Praktikum Hierarchische Steuerungssysteme. Versuch HSS-3. Verteilte Optimierung

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1 Praktikum Hierarchische Steuerungssysteme Versuch HSS-3 Verteite Optimierung Verantworticher Hochschuehrer: Prof. Dr. Ing. habi. P. Li Versuchsverantworticher: Dr. Ing. S. Hopfgarten Name, Vorname, Matr.-Nr. Matrike-Nr. Mitarbeiter in der Praktikumsgruppe Datum, Note, Unterschrift

2 VERSUCH HSS Einführung Der Versuch reiht sich in die Betrachtung von Steuerungsstrukturen kompexer Systeme ein. Mit diesem Versuch so das Konzept der verteiten Optimierung, d. h. einer Struktur, die zwischen einer rein dezentraen und einer hierarchischen angesiedet ist, untersucht werden. Die Aufgaben sind so konzipiert, dass die Anwendung von nichtinearen (statischen) Optimierungsmethoden auf eine reaitätsnahe ingenieurwissenschaftiche Anwendung erfogen so. Ziee sind die mathematische Formuierung von verteiten Optimierungsaufgaben in ingenieurtechnischen Anwendungen, die Impementierung eines vereinfachten Projizierte-Gradienten-Agoritmus und eines geeigneten Agorithmus zur Lösung des verteiten Optimierungsprobems sowie die Anayse der Zuässigkeit und die praktische Umsetzbarkeit der erhatenen Lösungen. 2 Reaisierung des Praktikums Das Praktikum wird in PC-Laboren durchgeführt. Dazu steht die Software MATLAB R, MATLAB R Optimization Toobox TM 1 und für die Richtungssuche (eindimensionae Suche (eng.: ine search)) die MATLAB R -Funktion armijo zur Verfügung. Ein vereinfachtes Projizierte-Gradienten-Verfahren ist zu programmieren und ein voriegendes MATLAB R -Skript ist mit Teien des Lösungsagorithmus zur verteiten Optimierung zu ergänzen. 3 Probem- und Agorithmenbeschreibung 3.1 Agemeines Es gibt viee kompexe physikaische Systeme, die aus Teisysteme und Komponenten bestehen. Im Agemeinen kann die Dekomposition eines kompexen Systems in N Teisysteme hifreich sein. Die Teisysteme eines Gesamtsystems sind in der Rege miteinander verbunden oder vernetzt (durch Materia-, Energiefuss, Kommunikationssignae, usw.). Die Optimierung oder die optimae Regung socher Systeme erfordert passende Verfahren und entsprechende Agorithmen. Rege- oder Optimierungsstrategien für kompexe Systeme können zentraisiert, rein dezentraisiert, hierarchisch oder verteit sein. Neben der zentraen, der rein dezentraen und der hierarchischen ist die verteite Optimierung eine weitere Option zur Reaisierung einer entsprechenden Steuerungsstruktur. Sie stet einen Kompromiss zwischen der rein dezentraen (N unabhängige Reger/Optimierer) und der hierarchischen Steuerungsstruktur (N durch einen zusätzichen Koordinator koordinierte Reger/Optimierer) dar. Eine verteite Optimierung eines kompexen vernetzten System kann vorteihaft und rechnerisch günstig sein. In einer verteiten Optimierungsstrategie berechnet jedes Teisystem seine eigene optimae Strategie (jedes Teisystem versucht entweder ein eigenes Zie oder ein Gesamtzie optima zu erreichen). Die Vorteie sind: Einzene Teisysteme können ihr Zie geichzeitig optimieren. Dieser Umstand eraubt paraee Berechnungen und damit eine effiziente Optimierung des Gesamtsystems. 1 MATLAB R und MATLAB R Optimization Toobox TM sind ein eingetragenes Warenzeichen bzw. eine eingetragene Handesmarke der The Mathworks Inc.

3 VERSUCH HSS-3 3 Die verteite Optimierung ist wie die hierarchische zuverässiger as eine zentraisierte. Wenn ein einzenes Teisystem ausfät, ist nur dieses Teisystem betroffen, aber andere Teisysteme können weiter funktionieren. Damit fät aber nicht das Gesamtsystem aus. Ein verteites System ist einfach durch das Hinzufügen neuer Teisysteme (Komponenten) im Gegensatz zu einem zentraisierten System zu erweitern. As Lösungverfahren kann z. B. eine verteite Methode [4] eingesetzt werden, die auf der Han- Methode [5] aufbaut und unter Ausnutzung der konjugierten Funktion der Ziefunktion ein Projizierte-Gradienten-Verfahren verwendet. 3.2 Optimierungsprobemkasse und konjugierte Funktion Die Optimierungsprobemkasse, die mit der Han-Methode geöst werden kann, ist wie fogt definiert: min J(x)}, C = C 1 C 2... C N (1) x C x R nx - Optimierungsvariabenvektor, J(x) - geichmäßig konvexe, differenzierbare Funktion, C - abgeschossene, nichteere, konvexe Menge, beschrieben durch Geichungs- (GNB) und Ungeichungsnebenbedingungen (UNB) ( = 1, 2,..., s, s - Anzah der Nebenbedingungen (GNB und UNB), C ). Die Ziefunktion J(x) kann eine agemeine konvexe Funktion, aber auch z. B. eine quadratische Ziefunktion J(x) = 1 2 xt Hx mit H as Hesse-Matrix sein. Im etzteren Fa autet die Optimierungsaufgabe des -ten Teisystems beispiesweise 1 min z C 2 z w 2 mit z - Optimierungsvariabenvektor, w - sich iterativ ändernder Vektor entsprechend der Dimension von z. Die konjugierte Funktion J (y) zur konvexen Funktion J(x) ist definiert durch J (y) = sup y T x J(x) }. (3) x R nx Für eine quadratische Ziefunktion J(x) = 1 2 xt Hx ässt sich die konjugierte Funktion durch (2) J (y) = 1 2 yt H 1 y (4) beschreiben. Eine zu untersuchende inear-quadratische Optimierungsaufgabe kann fogendermaßen aussehen: min J(x) = 1 } x 2 xt Hx (5) u. B. v. a T x = b, = 1, 2,..., m (6) a T x b, = m + 1, m + 2,..., s (7)

4 VERSUCH HSS Verteiter Agorithmus für definite quadratische Optimierungsaufgaben Während der Han-Agorithmus die Lösungen für den Variabenvektor x und unter Berücksichtigung jeweis einer Geichungs- oder einer Ungeichungsnebenbedingung berechnet, ässt sich diese Methode so zu einer verteiten Methode erweitern, indem man Teisystemen eine gewisse Anzah an Nebenbedingungen zuordnet, die Teiprobeme zeitich parae ösen kann, jedoch die Koppung zu benachbarten Teisystemen berücksichtigt und damit eine Kommunikation zwischen ihnen einführen muss, siehe Agorithmus 1. Im Agorithmus wurde die einfache Darsteung x (p) N i assumed = L N i γ (p) c (8) benutzt. Im Agemeinen wird x (p) für eine beiebige konvexe Ziefunktion durch x (p) = J y y=y (p) (9) und für eine quadratische Ziefunktion J(x) = 1 2 xt Hx wird durch x (p) = H 1 y (p) (10) berechnet.

5 VERSUCH HSS-3 5 Agorithmus 1 Verteiter Agorithmus für definite quadratische Optimierungsprobeme 1: Initiaisierung: p := 0 x (0) i = 0, i bzw. x (0) = 0 γ (0) = 0, = 1, 2,... s α = s ω, ω = 1 2 minλ i}, λ i - Eigenwerte von H c = 1 αa T a H 1 a, = 1, 2,... s Ein c entspricht einer Beschränkung (GNB oder UNB). Jede Beschränkung wird von genau einem Reger berücksichtigt. Ein okaer Reger kann nur Beschränkungen berücksichtigen, die die okaen Variaben beinhaten. Wähe eine Abbruchtoeranz ε 2: repeat 3: p := p + 1 4: Kommunikation des i-ten Regers R i ( i) mit seinen Nachbarn R j, j N i, um die aktuaisierten Variaben (enthaten in x (p 1) i ) auszutauschen, und Konstruktion des Nachbarschaftsabbids (eng.: neighbourhood image) x (p) N i = x (p) j j N i 5: Paraees Update der Hifsvariaben γ des Regers R i ( i, L i : Menge der Indizes, die der okae Reger i berücksichtigt) 6: if (1 m) then 7: γ (p) = a T x(p 1) N i + γ (p 1) b 8: ese if (m + 1 s) then 9: γ (p) = max } a T x(p 1) N i + γ (p 1) b, 0 10: end if 11: Kommunikation des i-ten Regers R i ( i) mit seinen Nachbarn R j, j N i, um die im vorhergehenden Schritt aktuaisierten Hifsvariaben γ (p) auszutauschen 12: Paraees Update der Optimierungsvariaben (angenommenes Nachbarschaftsabbid, Sebstabbid (eng.: sef image)) x (p) N i assumed = γ (p) c L N i L N i : Menge der Indizes, die die Beschränkungen des Teisystem i oder von Nachbarteisystemen des Teisystems i betreffen γ (p) L N i = j N il j x (p) i = J i x (p) N i assumed } = max a x(p 1) + γ (p 1) b, 0 13: unti ( x (p),i x (p 1),i 2 < ε, i) (UNB)

6 VERSUCH HSS Projizierte-Gradienten-Verfahren Die Lösung der quadratischen Optimierungsaufgabe (11) 1 min z + αy (p 1) z C 2 x (p 1) 2 (11) im verteiten Agorithmus erfogt durch ein Projizierte-Gradienten-Verfahren, siehe z. B. [1], [2], [7]. Es ist geeignet, Optimierungsaufgaben (12) - (14) min J(x) (12) x Rn u. B. v. A eq x = b eq Ax b mit inearen Geichungs- (GNB) und Ungeichungsnebenbedingungen (UNB) zu ösen, A = a T m+1. a T s und b = b m+1. b s (13) (14) wird Ax b a T x b 0, = m + 1,..., s. (15) Ein agemeines Vorgehen beim Projizierte-Gradienten-Verfahren findet sich im Agorithmus 2. Bemerkungen zum Projizierte-Gradienten-Agorithmus: Forme für Berechnung der Suchrichtung d (p) in Schritt 8 stammt aus der Optimaitätsbedingung des nachfogenden Optimierungsprobems (16) - (18) min J(x (p) ) T d (16) d R nx u. B. v. Nd = 0 d T d = 1. Somit ist d (p) die optimae Lösung dieses Probems. Wenn das Probem (16) keine Nebenbedingungen hat, dann werden die Suchrichtung d (p) (in Schritt 8) und die Schrittänge α p (in Schritt 9) durch (19) berechnet: d (p) = 1 2µ J(x(p) ) und α (p) = 1 (19) (17) (18)

7 VERSUCH HSS-3 7 Agorithmus 2 Projizierte-Gradienten-Verfahren 1: Wähe einen Startpunkt x (0) 2: Wähe eine Anfangsschrittänge α 0 3: Wähe µ < 0 (z. B. µ = 1) 4: Setze Iterationszäher p := 0 5: whie (Keine Konvergenz) do 6: Finde die aktiven Ungeichungsnebedingungen (UNB) im Punkt x (p), d. h. } A = m + 1,..., s} a T x(p) b = 0 Bide die Matrix Ã und den Vektor b aus den aktiven UNB, d. h.. Ã = a T, b. = b.. A A 7: Bide die Matrix N und den Vektor n, so dass [ ] [ Aeq b b] N =, n = Ã 8: Bestimme die Suchrichtung d (p) durch d (p) = 1 [I N (N T N ) ] 1 N T J(x (p) ) 2µ } } =P (P : Projektionsmatrix) 9: Bestimme die Schrittänge α (p) durch α (p) = min 10: x (p+1) = x (p) + α (p) d (p) 1, b a T d(p) a T d(p) / A (p) und a T d(p) > 0 11: Abbruchbedingung erfüt? (Ja: Abbruch, Nein: Fortsetzung) 12: p := p : end whie }. 4 Optimierung eines Wasserversorgungssystems 4.1 System Das fogende Bid stet ein aggregiertes Wasserversorgungssystem mit drei Teisystemen dar (siehe [8]).

8 VERSUCH HSS-3 8 Abbidung 1: Ein aggregiertes Wasserversorgungssystem (Bidquee: [8]) Das Gesamtsystem besteht aus drei Subsystemen (Teisystemen (TS)). Das erste Teisystem ist mit dem zweiten und das zweite mit dem dritten verkoppet. Jedes Teisystem versorgt einen Verbraucher (TS1: eine Landgemeinde, Tagesverbrauch z 1,t = m3 d ; TS2: eine größere Stadt: z 2,t = m3 d ; TS3: eine Keinstadt: z 3,t = m3 d, 1 d = 24 h) mit einem entsprechenden Tagesgang des Verbrauchs. Im ersten und dritten Teisystem befindet sich je einen Wasserspeicher, im zweiten stehen zwei Speicher zur Verfügung. As Zustandsgrößen x i j werden die Speicherinhate, as Steuergrößen die Durchfüsse u i j, as Koppegrößen die Durchfüsse vi j und as Störgrößen (Verbräuche) z j gewäht, wobei der tiefgestete Index die Komponente im jeweiigen Teisysten und der hochgestete Index das Teisystem angibt. Die Koppegrößen sind gesondert aufgeführt, wei das System auch mittes hierarchischer Methoden optimiert wurde. Die Koppegrößen können wie weitere Steuerungen (Pseudosteuerungen) angesehen werden. Die Abfüsse aus dem ersten und dritten Speicher ergeben sich vereinfacht angegeben durch einen Faktor a 12 bzw. a 23 mutipiziert mit dem Speicherinhat des jeweiigen Speichers. Zur Reduktion der Probemdimension wird der Zeithorizont von einem Tag in drei Zeitintervae zu je t = 8 h unterteit, K = 3. Die Teisystemanzah ist N = 3. Die Speicher soen zur Zeit t = 0 ihren Sowerten entsprechen und am Ende des Zeithorizonts wieder genauso gefüt sein. Die fehenden Sowerte u 1 1,s bis v3 1,s werden in einer der Vorbereitungsaufgaben berechnet. Sie assen sich aufgrund des as bekannt angenommenen Bedarfs as konstante Werte pro Zeitinterva

9 VERSUCH HSS-3 9 berechnen, z. B. v 3 1,s + u 3 1,s = z 3,t K, (20) wobei eine Aufteiung von 74 % auf v1,s 3 und 26 % auf u3 1,s vorgenommen werden so. Bei den beiden Sowerten v1,s 1 und u1 1,s betragen die Anteie je 50 %. Auch die Koeffizienten a 12 und a 23 assen sich danach berechnen: v 2 1,s a 12 x 1 1,s = 0 a 12 = v2 1,s x 1 1,s v 3 1,s a 23 x 2 2,s = 0 a 23 = v3 1,s x 2 2,s (21) (22) Mit fogenden Angaben sind die späteren Berechnungen durchzuführen: Tabee 1: Minima-, Maxima- und Sowerte sowie Gewichte Variabe Min. Max. So. Gewicht x x x x u u 1 1,s 20 u u 2 1,s 20 u u 3 1,s 20 v1 1 0 v1,s 1 20 v1 2 0 v1,s 2 20 v1 3 0 v1,s Versuchsvorbereitung Bestimmen Sie die noch fehenden Sowerte, siehe Tab. 1 oben und gemäß (20), sowie die Koeffizienten a 12 und a 23 nach (21) und (22)! Geben Sie die Modegeichungen einschießich der Verkoppung für jedes Teisystem in zeitdiskreter Form an! Steen Sie eine geeignete Ziefunktion, die die gewichteten Abweichungen der Systemgrößen von ihren Sowerten quadratisch bewertet (ausgewogene Schwankungen zwischen Speicherinhaten und Durchfüssen), für die verteite Optimierung auf! Formuieren Sie das verteite Optimierungsprobem!

10 VERSUCH HSS Versuchsdurchführung Impementieren Sie den vereinfachten Agorithmus 3 des Projizierte-Gradienten-Verfahrens unter MATLAB R zur Lösung des quadratischen Optimierungsprobems (23)-(25) mit Koordinatenbeschränkungen as Ungeichungsnebenbedingungen, siehe z. B. [3]. Für die Richtungssuche (eindimensionae Suche (eng.: ine search)) steht Ihnen die MATLAB R - Funktion armijo zur Verfügung. min x J(x) = 1 } 2 xt Hx + c T x u. B. v. x min x x max (24) [ ] [ ] [ ] [ ] mit H =, c =, x min =, x 2 max = (25) 3 (23) Agorithmus 3 Vereinfachtes Projizierte-Gradienten-Verfahren 1: Hinterege Matrix H und Vektor c der Ziefunktion sowie Unter- und Obergrenzen (x min, x max ) der Optimierungsvariaben 2: Wähe einen zuässigen Startpunkt x (0) und speichere ihn as zurückiegende Lösung 3: Wähe eine Abbruchschranke ε (z. B ) für die Normdifferenz n = x (p) x (p 1) 4: Setze n (> ε) zum Anauf des Verfahrens 5: Setze Iterationszäher p := 0 6: whie n ε do 7: Berechne: Gradient der Ziefunktion g (p) = Hx (p) + c 8:... Suchrichtung d (p) = g (p) 9:... Schrittweite α (p) ( = arg min x (p) + α (p) d (p)) mittes ARMIJO-Rege (MATLAB R - α (p) Funktion armijo; Syntax: siehe Anhang) 10:... Nächster Punkt des unbeschränkten Probems x (p+1) = x (p) + α (p) d (p) 11:... Projektion x + = min(x max, max(x min, x (p+1) )) 12:... Normdifferenz n = x + x (p) 13: Setze x (p+1) := x + 14: p := p : end whie Ergänzen Sie im voriegenden MATLAB R -Skript die kenntich gemachten Passagen ( PUT YOUR CODE HERE! ) zur Lösung eines konvexen quadratischen Optimierungsprobems mittes des verteiten HAN-Verfahrens! Orientieren Sie sich an den Hinweisen im Anhang! Beachten Sie, dass ae Systemgrößen as -Größen reaisiert sind, d. h. as Abweichungen von ihren Sowerten! Lösen Sie das Optimierungsprobem des Wasserversorgungssystems mittes Ihrer Impementierung aus 4.3.2! Interpretieren und bewerten Sie die Ergebnisse! Beobachten Sie die Konvergenzeigenschaften (Anzah der Iterationen, Rechenzeit (CPU- Zeit))?

11 VERSUCH HSS Variieren Sie die Gewichte für einzene Systemgrößen! Beurteien Sie deren Einfuss auf die Lösung und die Konvergenz! Verändern Sie die Abschatschranke ε! Bewerten Sie die Lösung und die Konvergenz! Anhang: Aufruf der MATLAB R -Funktion armijo: apha=armijo(h,c,x,d); H: Hesse-Matrix c: Vektor des inearen Terms der Ziefunktion x: Startpunkt der Richtungssuche d: Suchrichtung Hinweise zur Ergänzung des MATLAB R -Skripts: MATLAB R -Variabe Bedeutung Ind Indizes der Teisystem-Koppung xni Nachbarschaftsabbid (neigbourhood image) des i-ten Teisystems, ((n x (K + 1) + (n u + n v )K, N) - Matrix, n x, n u, n v - Anzah aer Zustände, Steuerungen, Koppungen xsefimgi Sebstabbid (sef image) des i-ten Teisystems, Dimension wie Nachbarschaftsabbid, s. o. gamma γ, skaar, Anzah der GNB und UNB, s = 94 at a T, (1,34)-Vektor b b, skaar c c, (34,1)-Vektor xassumedni p angenommenes Nachbarschaftsabbid (sef image) des i-ten Teisystems, Dimension: s. o. xsefimgi p aktuaisiertes Sebstabbid (sef image) des i-ten Teisystems, Dimension: s.o. iteration Iterationszäher p TOLERANCE Abbruchschranke ε Literatur [1] D. P. Bertsekas. Noninear Programming. Athena Scientific, [2] D. P. Bertsekas, A. Nedić, and A. E. Ozdagar. Convex Anaysis and Optimzation. Athena Scientific, 2003.

12 VERSUCH HSS-3 12 [3] L. T. Bieger. Noninear Programming. SIAM, [4] D. Doan, T. Keviczky, I. Necoara, M. Dieh, and B. De Schutter. A distributed version of Han s method for DMPC of dynamicay couped systems with couped constraints. In Proc. of the 1st IFAC Workshop on Estimation and Contro of Networked Systems (NecSys 2009), pages , Venice, Itay, Sept [5] S.-P. Han and G. Lou. A Parae Agorithm for a Cass of Convex Programs. SIAM J. Contro and Optimization, 26(2): , [6] S. Hopfgarten. Hierarchische Steuerungssysteme. Voresung. TU Imenau. [7] C. T. Keey. Iterative Methods for Optimization. SIAM, [8] E. Lazutkin. Comparison of hierarchica and distributed optimization for mode predictive contro. Masterarbeit. TU Imenau, 2012.