Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik 1 für Naturwissenschaften"

Transkript

1 Hans Walser Mathematik 1 für Naturwissenschaften + 1 Modul 106 Nullstellen. Verfahren von NEWTON-RAPHSON

2 Hans Walser: Modul 106, Nullstellen. Verfahren von Newton-Raphson ii Inhalt 1 Der kleine Unterschied Lösungen einer Gleichung Nullstellen einer Funktion Zusammenhang Approximation von Nullstellen nach dem NEWTON-RAPHSON-Verfahren Formaler Zugang Iterationsverfahren nach NEWTON-RAPHSON Beispiel Vorgehen allgemein Geometrischer Zugang Beispiel Probleme Mehrere Nullstellen Ungeeigneter Startwert Fehlende Nullstelle Wurzelziehen von Hand Rückrechnen und Mittelwert NEWTON-RAPHSON Zusammenfassung Grundidee Vorgehen Probleme Modul 106 für die Lehrveranstaltung: Mathematik 1 für Naturwissenschaften Winter 2002/03 Probeausgabe Winter 2003/04 Überarbeitung, Straffung Winter 2004/05 Fehlerbereinigung Winter 2005/06 Geändertes Laout. Kürzung Winter 2006/07 Kleine Ergänzung. MathTpe Herbst 2007 Kleine Erweiterung. Kürzungen Herbst 2008 Kleine Ergänzung Herbst 2009 Kleine Erweiterungen Herbst 2010 Kleine Erweiterung und Kürzung Herbst 2013 Grafische Überarbeitung Herbst 2014 Fehlerkorrekturen last modified: 24. Oktober 2013 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel

3 Hans Walser: Modul 106, Nullstellen. Verfahren von Newton-Raphson 1 1 Der kleine Unterschied Gleichung: 1 10 x3 1 5 x x = 0 Funktion: = f ( x) = 1 10 x3 1 5 x x Lösungen einer Gleichung > Gleichung:=1/10*(x^3-2*x^2-11*x+12)=0; > Loesung:=solve(Gleichung, x); 1 Gleichung := 10 x3 1 5 x x = 0 Loesung := 1, -3, 4 Wir haben in der Schule eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelernt. Es gibt analoge (wenn auch kompliziertere) Formeln für kubische Gleichungen und solche vierten Grades. Lange Zeit war die Frage offen, ob es auch Formeln für Gleichungen fünften und höheren Grades gibt. Die Arbeiten von Niels ABEL und Evariste GALOIS zeigten, dass dies nicht allgemein möglich ist. Niels Henrik ABEL, Evariste GALOIS,

4 Hans Walser: Modul 106, Nullstellen. Verfahren von Newton-Raphson Nullstellen einer Funktion Die Funktion = f ( x) = 1 Nullstellen 3, 1, x3 1 5 x x hat gemäß ihrem Funktionsgraphen die x Zusammenhang Nullstellen von = f ( x) = 1 10 x3 1 5 x x Die Nullstellen einer Funktion f sind die Lösungen der Gleichung f ( x) = 0. 2 Approximation von Nullstellen nach dem NEWTON-RAPHSON-Verfahren Newton und Joseph Raphson ( ) entwickelten ein Verfahren, um die Nullstellen einer Funktion zwar nicht exakt, aber beliebig genau zu ermitteln. Voraussetzung ist, dass die Funktion differenzierbar ist. Sir Isaac NEWTON,

5 Hans Walser: Modul 106, Nullstellen. Verfahren von Newton-Raphson Formaler Zugang Wir wählen einen Startwert x 0. Dann ist: ( ) f x f x 0 sollte Null werden Wir tun so, als ob f ( x) = 0, also: Daraus ergibt sich: 0 f x 0 ( ) + f ( x 0 )( x x 0 ) ( ) + f ( x 0 )( x x 0 ) x x 0 f ( x 0 ) ( ) Dieses x sollte an sich die Nullstelle sein, der Ausdruck x 0 f ( x 0 ) stimmt aber nicht f ( x 0 ) ganz. Immerhin dürfte dies ein besserer Wert für die Nullstelle sein als der Startwert x 0. Daraus ergibt sich folgende Methode. f x Iterationsverfahren nach NEWTON-RAPHSON x 0 x 1 = x 0 f ( x 0 ) ( ) f x 0 x 2 = x 1 f ( x 1) ( ) f x 1 Nun ist kein Halten mehr: +1 = f ( ) f ( ) Startwert (wählen). In der Regel keine Nullstelle x 1 ist ein besserer Wert x 2 ist noch besser gibt (hoffentlich) immer bessere Werte Hoffnung: lim = exakte Nullstelle n

6 Hans Walser: Modul 106, Nullstellen. Verfahren von Newton-Raphson Beispiel Wir bestimmen die Nullstelle(n) der Funktion: Es ist dann: = f ( x) = 1 10 x3 1 5 x x = f x +1 = f ( ) f ( ) = ( ) = 3 10 x2 2 5 x Für den Startwert x 0 = 0 erhalten wir mit Excel: n = Für den Startwert x 0 = 100 liefert Excel: n

7 Hans Walser: Modul 106, Nullstellen. Verfahren von Newton-Raphson 5 Für den Startwert x 0 = 3 liefert Excel: n Welcher Startwert führt zu welcher Nullstelle? 2.3 Vorgehen allgemein 1. In der Gleichung alles nach links bringen: dadamdadam = 0 2. Linken Teil als Funktionsterm auffassen: f(x) = 0 3. Startwert x 0 wählen 4. Rekursionsformel anwenden: +1 = f ( ) f ( ) 5. Gibt es noch mehr Lösungen? 2.4 Geometrischer Zugang = f(x) f( ) x Schritt von auf +1 Wir können die Tangentensteigung auf zwei Arten bestimmen:

8 Hans Walser: Modul 106, Nullstellen. Verfahren von Newton-Raphson 6 f ( ) = f ( ) +1 Daraus ergibt sich die Iterationsformel von NEWTON-RAPHSON: +1 = f ( ) f ( ) 2.5 Beispiel Wir untersuchen die Gleichung cos( x) = x und wollen das Verfahren von Newton- Raphson für die ersten paar Schritte von Hand durchführen. Wir suchen die Nullstellen der Funktion f x ( ) = cos( x) x. Wo ist die Nullstelle der Funktion f ( x) = cos( x) x? Offenbar hat die Funktion nur eine Nullstelle. Als Startwert wählen wir x 0 = 1. f f ( x) = cos( x) x ( x) = sin x ( ) 1 +1 = f ( ) f ( ) = cos ( ) sin( ) 1

9 Hans Walser: Modul 106, Nullstellen. Verfahren von Newton-Raphson 7 Dasselbe mit Excel: n Manchmal kann es ziemlich lange gehen, bis wir zum Ziel kommen: n

10 Hans Walser: Modul 106, Nullstellen. Verfahren von Newton-Raphson geschafft! 2.6 Probleme Mehrere Nullstellen Beispiel: Die Funktion = f x drei Nullstellen 1, 0, +1. ( ) = x 3 x sieht zunächst ganz harmlos aus, sie hat die x -1 = f ( x) = x 3 x

11 Hans Walser: Modul 106, Nullstellen. Verfahren von Newton-Raphson 9 Welcher Startwert führt nun zu welcher Nullstelle? Wir probieren ein bisschen: -1 1 x -1 1 x -1 1 x Welcher Startwert führt zu welcher Nullstelle?

12 Hans Walser: Modul 106, Nullstellen. Verfahren von Newton-Raphson 10 Es gibt sogar Startwerte, die zu keiner der drei Nullstellen führen, sondern zu einem ewigen Paarlauf führen. = x 3 - x -1 1 x Ewiger Paarlauf Ungeeigneter Startwert Wenn wir als Startwert eine stationäre Stelle x 0 wählen, versagt das NEWTON- ( ) = 0 ; es ergäbe sich eine Division Verfahren. An einer stationären Stelle ist f x 0 durch Null. Geometrisch heißt das, dass die Tangente an der Stelle x 0 horizontal ist und die x-achse nicht schneidet Fehlende Nullstelle Wie verhält sich das NEWTON-Verfahren bei fehlender Nullstelle? Dazu ein Beispiel: f ( x) = x = x x Was ergibt sich beim Startwert x 0 = 1? Beim Startwert x 0 = 1 ergibt sich wieder ein ewiger Paarlauf.

13 Hans Walser: Modul 106, Nullstellen. Verfahren von Newton-Raphson 11 Das bestätigt auch die Rechnung mit Excel: n Bei einem anderen Startwert kann man selig werden: n

14 Hans Walser: Modul 106, Nullstellen. Verfahren von Newton-Raphson Wurzelziehen von Hand Rückrechnen und Mittelwert Wir dürfen den Taschenrechner nur für die Operationen plus, minus, mal und durch verwenden, nicht aber die Wurzeltaste benützen. Wir wählen c = Beispiel: c =? Wir suchen also x so dass x 2 = c oder c x = x. Wir wählen einen Startwert: x 0 = Nun kontrollieren wir: c x 0 = Nun wählen wir den Mittelwert als besseren Wert: ( ) = x 1 = 1 2 x 0 + c x NEWTON-RAPHSON Wir haben die positive Nullstelle von f x ( ) = x 2 c zu bestimmen. Für das NEWTON- RAPHSON-Verfahren finden wir:

15 Hans Walser: Modul 106, Nullstellen. Verfahren von Newton-Raphson 13 3 Zusammenfassung 3.1 Grundidee Nullstellen einer Funktion statt Lösungen einer Gleichung. Die Nullstellen einer Funktion f sind die Lösungen der Gleichung f ( x) = Vorgehen 1. In der Gleichung alles nach links bringen: dadamdadam = 0 2. Linken Teil als Funktionsterm auffassen: f(x) = 0 3. Startwert x 0 wählen 4. Rekursionsformel anwenden: +1 = f ( ) f ( ) 5. Gibt es noch mehr Lösungen? 3.3 Probleme Welcher Startwert führt zu welcher Nullstelle?

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 07 Fixpunkte Hans Walser: Modul 07, Fixpunkte ii Inhalt Fixpunkte.... Worum es geht....2 Geometrische Beispiele von Fixpunkten....2. Stadtplan....2.2

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 0 Einführung Hans Walser: Modul 0, Einführung ii Inhalt Zahlen.... Natürliche Zahlen.... Ganze Zahlen.... Rationale Zahlen.... Reelle Zahlen... Smbole....

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften n + n Modul 06 Nullstellen. Verfahren von NEWTON-RAPHSON Lernumgebung Hans Walser: Modul 06, Nullstellen. Verfahren von NEWTON-RAPHSON. Lernumgebung ii Inhalt

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 07 Fipunkte Lernumgebung Teil Hans Walser: Modul 07, Fipunkte. Lernumgebung Teil ii Inhalt Bei welcher Temperatur ist es gleich warm?... Ein blödsinnig

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften. Bernoulli

Mathematik 1 für Naturwissenschaften. Bernoulli Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Bernoulli Nicolaus 63-708 Jacob I 654-705 Nicolaus 66-76 Johann I 667-748 Nicolaus I 687-759 Nicolaus II 695-76 Daniel 700-78 Johann II 70-790 Johann III

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 202 Regressionsgerade und Korrelation Lernumgebung. Teil Hans Walser: Modul 202, Regressionsgerade und Korrelation. Lernumgebung. ii Inhalt Messwertpaare...

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 0 Differenzialgleichungen, Wachstum Hans Walser: Modul 0, Differenzialgleichungen, Wachstum ii Inhalt Einführung: Wachstum.... Beispiel: 50% Wachstum

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 1 für Naturwissenschaften Modul 112 Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung Hans Walser: Modul 112, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung ii Inhalt 1 Lineare Differenzialgleichungen

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften. Bernoulli

Mathematik 1 für Naturwissenschaften. Bernoulli Hans Walser Mathematik 1 für Naturwissenschaften Bernoulli Nicolaus 1623-1708 Jacob I 1654-1705 Nicolaus 1662-1716 Johann I 1667-1748 Nicolaus I 1687-1759 Nicolaus II 1695-1726 Daniel 1700-1782 Johann

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 1 für Naturwissenschaften Modul 111 Systeme von Differenzialgleichungen Luchs und Hase Hans Walser: Modul 111, Systeme von Differenzialgleichungen. Luchs und Hase ii Inhalt 1 Lineare

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 3 Funktionen mehrerer Variablen Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen ii Modul 3 für die Lehrveranstaltung Mathematik für Naturwissenschaften

Mehr

(b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens eine Nullstelle von f auf 6 Nachkommastellen

(b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens eine Nullstelle von f auf 6 Nachkommastellen Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 5.10.18 Übung 6 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 9. Oktober 018 in den Übungsstunden Aufgabe 1 GebenSieohneTaschenrechnereineNäherungvon

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften y x Modul 09 Integrationstechniken Hans Walser: Modul 09, Integrationstechniken ii Inhalt Partielle Integration.... Typische Fragestellung.... Herleitung

Mehr

Algebraische Gleichungen

Algebraische Gleichungen Algebraische Gleichungen Jörn Loviscach Versionsstand: 22. November 2009, 19:49 1 Begriff Betrachten wir eine Gleichung, in der nur eine Unbekannte, konstante Zahlen und die Grundrechenarten vorkommen:

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Moul 0 Einführung Lernumgebung Teil 2 Hans Walser: Moul 0, Einführung. Lernumgebung Teil 2 ii Inhalt Where is the flaw?... 2 Intervalle... 3 Frage er Grenzen...2

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 02 Funktionen, Folgen, Grenzwerte Lernumgebung Teil 2 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte. Lernumgebung, Teil 2 ii Modul 02 für die

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 203 Stochastische Unabhängigkeit Hans Walser: Modul 203, Stochastische Unabhängigkeit ii Inhalt 1 Bedingte Wahrscheinlichkeit... 1 1.1 Feuermeldeanlage,

Mehr

( ) Dann gilt f(x) g(x) in der Nähe von x 0, das heisst. Für den Fehler r(h) dieser Näherung erhält man unter Verwendung von ( )

( ) Dann gilt f(x) g(x) in der Nähe von x 0, das heisst. Für den Fehler r(h) dieser Näherung erhält man unter Verwendung von ( ) 64 Die Tangente in x 0 eignet sich also als lokale (lineare) Näherung der Funktion in der Nähe des Punktes P. Oder gibt es eine noch besser approximierende Gerade? Satz 4.9 Unter allen Geraden durch den

Mehr

Mathematik für die Sekundarstufe 1

Mathematik für die Sekundarstufe 1 Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe Modul 202 Isometrien Hans Walser: Modul 202, Isometrien ii Inhalt Was sind Isometrien?.... Fragebogen....2 Definition... 2 2 Klassifizierung der Isometrien...

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 212 Determinanten Hans Walser: Modul 212, Determinanten ii Modul 212 für die Lehrveranstaltung Mathematik 2 für Naturwissenschaften Sommer 2003 Probeausgabe

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 20 5 6 Tabellen (leicht gekürzte Version) Hans Walser: Tabellen ii Inhalt Binomische Verteilung.... Binomische Verteilung (ohne

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 205 Binomialverteilung Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung ii Inhalt Die Qual der Wahl: Binomialkoeffizienten.... Ordnung muss sein....2 Auswählen

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Spender A B AB 0 Empfänger A B AB 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 verträglich 0 unverträglich Modul 210 Koordinatensysteme. Matrizen Lernumgebung Hans

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul Lineare Abbildungen. Eigenwerte Lernumgebung. Teil Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil ii Inhalt Lineare Abbildung

Mehr

1. Selbsttest Heron-Verfahren Gleichungen

1. Selbsttest Heron-Verfahren Gleichungen 1. Selbsttest 1.1. Heron-Verfahren Mit dem Heron-Verfahren soll ein Näherungswert für 15 gefunden werden. Führe die ersten drei Schritte des Heron- Verfahrens durch. Gib dann unter Verwendung der Werte

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 20 5 6 Tabellen (leicht gekürzte Version) Hans Walser: Tabellen ii Inhalt Binomische Verteilung.... Binomische Verteilung (ohne

Mehr

Das Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren 1/14 Das Newton-Verfahren 11./12. Jgst. Bayern Doris Behrendt Gymnasium Marktbreit Stand: 12. März 2016 2/14 Formelsammlung Seite 72 oben, vierter Punkt: Newton-Iterationsformel: x n+1 = x n f(x n) f (x

Mehr

Hans Walser. Raumgeometrie. Modul 4 Die Ebene

Hans Walser. Raumgeometrie. Modul 4 Die Ebene Hans Walser Raumgeometrie Modul 4 Die Ebene Hans Walser: Modul 4, Die Ebene ii Modul 4 für die Lehrveranstaltung Raumgeometrie Sommer 2000 Erstausgabe Sommer 2002 Überarbeitung Sommer 2003 Fehlerkorrekturen,

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften 3 3 4 4 5 5 6 6 7 Modul 03 Differenzialrechnung Lernumgebung Hans Walser: Modul 03, Differenzialrechnung, Lernumgebung ii Modul 03 für die Lehrveranstaltung

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 05 TAYLOR Lernumgebung Teil Hans Walser: Modul 05, TAYLOR. Lernumgebung Teil ii Modul 05 für die Lehrveranstaltung Mathematik für Naturwissenschaften

Mehr

Serie 4: Flächeninhalt und Integration

Serie 4: Flächeninhalt und Integration D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Flächeninhalt und Integration Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom. und 4. Oktober.. Das Bild zeigt

Mehr

Gleichung auflösen oder eben nicht

Gleichung auflösen oder eben nicht Gleichung auflösen oder eben nicht Universität Kassel 24. Februar 2006 Gliederung 1 Gleichungen auflösen Quadratische Gleichungen Satz von Vieta 2 Elementarsymmetrische Funktionen Elementarsymmetrische

Mehr

6 Polynomielle Gleichungen und Polynomfunktionen

6 Polynomielle Gleichungen und Polynomfunktionen 6 Polynomielle Gleichungen und Polynomfunktionen Lineare Gleichungen Eine lineare Gleichung in einer Variablen ist eine Gleichung der Form ax + b = cx + d mit festen Zahlen a und c mit a c. Dies kann man

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul Der Gaußsche Algorithmus Lernumgebung Hans Walser: Modul, Der Gaußsche Algorithmus. Lernumgebung ii Inhalt Algorithmen im Alltag... Gaußscher Algorithmus...

Mehr

Mathematik für die Sekundarstufe 1

Mathematik für die Sekundarstufe 1 Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 202 Isometrien Lernumgebung Hans Walser: Modul 202, Isometrien. Lernumgebung ii Inhalt 1 Translationssymmetrie im lltag?... 1 2 Symmetrien einer Funktion...

Mehr

Kontrollfragen zur Unterrichtsstunde

Kontrollfragen zur Unterrichtsstunde Kontrollfragen zur Unterrichtsstunde Frage 1: Das Newtonverfahren ist eine Methode zur Bestimmung A: der Extremstellen eines C: des Verhalten im Unendlichen. B: der Nullstellen eines D: der Fallzeit eines

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 0 Funktionen, Folgen, Grenzwerte Lernumgebung Teil Hans Walser: Modul 0, Funktionen, Folgen, Grenzwerte. Lernumgebung. Teil ii Modul 0 für die Lehrveranstaltung

Mehr

Weitere Anwendungen der Differentialrechnung

Weitere Anwendungen der Differentialrechnung Weitere Anwendungen der Differentialrechnung Informationsblatt Aus der großen Zahl von Anwendungsmöglichkeiten der Differentialrechnung werden das Newton sche Näherungsverfahren und die Taylor-Reihen vorgestellt.

Mehr

Hans Walser. Raumgeometrie. Modul 3 Rissebenen. Punkt und Gerade

Hans Walser. Raumgeometrie. Modul 3 Rissebenen. Punkt und Gerade Hans Walser Raumgeometrie Modul 3 Rissebenen. Punkt und Gerade Hans Walser: Modul 3, Rissebenen. Punkt und Gerade ii Modul 3 für die Lehrveranstaltung Raumgeometrie Sommer 2000 Erstausgabe Sommer 2002

Mehr

Hans Walser, [ a], [ ] Fibonacci und Pascal

Hans Walser, [ a], [ ] Fibonacci und Pascal Hans Walser, [0022a], [0303] Fibonacci und Pascal Worum geht es? Bekanntlich führen die Schrägzeilensummen im Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten zu den Fibonacci-Zahlen. Es wird untersucht, was bei

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul Lineare Abbildungen. Eigenwerte Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte ii Modul für die Lehrveranstaltung Mathematik für Naturwissenschaften

Mehr

Übungsaufgaben Folgen und Reihen

Übungsaufgaben Folgen und Reihen Kallenrode, www.sotere.uos.de Übungsaufgaben Folgen und Reihen. Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz (geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an): inverse Fakultäten:,,

Mehr

f x n ) 2 1 Gleichung (*) f' x 1 f'' x 1

f x n ) 2 1 Gleichung (*) f' x 1 f'' x 1 Das Newtonsche Näherungsverfahren, Teil Theorie - Konvergenzkriterium f x n Allgemeine Lösung: x n = x n f' x f' x n n 0 Nach er Fachliteratur (Bronstein/Semenjajew) arf man hier von einer Cauchy-Folge

Mehr

Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion

Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion SZ Neustadt Mathematik Torsten Warncke FOS 12c 30.01.2008 Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion 1. Gegeben ist die Funktion f(x) = x(x 3) 2. (a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie. (b) Bestimmen

Mehr

Hans Walser. Raumgeometrie. Modul 1 Der Würfel

Hans Walser. Raumgeometrie. Modul 1 Der Würfel Hans Walser Raumgeometrie Modul Der Würfel Hans Walser: Modul, Der Würfel ii Inhalt Zeichnen von Würfeln.... Würfel im Karonetz..... Der 2---Würfel.....2 Der 5-3-2-Würfel.....3 Autostereogramm... 2.2 Kavalierperspektive

Mehr

Mathematik für die Sekundarstufe 1

Mathematik für die Sekundarstufe 1 Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 203 Zusammensetzung von Geradenspiegelungen Symmetriegruppen Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen ii Inhalt

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 211 Der Gaußsche Algorithmus Hans Walser: Modul 211, Der Gaußsche Algorithmus ii Modul 211 für die Lehrveranstaltung Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mehr

13 3. a) Uhrzeit Wasseranstieg (in cm pro Stunde)

13 3. a) Uhrzeit Wasseranstieg (in cm pro Stunde) 1 Funktionen als mathematische Modelle Noch it in Dierenzialrechnung? 1 1. a) Höhenänderung zwischen 0 m und 1 00 m (in der Horizontalen): ca. 800 m 600 m = 00 m durchschnittliche Änderungsrate im Intervall

Mehr

Polynomiale Gleichungen

Polynomiale Gleichungen Vorlesung 5 Polynomiale Gleichungen Definition 5.0.3. Ein polynomiale Funktion p(x) in der Variablen x R ist eine endliche Summe von Potenzen von x, die Exponenten sind hierbei natürliche Zahlen. Wir haben

Mehr

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1999

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1999 c 00 by Rainer Müller - http://www.emath.de Abiturprüfung Baden-Württemberg 999 Grundkurs Mathematik - Analysis Zu jedem t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch f t (x) = 3t x(x 3t) ; x IR Ihr Schaubild

Mehr

Theorie 3: Graphische Veranschaulichung der Fallunterscheidung

Theorie 3: Graphische Veranschaulichung der Fallunterscheidung Die Formel von Cardano - mit grahischer Lösung Theorie : Grahische Veranschaulichung der Fallunterscheidung Gegeben ist eine kubische Gleichung in reduzierter Form: x x = 0 mit 0 IR. Definieren Sie einen

Mehr

Hans Walser. Die allgemeine Fibonacci-Folge

Hans Walser. Die allgemeine Fibonacci-Folge Hans Walser Die allgemeine Fibonacci-Folge Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge ii Inhalt Die Rekursion... Heuristischer Hintergrund... 3 Formel von Binet... 4 Übersicht... 5 Sonderfälle...3 6 Beispiele...3

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften 0.20 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0 5 0 5 20 k 0.20 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 Binomialverteilung Normalverteilung Modul

Mehr

Abitur 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II

Abitur 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 213 Mathematik Infinitesimalrechnung II Teilaufgabe Teil 1 1 (5 BE) Geben Sie für die Funktion f mit f(x) = ln(213 x) den maximalen Definitionsbereich

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften 00 180 160 Frauen 140 10 100 80 80 100 10 140 160 180 00 Männer Modul 08 Testen von Hypothesen Lernumgebung. Teil 1 Hans Walser: Modul 08, Testen von Hypothesen.

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen

Abiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen Abiturprüfung Mathematik 202 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de Pflichtteil 202 2 Aufgabe : Bilden Sie die erste Ableitung

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 212 Determinanten Lernumgebung Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung ii Modul 212 für die Lehrveranstaltung Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mehr

Abitur 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Abitur 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung I Seite 1 Abitur 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung I Geben Sie zu den Funktionstermen jeweils den maximalen Definitionsbereich sowie einen Term der Ableitungsfunktion an. Teilaufgabe Teil 1 1a (2 BE)

Mehr

Zwischenprüfung Winter 2016 Analysis I D-BAUG

Zwischenprüfung Winter 2016 Analysis I D-BAUG ETH Zürich Zwischenprüfung Winter 216 Analysis I D-BAUG Dr. Meike Akveld Wichtige Hinweise Prüfungsdauer: 9 Minuten. Zugelassene Hilfsmittel: Keine, ausser das verteilte Blatt mit Standardintegralen. Es

Mehr

Ansgar Schiffler. Die Polynomdivision. Seite 1 von 5. Aufgabe 1: Es sollen die Nullstellen des Graphens der folgenden Funktion bestimmt werden.

Ansgar Schiffler. Die Polynomdivision. Seite 1 von 5. Aufgabe 1: Es sollen die Nullstellen des Graphens der folgenden Funktion bestimmt werden. Seite 1 von 5 Aufgabe 1: Es sollen die Nullstellen des Graphens der folgenden Funktion bestimmt werden. Dies ist der Graph der Funktion: y = f(x) =,5x³,5x² + 1,8x +,88 Die erste Nullstelle können Sie durch

Mehr

Wiederholung Lineare Gleichungen Funktionen. Mathematik W3. Mag. DI Rainer Sickinger BRP, LMM. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 1 / 74

Wiederholung Lineare Gleichungen Funktionen. Mathematik W3. Mag. DI Rainer Sickinger BRP, LMM. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 1 / 74 Mathematik W3 Mag. DI Rainer Sickinger BRP, LMM v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 1 / 74 Binomische Formeln Binomische Formeln: (a + b) 2 =? (a b) 2 =? (a + b)(a b) =? v 4 Mag. DI Rainer Sickinger

Mehr

Quadratische Funktion - Übungen

Quadratische Funktion - Übungen Quadratische Funktion - Übungen 1a) "Verständnisfragen" zu "Scheitel und Allgemeine Form" - mit Tipps. Teilweise: Trotz der Tipps nicht immer einfach! Wir haben die Formeln: Allgemeine Form: y = a x 2

Mehr

Gleichungen dritten und vierten Grades und Konstruktionen mit mehr als Zirkel und Lineal

Gleichungen dritten und vierten Grades und Konstruktionen mit mehr als Zirkel und Lineal 1 Gleichungen dritten und vierten Grades und Konstruktionen mit mehr als Zirkel und Lineal Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastic (WIAS) e-mail: stephan@wias-berlin.de

Mehr

streng monoton steigend. streng monoton fallend. Ist f eine in einem Intervall stetige und im Innern des Intervalls differenzierbare Funktion mit

streng monoton steigend. streng monoton fallend. Ist f eine in einem Intervall stetige und im Innern des Intervalls differenzierbare Funktion mit 3. Anwendungen ================================================================= 3.1 Monotonie Eine Funktion f heißt in ihrem Definitionsbereich D monoton steigend, wenn für alle x 1, x 2 D mit x 1 < x

Mehr

Probe-Klausur 1 Mathematik f. Bau-Ing + Chem. Modul1

Probe-Klausur 1 Mathematik f. Bau-Ing + Chem. Modul1 Probe-Klausur 1 Mathematik f. Bau-Ing + Chem. Modul1 1. (a) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem für die Werte a = 1, b = 2. x + 3y + 2z = 0 2x + ay + 3z = 1 3x + 4y + z = b (b) Für welche Werte von

Mehr

(x a) 3 + f (a) 4! x 4 4! Wir werden im Folgenden vor allem Maclaurin-Reihen betrachten, dies alles funktioniert aber auch. f (x) = sin x f (0) = 0

(x a) 3 + f (a) 4! x 4 4! Wir werden im Folgenden vor allem Maclaurin-Reihen betrachten, dies alles funktioniert aber auch. f (x) = sin x f (0) = 0 Taylor-Reihen Einführung Mathematik GLF / 6 Christian Neukirchen Oft können wir bestimmte mathematische Funktionen nicht genau ausrechnen, besonders die trigonometrischen Funktionen wie, cos x, oder die

Mehr

Diskussion einzelner Funktionen

Diskussion einzelner Funktionen Diskussion einzelner Funktionen. Wir betrachten die Funktion f mit f() = cos sin (a) Berechne f() für { π, π, π, π, } 5π und zeichne den Grafen von f im - Intervall [ π, ] 5π. Einheiten: cm auf der y-achse,

Mehr

Gleichungen höheren Grades und Konstruktionen mit Zirkel und Lineal als Motivation für komplexe Zahlen

Gleichungen höheren Grades und Konstruktionen mit Zirkel und Lineal als Motivation für komplexe Zahlen 1 Gleichungen höheren Grades und Konstruktionen mit Zirkel und Lineal als Motivation für komplexe Zahlen Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastic (WIAS) e-mail: stephan@wias-berlin.de

Mehr

QUADRATISCHE GLEICHUNGENN

QUADRATISCHE GLEICHUNGENN Schule Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Thema Mathematik Arbeitsblatt A -.: Quadratische Gleichungen LehrerInnenteam m/ Mag Wolfgang Schmid Unterlagen QUADRATISCHE GLEICHUNGENN Definition: Eine

Mehr

Hausaufgaben und Lösungen

Hausaufgaben und Lösungen Hausaufgaben und Lösungen Die folgenden Seiten sind nicht thematisch, sondern chronologisch geordnet. Die Lösungen der Hausaufgaben werden hier erst nach der Besprechung der Hausaufgaben veröffentlicht.

Mehr

Die Studierenden kennen die Zahlengerade als Visualisierung.

Die Studierenden kennen die Zahlengerade als Visualisierung. 1./2. Semester Nr. Zahlbereichserweiterung Die Studierenden kennen die Zahlengerade als Visualisierung. E.1.1 Die Studierenden besitzen eine Größenvorstellung für Zahlen und können Zahlen der Größe nach

Mehr

Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale

Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale 1 E Linearisierung einer Funktion Abb. 1 1: Die Gerade T ist die Tangente der Funktion y = f (x) im Punkt P Eine im Punkt x = a differenzierbare Funktion

Mehr

Illustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS. Ganzrationale Funktionen

Illustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS. Ganzrationale Funktionen Fach- und Berufsoberschule, Mathematik, Jahrgangsstufen und Ganzrationale Funktionen Stand: 8.0.08 Jahrgangsstufen FOS, BOS Fach/Fächer Mathematik Übergreifende Bildungs- und Erziehungsziele Zeitrahmen

Mehr

Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung

Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 211 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung I Teilaufgabe 1 (3 BE) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f : x (e x 2) (x 3 2x ) mit Definitionsbereich

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+

Mehr

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10 RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 0 Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 0 Wissen und Können. Berechnungen am Kreis Bogenmaß Das Bogenmaß ist das zu

Mehr

(a) Wie gross ist der Ameisenstaat ungefähr nach 1, 2, 3 oder allgemein n Wochen?

(a) Wie gross ist der Ameisenstaat ungefähr nach 1, 2, 3 oder allgemein n Wochen? Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 04.0.8 Übung 3 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 8. Oktober 08 in den Übungsstunden Aufgabe In einem Ameisenstaat mit einer

Mehr

Quadratische Funktion

Quadratische Funktion Quadratische Funktion 1. Übliche Formen 1) Allgemeine Form: y = f(x) = a x 2 + b x + c a, b, c Konstanten Grundlegender Fall a = 1, b = 0, c = 0, also y = x 2 : "Normalparabel" Vorteil: Keine Brüche für

Mehr

GMA. Grundlagen Mathematik und Analysis. Nullstellen und Fixpunkte Reelle Funktionen 3. Christian Cenker Gabriele Uchida

GMA. Grundlagen Mathematik und Analysis. Nullstellen und Fixpunkte Reelle Funktionen 3. Christian Cenker Gabriele Uchida GMA Grundlagen Mathematik und Analysis Reelle Funktionen 3 Christian Cenker Gabriele Uchida Data Analytics and Computing Nullstellen cos log : 0, 0,? 1 Fixpunkte Beispiel 1 Beispiel 2 1 0 0 und 1 1sin,?

Mehr

Volumen und Oberflächeninhalt der Kugel 10_01

Volumen und Oberflächeninhalt der Kugel 10_01 Volumen und Oberflächeninhalt der Kugel 10_01 Alle Punkte (des dreidimensionalen Raums), die von einem Punkt M die gleiche Entfernung r besitzen, liegen auf einer Kugel mit Mittelpunkt M und Radiuslänge

Mehr

1 Höhere Ableitungen 2. 2 Mittelwertsatz und Monotonie 3. 3 Konvexe und konkave Funktionen 5. 4 Lokale und globale Extremalstellen 7

1 Höhere Ableitungen 2. 2 Mittelwertsatz und Monotonie 3. 3 Konvexe und konkave Funktionen 5. 4 Lokale und globale Extremalstellen 7 Universität Basel 4 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematik 1 Dr. Thomas Zehrt Kurvendiskussionen Inhaltsverzeichnis 1 Höhere Ableitungen 2 2 Mittelwertsatz und

Mehr

Quadratische Funktionen und Gleichungen Mathematik Jahrgangsstufe 9 (G8) Bergstadt-Gymnasium Lüdenscheid. Friedrich Hattendorf

Quadratische Funktionen und Gleichungen Mathematik Jahrgangsstufe 9 (G8) Bergstadt-Gymnasium Lüdenscheid. Friedrich Hattendorf Mathematik Jahrgangsstufe 9 (G8) Lüdenscheid Friedrich Hattendorf 4. September 2014 Vorbemerkung Die Datei entsteht noch; noch nicht alles ist optimal Hinweis zum Ausdruck: (Fast) Alles sollte noch gut

Mehr

Einführung in die linearen Funktionen. Autor: Benedikt Menne

Einführung in die linearen Funktionen. Autor: Benedikt Menne Einführung in die linearen Funktionen Autor: Benedikt Menne Inhaltsverzeichnis Vorwort... 3 Allgemeine Definition... 3 3 Bestimmung der Steigung einer linearen Funktion... 4 3. Bestimmung der Steigung

Mehr

7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen

7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen 7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen In diesem Kapitel sei stets D R, und I R ein Intervall. 7. Das unbestimmte Integral (Stammfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbare

Mehr

NEXTLEVEL im WiSe 2011/12

NEXTLEVEL im WiSe 2011/12 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Dr. H. P. Kiani NEXTLEVEL im WiSe 2011/12 Vorlesung 5, Teil 2 Linearisierung, einige Eigenschaften differenzierbarer Funktionen Die ins Netz gestellten Kopien

Mehr

Abitur 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Abitur 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung I Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 215 Mathematik Infinitesimalrechnung I Gegeben ist die Funktion f : x ( x 3 8 ) (2 + ln x) mit maximalem Definitionsbereich D. Teilaufgabe Teil A 1a (1

Mehr

Einführung in die numerische Mathematik

Einführung in die numerische Mathematik Prof. Dr. M. Günther K. Gausling, M.Sc. C. Hendricks, M.Sc. Sommersemester 4 Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaften Angewandte Mathematik / Numerische Analysis

Mehr

A n a l y s i s Differentialrechnung I

A n a l y s i s Differentialrechnung I A n a l y s i s Differentialrechnung I BlueGene von IBM und dem LLNL ist gegenwärtig der schnellste Computer der Welt. Er soll ein PetaFLOP erreichen, das sind 0 5 = '000'000'000'000'000 Rechnungen pro

Mehr

Algebraische Gleichungen

Algebraische Gleichungen Algebraische Gleichungen Ingolf Giese April 018 Es werden Gleichungen zweiten und dritten Grades behandelt. Dabei wird auch die Geschichte der Zahlen beleuchtet. Am Ende werden einige Formeln für das Wurzelziehen

Mehr

Kartografie I. Hans Walser Koordinatensysteme und Transformationen Lernumgebung

Kartografie I. Hans Walser Koordinatensysteme und Transformationen Lernumgebung Kartografie I Hans Walser Koordinatensysteme und Transformationen Lernumgebung Hans Walser: Koordinatensysteme und Transformationen ii Inhalt 1 Rechts- oder Linkssystem?... 1 Rechtssystem... 3 Polarwinkel...

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Sommersemester 0 Mathematik 3 für Informatik Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garantie auf Fehlerfeiheit). Seien f ) = { {, falls, falls und f ) =. ln, falls a) Skizzieren

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik 007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (8 Punkte) Das Schaubild einer Polynomfunktion. Grades geht durch den Punkt S(0/) und hat den 3 Wendepunkt

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 2017/18. Grundlagentutorium 4 Lösungen

Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 2017/18. Grundlagentutorium 4 Lösungen Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 207/8 Grundlagentutorium 4 Lösungen Sebastian Groß Termin Mittwochs 5:45 7:45 Großer Hörsaal Biozentrum (B00.09) E-Mail gross@bio.lmu.de Sprechzeiten

Mehr

Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung

Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Abgaben: 46 / 587 Maximal erreichte Punktzahl: 8 Minimal erreichte Punktzahl: Durchschnitt: 7 Frage (Diese Frage haben ca. 0% nicht beantwortet.) Welcher Vektor

Mehr

Lösungsblatt zu: Gebrochen rationale, Exponential- und Logarithmus Funktionen

Lösungsblatt zu: Gebrochen rationale, Exponential- und Logarithmus Funktionen Lösungsblatt zu: Gebrochen rationale, Exponential- und Logarithmus Funktionen Das hast du schon gelernt: Aufgabe : a) Definitionsbereich TIPP: Definitionsbereich Nenner darf nicht Null werden x 0 x

Mehr

Hans Walser. Raumgeometrie. Modul 4 Die Ebene Lernumgebung Teil 2

Hans Walser. Raumgeometrie. Modul 4 Die Ebene Lernumgebung Teil 2 Hans Walser Raumgeometrie Modul 4 Die Ebene Lernumgebung Teil 2 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene. Lernumgebung. Teil 2 ii Inhalt 1 Abstand Punkt / Ebene... 1 2 Abstand... 2 3 Neigungswinkel... 3 4 Neigungswinkel...

Mehr

Einführung in die Differenzialrechnung. Teil I. Klasse 10 B / Schuljahr 2018 / 19. Deyke

Einführung in die Differenzialrechnung. Teil I. Klasse 10 B / Schuljahr 2018 / 19. Deyke Einführung in die Differenzialrechnung Teil I Klasse 10 B / Schuljahr 2018 / 19 Deyke www.deyke.com Diff_Teil_I.pdf Einführung in die Differenzialrechnung Etwas Wirtschaftsmathematik: Einführung Seite

Mehr

Beispielklausur für zentrale Klausuren

Beispielklausur für zentrale Klausuren Seite von 5 Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Aufgabenstellung Gegeben ist die Funktion f mit f ( = 0,5 x 4,5 x + x 9. Die Abbildung zeigt den zu f gehörigen Graphen. Abbildung a) Ermitteln

Mehr

Höhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung

Höhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung TU Bergakademie Freiberg Sommersemester Dr. Gunter Semmler Dr. Anja Kohl Höhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung Differentialrechnung für Funktionen

Mehr