A.1 Statik und Dynamik der Gase und Flüssigkeiten A.1.1 Hydrostatik Gase und Flüssigkeiten sind Systeme, die im strömungsfreien, makroskopischen Gleichgewichtszustand keine Schubspannungen aufweisen (τ = 0). Während bei festen Körpern die Moleküle durch intermolekulare Kräfte an Gleichgewichtslagen gebunden sind, um die herum sie thermisch angeregte Schwingungen ausführen, befinden sich die Moleküle von Flüssigkeiten und Gasen in regelloser, ungebundener Bewegung. Ihre mittlere kinetische Energie ist grösser als die Bindungsenergie. Der Unterschied zwischen Flüssigkeit und Gas beruht auf der Grösse der intermolekularen Kräfte. In Flüssigkeiten sind die Moleküle dicht gepackt (siehe Abbildung A.1. Sie bilden Tropfen mit einer definierten freien Oberfläche. Die Kompressibilität ist klein. Gase dagegen bilden keine Tropfen, sondern beanspruchen das ganze, ihnen zur Verfügung stehende Volumen. Die Kompressibilität ist im allgemeinen gross. fest flüssig gasförmig H 2 O Abbildung A.1: Die drei Zustandsformen von Wasser. Der Spannungszustand eines ruhenden Gases oder einer Flüssigkeit ist durch eine einzige Spannung, den hydrostatischen Druck p = p( r), eindeutig bestimmt. Um dies zu verdeutlichen kann man das in Abbildung A.2 dargestellte Gedankenexperiment machen. In ein mit einer Flüssigkeit gefülltes Gefäss wird am Ort r ein kleiner Drucksensor eingebracht. Dieser Drucksensor besteht aus einem kleinen beweglichen Kolben mit der Fläche da, der an einer Feder befestigt ist. Aufgrund der äusseren Kraft df wird er in einem evakuierten Zylinder bewegt. Die Kraft df bzw. der Druck p = df/da kann aus der Deformation der Feder bestimmt werden. Der Drucksensor (d. h. die Lage des Flächenelements da) lässt sich am Ort r mit einem Mechanismus in jede beliebige Richtung drehen. Es zeigt sich, dass der Druck p = p( r) unabhängig von der Stellung des Flächenelements da ist, d. h. mit anderen Worten, dass der Druck im Gegensatz zur Kraft eine skalare Grösse ist. Ist die Substanz frei von irgendwelchen Volumenkräften, insbesondere gewichtslos, so ist der Druck unabhängig vom Ort. Der Spannungszustand ist homogen. Man nennt dieses Erfahrungsgesetz auch Pascal s Prinzip, denn der französische Mathematiker, Physiker und Philosoph Blaise Pascal ( ) stellte 1652 fest, dass sich jede Änderung des Drucks, den man auf eine eingeschlossene Flüssigkeit ausübt, unvermindert auf jeden Teil der Flüssigkeit und die Wände des Behälters überträgt. Man kann Pascal s Prinzip mit einem mit Wasser gefüllten Gefäss demonstrieren (Abbildung A.2), an dem ein Zylinder mit verschiebbarem Kolben der Fläche A 1 angebracht ist. Drückt man diesen Kolben hinein, so strömt aus allen irgendwo angebrachten A.1

7 Drucksensor p p Drucksensor df da Druck p = df da x 2 F 2 x 1 F 1 Abbildung A.2: Links: Gedankenexperiment zum hydrostatischen Spannungszustand; mit einem Druckmessgerät wird der lokale Druck in der Flüssigkeit gemessen. Rechts: Demonstration von Pascal s Prinzip mit einem mit Wasser gefüllten Kolben. Löchern Wasser mit gleicher Intensität aus. Wenn eine solche Öffnung mit einem zweiten Zylinder mit Kolbenfläche A 2 versehen ist, dann bewegt sich dieser Kolben beim Hereinschieben des ersten hinaus. Da die Flüssigkeit inkompressibel ist, müssen die Volumenänderungen an den beiden Kolben einander kompensieren. Wenn der erste Kolben um die Distanz x 1 hineingeschoben wird, die Volumenabnahme also x 1 A 1 beträgt, muss sich der zweite Kolben um x 2 herausbewegen, sodass gilt: x 2 A 2 = x 1 A 1. Ausser der Volumenänderung muss noch die geleistete Arbeit an beiden Kolben die gleiche sein: x 2 F 2 = x 1 F 1. Damit ergibt sich x 2 F 2 x 2 A 2 = x 1F 1 x 1 A 1 F 2 A 2 = F 1 A 1 p Der Druck ist der gleiche, wie wir dies postuliert haben. Die Einheit des Drucks ist das Pascal. Andere gebräuchliche Einheiten sind Atmosphäre (atm), Torr (zu Ehren von Evangelista Torricelli ( )) und bar: 1 Pascal = 1 Pa = 1 Newton/m 2 = 10 5 bar, 1 atm = 760 Torr = bar = Pa, und 1 Torr = Druck einer 1 mm hohen Quecksilber-Säule (Hg) = Pa; zum Vergleich: Druck einer 1 mm hohen Wasser-Säule r (H 2 O) = 9.8 Pa. Die Druckverteilung und der Spannungszustand wird in dem Moment inhomogen, wenn sich die Flüssigkeit in einem Kraftfeld befindet, wie dies normalerweise der Fall ist. Es treten dann Druckgradienten auf. Die freie Flüssigkeitsoberfläche wird dann zu einer Äquipotentialfläche des Kraftfeldes, wo die potentielle Energie konstant ist und die Kräfte senkrecht zu diesen Flächen wirken. Im Gravitationsfeld der Erde sind diese Flächen konzentrische Kugeln um den Erdmittelpunkt, im Nahbereich horizontale Ebenen, wie wir das von der Meeresoberfläche und der Oberfläche von Seen her kennen. Die Meeresoberfläche ist nur dann eine ideale Kugeloberfläche, wenn keine Schubspannungen auftreten, d. h. im statischen Fall. Im dynamischen Fall, z. B. bei Sturm, muss dies nicht so sein. A Beispiele zur Hydrostatik: In diesem Abschnitt werden ein paar, vorwiegend technische Beispiele aus der Hydrostatik behandelt, oder zum mindestens ihre physikalischen Grundlagen dargelegt. A.2

8 Beispiel hydraulische Presse oder Hebebühne: Man benützt hier die Konstanz des hydrostatischen Drucks. Der Kolben (K 2 ), der zum Pressen oder zum Heben dient, hat eine grosse Oberfläche (A 2 ), bewegt sich aber um kleine F 2 Distanzen (x 2 ). Der Kolben (K 1 ), der hineingedrückt wird, macht grosse Wege, hat eine kleine Oberfläche (A 1 ) und beansprucht eine kleinere F 1 Kraft (F 1 ). K 1 : F 1 = pa 1 K 2 : F 2 = pa 2 A 2 >> A 1 F 2 >> F 1, x 2 << x 1 A 1 p A 2 p Beispiel Druckverteilung in einer vertikalen Flüssigkeitssäule: Die Flüssigkeit befindet sich im Erdfeld, ihre Oberfläche ist horizontal, d. h. eine Äquipotentialfläche (mgh = U = const.). Auf die Flüssigkeit (Dichte ρ) drückt von aussen die Luft mit dem Druck p 0. Bei jedem Volumenelement dv = dxdydz im Innern müssen sich Volumen- und Oberflächenkräfte das Gleichgewicht halten. Die Volumenkraft ist das Gewicht dg = gdm = gρdv. Die Oberflächenkraft ist gegeben durch das Produkt der Normalspannung (Druck p) mit der Oberfläche des Volumenelements (da = dxdy). Vom Druck wird angenommen, dass er von der Tiefe (z) abhängt: z p 0 p(z+dz) ρ p(z) dv dg dg + p(z)da = p(z + dz)da p(z + dz) p(z) = ρg dxdydz da dz 0 dp dz = ρg Für eine inkompressible Flüssigkeit ist ρ konstant und wir erhalten durch Integration p(z) = p 0 + ρgz Der Druck nimmt mit der Tiefe linear zu, bei Wasser z. B. um circa 1 atm pro 10 m (ρ = 1000 kg/m 3, dp/dz = 9810 Pa/m). Der eingangs erwähnte Unterschied zwischen Gasen und Flüssigkeiten zeigt sich, wenn man mit den gleichen Ansätzen wie oben die Druckverteilung in der Luft berechnet. Beispiel Druckverteilung in der Atmosphäre: Wir nehmen an, dass die Temperatur in der ganzen Luftsäule die gleiche ist. Die Dichte der Luft hängt allerdings vom Druck ab. Diese Abhängigkeit ergibt sich aus der Zustandsgleichung für ideale Gase pv = RT. Diese Gleichung wird im Teil 2 Thermodynamik, Abschnitt ausführlich diskutiert. Die Gleichung gibt den Zusammenhang wieder zwischen dem Druck p, dem Volumen V und der Temperatur T eines Mols eines idealen Gases, als das wir die Luft bei genügend kleinem Druck ansehen können. R ist eine Konstante, die ideale Gaskonstante. Man erhält für die Masse eines Mols ρv = M und damit p/ρ = RT/M = kt/m. m ist die Masse eines Moleküls (M = N 0 m), N 0 ist die A.3

9 Avogadro sche Zahl und k ist die Boltzmann sche Konstante (k = R/N 0 ). Bei fester Temperatur ist das Verhältnis von Dichte und Druck konstant. Die Gleichgewichtsbedingung ist wieder wie oben, nun allerdings mit z positiv nach oben gewählt, daher das negative Vorzeichen für dp/dz dp dz = ρ(z)g = mg kt p = Mg RT p Wir erkennen wieder eine Gleichung, wo die Änderung einer Grösse (hier eine Abnahme des Drucks mit der Höhe) proportional zur Grösse (hier Luftdruck) selber ist. Die Lösung der entsprechenden Gleichung ist dann eine Exponentialfunktion (siehe Teil 2 Mechanik, Abschnitt ): p(z) = p 0 exp( mgz kt ) ρ(z) = ρ 0 exp( mgz kt ) In dieser sogenannten barometrischen Höhenformel ist p 0 der Druck auf der Bezugshöhe (z = 0). Im Term mgz erkennen wir die potentielle Energie eines Moleküls der Masse m, kt hat daher ebenfalls die Dimension einer Energie. Für Luft erhält man bei T = K (15 0 C) mit p 0 = bar und ρ 0 = kgm 3 folgenden praktischen Ausdruck für die Barometerformel: p(z) = bar exp( z 8432 m ) Der Luftdruck fällt also in der Höhe z 1/2 = ln m = 5844 m der sog. Halbwertshöhe, auf die Hälfte ab. Der Exponent ( mgz/kt ) zeigt, dass der Druck für schwere Gase mit der Höhe schneller abnimmt als für leichte Gase. In der folgenden Tabelle sind einige Werte für den Partialdruck von Sauerstoff (O 2 ) und Wasserstoff (H 2 ) bei 0 0 C (273 K) für verschiedene Höhen z zusammengestellt: Höhe Partialdruck von O 2 Partialdruck von H 2 z (m) p O2 (z)/p O2 (0) p H2 (z)/p H2 (0) Der Partialdruck von O 2 fällt bei einer Höhenzunahme um 5000 m auf die Hälfte, der Partialdruck von H 2 dagegen nimmt nur um ca. 4 % ab. Für kleine Höhen z, d.h. für z p 0 /(ρ 0 g) 8000 m, kann die Barometerformel vereinfacht werden, indem man die Exponentialfunktion entwickelt: exp( x) 1 x für x 1. Mit x = ρ 0 gz/p 0 erhält man p(z) p 0 ρ 0 gz Abgesehen vom negativen Vorzeichen (infolge Druckabnahme mit steigender Höhe) ist dieser Ausdruck identisch mit dem Ausdruck für die Druckverteilung in einer vertikalen Flüssigkeitssäule. A.4

10 In der Herleitung der Barometerformel wurde angenommen, dass die Atmosphäre isotherm sei. Dies ist aber nicht der Fall. Für 1000 m Höhenzunahme sinkt die Temperatur um rund C und erreicht in einer Höhe von m einen Wert von 56 0 C. Bis etwa m bleibt die Temperatur fast konstant und nimmt anschliessend wieder markant zu. Die Abweichungen des tatsächlichen Druckverlaufs in der Atmosphäre von demjenigen entsprechend der Barometerformel betragen aber nur einige Prozent, so dass die Barometerformel als eine gute Näherung betrachtet werden kann. Auftrieb: Eine Konsequenz der Druckzunahme mit zunehmender Höhe der Wassersäule über einem eingetauchten Objekt, ist der Auftrieb. Ein starrer Körper erfährt in einer Flüssigkeit (oder in einem Gas) an seiner Oberfläche Druckkräfte, die, wie wir eben gesehen haben, mit der Tiefe zunehmen. Ihre Resultierende, der sogenannte Auftrieb, ist daher nach oben gerichtet. Um den Auftrieb zu berechnen, denken wir uns den Körper ersetzt durch die von ihm verdrängte Flüssigkeit, das sogenannte Déplacement. Da es genau die gleiche Oberfläche hat wie der Körper, erfährt es den gleichen Auftrieb. Da die Flüssigkeit ruht, ist das Déplacement im Gleichgewicht: A + G D = 0 A = G D = ρ F l gdv Der Auftrieb ist entgegengesetzt gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit und greift wie dieses im Schwerpunkt S D des Déplacements an. Dieses Gesetz ist als Archimedes sches Prinzip bekannt. Auf den eingetauchten Körper beträgt die Gesamtkraft somit F = A + G K = ( ρ F l + ρ K ) gdv Ist die Dichte des Körpers grösser als die der Flüssigkeit, ρ K > ρ F l, so sinkt er auf den Grund, ist sie kleiner, ρ K < ρ F l, so steigt er solange, bis er teilweise auftaucht. Weist die Flüssigkeit (oder das Gas) ein Dichtegefälle auf, ρ F l = ρ F l (h), so schwebt der Körper in der Höhe h, wo ρ K = ρ F l. A A A Wasser Stein Holz mg mg mg Beispiel Suspensionen: In einer Flüssigkeit suspendierte Moleküle einer gelösten Substanz oder Körner irgendeines Stoffs mit der Masse m s verhalten sich wie ein verdünntes Gas. (siehe auch Osmose, Abschnitt der Thermodynamik). Für die entsprechende Konzentrationsverteilung gilt im Schwerefeld ebenfalls die barometrische Höhenformel: ρ(z) = ρ 0 exp( m gz kt ) Wegen des Auftriebs ist statt m s die effektive Masse m einzusetzen: m = (ρ s ρ F l )dv Ist m gz max << kt, so ist die Suspension homogen. Ist m gz >> kt, sinken die suspendierten Körner auf den Grund, für m gz < 0 steigen sie zur Oberfläche. Beispiel Torricelli sches Ausflusstheorem: Fliesst aus einer Öffnung eines Gefässes Flüssigkeit, so hängt die Ausflussgeschwindigkeit von der Höhe des Flüssigkeitsspiegels über dem Loch A.5

11 ab. Mit abnehmender Höhe nimmt auch die Ausflussmenge pro Zeiteinheit ab. In der Zeit dt strömt die Menge dm = ρadx = ρavdt aus dem Loch mit Querschnitt A aus. Ihre kinetische Energie ist dt = ρavdt v2 2 Diese kinetische Energie ist die Folge der Arbeit dw, die von den Oberflächenkräften geleistet wird, hier von (p p 0 )A. dw = (p p 0 )Adx = (p p 0 )Avdt = dt Mit p p 0 = ρgh v 2 = 2 p p 0 ρ = 2 ρgh ρ = 2gh Diese Formel hatten wir schon einmal angetroffen. Eine von der Höhe h frei fallendes Objekt erreicht den Boden mit der Geschwindigkeit v = 2gh. Bei der sogenannten Mariotte schen Flasche bleibt die Ausströmgeschwindigkeit konstant h p p 0 p 0 v p 0 dv=adx v = 2gh bis der Flüssigkeitsstand niedriger als h ist. h' v p 0 Beispiel Rotierende Flüssigkeit: Wenn ein Zylinder, der mit einer Flüssigkeit der Dichte ρ gefüllt ist, mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um seine vertikale Achse rotiert, die Flüssigkeit steigt gegen aussen hoch. Die Oberfläche, die, wie wir schon wissen, eine Äquipotentialfläche ist, nimmt die Form eines Rotationsparaboloids an. Befinden sich in der Flüssigkeit gelöste oder eingetauchte Substanzen, so wandern diese, wenn ihre Dichte grösser ist als die des Wassers, nach aussen und wandern nach innen, auf die Drehachse zu, wenn ihre Dichte kleiner ist. Dieser Effekt wird in Ultrazentrifugen zur Trennung von Makromolekülen benutzt. Beide Beobachtungen lassen sich auf die radiale Druckzunahme in der rotierenden Flüssigkeit zurückführen. Diese kann aus der Analyse der Kräfte auf ein Volumenelement der Flüssigkeit abgeleitet werden. In vertikaler Richtung hatten wir vorher gefunden: dp dz = ρg wegen (p(z + dz) p(z))da = ρgdzda Auf das Volumenelement dv = dzda wirkt das Gewicht dg = gρdv, das durch den Druckunterschied in vertikaler Richtung (multipliziert mit der Oberfäche da) aufgehoben werden muss. In Funktion der Wassertiefe z nahm der Druck linear zu p(z) = p(z = 0) + ρgz = p 0 + ρgz Rotiert das Volumenelement auf einer Kreisbahn mit Radius r mit Winkelgeschwindigkeit ω, so ist die Zentripetalbeschleunigung v 2 /r = rω 2. Die Zentripetalkraft muss von einem radialen Druckunterschied (multipliziert mit der Oberfläche) geliefert werden: (p(r + dr) p(r))da = rω 2 dm = rω 2 ρdrda dp dr = ρω2 r A.6

12 In radialer Richtung ist also die Druckzunahme proportional zum Abstand vom Drehzentrum, der Druck selber nimmt quadratisch mit dem Radius zu bei festem z p(r) = p(r = 0) ρω2 r 2 = p ρω2 r 2 Aus den Kräften lassen sich die entsprechenden Kurven der potentiellen Energie und umgekehrt berechnen (siehe Abschnitt 2.6.3) ω r U(z, r) = ρdv (gz + ω2 r 2 2 ) Für die Oberfläche ist U konstant, also gz + ω2 r 2 2 = const. Setzt man für r = 0, z = z 0, so folgt z = z 0 ω2 r 2 2g da z 0 da' dz dg z p(z) dz p(r) p(r+dr) dv dr p(z+dz) Die Oberfläche hat wie behauptet die Form eines Paraboloids. Vergleicht man wieder die vertikale mit der radialen Richtung, so kann auch die Wirkung des sogenannten Zentrifugalauftriebs erklärt werden nennt. In einer ruhenden Flüssigkeit nimmt der Druck mit der Tiefe zu. Die resultierende Auftriebskraft zeigt nach oben und hat den gleichen Betrag wie das Gewicht des Déplacements. In der rotierenden Flüssigkeit nimmt der Druck radial nach aussen zu, die Auftriebskraft zeigt daher nach innen und hat den gleichen Betrag wie die Zentripetalkraft auf das verdrängte Wasservolumen: A Z = r ρ r F l rω 2 dv Für ρ K > ρ F l bewegt sich das Objekt K nach aussen, für ρ K < ρ F l hin zur Drehachse. Der Zentrifugalauftrieb führt in Zentrifugen zu einer Trennung von Teilchen verschiedener Dichte. Zentrifugen werden in Laboratorien und in technischen Betrieben eingesetzt, z. B. zur Abscheidung von Niederschlägen oder Bakterien, zur Abtrennung der Blutkörperchen vom Serum oder zur Abtrennung des Fettes von der Milch. Mit sog. Ultrazentrifugen, mit denen man bis zu Umdrehungen/s erreicht, ist es gelungen, bei Eiweissmolekülen und anderen makromolekularen Verbindungen den Sedimentationsprozess so detailliert zu verfolgen, dass man das Molekulargewicht und die Molekülform bestimmen konnte. Erfährt ein Mensch bei der Bewegung auf einer gekrümmten Bahn extreme Normalbeschleunigungen (a N > g, z. B. Akrobatikflug, Raumfahrt), so entsteht ein Druckgefälle im Blut, das je nach Richtung zu einem Über- oder Unterdruck im Kopf führt. A Physiologische Anwendungen Beispiel Atmung beim Tauchen: Beim Tauchen muss sich der Druck im Körper (Blut, Gewebe) dem zunehmenden, äusseren Druck anpassen, damit keine mechanischen Schäden auftreten. Zudem treten beim Tauchen wegen des erhöhten Umgebungsdruckes auf den Körper unter Wasser Atmungsprobleme auf, welchen mit modernen Tauchgeräten begegnet werden kann. A.7

13 Die von der Lunge eingeatmete Luft muss den Druck des umgebenden Wassers haben. Beim Tauchen knapp unter der Wasseroberfläche (ca. 40 cm) kann ein Schnorchel zur Atmung verwendet werden. Die Länge des Schnorchels kann jedoch wegen des Wasserdrucks nicht beliebig lang gewählt werden: Bei der Atmung kann nur ein Maximaldruck von ca. 11 mbar = 112 cm H 2 O erzeugt werden, so dass das Einatmen mit einem Schnorchel ab ca. 1 m Wassertiefe unmöglich wird (hypoxämische Anoxie). Für grössere Tiefen (bis ca. 70 m) werden Tauchgeräte verwendet, die den Druck der Einatmungsluft aus einer Druckflasche automatisch auf den umgebenden Wasserdruck einstellen. Damit wird eine Atmung fast wie bei normalen Luftdruckbedingungen möglich, allerdings mit ein paar unangenehmen und zum Teil gefährlichen Nebenerscheinungen (siehe Abbildung A.3): Mit zunehmendem Wasserdruck steigt auch der Partialdruck von Stickstoff (N 2 ) der eingeatmeten Luft, so dass mehr N 2 in Blut und Gewebe aufgenommen wird als unter Normaldruckbedingungen (in 60 m Tiefe etwa 7 mal mehr als an der Wasseroberfläche). Gasembolie Blut N 2 nach Silbernagel und Despopoulos N 2 N 2 N 2 -Bläschen zu schnelles Auftauchen! Tiefe (m) Tauchprofil Zeit (min) Stickstoff-Gewebepartialdruck (bar) Abbildung A.3: Illustrationen zur Atmung beim Tauchen. Beim Auftauchen wird der Partialdruck von N 2 wieder verkleinert und der beim Abtauchen im Blut und Gewebe gelöste N 2 muss wieder abgegeben werden. Beim langsamen und etappenweisen Auftauchen diffundiert der zusätzliche N 2 in die Atemwege und wird ausgeatmet (Dekompression). Bei zu raschem Auftauchen entstehen hingegen N 2 -Gasbläschen in Blut und Gewebe. Dies führt zur Depressions- oder Caissonkrankheit. Häufige Symptome sind plötzliche Bewusstlosigkeit, Krämpfe sowie Lähmungen. Ausserdem wirkt der unter hohem Druck eingeatmete Stickstoff ab Tiefen von mehr als 40 m narkotisch und erzeugt Symptome ähnlich denen einer Alkoholvergiftung (Tiefenrausch). Bei Tauchtiefen ab ca. 75 m erreicht der Partialdruck von Sauerstoff (O 2 ) Werte, welche eine bedrohliche toxische Wirkung haben. Wird der O 2 -Anteil im Gas in der Druckflasche nicht entsprechend verkleinert, so kann zuviel O 2 aufgenommen werden; es kommt zu einer Sauerstoff- Vergiftung. Im schlimmsten Fall äussert sich eine O 2 -Vergiftung in starken Krämpfen und Bewusstlosigkeit, die sogar zum Tod durch Ertrinken führen können. Beim Tauchen werden gasgefüllte Räume im Körper (z. B. Lunge, Mittelohr) durch den erhöhten Druck erheblich komprimiert (auf 1/4 des ursprünglichen Volumens in einer Tiefe von 30 m). A.8

14 Blutdruck p(mm Hg) p(mbar) p(kpa) systolischer Blutdruck diastolischer Blutdruck mittlerer Blutdruck Tabelle A.1: Am Oberarm gemessene Blutdruckwerte in den verschiedenen Phasen des Herzzyklus. Beim Gerätetauchen wird der Druckausgleich zwischen Lunge und Umgebung automatisch hergestellt. Fehlt aber eine Verbindung zwischen Mittelohr und Rachen (z. B. bei Erkältung) kann der Druckausgleich nicht hergestellt werden, und der Wasserdruck im äusseren Gehörgang kann das Trommelfell zum Platzen bringen. Beim Auftauchen dehnen sich diese Gasräume wieder aus. Wird zu schnell, ohne stetiges Luftablassen aufgetaucht, kann es zu einem Lungenriss mit tödlichen Blutungen und Luftembolien kommen (z. B. rasches Auftauchen aus einem gesunkenen Schiff). Weitere Informationen zu diesem Thema findet man in einem Artikel von Moon, Vann und Bennett, Spektrum der Wissenschaft, Oktober Beispiel Blutdruck: Die Gesetze über die Druckverteilung in einer Flüssigkeitssäule gelten auch für das Blut im Kreislaufsystem des Menschen. Unter dem Blutdruck versteht man den arteriellen Blutdruck auf Herzhöhe. Infolge der Herztätigkeit variiert der Blutdruck bei jedem Herzschlag Blutdruck (mm Hg) zwischen einem Maximalwert (systolischer Blutdruck) und einem Mi- Aorta nimalwert (diastolischer Blutdruck) um den zeitlichen Mittelwert (mittlerer Blutdruck). In Ruhe (sitzend oder liegend) werden normalerweise systolischer Blutdruck mittlerer Blutdruck diastolischer Blutdruck auf Herzhöhe (gemessen am Oberarm) die in Tabelle A.1 angebenen Werte beobachtet. Zeit Würde man einem Menschen ein offenes Manometer in die Aorta einsetzen, so würde das Blut darin auf eine Höhe von ca. 130 cm ansteigen, da 133 mbar ungefähr 130 cm Blutsäule entsprechen (Dichte des Blutes ρ B = 1.05 g cm 3 ). Beim aufrechtstehenden Menschen ist der mittlere arterielle Blutdruck nicht überall gleich: bei einer Körpergrösse von h = 180 cm beträgt der Druckunterschied zwischen Kopf und Füssen p = ρ B gh = 18.5 kpa = 185 mbar. Der hydrostatische Druck hat grossen Einfluss auf den Blutdruck in verschiedenen Körperbereichen (siehe Abbildung A.4). Die Druckverteilung im Körper hängt daher stark von seiner Lage ab: Erhöhter Blutdruck im Kopf beim Bücken oder im Kopfstand, Blutleere im Kopf bei raschem Aufstehen, gleicher Blutdruck im ganzen Körper bei horizontalem Liegen. Daher wird der Blutdruck (sitzend oder liegend) auf Herzhöhe gemessen. Der Blutdruck kann einfach mit Hilfe der unblutigen Methode A.9

15 Blutdruck in verschiedenen Körperbereichen (Angaben in cm Blutsäule) Höhe (cm) (Angaben in mbar) 130 cm 70 cm 250 cm 60 cm 120 cm mbar mbar mbar Blutdruck (mbar) Abbildung A.4: Illustrationen zur Höhenabhängigkeit des Blutdrucks. nach Riva-Rocci gemessen werden (siehe Abbildung A.5). Diese Methode wird routinemässig zur Messung des Blutdrucks im Oberarm auf Herzhöhe verwendet. Manschette Druckkammer Pumpe P Abbildung A.5: Blutdruckmessung. Mit einer kleinen Luftpumpe wird eine Druckkammer aufgeblasen. Durch die um den Oberarm gelegte Manschette wird der von der Pumpe erzeugte Druck auf das deformierbare Gewebe übertragen. Die Manschette wird soweit aufgeblasen, bis der Manschettendruck, ablesbar an einem Manometer, grösser ist als der systolische Druck. Dadurch wird der Blutstrom in der Arterie unterbrochen. Durch Tasten des Pulses (Palpationsmethode) oder durch Abhorchen mit einem Hörrohr (Stethoskop) in der Ellenbeuge (Auskultationsmethode) kann das Verschwinden der pulsierenden Strömung festgestellt werden. Nun lässt man die Luft langsam über ein Auslassventil entweichen. Ist der Manschettendruck etwas kleiner als der systolische Druck, beginnt der Blutstrom wieder. Der Querschnitt ist jedoch noch eingeschränkt, so dass der Blutstrom an A.10

16 der verengten Stelle infolge der erhöhten Strömungsgeschwindigkeit turbulent erfolgt (siehe Abschnitt A.1.2). Durch die Wirbelbildung im Blut entstehen charakteristische Geräusche, welche mit dem Stethoskop hörbar sind. Die Geräusche setzen beim Erreichen des systolischen Drucks ein. Durch eine weitere Druckerniedrigung in der Manschette wird schliesslich der diastolische Druck unterschritten und der Strömungsquerschnitt ist wieder völlig offen. Die Turbulenzen und die damit verbundenen Geräusche verschwinden beim Erreichen des diastolischen Drucks. Die Angabe des Blutdruckes erfolgt üblicherweise als Kombination des diastolischen und systolischen Druckes: Im Normalfall beispielsweise 160/100 (angegeben in mbar). Beispiel Atmung in grossen Höhen: Die Druckverteilung in der Atmosphäre ist sehr wichtig für die Luft- und Raumfahrtmedizin. Auf Meereshöhe beträgt der Luftdruck p L = 1013 mbar, der O 2 -Partialdruck der Inspirationsluft (p I O 2 ) ca. 213 mbar und der O 2 -Partialdruck in den Alveolen (p A O 2 ) rund 133 mbar. Mit zunehmender Höhe nehmen p L, p I O 2 und p A O 2 entsprechend der Barometerformel ab. Sinkt der für die Sauerstoffversorgung entscheidende Druck p A O 2 unter den kritischen Wert von ca. 47 mbar, so kommt es zu Störungen der Gehirnfunktion (Hypoxie). Bei normaler Atmung ist dieser Grenzwert in einer Höhe von ca m erreicht. Durch sogenannte Mehratmung (O 2 -Mangelatmung) kann p A O 2 künstlich höher gehalten werden, so dass eine Atmung ohne technische Hilfsmittel bis ca m möglich wird. Grössere Höhen können nur mit Sauerstoffatmung ab Druckflaschen erreicht werden. Der O 2 -Partialdruck p I O 2 ist dabei fast so gross wie der äussere Luftdruck p L und folglich steigt auch der O 2 -Partialdruck p A O 2 in den Alveolen. Mit Sauerstoffmasken erreicht p A O 2 den kritischen Wert ohne Mehratmung bei ca. 12 km Höhe, mit Mehratmung sogar erst bei 14 km. Moderne Verkehrsflugzeuge fliegen daher unterhalb einer Höhe von 14 km, damit bei einem Druckabfall in der Kabine ein Überleben mit Sauerstoffmasken möglich ist. Ein Aufenthalt in Höhen von über 14 km ist auch mit einer Sauerstoffmaske nur in einer Druckkabine oder einem Druckanzug möglich (Raumfahrt). Für Höhen von mehr als 20 km würden ohne diese Schutzvorrichtung die Körperflüssigkeiten (z. B. Blut) zu sieden beginnen, da der Luftdruck unter den Dampfdruck von Wasser bei 37 0 C absinkt. A.1.2 Dynamik der Flüssigkeiten Überlagert sich der statistischen, thermischen Bewegung von Gas- oder Flüssigkeitsmolekülen eine korrelierte, d. h. geordnete Driftbewegung, so spricht man von einer Strömung. Sie kann durch ein Stromlinienbild (Abbildung A.6) veranschaulicht werden. Die Stromlinien sind die über die thermische Bewegung ausgemittelten Bahnen der einzelnen Teilchen oder eines Probekörpers, der von der Strömung mitgeführt wird. Die Driftgeschwindigkeit ist somit tangential zu den Stromlinien. Die Geschwindigkeitsvektoren einer Strömung bilden ein Vektorfeld v( r, t). Die Stromlinien sind die Feldlinien dieses Feldes. Ist das Stromlinienbild zeitlich unveränderlich, so spricht man von einer stationären Strömung, d.h. an einem bestimmten Ort r ist die Strömungsgeschwindigkeit v( r) zeitunabhängig. Die Geschwindigkeit eines mit der Strömung mitschwimmenden Teilchens, das ja seinen Ort verändert, braucht dabei keineswegs zeitlich konstant zu sein. Zeigt eine Strömung ein glattes Stromlinienbild, so nennt man sie laminar. Sind die Stromlinien verwirbelt, so nennt man die Strömung turbulent. Bei realen Gasen und Flüssigkeiten erfolgt beim Überschreiten einer kritischen Geschwindigkeit v K bei der Um- oder Durchströmung eines Hindernisses ein Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung. Ursache der Turbulenz sind dynamische Schubspannungen als Folge der Viskosität. Im folgenden wollen wir uns auf laminare Strömungen be- A.11

17 A 1 v 1 A 2 v 2 schränken. P v Stromlinie Abbildung A.6: Bild einer Flüssigkeitströmung um einen Zylinder herum, das mit Einfärbung der Flüssigkeit sichtbar gemacht wurde (links). Der Geschwindigkeitsvektor der strömenden Flüssigkeitsmenge ist immer parallel zur Stromlinie (rechts). Abbildung A.7: Im engen Querschnitt unter der Brücke drängen sich die Stromlinien zusammen (rechts). Dies bedeutet auch eine höhere Strömungsgeschwindigkeit, solange der Fluss überall gleich tief ist, und die Oberflächenverteilung der Stromlinien den Vorgang beschreibt. Das gleiche Bild und der gleiche Effekt zeigen sich bei einer Verengung einer Wasserröhre (links). Kontinuitätsgleichung für stationäre Strömungen: Wird die Anzahl der Stromlinien pro Flächeneinheit grösser, die Stromdichte, wie wir diese Grösse nennen wollen, grösser, so entspricht dies auch einer grösseren Geschwindigkeit. Abbildung A.6 erinnert an eine uns vermutlich bekannte Beobachtung des Anwachsens der Strömungsgeschwindigkeit in der Nähe einer Einschnürung des Flussbetts. Die physikalische Grundlage dieser Beobachtung ist die Erhaltung des Gesamtflusses, die einfliessende Wassermenge pro Zeiteinheit muss gleich der ausfliessenden sein. Bei kleinerem Querschnitt muss daher die Durchflussgeschwindigkeit grösser werden. Die mathematische Form dieser Erfahrung ist die Kontinuitätsgleichung. Für die mathematische Definition des Flussbegriffes betrachten wir eine sogenannte Stromröhre innerhalb einer stationären Strömung, d. h. einen durch Stromlinien begrenzten Schlauch mit Eintrittsfläche A 1 und Austrittsfläche A 2. In der Zeit dt fliessen durch A 1 und A 2 die Wassermengen dm 1 = ρ 1 v 1 A 1 dt und dm 2 = ρ 2 v 2 A 2 dt B C A 1 A 2 A.12

18 Im stationären Fall muss wegen der Erhaltung der Materie bei A 1 gleichviel hinein wie bei A 2 hinaus fliessen. Daher gilt die Kontinuitätsgleichung : ρ 1 v 1 A 1 = ρ 2 v 2 A 2 Bei Flüssigkeiten kann ρ als konstant angenommen werden, ρ = ρ 1 = ρ 2, so dass gilt v 1 A 1 = v 2 A 2 d. h. der Fluss des v-feldes längs einer Stromröhre ist konstant, bzw. der Fluss durch eine geschlossene Fläche gleich Null. Wir haben hier die Ein- und Austrittsfläche senkrecht zur Strömungsgeschwindigkeit gewählt, was einem Spezialfall entspricht. Für diesen Fall lautet dann die Aussage der Kontinuitätsgleichung: Die Geschwindigkeit längs einer stationären, laminaren Strömung ist umgekehrt proportional zum Rohrquerschnitt. In etwas allgemeinerer Form definieren wir als Fluss durch eine Fläche A (mit da ˆndA) Φ = v da ( v ˆn)dA = v n da = v cos αda A A Der Einheitsvektor ˆn steht senkrecht auf dem Flächenelement da, v n ist die Normalkomponente der Geschwindigkeit v. A A α v nˆ da vcosα= v da da Diese Definition des Begriffs Fluss (Φ) schliesst die Möglichkeit ein, dass die Geschwindigkeit nicht an allen Orten der Fläche A gleich ist und ferner, dass die Fläche nicht notwendigerweise normal zu den Flusslinien steht. Für A v (α = π/2) ist der Fluss minimal, für A v (α = 0) ist der Fluss maximal. Für eine beliebig gestellte Querschnittsfläche A der Stromröhre ist dann der Fluss Φ konstant. Diese Definition des Flusses kann auf beliebige Vektorfelder erweitert werden, anstelle des Geschwindigkeitsfeldes v tritt dann z. B. das elektrische Feld E, das Magnetfeld B, oder auch das Gravitationsfeld g. Fluss eines Vektorfelds S : Φ A S da = A S n da Wählen wir als Fläche, für die wir für das Flussintegral auswerten, eine geschlossene Oberfläche im Raum A V, dann ist der einkommende Fluss gleich dem ausgehenden Fluss, der Gesamtfluss also gleich null, ausser wenn sich im Innern des Volumens V, das von der Oberfläche A V begrenzt wird, eine Quelle befindet. Quellenfreies Vektorfeld : Φ = S da = S n da = 0 A V A V Abbildung A.8 zeigt ein Vektorfeld ( E Feld in diesem Fall), den oberen Teil einer solchen geschlossenen Oberfläche A V (man nennt sie auch eine Gauss sche Fläche) und einige Flächenelemente auf der Oberfläche zur Illustration wie der Fluss zu berechnen ist. A.13

19 Gauss'sche Fläche da θ 1 E 2 da E da 3 θ E Abbildung A.8: Eine beliebig geformte geschlossene Oberfläche (Gauss sche Fläche), die in ein Vektorfeld (hier das E Feld) hineingelegt wird. Drei ausgewählte Flächenelemente sind gezeigt, die verschiedene Orientierungen des Feldvektors und der Fläche zeigen. Bernoulli-Gleichung: Wir betrachten wieder die laminare, stationäre Strömung einer inkompressiblen, reibungsfreien und daher idealen Flüssigkeit in einer Röhre variablen Querschnitts und dazu variabler Höhenlage. Diese Röhre muss nicht notwendigerweise reell existieren, sondern kann durch eine Gruppe von zusammengefassten Stromlinien gebildet werden. Die Eintrittsfläche A 1 und die Austrittsfläche A 2 sind senkrecht zur Strömung gewählt, und ferner soll auch die Geschwindigkeit nicht über den Bereich der Flächen variieren. Gemäss der Kontinuitätsgleichung erhaltem wir für die im Zeitintervall dt die Flächen passierende Flüssigkeitsmenge dm dm = dm 1 = ρv 1 A 1 dt = dm 2 = ρv 2 A 2 dt y y Eingang v 1 y 1 p 1 L Ideale Flüssigkeit x Ausgang v 2 p 2 x y 2 Wir wollen nun eine Energiebilanz aufstellen für den Zeitraum dt. Die vom Druck netto geleistete Arbeit dw (Druck Fläche Weg) ist gleich der Zunahme von kinetischer und potentieller Energie: dw = dt + du. dw = p 1 A 1 v 1 dt p 2 A 2 v 2 dt dt = dm 2 (v2 2 v 2 1) du = gdm(y 2 y 1 ) p 1 p 2 = ρ( v2 2 2 v gy 2 gy 1 ) A.14

20 p 1 + ρ 2 v2 1 + ρgy 1 = p 2 + ρ 2 v2 2 + ρgy 2 Da die Orte 1 und 2 völlig willkürlich gewählt waren, folgt die Konstanz dieses Ausdrucks längs der ganzen Strömung (y h): p + ρ 2 v2 + ρgh = const. Bernoulli sche Gleichung Die vom Schweizer Physiker und Mathematiker Daniel Bernoulli ( ) formulierte Beziehung gilt entlang der Stromlinien einer reibungslosen, inkompressiblen Flüssigkeit. Verläuft die Stromlinie entlang einer Äquipotentialfläche der Gravitationskraft, so reduziert sich die Bernoulli sche Gleichung auf den Ausdruck ρv p = const. p 0 p ist der wirkliche, von einem in der Strömung liegenden Manometer gemessene Druck, der Term ρv 2 /2 hat ebenfalls die Dimension eines Druckes und heisst dynamischer Druck oder Staudruck. p 0 bezeichnet man als den Gesamtdruck. In Worten lautet also die Bernoulli sche Gleichung: Statischer Druck (p) plus Staudruck (ρv 2 /2) ergibt den Gesamtdruck (p 0 ) Die Bernoulli sche Gleichung ist die Basis für das Verständnis verschiedener Alltagsphänomene und technischer Instrumente. Einige von ihnen wollen wir nun näher betrachten. Beispiel Messung von Strömungsgeschwindigkeiten mit dem Pitot-Rohr: Beim Pitot-Rohr handelt es sich um einen stromlinienförmigen Hohlkörper, bei dem die Druckdifferenz zwischen dem Staupunkt A vorn und einer seitlichen Öffnung B gemessen wird. In A ist die Strömungsgeschwindigkeit null, bei der seitlichen Öffnung dagegen v. Es gilt dann (ρ A =Dichte der Luft, ρ M = Dichte der Manometerflüssigkeit) ρ Luft v Staupunkt A A : v = 0, p 0 = p A B : p 0 = p B + ρ A 2 v2 p A p B = ρ A 2 v2 = ρ M gh 2(p A p B ) 2ghρ M v = = ρ A ρ A Hier haben wir den am Manometer abgelesenen Druckunterschied (Höhe h) bereits eingesetzt. Beispiel Hydrodynamisches Paradoxon: Strömt ein Gas aus einer Druckflasche gegen eine bewegliche Platte, so wird diese angesaugt und nicht etwa weggeblasen. Infolge der hohen Geschwindigkeit des Gases zwischen den beiden Platten ist dort der Druck kleiner als der Luftdruck aussen. Die beiden Platten werden zusammen gepresst. B B h ρ A.15

21 Beispiel: Druckverteilung in einem Venturi-Rohr: Ein Rohr mit variablem Querschnitt schliesst eine stationäre Strömung ein. Der Druck p im Rohr variiert ebenfalls mit dem Querschnitt. Die Kombination von Kontinuitätsgleichung und Bernoulli scher Gleichung liefert v 1 v 2 = A 2 A 1 ρ 2 v2 1 + p 1 = ρ 2 v2 2 + p 2 = ρ 2 v2 1( A 1 A 2 ) 2 + p 2 p 2 = p 1 + ρ 2 v2 1(1 A2 1 A 2 ) < p 1 2 Mit A 1 = A 3 folgt p 1 = p 3. Im Experiment, ob nun das Rohr von Luft durchströmt oder von Wasser durchflossen wird, sind die Drucke p 2 und p 3 kleiner als berechnet. Man beobachtet selbst bei einem Rohr mit unveränderlichen Querschnitt einen linearen Druckabfall. Dies kommt daher, dass eine der Voraussetzungen der Bernoulli schen Gleichungen, nämlich die Absenz von Schubkräften und Reibung nicht erfüllt ist. Im Alltag verwendete Varianten des Venturi-Rohrs sind Zerstäuber (a), Wasserstrahlpumpe (b), und Bunsenbrenner (c). An der Düsenöffnung (kleiner Querschnitt) ist die Geschwindigkeit gross, der Druck klein, so dass der Strahl eine Saugwirkung ausübt. Der erreichbare Enddruck der Wasserstrahlpumpe ist nicht beliebig klein, sondern begrenzt durch den Dampfdruck p D des Wassers (bei 20 C p D = 23 mbar). Mit Öl- oder Quecksilber-Strahlpumpen bei tiefen Temperaturen können Enddrucke bis zu etwa 10 8 mbar erreicht werden. Beim Bunsenbrenner hilft der Unterdruck in der Nähe des an der Düse austretenden Gases die für das Aufrechterhalten des Verbrennungsvorgangs notwendige Luft anzusaugen. p 1 p 2 p3 p 1 p2 v p 3 v 1 v 2 v 1 Düse Luft Gas Luft Düse Zähe Flüssigkeiten: Bei der Einführung der Reibungskräfte im Teil 1 Mechanik, Abschnitt haben wir bereits erwähnt und in verschiedenen Beispielen (Kugel im Öl, Schiff) im Teil 1 Mechanik, Abschnitt auch benützt, dass reale Flüssigkeiten nicht reibungsfrei sind. Die Bremswirkung auf sich in der Flüssigkeit bewegende Objekte hing ab von der Zähigkeit der Flüssigkeit einerseits charakterisiert durch die Viskositätskonstante η und der Form und Beschaffenheit der Oberfläche andererseits. In einer realen Flüssigkeit treten also Schubspannungen auf, an den Oberflächen und im Innern zwischen einzelnen Flüssigkeitsschichten. In einem Modell, wo man sich die Flüssigkeitsmoleküle durch harte Kugeln ersetzt denkt, wie in Abbildung A.9 dargestellt, ist diese Reibung dadurch erklärbar, dass beim Gleiten der einzelnen Schichten übereinander lauter kleine Potentialberge (siehe auch Teil 1 Mechanik, Abbildung 2.46) überwunden werden müssen. Beim Beispiel der rotierenden Füssigkeit im Schwerefeld, das wir vorher behandelt haben, hätte die Rotation des Gefässes sich ohne Reibung gar nicht auf die Flüssigkeit übertragen lassen. A.16

22 W Wη 2ε x Abbildung A.9: Wenn eine Flüssigkeitsschicht bestehend aus den die Moleküle darstellenden Kugeln über die darunterliegende gleitet, hat sie Potentialberge der angegebenen Form zu überwinden. Von einer Schicht auf die nächste wird dabei Impuls übertragen, und daher eine Kraft ausgeübt. Die Höhe ϵ der Buckel bestimmt die Viskosität η der Flüssigkeit. Um eine Schicht ganz von der Oberfläche abzulösen muss die Energie 2ϵ aufgewendet werden. Um den quantitativen Zusammenhang zwischen Reibungskräften und der Viskosität einer Flüssigkeit zu erhalten, machen wir einen Modellversuch. Zwischen zwei parallel gestellten Platten, die sich mit der Geschwindigkeit v 0 zueinander bewegen, befindet sich ein Gas oder eine Flüssigkeit. Ist v 0 unterhalb einer kritischen Geschwindigkeit v K, so haften an beiden Platten die Grenzschichten. Dazwischen stellt sich eine laminare Strömung mit einer linearen Geschwindigkeitsverteilung v(x) = ax ein. Die Schubspannungen und Reibungskräfte zwischen den benachbarten Flüssigkeitsschichten sind, wie dies Newton erstmals formulierte, proportional zum Geschwindigkeitsgradienten τ = η dv dx mit dv dx = a = v 0 d Wand d Platte Das Newton sche Reibungsgesetz hat die gleiche Form wie die Diffusions- und Wärmeleitungsgleichung (siehe Teil 2 Thermodynamik, Abschnitte und 3.3.2). Bei diesen Prozessen handelt es sich ebenfalls um Transportphänomene. In der viskosen Flüssigkeit (und auch im Gas) wird durch die innere Reibung Impuls transportiert. Wärmeleitung kommt durch Energieübertragung und Energietransport zustande, der bei den Stössen der Moleküle untereinander sowohl in der Flüssigkeit wie im Gas auftritt. Diffusion bedeutet Materietransport. Für Gase steigt, für Flüssigkeiten sinkt η mit zunehmender Temperatur. Für Gase ist η druckunabhängig. Typische Werte der Viskositätskonstante η sind in Tabelle A.2 aufgeführt. Als Einheit der Viskosität wird normalerweise benützt 1 Poise = 0.1 Nsm 2 v F R v 0 Substanz η [Poise] 0 C 20 C 50 C 100 C Luft H 2 O Rhizinusöl 9.50 Glycerin C 23 C 30 C 37 C Blut 0.04 Blutplasma Tabelle A.2: Viskositätskonstante für verschiedene Substanzen A.17

23 Beispiel Messung von η: Eine kleine Al-Platte wird durch ein mit Öl gefülltes Gefäss gezogen. Bei konstanter Kraft, bestimmt durch das Gewicht der an dem Faden hängenden Masse, lässt sich η aus der Geschwindigkeit der Platte bestimmen. Die Geschwindigkeit nimmt vom Beginn der Bewegung zunächst exponentiell ansteigend zu (siehe Teil 1 Mechanik, Abschnitt ), und erreicht dann die Grenzgeschwindigkeit, wo sich Antrieb und Reibung die Waage halten. Die Gleichgewichtbedingungen lauten Faden : F mg = 0 Platte : F 2Aτ m g = 0 m = d A(ρ Al ρöl ) τ = η dv dx = 2v 0η d m g ist das um den Auftrieb verminderte Gewicht der Platte, 2Aτ ist Schubspannung Fläche die bremsende Reibungskraft. Es ergibt sich Al A d' G F τ L Öl G m η = (m m )g 4A d v 0 d d'<<d Übergang zu Turbulenz: Die kritische Geschwindigkeit v K, bei der die laminare Strömung in eine turbulente umschlägt, hängt auch von der Viskosität η ab, dazu von der Dichte ρ und einer charakteristischen Länge L (Gefässdimension, Durchmesser des Hindernisses usw.). In unserem Beispiel wäre L der Plattenabstand. Auf Grund empirischer Resultate ergibt sich v K = R e η ρl R e ist eine charakteristische Konstante, die dimensionslose Reynold sche Zahl. Für glatte Rohre findet man z. B. R e = Ist der Rohrdurchmesser L = 1 cm, so erhält man die folgenden kritischen Geschwindigkeiten: v K = 23 cm/s für Wasser v K = 320 cm/s für Luft Viele Flüssigkeiten erfüllen das Newtonsche Reibungsgesetz nicht, d. h. die Viskosität η ist nicht konstant, sondern nimmt mit zunehmendem Geschwindigkeitsgradienten zu oder ab. Solche sogenannten Nicht-Newtonschen Flüssigkeiten sind z. B. Blut, Speichel, Dispersionsfarben, Pasten, Salben, Gelee. Beispiele für die verschiedenen Flüssigkeiten sind in Abbildung A.10 angegeben. In den thixotropen Substanzen können auch im statischen Zustand (v = 0, dv/dz = 0) Schubspannungen vorhanden sein, eine Eigenschaft, die im allgemeinen nur festen Körpern zugeschrieben wird. Es zeigt sich hier, dass die Grenze zwischen fest und flüssig nicht scharf ist. Dies kommt auch darin zum Ausdruck, dass gewisse Stoffe gleichzeitig viskoses und elastisches Verhalten zeigen, d. h. viskoelastisch sind. Bei niedrigen Temperaturen weisen diese Stoffe elastische Eigenschaften auf, verlassen jedoch bei höheren Temperaturen den Gültigkeitsbereich des Hooke schen Gesetzes und verhalten sich dann wie hochviskose Flüssigkeiten. Viskoelastizität zeigen vornehmlich hochpolymere Substanzen wie Kautschuk und besonders Biopolymere. Biopolymere dieser Art sind die Proteoglykane, die einen wesentlichen Anteil am Aufbau des Binde- und Stützgewebes darstellen. Proteoglykane bestimmen die Struktur und Eigenschaften von Knorpelgewebe. Zusammen mit dem Kollagen und dem Elastin bilden sie ein viskoelastisches A.18

24 System. Dank dieser aussergewöhnlichen Eigenschaft kann der Gelenkknorpel bei der Bewegung unter Druckbelastung grosse Verformungen schadlos ertragen. Mit einer Zerstörung der Struktur dieser Biopolymere verliert das Knorpelgewebe seine Viskoelastizität und wird instabil. Blut ist eine besonders komplizierte Flüssigkeit. Es ist eine Suspension von Blutzellen im Blutplasma. Das Blutplasma hat eine relativ hohe Viskosität (siehe Tabelle A.2), es verhält sich angenähert wie eine Newton sche Flüssigkeit. Für die Abweichung von einer Newton schen Flüssigkeit sind vor allem die roten Blutkörperchen verantwortlich. So ist bei der Polyzythämie die Anzahl der roten Blutzellen erhöht, was zu einer Zunahme der Viskosität des Blutes η B führt. Dies ist auf die Wechselwirkung zwischen den roten Blutkörperchen zurückzuführen. Eine Zunahme der roten Blutkörperchen um 40-50% bewirkt eine Erhöhung von η B um einen Faktor 2-3. In diesem Fall muss das Herz seine Leistung erheblich erhöhen, um die gleiche Strömungsgeschwindigkeit im Kreislauf aufrechtzuerhalten. Im umgekehrten Fall, bei der Anämie, wird η B im Vergleich zum Normalwert verringert. Damit der Blutdruck nicht abfällt, muss die Durchflussmenge im Kreislauf entsprechend erhöht werden. Abbildung A.10: Das Diagramm zeigt die Abhängigkeit der Schubspannung vom Geschwindigkeitsgradienten für verschiedene Flüssigkeiten. Der lineare Zusammenhang gilt nur für die Newton schen Flüssigkeiten. Die Steigung der Kurve ist die Viskosität der Flüssigkeit. Strömung und Geschwindigkeitsverteilung in einem zylindrischen Rohr: In vielen Anwendungen trifft man auf die folgende Situation: Die Strömung einer Flüssigkeit durch ein zylindrisches Rohr wird durch einen Druckunterschied an den beiden Enden des Rohrs aufrechterhalten. Die alltägliche Erfahrung lehrt, dass die Durchflussmenge vom Rohrdurchmesser einerseits und vom Druck andererseits abhängt. Ferner ist die Geschwindigkeitsverteilung in dem Rohr inhomogen. In der Mitte ist die Geschwindigkeit am grössten. Beide Befunde finden wir in den Hagen-Poiseuille schen Gesetzen ausgedrückt. Für ein Rohr mit Radius R der Länge L, in dem durch einen Druckunterschied p eine laminare Strömung unterhalten wird, finden wir ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil v(r) = 1 p 4 ηl (R2 r 2 ) A.19

25 Die Durchflussmenge ergibt sich zu Q = π p R4 8ηL [m 3 s 1 ] p 1 F p R r v Zum Beweis der beiden Beziehungen denken wir uns aus der Flüssigkeit eine zylindrische Stromröhre mit Radius r herausgeschnitten: Infolge des Druckunterschieds p wirkt auf diesen Zylinder eine Kraft in der Strömungsrichtung F p = πr 2 (p 1 p 2 ) = πr 2 p Durch das radiale Geschwindigkeitsgefälle dv/dr an der Mantelfläche eine entgegengerichtete Reibungskraft F τ = η2πr dv dr Im stationären Fall herrscht Gleichgewicht v 0 F p + F τ = 0 πr 2 p + 2πrLη dv dr = 0 dv dr = p 2ηL r Integration : v(r) = p r2 4ηL + C p 2 Die Integrationskonstante C erhalten wir aus der Randbedingung v(r = R) = 0 C = R2 4ηL Damit ist die erste Beziehung bewiesen. Die Durchflussmenge berechen wir zunächst für einen Hohlzylinder mit gleichem Radius wie die Stromröhre, aber mit der Wandstärke dr. In diesen Hohlzylinder tritt am Ende im Zeitintervall t durch die Eintrittsfläche 2πrdr das Wasservolumen dv = 2πrdr v(r)t ein. dv t = v(r)2πrdr = π p(r2 r 2 ) rdr 2ηL Was im gleichen Zeitintervall durch den gesamten Rohrquerschnitt eintritt erhält man durch Integration: Q V t = π p R (R 2 r 2 )rdr = πr4 p 2ηL 8ηL 0 Die Wassermenge M ergibt sich aus Q durch Multiplikation mit der Dichte ρ. Bei einer konstanten mittleren Geschwindigkeit v wäre die Durchflussmenge Q = πr 2 v. Setzen wir die wahre Durchflussmenge Q gleich der mittleren Durchflussmenge Q so ergibt sich für die mittlere Geschwindigkeit v = R2 p 8ηL A.20

26 Damit die Strömung laminar bleibt, muss v < v K gelten. Überschreitet v die kritische Geschwindigkeit, so wird die Strömung turbulent. Bei einer turbulenten Strömung ist die Durchflussmenge kleiner, die Reibung grösser als beim laminaren Fall. Rohrsysteme das Ohm sche Gesetz für Flüssigkeitsströmungen: Für die Auslegung von Rohrsystemen ist es nützlich das Gesetz von Hagen-Poiseuille etwas umzuformulieren und den Strömungswiderstand R L einzuführen. R L = 8ηL πr 4 [Nsm 5 ] R L nimmt mit der Viskosität des strömenden Mediums linear zu, der Rohrradius geht allerdings mit der vierten Potenz (R L 1/R 4 ), die Querschnittsfläche A quadratisch ein (R L 1/A 2 ). Mit dieser Definition erhält man für den Volumendurchfluss Q = p R L Diese Form des Hagen-Poiseulle schen Gesetzes erinnert sehr an das Ohm sche Gesetz der Elektrizitätslehre I = V R E V ist hier die elektrische Spannungsdifferenz, R E der elektrische Widerstand, und I der elektrische Strom. Diese formelle Analogie ist in Abbildung A.11 illustriert. Sie kann auf die Berechnung von Rohrsystemen erweitert werden (Abbildung A.12), für die ähnliche Beziehungen gelten, wie man sie von elektrischen Stromkreisen her kennt (Kirchhoff sche Gesetze, siehe Teil 4 Elektrizität und Magnetismus, Abschnitt 6.2.2). In einem elektrischen Stromkreis ist eine Spannungsquelle nötig, z. B. eine Batterie, damit ein Strom fliesst, in einem Rohrsystem wird der Druckunterschied von einer Pumpe aufrecht erhalten. Schaltet man zwei Rohrsysteme hintereinander, so ergibt sich der gesamte Strömungswiderstand aus der Summe der Einzelwiderstände: Serie Schaltung : R L,tot = i R Li Schaltet man mehrere Röhrensysteme nebeneinander, so erleichtert man den Fluss, und der gesamte Strömungswiderstand verkleinert sich. Aus der Kontinuitätsgleichung (Flusserhaltung) ergibt sich: Q = i Q i = p i 1 R Li = p R L,tot Parallel Schaltung : 1 R Ltot = i 1 R Li Will man z. B. N identische parallele Rohre mit Innenradius R durch ein einziges Rohr der gleichen Länge mit Innenradius R 0 ersetzen will, ergibt sich bei gleichem Fluss R 0 = 4 NR. Ein Rohr von 4 cm Durchmesser kann also 16 Rohre von 2 cm Durchmesser ersetzen. Das Stokes sche Reibungsgesetz: Für die Reibungskraft, die auf ein sich in einer Flüssigkeit bewegendes Objekt wirkt, hatten wir gefunden R v v Rv = β v z. B. Kugel : β = 6πηr A.21